সংজ্ঞা।

আয়তক্ষেত্রদুটি সহ একটি চতুর্ভুজ বিপরীত দিকগুলোসমান এবং চারটি কোণ একই।

আয়তক্ষেত্রগুলি একে অপরের থেকে শুধুমাত্র লম্বা পাশের এবং ছোট পাশের অনুপাতে আলাদা, তবে তাদের চারটিই সঠিক, অর্থাৎ প্রতিটি 90 ডিগ্রি।

আয়তক্ষেত্রের দীর্ঘ দিককে বলা হয় আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য, এবং সংক্ষিপ্ত আয়তক্ষেত্র প্রস্থ.

একটি আয়তক্ষেত্রের বাহুগুলিও এর উচ্চতা।

একটি আয়তক্ষেত্রের মৌলিক বৈশিষ্ট্য

একটি আয়তক্ষেত্র একটি সমান্তরালগ্রাম, একটি বর্গক্ষেত্র বা একটি রম্বস হতে পারে।

1. একটি আয়তক্ষেত্রের বিপরীত বাহুগুলির দৈর্ঘ্য একই, অর্থাৎ, তারা সমান:

AB=CD, BC=AD

2. আয়তক্ষেত্রের বিপরীত বাহুগুলি সমান্তরাল:

3. একটি আয়তক্ষেত্রের সন্নিহিত বাহুগুলি সর্বদা লম্ব হয়:

AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB

4. আয়তক্ষেত্রের চারটি কোণই সোজা:

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°

5. একটি আয়তক্ষেত্রের কোণের সমষ্টি হল 360 ডিগ্রি:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

6. একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য একই:

7. একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণের বর্গক্ষেত্রের যোগফল বাহুর বর্গক্ষেত্রের সমষ্টির সমান:

2d2 = 2a2 + 2b2

8. একটি আয়তক্ষেত্রের প্রতিটি কর্ণ আয়তক্ষেত্রটিকে দুটি অভিন্ন চিত্রে বিভক্ত করে, যথা সমকোণী ত্রিভুজ।

9. আয়তক্ষেত্রের কর্ণগুলি ছেদ করে এবং ছেদ বিন্দুতে অর্ধেকে বিভক্ত:

		AO=BO=CO=DO=	d
			2

10. কর্ণগুলির ছেদ বিন্দুকে আয়তক্ষেত্রের কেন্দ্র বলা হয় এবং এটি পরিধিকৃত বৃত্তের কেন্দ্রও

11. একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণ হল পরিধিকৃত বৃত্তের ব্যাস

12. একটি বৃত্ত সর্বদা একটি আয়তক্ষেত্রের চারপাশে বর্ণনা করা যেতে পারে, যেহেতু বিপরীত কোণের যোগফল 180 ডিগ্রি:

∠ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = ∠DAB = 180°

13. একটি বৃত্ত একটি আয়তক্ষেত্রে খোদাই করা যায় না যার দৈর্ঘ্য তার প্রস্থের সমান নয়, যেহেতু বিপরীত বাহুর যোগফল একে অপরের সমান নয় (একটি বৃত্ত শুধুমাত্র একটি আয়তক্ষেত্রের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে খোদাই করা যেতে পারে - একটি বর্গ)।

একটি আয়তক্ষেত্রের দিক

সংজ্ঞা।

আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্যএর বাহুর লম্বা জোড়ার দৈর্ঘ্যকে কল করুন। আয়তক্ষেত্র প্রস্থএর বাহুর ছোট জোড়ার দৈর্ঘ্যের নাম দাও।

একটি আয়তক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ধারণের সূত্র

1. একটি আয়তক্ষেত্রের পাশের সূত্র (আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য এবং প্রস্থ) তির্যক এবং অন্য দিকের দিক থেকে:

a = √ d 2 - b 2

b = √ d 2 - a 2

2. একটি আয়তক্ষেত্রের পাশের সূত্র (আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য এবং প্রস্থ) ক্ষেত্রফল এবং অন্য দিকের দিক থেকে:

b = dcos	β
	2

আয়তক্ষেত্র তির্যক

সংজ্ঞা।

তির্যক আয়তক্ষেত্রএকটি আয়তক্ষেত্রের বিপরীত কোণের দুটি শীর্ষবিন্দুকে সংযোগকারী যে কোনো রেখাংশকে বলা হয়।

একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ধারণের সূত্র

1. আয়তক্ষেত্রের দুই বাহুর পরিপ্রেক্ষিতে একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণের সূত্র (পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যের মাধ্যমে):

d = √ a 2 + b 2

2. ক্ষেত্রফল এবং যেকোনো বাহুর ক্ষেত্রে একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণের সূত্র:

4. পরিধিকৃত বৃত্তের ব্যাসার্ধের পরিপ্রেক্ষিতে একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণের সূত্র:

d=2R

5. পরিধিকৃত বৃত্তের ব্যাসের পরিপ্রেক্ষিতে একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণের সূত্র:

d = D o

6. তির্যকের সংলগ্ন কোণের সাইনের পরিপ্রেক্ষিতে একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণের সূত্র এবং এই কোণের বিপরীত দিকের দৈর্ঘ্য:

8. কর্ণ এবং আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের মধ্যে একটি তীব্র কোণের সাইনের পরিপ্রেক্ষিতে একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণের সূত্র

d = √2S: sinβ

একটি আয়তক্ষেত্রের পরিধি

সংজ্ঞা।

একটি আয়তক্ষেত্রের পরিধিআয়তক্ষেত্রের সব বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি।

একটি আয়তক্ষেত্রের পরিধির দৈর্ঘ্য নির্ধারণের সূত্র

1. আয়তক্ষেত্রের দুটি বাহুর পরিপ্রেক্ষিতে একটি আয়তক্ষেত্রের পরিধির সূত্র:

P = 2a + 2b

P = 2(a+b)

2. ক্ষেত্রফল এবং যেকোনো বাহুর পরিপ্রেক্ষিতে একটি আয়তক্ষেত্রের পরিধির সূত্র:

পি =	2S + 2a 2	=	2S + 2b 2
	ক		খ

3. তির্যক এবং যেকোনো বাহুর পরিপ্রেক্ষিতে একটি আয়তক্ষেত্রের পরিধির সূত্র:

P = 2(a + √ d 2 - a 2) = 2(b + √ d 2 - b 2)

4. পরিধিকৃত বৃত্তের ব্যাসার্ধের পরিপ্রেক্ষিতে একটি আয়তক্ষেত্রের পরিধির সূত্র এবং যেকোনো বাহুর:

P = 2(a + √4R 2 - একটি 2) = 2(b + √4R 2 - খ 2)

5. পরিধিকৃত বৃত্তের ব্যাসের পরিপ্রেক্ষিতে একটি আয়তক্ষেত্রের পরিধি এবং যে কোনো দিকের সূত্র:

P = 2(a + √D o 2 - একটি 2) = 2(b + √D o 2 - খ 2)

আয়তক্ষেত্র এলাকা

সংজ্ঞা।

আয়তক্ষেত্র এলাকাআয়তক্ষেত্রের পার্শ্ব দ্বারা আবদ্ধ স্থানকে বলা হয়, অর্থাৎ আয়তক্ষেত্রের পরিধির মধ্যে।

একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র

1. দুই বাহুর পরিপ্রেক্ষিতে একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সূত্র:

S = a খ

2. একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ঘের এবং যে কোনো পাশের সূত্র:

5. পরিধিকৃত বৃত্তের ব্যাসার্ধের পরিপ্রেক্ষিতে একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সূত্র এবং যেকোনো বাহুর:

S = a √4R 2 - একটি 2= b √4R 2 - খ 2

6. পরিধিকৃত বৃত্তের ব্যাসের পরিপ্রেক্ষিতে একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল এবং যে কোনো দিকের সূত্র:

S \u003d a √ D o 2 - একটি 2= b √ D o 2 - খ 2

একটি আয়তক্ষেত্রের চারপাশে ঘেরা বৃত্ত

সংজ্ঞা।

একটি আয়তক্ষেত্রের চারপাশে পরিধিকৃত একটি বৃত্তএকটি বৃত্তকে একটি আয়তক্ষেত্রের চারটি শীর্ষবিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি বৃত্ত বলা হয়, যার কেন্দ্রটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণগুলির সংযোগস্থলে অবস্থিত।

একটি আয়তক্ষেত্রের চারপাশে পরিধিকৃত একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ নির্ধারণের সূত্র

1. একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের সূত্র একটি আয়তক্ষেত্রের চারপাশে দুটি বাহুর মধ্য দিয়ে ঘেরা:

সমাধান করার সময়, এটি বিবেচনা করা প্রয়োজন যে একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল খুঁজে বের করার সমস্যাটি শুধুমাত্র তার বাহুর দৈর্ঘ্য থেকে সমাধান করা। এটা নিষিদ্ধ.

এই যাচাই করা সহজ. আয়তক্ষেত্রের পরিধি 20 সেন্টিমিটার ধরা যাক। এটি সত্য হবে যদি এর বাহু 1 এবং 9, 2 এবং 8, 3 এবং 7 সেমি হয়। এই তিনটি আয়তক্ষেত্রের একই পরিধি থাকবে, বিশ সেন্টিমিটারের সমান। (1 + 9) * 2 = 20 ঠিক যেমন (2 + 8) * 2 = 20 সেমি।
আপনি দেখতে পারেন, আমরা চয়ন করতে পারেন একটি অসীম সংখ্যক বিকল্পআয়তক্ষেত্রের বাহুর মাত্রা, যার পরিধি প্রদত্ত মানের সমান হবে।

আয়তক্ষেত্রগুলির ক্ষেত্রফল 20 সেন্টিমিটার প্রদত্ত পরিধি সহ, তবে বিভিন্ন বাহু সহ ভিন্ন হবে। প্রদত্ত উদাহরণের জন্য - যথাক্রমে 9, 16 এবং 21 বর্গ সেন্টিমিটার।
S 1 \u003d 1 * 9 \u003d 9 সেমি 2
S 2 \u003d 2 * 8 \u003d 16 সেমি 2
S 3 \u003d 3 * 7 \u003d 21 সেমি 2
আপনি দেখতে পাচ্ছেন, একটি প্রদত্ত পরিধি সহ একটি চিত্রের ক্ষেত্রফলের জন্য অসীম সংখ্যক বিকল্প রয়েছে।

কৌতূহলী জন্য নোট. একটি প্রদত্ত পরিসীমা সহ একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রে, বর্গক্ষেত্রের সর্বাধিক ক্ষেত্রফল থাকবে।

সুতরাং, একটি আয়তক্ষেত্রের পরিধি থেকে ক্ষেত্রফল নির্ণয় করার জন্য, এটির বাহুর অনুপাত বা তাদের একটির দৈর্ঘ্য জানা প্রয়োজন। একমাত্র চিত্র যার পরিধিতে এর ক্ষেত্রফলের একটি দ্ব্যর্থহীন নির্ভরতা রয়েছে তা হল একটি বৃত্ত। শুধুমাত্র বৃত্তের জন্যএবং সম্ভবত একটি সমাধান।

এই পাঠে:

• টাস্ক 4. আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল বজায় রেখে পাশের দৈর্ঘ্য পরিবর্তন করুন

কাজ 1. এলাকা থেকে একটি আয়তক্ষেত্রের বাহুগুলি খুঁজুন

একটি আয়তক্ষেত্রের পরিধি হল 32 সেন্টিমিটার, এবং এর প্রতিটি বাহুতে নির্মিত বর্গক্ষেত্রগুলির সমষ্টি হল 260 বর্গ সেন্টিমিটার। আয়তক্ষেত্রের দিকগুলি খুঁজুন।
সিদ্ধান্ত.

2(x+y)=32
সমস্যার শর্ত অনুসারে, এর প্রতিটি পাশে নির্মিত বর্গক্ষেত্রগুলির ক্ষেত্রফলের সমষ্টি (বর্গ, যথাক্রমে, চার) সমান হবে
2x2+2y2=260
x+y=16
x=16-y
2(16-y) 2 +2y 2 = 260
2(256-32y+y2)+2y2=260
512-64y+4y 2 -260=0
4y2 -64y+252=0
D=4096-16x252=64
x1=9
x2=7
এখন বিবেচনা করা যাক যে x+y=16 (উপরে দেখুন) x=9, তারপর y=7 এবং তদ্বিপরীত, যদি x=7, তাহলে y=9
উত্তর: একটি আয়তক্ষেত্রের বাহু 7 এবং 9 সেন্টিমিটার

কাজ 2. ঘের থেকে একটি আয়তক্ষেত্রের বাহুগুলি খুঁজুন

একটি আয়তক্ষেত্রের পরিধি হল 26 সেমি, এবং এর দুটি সন্নিহিত বাহুর উপর নির্মিত বর্গক্ষেত্রগুলির সমষ্টি হল 89 বর্গ মিটার। আয়তক্ষেত্রের বাহু খুঁজুন দেখুন।
সিদ্ধান্ত.
আয়তক্ষেত্রের বাহুগুলিকে x এবং y হিসাবে চিহ্নিত করা যাক।
তারপর আয়তক্ষেত্রের পরিধি হল:
2(x+y)=26
এর প্রতিটি ধারে নির্মিত বর্গক্ষেত্রগুলির ক্ষেত্রফলের সমষ্টি (যথাক্রমে দুটি বর্গক্ষেত্র রয়েছে এবং এগুলি প্রস্থ এবং উচ্চতার বর্গাকার, যেহেতু দিকগুলি সংলগ্ন) সমান হবে
x2+y2=89
আমরা সমীকরণের ফলস্বরূপ সিস্টেমটি সমাধান করি। প্রথম সমীকরণ থেকে আমরা তা অনুমান করি
x+y=13
y=13-y
এখন আমরা দ্বিতীয় সমীকরণে একটি প্রতিস্থাপন করি, x এর সমতুল্য দিয়ে প্রতিস্থাপন করি।
(13তম) 2 +y 2 =89
169-26y+y 2 +y 2 -89=0
2y2 -26y+80=0
আমরা ফলস্বরূপ দ্বিঘাত সমীকরণটি সমাধান করি।
D=676-640=36
x1=5
x2=8
এখন বিবেচনা করা যাক যে x+y=13 (উপরে দেখুন) x=5, তারপর y=8 এবং তদ্বিপরীত, যদি x=8, তাহলে y=5
উত্তর: 5 এবং 8 সেমি

কাজ 3. একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল তার বাহুর অনুপাত থেকে নির্ণয় করুন

একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন যদি এর পরিধি 26 সেমি হয় এবং বাহুগুলি 2 থেকে 3 সমানুপাতিক হয়।

সিদ্ধান্ত.
আয়তক্ষেত্রের বাহুগুলোকে অনুপাত x এর সহগ দ্বারা চিহ্নিত করা যাক।
যেখান থেকে এক পাশের দৈর্ঘ্য হবে 2x, অন্যটি - 3x।

তারপর:
2(2x+3x)=26
2x+3x=13
5x=13
x=13/5
এখন, প্রাপ্ত তথ্যের উপর ভিত্তি করে, আমরা আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ধারণ করি:
2x*3x=2*13/5*3*13/5=40.56 cm2

টাস্ক 4. একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্র বজায় রাখার সময় পাশের দৈর্ঘ্য পরিবর্তন করা

আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 25% বৃদ্ধি পেয়েছে। কত শতাংশ দ্বারা প্রস্থ হ্রাস করা উচিত যাতে এর ক্ষেত্রফল পরিবর্তন না হয়?

সিদ্ধান্ত.
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হল
S=ab

আমাদের ক্ষেত্রে, ফ্যাক্টরগুলির মধ্যে একটি 25% বৃদ্ধি পেয়েছে, যার মানে 2 = 1.25a। তাই আয়তক্ষেত্রের নতুন এলাকা হওয়া উচিত
S 2 \u003d 1.25ab

এইভাবে, আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলটিকে তার প্রাথমিক মানতে ফিরিয়ে আনতে, তারপর
S2 = S/1.25
S 2 \u003d 1.25ab / 1.25

যেহেতু নতুন আকার a পরিবর্তন করা যাবে না, তাহলে
S 2 \u003d (1.25a) b / 1.25

1 / 1,25 = 0,8
সুতরাং, দ্বিতীয় দিকের মান অবশ্যই (1 - 0.8) * 100% = 20% দ্বারা কমাতে হবে

উত্তর: প্রস্থ 20% দ্বারা হ্রাস করা উচিত।

নির্দেশ

দৈর্ঘ্য আয়তক্ষেত্রবিভিন্ন উপায়ে পাওয়া যেতে পারে। সবকিছু নির্ভর করে উৎস তথ্যের উপর।

প্রথম বিকল্পটি সম্ভবত সবচেয়ে সহজ।

প্রস্থ জানা থাকলে আয়তক্ষেত্রএবং এর এলাকা, এলাকা সূত্র ব্যবহার করুন। জানা গেছে, এলাকায় মো আয়তক্ষেত্রপ্রস্থ এবং দৈর্ঘ্যের পণ্য আয়তক্ষেত্র.

পরিধি আয়তক্ষেত্রপ্রস্থ এবং দৈর্ঘ্যের মান যোগ করে এবং ফলাফল সংখ্যাটিকে দুই দ্বারা গুণ করে পাওয়া যেতে পারে। আমরা অজানা দিক খুঁজে পাই।

আমরা ঘেরটিকে দুই দ্বারা ভাগ করি এবং ফলের থেকে প্রস্থ বিয়োগ করি।

যদি শুধু প্রস্থ জানা যায় আয়তক্ষেত্রএবং তির্যকটির দৈর্ঘ্য, আপনি পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য ব্যবহার করতে পারেন। আয়তক্ষেত্রটিকে দুটি সমান আয়তক্ষেত্রে ভাগ করুন।

পরবর্তী পদ্ধতি: কর্ণের মধ্যবর্তী কোণ জানা যায় আয়তক্ষেত্রএবং তির্যক। দ্বারা গঠিত ত্রিভুজ বিবেচনা করুন আয়তক্ষেত্রএবং অর্ধেক কর্ণ। কোসাইন আইন দ্বারা আপনি এই দিক খুঁজে পাবেন আয়তক্ষেত্র.

সূত্র:

• আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ নির্ণয় কর
• আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য কত হবে যদি এর প্রস্থ জানা যায়

আমরা প্রত্যেকেই প্রাথমিক গ্রেডে একটি পরিধি কী তা সম্পর্কে শিখেছি। পরিচিত পরিধি সহ একটি বর্গক্ষেত্রের দিকগুলি খুঁজে পাওয়া সাধারণত তাদের জন্যও সমস্যা সৃষ্টি করে না যারা অনেক আগে স্কুল থেকে স্নাতক হয়েছেন এবং গণিতের কোর্সটি ভুলে যেতে পেরেছিলেন। যাইহোক, প্রত্যেকেই একটি ইঙ্গিত ছাড়াই একটি আয়তক্ষেত্র বা একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে অনুরূপ সমস্যা সমাধানে সফল হয় না।

নির্দেশ

ধরা যাক a, b এবং c বাহু সহ একটি সমকোণী ত্রিভুজ রয়েছে, যার একটি কোণ 30 এবং দ্বিতীয়টি 60। চিত্রটি দেখায় যে a = c*sin?, এবং b = c*cos?। যে কোন চিত্রের পরিধি, মধ্যে এবং একটি ত্রিভুজ, তার সমস্ত বাহুর যোগফলের সমান, জেনে আমরা পাই: a + b + c = c * sin? + c * cos + c = p এই অভিব্যক্তি থেকে, আপনি করতে পারেন অজানা বাহু c খুঁজুন, যা ত্রিভুজের কর্ণ। তাহলে কোণটা কেমন? = 30, রূপান্তরের পরে আমরা পাই: p/,b=c*cos?=p*sqrt(3)/

উপরে উল্লিখিত হিসাবে, একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণ এটিকে দুটি ভাগে ভাগ করে সঠিক ত্রিভুজ 30 এবং 60 ডিগ্রি কোণ সহ। যেহেতু p=2(a + b), প্রস্থ a এবং দৈর্ঘ্য b আয়তক্ষেত্রটি এই সত্যের ভিত্তিতে পাওয়া যেতে পারে যে তির্যকটি সমকোণী ত্রিভুজের কর্ণ: a = p-2b/2=p/2
b= p-2a/2=p/2এই দুটি আয়তক্ষেত্র সমীকরণ। এই আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য এবং প্রস্থ তাদের থেকে গণনা করা হয়, এর তির্যক আঁকার সময় ফলাফলের কোণগুলিকে বিবেচনা করে।

সংশ্লিষ্ট ভিডিও

বিঃদ্রঃ

আপনি যদি ঘের এবং প্রস্থ জানেন তবে আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য কীভাবে খুঁজে পাবেন? দৈর্ঘ্যের দ্বিগুণ পেতে ঘের থেকে প্রস্থের দ্বিগুণ বিয়োগ করুন। তারপরে আমরা দৈর্ঘ্য খুঁজে পেতে এটিকে অর্ধেক ভাগ করি।

সহায়ক পরামর্শ

থেকে আরো প্রাথমিক স্কুলঅনেক লোক মনে রাখে যে কোনও জ্যামিতিক চিত্রের পরিধি কীভাবে খুঁজে পাওয়া যায়: এটির সমস্ত বাহুর দৈর্ঘ্য খুঁজে বের করা এবং তাদের যোগফল খুঁজে বের করা যথেষ্ট। এটি জানা যায় যে একটি আয়তক্ষেত্রের মতো একটি চিত্রে, বাহুর দৈর্ঘ্য জোড়ায় সমান। যদি একটি আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ এবং উচ্চতা একই দৈর্ঘ্য হয়, তবে তাকে বর্গ বলা হয়। সাধারণত, একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্যকে বাহুর বৃহত্তম এবং প্রস্থকে সবচেয়ে ছোট বলা হয়।

সূত্র:

• 2019 সালে পরিধির প্রস্থ কত

টিপ 3: কিভাবে একটি ত্রিভুজ এবং একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল বের করবেন

ত্রিভুজ এবং আয়তক্ষেত্র হল ইউক্লিডীয় জ্যামিতির দুটি সহজ সমতল জ্যামিতিক চিত্র। এই বহুভুজগুলির পার্শ্ব দ্বারা গঠিত ঘেরের মধ্যে, সমতলের একটি নির্দিষ্ট বিভাগ রয়েছে, যার ক্ষেত্রফল বিভিন্ন উপায়ে নির্ধারণ করা যেতে পারে। প্রতিটি নির্দিষ্ট ক্ষেত্রে পদ্ধতির পছন্দ পরিসংখ্যানের পরিচিত পরামিতির উপর নির্ভর করবে।

নির্দেশ

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল বের করতে ত্রিকোণমিতিক সূত্রগুলির একটি ব্যবহার করুন যদি আপনি এক বা একাধিক কোণের মান জানেন। উদাহরণস্বরূপ, কোণ (α) এর একটি পরিচিত মান এবং এটিকে (B এবং C) তৈরি করা বাহুগুলির দৈর্ঘ্য সহ, ক্ষেত্রফল (S) সূত্র S \u003d B * C * sin (α) দ্বারা প্রাপ্ত করা যেতে পারে ) / 2। এবং সমস্ত কোণের মান (α, β এবং γ) এবং এক পাশের দৈর্ঘ্য (A) সহ, আপনি S \u003d A² * sin (β) * sin (γ) / সূত্রটি ব্যবহার করতে পারেন (2 * পাপ (α))। যদি, সমস্ত কোণ ছাড়াও, পরিধিকৃত বৃত্তের (R) জানা থাকে, তাহলে S=2*R²*sin(α)*sin(β)*sin(γ) সূত্রটি ব্যবহার করুন।

যদি কোণগুলি জানা না থাকে, তাহলে একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল খুঁজে বের করতে, আপনি ছাড়া ব্যবহার করতে পারেন ত্রিকোণমিতিক ফাংশন. উদাহরণস্বরূপ, যদি (H) এমন একটি দিক থেকে আঁকা হয় যা (A) জানে, তাহলে সূত্র S \u003d A * H/2 ব্যবহার করুন। এবং যদি প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য (A, B এবং C) দেওয়া হয়, তাহলে প্রথমে অর্ধ-ঘের p \u003d (A + B + C) / 2 খুঁজুন এবং তারপর \u200b\ এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন। u200bসূত্র S \u003d √ (p * (p-A) * (p-B) * (p-C)) ব্যবহার করে ত্রিভুজ। যদি, (A, B এবং C) ছাড়াও, পরিধিকৃত বৃত্তের ব্যাসার্ধ (R) জানা থাকে, তাহলে S \u003d A * B * C / (4 * R) সূত্রটি ব্যবহার করুন।

একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল বের করতে, ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলিও ব্যবহার করা যেতে পারে - উদাহরণস্বরূপ, যদি এর তির্যকের দৈর্ঘ্য (C) এবং এটির একটি বাহুর (α) কোণটি জানা যায়। এই ক্ষেত্রে, S=С²*sin(α)*cos(α) সূত্রটি ব্যবহার করুন। এবং যদি কর্ণের দৈর্ঘ্য (C) এবং তারা যে কোণ (α) তৈরি করে তা জানা থাকলে, S \u003d C² * sin (α) / 2 সূত্রটি ব্যবহার করুন।

একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল খুঁজে বের করার সময় আপনি ত্রিকোণমিতিক ফাংশন ছাড়াই করতে পারেন যদি এর লম্ব বাহুর দৈর্ঘ্য (A এবং B) জানা থাকে - আপনি S \u003d A * B সূত্রটি প্রয়োগ করতে পারেন। এবং যদি ঘেরের দৈর্ঘ্য (P) এবং এক পাশে (A) দেওয়া হয়, তাহলে S \u003d A * (P-2 * A) / 2 সূত্রটি ব্যবহার করুন।

সংশ্লিষ্ট ভিডিও

বিভাগ মৌলিক পাটিগণিত ক্রিয়াকলাপগুলির মধ্যে একটি। এটা গুণের বিপরীত। এই ক্রিয়াটির ফলে, আপনি প্রদত্ত সংখ্যাগুলির মধ্যে একটি অন্যটিতে কতবার রয়েছে তা খুঁজে বের করতে পারেন। এই ক্ষেত্রে, ভাগ একই সংখ্যার অসীম সংখ্যক বিয়োগ দ্বারা প্রতিস্থাপিত হতে পারে। সমস্যা বইতে, একটি অজানা বিভাজ্য খুঁজে বের করার একটি নিয়মিত কাজ আছে।

আপনার প্রয়োজন হবে

• - ক্যালকুলেটর;
• - কাগজের একটি শীট এবং একটি পেন্সিল।

নির্দেশ

অজানা লভ্যাংশকে x হিসাবে লিখ। প্রদত্ত সংখ্যা বা বর্ণানুক্রমিক অক্ষর হিসাবে পরিচিত ডেটা রেকর্ড করুন। উদাহরণস্বরূপ, টাস্কটি দেখতে এইরকম হতে পারে: x:a=b। এই ক্ষেত্রে, a এবং b যেকোনো সংখ্যা হতে পারে, উভয়ই , এবং . একটি পূর্ণসংখ্যার আকারে একটি ভাগফলের অর্থ হল যে বিভাজনটি একটি অবশিষ্ট ছাড়াই করা হয়েছিল। লভ্যাংশ খুঁজে পেতে, ভাগফলকে ভাজক দ্বারা গুণ করুন। সূত্রটি দেখতে এরকম হবে: x=a*b।

যদি ভাজক বা ভাগফল একটি পূর্ণসংখ্যা না হয়, তবে সরল এবং দশমিক ভগ্নাংশকে গুণ করার বৈশিষ্ট্যগুলি মনে রাখবেন। প্রথম ক্ষেত্রে, লব এবং হরগুলিকে গুণ করা হয়। যদি একটি সংখ্যা একটি পূর্ণসংখ্যা হয় এবং অন্যটি একটি ভগ্নাংশ হয়, তবে দ্বিতীয়টির লবটি প্রথমটি দ্বারা গুণিত হয়। দশমিকপূর্ণ সংখ্যার মতো ঠিক একইভাবে গুণ করা হয়, তবে দশমিক বিন্দুর ডানদিকে অঙ্কের সংখ্যা যোগ করা হয়, এবং পরবর্তী শূন্যটিকে বিবেচনায় নেওয়া হয়।

ধরুন যে একটি আয়তক্ষেত্রের দুটি বাহুর একটি আছে সাধারণ বিন্দু(অর্থাৎ এর দৈর্ঘ্য) তিনটি বিন্দু A(X₁,Y₁), B(X₂,Y₂) এবং C(X₃,Y₃) এর স্থানাঙ্ক দ্বারা প্রদত্ত। চতুর্থ পয়েন্টটি উপেক্ষা করা যেতে পারে - এর স্থানাঙ্কগুলি কোনওভাবেই প্রভাবিত করে না। x-অক্ষের পাশের AB-এর অভিক্ষেপের দৈর্ঘ্য এই বিন্দুগুলির (X₂-X₁) সংশ্লিষ্ট স্থানাঙ্কগুলির মধ্যে পার্থক্যের সমান হবে। একইভাবে, y-অক্ষের উপর অভিক্ষেপের দৈর্ঘ্য নির্ধারিত হয়: Y₂-Y₁। তাই পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য অনুসারে পাশের দৈর্ঘ্যটি একটি বর্গমূল হিসাবে পাওয়া যেতে পারে

4a, যেখানে a একটি বর্গক্ষেত্র বা হীরার পার্শ্ব। তারপর দৈর্ঘ্য পক্ষইপরিধির এক চতুর্থাংশের সমান: a = p/4।

এই সমস্যাটি একটি ত্রিভুজের জন্যও সহজেই সমাধান করা যেতে পারে। তিনি একই দৈর্ঘ্য তিনটি আছে পক্ষই, সুতরাং একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিধি p হল 3a। তারপর একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহু হল a = p/3।

বাকি পরিসংখ্যানের জন্য, অতিরিক্ত ডেটার প্রয়োজন হবে। উদাহরণস্বরূপ, একটি খুঁজে পেতে পারেন পক্ষইএর পরিধি এবং এলাকা জেনে। ধরুন আয়তক্ষেত্রের দুটি বিপরীত বাহুর দৈর্ঘ্য a, এবং অন্য দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য b। তারপর আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা p হল 2(a+b), এবং ক্ষেত্রফল s হল ab। আমরা দুটি অজানা সহ একটি সিস্টেম পাই:
p = 2(a+b)
s \u003d ab. আমরা প্রথম সমীকরণ থেকে প্রকাশ করি a: a \u003d p / 2 - b। দ্বিতীয়টিতে প্রতিস্থাপন করুন এবং b খুঁজুন: s = pb/2 - b²। এই সমীকরণের বৈষম্য হল D = p²/4 - 4s। তারপর b = (p/2±D^1/2)/2। শূন্যের চেয়ে কম মূলটি বাদ দিন এবং এর বিকল্প করুন পক্ষইক

সূত্র:

• একটি আয়তক্ষেত্রের বাহুগুলি খুঁজুন

আপনি যদি a এর মান জানেন তবে আপনি বলতে পারেন যে আপনি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করেছেন, কারণ এর শিকড় খুব সহজেই পাওয়া যাবে।

আপনার প্রয়োজন হবে

• দ্বিঘাত সমীকরণের বৈষম্যকারীর সূত্র;
• - গুণ সারণী জ্ঞান

নির্দেশ

সংশ্লিষ্ট ভিডিও

সহায়ক পরামর্শ

একটি দ্বিঘাত সমীকরণের বৈষম্য ধনাত্মক, ঋণাত্মক বা 0 এর সমান হতে পারে।

সূত্র:

• সিদ্ধান্ত দ্বিঘাত সমীকরণ
• বৈষম্যমূলক সমান

একটি সমান্তরালগ্রামের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে - একটি আয়তক্ষেত্র - শুধুমাত্র ইউক্লিডের জ্যামিতিতে পরিচিত। এ আয়তক্ষেত্রসমস্ত কোণ সমান, এবং তাদের প্রতিটি আলাদাভাবে 90 ডিগ্রি। ব্যক্তিগত সম্পত্তির উপর ভিত্তি করে আয়তক্ষেত্র, পাশাপাশি বিপরীত বাহুর সমান্তরালতা সম্পর্কে একটি সমান্তরালগ্রামের বৈশিষ্ট্য থেকে, কেউ খুঁজে পেতে পারে পক্ষইপ্রদত্ত তির্যক বরাবর পরিসংখ্যান এবং তাদের ছেদ থেকে কোণ। পাশের হিসাব আয়তক্ষেত্রঅতিরিক্ত নির্মাণ এবং ফলাফল পরিসংখ্যান বৈশিষ্ট্য প্রয়োগ উপর ভিত্তি করে.

নির্দেশ

অক্ষর A কর্ণগুলির ছেদ বিন্দু চিহ্নিত করে। নির্মাণ দ্বারা গঠিত EFA বিবেচনা করুন. সম্পত্তি অনুযায়ী আয়তক্ষেত্রএর কর্ণগুলি সমান এবং ছেদ বিন্দু A দ্বারা দ্বিখণ্ডিত। FA এবং EA এর মান গণনা করুন। যেহেতু ত্রিভুজ EFA হল সমদ্বিবাহু এবং এর পক্ষই EA এবং FA একে অপরের সমান এবং যথাক্রমে, কর্ণ EG এর অর্ধেক সমান।

এর পরে, প্রথম EF গণনা করুন আয়তক্ষেত্র. এই দিকটি বিবেচিত ত্রিভুজ EFA-এর তৃতীয় অজানা দিক। কোসাইন উপপাদ্য অনুসারে, পার্শ্ব EF খুঁজে পেতে সংশ্লিষ্ট সূত্রটি ব্যবহার করুন। এটি করার জন্য, পূর্বে প্রাপ্ত মানগুলি FА EA এবং তাদের মধ্যে পরিচিত কোণের কোসাইন α কোসাইন সূত্রে প্রতিস্থাপন করুন। ফলস্বরূপ EF মান গণনা করুন এবং রেকর্ড করুন।

অন্য দিকে খুঁজুন আয়তক্ষেত্র FG. এটি করার জন্য, অন্য ত্রিভুজ EFG বিবেচনা করুন। এটি আয়তক্ষেত্রাকার, যেখানে কর্ণ ইজি এবং লেগ ইএফ পরিচিত। পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য অনুসারে, উপযুক্ত সূত্র ব্যবহার করে দ্বিতীয় লেগ FG খুঁজুন।

টিপ 4: কিভাবে একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিধি খুঁজে বের করতে হয়

একটি সমবাহু ত্রিভুজ, একটি বর্গক্ষেত্র সহ, সম্ভবত প্ল্যানমিট্রিতে সবচেয়ে সহজ এবং সবচেয়ে প্রতিসম চিত্র। অবশ্যই, একটি সাধারণ ত্রিভুজের জন্য বৈধ সমস্ত সম্পর্কগুলি একটি সমবাহু সম্পর্কেও সত্য। যাইহোক, একটি নিয়মিত ত্রিভুজের জন্য, সমস্ত সূত্র অনেক সহজ হয়ে যায়।

আপনার প্রয়োজন হবে

• ক্যালকুলেটর, শাসক

নির্দেশ

এর একটি বাহুর দৈর্ঘ্য পরিমাপ করতে এবং পরিমাপের ফলাফলকে তিনটি দ্বারা গুণ করুন। ফর্মে এটি নিম্নরূপ লেখা যেতে পারে:

Prt \u003d Ds * 3,

Prt - ত্রিভুজের পরিধি,
Ds হল এর যেকোনো বাহুর দৈর্ঘ্য।

ত্রিভুজের পরিধি তার বাহুর দৈর্ঘ্যের মতো একই মাত্রায় হবে।

যেহেতু একটি সমবাহু ত্রিভুজ আছে একটি উচ্চ ডিগ্রীপ্রতিসাম্য, তারপর প্যারামিটারগুলির একটি তার পরিধি গণনা করার জন্য যথেষ্ট। উদাহরণস্বরূপ, ক্ষেত্রফল, উচ্চতা, খোদাই করা বা বৃত্তাকার বৃত্ত।

আপনি যদি একটি সমবাহু ত্রিভুজের খোদাই করা বৃত্তের ব্যাসার্ধ জানেন, তাহলে এর পরিধি গণনা করতে নিম্নলিখিত সূত্রটি ব্যবহার করুন:

Prt \u003d 6 * √3 * r,

যেখানে: r হল খোদাই করা বৃত্তের ব্যাসার্ধ।
এই নিয়মটি এই সত্য থেকে অনুসরণ করে যে একটি সমবাহু ত্রিভুজের খোদাই করা বৃত্তের ব্যাসার্ধ নিম্নলিখিত সম্পর্ক দ্বারা তার বাহুর দৈর্ঘ্যের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা হয়:
r = √3/6 * Ds.

পরিধিকৃত বৃত্তের ব্যাসার্ধের পরিপ্রেক্ষিতে পরিধি গণনা করতে, সূত্রটি প্রয়োগ করুন:

Prt \u003d 3 * √3 * R,

যেখানে: R হল পরিধিকৃত বৃত্তের ব্যাসার্ধ।
এটি সহজেই পাওয়া যায় যে একটি নিয়মিত ত্রিভুজের পরিধিকৃত বৃত্তের ব্যাসার্ধ নিম্নলিখিত সম্পর্ক দ্বারা তার বাহুর দৈর্ঘ্যের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা হয়: R = √3/3 * Ds।

ব্যবহার করে একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিধি গণনা করতে পরিচিত এলাকানিম্নলিখিত অনুপাত ব্যবহার করুন:
Srt \u003d Dst² * √3 / 4,
যেখানে: Srt হল একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল।
এখান থেকে আমরা অনুমান করতে পারি: Dst² = 4 * Srt / √3, অতএব: Dst = 2 * √(Srt / √3)।
এই অনুপাতটিকে একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্যের মাধ্যমে পরিধি সূত্রে প্রতিস্থাপন করলে আমরা পাই:

Prt = 3 * Dst = 3 * 2 * √(Srt / √3) = 6 * √Sst / √(√3) = 6√Sst / 3^¼।

সংশ্লিষ্ট ভিডিও

বর্গ প্রতিনিধিত্ব করে জ্যামিতিক চিত্র, একই দৈর্ঘ্যের চারটি বাহু এবং চারটি সমকোণ নিয়ে গঠিত, যার প্রতিটি 90° এর সমান। এলাকা নির্ধারণ বা পরিধি একটি চতুর্ভুজ এবং যেকোনো একটির প্রয়োজন শুধুমাত্র জ্যামিতিতে সমস্যা সমাধানের সময় নয়, প্রাত্যহিক জীবন. এই দক্ষতাগুলি দরকারী হয়ে উঠতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, মেরামতের সময় প্রয়োজনীয় পরিমাণ উপকরণ গণনা করার সময় - মেঝে, প্রাচীর বা সিলিং কভারিং, সেইসাথে লন এবং বিছানা ইত্যাদি রাখার জন্য।

একটি আয়তক্ষেত্র একটি চতুর্ভুজের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে। এর অর্থ হল আয়তক্ষেত্রটির চারটি বাহু রয়েছে। এর বিপরীত বাহুগুলি সমান: উদাহরণস্বরূপ, যদি এর একটি বাহু 10 সেমি হয়, তবে বিপরীত দিকটিও 10 সেমি হবে। একটি আয়তক্ষেত্রের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে একটি বর্গক্ষেত্র। একটি বর্গক্ষেত্র হল একটি আয়তক্ষেত্র যার সব দিক সমান। একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল গণনা করতে, আপনি একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল গণনার জন্য একই অ্যালগরিদম ব্যবহার করতে পারেন।

কিভাবে দুই পাশে একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল বের করবেন

একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল বের করতে, এর দৈর্ঘ্যকে এর প্রস্থ দিয়ে গুণ করুন: ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ। নিচের ক্ষেত্রে: ক্ষেত্রফল = AB × BC.

তির্যকের পাশ এবং দৈর্ঘ্য দেওয়া আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কীভাবে বের করা যায়

কিছু সমস্যায়, আপনাকে কর্ণের দৈর্ঘ্য এবং একটি বাহুর ব্যবহার করে একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল খুঁজে বের করতে হবে। একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণ এটিকে দুটি সমান সমকোণী ত্রিভুজে বিভক্ত করে। অতএব, আপনি পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য ব্যবহার করে আয়তক্ষেত্রের দ্বিতীয় দিক নির্ধারণ করতে পারেন। এর পরে, সমস্যাটি আগের পয়েন্টে হ্রাস পেয়েছে।

কিভাবে ঘের এবং পাশে একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল খুঁজে বের করতে হয়

একটি আয়তক্ষেত্রের পরিধি হল এর সমস্ত বাহুর সমষ্টি। আপনি যদি আয়তক্ষেত্রের পরিধি এবং এক দিকে (উদাহরণস্বরূপ, প্রস্থ) জানেন তবে আপনি নিম্নলিখিত সূত্রটি ব্যবহার করে আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল গণনা করতে পারেন:
ক্ষেত্রফল \u003d (ঘের × প্রস্থ - প্রস্থ ^ 2) / 2।

কর্ণ এবং কর্ণের দৈর্ঘ্যের মধ্যে একটি তীব্র কোণের সাইনের পরিপ্রেক্ষিতে একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণগুলি সমান, তাই কর্ণের দৈর্ঘ্য এবং তাদের মধ্যবর্তী তীব্র কোণের সাইনের উপর ভিত্তি করে ক্ষেত্রফল গণনা করতে, নিম্নলিখিত সূত্রটি ব্যবহার করুন: ক্ষেত্রফল = তির্যক^2 × sin(কর্ণগুলির মধ্যে তীব্র কোণ)/ 2.