বর্গমূল বের করা হচ্ছে। বর্গমূল. বর্গমূল সহ ক্রিয়া। মডিউল বর্গমূলের তুলনা

ছাত্ররা সবসময় জিজ্ঞাসা করে: “কেন আমি গণিত পরীক্ষায় ক্যালকুলেটর ব্যবহার করতে পারি না? একটি ক্যালকুলেটর ছাড়া একটি সংখ্যার বর্গমূল কিভাবে বের করা যায়? আসুন এই প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার চেষ্টা করি।

ক্যালকুলেটরের সাহায্য ছাড়া কিভাবে একটি সংখ্যার বর্গমূল বের করা যায়?

কর্ম বর্গমূল নিষ্কাশনবর্গক্ষেত্রের বিপরীত।

√81= 9 9 2 =81

যদি আমরা একটি ধনাত্মক সংখ্যার বর্গমূল নিই এবং ফলাফলটি বর্গ করি, তাহলে আমরা একই সংখ্যা পাব।

ছোট সংখ্যা থেকে যা নিখুঁত বর্গ প্রাকৃতিক সংখ্যা, যেমন 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100 বর্গমূল মৌখিকভাবে বের করা যেতে পারে। সাধারণত স্কুলে তারা বিশ পর্যন্ত প্রাকৃতিক সংখ্যার বর্গক্ষেত্রের একটি টেবিল শেখায়। এই টেবিলটি জেনে, 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400 নম্বরগুলি থেকে বর্গমূল বের করা সহজ। 400-এর বেশি সংখ্যা থেকে, আপনি কিছু টিপস ব্যবহার করে নির্বাচন পদ্ধতি ব্যবহার করে বের করতে পারেন। আসুন এই পদ্ধতি বিবেচনা করার জন্য একটি উদাহরণ চেষ্টা করুন।

উদাহরণ: 676 নম্বরের মূল বের কর.

আমরা লক্ষ্য করেছি যে 20 2 \u003d 400, এবং 30 2 \u003d 900, যার অর্থ 20< √676 < 900.

প্রাকৃতিক সংখ্যার সঠিক বর্গ 0 এ শেষ হয়; এক; 4; পাঁচ 6; নয়টি
6 নম্বরটি 4 2 এবং 6 2 দ্বারা দেওয়া হয়েছে।
সুতরাং, যদি মূলটি 676 থেকে নেওয়া হয়, তবে এটি হয় 24 বা 26।

এটি পরীক্ষা করা বাকি আছে: 24 2 = 576, 26 2 = 676।

উত্তর: √676 = 26 .

এখনো উদাহরণ: √6889 .

যেহেতু 80 2 \u003d 6400, এবং 90 2 \u003d 8100, তারপর 80< √6889 < 90.
9 নম্বরটি 3 2 এবং 7 2 দ্বারা দেওয়া হয়, তারপর √6889 হয় 83 বা 87।

চেক: 83 2 = 6889।

উত্তর: √6889 = 83 .

আপনি যদি নির্বাচন পদ্ধতি দ্বারা সমাধান করা কঠিন মনে করেন, তাহলে আপনি মূল অভিব্যক্তিকে ফ্যাক্টরাইজ করতে পারেন।

উদাহরণ স্বরূপ, √893025 খুঁজুন.

893025 নম্বরটিকে ফ্যাক্টরাইজ করা যাক, মনে রাখবেন, আপনি এটি ষষ্ঠ শ্রেণীতে করেছিলেন।

আমরা পাই: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945।

এখনো উদাহরণ: √20736. আসুন 20736 নম্বরটিকে ফ্যাক্টরাইজ করি:

আমরা √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144 পাই।

অবশ্যই, ফ্যাক্টরিংয়ের জন্য বিভাজ্যতার মানদণ্ড এবং ফ্যাক্টরিং দক্ষতার জ্ঞান প্রয়োজন।

এবং অবশেষে, আছে বর্গমূল নিয়ম. আসুন একটি উদাহরণ সহ এই নিয়মটি দেখি।

গণনা করুন √279841.

একটি বহু-সংখ্যার পূর্ণসংখ্যার মূল বের করতে, আমরা একে ডান থেকে বামে বিভক্ত করি যার প্রতিটিতে 2টি সংখ্যা রয়েছে (বাম চরম মুখে একটি সংখ্যা থাকতে পারে)। এভাবে লিখুন 27'98'41

মূলের প্রথম অঙ্ক (5) পেতে, আমরা প্রথম বাম দিকের (27) মধ্যে থাকা বৃহত্তম সঠিক বর্গক্ষেত্রের বর্গমূলটি বের করি।
তারপর মূলের প্রথম অঙ্কের বর্গক্ষেত্র (25) প্রথম মুখ থেকে বিয়োগ করা হয় এবং পরের মুখটি (98) পার্থক্যের জন্য দায়ী করা হয় (ধ্বংস করা হয়)।
ফলাফল সংখ্যা 298 এর বাম দিকে, তারা মূলের (10) দ্বিগুণ অঙ্কটি লেখে, এটি দ্বারা পূর্বে প্রাপ্ত সংখ্যার সমস্ত দশের সংখ্যাকে ভাগ করে (29/2 ≈ 2), ভাগফল (102 ∙ 2 =) অনুভব করে 204 298 এর বেশি হওয়া উচিত নয়) এবং মূলের প্রথম অঙ্কের পরে (2) লিখুন।
তারপর ফলস্বরূপ ভাগফল 204 298 থেকে বিয়োগ করা হয়, এবং পরবর্তী দিক (41) পার্থক্য (94) এর জন্য দায়ী করা হয় (ধ্বংস করা হয়)।
ফলাফল সংখ্যা 9441 এর বাম দিকে, তারা মূলের সংখ্যাগুলির দ্বিগুণ গুণফল (52 ∙ 2 = 104) লেখে, এই গুণফলটি দ্বারা 9441 (944/104 ≈ 9) সংখ্যার সমস্ত দশের সংখ্যাকে ভাগ করে, অভিজ্ঞতা ভাগফল (1049 ∙ 9 = 9441) 9441 হওয়া উচিত এবং মূলের দ্বিতীয় অঙ্কের পরে এটি (9) লিখুন।

আমরা উত্তর পেয়েছি √279841 = 529।

একইভাবে নির্যাস দশমিকের মূল. শুধুমাত্র র‌্যাডিকাল সংখ্যাটিকে মুখের মধ্যে ভাগ করতে হবে যাতে কমা মুখের মধ্যে থাকে।

উদাহরণ. মান খুঁজুন √0.00956484।

আপনি শুধু মনে আছে যে যদি দশমিকবিজোড় সংখ্যক দশমিক স্থান আছে, এটি ঠিক বর্গমূল নেয় না।

সুতরাং, এখন আপনি মূল বের করার তিনটি উপায় দেখেছেন। আপনার জন্য সবচেয়ে উপযুক্ত একটি বেছে নিন এবং অনুশীলন করুন। সমস্যাগুলি কীভাবে সমাধান করতে হয় তা শিখতে, আপনাকে সেগুলি সমাধান করতে হবে। এবং যদি আপনার কোন প্রশ্ন থাকে, আমার পাঠের জন্য সাইন আপ করুন.

সাইটে, উপাদানের সম্পূর্ণ বা আংশিক অনুলিপি সহ, উৎসের একটি লিঙ্ক প্রয়োজন।

ঘটনা ১.
\(\bullet\) কিছু নন-নেগেটিভ নম্বর নিন \(a\) (যেমন \(a\geqslant 0\))। তারপর (পাটিগণিত) বর্গমূলসংখ্যা \(a\) থেকে এমন একটি অ-ঋণাত্মক সংখ্যাকে \(b\) বলা হয়, এটিকে বর্গ করলে আমরা \(a\) সংখ্যাটি পাই : \[\sqrt a=b\quad \text(same as)\quad a=b^2\]এটি সংজ্ঞা থেকে অনুসরণ করে যে \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). এই নিষেধাজ্ঞা আছে গুরুত্বপূর্ণ শর্তঅস্তিত্ব বর্গমূলএবং তাদের মনে রাখা উচিত!
মনে রাখবেন যে কোনো সংখ্যা যখন বর্গ করা হয় তখন একটি অ-নেতিবাচক ফলাফল দেয়। অর্থাৎ, \(100^2=10000\geqslant 0\) এবং \((-100)^2=10000\geqslant 0\)।
\(\bullet\) \(\sqrt(25)\) কি? আমরা জানি যে \(5^2=25\) এবং \(-5)^2=25\)। যেহেতু সংজ্ঞা অনুসারে আমাদের একটি অ-ঋণাত্মক সংখ্যা খুঁজে বের করতে হবে, \(-5\) উপযুক্ত নয়, তাই \(\sqrt(25)=5\) (যেহেতু \(25=5^2\))।
\(\sqrt a\) মান খুঁজে বের করাকে \(a\) সংখ্যাটির বর্গমূল নেওয়া বলা হয়, এবং সংখ্যা \(a\)টিকে মূল রাশি বলা হয়।
\(\bullet\) সংজ্ঞার উপর ভিত্তি করে, অভিব্যক্তি \(\sqrt(-25)\), \(\sqrt(-4)\), ইত্যাদি। কোন মানে নেই

ঘটনা 2।
দ্রুত গণনার জন্য, \(1\) থেকে \(20\) পর্যন্ত প্রাকৃতিক সংখ্যার বর্গক্ষেত্রের সারণী শেখা উপযোগী হবে : \[\begin(অ্যারে)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 এবং \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(অ্যারে)\]

ঘটনা 3।
বর্গমূল দিয়ে কি করা যায়?
\(\বুলেট\) যোগফল বা পার্থক্য বর্গমূলযোগফল বা পার্থক্যের বর্গমূলের সমান নয়, যেমন \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\]এইভাবে, যদি আপনার গণনা করতে হয়, উদাহরণস্বরূপ, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\), তাহলে প্রাথমিকভাবে আপনাকে অবশ্যই \(\sqrt(25)\) এবং \(\sqrt) মানগুলি খুঁজে বের করতে হবে (49)\ ) এবং তারপর তাদের যোগ করুন। অতএব, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] যদি \(\sqrt a+\sqrt b\) যোগ করার সময় \(\sqrt a\) বা \(\sqrt b\) মানগুলি পাওয়া না যায়, তাহলে এই ধরনের অভিব্যক্তিটি আর রূপান্তরিত হয় না এবং এটি যেমন আছে তেমনই থেকে যায়। উদাহরণস্বরূপ, যোগফল \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) আমরা খুঁজে পেতে পারি \(\sqrt(49)\) - এটি \(7\), কিন্তু \(\sqrt 2\) হতে পারে না যে কোন উপায়ে রূপান্তরিত, সে কারণেই \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). উপরন্তু, এই অভিব্যক্তি, দুর্ভাগ্যবশত, কোন উপায়ে সরলীকৃত করা যাবে না.\(\bullet\) বর্গমূলের গুণফল/ভাগফল গুণফল/ভাগফলের বর্গমূলের সমান, যেমন \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (যদি সমতার উভয় অংশই বোধগম্য হয়)
উদাহরণ: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) এই বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করে, বৃহৎ সংখ্যার গুণিতক দ্বারা বর্গমূল খুঁজে বের করা সুবিধাজনক।
একটি উদাহরণ বিবেচনা করুন। খুঁজুন \(\sqrt(44100)\)। যেহেতু \(44100:100=441\), তারপর \(44100=100\cdot 441\)। বিভাজ্যতার মাপকাঠি অনুসারে, সংখ্যাটি \(441\) \(9\) দ্বারা বিভাজ্য (যেহেতু এটির অঙ্কের যোগফল 9 এবং 9 দ্বারা বিভাজ্য), তাই, \(441:9=49\) , অর্থাৎ, \(441=9\ cdot 49\)।
এইভাবে, আমরা পেয়েছি: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\]আসুন আরেকটি উদাহরণ দেখি: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) এক্সপ্রেশন \(5\sqrt2\) (অভিব্যক্তিটির জন্য সংক্ষিপ্ত \(5\cdot \sqrt2\)) এর উদাহরণ ব্যবহার করে বর্গমূল চিহ্নের নীচে সংখ্যাগুলি কীভাবে লিখতে হয় তা দেখাই। যেহেতু \(5=\sqrt(25)\), তারপর \ এছাড়াও মনে রাখবেন যে, উদাহরণস্বরূপ,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\),
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\)।

তা কেন? উদাহরণ দিয়ে ব্যাখ্যা করা যাক 1)। আপনি ইতিমধ্যেই বুঝতে পেরেছেন, আমরা কোনভাবে সংখ্যাটিকে রূপান্তর করতে পারি না \(\sqrt2\)। কল্পনা করুন যে \(\sqrt2\) কিছু সংখ্যা \(a\)। তদনুসারে, \(\sqrt2+3\sqrt2\) রাশিটি \(a+3a\) (একটি সংখ্যা \(a\) এবং একই সংখ্যার আরও তিনটি \(a\) ) ছাড়া আর কিছুই নয়। এবং আমরা জানি যে এটি চারটি সংখ্যার সমান \(a\), অর্থাৎ, \(4\sqrt2\)।

ঘটনা 4।
\(\bullet\) কিছু সংখ্যার মান খুঁজে বের করার সময় যখন মূল (আমূল) এর চিহ্ন \(\sqrt () \\) থেকে পরিত্রাণ পাওয়া সম্ভব হয় না তখন এটি প্রায়শই বলা হয় "মূল বের করা যায় না"। উদাহরণস্বরূপ, আপনি \(16\) সংখ্যাটিকে রুট করতে পারেন কারণ \(16=4^2\), তাই \(\sqrt(16)=4\)। কিন্তু সংখ্যা \(3\) থেকে মূল বের করা, অর্থাৎ \(\sqrt3\) খুঁজে বের করা অসম্ভব, কারণ বর্গ দিয়ে \(3\) দেওয়া হবে এমন কোন সংখ্যা নেই।
এই ধরনের সংখ্যা (বা এই ধরনের সংখ্যা সহ অভিব্যক্তি) অযৌক্তিক। উদাহরণস্বরূপ, সংখ্যা \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\)ইত্যাদি অযৌক্তিক
এছাড়াও অমূলদ সংখ্যাগুলি \(\pi\) (সংখ্যা "pi", প্রায় \(3,14\) এর সমান), \(e\) (এই সংখ্যাটিকে অয়লার সংখ্যা বলা হয়, প্রায় \(2 এর সমান) ,7\)) ইত্যাদি।
\(\bullet\) অনুগ্রহ করে মনে রাখবেন যে কোনো সংখ্যাই হয় মূলদ বা অমূলদ হবে। এবং একসাথে সব যুক্তিবাদী এবং সব অমূলদ সংখ্যানামক একটি সেট গঠন করুন বাস্তব (বাস্তব) সংখ্যার সেট।এই সেটটিকে \(\mathbb(R)\) অক্ষর দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।
এর মানে হল যে সব সংখ্যা এই মুহূর্তেআমরা জানি বাস্তব সংখ্যা বলা হয়।

ঘটনা 5।
\(\bullet\) একটি বাস্তব সংখ্যার মডুলাস \(a\) হল একটি অ-ঋণাত্মক সংখ্যা \(|a|\) বিন্দু থেকে \(0\) বিন্দুর দূরত্বের সমান লাইন উদাহরণস্বরূপ, \(|3|\) এবং \(|-3|\) 3 এর সমান, যেহেতু বিন্দু থেকে দূরত্ব \(3\) এবং \(-3\) থেকে \(0\) একই এবং সমান \(3 \)।
\(\bullet\) যদি \(a\) একটি অ-ঋণাত্মক সংখ্যা হয়, তাহলে \(|a|=a\)।
উদাহরণ: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\)। \(\bullet\) যদি \(a\) একটি ঋণাত্মক সংখ্যা হয়, তাহলে \(|a|=-a\)।
উদাহরণ: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
তারা বলে যে নেতিবাচক সংখ্যার জন্য, মডিউলটি বিয়োগ "খায়" এবং ধনাত্মক সংখ্যা, সেইসাথে সংখ্যা \(0\) , মডিউলটি অপরিবর্তিত থাকে।
কিন্তুএই নিয়ম শুধুমাত্র সংখ্যা প্রযোজ্য. আপনার যদি মডিউল চিহ্নের নীচে একটি অজানা \(x\) (বা অন্য কিছু অজানা) থাকে, উদাহরণস্বরূপ, \(|x|\), যার সম্পর্কে আমরা জানি না যে এটি ধনাত্মক, শূন্যের সমান নাকি নেতিবাচক, তাহলে আমরা পারি না মডিউল পরিত্রাণ পেতে. এই ক্ষেত্রে, এই অভিব্যক্তিটি তাই থাকে: \(|x|\)। \(\bullet\) নিম্নলিখিত সূত্র ধরে: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( দেওয়া ) a\geqslant 0\]নিম্নলিখিত ভুল প্রায়ই করা হয়: তারা বলে যে \(\sqrt(a^2)\) এবং \((\sqrt a)^2\) একই জিনিস। এটি তখনই সত্য যখন \(a\) একটি ধনাত্মক সংখ্যা বা শূন্য হয়। কিন্তু যদি \(a\) একটি ঋণাত্মক সংখ্যা হয়, তাহলে এটি সত্য নয়। এই ধরনের একটি উদাহরণ বিবেচনা করা যথেষ্ট। \(a\) এর পরিবর্তে \(-1\) সংখ্যাটি নেওয়া যাক। তারপর \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\), কিন্তু অভিব্যক্তি \((\sqrt (-1))^2\) মোটেই বিদ্যমান নেই (কারণ এটি অসম্ভব রুট চিহ্নের নিচে নেতিবাচক সংখ্যা রাখুন!)
অতএব, আমরা আপনার দৃষ্টি আকর্ষণ করছি যে \(\sqrt(a^2)\) \((\sqrt a)^2\) এর সমান নয়!উদাহরণ: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), কারণ \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\)। \(\bullet\) যেহেতু \(\sqrt(a^2)=|a|\), তারপর \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (অভিব্যক্তি \(2n\) একটি জোড় সংখ্যা নির্দেশ করে)
অর্থাৎ, কিছু ডিগ্রীতে থাকা সংখ্যা থেকে মূল বের করার সময় এই ডিগ্রী অর্ধেক হয়ে যায়।
উদাহরণ:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (উল্লেখ্য যে যদি মডিউল সেট করা না থাকে, তাহলে দেখা যাচ্ছে যে সংখ্যাটির মূলটি \(-25) এর সমান \) ; কিন্তু আমরা মনে রাখি যে, মূলের সংজ্ঞা অনুসারে, এটি হতে পারে না: মূল বের করার সময়, আমাদের সর্বদা একটি ধনাত্মক সংখ্যা বা শূন্য পাওয়া উচিত)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (যেহেতু একটি জোড় ঘাতের যেকোনো সংখ্যা অ-ঋণাত্মক)

ঘটনা 6।
কিভাবে দুটি বর্গমূল তুলনা?
\(\bullet\) বর্গমূলের জন্য সত্য: যদি \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aউদাহরণ:
1) তুলনা করুন \(\sqrt(50)\) এবং \(6\sqrt2\)। প্রথমত, আমরা দ্বিতীয় অভিব্যক্তিকে রূপান্তরিত করি \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). এইভাবে, যেহেতু \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) কোন পূর্ণসংখ্যার মধ্যে \(\sqrt(50)\)?
যেহেতু \(\sqrt(49)=7\), \(\sqrt(64)=8\), এবং \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) তুলনা করুন \(\sqrt 2-1\) এবং \(0,5\)। ধরুন \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\begin(aligned) &\sqrt 2-1>0.5 \\big| +1\quad \text((উভয় পাশে একটি যোগ করুন))\\ &\sqrt2>0.5+1 \\big| \ ^2 \quad\text((বর্গক্ষেত্র উভয় অংশ))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(সারিবদ্ধ)\]আমরা দেখতে পাচ্ছি যে আমরা একটি ভুল বৈষম্য পেয়েছি। অতএব, আমাদের অনুমান ভুল ছিল এবং \(\sqrt 2-1<0,5\) .
মনে রাখবেন যে অসমতার উভয় পাশে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা যোগ করলে এর চিহ্নকে প্রভাবিত করে না। একটি ধনাত্মক সংখ্যা দ্বারা একটি অসমতার উভয় দিককে গুণ/ভাগ করলেও এর চিহ্ন পরিবর্তন হয় না, তবে একটি ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুণ/ভাগ করলে অসমতার চিহ্নটি বিপরীত হয়!
একটি সমীকরণ/বৈষম্যের উভয় দিকেই বর্গ করা যেতে পারে শুধুমাত্র যদি উভয় পক্ষই অ-নেতিবাচক হয়। উদাহরণস্বরূপ, পূর্ববর্তী উদাহরণ থেকে অসমতায়, আপনি উভয় পক্ষের বর্গক্ষেত্র করতে পারেন, অসমতায় \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\বুলেট\) নোট করুন যে \[\শুরু(সারিবদ্ধ) &\sqrt 2\আনুমানিক 1,4\\ &\sqrt 3\প্রায় 1,7 \শেষ(সারিবদ্ধ)\]সংখ্যার তুলনা করার সময় এই সংখ্যাগুলির আনুমানিক অর্থ জানা আপনাকে সাহায্য করবে! \(\বুলেট\) বর্গক্ষেত্রের সারণীতে নেই এমন কিছু বড় সংখ্যা থেকে মূল (যদি বের করা হয়) বের করতে, আপনাকে প্রথমে নির্ধারণ করতে হবে এটি কোন "শত" এর মধ্যে, তারপর কোনটি "দশ" এর মধ্যে, এবং তারপর এই সংখ্যার শেষ সংখ্যা নির্ধারণ করুন। আসুন একটি উদাহরণ দিয়ে দেখাই কিভাবে এটি কাজ করে।
নিন \(\sqrt(28224)\)। আমরা জানি যে \(100^2=10\,000\), \(200^2=40\,000\) ইত্যাদি। মনে রাখবেন \(28224\) \(10\,000\) এবং \(40\,000\) এর মধ্যে। অতএব, \(\sqrt(28224)\) হল \(100\) এবং \(200\) এর মধ্যে।
এখন আসুন নির্ধারণ করি কোন "দশ" এর মধ্যে আমাদের সংখ্যা (যেমন, উদাহরণস্বরূপ, \(120\) এবং \(130\) এর মধ্যে)। আমরা বর্গক্ষেত্রের সারণী থেকেও জানি যে \(11^2=121\), \(12^2=144\) ইত্যাদি, তারপর \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ), \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ) সুতরাং আমরা দেখতে পাচ্ছি যে \(28224\) \(160^2\) এবং \(170^2\) এর মধ্যে রয়েছে। অতএব, সংখ্যা \(\sqrt(28224)\) \(160\) এবং \(170\) এর মধ্যে।
শেষ সংখ্যা নির্ধারণ করার চেষ্টা করা যাক. আসুন মনে রাখি কোন একক-সংখ্যা সংখ্যা যখন বর্গ করার শেষে \ (4 \) দেয়? এগুলি হল \(2^2\) এবং \(8^2\)। অতএব, \(\sqrt(28224)\) 2 বা 8 এর মধ্যে শেষ হবে। আসুন এটি পরীক্ষা করি। খুঁজুন \(162^2\) এবং \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\)।
তাই \(\sqrt(28224)=168\)। ভয়লা !

গণিতে পরীক্ষাটি পর্যাপ্তভাবে সমাধান করার জন্য, প্রথমত, তাত্ত্বিক উপাদান অধ্যয়ন করা প্রয়োজন, যা অসংখ্য উপপাদ্য, সূত্র, অ্যালগরিদম ইত্যাদির পরিচয় দেয়। প্রথম নজরে মনে হতে পারে যে এটি বেশ সহজ। যাইহোক, এমন একটি উৎস খুঁজে বের করা যেখানে গণিতের ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার জন্য তত্ত্বটি যে কোনো স্তরের প্রস্তুতি সহ শিক্ষার্থীদের জন্য একটি সহজ এবং বোধগম্য উপায়ে উপস্থাপন করা হয়, আসলে একটি বরং কঠিন কাজ। স্কুলের পাঠ্যবই সবসময় হাতে রাখা যায় না। এবং গণিতে পরীক্ষার জন্য প্রাথমিক সূত্র খুঁজে বের করা এমনকি ইন্টারনেটেও কঠিন হতে পারে।

গণিতে তত্ত্ব অধ্যয়ন করা কেন এত গুরুত্বপূর্ণ, শুধুমাত্র যারা পরীক্ষা দেয় তাদের জন্য নয়?

1. কারণ এটি আপনার দিগন্তকে প্রসারিত করে. গণিতের তাত্ত্বিক উপাদানের অধ্যয়ন যে কেউ বিশ্বের জ্ঞান সম্পর্কিত বিস্তৃত প্রশ্নের উত্তর পেতে চায় তাদের জন্য দরকারী। প্রকৃতির সবকিছুই সুশৃঙ্খল এবং সুস্পষ্ট যুক্তিযুক্ত। বিজ্ঞানে ঠিক এটাই প্রতিফলিত হয়েছে, যার মাধ্যমে বিশ্বকে বোঝা সম্ভব।
2. কারণ এতে বুদ্ধির বিকাশ ঘটে. গণিতে পরীক্ষার জন্য রেফারেন্স উপকরণ অধ্যয়ন, সেইসাথে বিভিন্ন সমস্যা সমাধান করার জন্য, একজন ব্যক্তি যুক্তিযুক্তভাবে চিন্তা করতে এবং যুক্তি দিতে, চিন্তাগুলি সঠিকভাবে এবং স্পষ্টভাবে গঠন করতে শেখে। তিনি বিশ্লেষণ, সাধারণীকরণ, সিদ্ধান্তে উপনীত হওয়ার ক্ষমতা বিকাশ করেন।

আমরা আপনাকে শিক্ষাগত উপকরণগুলির পদ্ধতিগতকরণ এবং উপস্থাপনার জন্য আমাদের পদ্ধতির সমস্ত সুবিধাগুলি ব্যক্তিগতভাবে মূল্যায়ন করার জন্য আমন্ত্রণ জানাচ্ছি।

এই নিবন্ধে, আমরা পরিচয় করিয়ে দেব একটি সংখ্যার মূল ধারণা. আমরা ক্রমানুসারে কাজ করব: আমরা বর্গমূল দিয়ে শুরু করব, এটি থেকে আমরা ঘনমূলের বর্ণনায় এগিয়ে যাব, তারপরে আমরা nth ডিগ্রির মূলকে সংজ্ঞায়িত করে মূলের ধারণাটিকে সাধারণীকরণ করব। একই সময়ে, আমরা সংজ্ঞা, স্বরলিপি প্রবর্তন করব, মূলের উদাহরণ দেব এবং প্রয়োজনীয় ব্যাখ্যা ও মন্তব্য দেব।

বর্গমূল, পাটিগণিত বর্গমূল

একটি সংখ্যার মূল এবং বিশেষ করে বর্গমূলের সংজ্ঞা বুঝতে, একজনের অবশ্যই থাকতে হবে। এই মুহুর্তে, আমরা প্রায়শই একটি সংখ্যার দ্বিতীয় শক্তির সম্মুখীন হব - একটি সংখ্যার বর্গ।

চলো আমরা শুরু করি বর্গমূল সংজ্ঞা.

সংজ্ঞা

a এর বর্গমূলএকটি সংখ্যা যার বর্গ একটি .

আনার জন্য বর্গমূলের উদাহরণ, বেশ কয়েকটি সংখ্যা নিন, উদাহরণস্বরূপ, 5 , −0.3 , 0.3 , 0 , এবং তাদের বর্গ করুন, আমরা যথাক্রমে 25 , 0.09 , 0.09 এবং 0 সংখ্যাগুলি পাই (5 2 \u003d 5 5 \u003d 25 , (−0.3) 2 =(−0.3) (−0.3)=0.09, (0.3) 2 =0.3 0.3=0.09 এবং 0 2 =0 0=0)। তারপর উপরের সংজ্ঞা অনুসারে, 5 হল 25 এর বর্গমূল, −0.3 এবং 0.3 হল 0.09 এর বর্গমূল এবং 0 হল শূন্যের বর্গমূল।

এটা উল্লেখ করা উচিত যে কোন সংখ্যার জন্য একটি বিদ্যমান নয়, যার বর্গ a এর সমান। যথা, কোনো ঋণাত্মক সংখ্যা a-এর জন্য কোনো বাস্তব সংখ্যা b নেই যার বর্গ a এর সমান। প্রকৃতপক্ষে, সমতা a=b 2 যেকোনো ঋণাত্মক a এর জন্য অসম্ভব, যেহেতু b 2 যেকোনো b এর জন্য একটি অ-ঋণাত্মক সংখ্যা। এইভাবে, বাস্তব সংখ্যার সেটে ঋণাত্মক সংখ্যার কোনো বর্গমূল নেই. অন্য কথায়, বাস্তব সংখ্যার সেটে, একটি ঋণাত্মক সংখ্যার বর্গমূল সংজ্ঞায়িত করা হয় না এবং এর কোন অর্থ নেই।

এটি একটি যৌক্তিক প্রশ্নের দিকে নিয়ে যায়: "কোন নন-নেতিবাচক a-এর জন্য কি একটি বর্গমূল আছে"? উত্তরটি হল হ্যাঁ. এই সত্যের যৌক্তিকতাকে বর্গমূলের মান বের করতে ব্যবহৃত একটি গঠনমূলক পদ্ধতি হিসেবে বিবেচনা করা যেতে পারে।

তারপরে নিম্নলিখিত যৌক্তিক প্রশ্ন উঠে: "প্রদত্ত অ-ঋণাত্মক সংখ্যার সমস্ত বর্গমূলের সংখ্যা a - এক, দুই, তিন বা আরও বেশি"? এখানে এর উত্তর: a যদি শূন্য হয়, তাহলে শূন্যের একমাত্র বর্গমূল শূন্য; a যদি কিছু ধনাত্মক সংখ্যা হয়, তাহলে a সংখ্যা থেকে বর্গমূলের সংখ্যা দুইটির সমান এবং মূলগুলি হল। এর প্রমাণ করা যাক.

কেস a=0 দিয়ে শুরু করা যাক। আসুন প্রথমে দেখাই যে শূন্য প্রকৃতপক্ষে শূন্যের বর্গমূল। এটি সুস্পষ্ট সমতা 0 2 =0·0=0 এবং বর্গমূলের সংজ্ঞা থেকে অনুসরণ করে।

এখন প্রমাণ করা যাক যে 0 হল শূন্যের একমাত্র বর্গমূল। এর বিপরীত পদ্ধতি ব্যবহার করা যাক. ধরা যাক কিছু অ-শূন্য সংখ্যা b আছে যেটি শূন্যের বর্গমূল। তাহলে b 2 =0 শর্তটি অবশ্যই সন্তুষ্ট হতে হবে, যা অসম্ভব, যেহেতু যেকোনো অ-শূন্য b-এর জন্য b 2 অভিব্যক্তিটির মান ধনাত্মক। আমরা একটি দ্বন্দ্বে এসেছি। এটি প্রমাণ করে যে 0 হল শূন্যের একমাত্র বর্গমূল।

চলুন সেই ক্ষেত্রে এগিয়ে যাই যেখানে a একটি ধনাত্মক সংখ্যা। উপরে আমরা বলেছি যে কোনও অ-ঋণাত্মক সংখ্যার সর্বদা একটি বর্গমূল থাকে, ধরা যাক b হল a এর বর্গমূল। ধরা যাক একটি সংখ্যা c আছে, যা একটি এর বর্গমূলও। তারপর, বর্গমূলের সংজ্ঞা অনুসারে, সমতা b 2 =a এবং c 2 =a বৈধ, যা থেকে এটি অনুসরণ করে যে b 2 −c 2 =a−a=0, কিন্তু যেহেতু b 2 −c 2 =( b−c) ( b+c) , তারপর (b−c) (b+c)=0। বল প্রয়োগের ফলে সমতা বাস্তব সংখ্যা সহ কর্মের বৈশিষ্ট্যশুধুমাত্র তখনই সম্ভব যখন b−c=0 বা b+c=0। এভাবে b এবং c সংখ্যা সমান বা বিপরীত।

যদি আমরা ধরে নিই যে একটি সংখ্যা d আছে, যেটি a সংখ্যার আরেকটি বর্গমূল, তবে ইতিমধ্যে দেওয়া অনুরূপ যুক্তি দিয়ে প্রমাণিত হয় যে d সংখ্যা b বা সংখ্যার সমান। সুতরাং, একটি ধনাত্মক সংখ্যার বর্গমূলের সংখ্যা দুটি এবং বর্গমূলগুলি বিপরীত সংখ্যা।

বর্গমূলের সাথে কাজ করার সুবিধার জন্য, ঋণাত্মক মূলটিকে ইতিবাচক থেকে "বিচ্ছিন্ন" করা হয়। এই উদ্দেশ্যে, এটি প্রবর্তন পাটিগণিত বর্গমূলের সংজ্ঞা.

সংজ্ঞা

একটি অ-ঋণাত্মক সংখ্যার পাটিগণিত বর্গমূল aএকটি অ-ঋণাত্মক সংখ্যা যার বর্গ একটি .

a সংখ্যার পাটিগণিত বর্গমূলের জন্য, স্বরলিপি গৃহীত হয়। চিহ্নটিকে পাটিগণিত বর্গমূল চিহ্ন বলে। একে মৌলবাদীর চিহ্নও বলা হয়। অতএব, আপনি আংশিকভাবে "মূল" এবং "র্যাডিকাল" উভয়ই শুনতে পারেন, যার অর্থ একই বস্তু।

পাটিগণিত বর্গমূল চিহ্নের নিচের সংখ্যাকে বলা হয় মূল সংখ্যা, এবং মূল চিহ্নের অধীনে অভিব্যক্তি - আমূল অভিব্যক্তি, যখন "র্যাডিকাল সংখ্যা" শব্দটি প্রায়ই "র্যাডিকাল এক্সপ্রেশন" দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়। উদাহরণস্বরূপ, স্বরলিপিতে, 151 নম্বরটি একটি মৌলিক সংখ্যা, এবং স্বরলিপিতে, অভিব্যক্তিটি একটি মৌলিক অভিব্যক্তি।

পড়ার সময়, "পাটিগণিত" শব্দটি প্রায়শই বাদ দেওয়া হয়, উদাহরণস্বরূপ, এন্ট্রিটি "সাত পয়েন্ট ঊনবিংশ শতকের বর্গমূল" হিসাবে পড়া হয়। "পাটিগণিত" শব্দটি তখনই উচ্চারিত হয় যখন তারা জোর দিতে চায় যে আমরা একটি সংখ্যার ধনাত্মক বর্গমূল সম্পর্কে কথা বলছি।

প্রবর্তিত স্বরলিপির আলোকে, এটি গাণিতিক বর্গমূলের সংজ্ঞা থেকে অনুসরণ করে যে কোনো অ-ঋণাত্মক সংখ্যার জন্য a .

একটি ধনাত্মক সংখ্যা a এর বর্গমূল পাটিগণিত বর্গমূল চিহ্ন ব্যবহার করে লেখা হয়। উদাহরণস্বরূপ, 13 এর বর্গমূল হল এবং . শূন্যের পাটিগণিত বর্গমূল হল শূন্য, অর্থাৎ, . নেতিবাচক সংখ্যার জন্য, আমরা অধ্যয়ন না করা পর্যন্ত এন্ট্রিগুলির সাথে অর্থ সংযুক্ত করব না জটিল সংখ্যা. উদাহরণস্বরূপ, অভিব্যক্তি এবং অর্থহীন।

বর্গমূলের সংজ্ঞার উপর ভিত্তি করে, বর্গমূলের বৈশিষ্ট্যগুলি প্রমাণিত হয়, যা প্রায়শই অনুশীলনে ব্যবহৃত হয়।

এই উপধারাটি শেষ করার জন্য, আমরা লক্ষ্য করি যে একটি সংখ্যার বর্গমূল হল x 2 =a ফর্মের সমাধান x চলকের ক্ষেত্রে।

এর ঘনমূল

ঘনমূলের সংজ্ঞাসংখ্যাটির a বর্গমূলের সংজ্ঞার অনুরূপভাবে দেওয়া হয়েছে। শুধুমাত্র এটি একটি সংখ্যার ঘনক ধারণার উপর ভিত্তি করে, বর্গ নয়।

সংজ্ঞা

ক এর ঘনমূলযে সংখ্যার ঘনক a এর সমান তাকে বলা হয়।

নিয়ে আসি ঘনমূলের উদাহরণ. এটি করার জন্য, বেশ কয়েকটি সংখ্যা নিন, উদাহরণস্বরূপ, 7 , 0 , −2/3 , এবং তাদের ঘনক করুন: 7 3 =7 7 7=343 , 0 3 =0 0 0=0 , . তারপর, ঘনমূলের সংজ্ঞার উপর ভিত্তি করে, আমরা বলতে পারি যে 7 নম্বরটি হল 343-এর ঘনমূল, 0 হল শূন্যের ঘনমূল এবং −2/3 হল −8/27-এর ঘনমূল৷

এটি দেখানো যেতে পারে যে a সংখ্যার ঘনমূল, বর্গমূলের বিপরীতে, সর্বদা বিদ্যমান, এবং শুধুমাত্র অ-ঋণাত্মক a এর জন্য নয়, যেকোনো বাস্তব সংখ্যা a এর জন্যও। এটি করার জন্য, আপনি বর্গমূল অধ্যয়ন করার সময় যে পদ্ধতিটি উল্লেখ করেছি তা ব্যবহার করতে পারেন।

তদুপরি, একটি প্রদত্ত সংখ্যা a এর একটি মাত্র ঘনমূল রয়েছে। আসুন শেষ দাবি প্রমাণ করি। এটি করার জন্য, তিনটি ক্ষেত্রে আলাদাভাবে বিবেচনা করুন: a একটি ধনাত্মক সংখ্যা, a=0 এবং a একটি ঋণাত্মক সংখ্যা।

এটা দেখানো সহজ যে ধনাত্মক a এর জন্য, a এর ঘনমূলটি ঋণাত্মক বা শূন্য হতে পারে না। প্রকৃতপক্ষে, b হল a এর ঘনমূল, তারপর সংজ্ঞা অনুসারে আমরা সমতা b 3 =a লিখতে পারি। এটা স্পষ্ট যে এই সমতা ঋণাত্মক b এবং b=0 এর জন্য সত্য হতে পারে না, যেহেতু এই ক্ষেত্রে b 3 =b·b·b হবে একটি ঋণাত্মক সংখ্যা বা শূন্য, যথাক্রমে। সুতরাং একটি ধনাত্মক সংখ্যা a এর ঘনমূল হল একটি ধনাত্মক সংখ্যা।

এখন ধরুন যে সংখ্যাটি b ছাড়াও একটি সংখ্যা থেকে আরও একটি ঘনমূল রয়েছে, আসুন এটিকে c বোঝাই। তারপর c 3 =a. অতএব, b 3 −c 3 =a−a=0 , কিন্তু b 3 −c 3 =(b−c) (b 2 +b c+c 2)(এটি সংক্ষিপ্ত গুণের সূত্র কিউব পার্থক্য), যেখান থেকে (b−c) (b 2 +b c+c 2)=0। ফলস্বরূপ সমতা তখনই সম্ভব যখন b−c=0 বা b 2 +b c+c 2 =0। প্রথম সমতা থেকে আমাদের আছে b=c , এবং দ্বিতীয় সমতার কোনো সমাধান নেই, যেহেতু এর বাম দিকটি b এবং c তিনটি ধনাত্মক পদ b 2, b c এবং c 2 এর যোগফল হিসাবে যেকোনো ধনাত্মক সংখ্যার জন্য একটি ধনাত্মক সংখ্যা। এটি একটি ধনাত্মক সংখ্যা a এর ঘনমূলের স্বতন্ত্রতা প্রমাণ করে।

a=0 এর জন্য, a এর একমাত্র ঘনমূল হল শূন্য। প্রকৃতপক্ষে, যদি আমরা ধরে নিই যে একটি সংখ্যা b আছে, যেটি শূন্যের একটি নন-জিরো ঘনমূল, তাহলে সমতা b 3 =0 ধরে রাখতে হবে, যা b=0 হলেই সম্ভব।

নেতিবাচক a-এর জন্য, কেউ ইতিবাচক a-এর ক্ষেত্রে অনুরূপ তর্ক করতে পারে। প্রথমত, আমরা দেখাই যে একটি ঋণাত্মক সংখ্যার ঘনমূল ধনাত্মক সংখ্যা বা শূন্যের সমান হতে পারে না। দ্বিতীয়ত, আমরা অনুমান করি যে একটি ঋণাত্মক সংখ্যার দ্বিতীয় ঘনমূল রয়েছে এবং দেখাই যে এটি অপরিহার্যভাবে প্রথমটির সাথে মিলে যাবে।

সুতরাং, প্রদত্ত বাস্তব সংখ্যা a এর একটি ঘনমূল সর্বদা থাকে এবং শুধুমাত্র একটি।

দেওয়া যাক গাণিতিক ঘনমূলের সংজ্ঞা.

সংজ্ঞা

একটি অ-ঋণাত্মক সংখ্যার পাটিগণিত ঘনমূল aএকটি অ-ঋণাত্মক সংখ্যা যার ঘনক a এর সমান তাকে বলা হয়।

একটি অ-ঋণাত্মক সংখ্যা a এর গাণিতিক ঘনমূল হিসাবে চিহ্নিত করা হয়, চিহ্নটিকে গাণিতিক ঘনমূলের চিহ্ন বলা হয়, এই স্বরলিপিতে 3 নম্বরটিকে বলা হয় মূল নির্দেশক. মূল চিহ্নের নিচের সংখ্যাটি মূল সংখ্যা, মূল চিহ্নের অধীনে অভিব্যক্তি হল আমূল অভিব্যক্তি.

যদিও গাণিতিক ঘনমূল শুধুমাত্র অ-ঋণাত্মক সংখ্যা a এর জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, তবে এটি এমন এন্ট্রিগুলি ব্যবহার করাও সুবিধাজনক যেখানে নেতিবাচক সংখ্যাগুলি গাণিতিক ঘনমূল চিহ্নের অধীনে থাকে। আমরা সেগুলিকে নিম্নরূপ বুঝব: , যেখানে a একটি ধনাত্মক সংখ্যা। উদাহরণ স্বরূপ, .

আমরা শিকড়ের বৈশিষ্ট্যের সাধারণ নিবন্ধে ঘনমূলের বৈশিষ্ট্য সম্পর্কে কথা বলব।

একটি ঘনমূলের মান গণনা করাকে ঘনমূল নিষ্কাশন বলা হয়, এই ক্রিয়াটিকে মূল নিষ্কাশন নিবন্ধে আলোচনা করা হয়েছে: পদ্ধতি, উদাহরণ, সমাধান।

এই উপধারাটি শেষ করতে, আমরা বলি যে a এর ঘনমূল হল x 3 =a ফর্মের একটি সমাধান।

Nth মূল, n এর গাণিতিক মূল

আমরা একটি সংখ্যা থেকে একটি মূল ধারণা সাধারণীকরণ - আমরা প্রবর্তন nম মূলের নির্ণয় n এর জন্য

সংজ্ঞা

a এর nম মূলএকটি সংখ্যা যার nতম ঘাত a এর সমান।

এই সংজ্ঞা থেকে এটা স্পষ্ট যে সংখ্যাটি থেকে প্রথম ডিগ্রির মূলটি হল সংখ্যাটি নিজেই, যেহেতু একটি প্রাকৃতিক নির্দেশক দিয়ে ডিগ্রি অধ্যয়ন করার সময়, আমরা 1 = a নিয়েছি।

উপরে, আমরা n=2 এবং n=3 - বর্গমূল এবং ঘনমূলের জন্য nম ডিগ্রির মূলের বিশেষ ক্ষেত্রে বিবেচনা করেছি। অর্থাৎ বর্গমূল হল দ্বিতীয় ডিগ্রির মূল এবং ঘনমূল হল তৃতীয় ডিগ্রির মূল। n=4, 5, 6, ... এর জন্য nম ডিগ্রির শিকড় অধ্যয়ন করতে, তাদের দুটি গ্রুপে ভাগ করা সুবিধাজনক: প্রথম গ্রুপ - জোড় ডিগ্রির শিকড় (অর্থাৎ, n=4, 6 এর জন্য , 8, ...), দ্বিতীয় গ্রুপ - শিকড় বিজোড় ডিগ্রী (অর্থাৎ, n=5, 7, 9, ... এর জন্য)। এটি এই কারণে যে জোড় ডিগ্রির শিকড়গুলি বর্গমূলের অনুরূপ এবং বিজোড় ডিগ্রির শিকড়গুলি ঘনমূলের অনুরূপ। আসুন তাদের সাথে পালাক্রমে মোকাবিলা করি।

চলুন শুরু করা যাক মূল দিয়ে, যার ঘাতগুলি হল জোড় সংখ্যা 4, 6, 8, ... আমরা আগেই বলেছি, তারা a সংখ্যার বর্গমূলের অনুরূপ। অর্থাৎ, সংখ্যা থেকে যে কোনো জোড় ডিগ্রির মূলটি শুধুমাত্র অ-ঋণাত্মক a-এর জন্য বিদ্যমান। অধিকন্তু, যদি a=0 হয়, তাহলে a-এর মূলটি অনন্য এবং শূন্যের সমান, এবং যদি a>0 হয়, তাহলে a সংখ্যা থেকে জোড় ডিগ্রির দুটি মূল রয়েছে এবং তারা বিপরীত সংখ্যা।

আমাদের শেষ দাবি ন্যায্যতা করা যাক. ধরা যাক b একটি জোড় ডিগ্রির মূল (আসুন এটিকে 2·m হিসাবে বোঝাই, যেখানে m কিছু স্বাভাবিক সংখ্যা) a সংখ্যা থেকে। ধরুন একটি সংখ্যা c - a এর আরেকটি 2 m মূল। তারপর b 2 m −c 2 m =a−a=0। কিন্তু আমরা b 2 m − c 2 m = (b − c) (b + c) ফর্মটি জানি। (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), তারপর (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. এই সমতা থেকে এটি অনুসরণ করে যে b−c=0 , অথবা b+c=0 , বা b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. প্রথম দুটি সমতার অর্থ হল সংখ্যা b এবং c সমান বা b এবং c বিপরীত। এবং শেষ সমতা শুধুমাত্র b=c=0 এর জন্য বৈধ, যেহেতু এর বাম দিকে একটি রাশি রয়েছে যা অ-ঋণাত্মক সংখ্যার যোগফল হিসাবে যে কোনো b এবং c-এর জন্য অ-ঋণাত্মক।

বিজোড় n-এর জন্য nth ডিগ্রির শিকড়গুলির জন্য, তারা ঘনমূলের অনুরূপ। অর্থাৎ, সংখ্যা থেকে যেকোনো বিজোড় ডিগ্রির মূল যে কোনো বাস্তব সংখ্যার জন্য বিদ্যমান থাকে এবং একটি প্রদত্ত সংখ্যার জন্য এটি অনন্য।

a সংখ্যা থেকে বিজোড় ডিগ্রি 2·m+1 এর মূলের স্বতন্ত্রতা a থেকে ঘনমূলের স্বতন্ত্রতার প্রমাণের সাথে সাদৃশ্য দ্বারা প্রমাণিত হয়। শুধু এখানে সমতার পরিবর্তে a 3 −b 3 =(a−b) (a 2 +a b+c 2) b 2 m+1 −c 2 m+1 = ফর্মের একটি সমতা (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m). শেষ বন্ধনীতে থাকা অভিব্যক্তিটিকে এভাবে পুনরায় লেখা যেতে পারে b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). উদাহরণস্বরূপ, m=2 এর জন্য আমাদের আছে b 5 −c 5 =(b−c) (b 4 +b 3 c+b 2 c 2 +b c 3 +c 4)= (b−c) (b 4 +c 4 +b c (b 2 +c 2 +b c)). যখন a এবং b উভয়ই ধনাত্মক বা উভয় ঋণাত্মক হয়, তখন তাদের গুণফল একটি ধনাত্মক সংখ্যা হয়, তাহলে b 2 +c 2 +b·c অভিব্যক্তি, যা নেস্টিংয়ের সর্বোচ্চ স্তরের বন্ধনীতে রয়েছে, ধনাত্মক যোগফল হিসাবে ধনাত্মক। সংখ্যা এখন, নেস্টিংয়ের পূর্ববর্তী ডিগ্রীগুলির বন্ধনীতে পর্যায়ক্রমে অভিব্যক্তিতে এগিয়ে গিয়ে, আমরা নিশ্চিত করি যে তারা ধনাত্মক সংখ্যার যোগফল হিসাবেও ধনাত্মক। ফলস্বরূপ, আমরা পাই যে সমতা b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m)=0শুধুমাত্র তখনই সম্ভব যখন b−c=0, অর্থাৎ, যখন b সংখ্যাটি c সংখ্যার সমান হয়।

এটা nth ডিগ্রী এর শিকড় এর স্বরলিপি মোকাবেলা করার সময়. এ জন্য দেওয়া হয় nম ডিগ্রীর গাণিতিক মূল নির্ণয়.

সংজ্ঞা

একটি অ-ঋণাত্মক সংখ্যার nম ডিগ্রির গাণিতিক মূল aএকটি অ-ঋণাত্মক সংখ্যা বলা হয়, যার nম ঘাত a এর সমান।

ক্যালকুলেটর আবির্ভাবের আগে, ছাত্র এবং শিক্ষকরা হাত দিয়ে বর্গমূল গণনা করতেন। একটি সংখ্যার বর্গমূল ম্যানুয়ালি গণনা করার বিভিন্ন উপায় রয়েছে। তাদের মধ্যে কিছু শুধুমাত্র একটি আনুমানিক সমাধান অফার করে, অন্যরা একটি সঠিক উত্তর দেয়।

ধাপ

আপনি উত্তর দিবেন

মূল সংখ্যাকে গুণনীয়কগুলিতে পরিণত করুন যা বর্গ সংখ্যা।মূল সংখ্যার উপর নির্ভর করে, আপনি একটি আনুমানিক বা সঠিক উত্তর পাবেন। বর্গ সংখ্যা হল এমন সংখ্যা যা থেকে পুরো বর্গমূল নেওয়া যায়। গুণনীয়ক হল সংখ্যা যেগুলোকে গুণ করলে আসল সংখ্যা দেয়। উদাহরণস্বরূপ, 8 নম্বরের গুণনীয়ক হল 2 এবং 4, যেহেতু 2 x 4 = 8, 25, 36, 49 সংখ্যাগুলি বর্গ সংখ্যা, যেহেতু √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7। বর্গ গুণনীয়ক গুণনীয়ক, যা বর্গ সংখ্যা। প্রথমত, মূল সংখ্যাটিকে বর্গ গুণনীয়কগুলিতে ভাগ করার চেষ্টা করুন।

• উদাহরণস্বরূপ, 400 এর বর্গমূল গণনা করুন (ম্যানুয়ালি)। প্রথমে 400 কে বর্গাকার ফ্যাক্টর করার চেষ্টা করুন। 400 হল 100 এর গুণিতক, অর্থাৎ 25 দ্বারা বিভাজ্য - এটি একটি বর্গ সংখ্যা। 400 কে 25 দ্বারা ভাগ করলে আপনি 16 পাবেন। 16 সংখ্যাটিও একটি বর্গ সংখ্যা। এইভাবে, 400 কে 25 এবং 16 এর বর্গাকার গুণনীয়ক হিসাবে নির্ণয় করা যেতে পারে, অর্থাৎ 25 x 16 = 400।
• এটি নিম্নরূপ লেখা যেতে পারে: √400 = √(25 x 16)।

1. কিছু পদের গুণফলের বর্গমূল প্রতিটি পদের বর্গমূলের গুণফলের সমান, অর্থাৎ √(a x b) = √a x √b। এই নিয়মটি ব্যবহার করুন এবং প্রতিটি বর্গ গুণনীয়কের বর্গমূল নিন এবং উত্তর খুঁজতে ফলাফলগুলিকে গুণ করুন।

   • আমাদের উদাহরণে, 25 এবং 16 এর বর্গমূল নিন।
     • √(25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. যদি মূল সংখ্যাটি দুটি বর্গাকার গুণনীয়ক না করে (এবং এটি বেশিরভাগ ক্ষেত্রেই করে), আপনি একটি পূর্ণসংখ্যা আকারে সঠিক উত্তর খুঁজে পেতে সক্ষম হবেন না। কিন্তু আপনি মূল সংখ্যাটিকে একটি বর্গ গুণনীয়ক এবং একটি সাধারণ গুণক (একটি সংখ্যা যেখান থেকে পুরো বর্গমূল নেওয়া যায় না) মধ্যে বিভক্ত করে সমস্যাটি সহজ করতে পারেন। তাহলে আপনি বর্গ গুণনীয়কের বর্গমূল নেবেন এবং সাধারণ গুণনীয়কের মূল নেবেন।

   • উদাহরণস্বরূপ, 147 নম্বরের বর্গমূল গণনা করুন। 147 নম্বরটিকে দুটি বর্গ গুণনীয়ক হিসাবে বিন্যস্ত করা যায় না, তবে এটি নিম্নলিখিত গুণনীয়কগুলিতে গুণিত হতে পারে: 49 এবং 3। নিম্নরূপ সমস্যাটি সমাধান করুন:
     • = √(49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. প্রয়োজন হলে, মূলের মান মূল্যায়ন করুন।এখন আপনি মূলের মান মূল্যায়ন করতে পারেন (একটি আনুমানিক মান সন্ধান করুন) মূল সংখ্যার সাথে সবচেয়ে কাছাকাছি (সংখ্যা রেখার উভয় পাশে) বর্গ সংখ্যার মূলের মানের সাথে তুলনা করে। আপনি একটি দশমিক ভগ্নাংশ হিসাবে রুটের মান পাবেন, যা অবশ্যই মূল চিহ্নের পিছনে থাকা সংখ্যা দ্বারা গুণ করতে হবে।

   • আসুন আমাদের উদাহরণে ফিরে যাই। মূল সংখ্যাটি 3। এর নিকটতম বর্গ সংখ্যা হল সংখ্যা 1 (√1 = 1) এবং 4 (√4 = 2)। সুতরাং, √3-এর মান 1 এবং 2-এর মধ্যে রয়েছে। যেহেতু √3-এর মান সম্ভবত 1-এর থেকে 2-এর কাছাকাছি, তাই আমাদের অনুমান হল: √3 = 1.7। আমরা এই মানটিকে মূল চিহ্নের সংখ্যা দ্বারা গুণ করি: 7 x 1.7 \u003d 11.9। আপনি যদি ক্যালকুলেটরে গণনা করেন, আপনি 12.13 পাবেন, যা আমাদের উত্তরের বেশ কাছাকাছি।
     • এই পদ্ধতিটি বড় সংখ্যার সাথেও কাজ করে। উদাহরণস্বরূপ, √35 বিবেচনা করুন। মূল সংখ্যা হল 35। এর নিকটতম বর্গ সংখ্যা হল সংখ্যা 25 (√25 = 5) এবং 36 (√36 = 6)। সুতরাং, √35-এর মান 5 এবং 6-এর মধ্যে রয়েছে। যেহেতু √35-এর মান 5-এর তুলনায় 6-এর অনেক কাছাকাছি (কারণ 36-এর থেকে 35 মাত্র 1 কম), আমরা বলতে পারি যে √35-এর থেকে কিছুটা কম 6. ক্যালকুলেটর দিয়ে যাচাইকরণ আমাদের উত্তর দেয় 5.92 - আমরা ঠিক ছিলাম।

4. আরেকটি উপায় হল মূল সংখ্যাকে মৌলিক উপাদানগুলিতে পচানো।প্রাইম ফ্যাক্টর হল এমন সংখ্যা যেগুলি শুধুমাত্র 1 এবং নিজেদের দ্বারা বিভাজ্য। একটি সারিতে মৌলিক গুণনীয়ক লিখুন এবং অভিন্ন গুণনীয়কের জোড়া খুঁজে বের করুন। এই জাতীয় কারণগুলি মূলের চিহ্ন থেকে বের করা যেতে পারে।

   • উদাহরণস্বরূপ, 45 এর বর্গমূল গণনা করুন। আমরা মূল সংখ্যাটিকে মৌলিক গুণনীয়কগুলিতে বিভক্ত করি: 45 \u003d 9 x 5, এবং 9 \u003d 3 x 3। এইভাবে, √45 \u003d √ (3 x 3 x 5)। 3টি মূল চিহ্ন থেকে নেওয়া যেতে পারে: √45 = 3√5। এখন আমরা √5 অনুমান করতে পারি।
   • আরেকটি উদাহরণ বিবেচনা করুন: √88।
     • = √(2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11)। আপনি তিনটি গুণক 2s পেয়েছেন; তাদের একটি দম্পতি নিন এবং তাদের মূলের চিহ্ন থেকে বের করে নিন।
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11। এখন আমরা √2 এবং √11 মূল্যায়ন করতে পারি এবং একটি আনুমানিক উত্তর খুঁজে বের করতে পারি।

   বর্গমূল ম্যানুয়ালি গণনা করা হচ্ছে

   কলাম বিভাগ ব্যবহার করে

   1. এই পদ্ধতিটি দীর্ঘ বিভাজনের মতো একটি প্রক্রিয়া জড়িত এবং একটি সঠিক উত্তর দেয়।প্রথমে, শীটটিকে দুটি ভাগে বিভক্ত করে একটি উল্লম্ব রেখা আঁকুন এবং তারপরে ডানদিকে একটি অনুভূমিক রেখা আঁকুন এবং শীটের উপরের প্রান্তের সামান্য নীচে উল্লম্ব লাইনে আঁকুন। এখন মূল সংখ্যাটিকে সংখ্যার জোড়ায় ভাগ করুন, দশমিক বিন্দুর পর ভগ্নাংশ দিয়ে শুরু করুন। সুতরাং, 79520789182.47897 নম্বরটি "7 95 20 78 91 82, 47 89 70" হিসাবে লেখা হয়েছে।

      • উদাহরণস্বরূপ, আসুন 780.14 সংখ্যার বর্গমূল গণনা করি। দুটি লাইন আঁকুন (ছবিতে দেখানো হয়েছে) এবং উপরের বাম দিকে "7 80, 14" আকারে প্রদত্ত সংখ্যাটি লিখুন। এটা স্বাভাবিক যে বাম দিক থেকে প্রথম অঙ্কটি একটি জোড়াবিহীন সংখ্যা। উত্তরটি (প্রদত্ত সংখ্যার মূল) উপরে ডানদিকে লেখা থাকবে।

   2. বাম দিক থেকে প্রথম জোড়া সংখ্যা (বা একটি সংখ্যা) দেওয়া, সবচেয়ে বড় পূর্ণসংখ্যা n খুঁজুন যার বর্গটি প্রশ্নে থাকা সংখ্যার জোড়া (বা একটি সংখ্যা) থেকে কম বা সমান। অন্য কথায়, বাম দিক থেকে প্রথম জোড়া সংখ্যার (বা একটি সংখ্যা) সবচেয়ে কাছের কিন্তু তার চেয়ে কম বর্গ সংখ্যাটি খুঁজুন এবং সেই বর্গ সংখ্যার বর্গমূল নিন; আপনি n নম্বর পাবেন। উপরের ডানদিকে পাওয়া n লিখুন, এবং নীচে ডানদিকে বর্গক্ষেত্র n লিখুন।

      • আমাদের ক্ষেত্রে, বাম দিকের প্রথম নম্বরটি হবে 7 নম্বর। পরবর্তী, 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. বাম দিক থেকে আপনি এইমাত্র সংখ্যার প্রথম জোড়া (বা একটি সংখ্যা) থেকে যে সংখ্যাটি পেয়েছেন তার বর্গটি বিয়োগ করুন।সাবট্রাহেন্ডের নিচে গণনার ফলাফল লিখুন (n সংখ্যার বর্গ)।

      • আমাদের উদাহরণে, 3 পেতে 7 থেকে 4 বিয়োগ করুন।

   4. সংখ্যার দ্বিতীয় জোড়াটি নামিয়ে নিন এবং পূর্ববর্তী ধাপে প্রাপ্ত মানের পাশে এটি লিখুন।তারপর উপরের ডানদিকে সংখ্যাটি দ্বিগুণ করুন এবং নীচে ডানদিকে "_×_=" যুক্ত করে ফলাফলটি লিখুন।

      • আমাদের উদাহরণে, সংখ্যার দ্বিতীয় জোড়া হল "80"। 3 এর পরে "80" লিখুন। তারপর, উপরের ডান দিক থেকে সংখ্যাটিকে দ্বিগুণ করলে 4 পাওয়া যায়। নীচে ডান দিক থেকে "4_×_=" লিখুন।

   5. ডানদিকে শূন্যস্থান পূরণ করুন।

      • আমাদের ক্ষেত্রে, যদি আমরা ড্যাশের পরিবর্তে 8 নম্বর রাখি, তাহলে 48 x 8 \u003d 384, যা 380-এর বেশি। তাই, 8 একটি সংখ্যা খুব বড়, কিন্তু 7 ঠিক আছে। ড্যাশের পরিবর্তে 7 লিখুন এবং পান: 47 x 7 \u003d 329। উপরের ডান দিক থেকে 7 লিখুন - এটি 780.14 নম্বরের পছন্দসই বর্গমূলের দ্বিতীয় সংখ্যা।

   6. বাম দিকের বর্তমান সংখ্যা থেকে ফলিত সংখ্যাটি বিয়োগ করুন।বামদিকে বর্তমান সংখ্যার নীচে পূর্ববর্তী ধাপ থেকে ফলাফলটি লিখুন, পার্থক্যটি সন্ধান করুন এবং বিয়োগের নীচে লিখুন।

      • আমাদের উদাহরণে, 380 থেকে 329 বিয়োগ করুন, যা 51 এর সমান।

   7. ধাপ 4 পুনরাবৃত্তি করুন।যদি ভেঙে দেওয়া সংখ্যার জোড়া মূল সংখ্যার ভগ্নাংশ হয়, তাহলে উপরের ডান দিক থেকে পছন্দসই বর্গমূলে পূর্ণসংখ্যা এবং ভগ্নাংশের বিভাজক (কমা) রাখুন। বাম দিকে, পরবর্তী জোড়া সংখ্যাগুলি নিয়ে যান। উপরের ডানদিকে সংখ্যাটি দ্বিগুণ করুন এবং নীচে ডানদিকে "_×_=" যুক্ত করে ফলাফলটি লিখুন।

      • আমাদের উদাহরণে, পরবর্তী জোড়া সংখ্যাটি ভেঙে ফেলা হবে 780.14 নম্বরের ভগ্নাংশের অংশ, তাই উপরের ডান দিক থেকে প্রয়োজনীয় বর্গমূলে পূর্ণসংখ্যা এবং ভগ্নাংশের বিভাজক রাখুন। 14 ধ্বংস করুন এবং নীচে বাম দিকে লিখুন। উপরের ডানদিকে দ্বিগুণ (27) হল 54, তাই নীচে ডানদিকে "54_×_=" লিখুন৷

   8. ধাপ 5 এবং 6 পুনরাবৃত্তি করুন.ডানদিকে ড্যাশের জায়গায় সবচেয়ে বড় সংখ্যাটি খুঁজুন (ড্যাশের পরিবর্তে আপনাকে একই সংখ্যা প্রতিস্থাপন করতে হবে) যাতে গুণনের ফলাফল বামদিকে বর্তমান সংখ্যার কম বা সমান হয়।

      • আমাদের উদাহরণে, 549 x 9 = 4941, যা বাম দিকের বর্তমান সংখ্যা (5114) থেকে কম। উপরের ডানদিকে 9 লিখুন এবং বাম দিকের বর্তমান সংখ্যা থেকে গুণের ফলাফল বিয়োগ করুন: 5114 - 4941 = 173।

   9. আপনার যদি বর্গমূলের জন্য আরও দশমিক স্থান খুঁজে বের করতে হয়, বাম দিকে বর্তমান সংখ্যার পাশে এক জোড়া শূন্য লিখুন এবং ধাপ 4, 5 এবং 6 পুনরাবৃত্তি করুন। যতক্ষণ না আপনি আপনার প্রয়োজনীয় উত্তরটির সঠিকতা না পান ততক্ষণ ধাপগুলি পুনরাবৃত্তি করুন (সংখ্যা দশমিক স্থান).

      প্রক্রিয়াটি বোঝা

      1. এই পদ্ধতিটি আয়ত্ত করতে, যে সংখ্যাটির বর্গমূল আপনি বর্গ S এর ক্ষেত্রফল হিসাবে খুঁজে পেতে চান সেই সংখ্যাটি কল্পনা করুন। এই ক্ষেত্রে, আপনি এমন একটি বর্গক্ষেত্রের L পাশের দৈর্ঘ্যটি সন্ধান করবেন। L এর মান গণনা করুন যার জন্য L² = S।

         আপনার উত্তরে প্রতিটি অঙ্কের জন্য একটি চিঠি লিখুন। L (কাঙ্খিত বর্গমূল) এর মানের প্রথম অঙ্কটি A দ্বারা চিহ্নিত করুন। B হবে দ্বিতীয় সংখ্যা, C হবে তৃতীয় সংখ্যা ইত্যাদি।

         অগ্রণী অঙ্কের প্রতিটি জোড়ার জন্য একটি অক্ষর নির্দিষ্ট করুন। S মানের দ্বারা অঙ্কের প্রথম জোড়াকে S দ্বারা চিহ্নিত করুন, S b দ্বারা অঙ্কের দ্বিতীয় জোড়া, ইত্যাদি।

         দীর্ঘ বিভাজনের সাথে এই পদ্ধতির সংযোগ ব্যাখ্যা কর।বিভাজন ক্রিয়াকলাপের মতো, যেখানে প্রতিবার আমরা বিভাজ্য সংখ্যার পরবর্তী একটি সংখ্যার প্রতি আগ্রহী হই, বর্গমূল গণনা করার সময়, আমরা ক্রমানুসারে এক জোড়া অঙ্ক নিয়ে কাজ করি (বর্গমূল মানের পরবর্তী একটি সংখ্যা পেতে) .

      2. সংখ্যা S (আমাদের উদাহরণে Sa = 7) এর Sa সংখ্যার প্রথম জোড়াটি বিবেচনা করুন এবং এর বর্গমূল খুঁজুন।এই ক্ষেত্রে, বর্গমূলের চাওয়া মানের প্রথম অঙ্ক A এমন একটি সংখ্যা হবে, যার বর্গটি S a এর থেকে কম বা সমান (অর্থাৎ, আমরা এমন একটি A খুঁজছি যা অসমতা A²কে সন্তুষ্ট করে) ≤ সা< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

         • ধরা যাক আমাদের 88962 কে 7 দ্বারা ভাগ করতে হবে; এখানে প্রথম ধাপটি একই রকম হবে: আমরা বিভাজ্য সংখ্যা 88962 (8) এর প্রথম অঙ্কটি বিবেচনা করি এবং সবচেয়ে বড় সংখ্যাটি নির্বাচন করি যেটিকে 7 দ্বারা গুণ করা হলে, 8 এর চেয়ে কম বা সমান একটি মান দেয়। অর্থাৎ, আমরা খুঁজছি একটি সংখ্যা d যার জন্য অসমতা সত্য: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

      3. মানসিকভাবে সেই বর্গক্ষেত্রটি কল্পনা করুন যার ক্ষেত্রফল আপনাকে গণনা করতে হবে।আপনি L খুঁজছেন, অর্থাৎ, একটি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য যার ক্ষেত্রফল হল S. A, B, C হল সংখ্যা L এর সংখ্যা। আপনি এটি ভিন্নভাবে লিখতে পারেন: 10A + B \u003d L (একটি দুটির জন্য -অঙ্কের সংখ্যা) বা 100A + 10B + C \u003d L (তিন-সংখ্যার সংখ্যার জন্য) ইত্যাদি।

         • হতে দিন (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². মনে রাখবেন যে 10A+B হল এমন একটি সংখ্যা যার B মানে এক এবং A হল দশ। উদাহরণস্বরূপ, যদি A=1 এবং B=2, তাহলে 10A+B সংখ্যা 12 এর সমান। (10A+B)²পুরো বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল, 100A²বড় ভিতরের বর্গক্ষেত্রের এলাকা, B²ছোট ভিতরের বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল, 10A×Bদুটি আয়তক্ষেত্রের প্রতিটির ক্ষেত্রফল। বর্ণিত পরিসংখ্যানের ক্ষেত্রফল যোগ করলে আপনি মূল বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল পাবেন।

সূচক দ্বারা বোঝায় যে একটি প্রদত্ত সংখ্যাকে অবশ্যই একটি নির্দিষ্ট সংখ্যার দ্বারা গুণ করতে হবে। উদাহরণস্বরূপ, 2 নম্বরটিকে পঞ্চম শক্তিতে উত্থাপন করা এইরকম দেখাবে:

যে সংখ্যাটিকে নিজের দ্বারা গুণ করতে হবে তাকে ডিগ্রির ভিত্তি বলা হয় এবং গুণের সংখ্যাটি তার সূচক। একটি শক্তিতে উত্থাপন দুটি বিপরীত কর্মের সাথে মিলে যায়: সূচকটি সন্ধান করা এবং ভিত্তিটি সন্ধান করা।

মূল নিষ্কাশন

সূচকের ভিত্তি খুঁজে পাওয়াকে মূল নিষ্কাশন বলে। এর মানে হল যে প্রদত্ত একটি পাওয়ার জন্য আপনাকে n এর শক্তিতে বাড়াতে হবে এমন সংখ্যাটি খুঁজে বের করতে হবে।

উদাহরণস্বরূপ, 16 নম্বরের 4র্থ রুটটি বের করা প্রয়োজন, অর্থাৎ। নির্ণয় করতে, শেষে 16 পেতে হলে আপনাকে 4 বার গুন করতে হবে। এই সংখ্যাটি হল 2।

এই ধরনের একটি গাণিতিক অপারেশন একটি বিশেষ চিহ্ন ব্যবহার করে লেখা হয় - র্যাডিকাল: √, যার উপরে সূচকটি বাম দিকে নির্দেশিত হয়।

গাণিতিক মূল

যদি সূচকটি একটি জোড় সংখ্যা হয়, তবে মূলটি একই মডুলাস সহ দুটি সংখ্যা হতে পারে, তবে c ধনাত্মক এবং ঋণাত্মক। সুতরাং, প্রদত্ত উদাহরণে এটি সংখ্যা 2 এবং -2 হতে পারে।

অভিব্যক্তিটি অবশ্যই দ্ব্যর্থহীন হতে হবে, যেমন একটি ফলাফল আছে. এই জন্য, একটি পাটিগণিত মূল ধারণা চালু করা হয়েছিল, যা শুধুমাত্র একটি ধনাত্মক সংখ্যা হতে পারে। একটি গাণিতিক মূল শূন্যের কম হতে পারে না।

এইভাবে, উপরে বিবেচিত উদাহরণে, শুধুমাত্র 2 সংখ্যাটি হবে গাণিতিক মূল, এবং দ্বিতীয় উত্তর - -2 - সংজ্ঞা দ্বারা বাদ দেওয়া হয়েছে।

বর্গমূল

কিছু ডিগ্রির জন্য যা অন্যদের তুলনায় প্রায়শই ব্যবহৃত হয়, সেখানে বিশেষ নাম রয়েছে যা মূলত জ্যামিতির সাথে যুক্ত। আমরা দ্বিতীয় এবং তৃতীয় ডিগ্রী বাড়ানোর কথা বলছি।

দ্বিতীয় শক্তিতে, বর্গক্ষেত্রের পাশের দৈর্ঘ্য যখন আপনাকে তার ক্ষেত্রফল গণনা করতে হবে। আপনি যদি একটি ঘনক্ষেত্রের আয়তন খুঁজে বের করতে চান, তবে এর প্রান্তের দৈর্ঘ্য তৃতীয় শক্তিতে উত্থাপিত হয়। অতএব, একে সংখ্যার বর্গ বলা হয় এবং তৃতীয়টিকে ঘনক বলা হয়।

তদনুসারে, দ্বিতীয় ডিগ্রির মূলকে বর্গ বলা হয় এবং তৃতীয় ডিগ্রির মূলকে ঘনক বলা হয়। বর্গমূল হল একমাত্র মূল যেটির র‍্যাডিকেলের উপরে কোন সূচক থাকে না যখন লেখা হয়:

সুতরাং, একটি প্রদত্ত সংখ্যার গাণিতিক বর্গমূল হল একটি ধনাত্মক সংখ্যা যা প্রদত্ত সংখ্যাটি পেতে দ্বিতীয় ঘাতে উঠতে হবে।