কর্ণের দেওয়া সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলি কীভাবে গণনা করা যায়। পা জানা থাকলে কর্ণ কিভাবে খুঁজে পাওয়া যায়

অনেক ধরনের ত্রিভুজ রয়েছে: ধনাত্মক, সমদ্বিবাহু, তীব্র-কোণ এবং আরও অনেক কিছু। তাদের সকলেরই এমন বৈশিষ্ট্য রয়েছে যা শুধুমাত্র তাদের জন্য ক্লাসিক্যাল, এবং প্রতিটিরই পরিমাণ খুঁজে বের করার জন্য নিজস্ব নিয়ম রয়েছে, তা বেসে একটি পার্শ্ব বা কোণ হোক। কিন্তু এই জ্যামিতিক পরিসংখ্যান প্রতিটি বিভিন্ন থেকে পৃথক গ্রুপএকটি সমকোণ সহ একটি ত্রিভুজ নির্বাচন করা সম্ভব।

আপনার প্রয়োজন হবে

একটি ত্রিভুজের পরিকল্পিত উপস্থাপনার জন্য একটি ফাঁকা শীট, পেন্সিল এবং শাসক।

নির্দেশ

1. একটি ত্রিভুজকে সমকোণী ত্রিভুজ বলা হয় যদি এর একটি কোণ 90 ডিগ্রি হয়। এটি 2টি পা এবং একটি কর্ণ নিয়ে গঠিত। কর্ণ এই ত্রিভুজের বৃহত্তম বাহু। তিনি বিপরীত মিথ্যা সমকোণ. পা, যথাক্রমে, তার ছোট দিক বলা হয়। তারা একে অপরের সমান বা বিভিন্ন আকার হতে পারে। পায়ের সমতা মানে আপনি একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের সাথে কাজ করছেন। এর সৌন্দর্য হল এটি 2টি পরিসংখ্যানের বৈশিষ্ট্যকে একত্রিত করে: একটি সমকোণী এবং একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। যদি পা সমান না হয়, তবে ত্রিভুজটি নির্বিচারে হয় এবং মৌলিক আইন মেনে চলে: কোণটি যত বড় হবে, তার বিপরীতে থাকাটি তত বড় হবে।

2. পা এবং কোণ দ্বারা কর্ণ খুঁজে বের করার জন্য বিভিন্ন পদ্ধতি রয়েছে। কিন্তু তাদের মধ্যে একটি ব্যবহার করার আগে, আপনি কোন পা এবং কোণ বিখ্যাত তা নির্ধারণ করা উচিত। যদি একটি কোণ এবং তার সংলগ্ন পা দেওয়া হয়, তাহলে কোণের কোসাইন দ্বারা কর্ণ খুঁজে পাওয়া সহজ হয়। একটি সমকোণী ত্রিভুজে একটি তীব্র কোণের কোসাইন (cos a) হল কর্ণের সংলগ্ন পায়ের অনুপাত। এখান থেকে এটি অনুসরণ করে যে কর্ণ (c) কোণ a (cos a) এর কোসাইনের সাথে সংলগ্ন পায়ের (b) অনুপাতের সমান হবে। এটি এভাবে লেখা যেতে পারে: cos a=b/c => c=b/cos a.

3. যদি কোণ এবং বিপরীত পা দেওয়া হয়, তাহলে সাইন দিয়ে কাজ করা উচিত। একটি সমকোণী ত্রিভুজে একটি তীব্র কোণের (sin a) সাইন হল বিপরীত পায়ের (a) অনুপাত (c)। থিসিস এখানে কাজ করে, আগের উদাহরণের মতো, শুধুমাত্র কোসাইন ফাংশনের পরিবর্তে সাইন নেওয়া হয়েছে। sin a=a/c => c=a/sin a.

4. এটি স্পর্শক হিসাবে যেমন একটি ত্রিকোণমিতিক ফাংশন ব্যবহার করার অনুমতি দেওয়া হয়। কিন্তু পছন্দসই মান খুঁজে পাওয়া একটু বেশি জটিল। একটি সমকোণী ত্রিভুজে একটি তীব্র কোণের স্পর্শক (tg a) হল বিপরীত পায়ের অনুপাত (a) সংলগ্ন এক (b)। উভয় পা খুঁজে পেয়ে, পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য প্রয়োগ করুন (কর্ণের বর্গটি পায়ের বর্গক্ষেত্রের সমষ্টির সমান) এবং ত্রিভুজের বিশাল দিকটি আবিষ্কৃত হবে।

কর্ণ একটি সমকোণী ত্রিভুজের বাহু যা 90 ডিগ্রি কোণের বিপরীত। এর দৈর্ঘ্য গণনা করার জন্য, একটি পায়ের দৈর্ঘ্য এবং ত্রিভুজের তীব্র কোণের একটির মান জানা যথেষ্ট।

নির্দেশ

1. চালিত লেগ এবং তীব্র কোণ সঙ্গে সঠিক ত্রিভুজ, তাহলে কর্ণের আকার হতে পারে অনুপাতের সমানএই কোণের কোসাইন/সাইন-এর দিকে লেগ, যদি প্রদত্ত কোণটি এর বিপরীত/সংলগ্ন হয়: h = C1(বা C2)/sin?; h = C1(বা C2)/cos?। উদাহরণ: একটি সমকোণী ত্রিভুজ ABC ধরুন কর্ণ AB এবং সমকোণ C দিয়ে দেওয়া হবে। কোণ B 60 ডিগ্রি এবং কোণ A 30 ডিগ্রি BC পায়ের দৈর্ঘ্য 8 সেমি। আপনাকে AB-এর দৈর্ঘ্য বের করতে হবে। এটি করার জন্য, আপনি উপরে প্রস্তাবিত যে কোনও পদ্ধতি ব্যবহার করতে পারেন: AB = BC / cos60 = 8 সেমি। AB = BC / sin30 = 8 সেমি।

শব্দ " পা" থেকে প্রাপ্ত গ্রীক শব্দ"লম্ব" বা "উল্লম্ব" - এটি ব্যাখ্যা করে কেন একটি সমকোণী ত্রিভুজের উভয় বাহু, যা তার নব্বই-ডিগ্রি কোণ তৈরি করে, এইভাবে নামকরণ করা হয়েছিল। প্রতিটির দৈর্ঘ্য খুঁজুন পা ov এর সংলগ্ন কোণের মান এবং অন্য কিছু প্যারামিটার জানা থাকলে কঠিন নয়, কারণ এই ক্ষেত্রে 3টি কোণের সমস্ত মানই আসলে জানা হয়ে যাবে।

নির্দেশ

1. যদি, সংলগ্ন কোণের মান ছাড়াও (β), দ্বিতীয়টির দৈর্ঘ্য পা a (b), তারপর দৈর্ঘ্য পাএবং (ক) বিখ্যাত এর দৈর্ঘ্যের ভাগফল হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে পাএবং চালিত কোণের স্পর্শকের উপর: a=b/tg(β)। এটি এই সংজ্ঞা থেকে অনুসরণ করে ত্রিকোণমিতিক ফাংশন. আপনি যদি সাইন উপপাদ্য ব্যবহার করেন তবে স্পর্শক ছাড়াই এটি করার অনুমতি দেওয়া হয়। এটি থেকে এটি অনুসরণ করে যে বিপরীত কোণের সাইনের সাথে পছন্দসই বাহুর দৈর্ঘ্যের অনুপাতটি পরিচিত দৈর্ঘ্যের অনুপাতের সমান। পাকিন্তু বিখ্যাত কোণ সাইন. কাঙ্খিত বিপরীত পা y একটি তীক্ষ্ণ কোণ 180°-90°-β = 90°-β হিসাবে বিখ্যাত কোণের মাধ্যমে প্রকাশ করা যেতে পারে, কারণ যেকোনো ত্রিভুজের সমস্ত কোণের যোগফল অবশ্যই 180° হতে হবে এবং সমকোণী ত্রিভুজের সংজ্ঞা অনুসারে এর একটি কোণ 90° এর সমান। তাই পছন্দসই দৈর্ঘ্য পাএবং এটি a=sin(90°-β)∗b/sin(β) সূত্র দ্বারা গণনা করার অনুমতি দেওয়া হয়।

2. যদি সন্নিহিত কোণের মাত্রা (β) এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য (c) জানা যায়, তাহলে দৈর্ঘ্য পাএবং (a) কর্ণের দৈর্ঘ্য এবং বিখ্যাত কোণের কোসাইন এর গুণফল হিসাবে গণনা করা যেতে পারে: a=c∗cos(β)। এটি একটি ত্রিকোণমিতিক ফাংশন হিসাবে কোসাইনের সংজ্ঞা থেকে অনুসরণ করে। তবে এটি ব্যবহার করার অনুমতি দেওয়া হয়েছে, আগের ধাপের মতো, সাইন উপপাদ্য এবং তারপরে পছন্দসই দৈর্ঘ্য পা a হবে 90° এবং অগ্রবর্তী কোণের পার্থক্যের সাইনের গুণফল এবং সমকোণের সাইনের সাথে কর্ণের দৈর্ঘ্যের অনুপাতের সমান। এবং সাইন 90 ° হয় যে সত্য থেকে একের সমান, তারপর সূত্রটি নিম্নরূপ লেখা যেতে পারে: a=sin(90°-β)∗c।

3. উইন্ডোজের সাথে অন্তর্ভুক্ত সফ্টওয়্যার ক্যালকুলেটর ব্যবহার করে প্রকৃত গণনা করা যেতে পারে। এটি চালু করার জন্য, এটি "স্টার্ট" বোতামের প্রধান মেনুতে "এক্সিকিউট" আইটেমটিকে পছন্দ করার অনুমতি দেওয়া হয়েছে, ক্যালক কমান্ড টাইপ করুন এবং "ঠিক আছে" বোতামে ক্লিক করুন। ডিফল্টরূপে খোলে এই প্রোগ্রামের ইন্টারফেসের সহজতম সংস্করণে, ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলি সরবরাহ করা হয় না, তাই, এটি চালু করার পরে, আপনাকে মেনুতে "দেখুন" বিভাগে ক্লিক করতে হবে এবং "বিজ্ঞানী" বা "প্রকৌশলী" লাইনটি পছন্দ করতে হবে। (ব্যবহৃত সংস্করণের উপর নির্ভর করে অপারেটিং সিস্টেম).

সংশ্লিষ্ট ভিডিও

"কেটেট" শব্দটি গ্রীক থেকে রাশিয়ান ভাষায় এসেছে। সঠিক অনুবাদে, এর অর্থ হল একটি প্লাম্ব লাইন, যা পৃথিবীর পৃষ্ঠের লম্ব। গণিতে, পাগুলিকে বাহু বলা হয় যা একটি সমকোণ ত্রিভুজের সমকোণ গঠন করে। এই কোণের বিপরীত দিকটিকে হাইপোটেনাস বলে। "লেগ" শব্দটি স্থাপত্য এবং বিশেষ প্রযুক্তিতেও ব্যবহৃত হয়। ঢালাই কাজ.

একটি সমকোণী ত্রিভুজ ACB আঁক। এর পা a এবং b লেবেল করুন এবং এর কর্ণকে c লেবেল করুন। সমকোণী ত্রিভুজের সমস্ত বাহু এবং কোণ নির্দিষ্ট সম্পর্কের দ্বারা সংযুক্ত। কর্ণের সাথে তীব্র কোণের একটির বিপরীত পায়ের অনুপাতকে এই কোণের সাইন বলে। এই ত্রিভুজে sinCAB=a/c. কোসাইন হল পার্শ্ববর্তী পায়ের কর্ণের অনুপাত, সেটি হল cosCAB=b/c। বিপরীত সম্পর্কগুলিকে সেক্যান্ট এবং কোসেক্যান্ট বলা হয়। একটি প্রদত্ত কোণের সেকেন্টটি পার্শ্ববর্তী লেগ দ্বারা কর্ণকে ভাগ করে পাওয়া যায়, অর্থাৎ, secCAB=c/b। এটি কোসাইনের পারস্পরিক সম্পর্ক খুঁজে বের করে, অর্থাৎ, এটি secCAB=1/cosSAB সূত্র ব্যবহার করে প্রকাশ করা যেতে পারে। কোসেক্যান্টটি বিপরীত পা দ্বারা কর্ণকে ভাগ করার ভাগফলের সমান এবং সাইনের পারস্পরিক। এটি cosecCAB=1/sinCAB সূত্র দ্বারা গণনা করা যেতে পারে উভয় পা স্পর্শক এবং কোট্যানজেন্ট দ্বারা সংযুক্ত। এই ক্ষেত্রে, স্পর্শক হবে পার্শ্ব a থেকে পাশে b এর অনুপাত, অর্থাৎ, পার্শ্ববর্তী একের বিপরীত পা। এই অনুপাতটি tgCAB=a/b সূত্র দ্বারা প্রকাশ করা যেতে পারে। তদনুসারে, বিপরীত অনুপাতটি কোট্যাঞ্জেন্ট হবে: ctgCAB=b/a। কর্ণের আকার এবং উভয় পায়ের মধ্যে অনুপাত প্রাচীন গ্রীক গণিতবিদ পিথাগোরাস দ্বারা নির্ধারিত হয়েছিল। তার নামে নামকরণ করা উপপাদ্যটি আজও মানুষ ব্যবহার করে। এটি বলে যে কর্ণের বর্গটি পায়ের বর্গক্ষেত্রের সমষ্টির সমান, অর্থাৎ c2 \u003d a2 + b2। তদনুসারে, প্রতিটি পা কর্ণের বর্গ এবং অন্য পায়ের মধ্যে পার্থক্যের বর্গমূলের সমান হবে। এই সূত্রটি b =? (c2-a2) হিসাবে লেখা যেতে পারে। পায়ের দৈর্ঘ্যও আপনার জানা অনুপাতের মাধ্যমে প্রকাশ করা যেতে পারে। সাইন এবং কোসাইনের উপপাদ্য অনুসারে, পা কর্ণের গুণফলের সমান এবং এই ফাংশনগুলির মধ্যে একটি। এটি স্পর্শক বা কোট্যাঞ্জেন্ট হিসাবেও প্রকাশ করা যেতে পারে। লেগ a পাওয়া যাবে, বলুন, সূত্র a = b * tan CAB দ্বারা। সত্য, একইভাবে, প্রদত্ত স্পর্শক বা কোট্যাঞ্জেন্টের উপর নির্ভর করে, 2য় পাও নির্ধারিত হয়। "পা" শব্দটি স্থাপত্যেও ব্যবহৃত হয়। এটি একটি আয়নিক মূলধনের সাথে সম্পর্কিত এবং এর পিছনের মাঝখানে একটি প্লাম্ব লাইন বোঝায়। অর্থাৎ, এই ক্ষেত্রে, এই শব্দটি একটি প্রদত্ত রেখার একটি লম্ব নির্দেশ করে। ঢালাই কাজের বিশেষ প্রযুক্তিতে "ফিলেট ওয়েল্ডের লেগ" এর একটি উপস্থাপনা রয়েছে। অন্যান্য ক্ষেত্রে যেমন, এটি সবচেয়ে কম দূরত্ব। এখানে আমরা কথা বলছিঅন্য অংশের পৃষ্ঠে অবস্থিত সিমের সীমানায় ঢালাই করা অংশগুলির একটির মধ্যে ব্যবধান সম্পর্কে।

সংশ্লিষ্ট ভিডিও

বিঃদ্রঃ!
পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যের সাথে কাজ করার সময়, ভুলে যাবেন না যে আপনি একটি ডিগ্রি নিয়ে কাজ করছেন। পায়ের বর্গক্ষেত্রের সমষ্টি খুঁজে পেয়ে, চূড়ান্ত ফলাফল পেতে, একজনকে বের করা উচিত বর্গমূল.

আপনি জানেন যে, জ্যামিতি একটি কঠিন বিজ্ঞান যার সমস্যা সমাধানে বিশেষ নির্ভুলতা এবং নির্ভুলতার প্রয়োজন। অনেকগুলি অভিব্যক্তি এবং সূত্র যা আমরা পরে আরও জটিল গণনায় ব্যবহার করি 6-7 গ্রেডের গণিত পাঠ্যপুস্তকে সেট করা আছে। ত্রিকোণমিতিক ফাংশন শেখার প্রক্রিয়াটিকে সহজ এবং আরও আনন্দদায়ক করতে, এই নিবন্ধে আমরা সমকোণী ত্রিভুজের কর্ণ গণনা করার কয়েকটি ছোট উপায় দেখব।

কিভাবে পায়ে কর্ণ খুঁজে বের করবেন?

আসুন একটি ছোট তত্ত্ব মনে রাখা যাক: একটি সমকোণী ত্রিভুজ বলা হয় সমতল চিত্র, যার তিনটি কোণ আছে। তাদের মধ্যে একটির মান 90º এবং পার্শ্বগুলিকে পা এবং কর্ণ বলা হয়। সমকোণের বিপরীত দিকটি হল কর্ণ, এবং বাকি দুটি হল সন্নিহিত পা। প্রধান খেলাপক্ষগুলি পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যে উদ্ভাসিত হয়, যা অনুসারে কর্ণটি পায়ের বর্গক্ষেত্রের সমষ্টির সমান। যাইহোক, এটি শুধুমাত্র বিভ্রান্তিকর বলে মনে হচ্ছে, কারণ আসলে সবকিছুই অনেক সহজ।

জ্যামিতিক চিত্রের বৈশিষ্ট্য

আপনি একটি ত্রিভুজের কর্ণ খুঁজে বের করার আগে, আপনাকে এই চিত্রটিতে কী বৈশিষ্ট্য রয়েছে তা খুঁজে বের করতে হবে। আসুন প্রধানগুলি বিবেচনা করি:

একটি সমকোণী ত্রিভুজে, উভয় তীব্র কোণ 90º পর্যন্ত যোগ হবে।
30º কোণের বিপরীতে থাকা একটি পা কর্ণের ½ এর সমান হবে।
পা যদি কর্ণের মানের ½ এর সমান হয়, তবে দ্বিতীয় কোণের একই মান থাকবে - 30º।

একটি সমকোণী ত্রিভুজে কর্ণ খুঁজে বের করার বিভিন্ন উপায় রয়েছে। সর্বাধিক দ্বারা সহজ সমাধানপা দিয়ে হিসাব করা হয়। ধরা যাক আপনি A এবং B বাহুর পায়ের মানগুলি জানেন। তারপরে পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যটি উদ্ধারে আসে, আমাদের বলে যে আমরা যদি প্রতিটি পায়ের মানকে বর্গ করি এবং প্রাপ্ত ডেটার যোগফল করি, তাহলে আমরা খুঁজে পাব কি কর্ণ হয় সুতরাং, আমাদের শুধু বর্গমূল মান বের করতে হবে:

উদাহরণস্বরূপ, যদি লেগ A = 3 সেমি এবং লেগ B = 4 সেমি, তাহলে গণনাটি এরকম দেখাবে:

কিভাবে একটি কোণ মাধ্যমে কর্ণ খুঁজে বের করতে?

একটি সমকোণী ত্রিভুজের কর্ণের সমান তা খুঁজে বের করার আরেকটি উপায় হল একটি প্রদত্ত কোণের মাধ্যমে গণনা করা। এটি করার জন্য, আমাদের সাইন সূত্রের মাধ্যমে মানটি বের করতে হবে। ধরুন আমরা পায়ের মান (A) এবং বিপরীত কোণের (α) মান জানি। তারপর পুরো সমাধানটি একটি সূত্রে: С=А/sin(α)।

উদাহরণস্বরূপ, যদি পায়ের দৈর্ঘ্য 40 সেমি হয় এবং কোণটি 45° হয়, তাহলে কর্ণের দৈর্ঘ্য নিম্নরূপ বের করা যেতে পারে:

40/sin(45°) = 40/0.71 = 56.33।

আপনি একটি প্রদত্ত কোণের কোসাইন দিয়ে পছন্দসই মান নির্ধারণ করতে পারেন। ধরুন আমরা একটি পা (B) এবং একটি তীব্র অন্তর্ভুক্ত কোণ (α) এর মান জানি। তারপর সমস্যা সমাধানের জন্য একটি সূত্র প্রয়োজন: С=В/ cos(α)।

উদাহরণস্বরূপ, যদি পায়ের দৈর্ঘ্য 50 সেমি হয় এবং কোণটি 45° হয়, তাহলে কর্ণটি নিম্নরূপ গণনা করা যেতে পারে:

50/cos(45°) = 50/0.71 = 80.42।

সুতরাং, আমরা একটি ত্রিভুজে কর্ণ খুঁজে বের করার প্রধান উপায়গুলি পরীক্ষা করেছি। কাজটি সমাধান করার সময়, উপলব্ধ ডেটাতে ফোকাস করা গুরুত্বপূর্ণ, তারপরে অজানা মানটি খুঁজে পাওয়া বেশ সহজ হবে। আপনাকে কেবল কয়েকটি সূত্র জানতে হবে এবং সমস্যা সমাধানের প্রক্রিয়াটি সহজ এবং উপভোগ্য হয়ে উঠবে।

নির্দেশ

একটি ত্রিভুজকে সমকোণী ত্রিভুজ বলা হয় যদি এর একটি কোণ 90 ডিগ্রি হয়। এটি দুটি পা এবং একটি কর্ণ নিয়ে গঠিত। কর্ণ এই ত্রিভুজের দীর্ঘতম বাহু। এটি একটি সমকোণের বিপরীতে অবস্থিত। পা, যথাক্রমে, তার ছোট দিক বলা হয়। তারা একে অপরের সমান বা থাকতে পারে বিভিন্ন আকার. আপনি একটি সমকোণী ত্রিভুজ সঙ্গে কাজ করছেন যে পায়ে সমতা. এর সৌন্দর্য হল এটি দুটি চিত্রকে একত্রিত করে: একটি সমকোণী এবং একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। যদি পা সমান না হয়, তাহলে ত্রিভুজটি নির্বিচারে হয় এবং মৌলিক আইন অনুসারে: কোণটি যত বড় হবে, তার বিপরীতে থাকা একজন তত বেশি রোল করবে।

কর্ণ এবং কোণ দ্বারা খুঁজে বের করার বিভিন্ন উপায় আছে। কিন্তু তাদের মধ্যে একটি ব্যবহার করার আগে, আপনি কোনটি এবং কোণ পরিচিত তা নির্ধারণ করা উচিত। একটি কোণ এবং তার সংলগ্ন পা দেওয়া হলে, কোণের কোসাইন দ্বারা কর্ণটি খুঁজে পাওয়া সহজ। একটি সমকোণী ত্রিভুজে একটি তীব্র কোণের কোসাইন (cos a) হল কর্ণের সংলগ্ন পায়ের অনুপাত। এটি বোঝায় যে কর্ণ (c) কোণ a (cos a) এর কোসাইনের সাথে সংলগ্ন পায়ের (b) অনুপাতের সমান হবে। এটি এভাবে লেখা যেতে পারে: cos a=b/c => c=b/cos a.

যদি একটি কোণ এবং একটি বিপরীত পা দেওয়া হয়, তাহলে কাজ করা উচিত। একটি সমকোণী ত্রিভুজে একটি তীব্র কোণের (sin a) সাইন হল বিপরীত পায়ের (a) অনুপাত (c)। এখানে নীতিটি আগের উদাহরণের মতোই, কোসাইন ফাংশনের পরিবর্তে শুধুমাত্র সাইন নেওয়া হয়েছে। sin a=a/c => c=a/sin a.

এছাড়াও আপনি একটি ত্রিকোণমিতিক ফাংশন ব্যবহার করতে পারেন যেমন। কিন্তু পছন্দসই মান খুঁজে পাওয়া একটু বেশি জটিল। একটি সমকোণী ত্রিভুজে একটি তীব্র কোণের স্পর্শক (tg a) হল বিপরীত পায়ের অনুপাত (a) সংলগ্ন এক (b)। উভয় পা খুঁজে পেয়ে, পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্য প্রয়োগ করুন (কর্ণের বর্গটি পায়ের বর্গক্ষেত্রের সমষ্টির সমান) এবং বড়টি পাওয়া যাবে।

বিঃদ্রঃ

পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যের সাথে কাজ করার সময়, ভুলে যাবেন না যে আপনি একটি ডিগ্রি নিয়ে কাজ করছেন। পায়ের বর্গক্ষেত্রের যোগফল খুঁজে পাওয়ার পর, চূড়ান্ত উত্তর পেতে, আপনাকে বর্গমূল নিতে হবে।

সূত্র:

কিভাবে পা এবং কর্ণ খুঁজে বের করতে হয়

নির্দেশ

একটি পরিচিত এবং তীক্ষ্ণ সমকোণ সহ, তারপর কর্ণের আকার হল পায়ের অনুপাত এই কোণের/এর, যদি প্রদত্ত কোণটি এর বিপরীত/সংলগ্ন হয়:

h = C1(বা C2)/sinα;

h = С1(বা С2)/cosα।

উদাহরণ: ABC কে কর্ণ AB এবং C দিয়ে দেওয়া যাক। কোণ B কে 60 ডিগ্রী এবং কোণ A 30 ডিগ্রী। লেগ BC এর দৈর্ঘ্য 8 সেমি। আপনার AB এর দৈর্ঘ্য প্রয়োজন। এটি করার জন্য, আপনি উপরে প্রস্তাবিত যে কোনও পদ্ধতি ব্যবহার করতে পারেন:

AB=BC/cos60=8 সেমি।

AB = BC/sin30 = 8 সেমি।

শব্দ " পা" গ্রীক শব্দ "লম্ব" বা "উল্লম্ব" থেকে এসেছে - এটি ব্যাখ্যা করে কেন একটি সমকোণী ত্রিভুজের উভয় বাহু, যা এর নব্বই-ডিগ্রি কোণ তৈরি করে, এইভাবে নামকরণ করা হয়েছিল। যে কোনটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর পা ov কঠিন নয় যদি এর সংলগ্ন কোণের মান এবং অন্য একটি প্যারামিটার জানা থাকে, যেহেতু এই ক্ষেত্রে তিনটি কোণের মানই প্রকৃতপক্ষে জানা যাবে।

নির্দেশ

যদি, সংলগ্ন কোণের মান ছাড়াও (β), দ্বিতীয়টির দৈর্ঘ্য পা a (b), তারপর দৈর্ঘ্য পাএবং (ক) পরিচিত দৈর্ঘ্যের ভাগফল হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে পাএবং একটি পরিচিত কোণে: a=b/tg(β)। এটি এই ত্রিকোণমিতির সংজ্ঞা থেকে অনুসরণ করে। আপনি যদি উপপাদ্যটি ব্যবহার করেন তবে আপনি স্পর্শক ছাড়া করতে পারেন। এটি থেকে এটি অনুসরণ করে যে বিপরীত কোণের সাইন থেকে কাঙ্খিত দৈর্ঘ্য পরিচিত দৈর্ঘ্যের অনুপাতের সাথে পাকিন্তু একটি পরিচিত কোণ সাইন থেকে. কাঙ্খিত বিপরীত পা y একটি তীব্র কোণ 180°-90°-β = 90°-β হিসাবে পরিচিত কোণের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা যেতে পারে, যেহেতু যেকোনো ত্রিভুজের সমস্ত কোণের যোগফল 180° হতে হবে এবং এর একটি কোণ 90 এর সমান ° তাই পছন্দসই দৈর্ঘ্য পাএবং a=sin(90°-β)∗b/sin(β) সূত্র দ্বারা গণনা করা যেতে পারে।

যদি সন্নিহিত কোণের মাত্রা (β) এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য (c) জানা যায়, তাহলে দৈর্ঘ্য পাএবং (a) কর্ণের দৈর্ঘ্য এবং পরিচিত কোণের কোসাইন এর গুণফল হিসাবে গণনা করা যেতে পারে: a=c∗cos(β)। এটি একটি ত্রিকোণমিতিক ফাংশন হিসাবে কোসাইনের সংজ্ঞা থেকে অনুসরণ করে। কিন্তু আপনি আগের ধাপের মতো সাইন উপপাদ্য এবং তারপরে পছন্দসই দৈর্ঘ্য ব্যবহার করতে পারেন পা a 90° এবং সমকোণের সাইনের সাথে কর্ণের দৈর্ঘ্যের অনুপাতের পরিচিত কোণ গুণের মধ্যে সাইনের গুণফলের সমান হবে। এবং যেহেতু 90° এর সাইন একটির সমান, তাই এটিকে নিম্নরূপ লেখা যেতে পারে: a=sin(90°-β)∗c।

ব্যবহারিক গণনা করা যেতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, উইন্ডোজ অপারেটিং সিস্টেমে অন্তর্ভুক্ত সফ্টওয়্যার ক্যালকুলেটর ব্যবহার করে। এটি চালানোর জন্য, আপনি "স্টার্ট" বোতামের প্রধান মেনুতে "চালান" আইটেমটি নির্বাচন করতে পারেন, ক্যালক কমান্ড টাইপ করুন এবং "ঠিক আছে" বোতামে ক্লিক করুন। ডিফল্টরূপে খোলা এই প্রোগ্রামের ইন্টারফেসের সহজতম সংস্করণটি ত্রিকোণমিতিক ফাংশন সরবরাহ করে না, তাই এটি চালু করার পরে, আপনাকে মেনুতে "দেখুন" বিভাগে ক্লিক করতে হবে এবং "বৈজ্ঞানিক" বা "প্রকৌশল" লাইন নির্বাচন করতে হবে (এর উপর নির্ভর করে আপনি যে অপারেটিং সিস্টেম ব্যবহার করছেন তার সংস্করণ)।

সংশ্লিষ্ট ভিডিও

"কেটেট" শব্দটি গ্রীক থেকে রাশিয়ান ভাষায় এসেছে। সঠিক অনুবাদে, এর অর্থ হল একটি প্লাম্ব লাইন, যা পৃথিবীর পৃষ্ঠের লম্ব। গণিতে, পাগুলিকে বাহু বলা হয় যা একটি সমকোণ ত্রিভুজের সমকোণ গঠন করে। এই কোণের বিপরীত দিকটিকে হাইপোটেনাস বলে। "লেগ" শব্দটি স্থাপত্য এবং ঢালাই প্রযুক্তিতেও ব্যবহৃত হয়।

একটি সমকোণী ত্রিভুজ ACB আঁক। এর পা a এবং b লেবেল করুন এবং এর কর্ণকে c লেবেল করুন। একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমস্ত বাহু এবং কোণ একে অপরের সাথে সংজ্ঞায়িত করা হয়। কর্ণের সাথে তীব্র কোণের একটির বিপরীত পায়ের অনুপাতকে এই কোণের সাইন বলে। এই ত্রিভুজে sinCAB=a/c. কোসাইন হল পার্শ্ববর্তী পায়ের কর্ণের অনুপাত, সেটি হল cosCAB=b/c। বিপরীত সম্পর্কগুলিকে সেক্যান্ট এবং কোসেক্যান্ট বলা হয়।

এই কোণের সেক্যান্টটি পার্শ্ববর্তী লেগ দ্বারা কর্ণকে ভাগ করে পাওয়া যায়, অর্থাৎ, secCAB=c/b। এটি কোসাইনের পারস্পরিক সম্পর্ক খুঁজে বের করে, অর্থাৎ, এটি secCAB=1/cosSAB সূত্র দ্বারা প্রকাশ করা যেতে পারে।
কোসেক্যান্টটি বিপরীত পা দ্বারা কর্ণকে ভাগ করার ভাগফলের সমান এবং সাইনের পারস্পরিক। এটি cosecCAB=1/sinCAB সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে

উভয় পা পরস্পর সংযুক্ত এবং কোট্যাঞ্জেন্ট। এই ক্ষেত্রে, স্পর্শক হবে পার্শ্ব a থেকে পাশে b এর অনুপাত, অর্থাৎ, পার্শ্ববর্তী একের বিপরীত পা। এই অনুপাতটি tgCAB=a/b সূত্র দ্বারা প্রকাশ করা যেতে পারে। তদনুসারে, বিপরীত অনুপাতটি কোট্যাঞ্জেন্ট হবে: ctgCAB=b/a।

কর্ণের আকার এবং উভয় পায়ের মধ্যে অনুপাত প্রাচীন গ্রীক পিথাগোরাস দ্বারা নির্ধারিত হয়েছিল। উপপাদ্য, তার নাম, মানুষ এখনও ব্যবহার করে। এটি বলে যে কর্ণের বর্গটি পায়ের বর্গক্ষেত্রের সমষ্টির সমান, অর্থাৎ c2 \u003d a2 + b2। তদনুসারে, প্রতিটি পা কর্ণের বর্গ এবং অন্য পায়ের মধ্যে পার্থক্যের বর্গমূলের সমান হবে। এই সূত্রটি b=√(c2-a2) হিসাবে লেখা যেতে পারে।

আপনার পরিচিত সম্পর্কের মাধ্যমেও পায়ের দৈর্ঘ্য প্রকাশ করা যেতে পারে। সাইন এবং কোসাইনের উপপাদ্য অনুসারে, পা কর্ণের গুণফলের সমান এবং এই ফাংশনগুলির মধ্যে একটি। আপনি এটি এবং বা cotangent প্রকাশ করতে পারেন। লেগ a পাওয়া যেতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, সূত্র a \u003d b * tan CAB দ্বারা। ঠিক একইভাবে, প্রদত্ত স্পর্শক বা , দ্বিতীয় লেগটির উপর নির্ভর করে নির্ধারিত হয়।

স্থাপত্যে, "পা" শব্দটিও ব্যবহৃত হয়। এটি একটি আয়নিক মূলধন প্রয়োগ করা হয় এবং তার পিছনের মাঝখানে দিয়ে প্লাম্ব। অর্থাৎ, এই ক্ষেত্রে, এই পদ দ্বারা, প্রদত্ত রেখার লম্ব।

ঢালাই প্রযুক্তিতে, একটি "ফিলেট ওয়েল্ডের লেগ" রয়েছে। অন্যান্য ক্ষেত্রে যেমন, এটি সবচেয়ে কম দূরত্ব। এখানে আমরা অন্য অংশের পৃষ্ঠে অবস্থিত সিমের সীমানায় ঢালাই করা অংশগুলির মধ্যে একটির ফাঁক সম্পর্কে কথা বলছি।

সংশ্লিষ্ট ভিডিও

সূত্র:

2019 সালে পা এবং কর্ণ কি?

নির্দেশ

সংশ্লিষ্ট ভিডিও

বিঃদ্রঃ

একটি সমকোণী ত্রিভুজের বাহু গণনা করার সময়, এর বৈশিষ্ট্যগুলির জ্ঞান খেলতে পারে:
1) যদি একটি সমকোণের পা 30 ডিগ্রি কোণের বিপরীতে থাকে, তবে এটি কর্ণের অর্ধেক সমান;
2) কর্ণ সর্বদা যেকোনো পায়ের চেয়ে লম্বা হয়;
3) যদি একটি বৃত্তকে একটি সমকোণী ত্রিভুজের চারপাশে ঘেরা হয়, তবে এর কেন্দ্র অবশ্যই কর্ণের মাঝখানে অবস্থিত হবে।

নির্দেশ

আসুন জেনে নিই একটি পা এবং এর সংলগ্ন কোণ। সুনির্দিষ্টতার জন্য, এটি পা হতে দিন |AB| এবং কোণ α। তারপর আমরা সূত্র ব্যবহার করতে পারেন ত্রিকোণমিতিক কোসাইনসংলগ্ন পায়ের অনুপাতের কোসাইন। সেগুলো. আমাদের স্বরলিপিতে cos α = |AB| / |AC| এখান থেকে আমরা কর্ণের দৈর্ঘ্য পাই |AC| = |AB| / cosα।
যদি আমরা পা জানি |BC| এবং কোণ α, তারপরে আমরা কোণের সাইন গণনার জন্য সূত্রটি ব্যবহার করি - কোণের সাইন বিপরীত পায়ের অনুপাতের অনুপাতের সমান: sin α = |BC| / |AC| আমরা পাই যে কর্ণের দৈর্ঘ্য |AC| হিসাবে পাওয়া যায় = |BC| / cosα।

স্পষ্টতার জন্য, একটি উদাহরণ বিবেচনা করুন। পায়ের দৈর্ঘ্য ধরা যাক |AB| = 15. এবং কোণ α = 60°। আমরা পাই |AC| = 15 / cos 60° = 15 / 0.5 = 30।
পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য ব্যবহার করে আপনি কীভাবে আপনার ফলাফল পরীক্ষা করতে পারেন তা বিবেচনা করুন। এটি করার জন্য, আমাদের দ্বিতীয় পায়ের দৈর্ঘ্য গণনা করতে হবে |BC|। tg α = |BC| কোণের স্পর্শকের সূত্র ব্যবহার করে / |AC|, আমরা পাই |BC| = |AB| * tg α = 15 * tg 60° = 15 * √3। এর পরে, আমরা পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্য প্রয়োগ করি, আমরা পাই 15^2 + (15 * √3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900। যাচাই করা হয়।

কার্যকারী উপদেশ

কর্ণের গণনা করার পরে, ফলাফলের মানটি পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যকে সন্তুষ্ট করে কিনা তা পরীক্ষা করুন।

সূত্র:

1 থেকে 10000 পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যার সারণী

পাগুলোএকটি সমকোণী ত্রিভুজের দুটি ছোট বাহুর নাম দিন যা এর শীর্ষবিন্দু তৈরি করে, যার মান 90°। এই ধরনের ত্রিভুজের তৃতীয় বাহুকে বলা হয় কর্ণ। ত্রিভুজের এই সমস্ত বাহু এবং কোণগুলি নির্দিষ্ট সম্পর্কের দ্বারা আন্তঃসংযুক্ত যা আপনাকে পায়ের দৈর্ঘ্য গণনা করতে দেয় যদি আরও কয়েকটি পরামিতি জানা থাকে।

নির্দেশ

যদি আপনি সমকোণী ত্রিভুজের অন্য দুটি বাহুর (B এবং C) দৈর্ঘ্য জানেন তবে পায়ের (A) জন্য পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যটি ব্যবহার করুন। এই উপপাদ্যটি বলে যে পায়ের বর্গক্ষেত্রের দৈর্ঘ্যের যোগফল কর্ণের বর্গক্ষেত্রের সমান। এটি থেকে এটি অনুসরণ করে যে প্রতিটি পায়ের দৈর্ঘ্য কর্ণের দৈর্ঘ্যের বর্গমূলের সমান এবং দ্বিতীয় পা: A=√(C²-B²)।

একটি তীব্র কোণের জন্য সরাসরি ত্রিকোণমিতিক ফাংশন "সাইন" এর সংজ্ঞাটি ব্যবহার করুন, যদি আপনি গণনাকৃত পায়ের বিপরীত কোণের মান (α) এবং কর্ণের (C) দৈর্ঘ্য জানেন। এটি বলে যে এই পরিচিত সাইনটি কাঙ্ক্ষিত পায়ের দৈর্ঘ্যের সাথে কর্ণের দৈর্ঘ্যের অনুপাত। এটি হল কাঙ্ক্ষিত পায়ের দৈর্ঘ্য কর্ণের দৈর্ঘ্য এবং পরিচিত কোণের সাইনের গুণফলের সমান: A=C∗sin(α)। একই পরিচিত পরিমাণের জন্য, আপনি cosecant ব্যবহার করতে পারেন এবং গণনা করতে পারেন পছন্দসই দৈর্ঘ্য, পরিচিত কোণ A=C/cosec(α) এর cosecant দ্বারা কর্ণের দৈর্ঘ্যকে ভাগ করে।

প্রত্যক্ষ ত্রিকোণমিতিক কোসাইন ফাংশনের সংজ্ঞা ব্যবহার করুন যদি, কর্ণের দৈর্ঘ্য (C) ছাড়াও, প্রয়োজনীয় একটি সংলগ্ন তীব্র কোণ (β) এর মানও জানা যায়। এই কোণের কোসাইন হল কাঙ্ক্ষিত পা এবং কর্ণের দৈর্ঘ্যের অনুপাত এবং এর থেকে আমরা উপসংহারে আসতে পারি যে পায়ের দৈর্ঘ্য কর্ণের দৈর্ঘ্য এবং পরিচিত কোণের কোসাইন গুণফলের সমান: A=C∗cos(β)। আপনি সেক্যান্ট ফাংশনের সংজ্ঞা ব্যবহার করতে পারেন এবং গণনা করতে পারেন পছন্দসই মান, পরিচিত কোণ A=C/sec(β) এর সেক্যান্ট দ্বারা কর্ণের দৈর্ঘ্যকে ভাগ করে।

ত্রিকোণমিতিক ফাংশন ট্যানজেন্টের ডেরিভেটিভের জন্য অনুরূপ সংজ্ঞা থেকে প্রয়োজনীয় সূত্রটি বের করুন, যদি, কাঙ্ক্ষিত পায়ের (A) বিপরীতে থাকা তীব্র কোণের (α) মান ছাড়াও, দ্বিতীয় পায়ের দৈর্ঘ্য (B) হয় পরিচিত কাঙ্ক্ষিত পায়ের বিপরীত কোণের স্পর্শক হল এই পায়ের দৈর্ঘ্যের সাথে দ্বিতীয় পায়ের দৈর্ঘ্যের অনুপাত। অতএব, কাঙ্ক্ষিত মানটি দৈর্ঘ্যের গুণফলের সমান হবে বিখ্যাত পাএকটি পরিচিত কোণের স্পর্শক: A=B∗tg(α)। এই একই পরিচিত পরিমাণ থেকে, কোট্যাঞ্জেন্ট ফাংশনের সংজ্ঞা ব্যবহার করে আরেকটি সূত্র বের করা যেতে পারে। এই ক্ষেত্রে, পায়ের দৈর্ঘ্য গণনা করার জন্য, পরিচিত কোণের কোট্যাঞ্জেন্টের সাথে পরিচিত পায়ের দৈর্ঘ্যের অনুপাত খুঁজে বের করতে হবে: A=B/ctg(α)।

সংশ্লিষ্ট ভিডিও

"কেটেট" শব্দটি গ্রীক থেকে রাশিয়ান ভাষায় এসেছে। সঠিক অনুবাদে, এর অর্থ হল একটি প্লাম্ব লাইন, যা পৃথিবীর পৃষ্ঠের লম্ব। গণিতে, পাগুলিকে বাহু বলা হয় যা একটি সমকোণ ত্রিভুজের সমকোণ গঠন করে। এই কোণের বিপরীত দিকটিকে হাইপোটেনাস বলে। "লেগ" শব্দটি স্থাপত্য এবং ঢালাই প্রযুক্তিতেও ব্যবহৃত হয়।

সংশ্লিষ্ট ভিডিও

সূত্র:

2019 সালে পা এবং কর্ণ কি?

জ্যামিতি একটি সহজ বিজ্ঞান নয়। এটি স্কুলের পাঠ্যক্রম এবং মধ্যে উভয় ক্ষেত্রেই উপযোগী হতে পারে বাস্তব জীবন. অনেক সূত্র এবং উপপাদ্যের জ্ঞান জ্যামিতিক গণনাকে সহজ করবে। জ্যামিতির সহজতম আকারগুলির মধ্যে একটি হল ত্রিভুজ। ত্রিভুজগুলির একটি, সমবাহু, এর নিজস্ব বৈশিষ্ট্য রয়েছে।

একটি সমবাহু ত্রিভুজের বৈশিষ্ট্য

সংজ্ঞা অনুসারে, একটি ত্রিভুজ হল একটি পলিহেড্রন যার তিনটি কোণ এবং তিনটি বাহু রয়েছে। এটি একটি সমতল দ্বি-মাত্রিক চিত্র, এর বৈশিষ্ট্যগুলি অধ্যয়ন করা হয় উচ্চ বিদ্যালয. কোণের ধরন অনুসারে, তীব্র-কোণ, স্থূল-কোণ এবং সমকোণী ত্রিভুজ আলাদা করা হয়। একটি সমকোণী ত্রিভুজ জ্যামিতিক চিত্রযেখানে একটি কোণ 90º। এই জাতীয় ত্রিভুজের দুটি পা রয়েছে (তারা একটি সমকোণ তৈরি করে), এবং একটি কর্ণ (এটি সমকোণের বিপরীত)। কি পরিমাণ পরিচিত তার উপর নির্ভর করে, তিনটি আছে সহজ উপায়েসমকোণী ত্রিভুজের কর্ণ গণনা কর।

প্রথম উপায় হল একটি সমকোণী ত্রিভুজের কর্ণ খুঁজে বের করা। পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য

সমকোণী ত্রিভুজের যে কোনো বাহু গণনা করার সবচেয়ে প্রাচীন উপায় হল পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য। এটি এইরকম শোনাচ্ছে: "একটি সমকোণী ত্রিভুজে, কর্ণের বর্গটি পায়ের বর্গক্ষেত্রের সমষ্টির সমান।" এইভাবে, কর্ণ গণনা করার জন্য, একজনকে অবশ্যই দুই পায়ের বর্গক্ষেত্রের সমষ্টির বর্গমূল বের করতে হবে। স্পষ্টতার জন্য, সূত্র এবং একটি ডায়াগ্রাম দেওয়া হয়।

দ্বিতীয় উপায়। 2টি পরিচিত মান ব্যবহার করে কর্ণের গণনা: পা এবং সন্নিহিত কোণ

সমকোণী ত্রিভুজের একটি বৈশিষ্ট্য বলে যে পায়ের দৈর্ঘ্যের সাথে কর্ণের দৈর্ঘ্যের অনুপাত এই পা এবং কর্ণের মধ্যবর্তী কোণের কোসাইনটির সমতুল্য। আসুন আমাদের পরিচিত কোণটিকে α বলি। এখন, সুপরিচিত সংজ্ঞার জন্য ধন্যবাদ, আমরা সহজেই কর্ণ গণনার সূত্রটি তৈরি করতে পারি: হাইপোটেনাস = লেগ / কস (α)

তৃতীয় উপায়। 2টি পরিচিত মান ব্যবহার করে কর্ণ গণনা করা হচ্ছে: পা এবং বিপরীত কোণ

বিপরীত কোণ জানা থাকলে, আবার সমকোণী ত্রিভুজের বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করা সম্ভব। পা এবং কর্ণের দৈর্ঘ্যের অনুপাত বিপরীত কোণের সাইনের সমান। আসুন পরিচিত কোণটিকে আবার α বলি। এখন গণনার জন্য আমরা একটি সামান্য ভিন্ন সূত্র প্রয়োগ করি:
হাইপোটেনাস = পা/পাপ (α)

সূত্র বুঝতে সাহায্য করার জন্য উদাহরণ

প্রতিটি সূত্র গভীরভাবে বোঝার জন্য, আপনার বিবেচনা করা উচিত দৃষ্টান্তমূলক উদাহরণ. সুতরাং, ধরুন একটি সমকোণী ত্রিভুজ দেওয়া হয়েছে, যেখানে এই জাতীয় ডেটা রয়েছে:

পা - 8 সেমি।
পার্শ্ববর্তী কোণ cosα1 হল 0.8।
বিপরীত কোণ sinα2 হল 0.8।

পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য অনুসারে: হাইপোটেনাস \u003d বর্গমূল (36 + 64) \u003d 10 সেমি।
পায়ের আকার এবং অন্তর্ভুক্ত কোণ দ্বারা: 8 / 0.8 \u003d 10 সেমি।
পায়ের আকার এবং বিপরীত কোণ দ্বারা: 8 / 0.8 \u003d 10 সেমি।

সূত্রটি বোঝার পরে, আপনি সহজেই যে কোনও ডেটা দিয়ে কর্ণ গণনা করতে পারেন।

ভিডিও: পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য