একটি সমান্তরালগ্রামে, বিপরীত বাহুগুলি সমান এবং সমান্তরাল। সমান্তরাল বৃত্ত

পাঠের বিষয়

একটি সমান্তরালগ্রামের কর্ণের বৈশিষ্ট্য।

পাঠের উদ্দেশ্য

নতুন সংজ্ঞার সাথে পরিচিত হন এবং ইতিমধ্যে অধ্যয়ন করা কিছু প্রত্যাহার করুন।
একটি সমান্তরালগ্রামের কর্ণের বৈশিষ্ট্য প্রণয়ন ও প্রমাণ কর।
সমস্যা সমাধানে আকারের বৈশিষ্ট্য প্রয়োগ করতে শিখুন।
উন্নয়নশীল - শিক্ষার্থীদের মনোযোগ, অধ্যবসায়, অধ্যবসায়, যৌক্তিক চিন্তাভাবনা, গাণিতিক বক্তৃতা বিকাশের জন্য।
শিক্ষামূলক - একটি পাঠের মাধ্যমে, একে অপরের প্রতি মনোযোগী মনোভাব গড়ে তোলা, কমরেডদের কথা শোনার ক্ষমতা, পারস্পরিক সহায়তা, স্বাধীনতা জাগানো।

পাঠের উদ্দেশ্য

শিক্ষার্থীদের সমস্যা সমাধানের ক্ষমতা পরীক্ষা করুন।

পাঠ পরিকল্পনা

উদ্বোধনী বক্তব্য।
পূর্বে শেখা উপাদানের পুনরাবৃত্তি।
সমান্তরালগ্রাম, এর বৈশিষ্ট্য এবং লক্ষণ।
টাস্ক উদাহরণ।
সেলফ চেক।

ভূমিকা

"বড় বৈজ্ঞানিক আবিষ্কারএকটি বড় সমস্যার সমাধান দেয়, কিন্তু যে কোনও সমস্যার সমাধানের মধ্যে আবিষ্কারের দানা থাকে।

একটি সমান্তরালগ্রামের বিপরীত বাহুর বৈশিষ্ট্য

একটি সমান্তরালগ্রামের বিপরীত বাহুগুলি সমান।

প্রমাণ।

ধরা যাক ABCD একটি প্রদত্ত সমান্তরালগ্রাম। এবং এর কর্ণগুলিকে O বিন্দুতে ছেদ করতে দিন।
যেহেতু Δ AOB = Δ COD ত্রিভুজের সমতার প্রথম চিহ্ন দ্বারা (∠ AOB = ∠ COD, উল্লম্ব হিসাবে, AO=OC, DO=OB, সমান্তরাল কর্ণের বৈশিষ্ট্য দ্বারা), তারপর AB=CD। একইভাবে, BOC এবং DOA ত্রিভুজের সমতা থেকে, এটি BC=DA অনুসরণ করে। উপপাদ্য প্রমাণিত হয়েছে।

একটি সমান্তরালগ্রামের বিপরীত কোণের বৈশিষ্ট্য

একটি সমান্তরালগ্রামের বিপরীত কোণ রয়েছে।

প্রমাণ।

ধরা যাক ABCD একটি প্রদত্ত সমান্তরালগ্রাম। এবং এর কর্ণগুলিকে O বিন্দুতে ছেদ করতে দিন।
Δ ABC = Δ CDA-তে উপপাদ্যে প্রমাণিত একটি সমান্তরালগ্রামের বিপরীত বাহুর বৈশিষ্ট্য থেকে তিন দিকে (AB=CD, BC=DA প্রমাণিত থেকে, AC সাধারণ)। এটি ত্রিভুজগুলির সমতা থেকে অনুসরণ করে যে ∠ABC = ∠CDA।
এটাও প্রমাণিত যে ∠ DAB = ∠ BCD, যা ∠ ABD = ∠ CDB থেকে অনুসরণ করে। উপপাদ্য প্রমাণিত হয়েছে।

একটি সমান্তরালগ্রামের কর্ণের বৈশিষ্ট্য

একটি সমান্তরালগ্রামের কর্ণগুলিকে ছেদ করে এবং ছেদ বিন্দুটি দ্বিখণ্ডিত হয়।

প্রমাণ।

ধরা যাক ABCD একটি প্রদত্ত সমান্তরালগ্রাম। এবার তির্যক AC আঁকি। আমরা এটির উপর মাঝামাঝি O চিহ্নিত করি। DO সেগমেন্টের ধারাবাহিকতায়, আমরা DO এর সমান OB 1 সেগমেন্টটিকে আলাদা করে রাখি।
পূর্ববর্তী উপপাদ্য অনুসারে, AB 1 CD একটি সমান্তরালগ্রাম। অতএব, রেখা AB 1 DC-এর সমান্তরাল। কিন্তু A বিন্দুর মাধ্যমে DC-এর সমান্তরালে শুধুমাত্র একটি রেখা টানা যায়। তাই, AB 1 রেখাটি AB রেখার সাথে মিলে যায়।
এটাও প্রমাণিত যে BC 1 খ্রিস্টপূর্বের সাথে মিলে যায়। সুতরাং C বিন্দু C 1 এর সাথে মিলে যায়। সমান্তরাল ABCD সমান্তরাল AB 1 CD এর সাথে মিলে যায়। অতএব, সমান্তরালগ্রামের কর্ণগুলিকে ছেদ করে এবং ছেদ বিন্দুকে দ্বিখণ্ডিত করা হয়। উপপাদ্য প্রমাণিত হয়েছে।

সাধারণ বিদ্যালয়ের পাঠ্যপুস্তকে (উদাহরণস্বরূপ, পোগোরেলভে), এটি নিম্নরূপ প্রমাণিত হয়: তির্যকগুলি সমান্তরালগ্রামকে 4টি ত্রিভুজে বিভক্ত করে। একটি জোড়া বিবেচনা করুন এবং খুঁজে বের করুন - তারা সমান: তাদের ঘাঁটিগুলি বিপরীত বাহু, এর সংলগ্ন সংশ্লিষ্ট কোণগুলি সমান্তরাল রেখাগুলির সাথে উল্লম্বের সমান। অর্থাৎ, কর্ণগুলির অংশগুলি জোড়া সমান। সবকিছু।

যে সব?
এটি উপরে প্রমাণিত হয়েছিল যে ছেদ বিন্দুটি কর্ণগুলিকে দ্বিখণ্ডিত করে - যদি এটি বিদ্যমান থাকে। উপরের যুক্তি কোনভাবেই এর অস্তিত্ব প্রমাণ করে না। অর্থাৎ, উপপাদ্যটির অংশ "সমান্তরাল তির্যক ছেদ করে" অপ্রমাণিত রয়ে গেছে।

এটা মজার কিভাবে এই অংশ প্রমাণ করা অনেক কঠিন. এই অনুসরণ করে, উপায় দ্বারা, আরো থেকে সার্বিক ফলাফল: যেকোনো উত্তল চতুর্ভুজের জন্য, কর্ণগুলি ছেদ করবে, যে কোনো অ-উত্তল-এর জন্য - তারা করবে না।

পাশে ত্রিভুজগুলির সমতা এবং এটি সংলগ্ন দুটি কোণ (ত্রিভুজের সমতার দ্বিতীয় চিহ্ন) এবং অন্যান্য।

একটি বাহু বরাবর দুটি ত্রিভুজ এবং তার সংলগ্ন দুটি কোণের সমতা সম্পর্কিত উপপাদ্য, থ্যালেস একটি গুরুত্বপূর্ণ খুঁজে পেয়েছেন বাস্তবিক ব্যবহার. মিলেটাসের বন্দরে একটি রেঞ্জফাইন্ডার তৈরি করা হয়েছিল, যা সমুদ্রে জাহাজের দূরত্ব নির্ধারণ করে। এটিতে তিনটি চালিত পেগ A, B এবং C (AB = BC) এবং একটি চিহ্নিত সরল রেখা SK, CA-তে লম্ব ছিল। জাহাজটি যখন সরলরেখা SC-তে উপস্থিত হয়েছিল, তখন একটি বিন্দু D পাওয়া গিয়েছিল যে বিন্দু D, .B এবং E একই সরলরেখায় ছিল। অঙ্কন থেকে স্পষ্ট, মাটিতে দূরত্ব সিডি জাহাজের পছন্দসই দূরত্ব।

প্রশ্ন

একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণগুলি কি ছেদ বিন্দু দ্বারা দ্বিখণ্ডিত?
একটি সমান্তরালগ্রামের কর্ণ কি সমান?
একটি সমান্তরালগ্রামের বিপরীত কোণগুলি কি সমান?
সমান্তরালগ্রামের সংজ্ঞা কী?
সমান্তরালগ্রামের বৈশিষ্ট্য কয়টি?
একটি রম্বস একটি সমান্তরালগ্রাম হতে পারে?

ব্যবহৃত উৎসের তালিকা

কুজনেটসভ এ.ভি., গণিতের শিক্ষক (গ্রেড 5-9), কিভ
"সিঙ্গেল রাজ্য পরীক্ষা 2006. গণিত। ছাত্র/ছাত্রীদের প্রস্তুতির জন্য শিক্ষাগত ও প্রশিক্ষণের উপকরণ
Mazur K. I. "M. I. Scanavi দ্বারা সম্পাদিত সংগ্রহের গণিতের প্রধান প্রতিযোগিতামূলক সমস্যার সমাধান"
L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina "জ্যামিতি, 7 - 9: শিক্ষা প্রতিষ্ঠানের জন্য একটি পাঠ্যপুস্তক"

পাঠে কাজ করা

কুজনেটসভ এ.ভি.

Poturnak S.A.

ইভজেনি পেট্রোভ

সম্পর্কে একটি প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করুন আধুনিক শিক্ষা, একটি ধারণা প্রকাশ বা একটি জরুরী সমস্যা সমাধান, আপনি করতে পারেন শিক্ষা ফোরামযেখানে নতুন চিন্তা ও কর্মের একটি শিক্ষা পরিষদ আন্তর্জাতিকভাবে মিলিত হয়। তৈরি করে ব্লগ,আপনি শুধুমাত্র একজন দক্ষ শিক্ষক হিসেবে আপনার মর্যাদাই উন্নত করবেন না, ভবিষ্যতের স্কুলের উন্নয়নে গুরুত্বপূর্ণ অবদান রাখবেন। এডুকেশন লিডারস গিল্ডশীর্ষস্থানীয় বিশেষজ্ঞদের দরজা খুলে দেয় এবং বিশ্বের সেরা স্কুল তৈরির দিকে সহযোগিতা করার জন্য আপনাকে আমন্ত্রণ জানায়।

বিষয় > গণিত > গণিত গ্রেড 8

একটি সমান্তরালগ্রাম হল একটি চতুর্ভুজ যার বিপরীত বাহুগুলি জোড়ায় সমান্তরাল (চিত্র 233)।

একটি নির্বিচারে সমান্তরালগ্রামের নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্য রয়েছে:

1. একটি সমান্তরালগ্রামের বিপরীত বাহুগুলি সমান।

প্রমাণ। সমান্তরাল ABCD-এ একটি তির্যক AC আঁক। ত্রিভুজ ACD এবং AC B একটি সাধারণ পার্শ্ব AC এবং এর সংলগ্ন দুই জোড়া সমান কোণের মতো সমান:

(AD এবং BC সমান্তরাল রেখা সহ ক্রস-লাইং কোণ হিসাবে)। সুতরাং, এবং সমান ত্রিভুজগুলির বাহু হিসাবে বিপরীত সমান কোণ রয়েছে, যা প্রমাণ করা প্রয়োজন ছিল।

2. একটি সমান্তরালগ্রামের বিপরীত কোণগুলি হল:

3. একটি সমান্তরালগ্রামের প্রতিবেশী কোণ, অর্থাৎ, এক পাশে সংলগ্ন কোণ, যোগ করা ইত্যাদি।

বৈশিষ্ট্য 2 এবং 3 এর প্রমাণ অবিলম্বে সমান্তরাল রেখায় কোণের বৈশিষ্ট্যগুলি থেকে অনুসরণ করে।

4. একটি সমান্তরালগ্রামের কর্ণগুলি তাদের ছেদ বিন্দুতে পরস্পরকে দ্বিখণ্ডিত করে। অন্য কথায়,

প্রমাণ। ত্রিভুজ AOD এবং BOC সমান, যেহেতু তাদের বাহু AD এবং BC সমান (সম্পত্তি 1) এবং তাদের সংলগ্ন কোণগুলি (সমান্তরাল রেখা সহ ক্রস-লাইং কোণ হিসাবে)। এটি এই ত্রিভুজগুলির সংশ্লিষ্ট বাহুর সমতা বোঝায়: AO যা প্রমাণ করা প্রয়োজন ছিল।

এই চারটি বৈশিষ্ট্যের প্রত্যেকটি একটি সমান্তরালগ্রামকে চিহ্নিত করে, বা, যেমনটি তারা বলে, এটি এর বৈশিষ্ট্যগত বৈশিষ্ট্য, অর্থাত্, যেকোন চতুর্ভুজ যাতে এই বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে অন্তত একটি থাকে একটি সমান্তরালগ্রাম (এবং, তাই, বাকি তিনটি বৈশিষ্ট্য রয়েছে)।

আমরা প্রতিটি সম্পত্তির জন্য আলাদাভাবে প্রমাণ বহন করি।

1. যদি একটি চতুর্ভুজের বিপরীত বাহু জোড়া সমান হয়, তাহলে এটি একটি সমান্তরালগ্রাম।

প্রমাণ। চতুর্ভুজ ABCD-এর বাহু AD এবং BC, AB এবং CD যথাক্রমে সমান (চিত্র 233)। এবার তির্যক AC আঁকি। ত্রিভুজ ABC এবং CDA তিনটি জোড়া সমান হবে সমান পক্ষ.

কিন্তু তারপর কোণ BAC এবং DCA সমান এবং . BC এবং AD বাহুগুলির সমান্তরালতা CAD এবং DIA কোণের সমতা থেকে অনুসরণ করে।

2. যদি একটি চতুর্ভুজের দুই জোড়া বিপরীত কোণ সমান থাকে, তবে এটি একটি সমান্তরালগ্রাম।

প্রমাণ। দিন . যেহেতু AD এবং BC উভয় পক্ষই সমান্তরাল (সমান্তরাল রেখার ভিত্তিতে)।

3. আমরা পাঠকের কাছে সূত্র এবং প্রমাণ ছেড়ে দিই।

4. যদি একটি চতুর্ভুজের কর্ণ পরস্পর ছেদ বিন্দুতে অর্ধেক ভাগ করা হয়, তাহলে চতুর্ভুজটি একটি সমান্তরালগ্রাম।

প্রমাণ। যদি AO \u003d OS, BO \u003d OD (চিত্র 233), তাহলে ত্রিভুজগুলি AOD এবং BOC সমান হয়, কারণ সমান কোণগুলি (উল্লম্ব!) শীর্ষবিন্দুতে, সমান বাহুর জোড়ার মধ্যে আবদ্ধ AO এবং CO, BO এবং DO. ত্রিভুজগুলির সমতা থেকে আমরা উপসংহারে পৌঁছেছি যে AD এবং BC বাহুগুলি সমান। AB এবং CD বাহুগুলিও সমান, এবং চতুর্ভুজটি বৈশিষ্ট্যগত বৈশিষ্ট্য Г অনুসারে একটি সমান্তরাল বৃত্তে পরিণত হয়েছে।

সুতরাং, একটি প্রদত্ত চতুর্ভুজ একটি সমান্তরালগ্রাম প্রমাণ করার জন্য, এটি চারটি বৈশিষ্ট্যের যেকোনো একটির বৈধতা যাচাই করার জন্য যথেষ্ট। পাঠককে একটি সমান্তরালগ্রামের আরও একটি বৈশিষ্ট্যযুক্ত বৈশিষ্ট্য স্বাধীনভাবে প্রমাণ করার জন্য আমন্ত্রণ জানানো হয়েছে।

5. যদি একটি চতুর্ভুজের একটি জোড়া সমান, সমান্তরাল বাহু থাকে তবে এটি একটি সমান্তরালগ্রাম।

কখনও কখনও একটি সমান্তরালগ্রামের সমান্তরাল বাহুর কয়েকটি জোড়াকে এর বেস বলা হয়, তারপর বাকি দুটিকে পার্শ্বীয় বাহু বলা হয়। সমান্তরালগ্রামের দুই বাহুর লম্ব সরলরেখার রেখাংশ, তাদের মধ্যে আবদ্ধ, তাকে সমান্তরালগ্রামের উচ্চতা বলে। ডুমুরে সমান্তরাল বৃত্ত। 234-এর একটি উচ্চতা h রয়েছে AD এবং BC বাহুতে আঁকা হয়েছে, এটির দ্বিতীয় উচ্চতা একটি সেগমেন্ট দ্বারা উপস্থাপিত হয়।

একটি সমান্তরালগ্রামের ধারণা

সংজ্ঞা 1

সমান্তরাল বৃত্তএকটি চতুর্ভুজ যার বিপরীত বাহুগুলি একে অপরের সমান্তরাল (চিত্র 1)।

ছবি 1।

একটি সমান্তরালগ্রামের দুটি প্রধান বৈশিষ্ট্য রয়েছে। আসুন প্রমাণ ছাড়াই তাদের বিবেচনা করা যাক।

সম্পত্তি 1: একটি সমান্তরালগ্রামের বিপরীত বাহু এবং কোণগুলি একে অপরের যথাক্রমে সমান।

সম্পত্তি 2: একটি সমান্তরালগ্রামে আঁকা কর্ণগুলি তাদের ছেদ বিন্দু দ্বারা দ্বিখণ্ডিত হয়।

সমান্তরালগ্রাম বৈশিষ্ট্য

একটি সমান্তরালগ্রামের তিনটি বৈশিষ্ট্য বিবেচনা করুন এবং তাদের উপপাদ্য আকারে উপস্থাপন করুন।

উপপাদ্য ঘ

যদি একটি চতুর্ভুজের দুটি বাহু একে অপরের সমান এবং সমান্তরাল হয়, তবে এই চতুর্ভুজটি একটি সমান্তরালগ্রাম হবে।

প্রমাণ।

আমাদের একটি চতুর্ভুজ $ABCD$ দেওয়া যাক। যেটিতে $AB||CD$ এবং $AB=CD$ এর মধ্যে একটি তির্যক $AC$ আঁকুন (চিত্র 2)।

চিত্র ২.

সমান্তরাল রেখা $AB$ এবং $CD$ এবং তাদের সেকেন্ট $AC$ বিবেচনা করুন। তারপর

\[\কোণ CAB=\কোণ DCA\]

আড়াআড়ি কোণের মত।

ত্রিভুজের সমতার জন্য $I$ মানদণ্ড অনুসারে,

যেহেতু $AC$ হল তাদের সাধারণ দিক, এবং $AB=CD$ অনুমান অনুসারে। মানে

\[\কোণ DAC=\কোণ ACB\]

$AD$ এবং $CB$ এবং তাদের সেকেন্ট $AC$ বিবেচনা করুন; ক্রস-লাইং কোণের শেষ সমতা দ্বারা, আমরা $AD||CB$ পাই।) অতএব, $1$ এর সংজ্ঞা অনুসারে, এই চতুর্ভুজ একটি সমান্তরালগ্রাম।

উপপাদ্য প্রমাণিত হয়েছে।

উপপাদ্য 2

যদি একটি চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলি সমান হয় তবে এটি একটি সমান্তরালগ্রাম।

প্রমাণ।

আমাদের একটি চতুর্ভুজ $ABCD$ দেওয়া যাক। যার মধ্যে $AD=BC$ এবং $AB=CD$। আসুন এটিতে একটি তির্যক $AC$ আঁকুন (চিত্র 3)।

চিত্র 3

যেহেতু $AD=BC$, $AB=CD$, এবং $AC$ একটি সাধারণ দিক, তারপর $III$ ত্রিভুজ সমতা পরীক্ষা দ্বারা,

\[\triangle DAC=\triangle ACB\]

\[\কোণ DAC=\কোণ ACB\]

লাইন $AD$ এবং $CB$ এবং তাদের সেকেন্ট $AC$ বিবেচনা করুন, ক্রস-লাইং কোণের শেষ সমতা দ্বারা আমরা $AD||CB$ পাই। অতএব, $1$ এর সংজ্ঞা অনুসারে, এই চতুর্ভুজটি একটি সমান্তরাল।

\[\কোণ DCA=\কোণ CAB\]

লাইন $AB$ এবং $CD$ এবং তাদের সেকেন্ট $AC$ বিবেচনা করুন, ক্রস-লাইং কোণের শেষ সমতা দ্বারা আমরা $AB||CD$ পাই। অতএব, সংজ্ঞা 1 দ্বারা, এই চতুর্ভুজটি একটি সমান্তরালগ্রাম।

উপপাদ্য প্রমাণিত হয়েছে।

উপপাদ্য 3

যদি চতুর্ভুজে আঁকা কর্ণগুলিকে তাদের ছেদ বিন্দু দ্বারা দুটি সমান ভাগে ভাগ করা হয়, তবে এই চতুর্ভুজটি একটি সমান্তরালগ্রাম।

প্রমাণ।

আমাদের একটি চতুর্ভুজ $ABCD$ দেওয়া যাক। এর মধ্যে $AC$ এবং $BD$ কর্ণ আঁকুন। তাদের $O$ বিন্দুতে ছেদ করতে দিন (চিত্র 4)।

চিত্র 4

যেহেতু, $BO=OD,\AO=OC$, এবং কোণ $\angle COB=\angle DOA$ উল্লম্ব, তারপর, $I$ ত্রিভুজ সমতা পরীক্ষা দ্বারা,

\[\ত্রিভুজ BOC=\ত্রিভুজ AOD\]

\[\কোণ ডিবিসি=\কোণ বিডিএ\]

লাইন $BC$ এবং $AD$ এবং তাদের সেকেন্ট $BD$ বিবেচনা করুন, ক্রস-লাইং কোণের শেষ সমতা দ্বারা আমরা $BC||AD$ পাই। এছাড়াও $BC=AD$। অতএব, উপপাদ্য $1$ দ্বারা, এই চতুর্ভুজটি একটি সমান্তরাল।

পৌর বাজেট শিক্ষা প্রতিষ্ঠান

সাভিনস্কায়া গড় ব্যাপক স্কুল

গবেষণা কাজ

সমান্তরালগ্রাম এবং এর নতুন বৈশিষ্ট্য

সম্পন্ন করেছেন: ৮বি গ্রেডের ছাত্র

এমবিইউ সাভিনস্কায়া মাধ্যমিক বিদ্যালয়

কুজনেতসোভা স্বেতলানা, 14 বছর বয়সী

নেতা: গণিত শিক্ষক

Tulchevskaya N.A.

সাভিনো

ইভানোভো অঞ্চল, রাশিয়া

2016

আমি ভূমিকা _______________________________________________ পৃষ্ঠা 3

২. সমান্তরালগ্রামের ইতিহাস থেকে ______________________________________পৃষ্ঠা 4

III একটি সমান্তরালগ্রামের অতিরিক্ত বৈশিষ্ট্য ___________________________পৃষ্ঠা 4

IV সম্পত্তির প্রমাণ ____________________________________ পৃষ্ঠা 5

ভি. অতিরিক্ত বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে সমস্যার সমাধান করা _________পৃষ্ঠা 8

VI. জীবনে সমান্তরালগ্রামের বৈশিষ্ট্যের প্রয়োগ ________________________পৃষ্ঠা 11

VII. উপসংহার ______________________________________________________ পৃষ্ঠা 12

অষ্টম। সাহিত্য ________________________________________________ পৃষ্ঠা ১৩

ভূমিকা

"সমান মনের মধ্যে

এ অন্যান্য অবস্থার সাদৃশ্য

যারা জ্যামিতি জানে তাদের থেকে উচ্চতর"

(ব্লেইজ প্যাস্কেল).

জ্যামিতি পাঠে "সমান্তরালগ্রাম" বিষয় অধ্যয়ন করার সময়, আমরা একটি সমান্তরালগ্রামের দুটি বৈশিষ্ট্য এবং তিনটি বৈশিষ্ট্য বিবেচনা করেছি, কিন্তু যখন আমরা সমস্যাগুলি সমাধান করতে শুরু করি, তখন দেখা গেল যে এটি যথেষ্ট নয়।

আমার একটি প্রশ্ন ছিল, সমান্তরালগ্রামের কি অন্য কোন বৈশিষ্ট্য আছে এবং কিভাবে তারা সমস্যা সমাধানে সাহায্য করবে।

এবং আমি একটি সমান্তরালগ্রামের অতিরিক্ত বৈশিষ্ট্যগুলি অধ্যয়ন করার সিদ্ধান্ত নিয়েছি এবং সমস্যাগুলি সমাধান করতে কীভাবে সেগুলি প্রয়োগ করা যেতে পারে তা দেখাব।

পাঠ্য বিষয় : সমান্তরাল বৃত্ত

অধ্যয়নের অবজেক্ট : সমান্তরালগ্রাম বৈশিষ্ট্য
উদ্দেশ্য:

একটি সমান্তরালগ্রামের অতিরিক্ত বৈশিষ্ট্যের প্রণয়ন এবং প্রমাণ যা স্কুলে অধ্যয়ন করা হয় না;

সমস্যা সমাধানের জন্য এই বৈশিষ্ট্যগুলির প্রয়োগ।

কাজ:

সমান্তরালগ্রামের ইতিহাস এবং এর বৈশিষ্ট্যগুলির বিকাশের ইতিহাস অধ্যয়ন করা;

অধ্যয়নের অধীনে ইস্যুতে অতিরিক্ত সাহিত্য খুঁজুন;

একটি সমান্তরালগ্রামের অতিরিক্ত বৈশিষ্ট্যগুলি অধ্যয়ন করুন এবং তাদের প্রমাণ করুন;

সমস্যা সমাধানের জন্য এই বৈশিষ্ট্যগুলির প্রয়োগ দেখান;

জীবনে সমান্তরালগ্রামের বৈশিষ্ট্যের প্রয়োগ বিবেচনা করুন।
গবেষণা পদ্ধতি:

শিক্ষামূলক এবং বৈজ্ঞানিক - জনপ্রিয় সাহিত্য, ইন্টারনেট সংস্থান নিয়ে কাজ করুন;

তাত্ত্বিক উপাদান অধ্যয়ন;

একটি সমান্তরালগ্রামের অতিরিক্ত বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে সমাধান করা যেতে পারে এমন একটি পরিসরের কাজের নির্বাচন;

পর্যবেক্ষণ, তুলনা, বিশ্লেষণ, উপমা।

অধ্যয়নের সময়কাল : 3 মাস: জানুয়ারি-মার্চ 2016

একটি জ্যামিতি পাঠ্যপুস্তকে, আমরা একটি সমান্তরালগ্রামের নিম্নলিখিত সংজ্ঞাটি পড়ি: একটি সমান্তরালগ্রাম হল একটি চতুর্ভুজ যার বিপরীত বাহুগুলি জোড়ায় সমান্তরাল।

"সমান্তরালগ্রাম" শব্দটি "সমান্তরাল রেখা" হিসাবে অনুবাদ করা হয়েছে (থেকে গ্রীক শব্দসমান্তরাল - সমান্তরাল এবং গ্রাম - লাইন), এই শব্দটি ইউক্লিড দ্বারা প্রবর্তিত হয়েছিল। ইউক্লিড তার "এলিমেন্টস" বইতে একটি সমান্তরালগ্রামের নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলি প্রমাণ করেছেন: একটি সমান্তরালগ্রামের বিপরীত বাহু এবং কোণগুলি সমান এবং একটি তির্যক এটিকে দ্বিখণ্ডিত করে। ইউক্লিড সমান্তরালগ্রামের ছেদ বিন্দু উল্লেখ করেননি। শুধুমাত্র মধ্যযুগের শেষের দিকে, সমান্তরালগ্রামের একটি সম্পূর্ণ তত্ত্ব বিকশিত হয়েছিল।এবং শুধুমাত্র 17 শতকে, পাঠ্যপুস্তকে সমান্তরালগ্রাম উপপাদ্য আবির্ভূত হয়, যা সমান্তরালগ্রামের বৈশিষ্ট্যের উপর ইউক্লিডের উপপাদ্য ব্যবহার করে প্রমাণিত হয়।

III একটি সমান্তরালগ্রামের অতিরিক্ত বৈশিষ্ট্য

জ্যামিতির পাঠ্যপুস্তকে, একটি সমান্তরালগ্রামের মাত্র 2টি বৈশিষ্ট্য দেওয়া হয়েছে:

বিপরীত কোণ এবং বাহু সমান

একটি সমান্তরালগ্রামের কর্ণগুলিকে ছেদ করে এবং ছেদ বিন্দুটি দ্বিখণ্ডিত হয়

AT বিভিন্ন উত্সজ্যামিতি, আপনি নিম্নলিখিত অতিরিক্ত বৈশিষ্ট্য খুঁজে পেতে পারেন:

একটি সমান্তরালগ্রামের সন্নিহিত কোণের সমষ্টি 180 0

একটি সমান্তরালগ্রামের কোণ দ্বিখণ্ডক এটি থেকে একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজকে কেটে দেয়;

একটি সমান্তরালগ্রামের বিপরীত কোণের দ্বিখণ্ডকগুলি সমান্তরাল রেখার উপর থাকে;

একটি সমান্তরালগ্রামের সন্নিহিত কোণের দ্বিখণ্ডক সমকোণে ছেদ করে;

একটি সমান্তরালগ্রামের সমস্ত কোণের দ্বিখন্ডগুলি যখন ছেদ করে তখন একটি আয়তক্ষেত্র তৈরি করে;

একটি সমান্তরালগ্রামের বিপরীত কোণ থেকে এক এবং একই কর্ণের দূরত্ব সমান।

যদি আপনি বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দুর সাথে একটি সমান্তরালগ্রামে বিপরীত শীর্ষবিন্দুকে সংযুক্ত করেন তবে আপনি আরেকটি সমান্তরালগ্রাম পাবেন।

একটি সমান্তরালগ্রামের কর্ণের বর্গের সমষ্টি তার সন্নিহিত বাহুর বর্গের সমষ্টির দ্বিগুণের সমান।

যদি আমরা একটি সমান্তরালগ্রামে দুটি বিপরীত কোণ থেকে উচ্চতা আঁকি তবে আমরা একটি আয়তক্ষেত্র পাই।

IV একটি সমান্তরালগ্রামের বৈশিষ্ট্যের প্রমাণ

একটি সমান্তরালগ্রামের সন্নিহিত কোণের সমষ্টি 180 0

দেওয়া:

ABCD একটি সমান্তরাল বৃত্ত

প্রমাণ করুন:

A+
খ=

প্রমাণ:

ক এবং
B - সমান্তরাল সরল রেখা BC সহ অভ্যন্তরীণ একতরফা কোণ AD এবং secant AB, তাই
A+
খ=

দেওয়া:এ বি সি ডি - সমান্তরাল বৃত্ত,

AK - দ্বিখন্ডক
কিন্তু

প্রমাণ করুন: AVK - সমদ্বিবাহু

প্রমাণ:

1)
1=
3 (BC-এর সাথে ক্রস-লাইং AD এবং secant AK ),

2)
2=
3 কারণ AK একটি দ্বিখন্ডক,

মানে 1=
2.

3) ABK সমদ্বিবাহু কারণ একটি ত্রিভুজের 2টি কোণ সমান

. একটি সমান্তরালগ্রামের কোণ দ্বিখণ্ডক এটি থেকে একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজকে কেটে দেয়

দেওয়া: ABCD একটি সমান্তরাল বৃত্ত

AK হল A এর দ্বিখন্ডক,

СР হল C এর দ্বিখন্ডক।

প্রমাণ করুন: AK ║ SR

প্রমাণ:

1) 1=2 যেহেতু AK-দ্বিখন্ডক

2) 4=5 কারণ SR - দ্বিখন্ডক

3) 3=1 (এ ক্রস-লাইং অ্যাঙ্গেল

BC ║ AD এবং AK-secant),

4) A \u003d C (একটি সমান্তরালগ্রামের বৈশিষ্ট্য দ্বারা), যার অর্থ 2 \u003d 3 \u003d 4 \u003d 5।

4) অনুচ্ছেদ 3 এবং 4 থেকে এটি অনুসরণ করে যে 1 = 4, এবং এই কোণগুলি সরলরেখা AK এবং SR এবং একটি সেকেন্ট BC এর সাথে মিলিত হয়,

তাই, AK ║ SR (সমান্তরাল রেখার ভিত্তিতে)

. একটি সমান্তরালগ্রামের বিপরীত কোণের দ্বিখণ্ডকগুলি সমান্তরাল রেখার উপর অবস্থিত

একটি সমান্তরালগ্রামের সন্নিহিত কোণের দ্বিখণ্ডক সমকোণে ছেদ করে

দেওয়া: ABCD - সমান্তরালগ্রাম,

এসি দ্বিখন্ডক A,

ডিপি-দ্বিখন্ড ডি

প্রমাণ করুন:ডিপি এ.কে.

প্রমাণ:

1) 1=2, কারণ AK - দ্বিখন্ডক

ধরুন 1=2=x, তারপর A=2x,

2) 3=4, কারণ D P - দ্বিখন্ডক

ধরুন 3=4=y, তারপর D=2y

3) A + D \u003d 180 0, কারণ একটি সমান্তরালগ্রামের সন্নিহিত কোণের সমষ্টি 180

2) বিবেচনা করুন একটি OD

1+3=90 0 তারপর
<5=90 0 (сумма углов треугольников равна 180 0)

5. একটি সমান্তরালগ্রামের সমস্ত কোণের দ্বিখন্ডগুলি যখন ছেদ করে তখন একটি আয়তক্ষেত্র তৈরি করে

দেওয়া: ABCD - সমান্তরাল বৃত্ত, AK- দ্বিখণ্ডক A,

ডিপি-দ্বিখন্ডক D,

CM হল C এর দ্বিখন্ডক,

BF - B এর দ্বিখন্ডক।

প্রমাণ করুন: KRNS - আয়তক্ষেত্র

প্রমাণ:

পূর্ববর্তী সম্পত্তির উপর ভিত্তি করে 8=7=6=5=90 0 ,

মানে KRNS একটি আয়তক্ষেত্র।

একটি সমান্তরালগ্রামের বিপরীত কোণ থেকে এক এবং একই কর্ণের দূরত্ব সমান।

দেওয়া: ABCD-সমান্তরাল, AC-তির্যক।

ভিসি AU, ডি.পি. এসি

প্রমাণ করুন: BK=DP

প্রমাণ: 1) DCP \u003d KAB, AB ║ CD এবং সেক্যান্ট AC-তে অভ্যন্তরীণ ক্রসওয়াইজ হিসাবে।

2) AKB= CDP (পাশ বরাবর এবং এর সংলগ্ন দুটি কোণ AB=CD CD P=AB K)।

এবং সমান ত্রিভুজগুলিতে, সংশ্লিষ্ট বাহুগুলি সমান, তাই DP \u003d BK।

দেওয়া: ABCD সমান্তরাল বৃত্ত।

প্রমাণ করুন: VKDP একটি সমান্তরাল বৃত্ত।

প্রমাণ:

1) BP=KD (AD=BC, পয়েন্ট K এবং P

এই দিকগুলিকে দ্বিখণ্ডিত করুন)

2) BP ║ KD (AD এর উপর মিথ্যা বলুন বিসি)

যদি একটি চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলি সমান এবং সমান্তরাল হয় তবে এই চতুর্ভুজটি একটি সমান্তরালগ্রাম।

দেওয়া: ABCD একটি সমান্তরাল বৃত্ত। BD এবং AC তির্যক।

প্রমাণ করুন: এসি 2 +বিডি 2 =2(AB 2 + খ্রি 2 )

প্রমাণ: 1)জিজ্ঞাসা করুন: এসি ²=
+

2)খ আরডি : বিডি 2 = খ আর 2 + পিডি 2 (পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য অনুসারে)

3) এসি ²+ বিডি ²=SC²+ক K²+খ Р²+Рডি ²

4) SK = BP = H(উচ্চতা )

5) এসি 2 +ভিডি 2 = এইচ 2 + ক প্রতি 2 + এইচ 2 +পিডি 2

6) দিন ডি কে =ক P=x, তারপর গ প্রতিডি : এইচ 2 = সিডি 2 - এক্স 2 পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য অনুসারে )

7) AC²+Bডি ² = গডি 2 - x²+ AK 1 ²+ সিডি 2 -এক্স 2 +পিডি 2 ,

AC²+Vডি ²=2Cডি 2 -2x 2 + ক প্রতি 2 +পিডি 2

8) ক প্রতি=AD+ এক্স, আরD=AD- এক্স,

AC²+Vডি ² = 2সিডি 2 -2x 2 +(বিজ্ঞাপন +x) 2 +(বিজ্ঞাপন -এক্স) 2 ,

এসি²+ ATD²=2 থেকেD²-2 এক্স²+এডি 2 +2AD এক্স+ এক্স 2 + খ্রি 2 -2খ্রি এক্স+ এক্স 2 ,
এসি²+ ATD²=2CD 2 +2AD 2 =2(সিডি 2 + খ্রি 2 ).

ভি . এই বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করে সমস্যার সমাধান করা

একটি বাহুর সংলগ্ন একটি সমান্তরালগ্রামের দুটি কোণের দ্বিখণ্ডকগুলির ছেদ বিন্দুটি বিপরীত দিকের অন্তর্গত। সমান্তরালগ্রামের ছোট দিকটি হল 5 . তার বড় দিক খুঁজুন।

দেওয়া: ABCD একটি সমান্তরাল বৃত্ত,

AK - দ্বিখন্ডক
কিন্তু,

D K - দ্বিখন্ডক
D, AB=5

অনুসন্ধান: সূর্য

সমাধান

কারণ AK - দ্বিখন্ডক
A, তাহলে ABC হল সমদ্বিবাহু।

কারণ D K - দ্বিখন্ডক
ডি, তারপর DCK - সমদ্বিবাহু

DC \u003d C K \u003d 5

তারপর, VS=VK+SK=5+5 = 10

উত্তর: 10টি

2. সমান্তরালগ্রামের পরিধি নির্ণয় করুন যদি এর একটি কোণের দ্বিখণ্ডকটি সমান্তরালগ্রামের পার্শ্বটিকে 7 সেমি এবং 14 সেমি অংশে ভাগ করে।

1 মামলা

দেওয়া:
কিন্তু,

VK=14 সেমি, KS=7 সেমি

অনুসন্ধান: R সমান্তরাল বৃত্ত

সমাধান

BC=VK+KS=14+7=21 (সেমি)

কারণ AK - দ্বিখন্ডক
A, তাহলে ABC হল সমদ্বিবাহু।

AB=BK=14সেমি

তারপর P \u003d 2 (14 + 21) \u003d 70 (সেমি)

ঘটছে

দেওয়া: ABCD একটি সমান্তরাল বৃত্ত,

D K - দ্বিখন্ডক
ডি,

VK=14 সেমি, KS=7 সেমি

অনুসন্ধান:R সমান্তরাল বৃত্ত

সমাধান

BC=VK+KS=14+7=21 (সেমি)

কারণ D K - দ্বিখন্ডক
ডি, তারপর DCK - সমদ্বিবাহু

DC \u003d C K \u003d 7

তারপর, P \u003d 2 (21 + 7) \u003d 56 (সেমি)

উত্তর: 70 সেমি বা 56 সেমি

3. সমান্তরালগ্রামের বাহুগুলি হল 10 সেমি এবং 3 সেমি। বৃহত্তর বাহুর সংলগ্ন দুটি কোণের দ্বিখণ্ডকগুলি বিপরীত দিকটিকে তিনটি ভাগে ভাগ করে। এই বিভাগগুলি খুঁজুন.

১টি কেস:দ্বিখণ্ডকগুলি সমান্তরালগ্রামের বাইরে ছেদ করে

দেওয়া: ABCD - সমান্তরাল, AK - দ্বিখন্ডক
কিন্তু,

D K - দ্বিখন্ডক
D, AB=3 সেমি, BC=10 সেমি

অনুসন্ধান: বিএম, এমএন, এনসি

সমাধান

কারণ AM - দ্বিখন্ডক
এবং, তারপর AVM হল সমদ্বিবাহু।

কারণ DN - দ্বিখন্ডক
ডি, তারপর DCN - সমদ্বিবাহু

DC=CN=3

তারপর, MN \u003d 10 - (BM + NC) \u003d 10 - (3 + 3) \u003d 4 সেমি

2 কেস:দ্বিখণ্ডক একটি সমান্তরাল বৃত্তের ভিতরে ছেদ করে

কারণ AN - দ্বিখন্ডক
A, তাহলে ABN হল সমদ্বিবাহু।

AB=Bএন = 3 ডি

এবং স্লাইডিং গ্রিল - দরজায় প্রয়োজনীয় দূরত্বে যান

সমান্তরাল বৃত্তাকার প্রক্রিয়া- একটি চার-লিঙ্ক প্রক্রিয়া, যার লিঙ্কগুলি একটি সমান্তরাল বৃত্ত তৈরি করে। এটি হিংড মেকানিজমের অনুবাদমূলক আন্দোলন বাস্তবায়ন করতে ব্যবহৃত হয়।

স্থির লিঙ্ক সহ সমান্তরাল বৃত্ত- একটি লিঙ্ক গতিহীন, বিপরীতটি একটি দোলনা গতি তৈরি করে, স্থিরটির সমান্তরাল থাকে। একটির পিছনে একটির সাথে সংযুক্ত দুটি সমান্তরালগ্রাম চূড়ান্ত লিঙ্কটিকে দুটি ডিগ্রি স্বাধীনতা দেয়, এটিকে স্থিরটির সমান্তরাল রেখে দেয়।

উদাহরণ: বাসের উইন্ডশিল্ড ওয়াইপার, ফর্কলিফ্ট, ট্রাইপড, হ্যাঙ্গার, গাড়ির হ্যাঙ্গার।

স্থির কব্জা সহ সমান্তরাল বৃত্ত- একটি সমান্তরালগ্রামের বৈশিষ্ট্য তিনটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্বের একটি ধ্রুবক অনুপাত বজায় রাখতে ব্যবহৃত হয়। উদাহরণ: অঙ্কন প্যান্টোগ্রাফ - অঙ্কন স্কেলিং জন্য একটি ডিভাইস।

রম্বস- সমস্ত লিঙ্ক একই দৈর্ঘ্যের, বিপরীত কব্জাগুলির একটি জোড়ার পদ্ধতি (সংকোচন) অন্য দুটি কব্জাকে প্রসারিত করে। সমস্ত লিঙ্ক কম্প্রেশন কাজ করে.

উদাহরণ হল একটি গাড়ির ডায়মন্ড জ্যাক, একটি ট্রাম প্যান্টোগ্রাফ।

কাঁচিবা এক্স-আকৃতির প্রক্রিয়া, এই নামেও পরিচিত নুরেমবার্গ কাঁচি- একটি রম্বসের একটি বৈকল্পিক - দুটি লিঙ্ক একটি কব্জা দ্বারা মাঝখানে সংযুক্ত। প্রক্রিয়াটির সুবিধাগুলি হল কম্প্যাক্টনেস এবং সরলতা, অসুবিধা হল দুটি স্লাইডিং জোড়ার উপস্থিতি। দুটি (বা ততোধিক) এই ধরনের প্রক্রিয়া, সিরিজে সংযুক্ত, মাঝখানে একটি রম্বস (গুলি) গঠন করে। এটি লিফট, শিশুদের খেলনা ব্যবহার করা হয়।

VII উপসংহার

যিনি শৈশব থেকেই গণিতের সাথে জড়িত,

সে মনোযোগ বিকাশ করে, তার মস্তিষ্ককে প্রশিক্ষণ দেয়,

নিজের ইচ্ছা, অধ্যবসায় চাষ করে

এবং লক্ষ্য অর্জনে অধ্যবসায়

উঃ মার্কুশেভিচ

কাজের সময়, আমি একটি সমান্তরালগ্রামের অতিরিক্ত বৈশিষ্ট্য প্রমাণ করেছি।

আমি নিশ্চিত ছিলাম যে এই বৈশিষ্ট্যগুলি প্রয়োগ করে, আপনি দ্রুত সমস্যার সমাধান করতে পারেন।

আমি দেখিয়েছি কিভাবে এই বৈশিষ্ট্যগুলি নির্দিষ্ট সমস্যা সমাধানের উদাহরণগুলিতে প্রয়োগ করা হয়।

আমি সমান্তরালগ্রাম সম্পর্কে অনেক কিছু শিখেছি যা আমাদের জ্যামিতি পাঠ্যপুস্তকে নেই

একটি সমান্তরালগ্রামের বৈশিষ্ট্য প্রয়োগের উদাহরণের মাধ্যমে আমি নিশ্চিত হয়েছিলাম যে জ্যামিতির জ্ঞান জীবনে খুবই গুরুত্বপূর্ণ।

আমার গবেষণা কাজের উদ্দেশ্য সাধন হয়েছে।

গাণিতিক জ্ঞানের গুরুত্ব প্রমাণিত হয় যে একজন ব্যক্তির জন্য একটি পুরষ্কার প্রতিষ্ঠিত হয়েছিল যিনি একজন ব্যক্তির সম্পর্কে একটি বই প্রকাশ করেন যিনি সারা জীবন গণিতের সাহায্য ছাড়াই বেঁচে আছেন। এখন পর্যন্ত কেউ এই পুরস্কার পাননি।

অষ্টম সাহিত্য

আজকের পাঠে, আমরা একটি সমান্তরালগ্রামের প্রধান বৈশিষ্ট্যগুলি পুনরাবৃত্তি করব এবং তারপরে আমরা একটি সমান্তরালগ্রামের প্রথম দুটি বৈশিষ্ট্যের বিবেচনায় মনোযোগ দেব এবং সেগুলি প্রমাণ করব। প্রমাণের সময়, আসুন আমরা ত্রিভুজগুলির সমতার লক্ষণগুলির প্রয়োগের কথা স্মরণ করি, যা আমরা গত বছর অধ্যয়ন করেছি এবং প্রথম পাঠে পুনরাবৃত্তি করেছি। শেষে, সমান্তরালগ্রামের অধ্যয়নকৃত বৈশিষ্ট্যগুলির প্রয়োগের উপর একটি উদাহরণ দেওয়া হবে।

থিম: চতুর্ভুজ

পাঠ: একটি সমান্তরালগ্রামের চিহ্ন

সমান্তরালগ্রামের সংজ্ঞাটি স্মরণ করে শুরু করা যাক।

সংজ্ঞা। সমান্তরাল বৃত্ত- একটি চতুর্ভুজ যেখানে প্রতি দুটি বিপরীত বাহু সমান্তরাল (চিত্র 1 দেখুন)।

ভাত। 1. সমান্তরালগ্রাম

চলুন মনে করি একটি সমান্তরালগ্রামের মৌলিক বৈশিষ্ট্য:

এই সমস্ত বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করতে সক্ষম হওয়ার জন্য, আপনাকে অবশ্যই নিশ্চিত হতে হবে যে প্রশ্নে থাকা চিত্রটি একটি সমান্তরালগ্রাম। এটি করার জন্য, আপনাকে সমান্তরালগ্রামের লক্ষণগুলির মতো তথ্যগুলি জানতে হবে। আমরা আজ তাদের প্রথম দুটি বিবেচনা করব।

উপপাদ্য। একটি সমান্তরালগ্রামের প্রথম বৈশিষ্ট্য।যদি একটি চতুর্ভুজের দুটি বিপরীত বাহু সমান এবং সমান্তরাল হয়, তাহলে এই চতুর্ভুজটি সমান্তরাল বৃত্ত. .

ভাত। 2. একটি সমান্তরালগ্রামের প্রথম চিহ্ন

প্রমাণ। চতুর্ভুজে একটি তির্যক আঁকুন (চিত্র 2 দেখুন), তিনি এটিকে দুটি ত্রিভুজে বিভক্ত করেছেন। আসুন আমরা এই ত্রিভুজ সম্পর্কে যা জানি তা লিখি:

ত্রিভুজের সমতার প্রথম চিহ্ন অনুসারে।

এই ত্রিভুজগুলির সমতা থেকে এটি অনুসরণ করে যে, তাদের সেকেন্টের সংযোগস্থলে রেখাগুলির সমান্তরালতার ভিত্তিতে। আমাদের এটি আছে:

প্রমাণিত।

উপপাদ্য। একটি সমান্তরালগ্রামের দ্বিতীয় চিহ্ন।যদি একটি চতুর্ভুজে প্রতি দুটি বিপরীত বাহু সমান হয়, তাহলে এই চতুর্ভুজটি হবে সমান্তরাল বৃত্ত. .

ভাত। 3. একটি সমান্তরালগ্রামের দ্বিতীয় চিহ্ন

প্রমাণ। চতুর্ভুজের মধ্যে একটি তির্যক আঁকুন (চিত্র 3 দেখুন), এটি এটিকে দুটি ত্রিভুজে বিভক্ত করে। উপপাদ্য গঠনের উপর ভিত্তি করে এই ত্রিভুজ সম্পর্কে আমরা কী জানি তা লিখুন:

ত্রিভুজের সমতার তৃতীয় মানদণ্ড অনুসারে।

ত্রিভুজগুলির সমতা থেকে এটি অনুসরণ করে যে তাদের সেক্যান্টের সংযোগস্থলে রেখাগুলির সমান্তরালতার ভিত্তিতে। আমরা পেতে:

সংজ্ঞা দ্বারা সমান্তরালগ্রাম। Q.E.D.

প্রমাণিত।

সমান্তরালগ্রামের বৈশিষ্ট্যগুলি প্রয়োগ করার একটি উদাহরণ বিবেচনা করা যাক।

উদাহরণ 1. একটি উত্তল চতুর্ভুজের মধ্যে খুঁজুন: ক) চতুর্ভুজের কোণগুলি; বি এর দিকে.

সমাধান। চলুন চিত্রিত করা যাক. চার

ভাত। চার

একটি সমান্তরালগ্রামের প্রথম বৈশিষ্ট্য অনুসারে সমান্তরালগ্রাম।