অনলাইনে তিনটি বাহুর উপর ভিত্তি করে একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল। একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল - সূত্র এবং সমস্যা সমাধানের উদাহরণ

একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল - সূত্র এবং সমস্যা সমাধানের উদাহরণ

নিচে দেওয়া হল একটি নির্বিচারে ত্রিভুজের ক্ষেত্র খুঁজে বের করার জন্য সূত্রযেগুলো কোনো ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল খুঁজে বের করার জন্য উপযুক্ত, তার বৈশিষ্ট্য, কোণ বা আকার নির্বিশেষে। সূত্রগুলি একটি ছবির আকারে উপস্থাপিত হয়, এবং তাদের প্রয়োগের ব্যাখ্যা বা তাদের সঠিকতার জন্য যুক্তিও এখানে প্রদান করা হয়। চিঠিপত্রগুলিও একটি পৃথক চিত্রে নির্দেশিত হয় চিঠি পদবিসূত্রে এবং গ্রাফিক চিহ্নঅঙ্কন উপর

বিঃদ্রঃ . যদি ত্রিভুজের বিশেষ বৈশিষ্ট্য থাকে (সমদ্বিবাহু, আয়তক্ষেত্রাকার, সমবাহু), আপনি নীচে দেওয়া সূত্রগুলি ব্যবহার করতে পারেন, সেইসাথে অতিরিক্ত বিশেষ সূত্রগুলি ব্যবহার করতে পারেন যা শুধুমাত্র এই বৈশিষ্ট্যগুলির সাথে ত্রিভুজের জন্য বৈধ:

"একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্র"

ত্রিভুজ এলাকা সূত্র

সূত্রের ব্যাখ্যা:
a, b, c- ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য যার ক্ষেত্র আমরা খুঁজে পেতে চাই
r- ত্রিভুজে খোদাই করা বৃত্তের ব্যাসার্ধ
আর- ত্রিভুজের চারপাশে পরিধিকৃত বৃত্তের ব্যাসার্ধ
জ- ত্রিভুজের উচ্চতা পাশের দিকে নামানো হয়েছে
পি- একটি ত্রিভুজের অর্ধ-ঘের, 1/2 এর বাহুর সমষ্টি (ঘের)
α - ত্রিভুজের একটি বাহুর বিপরীত কোণ
β - ত্রিভুজের বাহুর b এর বিপরীত কোণ
γ - ত্রিভুজের বাহুর c এর বিপরীত কোণ
জ ক, জ খ , জ গ- ত্রিভুজের উচ্চতা a, b, c বাহুতে নামানো হয়েছে

দয়া করে মনে রাখবেন যে উপরের নোটেশনগুলি উপরের চিত্রের সাথে মিলে যায়, যাতে সমাধান করার সময় বাস্তব সমস্যাজ্যামিতির পরিপ্রেক্ষিতে, আপনার পক্ষে প্রতিস্থাপন করা দৃশ্যত সহজ ছিল৷ সঠিক জায়গাসূত্র সঠিক মান.

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল হল ত্রিভুজের উচ্চতার অর্ধেক গুণফল এবং যে পাশের দৈর্ঘ্য এই উচ্চতা কমানো হয়েছে(1 নং সূত্র)। এই সূত্রের যথার্থতা যৌক্তিকভাবে বোঝা যায়। বেসের দিকে নামানো উচ্চতা একটি নির্বিচারে ত্রিভুজকে দুটি আয়তক্ষেত্রাকারে বিভক্ত করবে। আপনি যদি তাদের প্রতিটিকে b এবং h মাত্রা সহ একটি আয়তক্ষেত্রে তৈরি করেন তবে স্পষ্টতই এই ত্রিভুজগুলির ক্ষেত্রফল আয়তক্ষেত্রের ঠিক অর্ধেক ক্ষেত্রফলের সমান হবে (Spr = bh)
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল হল এর দুই বাহুর অর্ধেক গুণফল এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণের সাইন(সূত্র 2) (নীচে এই সূত্রটি ব্যবহার করে সমস্যা সমাধানের একটি উদাহরণ দেখুন)। এটি আগেরটির থেকে আলাদা বলে মনে হওয়া সত্ত্বেও, এটি সহজেই এতে রূপান্তরিত হতে পারে। যদি আমরা B কোণ থেকে B পাশের উচ্চতা কম করি, তাহলে দেখা যাচ্ছে যে একটি সমকোণী ত্রিভুজের সাইনের বৈশিষ্ট্য অনুসারে বাহুর a এর গুণফল এবং কোণের সাইন γ আমাদের আঁকা ত্রিভুজের উচ্চতার সমান। , যা আমাদের পূর্ববর্তী সূত্র দেয়
একটি নির্বিচারে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল পাওয়া যাবে মাধ্যম কাজবৃত্তের অর্ধেক ব্যাসার্ধ এর সমস্ত বাহুর দৈর্ঘ্যের যোগফল দ্বারা এতে খোদাই করা হয়েছে(সূত্র 3), সহজভাবে বলতে গেলে, আপনাকে ত্রিভুজের অর্ধ-ঘেরটিকে খোদাই করা বৃত্তের ব্যাসার্ধ দ্বারা গুণ করতে হবে (এটি মনে রাখা সহজ)
একটি নির্বিচারে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল খুঁজে পাওয়া যেতে পারে তার চারপাশের বৃত্তের 4টি ব্যাসার্ধ দ্বারা তার সমস্ত বাহুর গুণফলকে ভাগ করে (সূত্র 4)
সূত্র 5 একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল খুঁজে বের করছে এর বাহুর দৈর্ঘ্য এবং এর অর্ধ-ঘের (এর সমস্ত বাহুর সমষ্টির অর্ধেক)
হেরনের সূত্র(6) আধা-ঘেরের ধারণা ব্যবহার না করেই একই সূত্রের একটি উপস্থাপনা, শুধুমাত্র বাহুর দৈর্ঘ্যের মাধ্যমে
একটি নির্বিচারে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ত্রিভুজের বাহুর বর্গক্ষেত্রের গুণফলের সমান এবং এই পাশের কোণগুলির সাইনগুলিকে এই পাশের বিপরীত কোণের দ্বৈত সাইন দ্বারা ভাগ করা হয় (সূত্র 7)
একটি নির্বিচারে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল তার প্রতিটি কোণের সাইন দ্বারা তার চারপাশে ঘেরা বৃত্তের দুটি বর্গক্ষেত্রের গুণফল হিসাবে পাওয়া যেতে পারে। (সূত্র 8)
যদি এক বাহুর দৈর্ঘ্য এবং দুটি সন্নিহিত কোণের মান জানা যায়, তবে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল এই কোণগুলির কোট্যাজেন্টগুলির দ্বিগুণ যোগফল দ্বারা ভাগ করলে এই বাহুর বর্গ হিসাবে পাওয়া যাবে (সূত্র 9)
যদি শুধুমাত্র ত্রিভুজের প্রতিটি উচ্চতার দৈর্ঘ্য জানা যায় (সূত্র 10), তবে এই জাতীয় ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল এই উচ্চতার দৈর্ঘ্যের বিপরীতভাবে সমানুপাতিক, যেমন হেরনের সূত্র অনুসারে
সূত্র 11 আপনাকে গণনা করতে দেয় একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল তার শীর্ষবিন্দুগুলির স্থানাঙ্কের উপর ভিত্তি করে, যা প্রতিটি শীর্ষবিন্দুর জন্য (x;y) মান হিসাবে নির্দিষ্ট করা হয়েছে। অনুগ্রহ করে মনে রাখবেন যে ফলাফলের মানটি অবশ্যই মডিউল নিতে হবে, যেহেতু পৃথক (বা এমনকি সমস্ত) শীর্ষবিন্দুগুলির স্থানাঙ্কগুলি নেতিবাচক মানের অঞ্চলে হতে পারে

বিঃদ্রঃ. ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল বের করতে জ্যামিতি সমস্যা সমাধানের উদাহরণ নিচে দেওয়া হল। আপনি যদি জ্যামিতি সমস্যা সমাধান করতে চান যা এখানে অনুরূপ নয়, ফোরামে এটি সম্পর্কে লিখুন। সমাধানগুলিতে, প্রতীকের পরিবর্তে " বর্গমূল" sqrt() ফাংশনটি ব্যবহার করা যেতে পারে, যেখানে sqrt বর্গমূল প্রতীক, এবং র্যাডিকাল এক্সপ্রেশনটি বন্ধনীতে নির্দেশিত হয়.কখনও কখনও সাধারণ আমূল অভিব্যক্তির জন্য প্রতীকটি ব্যবহার করা যেতে পারে √

টাস্ক। দুটি বাহুর প্রদত্ত ক্ষেত্রফল এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণটি নির্ণয় করুন

ত্রিভুজটির বাহুগুলি 5 এবং 6 সেমি তাদের মধ্যবর্তী কোণটি 60 ডিগ্রি। ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর.

সমাধান.

এই সমস্যা সমাধানের জন্য, আমরা পাঠের তাত্ত্বিক অংশ থেকে সূত্র নম্বর দুই ব্যবহার করি।
একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণের সাইনের মাধ্যমে পাওয়া যাবে এবং এর সমান হবে
S=1/2 ab sin γ

যেহেতু আমাদের কাছে সমাধানের জন্য প্রয়োজনীয় সমস্ত ডেটা রয়েছে (সূত্র অনুসারে), আমরা কেবলমাত্র সমস্যার শর্তগুলি থেকে সূত্রে মানগুলি প্রতিস্থাপন করতে পারি:
S = 1/2 * 5 * 6 * sin 60

মান সারণীতে ত্রিকোণমিতিক ফাংশনআসুন এক্সপ্রেশনে সাইন 60 ডিগ্রির মান খুঁজে বের করি এবং প্রতিস্থাপন করি। তিনগুণ দুই এর মূলের সমান হবে।
S = 15 √3 / 2

উত্তর: 7.5 √3 (শিক্ষকের প্রয়োজনীয়তার উপর নির্ভর করে, আপনি সম্ভবত 15 √3/2 ছেড়ে দিতে পারেন)

টাস্ক। একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর

3 সেমি বাহু বিশিষ্ট একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন।

সমাধান।

হেরনের সূত্র ব্যবহার করে একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল পাওয়া যাবে:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

যেহেতু a = b = c, একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্রটি রূপ নেয়:

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

উত্তর: 9 √3 / 4.

টাস্ক। পাশের দৈর্ঘ্য পরিবর্তন করার সময় এলাকায় পরিবর্তন করুন

বাহুগুলো ৪ গুণ বাড়লে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত গুণ বাড়বে?

সমাধান.

যেহেতু ত্রিভুজের বাহুর মাত্রা আমাদের কাছে অজানা, সমস্যা সমাধানের জন্য আমরা ধরে নিব যে বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে a, b, c এর সমান। তারপর, সমস্যার প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য, আমরা প্রদত্ত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল বের করব এবং তারপরে আমরা সেই ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল খুঁজে পাব যার বাহুগুলো চারগুণ বড়। এই ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের অনুপাত আমাদের সমস্যার উত্তর দেবে।

নীচে আমরা ধাপে ধাপে সমস্যার সমাধানের একটি পাঠ্য ব্যাখ্যা প্রদান করছি। যাইহোক, একেবারে শেষে, এই একই সমাধান আরও পাঠযোগ্য আকারে দেওয়া হয়। গ্রাফিকাল ফর্ম. যারা ইচ্ছুক তারা অবিলম্বে সমাধান নিচে যেতে পারেন.

সমাধান করতে, আমরা হেরনের সূত্র ব্যবহার করি (উপরে পাঠের তাত্ত্বিক অংশে দেখুন)। এটি এই মত দেখায়:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(নীচের ছবির প্রথম লাইন দেখুন)

একটি নির্বিচারে ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a, b, c ভেরিয়েবল দ্বারা নির্দিষ্ট করা হয়।
যদি বাহু 4 গুণ বৃদ্ধি করা হয়, তাহলে নতুন ত্রিভুজ c এর ক্ষেত্রফল হবে:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(নীচের ছবিতে দ্বিতীয় লাইন দেখুন)

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, 4 একটি সাধারণ ফ্যাক্টর যা চারটি এক্সপ্রেশন থেকে বন্ধনী থেকে বের করা যেতে পারে সপ্তাহের দিনঅংক।
তারপর

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - ছবির তৃতীয় লাইনে
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - চতুর্থ লাইন

256 নম্বরের বর্গমূলটি পুরোপুরি বের করা হয়েছে, তাই আসুন এটিকে মূলের নিচ থেকে বের করা যাক
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(নীচের ছবির পঞ্চম লাইন দেখুন)

সমস্যাটিতে জিজ্ঞাসা করা প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য, আমাদের কেবল প্রাপ্ত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলটিকে মূলটির ক্ষেত্রফল দিয়ে ভাগ করতে হবে।
আসুন একে অপরের দ্বারা রাশিগুলিকে ভাগ করে এবং ফলে ভগ্নাংশকে হ্রাস করে ক্ষেত্রফলের অনুপাত নির্ধারণ করি।

একটি ত্রিভুজ হল সবচেয়ে সহজ জ্যামিতিক চিত্র, যা তিনটি বাহু এবং তিনটি শীর্ষবিন্দু নিয়ে গঠিত। এর সরলতার কারণে, ত্রিভুজটি প্রাচীনকাল থেকেই বিভিন্ন পরিমাপ নেওয়ার জন্য ব্যবহৃত হয়ে আসছে এবং আজ চিত্রটি ব্যবহারিক এবং দৈনন্দিন সমস্যা সমাধানের জন্য কার্যকর হতে পারে।

একটি ত্রিভুজের বৈশিষ্ট্য

চিত্রটি প্রাচীনকাল থেকে গণনার জন্য ব্যবহার করা হয়েছে, উদাহরণস্বরূপ, ভূমি জরিপকারী এবং জ্যোতির্বিজ্ঞানীরা এলাকা এবং দূরত্ব গণনা করতে ত্রিভুজের বৈশিষ্ট্যগুলির সাথে কাজ করে। এই চিত্রের ক্ষেত্রফলের মাধ্যমে যেকোনো এন-গনের ক্ষেত্রফল প্রকাশ করা সহজ, এবং এই বৈশিষ্ট্যটি প্রাচীন বিজ্ঞানীরা বহুভুজের ক্ষেত্রগুলির জন্য সূত্র বের করতে ব্যবহার করেছিলেন। পূর্ণকালীন চাকুরীত্রিভুজ সহ, বিশেষত সমকোণী ত্রিভুজের সাথে, গণিতের একটি সম্পূর্ণ শাখার ভিত্তি হয়ে উঠেছে - ত্রিকোণমিতি।

ত্রিভুজ জ্যামিতি

বৈশিষ্ট্য জ্যামিতিক চিত্রপ্রাচীন কাল থেকে অধ্যয়ন করা হয়েছে: ত্রিভুজ সম্পর্কে প্রাচীনতম তথ্য 4,000 বছর আগে থেকে মিশরীয় প্যাপিরিতে পাওয়া গেছে। তারপরে চিত্রটি অধ্যয়ন করা হয়েছিল প্রাচীন গ্রীসএবং ত্রিভুজের জ্যামিতিতে সবচেয়ে বড় অবদান ছিল ইউক্লিড, পিথাগোরাস এবং হেরন। ত্রিভুজের অধ্যয়ন কখনই বন্ধ হয়নি এবং 18 শতকে, লিওনহার্ড অয়লার একটি চিত্রের অর্থকেন্দ্র এবং অয়লার বৃত্তের ধারণাটি প্রবর্তন করেছিলেন। 19 এবং 20 শতকের শুরুতে, যখন মনে হয়েছিল যে ত্রিভুজ সম্পর্কে একেবারেই সব কিছু জানা গেছে, ফ্র্যাঙ্ক মর্লে কোণ ত্রিভুজগুলির উপর উপপাদ্য তৈরি করেছিলেন, এবং ওয়াক্লা সিয়ের্পিনস্কি ফ্র্যাক্টাল ত্রিভুজ প্রস্তাব করেছিলেন।

আমাদের পরিচিত সমতল ত্রিভুজ বিভিন্ন ধরনের আছে স্কুল কোর্সজ্যামিতি:

তীব্র - চিত্রের সমস্ত কোণ তীব্র;
স্থূল - চিত্রটিতে একটি স্থূলকোণ রয়েছে (90 ডিগ্রির বেশি);
আয়তক্ষেত্রাকার - চিত্রটিতে 90 ডিগ্রির সমান একটি সমকোণ রয়েছে;
সমদ্বিবাহু - দুটি সহ একটি ত্রিভুজ সমান পক্ষ;
সমবাহু - সমস্ত সমান বাহু সহ একটি ত্রিভুজ।
ভিতরে বাস্তব জীবনসব ধরণের ত্রিভুজ রয়েছে এবং কিছু ক্ষেত্রে আমাদের জ্যামিতিক চিত্রের ক্ষেত্রফল গণনা করতে হতে পারে।

একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল

ক্ষেত্রফল হল একটি ফিগার কতটা সমতলকে ঘিরে রয়েছে তার একটি অনুমান। একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ছয়টি উপায়ে পাওয়া যেতে পারে, বাহু, উচ্চতা, কোণ, খোদাই করা বা বৃত্তাকার ব্যাসার্ধ ব্যবহার করে, সেইসাথে হেরনের সূত্র ব্যবহার করে বা সমতলকে আবদ্ধ রেখা বরাবর ডবল ইন্টিগ্রাল গণনা করা যায়। বেশিরভাগ সহজ সূত্রএকটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল গণনা করার জন্য এটির মতো দেখাচ্ছে:

যেখানে a হল ত্রিভুজের বাহু, h হল এর উচ্চতা।

যাইহোক, বাস্তবে জ্যামিতিক চিত্রের উচ্চতা খুঁজে পাওয়া আমাদের পক্ষে সবসময় সুবিধাজনক নয়। আমাদের ক্যালকুলেটরের অ্যালগরিদম আপনাকে জেনে এলাকা গণনা করতে দেয়:

তিন দিক;
দুই পক্ষ এবং তাদের মধ্যে কোণ;
এক পাশ এবং দুই কোণ।

তিনটি দিক দিয়ে এলাকা নির্ধারণ করতে, আমরা হেরনের সূত্র ব্যবহার করি:

S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),

যেখানে p হল ত্রিভুজের অর্ধ-ঘের।

দুই পাশের ক্ষেত্রফল এবং একটি কোণ ক্লাসিক সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা হয়:

S = a × b × sin(alfa),

যেখানে আলফা হল a এবং b বাহুর মধ্যবর্তী কোণ।

এক বাহু এবং দুই কোণের পরিপ্রেক্ষিতে ক্ষেত্রফল নির্ধারণ করতে, আমরা সম্পর্কটি ব্যবহার করি যা:

a / sin(alfa) = b / sin(beta) = c / sin(gamma)

একটি সাধারণ অনুপাত ব্যবহার করে, আমরা দ্বিতীয় দিকের দৈর্ঘ্য নির্ধারণ করি, তারপরে আমরা S = a × b × sin(alfa) সূত্রটি ব্যবহার করে ক্ষেত্রফল গণনা করি। এই অ্যালগরিদম সম্পূর্ণরূপে স্বয়ংক্রিয় এবং আপনাকে শুধুমাত্র নির্দিষ্ট ভেরিয়েবল লিখতে হবে এবং ফলাফল পেতে হবে। এর উদাহরণ একটি দম্পতি তাকান.

জীবন থেকে উদাহরণ

পাকা স্ল্যাব

ধরা যাক আপনি ত্রিভুজাকার টাইলস দিয়ে মেঝে প্রশস্ত করতে চান এবং পরিমাণ নির্ধারণ করতে চান প্রয়োজনীয় উপাদান, আপনাকে একটি টাইলের ক্ষেত্রফল এবং মেঝেটির ক্ষেত্রফল খুঁজে বের করতে হবে। ধরুন আপনাকে একটি টাইল ব্যবহার করে 6 বর্গ মিটার পৃষ্ঠ প্রক্রিয়া করতে হবে যার মাত্রা a = 20 cm, b = 21 cm, c = 29 cm স্পষ্টতই, একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল গণনা করতে, ক্যালকুলেটরটি হেরনের সূত্র ব্যবহার করে এবং দেয়। ফলাফল:

সুতরাং, একটি টাইল উপাদানের ক্ষেত্রফল হবে 0.021 বর্গ মিটার, এবং মেঝে উন্নতির জন্য আপনার প্রয়োজন হবে 6/0.021 = 285 ত্রিভুজ। 20, 21 এবং 29 সংখ্যাগুলি একটি পিথাগোরিয়ান ট্রিপল গঠন করে - সংখ্যা যা পূরণ করে। এবং এটা ঠিক, আমাদের ক্যালকুলেটরও ত্রিভুজের সমস্ত কোণ গণনা করেছে এবং গামা কোণ ঠিক 90 ডিগ্রি।

স্কুল টাস্ক

একটি স্কুলের সমস্যায়, আপনাকে একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল খুঁজে বের করতে হবে, জেনে নিন যে পাশে a = 5 সেমি, এবং কোণ আলফা এবং বিটা যথাক্রমে 30 এবং 50 ডিগ্রি। এই সমস্যাটি ম্যানুয়ালি সমাধান করার জন্য, আমরা প্রথমে আকৃতির অনুপাতের অনুপাত এবং বিপরীত কোণের সাইন ব্যবহার করে পাশের b এর মান খুঁজে বের করব এবং তারপর সহজ সূত্র S = a × b × sin(alfa) ব্যবহার করে ক্ষেত্রফল নির্ধারণ করব। আসুন সময় বাঁচাই, ক্যালকুলেটর ফর্মে ডেটা প্রবেশ করি এবং একটি তাত্ক্ষণিক উত্তর পাই

ক্যালকুলেটর ব্যবহার করার সময়, কোণ এবং দিকগুলি সঠিকভাবে নির্দেশ করা গুরুত্বপূর্ণ, অন্যথায় ফলাফলটি ভুল হবে।

উপসংহার

ত্রিভুজ একটি অনন্য চিত্র যা বাস্তব জীবনে এবং বিমূর্ত গণনা উভয় ক্ষেত্রেই পাওয়া যায়। যেকোনো ধরনের ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে আমাদের অনলাইন ক্যালকুলেটর ব্যবহার করুন।

ত্রিভুজটি সবার কাছে পরিচিত একটি চিত্র। এবং এই তার ফর্ম সমৃদ্ধ বৈচিত্র্য সত্ত্বেও. আয়তক্ষেত্রাকার, সমবাহু, তীব্র, সমদ্বিবাহু, স্থূল। তাদের প্রত্যেকেই কোনো না কোনোভাবে আলাদা। তবে যে কারও জন্য আপনাকে একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল বের করতে হবে।

সমস্ত ত্রিভুজের জন্য সাধারণ সূত্র যা বাহু বা উচ্চতার দৈর্ঘ্য ব্যবহার করে

তাদের মধ্যে গৃহীত পদবী: পক্ষ - a, b, c; a, n in, n এর সাথে সংশ্লিষ্ট দিকের উচ্চতা।

1. একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ½ এর গুণফল হিসাবে গণনা করা হয়, একটি বাহু এবং এটি থেকে বিয়োগ করা উচ্চতা। S = ½ * a * n a. অন্য দুই পক্ষের সূত্র একইভাবে লিখতে হবে।

2. হেরনের সূত্র, যেখানে আধা-ঘেরটি প্রদর্শিত হয় (এটি সাধারণত ছোট অক্ষর p দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, সম্পূর্ণ ঘেরের বিপরীতে)। অর্ধ-ঘেরটি অবশ্যই নিম্নরূপ গণনা করা উচিত: সমস্ত বাহু যোগ করুন এবং তাদের 2 দ্বারা ভাগ করুন। আধা-ঘেরের সূত্র হল: p = (a+b+c) / 2। তারপর ক্ষেত্রফলের সমতা চিত্রটি এইরকম দেখাচ্ছে: S = √ (p * (p - a) * ( р - в) * (р - с))।

3. আপনি যদি সেমি-পেরিমিটার ব্যবহার করতে না চান, তবে একটি সূত্র যেটিতে শুধুমাত্র বাহুর দৈর্ঘ্য রয়েছে তা কার্যকর হবে: S = ¼ * √ ((a + b + c) * (b + c - a ) * (a + c - c) * (a + b - c))। এটি আগেরটির চেয়ে কিছুটা দীর্ঘ, তবে আপনি কীভাবে আধা-ঘেরটি খুঁজে পাবেন তা ভুলে গেলে এটি সাহায্য করবে।

একটি ত্রিভুজের কোণ জড়িত সাধারণ সূত্র

সূত্রগুলি পড়ার জন্য প্রয়োজনীয় নোটেশন: α, β, γ - কোণ। তারা যথাক্রমে a, b, c এর বিপরীত দিকে অবস্থান করে।

1. এটি অনুসারে, দুই বাহুর অর্ধেক গুণফল এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণের সাইন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সমান। অর্থাৎ: S = ½ a * b * sin γ. অন্য দুটি ক্ষেত্রে সূত্র একইভাবে লিখতে হবে।

2. একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল এক বাহু এবং তিনটি পরিচিত কোণ থেকে গণনা করা যেতে পারে। S = (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α)।

3. একটি পরিচিত বাহু এবং দুটি সন্নিহিত কোণ সহ একটি সূত্র রয়েছে। এটি এই মত দেখায়: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β))।

শেষ দুটি সূত্র সবচেয়ে সহজ নয়। তাদের মনে রাখা বেশ কঠিন।

খোদাইকৃত বা বৃত্তাকার বৃত্তের ব্যাসার্ধ জানা থাকলে পরিস্থিতির জন্য সাধারণ সূত্র

অতিরিক্ত উপাধি: r, R - radii. প্রথমটি খোদাই করা বৃত্তের ব্যাসার্ধের জন্য ব্যবহৃত হয়। দ্বিতীয়টি বর্ণিতটির জন্য।

1. প্রথম সূত্রটি যার দ্বারা একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল গণনা করা হয় তা অর্ধ-ঘেরের সাথে সম্পর্কিত। S = r * r. এটি লেখার আরেকটি উপায় হল: S = ½ r * (a + b + c)।

2. দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, আপনাকে ত্রিভুজের সমস্ত বাহুকে গুণ করতে হবে এবং পরিধিকৃত বৃত্তের ব্যাসার্ধকে চারগুণ করে ভাগ করতে হবে। ভিতরে আক্ষরিক অভিব্যক্তিএটা এই মত দেখায়: S = (a * b * c) / (4R)।

3. তৃতীয় পরিস্থিতি আপনাকে দিকগুলি না জেনেই করতে দেয়, তবে আপনার তিনটি কোণের মান প্রয়োজন হবে। S = 2 R 2 * sin α * sin β * sin γ।

বিশেষ ক্ষেত্রে: সমকোণী ত্রিভুজ

এটাই সবচেয়ে বেশি সহজ পরিস্থিতি, যেহেতু শুধুমাত্র উভয় পায়ের দৈর্ঘ্য প্রয়োজন। তারা লাতিন অক্ষর a এবং b দ্বারা মনোনীত হয়। বর্গক্ষেত্র সঠিক ত্রিভুজআয়তক্ষেত্রের অর্ধেক ক্ষেত্রফল এতে যোগ করা হয়েছে।

গাণিতিকভাবে এটি এইরকম দেখায়: S = ½ a * b। এটা মনে রাখা সবচেয়ে সহজ. কারণ এটি একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সূত্রের মতো দেখায়, শুধুমাত্র একটি ভগ্নাংশ উপস্থিত হয়, যা অর্ধেক নির্দেশ করে।

বিশেষ ক্ষেত্রে: সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ

যেহেতু এর দুটি সমান বাহু রয়েছে, তাই এর ক্ষেত্রফলের জন্য কিছু সূত্র কিছুটা সরলীকৃত দেখায়। উদাহরণস্বরূপ, হেরনের সূত্র, যা একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল গণনা করে, নিম্নলিখিত ফর্মটি গ্রহণ করে:

S = ½ in √((a + ½ in)*(a - ½ in))।

আপনি যদি এটি রূপান্তরিত করেন তবে এটি ছোট হয়ে যাবে। এই ক্ষেত্রে, একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের জন্য হেরনের সূত্রটি নিম্নরূপ লেখা হয়েছে:

S = ¼ in √(4 * a 2 - b 2)।

ক্ষেত্রফল সূত্রটি একটি নির্বিচারে ত্রিভুজের তুলনায় কিছুটা সহজ দেখায় যদি বাহু এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণটি জানা থাকে। S = ½ a 2 * sin β.

বিশেষ ক্ষেত্রে: সমবাহু ত্রিভুজ

সাধারণত সমস্যায় এ সম্পর্কে দিকটি জানা যায় বা কোনোভাবে বের করা যায়। তারপরে এই জাতীয় ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল বের করার সূত্রটি নিম্নরূপ:

S = (a 2 √3) / 4।

ত্রিভুজটি চেকারযুক্ত কাগজে চিত্রিত হলে এলাকাটি খুঁজে পেতে সমস্যা হয়

সবচেয়ে সহজ পরিস্থিতি হল যখন একটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা হয় যাতে এর পা কাগজের রেখার সাথে মিলে যায়। তারপরে আপনাকে কেবল পায়ে মাপসই করা কোষের সংখ্যা গণনা করতে হবে। তারপর তাদের গুণ করুন এবং দুই দ্বারা ভাগ করুন।

যখন ত্রিভুজটি তীব্র বা স্থূল হয়, তখন এটি একটি আয়তক্ষেত্রে আঁকতে হবে। তারপর ফলস্বরূপ চিত্রটিতে 3টি ত্রিভুজ থাকবে। একটি সমস্যা দেওয়া হয়. এবং বাকি দুটি হল সহায়ক এবং আয়তক্ষেত্রাকার। উপরে বর্ণিত পদ্ধতি ব্যবহার করে শেষ দুটির ক্ষেত্র নির্ধারণ করতে হবে। তারপর আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল গণনা করুন এবং এটি থেকে অক্জিলিয়ারীগুলির জন্য গণনা করা বিয়োগ করুন। ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ধারিত হয়।

যে পরিস্থিতির মধ্যে ত্রিভুজের কোনও দিকই কাগজের রেখার সাথে মিলে যায় না তা আরও জটিল হয়ে ওঠে। তারপরে এটি একটি আয়তক্ষেত্রে খোদাই করা দরকার যাতে আসল চিত্রটির শীর্ষগুলি এর পাশে থাকে। এই ক্ষেত্রে, তিনটি সহায়ক সমকোণী ত্রিভুজ থাকবে।

হেরনের সূত্র ব্যবহার করে সমস্যার উদাহরণ

অবস্থা। কিছু ত্রিভুজ পরিচিত পক্ষ আছে. তারা 3, 5 এবং 6 সেমি সমান আপনি এর এলাকা খুঁজে বের করতে হবে।

এখন আপনি উপরের সূত্রটি ব্যবহার করে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে পারেন। বর্গমূলের অধীনে চারটি সংখ্যার গুণফল: 7, 4, 2 এবং 1। অর্থাৎ, ক্ষেত্রফল হল √(4 * 14) = 2 √(14)।

যদি বৃহত্তর নির্ভুলতার প্রয়োজন না হয়, তাহলে আপনি 14 এর বর্গমূল নিতে পারেন। এটি 3.74 এর সমান। তাহলে ক্ষেত্রফল হবে 7.48।

উত্তর। S = 2 √14 cm 2 বা 7.48 cm 2.

সমকোণী ত্রিভুজের উদাহরণ সমস্যা

অবস্থা। একটি সমকোণী ত্রিভুজের একটি পা দ্বিতীয়টির চেয়ে 31 সেমি বড় হলে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 180 সেমি 2 হলে আপনাকে তাদের দৈর্ঘ্য খুঁজে বের করতে হবে।
সমাধান। আমাদের দুটি সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধান করতে হবে। প্রথমটি এলাকা সম্পর্কিত। দ্বিতীয়টি পায়ের অনুপাতের সাথে, যা সমস্যাটিতে দেওয়া হয়েছে।
180 = ½ a * b;

a = b + 31.
প্রথমত, প্রথম সমীকরণে "a" এর মান প্রতিস্থাপিত করতে হবে। দেখা যাচ্ছে: 180 = ½ (in + 31) * in. এটি শুধুমাত্র একটি অজানা পরিমাণ আছে, তাই এটি সমাধান করা সহজ। বন্ধনী খোলার পরে আমরা পেতে দ্বিঘাত সমীকরণ: in 2 + 31 in - 360 = 0. এটি "in" এর জন্য দুটি মান দেয়: 9 এবং - 40। দ্বিতীয় সংখ্যাটি উত্তর হিসাবে উপযুক্ত নয়, যেহেতু একটি ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য নেতিবাচক হতে পারে না মান

এটি দ্বিতীয় লেগ গণনা করা অবশেষ: ফলাফল সংখ্যায় 31 যোগ করুন এটি 40 আউট. এই সমস্যা চাওয়া পরিমাণ.

উত্তর। ত্রিভুজটির পা 9 এবং 40 সেমি।

একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল, বাহু এবং কোণের মাধ্যমে একটি বাহু খুঁজে পেতে সমস্যা

অবস্থা। একটি নির্দিষ্ট ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 60 সেমি 2। এটির একটি বাহুর গণনা করা প্রয়োজন যদি দ্বিতীয় দিকটি 15 সেমি হয় এবং তাদের মধ্যে কোণটি 30º হয়।

সমাধান। গৃহীত স্বরলিপির উপর ভিত্তি করে, পছন্দসই দিকটি হল “a”, পরিচিত দিকটি হল “b”, প্রদত্ত কোণটি হল “γ”। তারপর এলাকা সূত্র নিম্নলিখিত হিসাবে পুনরায় লেখা যেতে পারে:

60 = ½ a * 15 * sin 30º। এখানে 30 ডিগ্রির সাইন হল 0.5।

রূপান্তরের পরে, "a" 60 / (0.5 * 0.5 * 15) এর সমান হয়ে যায়। অর্থাৎ 16।

উত্তর। প্রয়োজনীয় দিকটি 16 সেমি।

সমকোণী ত্রিভুজে খোদিত একটি বর্গক্ষেত্র সম্পর্কে সমস্যা

অবস্থা। 24 সেমি বাহু বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্রের শীর্ষবিন্দু ত্রিভুজের সমকোণের সাথে মিলে যায়। বাকি দুজন পাশে শুয়ে আছে। তৃতীয়টি কর্ণের অন্তর্গত। একটি পায়ের দৈর্ঘ্য 42 সেমি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান। দুটি সমকোণী ত্রিভুজ বিবেচনা করুন। প্রথমটি টাস্কে নির্দিষ্ট করা। দ্বিতীয় এক উপর ভিত্তি করে বিখ্যাত পামূল ত্রিভুজ। তারা একই কারণ তাদের একটি সাধারণ কোণ আছে এবং সমান্তরাল রেখা দ্বারা গঠিত হয়।

তারপর তাদের পায়ের অনুপাত সমান। ছোট ত্রিভুজটির পাগুলি 24 সেমি (বর্গক্ষেত্রের পাশে) এবং 18 সেমি (প্রদত্ত লেগ 42 সেমি বর্গক্ষেত্রের 24 সেমি বাহু বিয়োগ করুন) এর সমান। একটি বৃহৎ ত্রিভুজের অনুরূপ পাগুলি হল 42 সেমি এবং x সেমি ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল গণনা করার জন্য এই "x" প্রয়োজন।

18/42 = 24/x, অর্থাৎ x = 24 * 42 / 18 = 56 (সেমি)।

তাহলে ক্ষেত্রফল 56 এবং 42 এর গুণফলকে দুই দ্বারা ভাগ করলে 1176 সেমি 2 হবে।

উত্তর। প্রয়োজনীয় এলাকা হল 1176 সেমি 2।

আপনি আপনার স্কুলের জ্যামিতি পাঠ্যক্রম থেকে মনে করতে পারেন, একটি ত্রিভুজ হল একটি চিত্র যা তিনটি বিন্দু দ্বারা সংযুক্ত তিনটি অংশ থেকে গঠিত যা একই সরলরেখায় থাকে না। একটি ত্রিভুজ তিনটি কোণ গঠন করে, তাই চিত্রটির নাম। সংজ্ঞা ভিন্ন হতে পারে। একটি ত্রিভুজকে তিনটি কোণ বিশিষ্ট বহুভুজও বলা যেতে পারে, উত্তরটিও সঠিক হবে। ত্রিভুজগুলিকে সমান বাহুর সংখ্যা এবং চিত্রের কোণের আকার অনুসারে ভাগ করা হয়েছে। এইভাবে, ত্রিভুজগুলিকে যথাক্রমে সমদ্বিবাহু, সমবাহু এবং স্কেলিনের পাশাপাশি আয়তক্ষেত্রাকার, তীব্র এবং স্থূল হিসাবে আলাদা করা হয়।

একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল গণনা করার জন্য প্রচুর সূত্র রয়েছে। একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কীভাবে খুঁজে পাবেন তা চয়ন করুন, যেমন কোন সূত্র ব্যবহার করবেন তা আপনার উপর নির্ভর করে। তবে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল গণনা করার জন্য অনেক সূত্রে ব্যবহৃত কিছু স্বরলিপিই লক্ষ্য করা উচিত। সুতরাং, মনে রাখবেন:

S হল ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল,

a, b, c হল ত্রিভুজের বাহু,

h হল ত্রিভুজের উচ্চতা,

R হল পরিধিকৃত বৃত্তের ব্যাসার্ধ,

p হল আধা-ঘের।

আপনি যদি আপনার জ্যামিতি কোর্সটি সম্পূর্ণভাবে ভুলে যান তবে এখানে মৌলিক স্বরলিপিগুলি রয়েছে যা আপনার জন্য উপযোগী হতে পারে। নীচে একটি ত্রিভুজের অজানা এবং রহস্যময় এলাকা গণনা করার জন্য সবচেয়ে বোধগম্য এবং জটিল বিকল্পগুলি রয়েছে। এটা কঠিন নয় এবং আপনার পরিবারের প্রয়োজন এবং আপনার সন্তানদের সাহায্য করার জন্য উভয়ই কার্যকর হবে। আসুন মনে রাখবেন কিভাবে একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল যতটা সম্ভব সহজে গণনা করা যায়:

আমাদের ক্ষেত্রে, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল হল: S = ½ * 2.2 সেমি * 2.5 সেমি = 2.75 বর্গ সেমি। মনে রাখবেন যে এলাকাটি বর্গ সেন্টিমিটার (sqcm) এ পরিমাপ করা হয়।

সমকোণী ত্রিভুজ এবং এর ক্ষেত্রফল।

একটি সমকোণী ত্রিভুজ হল একটি ত্রিভুজ যার একটি কোণ 90 ডিগ্রির সমান (তাই ডান বলা হয়)। একটি সমকোণ দুটি লম্ব রেখা দ্বারা গঠিত হয় (একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রে, দুটি লম্ব অংশ)। একটি সমকোণী ত্রিভুজে শুধুমাত্র একটি সমকোণ থাকতে পারে, কারণ... যেকোনো একটি ত্রিভুজের সকল কোণের সমষ্টি 180 ডিগ্রির সমান। দেখা যাচ্ছে যে 2টি অন্য কোণ বাকি 90 ডিগ্রিকে ভাগ করতে হবে, উদাহরণস্বরূপ 70 এবং 20, 45 এবং 45 ইত্যাদি। সুতরাং, আপনি মূল জিনিসটি মনে রাখবেন, যা বাকি থাকে তা হল কীভাবে একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল খুঁজে বের করা যায়। আসুন কল্পনা করি যে আমাদের সামনে এমন একটি সমকোণী ত্রিভুজ রয়েছে এবং আমাদের এর ক্ষেত্রফল S খুঁজে বের করতে হবে।

1. একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করার সবচেয়ে সহজ উপায় নিম্নলিখিত সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা হয়:

আমাদের ক্ষেত্রে, সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল হল: S = 2.5 সেমি * 3 সেমি / 2 = 3.75 বর্গ সেমি।

নীতিগতভাবে, অন্য উপায়ে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল যাচাই করার আর প্রয়োজন নেই, কারণ শুধুমাত্র এই একটি দরকারী হবে এবং দৈনন্দিন জীবনে সাহায্য করবে। তবে তীব্র কোণের মাধ্যমে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল পরিমাপের বিকল্পও রয়েছে।

2. অন্যান্য গণনা পদ্ধতির জন্য, আপনার অবশ্যই কোসাইন, সাইন এবং স্পর্শকগুলির একটি টেবিল থাকতে হবে। নিজের জন্য বিচার করুন, এখানে একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল গণনা করার জন্য কিছু বিকল্প রয়েছে যা এখনও ব্যবহার করা যেতে পারে:

আমরা প্রথম সূত্রটি ব্যবহার করার সিদ্ধান্ত নিয়েছি এবং কিছু ছোটখাট দাগ দিয়ে (আমরা এটি একটি নোটবুকে আঁকলাম এবং একটি পুরানো শাসক এবং প্রটেক্টর ব্যবহার করেছি), তবে আমরা সঠিক গণনা পেয়েছি:

S = (2.5*2.5)/(2*0.9)=(3*3)/(2*1.2)। আমরা নিম্নলিখিত ফলাফল পেয়েছি: 3.6 = 3.7, কিন্তু কোষের স্থানান্তর বিবেচনায় নিয়ে আমরা এই সংক্ষিপ্ততাকে ক্ষমা করতে পারি।

সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ এবং এর ক্ষেত্রফল।

যদি আপনি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সূত্র গণনা করার কাজের মুখোমুখি হন, তবে সবচেয়ে সহজ উপায় হল প্রধানটি ব্যবহার করা এবং ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের জন্য শাস্ত্রীয় সূত্র হিসাবে বিবেচিত হয়।

তবে প্রথমে, একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল বের করার আগে, আসুন জেনে নেওয়া যাক এটি কী ধরনের চিত্র। একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ হল একটি ত্রিভুজ যার দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য একই। এই দুই বাহুকে বলা হয় পার্শ্বীয়, তৃতীয় বাহুকে বেস বলা হয়। সমবাহু ত্রিভুজের সাথে একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজকে বিভ্রান্ত করবেন না, যেমন একটি নিয়মিত ত্রিভুজ যার তিনটি বাহু সমান। এই জাতীয় ত্রিভুজে কোণগুলির জন্য বা তাদের আকারের জন্য কোনও বিশেষ প্রবণতা নেই। যাইহোক, একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভিত্তির কোণগুলি সমান, কিন্তু সমান বাহুর মধ্যবর্তী কোণ থেকে ভিন্ন। সুতরাং, আপনি ইতিমধ্যেই প্রথম এবং প্রধান সূত্রটি জানেন; একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ধারণের জন্য অন্য কোন সূত্রগুলি জানা যায়:

একটি জ্যামিতিক চিত্রের ক্ষেত্রফল- একটি জ্যামিতিক চিত্রের একটি সংখ্যাগত বৈশিষ্ট্য যা এই চিত্রটির আকার দেখাচ্ছে (এই চিত্রটির বন্ধ কনট্যুর দ্বারা সীমাবদ্ধ পৃষ্ঠের অংশ)। এতে থাকা বর্গ এককের সংখ্যা দ্বারা এলাকার আকার প্রকাশ করা হয়।

ত্রিভুজ এলাকা সূত্র

পাশাপাশি এবং উচ্চতা দ্বারা একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্র
একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলএকটি ত্রিভুজের একটি বাহুর দৈর্ঘ্যের অর্ধেক গুণফল এবং এই দিকে টানা উচ্চতার দৈর্ঘ্যের সমান
তিন বাহু এবং বৃত্তের ব্যাসার্ধের উপর ভিত্তি করে একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্র
তিনটি বাহু এবং খোদাই করা বৃত্তের ব্যাসার্ধের উপর ভিত্তি করে একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্র
একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলত্রিভুজের অর্ধ-ঘেরের গুণফল এবং উৎকীর্ণ বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান।

বর্গক্ষেত্রের সূত্র

পাশের দৈর্ঘ্য দ্বারা একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সূত্র
বর্গাকার এলাকাএর পাশের দৈর্ঘ্যের বর্গক্ষেত্রের সমান।
তির্যক দৈর্ঘ্য বরাবর একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সূত্র
বর্গাকার এলাকাএর তির্যকের দৈর্ঘ্যের অর্ধেক বর্গক্ষেত্রের সমান।
S= 1 2
2

আয়তক্ষেত্র এলাকা সূত্র

একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

সমান্তরাল ক্ষেত্রফলের সূত্র

পাশের দৈর্ঘ্য এবং উচ্চতার উপর ভিত্তি করে একটি সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফলের সূত্র
সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফল
দুটি বাহু এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণের উপর ভিত্তি করে একটি সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফলের সূত্র
সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফলএটির বাহুর দৈর্ঘ্যের গুণফলের সমান এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণের সাইন দ্বারা গুণিত হয়।
a b sin α

রম্বসের ক্ষেত্রফলের সূত্র

পাশের দৈর্ঘ্য এবং উচ্চতার উপর ভিত্তি করে একটি রম্বসের ক্ষেত্রফলের সূত্র
একটি রম্বসের ক্ষেত্রফলএটির পাশের দৈর্ঘ্যের গুণফলের সমান এবং এই দিকে নামানো উচ্চতার দৈর্ঘ্য।
পার্শ্ব দৈর্ঘ্য এবং কোণের উপর ভিত্তি করে একটি রম্বসের ক্ষেত্রফলের সূত্র
একটি রম্বসের ক্ষেত্রফলএর বাহুর দৈর্ঘ্যের বর্গক্ষেত্রের গুণফল এবং রম্বসের বাহুর মধ্যবর্তী কোণের সাইনের সমান।
একটি রম্বসের ক্ষেত্রফলের সূত্র তার কর্ণের দৈর্ঘ্যের উপর ভিত্তি করে
একটি রম্বসের ক্ষেত্রফলএর কর্ণের দৈর্ঘ্যের অর্ধেক গুণফলের সমান।

ট্র্যাপিজয়েড এলাকার সূত্র

ট্র্যাপিজয়েডের জন্য হেরনের সূত্র
যেখানে S হল ট্র্যাপিজয়েডের এলাকা,
- ট্র্যাপিজয়েডের ঘাঁটির দৈর্ঘ্য,
- ট্র্যাপিজয়েডের পাশের দৈর্ঘ্য,