মূলদ এবং অমূলদ সংখ্যা উদাহরণ কি. মূলদ এবং অমূলদ সংখ্যা কি?

- π

এইভাবে, ir এর সেট মূলদ সংখ্যাপার্থক্য আছে I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \backslash \mathbb (Q) )বাস্তব এবং মূলদ সংখ্যার সেট।

অমূলদ সংখ্যার অস্তিত্ব, আরও সুনির্দিষ্টভাবে যে অংশগুলি একক দৈর্ঘ্যের একটি অংশের সাথে অতুলনীয়, তা ইতিমধ্যেই প্রাচীন গণিতবিদদের কাছে পরিচিত ছিল: তারা জানতেন, উদাহরণস্বরূপ, তির্যক এবং বর্গক্ষেত্রের অসামঞ্জস্যতা, যা অযৌক্তিকতার সমতুল্য। সংখ্যার 2 (\displaystyle (\sqrt (2))).

বৈশিষ্ট্য

• দুটি ধনাত্মক অমূলদ সংখ্যার যোগফল একটি মূলদ সংখ্যা হতে পারে।
• অমূলদ সংখ্যামূলদ সংখ্যার সেটে Dedekind বিভাগগুলিকে সংজ্ঞায়িত করুন যেগুলির নীচের শ্রেণীতে কোন বৃহত্তম সংখ্যা নেই এবং উপরেরটিতে সবচেয়ে ছোট সংখ্যা নেই।
• অমূলদ সংখ্যার সেটটি সংখ্যারেখার সর্বত্র ঘন থাকে: যেকোনো দুটির মধ্যে বিভিন্ন সংখ্যাএকটি অমূলদ সংখ্যা আছে।
• অমূলদ সংখ্যার সেটের ক্রমটি বাস্তব ট্রান্সসেন্ডেন্টাল সংখ্যার সেটের ক্রম থেকে আইসোমরফিক। [ ]

বীজগাণিতিক এবং অতিক্রান্ত সংখ্যা

প্রতিটি অমূলদ সংখ্যা বীজগাণিতিক বা অতিক্রান্ত। বীজগণিত সংখ্যার সেট একটি গণনাযোগ্য সেট। যেহেতু বাস্তব সংখ্যার সেটটি গণনাযোগ্য নয়, তাই অমূলদ সংখ্যার সেটটি গণনাযোগ্য নয়।

অমূলদ সংখ্যার সেটটি দ্বিতীয় শ্রেণীর একটি সেট।

অনুমিত সমতা বর্গ করা যাক:

2 = m n ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\displaystyle (\sqrt (2))=(\frac (m)(n))\Rightarrow 2=(\frac (m^(2) ))(n^(2))\Rightarrow m^(2)=2n^(2)).

গল্প

প্রাচীনত্ব

অমূলদ সংখ্যার ধারণাটি ভারতীয় গণিতবিদরা 7ম শতাব্দীতে খ্রিস্টপূর্বাব্দে গৃহীত হয়েছিল, যখন মানাওয়া (আনুমানিক 750-690 খ্রিস্টপূর্বাব্দ) আবিষ্কার করেছিল যে বর্গমূলকিছু প্রাকৃতিক সংখ্যা, যেমন 2 এবং 61, স্পষ্টভাবে প্রকাশ করা যাবে না [ ] .

অযৌক্তিক সংখ্যার অস্তিত্বের প্রথম প্রমাণ, বা বরং অসংলগ্ন অংশগুলির অস্তিত্ব, সাধারণত মেটাপোন্টাসের পিথাগোরিয়ান হিপ্পাসাস (সিএ 470 খ্রিস্টপূর্ব) কে দায়ী করা হয়। পিথাগোরিয়ানদের সময়ে, এটি বিশ্বাস করা হত যে দৈর্ঘ্যের একটি একক রয়েছে, যথেষ্ট ছোট এবং অবিভাজ্য, যেটি যেকোন অংশে অন্তর্ভুক্ত বারগুলির পূর্ণসংখ্যা। ] .

হিপ্পাসাস কোন সংখ্যার অযৌক্তিকতা প্রমাণ করেছিলেন তার কোনও সঠিক তথ্য নেই। কিংবদন্তি অনুসারে, তিনি পেন্টাগ্রামের পাশের দৈর্ঘ্য অধ্যয়ন করার সময় এটি খুঁজে পেয়েছিলেন। অতএব, এটা ধরে নেওয়া যুক্তিসঙ্গত যে এটি ছিল সোনালী অনুপাত, যেহেতু এটি একটি নিয়মিত পঞ্চভুজের পাশের তির্যকের অনুপাত।

গ্রীক গণিতবিদরা এই অনুপাতকে অতুলনীয় রাশি বলে alogos(অব্যক্তযোগ্য), কিন্তু কিংবদন্তি অনুসারে, হিপ্পাসাসকে যথাযথ সম্মান দেওয়া হয়নি। একটি কিংবদন্তি আছে যে হিপ্পাসাস সমুদ্র যাত্রার সময় আবিষ্কার করেছিলেন এবং অন্যান্য পিথাগোরিয়ানদের দ্বারা "মহাবিশ্বের একটি উপাদান তৈরি করার জন্য জাহাজে নিক্ষেপ করা হয়েছিল, যা এই মতবাদকে অস্বীকার করে যে মহাবিশ্বের সমস্ত সত্তা পূর্ণ সংখ্যা এবং তাদের অনুপাতগুলিতে হ্রাস করা যেতে পারে। " হিপ্পাসের আবিষ্কার পিথাগোরিয়ান গণিতের আগে গুরুতর সমস্যা, সংখ্যা এবং জ্যামিতিক বস্তু এক এবং অবিচ্ছেদ্য সমগ্র তত্ত্বের অন্তর্নিহিত অনুমানকে ধ্বংস করে।

পরবর্তীতে, সিনিডাসের ইউডক্সাস (410 বা 408 খ্রিস্টপূর্ব - 355 বা 347 খ্রিস্টপূর্ব) অনুপাতের একটি তত্ত্ব তৈরি করেছিলেন যা যৌক্তিক এবং অযৌক্তিক সম্পর্ক উভয়কেই বিবেচনা করে। এটি অমূলদ সংখ্যার মৌলিক সারাংশ বোঝার ভিত্তি হিসাবে কাজ করেছিল। মানটিকে সংখ্যা হিসাবে নয়, বরং সত্তার উপাধি হিসাবে বিবেচনা করা শুরু হয়েছিল, যেমন লাইন বিভাগ, কোণ, ক্ষেত্রফল, আয়তন, সময়ের ব্যবধান - সত্তা যা ক্রমাগত পরিবর্তিত হতে পারে (শব্দের আধুনিক অর্থে)। মানগুলি সংখ্যার বিরোধী ছিল, যা শুধুমাত্র একটি সংখ্যা থেকে অন্য সংখ্যায় "জাম্পিং" দ্বারা পরিবর্তিত হতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, 4 থেকে 5 পর্যন্ত। সংখ্যাগুলি ক্ষুদ্রতম অবিভাজ্য মান দ্বারা গঠিত, যখন পরিমাণগুলি অনির্দিষ্টকালের জন্য হ্রাস করা যেতে পারে।

যেহেতু কোন পরিমাণগত মান একটি মাত্রার সাথে তুলনা করা হয়নি, তাই ইউডক্সাস একটি ভগ্নাংশকে দুটি পরিমাণের অনুপাত হিসাবে এবং দুটি ভগ্নাংশের সমতা হিসাবে অনুপাতকে সংজ্ঞায়িত করে সমানযোগ্য এবং অপূরণীয় উভয় মাত্রাকে কভার করতে সক্ষম হয়েছিল। সমীকরণ থেকে পরিমাণগত মান (সংখ্যা) অপসারণ করে, তিনি একটি অযৌক্তিক পরিমাণকে একটি সংখ্যা বলার ফাঁদ এড়ালেন। ইউডোক্সাসের তত্ত্ব গ্রীক গণিতবিদদের জ্যামিতিতে অবিশ্বাস্য অগ্রগতি করার অনুমতি দেয়, তাদের অতুলনীয় পরিমাণের সাথে কাজ করার জন্য প্রয়োজনীয় যুক্তি প্রদান করে। ইউক্লিডের "বিগিনিংস" এর দশম বইটি অযৌক্তিক পরিমাণের শ্রেণীবিভাগের জন্য উত্সর্গীকৃত।

মধ্যবয়সী

মধ্যযুগকে শূন্য, ঋণাত্মক সংখ্যা, পূর্ণসংখ্যা এবং ভগ্নাংশ সংখ্যার মত ধারণা গ্রহণের মাধ্যমে চিহ্নিত করা হয়েছিল, প্রথমে ভারতীয়, তারপর চীনা গণিতবিদদের দ্বারা। পরবর্তীতে, আরব গণিতবিদরা যোগদান করেন, যারা প্রথম ঋণাত্মক সংখ্যাকে বীজগণিত বস্তু হিসাবে বিবেচনা করেছিলেন (ধনাত্মক সংখ্যার সাথে সমান অধিকার সহ), যা এখন বীজগণিত নামে পরিচিত শৃঙ্খলার বিকাশের অনুমতি দেয়।

আরব গণিতবিদরা "সংখ্যা" এবং "মান" এর প্রাচীন গ্রীক ধারণাগুলিকে একক, আরও সাধারণ ধারণাবাস্তব সংখ্যার. তারা সম্পর্ক সম্পর্কে ইউক্লিডের ধারণার সমালোচনা করেছিল, এর বিপরীতে, তারা নির্বিচারে পরিমাণের সম্পর্কের তত্ত্ব তৈরি করেছিল এবং সংখ্যার ধারণাটিকে অবিচ্ছিন্ন পরিমাণের সম্পর্কের ক্ষেত্রে প্রসারিত করেছিল। ইউক্লিডস এলিমেন্টসের বই 10-এ তার ভাষ্যগুলিতে, পারস্যের গণিতবিদ আল মাহানি (আনুমানিক 800 খ্রিস্টাব্দ) দ্বিঘাত অমূলদ সংখ্যা (ফর্মের সংখ্যা) এবং আরও সাধারণ কিউবিক অমূলদ সংখ্যাগুলি অনুসন্ধান এবং শ্রেণীবদ্ধ করেছেন। তিনি অমূলদ এবং অমূলদ পরিমাণের একটি সংজ্ঞা দিয়েছেন, যাকে তিনি অমূলদ সংখ্যা বলেছেন। তিনি সহজেই এই বস্তুগুলি পরিচালনা করতেন, কিন্তু তিনি পৃথক বস্তু হিসাবে যুক্তি দিয়েছেন, উদাহরণস্বরূপ:

ইউক্লিডের ধারণার বিপরীতে যে পরিমাণগুলি প্রাথমিকভাবে রেখার অংশ, আল মাহানি পূর্ণসংখ্যা এবং ভগ্নাংশগুলিকে যুক্তিসঙ্গত পরিমাণ এবং বর্গ এবং ঘনমূলগুলিকে অযৌক্তিক বলে মনে করেন। তিনি অমূলদ সংখ্যার সেটের জন্য একটি গাণিতিক পদ্ধতিরও প্রবর্তন করেছিলেন, যেহেতু তিনিই নিম্নলিখিত পরিমাণের অযৌক্তিকতা দেখিয়েছিলেন:

মিশরীয় গণিতবিদ আবু কামিল (আনুমানিক 850 CE - 930 CE) সর্বপ্রথম অমূলদ সংখ্যাকে সমাধান হিসাবে গ্রহণ করা গ্রহণযোগ্য বলে মনে করেন। দ্বিঘাত সমীকরণবা সমীকরণে সহগ - প্রধানত বর্গক্ষেত্র বা ঘনমূলের পাশাপাশি চতুর্থ মূলের আকারে। 10 শতকে, ইরাকি গণিতবিদ আল হাশিমি পণ্যের অযৌক্তিকতা, ভাগফল এবং অমূলদ ও মূলদ সংখ্যার অন্যান্য গাণিতিক রূপান্তরের ফলাফলের সাধারণ প্রমাণ (দৃষ্টিগত জ্যামিতিক প্রদর্শনের পরিবর্তে) প্রদান করেছিলেন। আল খাজিন (900 CE - 971 CE) মূলদ এবং অযৌক্তিক পরিমাণের নিম্নলিখিত সংজ্ঞা দেয়:

একটি একক মান একটি প্রদত্ত মান এক বা একাধিক বার ধারণ করা যাক, তারপর এই [প্রদত্ত] মান একটি পূর্ণসংখ্যার সাথে মিলে যায় ... প্রতিটি মান যা অর্ধেক, বা তৃতীয়, বা একক মানের এক চতুর্থাংশ, বা, এর সাথে তুলনা করে একটি একক মান, এটির তিন পঞ্চমাংশ, এই যুক্তিসঙ্গত মান। এবং সাধারণভাবে, যেকোন রাশি যা এককের সাথে একটি সংখ্যা হিসাবে অন্য সংখ্যার সাথে সম্পর্কিত, তা মূলদ। যদি মানটিকে একাধিক বা অংশ (l / n), বা একক দৈর্ঘ্যের বেশ কয়েকটি অংশ (m / n) হিসাবে উপস্থাপন করা না যায় তবে এটি অযৌক্তিক, অর্থাৎ, মূলের সাহায্য ছাড়া বর্ণনা করা যায় না।

12 শতকে ল্যাটিন ভাষায় আরবি পাঠ্যের অনুবাদের পরে এই ধারণাগুলির অনেকগুলিই ইউরোপীয় গণিতবিদরা গ্রহণ করেছিলেন। আল হাসার, মাগরেবের একজন আরব গণিতবিদ যিনি ইসলামিক উত্তরাধিকার আইনে বিশেষজ্ঞ ছিলেন, 12 শতকে ভগ্নাংশের জন্য আধুনিক প্রতীকী গাণিতিক স্বরলিপি প্রবর্তন করেন, একটি অনুভূমিক দণ্ড দিয়ে লব এবং হরকে আলাদা করে। একই স্বরলিপি তখন ত্রয়োদশ শতাব্দীতে ফিবোনাচির রচনায় আবির্ভূত হয়। XIV-XVI শতাব্দীর সময়। সঙ্গমগ্রামের মাধব এবং কেরালা স্কুল অফ অ্যাস্ট্রোনমি অ্যান্ড ম্যাথমেটিক্সের প্রতিনিধিরা গবেষণা করেছেন অন্তহীন সারি, কিছু অমূলদ সংখ্যার সাথে রূপান্তর করা, উদাহরণস্বরূপ, π-তে, এবং কিছুর অযৌক্তিকতাও দেখায় ত্রিকোণমিতিক ফাংশন. জেষ্টদেব এই ফলাফলগুলি "যুক্তিভাজা" বইয়ে জানিয়েছেন। (অতিরিক্ত সংখ্যার অস্তিত্ব প্রমাণ করার সময়), যার ফলে অমূলদ সংখ্যার শ্রেণীবিভাগের উপর ইউক্লিডের কাজ পুনর্বিবেচনা করা হয়। এই বিষয়ে, কাজগুলি 1872 সালে প্রকাশিত হয়েছিল

অবিরত ভগ্নাংশ, অমূলদ সংখ্যার সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত (একটি প্রদত্ত সংখ্যার প্রতিনিধিত্ব করে অবিরত ভগ্নাংশটি অসীম হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি সংখ্যাটি অযৌক্তিক হয়), 1613 সালে ক্যাটালডি দ্বারা প্রথম তদন্ত করা হয়েছিল, তারপর আবার অয়লারের কাজে মনোযোগ আকর্ষণ করেছিল এবং XIX এর প্রথম দিকেশতাব্দী - ল্যাগ্রেঞ্জের কাজে। ডিরিচলেট ক্রমাগত ভগ্নাংশের তত্ত্বের বিকাশেও গুরুত্বপূর্ণ অবদান রেখেছিলেন। 1761 সালে, ল্যামবার্ট ক্রমাগত ভগ্নাংশ ব্যবহার করে দেখিয়েছিলেন যে π (\displaystyle \pi)একটি মূলদ সংখ্যা নয়, এবং এটিও e x (\displaystyle e^(x))এবং tg ⁡ x (\displaystyle \operatorname (tg) x)যেকোন অশূন্য যৌক্তিক জন্য অযৌক্তিক x (\displaystyle x). যদিও ল্যামবার্টের প্রমাণকে অসম্পূর্ণ বলা যেতে পারে, তবে এটি সাধারণত বেশ কঠোর বলে মনে করা হয়, বিশেষ করে এটি লেখার সময় দেওয়া। 1794 সালে কিংবদন্তি, বেসেল-ক্লিফোর্ড ফাংশন প্রবর্তনের পরে, দেখিয়েছিলেন যে π 2 (\displaystyle \pi ^(2))অযৌক্তিক, যেখান থেকে অযৌক্তিকতা π (\displaystyle \pi)তুচ্ছভাবে অনুসরণ করে (একটি মূলদ সংখ্যার বর্গ একটি মূলদ সংখ্যা দেবে)।

1844-1851 সালে লিউভিল দ্বারা অতিক্রান্ত সংখ্যার অস্তিত্ব প্রমাণিত হয়েছিল। পরবর্তীতে Georg Cantor (1873) একটি ভিন্ন পদ্ধতি ব্যবহার করে তাদের অস্তিত্ব দেখান এবং প্রমাণ করেন যে বাস্তব সিরিজের যেকোনো ব্যবধানে অসীমভাবে অনেক ট্রান্সেন্ডেন্টাল সংখ্যা থাকে। চার্লস হারমাইট 1873 সালে এটি প্রমাণ করেছিলেন eএই ফলাফলের উপর ভিত্তি করে 1882 সালে ফার্দিনান্দ লিন্ডেমান ট্রান্সসেন্ডেন্ট, এবং ফার্ডিনান্ড লিন্ডেম্যান ট্রান্সসেন্ডেন্স দেখিয়েছিলেন π (\displaystyle \pi) সাহিত্য

গাণিতিক ধারণার বিমূর্ততা থেকে, কখনও কখনও এটি বিচ্ছিন্নতার সাথে এতটা শ্বাস নেয় যে অনিচ্ছাকৃতভাবে এই চিন্তার উদ্ভব হয়: "এটি কীসের জন্য?"। কিন্তু, প্রথম ছাপ থাকা সত্ত্বেও, সমস্ত উপপাদ্য, গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ, ফাংশন ইত্যাদি। - জরুরী চাহিদা মেটানোর ইচ্ছা ছাড়া আর কিছুই নয়। এটি বিভিন্ন সেটের উপস্থিতির উদাহরণে বিশেষভাবে স্পষ্টভাবে দেখা যায়।

এটি সমস্ত প্রাকৃতিক সংখ্যার আবির্ভাবের সাথে শুরু হয়েছিল। এবং, যদিও এটি অসম্ভাব্য যে এখন কেউ উত্তর দিতে সক্ষম হবেন যে এটি ঠিক কীভাবে ছিল, তবে সম্ভবত, বিজ্ঞানের রানীর পা গুহার কোথাও থেকে বেড়েছে। এখানে, চামড়া, পাথর এবং উপজাতির সংখ্যা বিশ্লেষণ করে, একজন ব্যক্তির প্রচুর "গণনা করার সংখ্যা" রয়েছে। আর এটাই তার জন্য যথেষ্ট ছিল। কিছু বিন্দু পর্যন্ত, অবশ্যই.

তারপরে চামড়া এবং পাথর ভাগ করে নেওয়া দরকার ছিল। সুতরাং গাণিতিক ক্রিয়াকলাপগুলির প্রয়োজন ছিল এবং তাদের সাথে যুক্তিযুক্তগুলি, যা m/n টাইপের ভগ্নাংশ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে, যেখানে, উদাহরণস্বরূপ, m হল স্কিনগুলির সংখ্যা, n হল উপজাতির সংখ্যা।

দেখে মনে হবে যে ইতিমধ্যে আবিষ্কৃত গাণিতিক যন্ত্রপাতি জীবন উপভোগ করার জন্য যথেষ্ট। কিন্তু শীঘ্রই দেখা গেল যে এমন কিছু ঘটনা রয়েছে যেখানে ফলাফল এমন কিছু নয় যা একটি পূর্ণসংখ্যা নয়, এমনকি একটি ভগ্নাংশও নয়! এবং, প্রকৃতপক্ষে, লব এবং হর ব্যবহার করে দুটির বর্গমূল অন্য কোনো উপায়ে প্রকাশ করা যায় না। অথবা, উদাহরণস্বরূপ, প্রাচীন গ্রীক বিজ্ঞানী আর্কিমিডিস দ্বারা আবিষ্কৃত সুপরিচিত সংখ্যা Pi, এটিও যুক্তিযুক্ত নয়। এবং সময়ের সাথে সাথে, এমন অনেকগুলি আবিষ্কার হয়েছিল যে সমস্ত সংখ্যা যা "যুক্তিকরণ" এর পক্ষে উপযুক্ত ছিল না তাদের একত্রিত করা হয়েছিল এবং অযৌক্তিক বলা হয়েছিল।

বৈশিষ্ট্য

আগে বিবেচনা করা সেটগুলি গণিতের মৌলিক ধারণাগুলির সেটের অন্তর্গত। এর মানে হল যে তারা সহজ গাণিতিক বস্তুর মাধ্যমে সংজ্ঞায়িত করা যাবে না। তবে এটি বিভাগগুলির সাহায্যে করা যেতে পারে (গ্রীক "বিবৃতি" থেকে) বা পোস্টুলেট। এই ক্ষেত্রে, এই সেটগুলির বৈশিষ্ট্যগুলিকে মনোনীত করা ভাল ছিল।

o অমূলদ সংখ্যাগুলি মূলদ সংখ্যাগুলির সেটে Dedekind বিভাগগুলিকে সংজ্ঞায়িত করে যেগুলির নীচে কোনও বৃহত্তম সংখ্যা নেই এবং শীর্ষে কোনও ছোট সংখ্যা নেই।

o প্রতিটি অতীন্দ্রিয় সংখ্যা অমূলদ।

o প্রতিটি অমূলদ সংখ্যা বীজগণিত বা অতিক্রান্ত।

o সংখ্যার সেটটি বাস্তব রেখায় সর্বত্র ঘন থাকে: যে কোনোটির মধ্যে একটি অমূলদ সংখ্যা থাকে।

o সেটটি অগণিত, এটি দ্বিতীয় বেয়ার বিভাগের একটি সেট।

o এই সেটটি অর্ডার করা হয়েছে, অর্থাৎ, প্রতিটি দুটি ভিন্ন মূলদ সংখ্যা a এবং b এর জন্য, আপনি নির্দেশ করতে পারেন যে তাদের মধ্যে কোনটি অন্যটির থেকে কম।
o প্রতি দুটি ভিন্ন মূলদ সংখ্যার মধ্যে অন্তত আরও একটি থাকে, এবং তাই মূলদ সংখ্যার একটি অসীম সেট।

o যেকোনো দুটি মূলদ সংখ্যার পাটিগণিত ক্রিয়াকলাপ (যোগ, গুণ এবং ভাগ) সর্বদা সম্ভব এবং এর ফলে একটি নির্দিষ্ট মূলদ সংখ্যা হয়। একটি ব্যতিক্রম হল শূন্য দ্বারা বিভাজন, যা অসম্ভব।

o প্রতিটি মূলদ সংখ্যা হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে দশমিক ভগ্নাংশ(সসীম বা অসীম পর্যায়ক্রমিক)।

একক দৈর্ঘ্যের একটি অংশের সাথে, প্রাচীন গণিতবিদরা ইতিমধ্যেই জানতেন: তারা জানতেন, উদাহরণস্বরূপ, তির্যক এবং বর্গের পাশের অসামঞ্জস্যতা, যা সংখ্যার অযৌক্তিকতার সমতুল্য।

অযৌক্তিক হল:

অযৌক্তিকতা প্রমাণ উদাহরণ

2 এর মূল

বিপরীতটি অনুমান করুন: এটি যুক্তিসঙ্গত, অর্থাৎ, এটি একটি অপরিবর্তনীয় ভগ্নাংশ হিসাবে উপস্থাপিত হয়, যেখানে এবং পূর্ণসংখ্যা। অনুমিত সমতা বর্গ করা যাক:

.

এটি থেকে এটি অনুসরণ করে যে এমনকি, তাই, এমনকি এবং . যাক যেখানে পুরো. তারপর

অতএব, এমনকি, তাই, এমনকি এবং . আমরা তা পেয়েছি এবং সমান, যা ভগ্নাংশের অপরিবর্তনীয়তার সাথে বিরোধিতা করে। তাই, মূল অনুমানটি ভুল ছিল এবং এটি একটি অমূলদ সংখ্যা।

3 নম্বরের বাইনারি লগারিদম

বিপরীতটি অনুমান করুন: এটি যুক্তিসঙ্গত, অর্থাৎ, এটি একটি ভগ্নাংশ হিসাবে উপস্থাপিত হয়, যেখানে এবং পূর্ণসংখ্যা। যেহেতু, এবং ইতিবাচক নেওয়া যেতে পারে। তারপর

কিন্তু এটা পরিষ্কার, এটা অদ্ভুত. আমরা একটি দ্বন্দ্ব পেতে.

e

গল্প

অমূলদ সংখ্যার ধারণাটি খ্রিস্টপূর্ব 7 ​​ম শতাব্দীতে ভারতীয় গণিতবিদদের দ্বারা স্পষ্টভাবে গৃহীত হয়েছিল, যখন মানাওয়া (সি. 750 খ্রিস্টপূর্ব - সি. 690 খ্রিস্টপূর্ব) আবিষ্কার করেছিল যে কিছু প্রাকৃতিক সংখ্যার বর্গমূল যেমন 2 এবং 61 স্পষ্টভাবে প্রকাশ করা যায় না।

অমূলদ সংখ্যার অস্তিত্বের প্রথম প্রমাণটি সাধারণত মেটাপন্টাসের হিপ্পাসাস (সি. 500 খ্রিস্টপূর্ব) কে দায়ী করা হয়, একজন পিথাগোরিয়ান যিনি পেন্টাগ্রামের বাহুর দৈর্ঘ্য অধ্যয়ন করে এই প্রমাণটি খুঁজে পেয়েছিলেন। পিথাগোরিয়ানদের সময়ে, এটি বিশ্বাস করা হত যে দৈর্ঘ্যের একটি একক রয়েছে, যথেষ্ট ছোট এবং অবিভাজ্য, যেটি যেকোন অংশে অন্তর্ভুক্ত করা পূর্ণসংখ্যা। যাইহোক, হিপ্পাসাস যুক্তি দিয়েছিলেন যে দৈর্ঘ্যের কোন একক নেই, যেহেতু এর অস্তিত্বের অনুমান একটি দ্বন্দ্বের দিকে নিয়ে যায়। তিনি দেখিয়েছেন যে যদি একটি সমদ্বিবাহু এর কর্ণ সঠিক ত্রিভুজইউনিট সেগমেন্টের একটি পূর্ণসংখ্যা ধারণ করে, তাহলে এই সংখ্যাটি একই সময়ে জোড় এবং বিজোড় উভয়ই হতে হবে। প্রমাণ এই মত লাগছিল:

• সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের পায়ের দৈর্ঘ্যের সাথে কর্ণের দৈর্ঘ্যের অনুপাতকে এভাবে প্রকাশ করা যেতে পারে ক:খ, কোথায় কএবং খসম্ভাব্য ক্ষুদ্রতম হিসাবে নির্বাচিত।
• পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য অনুসারে: ক² = 2 খ².
• কারণ ক² এমনকি, কজোড় হতে হবে (যেহেতু একটি বিজোড় সংখ্যার বর্গ হবে বিজোড়)।
• কারন ক:খঅপরিবর্তনীয় খবিজোড় হতে হবে।
• কারণ কএমনকি, বোঝান ক = 2y.
• তারপর ক² = 4 y² = 2 খ².
• খ² = 2 y², তাই খতাহলে সমান হয় খএমন কি.
• তবে তা প্রমাণিত হয়েছে খঅস্বাভাবিক. দ্বন্দ্ব।

গ্রীক গণিতবিদরা এই অনুপাতকে অতুলনীয় রাশি বলে alogos(অব্যক্তযোগ্য), কিন্তু কিংবদন্তি অনুসারে, হিপ্পাসাসকে যথাযথ সম্মান দেওয়া হয়নি। একটি কিংবদন্তি আছে যে হিপ্পাসাস সমুদ্র যাত্রার সময় আবিষ্কার করেছিলেন এবং অন্যান্য পিথাগোরিয়ানদের দ্বারা "মহাবিশ্বের একটি উপাদান তৈরি করার জন্য জাহাজে নিক্ষেপ করা হয়েছিল, যা এই মতবাদকে অস্বীকার করে যে মহাবিশ্বের সমস্ত সত্তা পূর্ণ সংখ্যা এবং তাদের অনুপাতগুলিতে হ্রাস করা যেতে পারে। " হিপ্পাসাসের আবিষ্কারটি পিথাগোরিয়ান গণিতের জন্য একটি গুরুতর সমস্যা তৈরি করেছিল, যা সংখ্যা এবং জ্যামিতিক বস্তু এক এবং অবিচ্ছেদ্য এই পুরো তত্ত্বের অন্তর্নিহিত ধারণাটিকে ধ্বংস করে দেয়।

আরো দেখুন

মন্তব্য

সংখ্যাসূচক সিস্টেম
গণনা সেট	প্রাকৃতিক সংখ্যা () পূর্ণসংখ্যা ()

সংখ্যা বোঝা, বিশেষ করে প্রাকৃতিক সংখ্যা, প্রাচীনতম গাণিতিক "দক্ষতা"গুলির মধ্যে একটি। অনেক সভ্যতা, এমনকি আধুনিক সভ্যতাও নির্দিষ্টভাবে দায়ী রহস্যময় বৈশিষ্ট্যকারণ প্রকৃতির বর্ণনায় তাদের গুরুত্ব অনেক। যদিও আধুনিক বিজ্ঞানএবং গণিত এই "জাদু" বৈশিষ্ট্যগুলি নিশ্চিত করে না, সংখ্যা তত্ত্বের তাত্পর্য অনস্বীকার্য।

ঐতিহাসিকভাবে, অনেক প্রাকৃতিক সংখ্যা প্রথমে আবির্ভূত হয়েছিল, তারপর মোটামুটি শীঘ্রই তাদের সাথে ভগ্নাংশ এবং ধনাত্মক অমূলদ সংখ্যা যোগ করা হয়েছিল। বাস্তব সংখ্যার সেটের এই উপসেটের পরে শূন্য এবং ঋণাত্মক সংখ্যাগুলি চালু করা হয়েছিল। শেষ সেট, জটিল সংখ্যার সেট, শুধুমাত্র আধুনিক বিজ্ঞানের বিকাশের সাথে উপস্থিত হয়েছিল।

আধুনিক গণিতে, সংখ্যাগুলি ঐতিহাসিক ক্রমে প্রবর্তিত হয় না, যদিও এটির বেশ কাছাকাছি।

প্রাকৃতিক সংখ্যা $\mathbb(N)$

স্বাভাবিক সংখ্যার সেটকে প্রায়ই $\mathbb(N)=\lbrace 1,2,3,4... \rbrace $ হিসাবে চিহ্নিত করা হয় এবং $\mathbb(N)_0$ বোঝাতে প্রায়শই শূন্য দিয়ে প্যাড করা হয়।

$\mathbb(N)$ যেকোনো $a,b,c\in \mathbb(N)$-এর জন্য নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্য সহ যোগ (+) এবং গুণন ($\cdot$) ক্রিয়াকলাপকে সংজ্ঞায়িত করে:

1. $a+b\in \mathbb(N)$, $a\cdot b \in \mathbb(N)$ সেট $\mathbb(N)$ যোগ এবং গুণের অধীনে বন্ধ
2. $a+b=b+a$, $a\cdot b=b\cdot a$ পরিবর্তনশীলতা
3. $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ সহযোগীতা
4. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ বিতরণ
5. $a\cdot 1=a$ গুণের জন্য নিরপেক্ষ উপাদান

যেহেতু $\mathbb(N)$ সেটটিতে গুণের জন্য একটি নিরপেক্ষ উপাদান রয়েছে কিন্তু যোগ করার জন্য নয়, এই সেটটিতে শূন্য যোগ করা নিশ্চিত করে যে এটি যোগ করার জন্য একটি নিরপেক্ষ উপাদান অন্তর্ভুক্ত করে।

এই দুটি ক্রিয়াকলাপ ছাড়াও, $\mathbb(N)$ সেটে সম্পর্ক "এর চেয়ে কম" ($

1. $a b$ ট্রাইকোটমি
2. যদি $a\leq b$ এবং $b\leq a$, তাহলে $a=b$ একটি প্রতিসাম্য
3. যদি $a\leq b$ এবং $b\leq c$, তাহলে $a\leq c$ হয় ট্রানজিটিভ
4. যদি $a\leq b$, তাহলে $a+c\leq b+c$
5. যদি $a\leq b$, তাহলে $a\cdot c\leq b\cdot c$

পূর্ণসংখ্যা $\mathbb(Z)$

পূর্ণসংখ্যার উদাহরণ:
$1, -20, -100, 30, -40, 120...$

$a+x=b$ সমীকরণের সমাধান, যেখানে $a$ এবং $b$ পরিচিত প্রাকৃতিক সংখ্যা, এবং $x$ হল একটি অজানা প্রাকৃতিক সংখ্যা, একটি নতুন অপারেশন প্রবর্তনের প্রয়োজন - বিয়োগ(-)। যদি একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা $x$ থাকে যা এই সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে, তাহলে $x=b-a$। যাইহোক, এই নির্দিষ্ট সমীকরণের অগত্যা $\mathbb(N)$ সেটে একটি সমাধান নেই, তাই ব্যবহারিক বিবেচনার জন্য প্রাকৃতিক সংখ্যার সেটকে এমনভাবে প্রসারিত করা প্রয়োজন যাতে এই ধরনের সমীকরণের সমাধান অন্তর্ভুক্ত করা যায়। এটি পূর্ণসংখ্যার একটি সেটের প্রবর্তনের দিকে নিয়ে যায়: $\mathbb(Z)=\lbrace 0,1,-1,2,-2,3,-3...\rbrace$।

যেহেতু $\mathbb(N)\subset \mathbb(Z)$, এটি অনুমান করা যৌক্তিক যে পূর্বে চালু করা অপারেশন $+$ এবং $\cdot$ এবং সম্পর্ক $1। $0+a=a+0=a$ সংযোজনের জন্য একটি নিরপেক্ষ উপাদান বিদ্যমান
2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ $a$ এর জন্য একটি বিপরীত সংখ্যা $-a$ আছে

5. সম্পত্তি:
5. যদি $0\leq a$ এবং $0\leq b$, তাহলে $0\leq a\cdot b$

$\mathbb(Z) $ সেটটিও বিয়োগের অধীনে বন্ধ থাকে, অর্থাৎ $(\forall a,b\in \mathbb(Z))(a-b\in \mathbb(Z))$।

মূলদ সংখ্যা $\mathbb(Q)$

মূলদ সংখ্যার উদাহরণ:
$\frac(1)(2), \frac(4)(7), -\frac(5)(8), \frac(10)(20)...$

এখন $a\cdot x=b$ ফর্মের সমীকরণ বিবেচনা করুন, যেখানে $a$ এবং $b$ পরিচিত পূর্ণসংখ্যা এবং $x$ অজানা। সমাধানটি সম্ভব করার জন্য, ডিভিশন অপারেশন ($:$) চালু করা প্রয়োজন, এবং সমাধানটি $x=b:a$, অর্থাৎ $x=\frac(b)(a)$ হয়ে যায়। আবার, সমস্যা দেখা দেয় যে $x$ সর্বদা $\mathbb(Z)$ এর অন্তর্গত নয়, তাই পূর্ণসংখ্যার সেটটি অবশ্যই প্রসারিত করতে হবে। এইভাবে, আমরা $\mathbb(Q)$ এর উপাদান $\frac(p)(q)$ সহ প্রবর্তন করি, যেখানে $p\in \mathbb(Z)$ এবং $q\in \mathbb(N) $ $\mathbb(Z)$ সেট হল একটি উপসেট যার প্রতিটি উপাদান $q=1$, তাই $\mathbb(Z)\subset \mathbb(Q)$ এবং যোগ ও গুণের ক্রিয়াকলাপও এই সেটের জন্য প্রযোজ্য নিম্নলিখিত নিয়মগুলিতে, যা $\mathbb(Q)$ সেটে উপরের সমস্ত বৈশিষ্ট্যগুলিও সংরক্ষণ করে:
$\frac(p_1)(q_1)+\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1)(q_1\cdot q_2)$
$\frac(p-1)(q_1)\cdot \frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot p_2)(q_1\cdot q_2)$

বিভাগটি এইভাবে প্রবেশ করানো হয়েছে:
$\frac(p_1)(q_1):\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1)(q_1)\cdot \frac(q_2)(p_2)$

$\mathbb(Q)$ সেটে, $a\cdot x=b$ সমীকরণটিতে প্রতিটি $a\neq 0$ এর জন্য একটি অনন্য সমাধান রয়েছে (শূন্য দ্বারা কোন বিভাজন সংজ্ঞায়িত করা হয়নি)। এর মানে হল একটি বিপরীত উপাদান আছে $\frac(1)(a)$ বা $a^(-1)$:
$(\forall a\in \mathbb(Q)\setminus\lbrace 0\rbrace)(\ বিদ্যমান \frac(1)(a))(a\cdot \frac(1)(a)=\frac(1) (a)\cdot a=a)$

$\mathbb(Q)$ সেটের ক্রম এভাবে বাড়ানো যেতে পারে:
$\frac(p_1)(q_1)

$\mathbb(Q)$ সেটটিতে একটি আছে গুরুত্বপূর্ণ সম্পত্তি: যেকোনো দুটি মূলদ সংখ্যার মধ্যে অসীমভাবে অন্যান্য অনেক মূলদ সংখ্যা রয়েছে, তাই প্রাকৃতিক এবং পূর্ণসংখ্যার সেটের বিপরীতে দুটি প্রতিবেশী মূলদ সংখ্যা নেই।

অমূলদ সংখ্যা $\mathbb(I)$

অমূলদ সংখ্যার উদাহরণ:
$0.333333...$
$\sqrt(2) \ প্রায় 1.41422135...$
$\pi \ প্রায় 3.1415926535...$

যেহেতু যেকোন দুটি মূলদ সংখ্যার মধ্যে অসীমভাবে অন্যান্য অনেক মূলদ সংখ্যা রয়েছে, তাই ভুলভাবে উপসংহারে আসা সহজ যে মূলদ সংখ্যার সেটটি এত ঘন যে এটিকে আরও প্রসারিত করার প্রয়োজন নেই। এমনকি পিথাগোরাসও একবার এমন ভুল করেছিলেন। যাইহোক, মূলদ সংখ্যার সেটে $x\cdot x=2$ ($x^2=2$) সমীকরণের সমাধান অধ্যয়ন করার সময় তার সমসাময়িকরা ইতিমধ্যেই এই উপসংহারটি অস্বীকার করেছেন। এই ধরনের একটি সমীকরণ সমাধান করার জন্য, একটি বর্গমূলের ধারণাটি প্রবর্তন করা প্রয়োজন, এবং তারপরে এই সমীকরণটির সমাধান $x=\sqrt(2)$ আকারে রয়েছে। $x^2=a$ প্রকারের একটি সমীকরণ, যেখানে $a$ একটি পরিচিত মূলদ সংখ্যা এবং $x$ একটি অজানা, সর্বদা মূলদ সংখ্যার সেটে একটি সমাধান থাকে না এবং আবার প্রয়োজন হয় সেট প্রসারিত করতে। অমূলদ সংখ্যার একটি সেট দেখা দেয় এবং $\sqrt(2)$, $\sqrt(3)$, $\pi$... এই ধরনের সংখ্যাগুলি এই সেটের অন্তর্গত।

প্রকৃত সংখ্যা $\mathbb(R)$

মূলদ এবং অমূলদ সংখ্যার সেটের মিলন হল বাস্তব সংখ্যার সেট। যেহেতু $\mathbb(Q)\subset \mathbb(R)$, এটি আবারও যুক্তিযুক্ত যে প্রবর্তিত গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ এবং সম্পর্কগুলি নতুন সেটে তাদের বৈশিষ্ট্য বজায় রাখে। এর আনুষ্ঠানিক প্রমাণ খুবই কঠিন, তাই প্রকৃত সংখ্যার সেটে গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ এবং সম্পর্কের উপরে উল্লিখিত বৈশিষ্ট্যগুলিকে স্বতঃসিদ্ধ হিসাবে উপস্থাপন করা হয়েছে। বীজগণিতে, এই জাতীয় বস্তুকে একটি ক্ষেত্র বলা হয়, তাই বাস্তব সংখ্যার সেটটিকে একটি ক্রমযুক্ত ক্ষেত্র বলা হয়।

বাস্তব সংখ্যার সেটের সংজ্ঞা সম্পূর্ণ হওয়ার জন্য, একটি অতিরিক্ত স্বতঃসিদ্ধ প্রবর্তন করা প্রয়োজন যা $\mathbb(Q)$ এবং $\mathbb(R)$ সেটগুলিকে আলাদা করে। অনুমান করুন যে $S$ হল বাস্তব সংখ্যার সেটের একটি অ-খালি উপসেট। $b\in \mathbb(R)$ একটি উপাদানকে $S$ সেটের উপরের সীমা বলা হয় যদি $\forall x\in S$ $x\leq b$ সন্তুষ্ট করে। তারপর সেট $S$ উপরে থেকে আবদ্ধ বলা হয়. $S$ সেটের সর্বনিম্ন উপরের সীমাকে বলা হয় সর্বোচ্চ এবং $\sup S$ দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। একটি নিম্ন সীমা, একটি সেট নীচে থেকে আবদ্ধ, এবং একটি infinum $\inf S$ এর ধারণা একইভাবে প্রবর্তিত হয়। এখন অনুপস্থিত স্বতঃসিদ্ধটি নিম্নরূপ প্রণয়ন করা হয়েছে:

প্রকৃত সংখ্যার সেটের উপরোক্ত উপসেট থেকে যে কোনো খালি এবং সীমাবদ্ধ একটি সর্বোচ্চ আছে।
এটিও প্রমাণ করা যেতে পারে যে উপরে সংজ্ঞায়িত বাস্তব সংখ্যার ক্ষেত্রটি অনন্য।

জটিল সংখ্যা $\mathbb(C)$

জটিল সংখ্যার উদাহরণ:
$(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
$1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i...$ যেখানে $i = \sqrt(-1)$ বা $i^2 = -1$

জটিল সংখ্যার সেট হল বাস্তব সংখ্যার সমস্ত ক্রমযুক্ত জোড়া, যেমন $\mathbb(C)=\mathbb(R)^2=\mathbb(R)\times \mathbb(R)$, যার উপর যোগ করার কাজ এবং গুণকে নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করা হয়:
$(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$
$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$

জটিল সংখ্যা লেখার বিভিন্ন উপায় আছে, যার মধ্যে সবচেয়ে সাধারণ হল $z=a+ib$, যেখানে $(a,b)$ হল এক জোড়া বাস্তব সংখ্যা এবং সংখ্যা $i=(0,1)$ কাল্পনিক একক বলা হয়।

এটা দেখানো সহজ যে $i^2=-1$। $\mathbb(R)$ সেটের $\mathbb(C)$ সেটের এক্সটেনশন ঋণাত্মক সংখ্যার বর্গমূল নির্ণয় করা সম্ভব করে, যা জটিল সংখ্যার সেট প্রবর্তনের কারণ ছিল। এটা দেখানোও সহজ যে $\mathbb(C)$ সেটের একটি উপসেট $\mathbb(C)_0=\lbrace (a,0)|a\in \mathbb(R)\rbrace$ সবকে সন্তুষ্ট করে। প্রকৃত সংখ্যার স্বতঃসিদ্ধ, তাই $\mathbb(C)_0=\mathbb(R)$, অথবা $R\subset\mathbb(C)$।

যোগ এবং গুণের ক্রিয়াকলাপের ক্ষেত্রে $\mathbb(C)$ সেটের বীজগণিতীয় কাঠামোর নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্য রয়েছে:
1. যোগ এবং গুণের পরিবর্তনশীলতা
2. যোগ এবং গুণের সংগতি
3. $0+i0$ - সংযোজনের জন্য নিরপেক্ষ উপাদান
4. $1+i0$ - গুণের জন্য নিরপেক্ষ উপাদান
5. যোগ সাপেক্ষে গুণ বণ্টনমূলক
6. যোগ এবং গুণ উভয়ের জন্য একটি একক বিপরীত উপাদান আছে।

অমূলদ সংখ্যার সেট সাধারণত একটি বড় ল্যাটিন অক্ষর দ্বারা চিহ্নিত করা হয় আমি (\displaystyle \mathbb (I))কোন ফিল ছাড়া গাঢ় মধ্যে. এইভাবে: I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \backslash \mathbb (Q) ), অর্থাৎ, অমূলদ সংখ্যার সেট হল বাস্তব এবং মূলদ সংখ্যার সেটের মধ্যে পার্থক্য।

অমূলদ সংখ্যার অস্তিত্ব, আরও সুনির্দিষ্টভাবে যে অংশগুলি একক দৈর্ঘ্যের একটি অংশের সাথে অতুলনীয়, তা ইতিমধ্যেই প্রাচীন গণিতবিদদের কাছে পরিচিত ছিল: তারা জানতেন, উদাহরণস্বরূপ, তির্যক এবং বর্গক্ষেত্রের অসামঞ্জস্যতা, যা অযৌক্তিকতার সমতুল্য। সংখ্যার।

বিশ্বকোষীয় ইউটিউব

• 1 / 5

  অযৌক্তিক হল:

  অযৌক্তিকতা প্রমাণ উদাহরণ

  2 এর মূল

  এর বিপরীত কথা বলা যাক: 2 (\displaystyle (\sqrt (2)))যৌক্তিক, যে, একটি ভগ্নাংশ হিসাবে উপস্থাপিত m n (\displaystyle (\frac (m)(n))), কোথায় মি (\ ডিসপ্লেস্টাইল মি)একটি পূর্ণসংখ্যা, এবং n (\ প্রদর্শনশৈলী n)- প্রাকৃতিক সংখ্যা।

  অনুমিত সমতা বর্গ করা যাক:

  2 = m n ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\displaystyle (\sqrt (2))=(\frac (m)(n))\Rightarrow 2=(\frac (m^(2) ))(n^(2))\Rightarrow m^(2)=2n^(2)).

  গল্প

  প্রাচীনত্ব

  অমূলদ সংখ্যার ধারণাটি খ্রিস্টপূর্ব 7 ​​ম শতাব্দীতে ভারতীয় গণিতবিদদের দ্বারা নিহিতভাবে গৃহীত হয়েছিল, যখন মানওয়া (সি. 750 খ্রিস্টপূর্ব - সি. 690 খ্রিস্টপূর্ব) দেখতে পান যে কিছু প্রাকৃতিক সংখ্যার বর্গমূল যেমন 2 এবং 61 স্পষ্টভাবে প্রকাশ করা যায় না [ ] .

  অমূলদ সংখ্যার অস্তিত্বের প্রথম প্রমাণ সাধারণত মেটাপন্টাসের হিপ্পাসাস (সি. 500 খ্রিস্টপূর্ব) কে দায়ী করা হয়, একজন পিথাগোরিয়ান। পিথাগোরিয়ানদের সময়ে, এটি বিশ্বাস করা হত যে দৈর্ঘ্যের একটি একক রয়েছে, যথেষ্ট ছোট এবং অবিভাজ্য, যেটি যেকোন অংশে অন্তর্ভুক্ত বারগুলির পূর্ণসংখ্যা। ] .

  হিপ্পাসাস কোন সংখ্যার অযৌক্তিকতা প্রমাণ করেছিলেন তার কোনও সঠিক তথ্য নেই। কিংবদন্তি অনুসারে, তিনি পেন্টাগ্রামের পাশের দৈর্ঘ্য অধ্যয়ন করে এটি খুঁজে পান। অতএব, এটা ধরে নেওয়া যুক্তিসঙ্গত যে এটি ছিল সোনালী অনুপাত [ ] .

  গ্রীক গণিতবিদরা এই অনুপাতকে অতুলনীয় রাশি বলে alogos(অব্যক্তযোগ্য), কিন্তু কিংবদন্তি অনুসারে, হিপ্পাসাসকে যথাযথ সম্মান দেওয়া হয়নি। একটি কিংবদন্তি আছে যে হিপ্পাসাস সমুদ্র যাত্রার সময় আবিষ্কার করেছিলেন এবং অন্যান্য পিথাগোরিয়ানদের দ্বারা "মহাবিশ্বের একটি উপাদান তৈরি করার জন্য জাহাজে নিক্ষেপ করা হয়েছিল, যা এই মতবাদকে অস্বীকার করে যে মহাবিশ্বের সমস্ত সত্তা পূর্ণ সংখ্যা এবং তাদের অনুপাতগুলিতে হ্রাস করা যেতে পারে। " হিপ্পাসাসের আবিষ্কারটি পিথাগোরিয়ান গণিতের জন্য একটি গুরুতর সমস্যা তৈরি করেছিল, যা সংখ্যা এবং জ্যামিতিক বস্তু এক এবং অবিচ্ছেদ্য এই পুরো তত্ত্বের অন্তর্নিহিত ধারণাটিকে ধ্বংস করে দেয়।