বর্গমূলের বৈশিষ্ট্যগুলি কীভাবে সমাধান করবেন। বর্গমূল. বর্গমূল সহ ক্রিয়া। মডিউল। বর্গমূলের তুলনা

ঘটনা ১.
\(\bullet\) আসুন কিছু অ-ঋণাত্মক সংখ্যা নেওয়া যাক \(a\) (অর্থাৎ, \(a\geqslant 0\))। তারপর (পাটিগণিত) বর্গমূলসংখ্যা থেকে \(a\) এমন একটি অ-ঋণাত্মক সংখ্যা বলা হয় \(b\) , বর্গ করা হলে আমরা \(a\) সংখ্যা পাই : \[\sqrt a=b\quad \text(same as)\quad a=b^2\]সংজ্ঞা থেকে এটি অনুসরণ করে \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). এই নিষেধাজ্ঞা আছে গুরুত্বপূর্ণ শর্তএকটি বর্গমূলের অস্তিত্ব এবং তাদের মনে রাখা উচিত!
মনে রাখবেন যে কোনো সংখ্যা যখন বর্গ করা হয় তখন একটি অ-নেতিবাচক ফলাফল দেয়। অর্থাৎ, \(100^2=10000\geqslant 0\) এবং \((-100)^2=10000\geqslant 0\)।
\(\bullet\) \(\sqrt(25)\) কিসের সমান? আমরা জানি যে \(5^2=25\) এবং \(-5)^2=25\)। যেহেতু সংজ্ঞা অনুসারে আমাদের অবশ্যই একটি অ-নেতিবাচক সংখ্যা খুঁজে বের করতে হবে, তাহলে \(-5\) উপযুক্ত নয়, তাই, \(\sqrt(25)=5\) (যেহেতু \(25=5^2\))।
\(\sqrt a\) এর মান বের করাকে \(a\) সংখ্যাটির বর্গমূল নেওয়া বলা হয় এবং \(a\) সংখ্যাটিকে র্যাডিকাল রাশি বলা হয়।
\(\bullet\) সংজ্ঞা, অভিব্যক্তি \(\sqrt(-25)\), \(\sqrt(-4)\), ইত্যাদির উপর ভিত্তি করে। কোন মানে নেই

ঘটনা 2।
দ্রুত গণনার জন্য এটি বর্গক্ষেত্রের সারণী শিখতে উপযোগী হবে প্রাকৃতিক সংখ্যা\(1\) থেকে \(20\) : \[\begin(অ্যারে)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ hলাইন \শেষ(অ্যারে)\]

ঘটনা 3।
আপনি কি কর্ম সঙ্গে সঞ্চালন করতে পারেন বর্গমূল?
\(\ বুলেট\) যোগফল বা পার্থক্য বর্গমূলযোগফল বা পার্থক্যের বর্গমূলের সমান নয়, অর্থাৎ \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\]এইভাবে, যদি আপনার গণনা করতে হয়, উদাহরণস্বরূপ, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\), তাহলে প্রাথমিকভাবে আপনাকে অবশ্যই \(\sqrt(25)\) এবং \(\) এর মান খুঁজে বের করতে হবে sqrt(49)\ ) এবং তারপরে সেগুলি ভাঁজ করুন। তাই, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] যদি \(\sqrt a+\sqrt b\) যোগ করার সময় \(\sqrt a\) বা \(\sqrt b\) মানগুলি পাওয়া না যায়, তবে এই জাতীয় অভিব্যক্তিটি আরও রূপান্তরিত হয় না এবং এটির মতোই থাকে। উদাহরণস্বরূপ, যোগফল \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) আমরা দেখতে পারি \(\sqrt(49)\) হল \(7\), কিন্তু \(\sqrt 2\) রূপান্তরিত হতে পারে না যেভাবেই হোক, সেজন্য \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). দুর্ভাগ্যবশত, এই অভিব্যক্তি আরো সরলীকৃত করা যাবে না\(\bullet\) বর্গমূলের গুণফল/ভাগফল গুণফল/ভাগফলের বর্গমূলের সমান, অর্থাৎ \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (যদি সমতার উভয় পক্ষই অর্থবোধ করে)
উদাহরণ: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) এই বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করে, বড় সংখ্যার বর্গমূলগুলিকে ফ্যাক্টর করে খুঁজে বের করা সুবিধাজনক।
একটি উদাহরণ বিবেচনা করুন। আসুন খুঁজে পাই \(\sqrt(44100)\)। যেহেতু \(44100:100=441\), তারপর \(44100=100\cdot 441\)। বিভাজ্যতার মাপকাঠি অনুসারে, সংখ্যা \(441\) \(9\) দ্বারা বিভাজ্য (যেহেতু এটির অঙ্কের যোগফল 9 এবং 9 দ্বারা বিভাজ্য), তাই, \(441:9=49\), অর্থাৎ, \(441=9\ cdot 49\)।
এইভাবে আমরা পেয়েছি: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\]আসুন আরেকটি উদাহরণ দেখি: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) এক্সপ্রেশন \(5\sqrt2\) (অভিব্যক্তির জন্য সংক্ষিপ্ত স্বরলিপি \(5\cdot \sqrt2\)) এর উদাহরণ ব্যবহার করে বর্গমূল চিহ্নের নীচে সংখ্যাগুলি কীভাবে লিখতে হয় তা দেখাই। যেহেতু \(5=\sqrt(25)\), তারপর \ এছাড়াও মনে রাখবেন যে, উদাহরণস্বরূপ,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\),
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\)।

কেন এমন হল? উদাহরণ 1 ব্যবহার করে ব্যাখ্যা করা যাক)। আপনি ইতিমধ্যে বুঝতে পেরেছেন, আমরা কোনোভাবে সংখ্যাটি রূপান্তর করতে পারি না \(\sqrt2\)। আসুন কল্পনা করি যে \(\sqrt2\) কিছু সংখ্যা \(a\)। তদনুসারে, অভিব্যক্তি \(\sqrt2+3\sqrt2\) \(a+3a\) (একটি সংখ্যা \(a\) এবং একই সংখ্যার আরও তিনটি \(a\)) ছাড়া আর কিছুই নয়। এবং আমরা জানি যে এটি চারটি সংখ্যার সমান \(a\), অর্থাৎ, \(4\sqrt2\)।

ঘটনা 4।
\(\bullet\) তারা প্রায়ই বলে "আপনি মূলটি বের করতে পারবেন না" যখন আপনি একটি সংখ্যার মান খুঁজে বের করার সময় মূলের (আমূল) চিহ্ন \(\sqrt () \ \) থেকে মুক্তি পেতে পারেন না . উদাহরণস্বরূপ, আপনি \(16\) সংখ্যাটির মূল নিতে পারেন কারণ \(16=4^2\), তাই \(\sqrt(16)=4\)। কিন্তু সংখ্যাটির মূল বের করা অসম্ভব \(3\), অর্থাৎ, খুঁজে বের করা \(\sqrt3\), কারণ এমন কোন সংখ্যা নেই যা বর্গ দিয়ে \(3\) দেবে।
এই ধরনের সংখ্যা (বা এই ধরনের সংখ্যা সহ অভিব্যক্তি) অযৌক্তিক। উদাহরণস্বরূপ, সংখ্যা \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\)এবং তাই অযৌক্তিক
এছাড়াও অযৌক্তিক সংখ্যাগুলি \(\pi\) (সংখ্যা “pi”, প্রায় \(3.14\) এর সমান), \(e\) (এই সংখ্যাটিকে অয়লার সংখ্যা বলা হয়, এটি প্রায় \(2.7) এর সমান \)) ইত্যাদি
\(\bullet\) অনুগ্রহ করে মনে রাখবেন যে কোন সংখ্যাই হয় মূলদ বা অমূলদ হবে। এবং একসাথে সবাই যুক্তিবাদী এবং সবকিছু অমূলদ সংখ্যানামক একটি সেট গঠন করুন বাস্তব সংখ্যার একটি সেট।এই সেটটিকে \(\mathbb(R)\) অক্ষর দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।
এর মানে হল যে সমস্ত সংখ্যা চালু আছে এই মুহূর্তেআমরা জানি বাস্তব সংখ্যা বলা হয়।

ঘটনা 5।
\(\bullet\) একটি বাস্তব সংখ্যা \(a\) এর মডুলাস হল একটি অ-ঋণাত্মক সংখ্যা \(|a|\) বিন্দু \(a\) থেকে \(0\) পর্যন্ত দূরত্বের সমান বাস্তব লাইন উদাহরণস্বরূপ, \(|3|\) এবং \(|-3|\) 3 এর সমান, যেহেতু বিন্দু থেকে দূরত্ব \(3\) এবং \(-3\) থেকে \(0\) একই এবং সমান \(3 \)।
\(\bullet\) যদি \(a\) একটি অ-ঋণাত্মক সংখ্যা হয়, তাহলে \(|a|=a\)।
উদাহরণ: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\)। \(\bullet\) যদি \(a\) একটি ঋণাত্মক সংখ্যা হয়, তাহলে \(|a|=-a\)।
উদাহরণ: \(|-5|=-(-5)=5\); \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
তারা বলে যে নেতিবাচক সংখ্যার জন্য মডুলাস বিয়োগ "খায়", যখন ধনাত্মক সংখ্যা, সেইসাথে সংখ্যা \(0\), মডুলাস দ্বারা অপরিবর্তিত থাকে।
কিন্তুএই নিয়ম শুধুমাত্র সংখ্যার ক্ষেত্রে প্রযোজ্য। যদি আপনার মডুলাস চিহ্নের নীচে একটি অজানা \(x\) (বা অন্য কিছু অজানা), উদাহরণস্বরূপ, \(|x|\), যার সম্পর্কে আমরা জানি না যে এটি ধনাত্মক, শূন্য বা নেতিবাচক কিনা, তাহলে পরিত্রাণ পান মডুলাস আমরা পারি না. এই ক্ষেত্রে, এই অভিব্যক্তিটি একই থাকে: \(|x|\)। \(\bullet\) নিম্নলিখিত সূত্র ধরে: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( provide ) a\geqslant 0\]খুব প্রায়ই নিম্নলিখিত ভুল করা হয়: তারা বলে যে \(\sqrt(a^2)\) এবং \((\sqrt a)^2\) এক এবং একই। এটি শুধুমাত্র সত্য যদি \(a\) একটি ধনাত্মক সংখ্যা বা শূন্য হয়। কিন্তু যদি \(a\) একটি ঋণাত্মক সংখ্যা হয়, তাহলে এটি মিথ্যা। এই উদাহরণ বিবেচনা করা যথেষ্ট। আসুন \(a\) সংখ্যা \(-1\) এর পরিবর্তে নেওয়া যাক। তারপর \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\), কিন্তু অভিব্যক্তি \((\sqrt (-1))^2\) মোটেও বিদ্যমান নেই (সবকিছুর পরে, নেতিবাচক সংখ্যা বসানো মূল চিহ্ন ব্যবহার করা অসম্ভব!)
অতএব, আমরা আপনার দৃষ্টি আকর্ষণ করছি যে \(\sqrt(a^2)\) \((\sqrt a)^2\) এর সমান নয়!উদাহরণ: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), কারণ \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\)। \(\bullet\) যেহেতু \(\sqrt(a^2)=|a|\), তারপর \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (অভিব্যক্তি \(2n\) একটি জোড় সংখ্যা নির্দেশ করে)
অর্থাৎ, কোনো সংখ্যার রুট নেওয়ার সময় যা কিছু ডিগ্রী, এই ডিগ্রী অর্ধেক হয়।
উদাহরণ:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (উল্লেখ্য যে যদি মডিউলটি সরবরাহ করা না হয়, তাহলে দেখা যাচ্ছে যে সংখ্যাটির মূলটি \(-25\) এর সমান ); কিন্তু আমরা মনে রাখি, মূলের সংজ্ঞা অনুসারে এটি ঘটতে পারে না: একটি মূল বের করার সময়, আমাদের সর্বদা একটি ধনাত্মক সংখ্যা বা শূন্য পাওয়া উচিত)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (যেহেতু একটি জোড় ঘাতের যেকোনো সংখ্যা অ-ঋণাত্মক)

ঘটনা 6।
কিভাবে দুটি বর্গমূল তুলনা?
\(\bullet\) বর্গমূলের জন্য এটি সত্য: যদি \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aউদাহরণ:
1) তুলনা করুন \(\sqrt(50)\) এবং \(6\sqrt2\)। প্রথমত, দ্বিতীয় রাশিটিকে রুপান্তর করা যাক \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). এইভাবে, যেহেতু \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) কোন পূর্ণসংখ্যার মধ্যে \(\sqrt(50)\) অবস্থিত?
যেহেতু \(\sqrt(49)=7\), \(\sqrt(64)=8\), এবং \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) আসুন তুলনা করি \(\sqrt 2-1\) এবং \(0.5\)। ধরা যাক যে \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\begin(aligned) &\sqrt 2-1>0.5 \\big| +1\quad \text((উভয় পাশে একটি যোগ করুন))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((উভয় দিকে বর্গক্ষেত্র))\\ &2>1.5^2\\ &2>2.25 \end(সারিবদ্ধ)\]আমরা দেখতে পাচ্ছি যে আমরা একটি ভুল বৈষম্য পেয়েছি। অতএব, আমাদের অনুমান ভুল ছিল এবং \(\sqrt 2-1<0,5\) .
মনে রাখবেন যে অসমতার উভয় পাশে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা যোগ করলে এর চিহ্নকে প্রভাবিত করে না। একটি ধনাত্মক সংখ্যা দ্বারা একটি অসমতার উভয় দিককে গুণ/ভাগ করলেও এর চিহ্নকে প্রভাবিত করে না, তবে একটি ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুণ/ভাগ করলে অসমতার চিহ্নটি বিপরীত হয়!
আপনি একটি সমীকরণ/বৈষম্যের উভয় দিকে বর্গ করতে পারেন শুধুমাত্র যদি উভয় পক্ষই অ-নেতিবাচক হয়। উদাহরণস্বরূপ, পূর্ববর্তী উদাহরণ থেকে অসমতায় আপনি উভয় পক্ষকে বর্গ করতে পারেন, অসমতায় \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\বুলেট\) এটা মনে রাখা উচিত \[\begin(সারিবদ্ধ) &\sqrt 2\আনুমানিক 1.4\\ &\sqrt 3\প্রায় 1.7 \শেষ(সংরিবদ্ধ)\]সংখ্যার তুলনা করার সময় এই সংখ্যাগুলির আনুমানিক অর্থ জানা আপনাকে সাহায্য করবে! \(\বুলেট\) বর্গক্ষেত্রের টেবিলে নেই এমন কিছু বড় সংখ্যা থেকে মূল (যদি বের করা যায়) বের করার জন্য, আপনাকে প্রথমে নির্ধারণ করতে হবে যে এটি কোন "শত" এর মধ্যে অবস্থিত, তারপর – কোনটির মধ্যে " দশ”, এবং তারপর এই সংখ্যার শেষ সংখ্যা নির্ধারণ করুন। আসুন একটি উদাহরণ দিয়ে দেখাই যে এটি কীভাবে কাজ করে।
চলুন নেওয়া যাক \(\sqrt(28224)\)। আমরা জানি যে \(100^2=10\,000\), \(200^2=40\,000\), ইত্যাদি। মনে রাখবেন \(28224\) \(10\,000\) এবং \(40\,000\) এর মধ্যে। অতএব, \(\sqrt(28224)\) হল \(100\) এবং \(200\) এর মধ্যে।
এখন আমাদের সংখ্যা কোন "দশ" এর মধ্যে অবস্থিত তা নির্ধারণ করা যাক (যেমন, উদাহরণস্বরূপ, \(120\) এবং \(130\) এর মধ্যে)। এছাড়াও বর্গের সারণী থেকে আমরা জানি যে \(11^2=121\), \(12^2=144\) ইত্যাদি, তারপর \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ), \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ) সুতরাং আমরা দেখতে পাচ্ছি যে \(28224\) \(160^2\) এবং \(170^2\) এর মধ্যে রয়েছে। অতএব, সংখ্যা \(\sqrt(28224)\) \(160\) এবং \(170\) এর মধ্যে।
শেষ সংখ্যা নির্ধারণ করার চেষ্টা করা যাক. আসুন মনে রাখি কোন একক সংখ্যার সংখ্যা, যখন বর্গ করা হয়, তখন শেষে \(4\) দেয়? এগুলি হল \(2^2\) এবং \(8^2\)। অতএব, \(\sqrt(28224)\) 2 বা 8 এর মধ্যে শেষ হবে। আসুন এটি পরীক্ষা করি। আসুন খুঁজে পাই \(162^2\) এবং \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\)।
অতএব, \(\sqrt(28224)=168\)। ভয়লা !

গণিতে ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার পর্যাপ্ত সমাধান করার জন্য, আপনাকে প্রথমে তাত্ত্বিক উপাদান অধ্যয়ন করতে হবে, যা আপনাকে অসংখ্য উপপাদ্য, সূত্র, অ্যালগরিদম ইত্যাদির সাথে পরিচয় করিয়ে দেয়। প্রথম নজরে মনে হতে পারে যে এটি বেশ সহজ। যাইহোক, এমন একটি উত্স সন্ধান করা যেখানে গণিতে ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার তত্ত্বটি যে কোনও স্তরের প্রশিক্ষণ সহ শিক্ষার্থীদের জন্য একটি সহজ এবং বোধগম্য উপায়ে উপস্থাপন করা হয়েছে বাস্তবে একটি বরং কঠিন কাজ। স্কুলের পাঠ্যবই সবসময় হাতে রাখা যায় না। এবং গণিতে ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার জন্য প্রাথমিক সূত্রগুলি খুঁজে পাওয়া এমনকি ইন্টারনেটেও কঠিন হতে পারে।

শুধুমাত্র যারা ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষা দিচ্ছে তাদের জন্যই গণিতে তত্ত্ব অধ্যয়ন করা এত গুরুত্বপূর্ণ কেন?

কারণ এটি আপনার দিগন্তকে প্রশস্ত করে. গণিতের তাত্ত্বিক উপাদান অধ্যয়ন করা যে কেউ তাদের চারপাশের বিশ্বের জ্ঞান সম্পর্কিত বিস্তৃত প্রশ্নের উত্তর পেতে চায় তাদের জন্য দরকারী। প্রকৃতির সবকিছুই সুশৃঙ্খল এবং সুস্পষ্ট যুক্তিযুক্ত। এটি বিজ্ঞানে প্রতিফলিত হয়, যার মাধ্যমে বিশ্বকে বোঝা সম্ভব।
কারণ এতে বুদ্ধির বিকাশ ঘটে. গণিতের ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার জন্য রেফারেন্স সামগ্রী অধ্যয়ন করার পাশাপাশি বিভিন্ন সমস্যা সমাধানের মাধ্যমে, একজন ব্যক্তি যুক্তিযুক্তভাবে চিন্তা করতে এবং যুক্তি দিতে, দক্ষতার সাথে এবং স্পষ্টভাবে চিন্তাভাবনা তৈরি করতে শেখে। তিনি বিশ্লেষণ, সাধারণীকরণ এবং সিদ্ধান্তে উপনীত হওয়ার ক্ষমতা বিকাশ করেন।

আমরা আপনাকে ব্যক্তিগতভাবে শিক্ষাগত উপকরণগুলির পদ্ধতিগতকরণ এবং উপস্থাপনার জন্য আমাদের পদ্ধতির সমস্ত সুবিধা মূল্যায়ন করার জন্য আমন্ত্রণ জানাচ্ছি।

মূল সূত্র। বর্গমূলের বৈশিষ্ট্য।

মনোযোগ!
অতিরিক্ত আছে
বিশেষ ধারা 555 এর উপকরণ।
যারা খুব "খুব নয়..." তাদের জন্য
এবং যারা "খুব বেশি ..." তাদের জন্য)

আগের পাঠে আমরা বর্গমূল কী তা বের করেছি। কোনটি বিদ্যমান তা খুঁজে বের করার সময় এসেছে শিকড় জন্য সূত্রকি আছে শিকড় বৈশিষ্ট্য, এবং এই সব দিয়ে কি করা যেতে পারে.

শিকড়ের সূত্র, শিকড়ের বৈশিষ্ট্য এবং শিকড় দিয়ে কাজ করার নিয়ম- এটি মূলত একই জিনিস। বর্গমূলের জন্য আশ্চর্যজনকভাবে কয়েকটি সূত্র রয়েছে। যা অবশ্যই আমাকে খুশি করে! অথবা বরং, আপনি অনেকগুলি বিভিন্ন সূত্র লিখতে পারেন, তবে শিকড় সহ ব্যবহারিক এবং আত্মবিশ্বাসী কাজের জন্য, শুধুমাত্র তিনটিই যথেষ্ট। বাকি সবকিছু এই তিনটি থেকে প্রবাহিত হয়। যদিও অনেকেই তিনটি মূল সূত্রে বিভ্রান্ত হন, হ্যাঁ...

এর সবচেয়ে সহজ একটি দিয়ে শুরু করা যাক. সে এখানে:

আপনি যদি এই সাইটটি পছন্দ করেন ...

যাইহোক, আমার কাছে আপনার জন্য আরও কয়েকটি আকর্ষণীয় সাইট রয়েছে।)

আপনি উদাহরণ সমাধানের অনুশীলন করতে পারেন এবং আপনার স্তর খুঁজে বের করতে পারেন। তাত্ক্ষণিক যাচাইকরণের সাথে পরীক্ষা করা হচ্ছে। আসুন শিখি - আগ্রহ সহ!)

আপনি ফাংশন এবং ডেরিভেটিভের সাথে পরিচিত হতে পারেন।

আপনার গোপনীয়তা বজায় রাখা আমাদের কাছে গুরুত্বপূর্ণ। এই কারণে, আমরা একটি গোপনীয়তা নীতি তৈরি করেছি যা বর্ণনা করে যে আমরা কীভাবে আপনার তথ্য ব্যবহার করি এবং সংরক্ষণ করি। আমাদের গোপনীয়তা অনুশীলন পর্যালোচনা করুন এবং আপনার কোন প্রশ্ন থাকলে আমাদের জানান।

ব্যক্তিগত তথ্য সংগ্রহ এবং ব্যবহার

ব্যক্তিগত তথ্য এমন ডেটা বোঝায় যা একটি নির্দিষ্ট ব্যক্তিকে সনাক্ত করতে বা যোগাযোগ করতে ব্যবহার করা যেতে পারে।

আপনি আমাদের সাথে যোগাযোগ করার সময় আপনাকে আপনার ব্যক্তিগত তথ্য প্রদান করতে বলা হতে পারে।

আমরা যে ধরনের ব্যক্তিগত তথ্য সংগ্রহ করতে পারি এবং কীভাবে আমরা এই ধরনের তথ্য ব্যবহার করতে পারি তার কিছু উদাহরণ নিচে দেওয়া হল।

আমরা ব্যক্তিগত কোন তথ্য সংগ্রহ করব:

আপনি যখন সাইটে একটি আবেদন জমা দেন, আমরা আপনার নাম, টেলিফোন নম্বর, ইমেল ঠিকানা ইত্যাদি সহ বিভিন্ন তথ্য সংগ্রহ করতে পারি।

আমরা কীভাবে আপনার ব্যক্তিগত তথ্য ব্যবহার করি:

আমরা যে ব্যক্তিগত তথ্য সংগ্রহ করি তা আমাদের অনন্য অফার, প্রচার এবং অন্যান্য ইভেন্ট এবং আসন্ন ইভেন্টগুলির সাথে আপনার সাথে যোগাযোগ করার অনুমতি দেয়।
সময়ে সময়ে, আমরা গুরুত্বপূর্ণ নোটিশ এবং যোগাযোগ পাঠাতে আপনার ব্যক্তিগত তথ্য ব্যবহার করতে পারি।
আমরা অভ্যন্তরীণ উদ্দেশ্যে ব্যক্তিগত তথ্যও ব্যবহার করতে পারি, যেমন অডিট, ডেটা বিশ্লেষণ এবং বিভিন্ন গবেষণা পরিচালনা করার জন্য আমরা যে পরিষেবাগুলি সরবরাহ করি তা উন্নত করতে এবং আমাদের পরিষেবাগুলির বিষয়ে আপনাকে সুপারিশগুলি সরবরাহ করতে।
আপনি যদি একটি পুরস্কার ড্র, প্রতিযোগিতা বা অনুরূপ প্রচারে অংশগ্রহণ করেন, তাহলে আমরা এই ধরনের প্রোগ্রাম পরিচালনা করতে আপনার দেওয়া তথ্য ব্যবহার করতে পারি।

তৃতীয় পক্ষের কাছে তথ্য প্রকাশ

আমরা আপনার কাছ থেকে প্রাপ্ত তথ্য তৃতীয় পক্ষের কাছে প্রকাশ করি না।

ব্যতিক্রম:

যদি প্রয়োজন হয় - আইন অনুসারে, বিচারিক পদ্ধতিতে, আইনি প্রক্রিয়ায় এবং/অথবা রাশিয়ান ফেডারেশনের সরকারী সংস্থাগুলির কাছ থেকে জনসাধারণের অনুরোধ বা অনুরোধের ভিত্তিতে - আপনার ব্যক্তিগত তথ্য প্রকাশ করতে। আমরা আপনার সম্পর্কে তথ্য প্রকাশ করতে পারি যদি আমরা নির্ধারণ করি যে এই ধরনের প্রকাশ নিরাপত্তা, আইন প্রয়োগকারী বা অন্যান্য জনগুরুত্বপূর্ণ উদ্দেশ্যে প্রয়োজনীয় বা উপযুক্ত।
পুনর্গঠন, একত্রীকরণ বা বিক্রয়ের ক্ষেত্রে, আমরা যে ব্যক্তিগত তথ্য সংগ্রহ করি তা প্রযোজ্য উত্তরসূরি তৃতীয় পক্ষের কাছে হস্তান্তর করতে পারি।

ব্যক্তিগত তথ্য সুরক্ষা

আমরা সতর্কতা অবলম্বন করি - প্রশাসনিক, প্রযুক্তিগত এবং শারীরিক সহ - আপনার ব্যক্তিগত তথ্য ক্ষতি, চুরি এবং অপব্যবহার, সেইসাথে অননুমোদিত অ্যাক্সেস, প্রকাশ, পরিবর্তন এবং ধ্বংস থেকে রক্ষা করতে।

কোম্পানি পর্যায়ে আপনার গোপনীয়তা সম্মান

আপনার ব্যক্তিগত তথ্য সুরক্ষিত আছে তা নিশ্চিত করার জন্য, আমরা আমাদের কর্মীদের গোপনীয়তা এবং সুরক্ষা মানগুলি যোগাযোগ করি এবং গোপনীয়তা অনুশীলনগুলি কঠোরভাবে প্রয়োগ করি।

গণিতের উদ্ভব ঘটে যখন মানুষ নিজের সম্পর্কে সচেতন হয় এবং নিজেকে বিশ্বের একটি স্বায়ত্তশাসিত একক হিসাবে অবস্থান করতে শুরু করে। আপনার চারপাশে যা আছে তা পরিমাপ করার, তুলনা করার, গণনা করার আকাঙ্ক্ষা আমাদের দিনের মৌলিক বিজ্ঞানগুলির মধ্যে একটি। প্রথমে, এগুলি প্রাথমিক গণিতের কণা ছিল, যা তাদের শারীরিক অভিব্যক্তির সাথে সংখ্যাগুলিকে সংযুক্ত করা সম্ভব করেছিল, পরে উপসংহারগুলি কেবল তাত্ত্বিকভাবে উপস্থাপন করা শুরু হয়েছিল (তাদের বিমূর্ততার কারণে), কিন্তু কিছুক্ষণ পরে, একজন বিজ্ঞানী যেমনটি বলেছেন, " গণিত জটিলতার সীমায় পৌঁছেছিল যখন তারা এটি থেকে অদৃশ্য হয়ে গিয়েছিল।" সমস্ত সংখ্যা।" "বর্গমূল" ধারণাটি এমন একটি সময়ে আবির্ভূত হয়েছিল যখন এটিকে সহজেই পরীক্ষামূলক তথ্য দ্বারা সমর্থিত হতে পারে, গণনার সমতলের বাইরে গিয়ে।

কিভাবে এটা সব শুরু

মূলের প্রথম উল্লেখ, যা বর্তমানে √ হিসাবে চিহ্নিত করা হয়, ব্যাবিলনীয় গণিতবিদদের রচনায় লিপিবদ্ধ করা হয়েছিল, যারা আধুনিক পাটিগণিতের ভিত্তি স্থাপন করেছিল। অবশ্যই, তারা বর্তমান ফর্মের সাথে সামান্য সাদৃশ্য বহন করে - সেই বছরের বিজ্ঞানীরা প্রথম ভারী ট্যাবলেট ব্যবহার করেছিলেন। কিন্তু খ্রিস্টপূর্ব দ্বিতীয় সহস্রাব্দে। e তারা একটি আনুমানিক গণনার সূত্র বের করেছে যা দেখিয়েছে কিভাবে বর্গমূল বের করা যায়। নীচের ছবিটি একটি পাথর দেখায় যার উপর ব্যাবিলনীয় বিজ্ঞানীরা √2 নির্ণয়ের প্রক্রিয়াটি খোদাই করেছিলেন এবং এটি এতটাই সঠিক বলে প্রমাণিত হয়েছিল যে উত্তরের অমিলটি কেবল দশম দশমিক স্থানে পাওয়া গেছে।

উপরন্তু, ত্রিভুজের একটি দিক খুঁজে বের করার প্রয়োজন হলে মূলটি ব্যবহার করা হত, যদি অন্য দুটি পরিচিত ছিল। ঠিক আছে, দ্বিঘাত সমীকরণগুলি সমাধান করার সময়, মূল নিষ্কাশন থেকে কোন রেহাই নেই।

ব্যাবিলনীয় কাজের পাশাপাশি, নিবন্ধটির বস্তুটি চীনা রচনা "নয়টি বইয়ে গণিত" এও অধ্যয়ন করা হয়েছিল এবং প্রাচীন গ্রীকরা এই সিদ্ধান্তে পৌঁছেছিলেন যে যেকোন সংখ্যা যেখান থেকে অবশিষ্টাংশ ছাড়া মূল বের করা যায় না তা একটি অযৌক্তিক ফলাফল দেয়। .

এই শব্দটির উৎপত্তি সংখ্যার আরবি প্রতিনিধিত্বের সাথে যুক্ত: প্রাচীন বিজ্ঞানীরা বিশ্বাস করতেন যে একটি নির্বিচারে সংখ্যার বর্গ একটি উদ্ভিদের মতো মূল থেকে বৃদ্ধি পায়। ল্যাটিন ভাষায়, এই শব্দটি রেডিক্সের মতো শোনায় (আপনি একটি প্যাটার্ন ট্রেস করতে পারেন - "মূল" অর্থ ব্যঞ্জনবর্ণ, তা মূলা বা রেডিকুলাইটিস হোক)।

পরবর্তী প্রজন্মের বিজ্ঞানীরা এই ধারণাটিকে Rx হিসাবে মনোনীত করেছেন। উদাহরণস্বরূপ, 15 শতকে, একটি নির্বিচারে সংখ্যা a এর বর্গমূল নেওয়া হয়েছিল তা নির্দেশ করার জন্য, তারা R 2 a লিখেছিল। "টিক", আধুনিক চোখের সাথে পরিচিত, শুধুমাত্র 17 শতকে উপস্থিত হয়েছিল রেনে দেকার্তকে ধন্যবাদ।

আমাদের দিন

গাণিতিক ভাষায়, একটি সংখ্যা y এর বর্গমূল হল সেই সংখ্যা z যার বর্গ y এর সমান। অন্য কথায়, z 2 =y √y=z এর সমতুল্য। যাইহোক, এই সংজ্ঞাটি শুধুমাত্র গাণিতিক মূলের জন্য প্রাসঙ্গিক, যেহেতু এটি অভিব্যক্তির একটি অ-নেতিবাচক মান বোঝায়। অন্য কথায়, √y=z, যেখানে z 0 এর থেকে বড় বা সমান।

সাধারণভাবে, যা একটি বীজগাণিতিক মূল নির্ধারণের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য, অভিব্যক্তির মান ধনাত্মক বা ঋণাত্মক হতে পারে। সুতরাং, z 2 =y এবং (-z) 2 =y হওয়ার কারণে, আমাদের আছে: √y=±z বা √y=|z|।

বিজ্ঞানের বিকাশের সাথে সাথে গণিতের প্রতি ভালবাসা কেবল বেড়েছে বলেই, এর প্রতি স্নেহের বিভিন্ন প্রকাশ রয়েছে যা শুকনো হিসাবের মধ্যে প্রকাশ করা যায় না। উদাহরণস্বরূপ, পাই দিবসের মতো আকর্ষণীয় ঘটনার সাথে, বর্গমূল ছুটির দিনগুলিও পালিত হয়। এগুলি প্রতি শত বছরে নয় বার পালিত হয় এবং নিম্নলিখিত নীতি অনুসারে নির্ধারিত হয়: যে সংখ্যাগুলি দিন এবং মাসের ক্রমানুসারে নির্দেশ করে সেগুলি অবশ্যই বছরের বর্গমূল হতে হবে। সুতরাং, পরের বার আমরা এই ছুটি উদযাপন করব এপ্রিল 4, 2016।

R ক্ষেত্রের বর্গমূলের বৈশিষ্ট্য

প্রায় সমস্ত গাণিতিক রাশির একটি জ্যামিতিক ভিত্তি আছে, এবং √y, যা ক্ষেত্রফল y সহ একটি বর্গক্ষেত্রের পার্শ্ব হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, এই ভাগ্য থেকে রক্ষা পায়নি।

কিভাবে একটি সংখ্যার মূল খুঁজে বের করতে?

বিভিন্ন গণনা অ্যালগরিদম আছে। সবচেয়ে সহজ, কিন্তু একই সময়ে বেশ কষ্টকর, সাধারণ গাণিতিক গণনা, যা নিম্নরূপ:

1) যে সংখ্যার মূল আমাদের প্রয়োজন, সেই সংখ্যা থেকে বিজোড় সংখ্যাগুলি পালাক্রমে বিয়োগ করা হয় - যতক্ষণ না আউটপুটে অবশিষ্টাংশ বিয়োগকৃত এক বা এমনকি শূন্যের সমান হয়। চালের সংখ্যা শেষ পর্যন্ত পছন্দসই সংখ্যা হয়ে যাবে। উদাহরণস্বরূপ, 25 এর বর্গমূল গণনা করা:

পরবর্তী বিজোড় সংখ্যা হল 11, বাকিটা হল: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

এই ধরনের ক্ষেত্রে একটি টেলর সিরিজ সম্প্রসারণ আছে:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , যেখানে n 0 থেকে মান নেয়

+∞, এবং |y|≤1.

z=√y ফাংশনের গ্রাফিক উপস্থাপনা

বাস্তব সংখ্যা R এর ক্ষেত্রে প্রাথমিক ফাংশন z=√y বিবেচনা করা যাক, যেখানে y শূন্যের চেয়ে বড় বা সমান। তার সময়সূচী এই মত দেখায়:

বক্ররেখা উৎপত্তি থেকে বৃদ্ধি পায় এবং অগত্যা বিন্দুটিকে ছেদ করে (1; 1)।

বাস্তব সংখ্যা R এর ক্ষেত্রে z=√y ফাংশনের বৈশিষ্ট্য

1. বিবেচনাধীন ফাংশনের সংজ্ঞার ডোমেন হল শূন্য থেকে প্লাস ইনফিনিটি পর্যন্ত ব্যবধান (শূন্য অন্তর্ভুক্ত)।

2. বিবেচনাধীন ফাংশনের মানগুলির পরিসর হল শূন্য থেকে প্লাস ইনফিনিটি পর্যন্ত ব্যবধান (শূন্য আবার অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে)।

3. ফাংশনটি তার সর্বনিম্ন মান (0) নেয় শুধুমাত্র বিন্দুতে (0; 0)। কোন সর্বোচ্চ মান নেই।

4. z=√y ফাংশনটি জোড় বা বিজোড়ও নয়।

5. ফাংশন z=√y পর্যায়ক্রমিক নয়।

6. স্থানাঙ্ক অক্ষ সহ z=√y ফাংশনের গ্রাফের ছেদ করার একটি মাত্র বিন্দু রয়েছে: (0; 0)।

7. z=√y ফাংশনের গ্রাফের ছেদ বিন্দুটিও এই ফাংশনের শূন্য।

8. ফাংশন z=√y ক্রমাগত বৃদ্ধি পাচ্ছে।

9. z=√y ফাংশনটি শুধুমাত্র ধনাত্মক মান নেয়, তাই, এর গ্রাফটি প্রথম স্থানাঙ্ক কোণটি দখল করে।

z=√y ফাংশন প্রদর্শনের জন্য বিকল্প

গণিতে, জটিল রাশির গণনার সুবিধার্থে, বর্গমূল লেখার শক্তি ফর্মটি কখনও কখনও ব্যবহার করা হয়: √y=y 1/2। এই বিকল্পটি সুবিধাজনক, উদাহরণস্বরূপ, একটি ফাংশনকে একটি পাওয়ারে উন্নীত করার ক্ষেত্রে: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2। এই পদ্ধতিটি একীকরণের সাথে পার্থক্যের জন্যও একটি ভাল উপস্থাপনা, কারণ এটির জন্য ধন্যবাদ বর্গমূল একটি সাধারণ শক্তি ফাংশন হিসাবে উপস্থাপন করা হয়।

এবং প্রোগ্রামিং-এ √ প্রতীক প্রতিস্থাপন করা হল sqrt অক্ষরের সংমিশ্রণ।

এটি লক্ষণীয় যে এই অঞ্চলে বর্গমূলের প্রচুর চাহিদা রয়েছে, যেহেতু এটি গণনার জন্য প্রয়োজনীয় বেশিরভাগ জ্যামিতিক সূত্রের অংশ। গণনা অ্যালগরিদম নিজেই বেশ জটিল এবং এটি পুনরাবৃত্তির উপর ভিত্তি করে (একটি ফাংশন যা নিজেই কল করে)।

জটিল ক্ষেত্রে বর্গমূল C

সর্বোপরি, এটি এই নিবন্ধের বিষয় ছিল যা জটিল সংখ্যা C এর ক্ষেত্র আবিষ্কারকে উদ্দীপিত করেছিল, যেহেতু গণিতবিদরা একটি ঋণাত্মক সংখ্যার জোড় মূল প্রাপ্তির প্রশ্নে ভূতুড়ে ছিলেন। এইভাবে কাল্পনিক একক আমি হাজির, যা একটি খুব আকর্ষণীয় সম্পত্তি দ্বারা চিহ্নিত করা হয়: এর বর্গ হল -1। এর জন্য ধন্যবাদ, দ্বিঘাত সমীকরণগুলি এমনকি একটি নেতিবাচক বৈষম্যের সাথেও সমাধান করা হয়েছিল। C-তে, R-এর মতো বর্গমূলের জন্য একই বৈশিষ্ট্যগুলি প্রাসঙ্গিক, একমাত্র জিনিস হল র্যাডিকাল অভিব্যক্তির সীমাবদ্ধতাগুলি সরানো হয়েছে।

এই নিবন্ধটি বিশদ তথ্যের একটি সংগ্রহ যা শিকড়ের বৈশিষ্ট্যগুলির বিষয়ের সাথে সম্পর্কিত। বিষয়টি বিবেচনা করে, আমরা বৈশিষ্ট্যগুলি দিয়ে শুরু করব, সমস্ত ফর্মুলেশন অধ্যয়ন করব এবং প্রমাণ সরবরাহ করব। বিষয়টিকে একীভূত করার জন্য, আমরা nth ডিগ্রির বৈশিষ্ট্যগুলি বিবেচনা করব।

Yandex.RTB R-A-339285-1

শিকড়ের বৈশিষ্ট্য

আমরা বৈশিষ্ট্য সম্পর্কে কথা বলতে হবে.

সম্পত্তি গুণিত সংখ্যা কএবং খ, যা সমতা a · b = a · b হিসাবে উপস্থাপিত হয়। এটি ফ্যাক্টর আকারে উপস্থাপন করা যেতে পারে, ধনাত্মক বা শূন্যের সমান a 1 , a 2 , … , a kএকটি হিসাবে 1 · একটি 2 · … · একটি k = একটি 1 · একটি 2 · … · একটি k ;
ভাগফল a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0 থেকে, এটি a b = a b এই আকারেও লেখা যেতে পারে;
একটি সংখ্যার শক্তি থেকে সম্পত্তি কজোড় সূচক সহ যেকোন সংখ্যার জন্য a 2 m = a m ক, উদাহরণস্বরূপ, একটি সংখ্যার বর্গ থেকে সম্পত্তি a 2 = a।

উপস্থাপিত সমীকরণগুলির মধ্যে যেকোন, আপনি ড্যাশ চিহ্নের আগে এবং পরে অংশগুলি অদলবদল করতে পারেন, উদাহরণস্বরূপ, সমতা a · b = a · b একটি · b = a · b হিসাবে রূপান্তরিত হয়। সমতা বৈশিষ্ট্যগুলি প্রায়শই জটিল সমীকরণগুলি সরল করতে ব্যবহৃত হয়।

প্রথম বৈশিষ্ট্যের প্রমাণ বর্গমূলের সংজ্ঞা এবং একটি প্রাকৃতিক সূচক সহ শক্তির বৈশিষ্ট্যের উপর ভিত্তি করে। তৃতীয় বৈশিষ্ট্যকে ন্যায্যতা দেওয়ার জন্য, একটি সংখ্যার মডুলাসের সংজ্ঞা উল্লেখ করা প্রয়োজন।

প্রথমত, বর্গমূল a · b = a · b এর বৈশিষ্ট্য প্রমাণ করা প্রয়োজন। সংজ্ঞা অনুসারে, এটি বিবেচনা করা প্রয়োজন যে একটি b একটি সংখ্যা, ধনাত্মক বা শূন্যের সমান, যা সমান হবে একটি খনির্মাণের সময় একটি বর্গক্ষেত্রে অ-ঋণাত্মক সংখ্যার গুণফল হিসাবে a · b অভিব্যক্তিটির মান ধনাত্মক বা শূন্যের সমান। গুণিত সংখ্যার ক্ষমতার বৈশিষ্ট্য আমাদেরকে (a · b) 2 = a 2 · b 2 আকারে সমতা উপস্থাপন করতে দেয়। বর্গমূলের সংজ্ঞা অনুসারে, a 2 = a এবং b 2 = b, তারপর a · b = a 2 · b 2 = a · b।

একইভাবে একটি পণ্য থেকে প্রমাণ করতে পারেন kগুণক a 1 , a 2 , … , a kএই গুণনীয়কগুলির বর্গমূলের গুণফলের সমান হবে। প্রকৃতপক্ষে, a 1 · a 2 · … · a k 2 = a 1 2 · a 2 2 · … · a k 2 = a 1 · a 2 · … · a k।

এই সমতা থেকে এটি অনুসরণ করে যে a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k।

বিষয়টিকে শক্তিশালী করার জন্য কয়েকটি উদাহরণ দেখি।

উদাহরণ 1

3 5 2 5 = 3 5 2 5, 4, 2 13 1 2 = 4, 2 13 1 2 এবং 2, 7 4 12 17 0, 2 (1) = 2, 7 4 12 17 · 0 , 2 (1) .

ভাগফলের পাটিগণিত বর্গমূলের বৈশিষ্ট্য প্রমাণ করা প্রয়োজন: a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0। সম্পত্তিটি আমাদেরকে সমতা a: b 2 = a 2: b 2, এবং a 2: b 2 = a: b লিখতে দেয়, যখন a: b একটি ধনাত্মক সংখ্যা বা শূন্যের সমান। এই অভিব্যক্তি প্রমাণ হয়ে যাবে।

উদাহরণস্বরূপ, 0:16 = 0:16, 80:5 = 80:5 এবং 30.121 = 30.121।

একটি সংখ্যার বর্গক্ষেত্রের বর্গমূলের বৈশিষ্ট্য বিবেচনা করা যাক। এটিকে 2 = a হিসাবে একটি সমতা হিসাবে লেখা যেতে পারে এই সম্পত্তিটি প্রমাণ করার জন্য, এর জন্য বেশ কয়েকটি সমতা বিশদভাবে বিবেচনা করা প্রয়োজন। a ≥ 0এবং এ ক< 0 .

স্পষ্টতই, একটি ≥ 0 এর জন্য সমতা a 2 = a সত্য। এ ক< 0 সমতা a 2 = - a সত্য হবে। আসলে, এই ক্ষেত্রে − a > 0এবং (− a) 2 = a 2। আমরা উপসংহারে আসতে পারি, a 2 = a, a ≥ 0 - a, a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

আসুন কয়েকটি উদাহরণ দেখি।

উদাহরণ 2

5 2 = 5 = 5 এবং - 0.36 2 = - 0.36 = 0.36।

প্রমাণিত সম্পত্তি একটি 2 m = a m, যেখানে ন্যায্যতা দিতে সাহায্য করবে ক- বাস্তব, এবং মি- প্রাকৃতিক সংখ্যা। প্রকৃতপক্ষে, শক্তি উত্থাপনের সম্পত্তি আমাদের শক্তি প্রতিস্থাপন করতে দেয় একটি 2 মিঅভিব্যক্তি (a m) 2, তারপর a 2 m = (a m) 2 = a m।

উদাহরণ 3

3 8 = 3 4 = 3 4 এবং (- 8 , 3) 14 = - 8 , 3 7 = (8 , 3) 7।

nম মূলের বৈশিষ্ট্য

প্রথমত, আমাদের nth মূলের মৌলিক বৈশিষ্ট্যগুলি বিবেচনা করতে হবে:

সংখ্যার গুণফল থেকে সম্পত্তি কএবং খ, যা ধনাত্মক বা শূন্যের সমান, সমতা a · b n = a n · b n হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে, এই বৈশিষ্ট্যটি পণ্যের জন্য বৈধ kসংখ্যা a 1 , a 2 , … , a kএকটি হিসাবে 1 · একটি 2 · … · একটি k n = একটি 1 n · একটি 2 n · … · একটি k n ;
একটি ভগ্নাংশ সংখ্যা থেকে সম্পত্তি আছে a b n = a n b n , যেখানে ককোনো বাস্তব সংখ্যা যা ধনাত্মক বা শূন্যের সমান, এবং খ- ইতিবাচক বাস্তব সংখ্যা;
কোন জন্য কএবং এমনকি সূচক n = 2 মি a 2 · m 2 · m = a সত্য, এবং বিজোড়ের জন্য n = 2 মি − 1সমতা a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a ধরে।
একটি m n = a n m থেকে নিষ্কাশনের সম্পত্তি, যেখানে ক- যেকোনো সংখ্যা, ধনাত্মক বা শূন্যের সমান, nএবং মিপ্রাকৃতিক সংখ্যা, এই সম্পত্তি এছাড়াও ফর্ম প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে. . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2। . . · n k;
কোন অ-নেতিবাচক a এবং স্বেচ্ছাচারী জন্য nএবং মি, যা প্রাকৃতিক, আমরা ন্যায্য সমতাকে সংজ্ঞায়িত করতে পারি a m n · m = a n ;
ডিগ্রির সম্পত্তি nএকটি সংখ্যার শক্তি থেকে ক, যা ধনাত্মক বা শূন্যের সমান, প্রাকৃতিক শক্তির কাছে মি, সমতা দ্বারা সংজ্ঞায়িত a m n = a n m ;
তুলনামূলক সম্পত্তি যেগুলির সূচকগুলি একই রয়েছে: যেকোনো ধনাত্মক সংখ্যার জন্য কএবং খযেমন যে ক< b , অসমতা একটি n< b n ;
তুলনামূলক বৈশিষ্ট্য যেগুলির মূলের নীচে একই সংখ্যা রয়েছে: যদি মিএবং n -স্বাভাবিক সংখ্যা যে m > n, তারপরে 0 < a < 1 অসমতা a m > a n সত্য, এবং কখন a > 1একটি মি মৃত্যুদন্ড কার্যকর< a n .

উপরে প্রদত্ত সমতাগুলি বৈধ যদি সমান চিহ্নের আগে এবং পরে অংশগুলি অদলবদল করা হয়। তারা এই ফর্ম ব্যবহার করা যেতে পারে. অভিব্যক্তি সরলীকরণ বা রূপান্তর করার সময় এটি প্রায়শই ব্যবহৃত হয়।

একটি মূলের উপরোক্ত বৈশিষ্ট্যগুলির প্রমাণটি সংজ্ঞা, ডিগ্রির বৈশিষ্ট্য এবং একটি সংখ্যার মডুলাসের সংজ্ঞার উপর ভিত্তি করে। এই বৈশিষ্ট্য প্রমাণ করা আবশ্যক. কিন্তু সবকিছু শৃঙ্খলাবদ্ধ।

প্রথমত, a · b n = a n · b n গুণফলের nতম মূলের বৈশিষ্ট্য প্রমাণ করা যাক। জন্য কএবং b, যাহয় ধনাত্মক বা শূন্যের সমান , a n · b n এর মানও ধনাত্মক বা শূন্যের সমান, কারণ এটি অ-ঋণাত্মক সংখ্যাকে গুণ করার ফলাফল। প্রাকৃতিক শক্তিতে একটি পণ্যের সম্পত্তি আমাদের সমতা লিখতে দেয় a n · b n n = a n n · b n n। মূলের সংজ্ঞা অনুসারে n-ম ডিগ্রী a n n = a এবং b n n = b , অতএব, a n · b n n = a · b। ফলস্বরূপ সমতা প্রমাণ করা প্রয়োজন ঠিক কি.

এই সম্পত্তি পণ্যের জন্য একইভাবে প্রমাণিত হতে পারে kগুণক: অ-নেতিবাচক সংখ্যার জন্য a 1, a 2, …, a n, a 1 n · a 2 n · … · a k n ≥ 0।

এখানে রুট সম্পত্তি ব্যবহার করার উদাহরণ আছে nপণ্য থেকে -ম শক্তি: 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 এবং 8, 3 4 17, (21) 4 3 4 5 7 4 = 8, 3 17, (21) 3 · 5 7 4।

আসুন আমরা a b n = a n b n ভাগফলের মূলের বৈশিষ্ট্য প্রমাণ করি। এ a ≥ 0এবং b > 0শর্ত a n b n ≥ 0 সন্তুষ্ট, এবং a n b n n = a n n b n n = a b।

আসুন উদাহরণ দেখাই:

উদাহরণ 4

8 27 3 = 8 3 27 3 এবং 2, 3 10: 2 3 10 = 2, 3: 2 3 10।

পরবর্তী ধাপের জন্য সংখ্যা থেকে ডিগ্রি পর্যন্ত nth ডিগ্রির বৈশিষ্ট্যগুলি প্রমাণ করা প্রয়োজন n. আসুন এটিকে সমতা হিসাবে কল্পনা করি a 2 m 2 m = a এবং a 2 m - 1 2 m - 1 = a যেকোনো বাস্তবের জন্য কএবং প্রাকৃতিক মি. এ a ≥ 0আমরা পাই a = a এবং a 2 m = a 2 m, যা সমতা প্রমাণ করে a 2 m 2 m = a, এবং সমতা a 2 m - 1 2 m - 1 = a স্পষ্ট। এ ক< 0 আমরা পাই, যথাক্রমে, a = - a এবং a 2 m = (- a) 2 m = a 2 m। একটি সংখ্যার শেষ রূপান্তরটি পাওয়ার বৈশিষ্ট্য অনুসারে বৈধ। এটিই সুনির্দিষ্টভাবে সমতা প্রমাণ করে a 2 m 2 m = a, এবং a 2 m - 1 2 m - 1 = a সত্য হবে, যেহেতু বিজোড় ডিগ্রি বিবেচনা করা হয় - c 2 m - 1 = - c 2 m - 1 যেকোনো সংখ্যার জন্য গ,ধনাত্মক বা শূন্যের সমান।

প্রাপ্ত তথ্য একত্রিত করার জন্য, আসুন সম্পত্তি ব্যবহার করে কয়েকটি উদাহরণ বিবেচনা করা যাক:

উদাহরণ 5

7 4 4 = 7 = 7, (- 5) 12 12 = - 5 = 5, 0 8 8 = 0 = 0, 6 3 3 = 6 এবং (- 3, 39) 5 5 = - 3, 39।

আসুন নিচের সমতা প্রমাণ করি a m n = a n m। এটি করার জন্য, আপনাকে সমান চিহ্ন a n · m = a m n এর আগে এবং পরে সংখ্যাগুলি অদলবদল করতে হবে। এর মানে হবে এন্ট্রি সঠিক। জন্য একটি,যা ইতিবাচক বা শূন্যের সমান , a m n ফর্মের একটি সংখ্যা ধনাত্মক বা শূন্যের সমান। আসুন একটি শক্তিকে শক্তিতে উত্থাপনের বৈশিষ্ট্য এবং এর সংজ্ঞায় আসা যাক। তাদের সাহায্যে, আপনি a m n n · m = a m n n m = a m m = a আকারে সমতা রূপান্তর করতে পারেন। এটি বিবেচনাধীন মূলের মূলের সম্পত্তি প্রমাণ করে।

অন্যান্য বৈশিষ্ট্য একইভাবে প্রমাণিত হয়। সত্যিই, . . . a n k n 2 n 1 n 1 · n 2 · . . . · n k = . . . a n k n 3 n 2 n 2 · n 3 · . . . · n k = . . . a n k n 4 n 3 n 3 · n 4 · . . . · n k = . . . = a n k n k = a .

উদাহরণস্বরূপ, 7 3 5 = 7 5 3 এবং 0.0009 6 = 0.0009 2 2 6 = 0.0009 24।

আসুন নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যটি প্রমাণ করি a m n · m = a n। এটি করার জন্য, এটি দেখানো প্রয়োজন যে একটি n একটি সংখ্যা, ধনাত্মক বা শূন্যের সমান। শক্তিতে উত্থাপিত হলে n m সমান হয় একটি মি. সংখ্যা হলে কতাহলে ধনাত্মক বা শূন্যের সমান n-এর মধ্যে থেকে তম ডিগ্রী কএকটি ধনাত্মক সংখ্যা বা শূন্যের সমান৷ এই ক্ষেত্রে, a n · m n = a n n m , যা প্রমাণ করা দরকার৷

অর্জিত জ্ঞান একত্রিত করার জন্য, আসুন কয়েকটি উদাহরণ দেখি।

আসুন আমরা নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যটি প্রমাণ করি - a m n = a n m ফর্মের একটি শক্তির মূলের বৈশিষ্ট্য। এটা স্পষ্ট যে যখন a ≥ 0ডিগ্রী a n m একটি অ নেতিবাচক সংখ্যা। তাছাড়া তার nতম শক্তি সমান একটি মি, প্রকৃতপক্ষে, a n m n = a n m · n = a n n m = a m। এটি বিবেচনাধীন ডিগ্রির সম্পত্তি প্রমাণ করে।

উদাহরণস্বরূপ, 2 3 5 3 = 2 3 3 5।

যে কোন ধনাত্মক সংখ্যার জন্য এটি প্রমাণ করা প্রয়োজন কএবং b শর্ত সন্তুষ্ট ক< b . অসমতা একটি এন বিবেচনা করুন< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию ক< b . অতএব, একটি এন< b n при ক< b .

উদাহরণস্বরূপ, 12 4 দেওয়া যাক< 15 2 3 4 .

মূলের সম্পত্তি বিবেচনা করুন n-ম ডিগ্রী। প্রথমে বৈষম্যের প্রথম অংশটি বিবেচনা করা প্রয়োজন। এ m > nএবং 0 < a < 1 সত্য a m > a n। ধরা যাক a m ≤ a n. বৈশিষ্ট্যগুলি আপনাকে একটি n m · n ≤ a m m · n এ অভিব্যক্তিকে সরল করার অনুমতি দেবে। তারপর, একটি প্রাকৃতিক সূচক সহ একটি ডিগ্রির বৈশিষ্ট্য অনুসারে, অসমতা a n m · n m · n ≤ a m m · n m · n ধরে, অর্থাৎ, a n ≤ a m. প্রাপ্ত মান এ m > nএবং 0 < a < 1 উপরে প্রদত্ত বৈশিষ্ট্যের সাথে সঙ্গতিপূর্ণ নয়।

একইভাবে প্রমাণ করা যায় যে কখন m > nএবং a > 1শর্ত a m সত্য< a n .

উপরের বৈশিষ্ট্যগুলিকে একত্রিত করার জন্য, বেশ কয়েকটি বিবেচনা করুন নির্দিষ্ট উদাহরণ. আসুন নির্দিষ্ট সংখ্যা ব্যবহার করে অসমতা দেখি।

উদাহরণ 6

0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .

আপনি যদি পাঠ্যটিতে একটি ভুল লক্ষ্য করেন, দয়া করে এটি হাইলাইট করুন এবং Ctrl+Enter টিপুন