§ 1 একটি আক্ষরিক অভিব্যক্তি সরলীকরণের ধারণা

এই পাঠে, আমরা "সদৃশ পদ" এর ধারণার সাথে পরিচিত হব এবং উদাহরণ ব্যবহার করে আমরা শিখব কীভাবে অনুরূপ পদগুলি হ্রাস করা যায়, এইভাবে আক্ষরিক অভিব্যক্তিগুলিকে সরল করা যায়।

আসুন "সরলীকরণ" ধারণাটির অর্থ খুঁজে বের করি। "সরলীকরণ" শব্দটি "সরলীকরণ" শব্দ থেকে উদ্ভূত হয়েছে। সরলীকরণ মানে সহজ, সরল করা। অতএব, একটি অক্ষরের অভিব্যক্তিকে সরল করার জন্য এটিকে ছোট করা, ন্যূনতম সংখ্যক ক্রিয়া সহ।

অভিব্যক্তি 9x + 4x বিবেচনা করুন। এটি একটি আক্ষরিক অভিব্যক্তি যা একটি সমষ্টি। এখানে শর্তাবলী একটি সংখ্যা এবং একটি বর্ণের পণ্য হিসাবে উপস্থাপন করা হয়েছে। এই ধরনের পদগুলির সংখ্যাসূচক গুণনীয়ককে একটি সহগ বলা হয়। এই অভিব্যক্তিতে, সহগ সংখ্যা হবে 9 এবং 4। অনুগ্রহ করে মনে রাখবেন যে অক্ষর দ্বারা উপস্থাপিত গুণনীয়ক এই যোগফলের উভয় পদে একই।

আসুন গুণের বন্টনমূলক নিয়মটি স্মরণ করি:

একটি যোগফলকে একটি সংখ্যা দ্বারা গুণ করতে, আপনি প্রতিটি পদকে সেই সংখ্যা দ্বারা গুণ করতে পারেন এবং ফলস্বরূপ পণ্যগুলি যোগ করতে পারেন।

ভিতরে সাধারণ দৃষ্টিকোণনিম্নরূপ লিখিত: (a + b) ∙ c = ac + bc.

এই নিয়ম উভয় দিকেই সত্য ac + bc = (a + b) ∙ c

আসুন এটিকে আমাদের আক্ষরিক অভিব্যক্তিতে প্রয়োগ করি: 9x এবং 4x এর গুণফলের সমষ্টি একটি গুণের সমান যার প্রথম গুণনীয়কটি 9 এবং 4 এর যোগফলের সমান, দ্বিতীয় গুণনীয়কটি হল x।

9 + 4 = 13, এটি 13x।

9x + 4 x = (9 + 4) x = 13x।

অভিব্যক্তিতে তিনটি ক্রিয়ার পরিবর্তে একটি মাত্র ক্রিয়া অবশিষ্ট আছে - গুণ। এর মানে হল যে আমরা আমাদের আক্ষরিক অভিব্যক্তিকে আরও সহজ করে তুলেছি, অর্থাৎ এটা সরলীকৃত.

§ 2 অনুরূপ পদ হ্রাস

9x এবং 4x পদগুলি শুধুমাত্র তাদের সহগগুলির মধ্যে পৃথক - এই ধরনের পদগুলিকে একই রকম বলা হয়। অনুরূপ পদের অক্ষর অংশ একই। অনুরূপ পদ সংখ্যা এবং সমান পদ অন্তর্ভুক্ত.

উদাহরণস্বরূপ, 9a + 12 - 15 অভিব্যক্তিতে অনুরূপ পদগুলি 12 এবং -15 সংখ্যা হবে এবং 12 এবং 6a এর গুণফলের যোগফলের মধ্যে 14 নম্বর এবং 12 এবং 6a (12 ∙ 6a + 14) এর গুণফল। + 12 ∙ 6a) 12 এবং 6a এর গুণফল দ্বারা উপস্থাপিত সমান পদ।

এটি লক্ষ করা গুরুত্বপূর্ণ যে যে পদগুলির সহগ সমান, কিন্তু যাদের অক্ষর গুণনীয়কগুলি আলাদা, তারা একই রকম নয়, যদিও কখনও কখনও তাদের সাথে গুণের বন্টনমূলক নিয়ম প্রয়োগ করা দরকারী, উদাহরণস্বরূপ, 5x এবং 5y পণ্যগুলির যোগফল সংখ্যা 5 এর গুণফল এবং x এবং y এর যোগফলের সমান

5x + 5y = 5(x + y)।

-9a + 15a - 4 + 10 অভিব্যক্তিটিকে সরল করা যাক।

এই ক্ষেত্রে অনুরূপ পদগুলি হল -9a এবং 15a পদ, যেহেতু তারা শুধুমাত্র তাদের সহগগুলির মধ্যে পৃথক। তাদের অক্ষর গুণক একই, এবং পদ -4 এবং 10 একই, যেহেতু তারা সংখ্যা। অনুরূপ পদ যোগ করুন:

9a + 15a - 4 + 10

9a + 15a = 6a;

আমরা পাই: 6a + 6।

অভিব্যক্তিকে সরলীকরণ করে, আমরা অনুরূপ পদের যোগফল খুঁজে পেয়েছি এটিকে বলা হয় অনুরূপ পদের হ্রাস;

যদি এই ধরনের পদ যোগ করা কঠিন হয়, আপনি তাদের জন্য শব্দ নিয়ে আসতে পারেন এবং বস্তু যোগ করতে পারেন।

উদাহরণস্বরূপ, অভিব্যক্তি বিবেচনা করুন:

প্রতিটি অক্ষরের জন্য আমরা আমাদের নিজস্ব বস্তু নিই: বি-আপেল, সি-পিয়ার, তারপর আমরা পাই: 2টি আপেল বিয়োগ 5 নাশপাতি প্লাস 8টি নাশপাতি।

আমরা কি আপেল থেকে নাশপাতি বিয়োগ করতে পারি? অবশ্যই না। কিন্তু আমরা বিয়োগ 5 নাশপাতি 8 নাশপাতি যোগ করতে পারেন.

আসুন আমরা অনুরূপ পদ -5 নাশপাতি + 8 নাশপাতি উপস্থাপন করি। অনুরূপ পদগুলির একই অক্ষর অংশ রয়েছে, তাই অনুরূপ পদ আনার সময় সহগ যোগ করা এবং ফলাফলে অক্ষরের অংশ যোগ করা যথেষ্ট:

(-5 + 8) নাশপাতি - আপনি 3 নাশপাতি পাবেন।

আমাদের আক্ষরিক অভিব্যক্তিতে ফিরে, আমাদের আছে -5 s + 8 s = 3 s। এইভাবে, অনুরূপ পদ আনার পরে, আমরা 2b + 3c অভিব্যক্তি পাই।

সুতরাং, এই পাঠে আপনি "অনুরূপ পদ" এর ধারণার সাথে পরিচিত হয়েছেন এবং অনুরূপ পদগুলিকে হ্রাস করে কীভাবে অক্ষর অভিব্যক্তিকে সরল করা যায় তা শিখেছেন।

ব্যবহৃত সাহিত্যের তালিকা:

1. অংক। গ্রেড 6: I.I এর পাঠ্যপুস্তকের পাঠ পরিকল্পনা। জুবারেভা, এ.জি. মর্ডকোভিচ // লেখক-সংকলক এল.এ. টপিলিনা। মেমোসিন 2009।
2. অংক। 6ষ্ঠ শ্রেণী: শিক্ষার্থীদের জন্য পাঠ্যপুস্তক শিক্ষা প্রতিষ্ঠান. আই.আই জুবারেভা, এ.জি. মর্ডকোভিচ - এম.: মেমোসিন, 2013।
3. অংক। 6ষ্ঠ শ্রেণী: সাধারণ শিক্ষা প্রতিষ্ঠানের জন্য পাঠ্যপুস্তক/G.V. ডোরোফিভ, আই.এফ. শারিগিন, এস.বি. সুভোরভ এবং অন্যান্য/জিভি দ্বারা সম্পাদিত। ডোরোফিভা, আই.এফ. শারিগিনা; রাশিয়ান একাডেমি অফ সায়েন্স, রাশিয়ান একাডেমি অফ এডুকেশন। এম.: "এনলাইটেনমেন্ট", 2010।
4. অংক। ৬ষ্ঠ শ্রেণী: সাধারণ শিক্ষা প্রতিষ্ঠান/N.Ya-এর জন্য অধ্যয়ন। ভিলেনকিন, ভিআই ঝোখভ, এ.এস. চেসনোকভ, S.I. শোয়ার্টজবার্ড। - এম.: মেমোসিনা, 2013।
5. অংক। ৬ষ্ঠ শ্রেণী: পাঠ্যপুস্তক/জি.কে. মুরাভিন, ও.ভি. মুরাভিনা। - এম.: বাস্টার্ড, 2014।

ব্যবহৃত ছবি:

অভিব্যক্তি, অভিব্যক্তি রূপান্তর

পাওয়ার এক্সপ্রেশন (ক্ষমতা সহ অভিব্যক্তি) এবং তাদের রূপান্তর

এই নিবন্ধে আমরা ক্ষমতা সহ অভিব্যক্তি রূপান্তর সম্পর্কে কথা বলব। প্রথমত, আমরা সেই রূপান্তরগুলির উপর ফোকাস করব যা যেকোনো ধরনের অভিব্যক্তির সাথে সম্পাদিত হয়, যার মধ্যে শক্তির অভিব্যক্তি, যেমন বন্ধনী খোলা এবং অনুরূপ পদ আনা। এবং তারপরে আমরা ডিগ্রী সহ অভিব্যক্তিতে অন্তর্নিহিত রূপান্তরগুলি বিশ্লেষণ করব: বেস এবং সূচকের সাথে কাজ করা, ডিগ্রির বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করে ইত্যাদি।

পৃষ্ঠা নেভিগেশন.

শক্তি অভিব্যক্তি কি?

"পাওয়ার এক্সপ্রেশন" শব্দটি কার্যত স্কুলের গণিতের পাঠ্যপুস্তকে প্রদর্শিত হয় না, তবে এটি প্রায়শই সমস্যাগুলির সংগ্রহে উপস্থিত হয়, বিশেষ করে যেগুলি ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষা এবং ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার জন্য প্রস্তুতির উদ্দেশ্যে, উদাহরণস্বরূপ। যে কাজগুলিতে পাওয়ার এক্সপ্রেশন সহ যে কোনও ক্রিয়া সম্পাদন করা প্রয়োজন তা বিশ্লেষণ করার পরে, এটি স্পষ্ট হয়ে যায় যে পাওয়ার এক্সপ্রেশনগুলি তাদের এন্ট্রিতে শক্তি ধারণকারী অভিব্যক্তি হিসাবে বোঝা যায়। অতএব, আপনি নিজের জন্য নিম্নলিখিত সংজ্ঞা গ্রহণ করতে পারেন:

সংজ্ঞা।

শক্তি অভিব্যক্তিক্ষমতা ধারণকারী অভিব্যক্তি.

দেওয়া যাক শক্তি প্রকাশের উদাহরণ. তাছাড়া, প্রাকৃতিক সূচক সহ একটি ডিগ্রী থেকে একটি বাস্তব সূচক সহ একটি ডিগ্রী পর্যন্ত দৃষ্টিভঙ্গির বিকাশ কীভাবে ঘটে সে অনুসারে আমরা সেগুলি উপস্থাপন করব।

যেমনটি জানা যায়, প্রথমে একজন প্রাকৃতিক সূচক সহ একটি সংখ্যার শক্তির সাথে পরিচিত হয়, টাইপ 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0.1) এর প্রথম সহজতম পাওয়ার এক্সপ্রেশন; 4, 3 a 2 দেখা যাচ্ছে −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 ইত্যাদি।

একটু পরে, একটি পূর্ণসংখ্যা সূচক সহ একটি সংখ্যার শক্তি অধ্যয়ন করা হয়, যা নিম্নলিখিতগুলির মতো ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার শক্তি সহ পাওয়ার এক্সপ্রেশনগুলির উপস্থিতির দিকে পরিচালিত করে: 3 −2, , a −2 +2 b −3 +c 2।

উচ্চ বিদ্যালয়ে তারা ডিগ্রিতে ফিরে আসে। সেখানে ডিগ্রি চালু করা হয় যুক্তিসঙ্গত সূচক, যা সংশ্লিষ্ট পাওয়ার এক্সপ্রেশনগুলির উপস্থিতি অন্তর্ভুক্ত করে: , , এবং তাই অবশেষে, অযৌক্তিক সূচক সহ ডিগ্রী এবং সেগুলি ধারণকারী এক্সপ্রেশন বিবেচনা করা হয়: , .

বিষয়টি তালিকাভুক্ত পাওয়ার এক্সপ্রেশনের মধ্যে সীমাবদ্ধ নয়: আরও ভেরিয়েবলটি এক্সপোনেন্টের মধ্যে প্রবেশ করে এবং, উদাহরণস্বরূপ, নিম্নলিখিত রাশিগুলি দেখা দেয়: 2 x 2 +1 বা . এবং এর সাথে পরিচিত হওয়ার পরে, ক্ষমতা এবং লগারিদম সহ অভিব্যক্তিগুলি উপস্থিত হতে শুরু করে, উদাহরণস্বরূপ, x 2·lgx −5·x lgx।

সুতরাং, আমরা শক্তি অভিব্যক্তি প্রতিনিধিত্ব কি প্রশ্ন মোকাবেলা করেছি. পরবর্তীতে আমরা তাদের রূপান্তর করতে শিখব।

পাওয়ার এক্সপ্রেশনের প্রধান ধরনের রূপান্তর

পাওয়ার এক্সপ্রেশনের সাহায্যে, আপনি এক্সপ্রেশনের যে কোনো মৌলিক পরিচয় রূপান্তর করতে পারেন। উদাহরণস্বরূপ, আপনি বন্ধনী প্রসারিত করতে পারেন, প্রতিস্থাপন করতে পারেন সংখ্যাসূচক অভিব্যক্তিতাদের মান, অনুরূপ পদ দিন, ইত্যাদি স্বাভাবিকভাবেই, এই ক্ষেত্রে, কর্ম সম্পাদনের জন্য গৃহীত পদ্ধতি অনুসরণ করা প্রয়োজন। উদাহরণ দেওয়া যাক।

উদাহরণ।

মান গণনা করুন শক্তি অভিব্যক্তি 2 3 · (4 2 −12)।

সমাধান।

কর্ম সম্পাদনের ক্রম অনুসারে, প্রথমে বন্ধনীতে ক্রিয়া সম্পাদন করুন। সেখানে, প্রথমত, আমরা পাওয়ার 4 2 এর মান 16 দিয়ে প্রতিস্থাপন করি (যদি প্রয়োজন হয়, দেখুন), এবং দ্বিতীয়ত, আমরা পার্থক্য 16−12=4 গণনা করি। আমাদের আছে 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

ফলস্বরূপ অভিব্যক্তিতে, আমরা শক্তি 2 3 এর মান 8 দিয়ে প্রতিস্থাপন করি, তারপরে আমরা গুণফল 8·4=32 গণনা করি। এই কাঙ্ক্ষিত মান.

তাই, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

উত্তর:

2 3 · (4 2 −12)=32।

উদাহরণ।

ক্ষমতা সহ অভিব্যক্তি সরলীকরণ 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

সমাধান।

স্পষ্টতই, এই অভিব্যক্তিতে অনুরূপ পদ রয়েছে 3·a 4 ·b −7 এবং 2·a 4 ·b −7, এবং আমরা সেগুলি উপস্থাপন করতে পারি:

উত্তর:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

উদাহরণ।

একটি পণ্য হিসাবে ক্ষমতা সহ একটি অভিব্যক্তি প্রকাশ করুন.

সমাধান।

আপনি 9 নম্বরটিকে 3 2 এর শক্তি হিসাবে উপস্থাপন করে এবং তারপর সংক্ষিপ্ত গুণের জন্য সূত্র ব্যবহার করে কাজটি মোকাবেলা করতে পারেন - বর্গক্ষেত্রের পার্থক্য:

উত্তর:

এছাড়াও একটি সংখ্যা আছে পরিচয় রূপান্তর, ক্ষমতা এক্সপ্রেশনে বিশেষভাবে অন্তর্নিহিত। আমরা তাদের আরও বিশ্লেষণ করব।

ভিত্তি এবং সূচকের সাথে কাজ করা

এমন কিছু ডিগ্রী আছে যার ভিত্তি এবং/অথবা সূচক শুধুমাত্র সংখ্যা বা চলক নয়, কিছু এক্সপ্রেশন। উদাহরণ হিসেবে, আমরা এন্ট্রি দিই (2+0.3·7) 5−3.7 এবং (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1)।

অনুরূপ অভিব্যক্তির সাথে কাজ করার সময়, আপনি ডিগ্রির ভিত্তির অভিব্যক্তি এবং সূচকের অভিব্যক্তিকে অভিন্নভাবে প্রতিস্থাপন করতে পারেন সমান অভিব্যক্তিএর ভেরিয়েবলের ODZ-এ। অন্য কথায়, আমাদের জানা নিয়ম অনুসারে, আমরা আলাদাভাবে ডিগ্রীর ভিত্তি এবং আলাদাভাবে সূচককে রূপান্তর করতে পারি। এটা স্পষ্ট যে এই রূপান্তরের ফলে, একটি অভিব্যক্তি প্রাপ্ত হবে যা মূলের সমান।

এই ধরনের রূপান্তরগুলি আমাদেরকে ক্ষমতা দিয়ে অভিব্যক্তিকে সরল করতে বা আমাদের প্রয়োজনীয় অন্যান্য লক্ষ্যগুলি অর্জন করতে দেয়। উদাহরণস্বরূপ, উপরে উল্লিখিত পাওয়ার এক্সপ্রেশনে (2+0.3 7) 5−3.7, আপনি বেস এবং এক্সপোনেন্টের সংখ্যাগুলির সাথে ক্রিয়াকলাপ সম্পাদন করতে পারেন, যা আপনাকে শক্তি 4.1 1.3 এ যেতে অনুমতি দেবে। এবং বন্ধনী খোলার পরে এবং অনুরূপ পদগুলিকে ডিগ্রির বেসে আনার পরে (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) আমরা আরও একটি পাওয়ার এক্সপ্রেশন পাই। সহজ প্রকারএকটি 2·(x+1)।

ডিগ্রী বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে

ক্ষমতার সাথে অভিব্যক্তি রূপান্তর করার প্রধান হাতিয়ারগুলির মধ্যে একটি হল সমতা যা প্রতিফলিত করে। আমাদের প্রধান বেশী স্মরণ করা যাক. যে কোন ধনাত্মক সংখ্যা a এবং b এবং নির্বিচারে বাস্তব সংখ্যা r এবং s এর জন্য, ক্ষমতার নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলি সত্য:

• a r ·a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a·b) r =a r ·b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a rs·s।

মনে রাখবেন যে প্রাকৃতিক, পূর্ণসংখ্যা এবং ধনাত্মক সূচকের জন্য, a এবং b সংখ্যার সীমাবদ্ধতা এতটা কঠোর নাও হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, জন্য প্রাকৃতিক সংখ্যা m এবং n সমতা a m ·a n =a m+n শুধুমাত্র ধনাত্মক a এর জন্য নয়, ঋণাত্মক a এবং a=0 এর জন্যও সত্য।

স্কুলে, শক্তির অভিব্যক্তি রূপান্তর করার সময় প্রধান ফোকাস হয় উপযুক্ত সম্পত্তি নির্বাচন করার এবং সঠিকভাবে প্রয়োগ করার ক্ষমতার উপর। এই ক্ষেত্রে, ডিগ্রির ভিত্তিগুলি সাধারণত ধনাত্মক হয়, যা ডিগ্রীর বৈশিষ্ট্যগুলিকে সীমাবদ্ধতা ছাড়াই ব্যবহার করার অনুমতি দেয়। একই কথা প্রযোজ্য ক্ষমতার ভিত্তি-ক্ষেত্রে ভেরিয়েবল সম্বলিত অভিব্যক্তির রূপান্তরের ক্ষেত্রে গ্রহণযোগ্য মানভেরিয়েবলগুলি সাধারণত এমন হয় যে এটির ভিত্তিতে শুধুমাত্র গ্রহণ করে ইতিবাচক মান, যা আপনাকে অবাধে ডিগ্রির বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করতে দেয়। সাধারণভাবে, আপনাকে ক্রমাগত নিজেকে জিজ্ঞাসা করতে হবে যে এই ক্ষেত্রে ডিগ্রির কোনও সম্পত্তি ব্যবহার করা সম্ভব কি না, কারণ বৈশিষ্ট্যগুলির ভুল ব্যবহার শিক্ষাগত মান এবং অন্যান্য সমস্যাকে সংকুচিত করতে পারে। এই পয়েন্টগুলি ডিগ্রীর বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে অভিব্যক্তির রূপান্তর নিবন্ধে বিশদভাবে এবং উদাহরণ সহ আলোচনা করা হয়েছে। এখানে আমরা কয়েকটি সাধারণ উদাহরণ বিবেচনায় নিজেদের সীমাবদ্ধ রাখব।

উদাহরণ।

a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 কে বেস a সহ একটি ঘাত হিসাবে প্রকাশ করুন।

সমাধান।

প্রথমত, আমরা একটি শক্তিকে শক্তিতে উন্নীত করার বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে দ্বিতীয় গুণনীয়ক (a 2) −3 রূপান্তর করি: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. মূল শক্তি অভিব্যক্তি একটি 2.5 ·a −6:a −5.5 রূপ নেবে। স্পষ্টতই, একই বেসের সাথে গুণন এবং বিভাজনের বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করা বাকি রয়েছে, আমাদের আছে
a 2.5 ·a −6:a −5.5 =
a 2.5−6:a −5.5 =a −3.5:a −5.5 =
a −3.5−(−5.5) =a 2।

উত্তর:

a 2.5 · (a 2) −3:a −5.5 =a 2.

পাওয়ার এক্সপ্রেশন রূপান্তর করার সময় ক্ষমতার বৈশিষ্ট্যগুলি বাম থেকে ডানে এবং ডান থেকে বামে উভয়ই ব্যবহৃত হয়।

উদাহরণ।

পাওয়ার এক্সপ্রেশনের মান নির্ণয় কর।

সমাধান।

সমতা (a·b) r =a r·b r, ডান থেকে বামে প্রয়োগ করা হয়, আমাদের মূল অভিব্যক্তি থেকে ফর্মের একটি গুণফল এবং আরও এগিয়ে যেতে দেয়। এবং একই ঘাঁটিগুলির সাথে শক্তিগুলিকে গুণ করার সময়, সূচকগুলি যোগ করে: .

মূল অভিব্যক্তিটিকে অন্য উপায়ে রূপান্তর করা সম্ভব ছিল:

উত্তর:

.

উদাহরণ।

একটি 1.5 −a 0.5 −6 পাওয়ার এক্সপ্রেশন দেওয়া, একটি নতুন পরিবর্তনশীল t=a 0.5 প্রবর্তন করুন।

সমাধান।

ডিগ্রী a 1.5 কে 0.5 3 হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে এবং তারপর, ডিগ্রী থেকে ডিগ্রী (a r) s =a r s পর্যন্ত ডিগ্রীর বৈশিষ্ট্যের উপর ভিত্তি করে, ডান থেকে বামে প্রয়োগ করে, এটিকে (a 0.5) 3 তে রূপান্তর করুন। এইভাবে, a 1.5 −a 0.5 −6=(a 0.5) 3 −a 0.5 −6. এখন একটি নতুন পরিবর্তনশীল t=a 0.5 প্রবর্তন করা সহজ, আমরা t 3 −t−6 পাই।

উত্তর:

t 3 −t−6 ।

ক্ষমতা ধারণকারী ভগ্নাংশ রূপান্তর

পাওয়ার এক্সপ্রেশনগুলি ক্ষমতা সহ ভগ্নাংশ ধারণ করতে পারে বা প্রতিনিধিত্ব করতে পারে। ভগ্নাংশের যে কোনো মৌলিক রূপান্তর যে কোনো ধরনের ভগ্নাংশের মধ্যে অন্তর্নিহিত থাকে, এই ধরনের ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে সম্পূর্ণরূপে প্রযোজ্য। অর্থাৎ, যেসব ভগ্নাংশে ক্ষমতা রয়েছে সেগুলোকে হ্রাস করা যেতে পারে, একটি নতুন হরকে হ্রাস করা যেতে পারে, তাদের লবের সাথে আলাদাভাবে এবং হরের সাথে আলাদাভাবে কাজ করা যায় ইত্যাদি। এই শব্দগুলি ব্যাখ্যা করার জন্য, কয়েকটি উদাহরণের সমাধান বিবেচনা করুন।

উদাহরণ।

পাওয়ার এক্সপ্রেশন সরলীকরণ করুন .

সমাধান।

এই শক্তি অভিব্যক্তি একটি ভগ্নাংশ. এর লব এবং হর নিয়ে কাজ করা যাক। লবটিতে আমরা বন্ধনীগুলি খুলব এবং ক্ষমতার বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করে এর পরে প্রাপ্ত অভিব্যক্তিটিকে সরল করব এবং হরটিতে আমরা অনুরূপ পদগুলি উপস্থাপন করব:

এবং আসুন ভগ্নাংশের সামনে একটি বিয়োগ রেখে হর-এর চিহ্ন পরিবর্তন করি: .

উত্তর:

.

একটি নতুন হরকে শক্তি সম্বলিত ভগ্নাংশ হ্রাস করা একইভাবে একটি নতুন হরকে মূলদ ভগ্নাংশ হ্রাস করার মতোই সঞ্চালিত হয়। এই ক্ষেত্রে, একটি অতিরিক্ত গুণনীয়কও পাওয়া যায় এবং ভগ্নাংশের লব এবং হরকে এটি দ্বারা গুণ করা হয়। এই ক্রিয়াটি সম্পাদন করার সময়, এটি মনে রাখা উচিত যে একটি নতুন হরকে হ্রাস করার ফলে VA সংকীর্ণ হতে পারে। এটি যাতে না ঘটে তার জন্য, মূল অভিব্যক্তির জন্য ODZ ভেরিয়েবল থেকে ভেরিয়েবলের যেকোনো মানের জন্য অতিরিক্ত ফ্যাক্টরটি শূন্যে না যাওয়া আবশ্যক।

উদাহরণ।

ভগ্নাংশগুলিকে একটি নতুন হর কমিয়ে দিন: ক) হর এ, খ) হরকে

সমাধান।

ক) এই ক্ষেত্রে, কোন অতিরিক্ত গুণকটি পছন্দসই ফলাফল অর্জনে সহায়তা করে তা নির্ধারণ করা বেশ সহজ। এটি একটি 0.3 এর একটি গুণক, যেহেতু একটি 0.7 ·a 0.3 =a 0.7+0.3 =a। উল্লেখ্য যে পরিবর্তনশীল a (এটি সমস্ত ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার সেট) এর অনুমোদনযোগ্য মানের পরিসরে, একটি 0.3 এর শক্তি অদৃশ্য হয়ে যায় না, তাই, আমাদের একটি প্রদত্ত লব এবং হরকে গুণ করার অধিকার রয়েছে এই অতিরিক্ত ফ্যাক্টর দ্বারা ভগ্নাংশ:

খ) হরটি ঘনিষ্ঠভাবে দেখে নিলে আপনি তা দেখতে পাবেন

এবং এই রাশিটিকে দ্বারা গুণ করলে ঘনক্ষেত্রের যোগফল পাওয়া যাবে এবং , অর্থাৎ . এবং এই নতুন হর যা আমাদের মূল ভগ্নাংশ কমাতে হবে।

এইভাবে আমরা একটি অতিরিক্ত ফ্যাক্টর খুঁজে পেয়েছি। x এবং y ভেরিয়েবলের অনুমোদিত মানের পরিসরে, অভিব্যক্তিটি অদৃশ্য হয়ে যায় না, তাই, আমরা এটি দ্বারা ভগ্নাংশের লব এবং হরকে গুণ করতে পারি:

উত্তর:

ক) , খ) .

ক্ষমতা সম্বলিত ভগ্নাংশগুলি হ্রাস করার ক্ষেত্রেও নতুন কিছু নেই: লব এবং হরকে অনেকগুলি কারণ হিসাবে উপস্থাপন করা হয় এবং লব এবং হরের একই কারণগুলি হ্রাস করা হয়।

উদাহরণ।

ভগ্নাংশ হ্রাস করুন: ক) , খ)।

সমাধান।

ক) প্রথমত, লব এবং হর 30 এবং 45 সংখ্যা দ্বারা হ্রাস করা যেতে পারে, যা 15 এর সমান। এটি x 0.5 +1 এবং দ্বারা একটি হ্রাস সঞ্চালন করা স্পষ্টতই সম্ভব . আমাদের যা আছে তা এখানে:

b) এই ক্ষেত্রে, লব এবং হর এর অভিন্ন কারণগুলি অবিলম্বে দৃশ্যমান হয় না। এগুলি পেতে, আপনাকে প্রাথমিক রূপান্তরগুলি সম্পাদন করতে হবে। এই ক্ষেত্রে, তারা বর্গাকার সূত্রের পার্থক্য ব্যবহার করে হরকে ফ্যাক্টরিং করে:

উত্তর:

ক)

খ) .

ভগ্নাংশগুলিকে একটি নতুন হরতে রূপান্তর করা এবং ভগ্নাংশগুলি হ্রাস করা মূলত ভগ্নাংশের সাথে জিনিসগুলি করতে ব্যবহৃত হয়। কর্ম পরিচিত নিয়ম অনুযায়ী সঞ্চালিত হয়. ভগ্নাংশ যোগ (বিয়োগ) করার সময়, তারা একটি সাধারণ হর এ ছোট করা হয়, যার পরে লব যোগ করা হয় (বিয়োগ), কিন্তু হর একই থাকে। ফলাফল হল একটি ভগ্নাংশ যার লব হল লবগুলির গুণফল, এবং হর হল হরগুলির গুণফল। একটি ভগ্নাংশ দ্বারা ভাগ তার বিপরীত দ্বারা গুন হয়.

উদাহরণ।

পদক্ষেপগুলো অনুসরণ কর .

সমাধান।

প্রথমত, আমরা বন্ধনীতে ভগ্নাংশ বিয়োগ করি। এটি করার জন্য, আমরা তাদের একটি সাধারণ ডিনোমিনেটরে নিয়ে এসেছি, যা হল , যার পরে আমরা সংখ্যা বিয়োগ করি:

এখন আমরা ভগ্নাংশগুলিকে গুণ করি:

স্পষ্টতই, x 1/2 এর শক্তি দ্বারা হ্রাস করা সম্ভব, যার পরে আমাদের আছে .

আপনি বর্গাকার সূত্রের পার্থক্য ব্যবহার করে হর-এ পাওয়ার এক্সপ্রেশনকেও সরল করতে পারেন: .

উত্তর:

উদাহরণ।

পাওয়ার এক্সপ্রেশন সরলীকরণ করুন .

সমাধান।

স্পষ্টতই, এই ভগ্নাংশটি (x 2.7 +1) 2 দ্বারা হ্রাস করা যেতে পারে, এটি ভগ্নাংশটি দেয় . এটা স্পষ্ট যে X এর ক্ষমতা দিয়ে অন্য কিছু করা দরকার। এটি করার জন্য, আমরা ফলস্বরূপ ভগ্নাংশকে একটি পণ্যে রূপান্তর করি। এটি আমাদের একই ঘাঁটিগুলির সাথে ক্ষমতা ভাগ করার সম্পত্তির সুবিধা নেওয়ার সুযোগ দেয়: . এবং প্রক্রিয়া শেষে আমরা শেষ পণ্য থেকে ভগ্নাংশে চলে যাই।

উত্তর:

.

এবং আমাদের আরও যোগ করা যাক যে এটি সম্ভব এবং অনেক ক্ষেত্রে গুণক ব্যবহার করা বাঞ্ছনীয় নেতিবাচক সূচকডিগ্রীগুলি লব থেকে হর বা হর থেকে লবের কাছে স্থানান্তরিত হয়, সূচকের চিহ্ন পরিবর্তন করে। এই ধরনের রূপান্তরগুলি প্রায়শই পরবর্তী ক্রিয়াগুলিকে সহজ করে তোলে। উদাহরণস্বরূপ, একটি পাওয়ার এক্সপ্রেশন দ্বারা প্রতিস্থাপিত হতে পারে।

মূল এবং ক্ষমতা সহ অভিব্যক্তি রূপান্তর

প্রায়শই, অভিব্যক্তিতে কিছু রূপান্তরের প্রয়োজন হয়, ভগ্নাংশের সূচক সহ মূলগুলিও শক্তির সাথে উপস্থিত থাকে। যেমন একটি অভিব্যক্তি রূপান্তর করতে সঠিক প্রকার, বেশিরভাগ ক্ষেত্রে এটি শুধুমাত্র শিকড় বা শুধুমাত্র ক্ষমতা যেতে যথেষ্ট. কিন্তু যেহেতু ক্ষমতার সাথে কাজ করা আরও সুবিধাজনক, তারা সাধারণত শিকড় থেকে শক্তিতে চলে যায়। যাইহোক, যখন মূল অভিব্যক্তির জন্য ভেরিয়েবলের ODZ আপনাকে মডিউলটি উল্লেখ করার প্রয়োজন ছাড়াই বা ODZ কে কয়েকটি ব্যবধানে বিভক্ত করার প্রয়োজন ছাড়াই শিকড়গুলিকে ক্ষমতা দিয়ে প্রতিস্থাপন করতে দেয় তখন এই ধরনের পরিবর্তন করার পরামর্শ দেওয়া হয় (আমরা এই বিষয়ে বিস্তারিত আলোচনা করেছি শিকড় থেকে শক্তি এবং ফিরে নিবন্ধের রূপান্তর একটি যৌক্তিক সূচকের সাথে ডিগ্রির সাথে পরিচিত হওয়ার পরে একটি অযৌক্তিক সূচকের সাথে একটি ডিগ্রী প্রবর্তন করা হয়, যা আমাদেরকে একটি নির্বিচারে বাস্তব সূচকের সাথে একটি ডিগ্রি সম্পর্কে কথা বলতে দেয়, এটি হতে শুরু করে স্কুলে পড়াশুনা করেছে। ব্যাখ্যামূলক কাজ , যা বিশ্লেষণাত্মকভাবে একটি শক্তি দ্বারা দেওয়া হয়, যার ভিত্তি একটি সংখ্যা এবং সূচকটি একটি পরিবর্তনশীল। তাই আমরা পাওয়ারের বেসে সংখ্যা সম্বলিত পাওয়ার এক্সপ্রেশনের সম্মুখীন হই, এবং এক্সপোনেন্টে - ভেরিয়েবল সহ এক্সপ্রেশন, এবং স্বাভাবিকভাবেই এই ধরনের এক্সপ্রেশনের রূপান্তর করার প্রয়োজন দেখা দেয়।

এটা বলা উচিত যে নির্দেশিত ধরণের অভিব্যক্তির রূপান্তর সাধারণত সমাধান করার সময় সম্পাদন করতে হয় সূচকীয় সমীকরণএবং সূচকীয় অসমতা, এবং এই রূপান্তরগুলি বেশ সহজ। বেশিরভাগ ক্ষেত্রে, তারা ডিগ্রির বৈশিষ্ট্যের উপর ভিত্তি করে এবং বেশিরভাগ ক্ষেত্রে ভবিষ্যতে একটি নতুন পরিবর্তনশীল প্রবর্তনের লক্ষ্যে থাকে। সমীকরণ আমাদের তাদের প্রদর্শন করার অনুমতি দেবে 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

প্রথমত, ক্ষমতাগুলি, যার সূচকগুলিতে একটি নির্দিষ্ট চলকের সমষ্টি (বা চলক সহ অভিব্যক্তি) এবং একটি সংখ্যা, পণ্য দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়। এটি বাম দিকের অভিব্যক্তির প্রথম এবং শেষ পদগুলিতে প্রযোজ্য:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

এরপরে, সমতার উভয় দিককে 7 2 x অভিব্যক্তি দ্বারা ভাগ করা হয়, যা মূল সমীকরণের জন্য x ভেরিয়েবলের ODZ-এ শুধুমাত্র ইতিবাচক মান নেয় (এটি এই ধরণের সমীকরণগুলি সমাধান করার জন্য একটি আদর্শ কৌশল, আমরা নই এখন এটি সম্পর্কে কথা বলছি, তাই ক্ষমতা সহ অভিব্যক্তির পরবর্তী রূপান্তরের উপর ফোকাস করুন ):

এখন আমরা ক্ষমতা দিয়ে ভগ্নাংশ বাতিল করতে পারি, যা দেয় .

অবশেষে, একই সূচকের সাথে শক্তির অনুপাত সম্পর্কের শক্তি দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়, যার ফলে সমীকরণ হয় , যা সমতুল্য . করা রূপান্তরগুলি আমাদের একটি নতুন পরিবর্তনশীল প্রবর্তন করতে দেয়, যা মূল সূচকীয় সমীকরণের সমাধানকে দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধানে কমিয়ে দেয়।

আই.ভি. বয়কভ, এল.ডি. রোমানভাইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার জন্য প্রস্তুতির জন্য কার্য সংগ্রহ। পার্ট 1। পেনজা 2003।

ইঞ্জিনিয়ারিং ক্যালকুলেটর অনলাইন

আমরা সবাইকে একটি বিনামূল্যে ইঞ্জিনিয়ারিং ক্যালকুলেটর উপস্থাপন করতে পেরে আনন্দিত। এর সাহায্যে, যেকোনো শিক্ষার্থী দ্রুত এবং সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণভাবে অনলাইনে বিভিন্ন ধরনের গাণিতিক গণনা সহজে করতে পারে।

ক্যালকুলেটরটি সাইট থেকে নেওয়া হয়েছে - web 2.0 scientific calculator

একটি সহজ এবং সহজে ব্যবহারযোগ্য ইঞ্জিনিয়ারিং ক্যালকুলেটর একটি নিরবচ্ছিন্ন এবং স্বজ্ঞাত ইন্টারফেস সহ ইন্টারনেট ব্যবহারকারীদের বিস্তৃত পরিসরের জন্য সত্যিই কার্যকর হবে৷ এখন, যখনই আপনার ক্যালকুলেটরের প্রয়োজন হবে, আমাদের ওয়েবসাইটে যান এবং বিনামূল্যে ইঞ্জিনিয়ারিং ক্যালকুলেটর ব্যবহার করুন।

একটি ইঞ্জিনিয়ারিং ক্যালকুলেটর সাধারণ গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ এবং বেশ জটিল গাণিতিক গণনা উভয়ই সম্পাদন করতে পারে।

Web20calc হল একটি ইঞ্জিনিয়ারিং ক্যালকুলেটর যা আছে অনেক পরিমাণফাংশন, উদাহরণস্বরূপ, সমস্ত গণনা করা প্রাথমিক ফাংশন. ক্যালকুলেটরও সাপোর্ট করে ত্রিকোণমিতিক ফাংশন, ম্যাট্রিক্স, লগারিদম এবং এমনকি প্লটিং।

নিঃসন্দেহে, Web20calc সেই গোষ্ঠীর জন্য আগ্রহী হবে যারা খুঁজছেন সহজ সমাধানডায়াল ইন সার্চ ইঞ্জিনঅনুরোধ: গাণিতিক অনলাইন ক্যালকুলেটর. একটি বিনামূল্যের ওয়েব অ্যাপ্লিকেশন আপনাকে তাৎক্ষণিকভাবে কিছু গাণিতিক অভিব্যক্তির ফলাফল গণনা করতে সাহায্য করবে, উদাহরণস্বরূপ, বিয়োগ, যোগ, ভাগ, মূল বের করা, একটি শক্তি বৃদ্ধি করা ইত্যাদি।

অভিব্যক্তিতে, আপনি সূচক, যোগ, বিয়োগ, গুণ, ভাগ, শতাংশ এবং PI ধ্রুবকের ক্রিয়াকলাপগুলি ব্যবহার করতে পারেন। জটিল গণনার জন্য, বন্ধনী অন্তর্ভুক্ত করা উচিত।

ইঞ্জিনিয়ারিং ক্যালকুলেটরের বৈশিষ্ট্য:

1. মৌলিক গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ;
2. একটি স্ট্যান্ডার্ড আকারে সংখ্যা নিয়ে কাজ করা;
3. ত্রিকোণমিতিক মূল, ফাংশন, লগারিদম, সূচকের গণনা;
4. পরিসংখ্যানগত গণনা: যোগ, গাণিতিক গড় বা আদর্শ বিচ্যুতি;
5. মেমরি কোষ এবং 2 ভেরিয়েবলের কাস্টম ফাংশন ব্যবহার;
6. রেডিয়ান এবং ডিগ্রি পরিমাপে কোণ দিয়ে কাজ করুন।

ইঞ্জিনিয়ারিং ক্যালকুলেটর বিভিন্ন গাণিতিক ফাংশন ব্যবহারের অনুমতি দেয়:

শিকড় নিষ্কাশন (বর্গ, ঘন, এবং nম মূল);
ex (e to the x power), সূচকীয়;
ত্রিকোণমিতিক ফাংশন: sine - sin, cosine - cos, tangent - tan;
বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন: আর্কসাইন - সিন -1, আর্কোসাইন - কস -1, আর্কটেনজেন্ট - ট্যান -1;
হাইপারবোলিক ফাংশন: সাইন - সিন, কোসাইন - কোশ, ট্যানজেন্ট - ট্যানহ;
লগারিদম: বাইনারি লগারিদম থেকে বেস টু - log2x, দশমিক লগারিদম থেকে বেস টেন - লগ, প্রাকৃতিক লগারিদম- ln

এই ইঞ্জিনিয়ারিং ক্যালকুলেটরটিতে রূপান্তর করার ক্ষমতা সহ একটি মান ক্যালকুলেটরও রয়েছে শারীরিক পরিমাণজন্য বিভিন্ন সিস্টেমপরিমাপ - কম্পিউটার ইউনিট, দূরত্ব, ওজন, সময়, ইত্যাদি এই ফাংশনটি ব্যবহার করে, আপনি অবিলম্বে মাইল থেকে কিলোমিটার, পাউন্ড থেকে কিলোগ্রাম, সেকেন্ড থেকে ঘন্টা ইত্যাদি রূপান্তর করতে পারেন।

গাণিতিক গণনা করতে, প্রথমে উপযুক্ত ক্ষেত্রে গাণিতিক রাশির একটি ক্রম লিখুন, তারপর সমান চিহ্নে ক্লিক করুন এবং ফলাফল দেখুন। আপনি কীবোর্ড থেকে সরাসরি মানগুলি প্রবেশ করতে পারেন (এর জন্য, ক্যালকুলেটর এলাকাটি সক্রিয় হতে হবে, তাই ইনপুট ক্ষেত্রে কার্সার স্থাপন করা কার্যকর হবে)। অন্যান্য জিনিসগুলির মধ্যে, ক্যালকুলেটরের বোতামগুলি ব্যবহার করে ডেটা প্রবেশ করা যেতে পারে।

গ্রাফ তৈরি করার জন্য, আপনাকে ইনপুট ক্ষেত্রে ফাংশনটি উদাহরণ সহ ক্ষেত্রে নির্দেশিতভাবে লিখতে হবে বা এর জন্য বিশেষভাবে ডিজাইন করা টুলবার ব্যবহার করতে হবে (এটিতে যেতে, গ্রাফ আইকন সহ বোতামে ক্লিক করুন)। মান রূপান্তর করতে, ম্যাট্রিক্সের সাথে কাজ করতে ইউনিটে ক্লিক করুন, ম্যাট্রিক্সে ক্লিক করুন।

কিছু বীজগাণিতিক উদাহরণ একা স্কুলছাত্রীদের আতঙ্কিত করতে পারে। দীর্ঘ অভিব্যক্তি শুধুমাত্র ভীতিজনক নয়, গণনাকেও খুব কঠিন করে তোলে। তাৎক্ষণিকভাবে বোঝার চেষ্টা করলে কী হয়, বিভ্রান্ত হতে বেশি সময় লাগবে না। এই কারণেই গণিতবিদরা সর্বদা একটি "ভয়ানক" সমস্যাকে যতটা সম্ভব সহজ করার চেষ্টা করেন এবং শুধুমাত্র তখনই এটি সমাধান করতে শুরু করেন। অদ্ভুতভাবে যথেষ্ট, এই কৌশলটি কাজের প্রক্রিয়াটিকে উল্লেখযোগ্যভাবে গতিশীল করে।

সরলীকরণ বীজগণিতের একটি মৌলিক বিষয়। যদি ইন সহজ কাজআপনি এখনও এটি ছাড়া করতে পারেন, কিন্তু যে উদাহরণগুলি গণনা করা আরও কঠিন সেগুলি খুব কঠিন হতে পারে। এখানেই এই দক্ষতাগুলো কাজে আসে! তদুপরি, জটিল গাণিতিক জ্ঞানের প্রয়োজন নেই: এটি কেবলমাত্র কয়েকটি মৌলিক কৌশল এবং সূত্রগুলি অনুশীলনে প্রয়োগ করতে মনে রাখা এবং শিখতে যথেষ্ট হবে।

গণনার জটিলতা যাই হোক না কেন, যেকোন অভিব্যক্তি সমাধান করার সময় এটি গুরুত্বপূর্ণ সংখ্যা সহ ক্রিয়াকলাপ সম্পাদনের ক্রম পর্যবেক্ষণ করুন:

1. বন্ধনী;
2. exponentiation;
3. গুণ
4. বিভাগ
5. যোগ;
6. বিয়োগ

শেষ দুটি পয়েন্ট সহজেই অদলবদল করা যেতে পারে এবং এটি কোনোভাবেই ফলাফলকে প্রভাবিত করবে না। কিন্তু একটির পাশে একটি গুণের চিহ্ন থাকলে দুটি সন্নিহিত সংখ্যা যোগ করা একেবারেই নিষিদ্ধ! উত্তর, যদি থাকে, ভুল। অতএব, আপনি ক্রম মনে রাখা প্রয়োজন.

এই ধরনের ব্যবহার

এই জাতীয় উপাদানগুলির মধ্যে একই ক্রম বা একই ডিগ্রির পরিবর্তনশীল সংখ্যা অন্তর্ভুক্ত। এছাড়াও তথাকথিত বিনামূল্যে সদস্য আছে যে তাদের পাশে নেই চিঠি পদবিঅজানা

মোদ্দা কথা হল বন্ধনীর অনুপস্থিতিতে আপনি অনুরূপ যোগ বা বিয়োগ করে অভিব্যক্তি সহজ করতে পারেন.

কয়েকটি দৃষ্টান্তমূলক উদাহরণ:

• 8x 2 এবং 3x 2 - উভয় সংখ্যারই একই দ্বিতীয় ক্রম পরিবর্তনশীল, তাই তারা একই রকম এবং যোগ করা হলে তারা (8+3)x 2 = 11x 2 এ সরলীকৃত হয়, যখন বিয়োগ করা হয় তখন তারা পায় (8-3)x 2 = 5x 2;
• 4x 3 এবং 6x - এবং এখানে "x" এর বিভিন্ন ডিগ্রি রয়েছে;
• 2y 7 এবং 33x 7 - বিভিন্ন ভেরিয়েবল ধারণ করে, তাই, পূর্বের ক্ষেত্রে, তারা একই রকম নয়।

একটি সংখ্যা ফ্যাক্টরিং

এই সামান্য এক গণিত কৌশল, আপনি যদি এটি সঠিকভাবে ব্যবহার করতে শিখেন তবে ভবিষ্যতে এটি আপনাকে একটি জটিল সমস্যা মোকাবেলায় একাধিকবার সাহায্য করবে। এবং "সিস্টেম" কীভাবে কাজ করে তা বোঝা কঠিন নয়: পচন হ'ল বেশ কয়েকটি উপাদানের পণ্য, যার গণনা মূল মান দেয়. সুতরাং 20 কে 20x1, 2x10, 5x4, 2x5x2 বা অন্য কোন উপায়ে উপস্থাপন করা যেতে পারে।

একটি নোটে: গুণনীয়ক সবসময় ভাজক হিসাবে একই. সুতরাং আপনাকে একটি কার্যকারী "জোড়া" সন্ধান করতে হবে যে সংখ্যাগুলির মধ্যে পচনের জন্য মূলটি অবশিষ্ট ছাড়াই বিভাজ্য।

এই ক্রিয়াকলাপটি বিনামূল্যে পদ এবং একটি পরিবর্তনশীল সংখ্যার সাথে উভয়ই সঞ্চালিত হতে পারে। মূল জিনিসটি গণনার সময় পরেরটি হারাতে হবে না - এমনকি পচে যাওয়ার পরে, অজানা কেবল "কোথাও যেতে পারে না।" এটি গুণকগুলির একটিতে থাকে:

• 15x=3(5x);
• 60y 2 = (15y 2)4।

প্রাইম সংখ্যা যেগুলি শুধুমাত্র নিজেদের দ্বারা ভাগ করা যায় বা 1 কখনই প্রসারিত হয় না - এর কোন মানে হয় না.

সরলীকরণের প্রাথমিক পদ্ধতি

আপনার চোখ ধরা প্রথম জিনিস:

• বন্ধনী উপস্থিতি;
• ভগ্নাংশ;
• শিকড়

স্কুল পাঠ্যক্রমের বীজগণিতের উদাহরণগুলি প্রায়শই এই ধারণা দিয়ে লেখা হয় যে সেগুলি সুন্দরভাবে সরলীকৃত করা যেতে পারে।

বন্ধনীতে গণনা

বন্ধনীর সামনে চিহ্নের দিকে মনোযোগ দিন!প্রতিটি উপাদানের ভিতরে গুণ বা ভাগ প্রয়োগ করা হয় এবং একটি বিয়োগ চিহ্ন বিদ্যমান "+" বা "-" চিহ্নগুলিকে বিপরীত করে।

বন্ধনীগুলি নিয়ম অনুসারে গণনা করা হয় বা সংক্ষিপ্ত গুণের সূত্র ব্যবহার করে, তারপরে অনুরূপগুলি দেওয়া হয়।

ভগ্নাংশ হ্রাস

ভগ্নাংশ কমিয়ে দিনএটাও সহজ। এই ধরনের সদস্যদের আনার জন্য অপারেশন চালানোর সাথে সাথে তারা নিজেরাই "ইচ্ছায় পালিয়ে যায়"। কিন্তু আপনি তার আগে উদাহরণটি সরল করতে পারেন: লব এবং হর এর দিকে মনোযোগ দিন. এগুলিতে প্রায়শই স্পষ্ট বা লুকানো উপাদান থাকে যা পারস্পরিকভাবে হ্রাস করা যায়। সত্য, যদি প্রথম ক্ষেত্রে আপনাকে কেবল অপ্রয়োজনীয়কে অতিক্রম করতে হয়, দ্বিতীয় ক্ষেত্রে আপনাকে ভাবতে হবে, অভিব্যক্তির অংশটিকে সরলীকরণের জন্য গঠন করতে হবে। ব্যবহৃত পদ্ধতি:

• লব এবং হর এর সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক অনুসন্ধান এবং বন্ধনী করা;
• প্রতিটি শীর্ষ উপাদানকে হর দ্বারা ভাগ করা।

যখন একটি অভিব্যক্তি বা অংশ মূলের নীচে থাকে, সরলীকরণের প্রাথমিক কাজটি ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে প্রায় একই রকম। এটি থেকে সম্পূর্ণরূপে পরিত্রাণ পাওয়ার উপায়গুলি সন্ধান করা প্রয়োজন বা, যদি এটি সম্ভব না হয় তবে গণনার সাথে হস্তক্ষেপকারী চিহ্নটিকে হ্রাস করতে। উদাহরণস্বরূপ, অবাধ √(3) বা √(7) পর্যন্ত।

একটি আমূল অভিব্যক্তি সরল করার একটি নিশ্চিত উপায় হল এটিকে ফ্যাক্টর করার চেষ্টা করা, যার মধ্যে কিছু চিহ্নের বাইরেও প্রসারিত। একটি ভাল উদাহরন: √(90)=√(9×10) =√(9)×√(10)=3√(10)।

অন্যান্য ছোট কৌশল এবং সূক্ষ্মতা:

• এই সরলীকরণ ক্রিয়াটি ভগ্নাংশের সাথে সম্পাদিত হতে পারে, এটিকে সম্পূর্ণরূপে এবং পৃথকভাবে লব বা হর হিসাবে উভয় চিহ্নের বাইরে নিয়ে যায়;
• যোগফলের অংশ বা পার্থক্য মূলের বাইরে প্রসারিত এবং নেওয়া যায় না;
• ভেরিয়েবলের সাথে কাজ করার সময়, এটির ডিগ্রী বিবেচনায় নিতে ভুলবেন না, এটি অবশ্যই রুটের সমান বা একাধিক হতে হবে যাতে বের করা যায়: √(x 2 y)=x√(y), √(x 3 )=√(x 2 ×x)=x√(x);
• কখনও কখনও এটি একটি ভগ্নাংশ শক্তিতে উন্নীত করে র্যাডিকাল পরিবর্তনশীল থেকে পরিত্রাণ পাওয়া সম্ভব: √(y 3)=y 3/2।

একটি পাওয়ার এক্সপ্রেশন সরলীকরণ

যদি ক্ষেত্রে সহজ হিসাববিয়োগ বা যোগ দ্বারা, অনুরূপগুলি এনে উদাহরণগুলিকে সরলীকরণ করা হয়, তাহলে বিভিন্ন ডিগ্রী সহ চলকগুলিকে গুণ বা ভাগ করলে কী হবে? দুটি প্রধান পয়েন্ট মনে রেখে এগুলি সহজে সরল করা যেতে পারে:

1. যদি ভেরিয়েবলগুলির মধ্যে একটি গুণের চিহ্ন থাকে তবে ক্ষমতাগুলি যোগ হয়।
2. যখন তারা একে অপরের দ্বারা ভাগ করা হয়, তখন হর এর একই শক্তি লবের শক্তি থেকে বিয়োগ করা হয়।

এই ধরনের সরলীকরণের একমাত্র শর্ত হল উভয় পদেরই ভিত্তি একই। স্বচ্ছতার জন্য উদাহরণ:

• 5x 2 × 4x 7 +(y 13 /y 11)=(5×4)x 2+7 +y 13- 11 =20x 9 +y 2;
• 2z 3 +z×z 2 -(3×z 8 /z 5)=2z 3 +z 1+2 -(3×z 8-5)=2z 3 +z 3 -3z 3 =3z 3 -3z 3 = 0

আমরা লক্ষ্য করি যে ভেরিয়েবলের সামনে সাংখ্যিক মান সহ ক্রিয়াকলাপগুলি সাধারণ গাণিতিক নিয়ম অনুসারে ঘটে। এবং আপনি যদি ঘনিষ্ঠভাবে তাকান তবে এটি স্পষ্ট হয়ে যায় যে অভিব্যক্তিটির শক্তি উপাদানগুলি একইভাবে "কাজ" করে:

• একটি শব্দকে একটি শক্তিতে উন্নীত করার অর্থ হল এটিকে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যক বার গুণ করা, যেমন x 2 = x × x;
• বিভাজন অনুরূপ: আপনি যদি লব এবং হর এর ক্ষমতাগুলিকে প্রসারিত করেন, তাহলে কিছু ভেরিয়েবল বাতিল হয়ে যাবে, বাকিগুলি "সংগৃহীত", যা বিয়োগের সমতুল্য।

যেকোনো কিছুর মতো, বীজগাণিতিক রাশির সরলীকরণের জন্য শুধুমাত্র মৌলিক বিষয়ের জ্ঞানই নয়, অনুশীলনেরও প্রয়োজন। মাত্র কয়েকটি পাঠের পরে, যে উদাহরণগুলি একবার জটিল বলে মনে হয়েছিল সেগুলি অসুবিধা ছাড়াই হ্রাস পাবে। বিশেষ শ্রম, সংক্ষিপ্ত এবং সহজে সমাধান করা.

ভিডিও

এই ভিডিওটি আপনাকে বুঝতে এবং মনে রাখতে সাহায্য করবে কিভাবে অভিব্যক্তি সরলীকৃত হয়।

আপনার প্রশ্নের উত্তর পাননি? লেখকদের একটি বিষয় প্রস্তাব করুন.

বীজগাণিতিক রাশির সরলীকরণ অন্যতম গুরুত্বপূর্ণ দিকবীজগণিত শেখা এবং সমস্ত গণিতবিদদের জন্য একটি অত্যন্ত দরকারী দক্ষতা। সরলীকরণ আপনাকে একটি জটিল বা দীর্ঘ অভিব্যক্তিকে একটি সাধারণ অভিব্যক্তিতে হ্রাস করতে দেয় যা কাজ করা সহজ। সরলীকরণের প্রাথমিক দক্ষতাগুলি তাদের জন্যও ভাল যারা গণিত সম্পর্কে উত্সাহী নয়। বেশ কিছু পর্যবেক্ষণ করে সহজ নিয়ম, আপনি কোনো বিশেষ গাণিতিক জ্ঞান ছাড়াই বীজগাণিতিক রাশির সবচেয়ে সাধারণ ধরনের অনেকগুলি সরলীকরণ করতে পারেন।

ধাপ

গুরুত্বপূর্ণ সংজ্ঞা

1. অনুরূপ সদস্য.এগুলি হল একই অর্ডারের একটি ভেরিয়েবল সহ সদস্য, একই ভেরিয়েবল সহ সদস্য বা মুক্ত সদস্য (সদস্য যেগুলিতে একটি পরিবর্তনশীল নেই)। অন্য কথায়, অনুরূপ পদ একই ডিগ্রীতে একই পরিবর্তনশীল অন্তর্ভুক্ত করে, একই ভেরিয়েবলের বেশ কয়েকটি অন্তর্ভুক্ত করে, অথবা কোনো পরিবর্তনশীলকে একেবারেই অন্তর্ভুক্ত করে না। অভিব্যক্তিতে পদের ক্রম কোন ব্যাপার নয়।

   • উদাহরণস্বরূপ, 3x 2 এবং 4x 2 অনুরূপ পদ কারণ তাদের মধ্যে একটি দ্বিতীয়-ক্রম (দ্বিতীয় শক্তি পর্যন্ত) পরিবর্তনশীল "x" রয়েছে। যাইহোক, x এবং x2 একই পদ নয়, যেহেতু তারা বিভিন্ন আদেশের পরিবর্তনশীল "x" ধারণ করে (প্রথম এবং দ্বিতীয়)। একইভাবে, -3yx এবং 5xz একই পদ নয় কারণ তাদের মধ্যে বিভিন্ন ভেরিয়েবল রয়েছে।

2. ফ্যাক্টরাইজেশন।এটি এমন সংখ্যা খুঁজে বের করছে যার গুণফল আসল সংখ্যার দিকে নিয়ে যায়। যেকোন আসল সংখ্যার অনেকগুলো ফ্যাক্টর থাকতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, 12 নম্বরটি নিম্নলিখিত ধারার গুণনীয়কগুলির মধ্যে তৈরি করা যেতে পারে: 1 × 12, 2 × 6 এবং 3 × 4, তাই আমরা বলতে পারি যে 1, 2, 3, 4, 6 এবং 12 সংখ্যাগুলি গুণনীয়কগুলির গুণনীয়ক। সংখ্যা 12. গুণনীয়কগুলি গুণনীয়কগুলির সমান, অর্থাৎ যে সংখ্যাগুলি দ্বারা মূল সংখ্যাকে ভাগ করা হয়েছে।

   • উদাহরণস্বরূপ, আপনি যদি 20 নম্বরকে ফ্যাক্টর করতে চান তবে এটি এভাবে লিখুন: 4×5।
   • লক্ষ্য করুন যে ফ্যাক্টর করার সময়, পরিবর্তনশীলটি বিবেচনায় নেওয়া হয়। উদাহরণস্বরূপ, 20x = 4(5x).
   • মৌলিক সংখ্যাগুলিকে গুণনীয়ক করা যায় না কারণ সেগুলি শুধুমাত্র নিজেদের দ্বারা বিভাজ্য এবং 1।

3. মনে রাখবেন এবং ভুল এড়াতে অপারেশনের ক্রম অনুসরণ করুন।

   • বন্ধনী
   • ডিগ্রী
   • গুণ
   • বিভাগ
   • যোগ
   • বিয়োগ

   অনুরূপ সদস্যদের আনা

   1. অভিব্যক্তি লিখুন।সহজ বীজগাণিতিক রাশি (যেগুলোতে ভগ্নাংশ, শিকড় ইত্যাদি নেই) মাত্র কয়েকটি ধাপে সমাধান করা যেতে পারে (সরলীকৃত)।

      • উদাহরণস্বরূপ, অভিব্যক্তি সরল করুন 1 + 2x - 3 + 4x.

   2. অনুরূপ পদ সংজ্ঞায়িত করুন (একই আদেশের একটি ভেরিয়েবল সহ পদ, একই ভেরিয়েবল সহ পদ, বা বিনামূল্যের পদ)।

      • এই অভিব্যক্তিতে অনুরূপ পদ খুঁজুন। পদ 2x এবং 4x একই ক্রম (প্রথম) একটি পরিবর্তনশীল ধারণ করে। এছাড়াও, 1 এবং -3 হল বিনামূল্যের পদ (কোন পরিবর্তনশীল নেই)। সুতরাং, এই অভিব্যক্তি পদ 2x এবং 4xঅনুরূপ, এবং সদস্য 1 এবং -3এছাড়াও অনুরূপ.

   3. অনুরূপ সদস্যদের দিন.এর অর্থ তাদের যোগ বা বিয়োগ করা এবং অভিব্যক্তিকে সরল করা।

      • 2x + 4x = 6x
      • 1 - 3 = -2

   4. প্রদত্ত পদগুলি বিবেচনায় নিয়ে অভিব্যক্তিটি পুনরায় লিখুন।আপনি কম পদ সহ একটি সহজ অভিব্যক্তি পাবেন। নতুন অভিব্যক্তিটি আসলটির সমান।

      • আমাদের উদাহরণে: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x - 2, অর্থাৎ, মূল অভিব্যক্তি সরলীকৃত এবং এর সাথে কাজ করা সহজ।

   5. অনুরূপ সদস্যদের আনার সময় অপারেশনের ক্রম অনুসরণ করুন।আমাদের উদাহরণে অনুরূপ পদ প্রদান করা সহজ ছিল। যাইহোক, জটিল অভিব্যক্তির ক্ষেত্রে যে সকল পদে বন্ধনীতে আবদ্ধ থাকে এবং ভগ্নাংশ ও মূল থাকে, এই ধরনের পদগুলি আনা এত সহজ নয়। এই ক্ষেত্রে, অপারেশনের ক্রম অনুসরণ করুন।

      • উদাহরণস্বরূপ, 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x রাশিটি বিবেচনা করুন। এখানে অবিলম্বে 3x এবং 2xকে অনুরূপ পদ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা এবং তাদের উপস্থাপন করা একটি ভুল হবে, কারণ প্রথমে বন্ধনী খুলতে হবে। অতএব, তাদের আদেশ অনুযায়ী অপারেশন সম্পাদন করুন।
        • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x। এখন, যখন অভিব্যক্তিতে শুধুমাত্র যোগ এবং বিয়োগ ক্রিয়া থাকে, আপনি অনুরূপ পদ আনতে পারেন।
        • x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
        • x 2 + 12x + 3

   বন্ধনী থেকে গুণক নেওয়া হচ্ছে

   1. রাশিটির সমস্ত সহগগুলির সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক (GCD) খুঁজুন। GCD হল বৃহত্তম সংখ্যা যার দ্বারা রাশির সমস্ত সহগকে ভাগ করা হয়।

      • উদাহরণস্বরূপ, 9x 2 + 27x - 3 সমীকরণটি বিবেচনা করুন। এই ক্ষেত্রে, GCD = 3, যেহেতু এই রাশিটির যেকোনো সহগ 3 দ্বারা বিভাজ্য।

   2. রাশির প্রতিটি পদকে gcd দ্বারা ভাগ করুন।ফলস্বরূপ পদগুলি মূল অভিব্যক্তির তুলনায় ছোট সহগ ধারণ করবে।

      • আমাদের উদাহরণে, অভিব্যক্তিতে প্রতিটি পদকে 3 দ্বারা ভাগ করুন।
        • 9x 2/3 = 3x 2
        • 27x/3 = 9x
        • -3/3 = -1
        • ফলাফল একটি অভিব্যক্তি ছিল 3x 2 + 9x - 1. এটি মূল অভিব্যক্তির সমান নয়।

   3. মূল রাশিটি gcd এর গুণফল এবং এর ফলে প্রাপ্ত রাশির সমান হিসাবে লিখুন।অর্থাৎ, প্রাপ্ত অভিব্যক্তিটিকে বন্ধনীতে আবদ্ধ করুন এবং বন্ধনী থেকে gcd বের করুন।

      • আমাদের উদাহরণে: 9x 2 + 27x - 3 = 3(3x 2 + 9x - 1)

   4. ফ্যাক্টরটিকে বন্ধনীর বাইরে রেখে ভগ্নাংশের অভিব্যক্তিকে সরলীকরণ করা।কেন শুধু গুণকটিকে বন্ধনীর বাইরে রাখা, যেমনটি আগে করা হয়েছিল? তারপরে, ভগ্নাংশের মতো জটিল অভিব্যক্তিগুলিকে কীভাবে সরল করা যায় তা শিখতে। এই ক্ষেত্রে, ফ্যাক্টরটিকে বন্ধনীর বাইরে রাখলে ভগ্নাংশ (হর থেকে) পরিত্রাণ পেতে সহায়তা করতে পারে।

      • উদাহরণস্বরূপ, ভগ্নাংশের অভিব্যক্তি (9x 2 + 27x - 3)/3 বিবেচনা করুন। এই অভিব্যক্তিকে সরল করতে ফ্যাক্টরিং আউট ব্যবহার করুন।
        • বন্ধনীর মধ্যে 3 এর ফ্যাক্টর রাখুন (যেমন আপনি আগে করেছিলেন): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
        • লক্ষ্য করুন যে এখন লব এবং হর উভয়ের মধ্যে একটি 3 আছে এটিকে প্রকাশ করার জন্য কমানো যেতে পারে: (3x 2 + 9x – 1)/1
        • যেহেতু ভগ্নাংশের হরটিতে 1 নম্বর রয়েছে তা কেবল লবের সমান, তাই মূল ভগ্নাংশের অভিব্যক্তিটি সহজ করে: 3x 2 + 9x - 1.

   অতিরিক্ত সরলীকরণ পদ্ধতি

4. আসুন একটি সাধারণ উদাহরণ দেখি: √(90)। 90 নম্বরকে নিম্নলিখিত ফ্যাক্টরগুলির মধ্যে ফ্যাক্টর করা যেতে পারে: 9 এবং 10, এবং 9 থেকে বের করা হয়েছে বর্গমূল(3) এবং মূলের নিচ থেকে 3টি সরান।
   • √(90)
   • √(9×10)
   • √(9)×√(10)
   • 3×√(10)
   • 3√(10)

5. ক্ষমতা সহ অভিব্যক্তি সরলীকরণ.কিছু অভিব্যক্তিতে ক্ষমতা সহ পদগুলির গুণ বা ভাগের ক্রিয়াকলাপ রয়েছে। একই বেস দিয়ে পদ গুণ করার ক্ষেত্রে, তাদের ক্ষমতা যোগ করা হয়; একই বেস দিয়ে পদকে ভাগ করার ক্ষেত্রে, তাদের ডিগ্রী বিয়োগ করা হয়।

   • উদাহরণস্বরূপ, 6x 3 × 8x 4 + (x 17 /x 15) অভিব্যক্তিটি বিবেচনা করুন। গুণের ক্ষেত্রে, ক্ষমতা যোগ করুন এবং ভাগের ক্ষেত্রে বিয়োগ করুন।
     • 6x 3 × 8x 4 + (x 17 /x 15)
     • (6 × 8) x 3 + 4 + (x 17 - 15)
     • 48x 7 + x 2
   • নিম্নে ক্ষমতা সহ পদগুলিকে গুণ ও ভাগ করার নিয়মগুলির ব্যাখ্যা দেওয়া হল।
     • ক্ষমতার সাথে পদকে গুণ করা মানে নিজের দ্বারা পদকে গুণ করার সমতুল্য। উদাহরণস্বরূপ, যেহেতু x 3 = x × x × x এবং x 5 = x × x × x × x × x, তারপর x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), অথবা x 8।
     • একইভাবে, পদগুলিকে ডিগ্রী দিয়ে ভাগ করা নিজের দ্বারা পদকে ভাগ করার সমতুল্য। x 5 /x 3 = (x × x × x × x × x × x)/(x × x × x)। যেহেতু লব এবং হর উভয়ের মধ্যে পাওয়া একই পদগুলি হ্রাস করা যেতে পারে, তাই দুটি "x" বা x 2 এর গুণফল লবটিতে থেকে যায়।

• অভিব্যক্তির শর্তাবলীর আগে চিহ্নগুলি (প্লাস বা বিয়োগ) সম্পর্কে সর্বদা মনে রাখবেন, কারণ অনেকেরই সঠিক চিহ্নটি চয়ন করতে অসুবিধা হয়।
• প্রয়োজনে সাহায্যের জন্য জিজ্ঞাসা করুন!
• বীজগাণিতিক অভিব্যক্তিকে সরলীকরণ করা সহজ নয়, কিন্তু একবার আপনি এটি বুঝতে পারলে, এটি এমন একটি দক্ষতা যা আপনি আপনার বাকি জীবনের জন্য ব্যবহার করতে পারেন।