হয় ইতিমধ্যে ডেরিভেটিভের সাপেক্ষে সমাধান করা হয়েছে, অথবা সেগুলি ডেরিভেটিভের ক্ষেত্রে সমাধান করা যেতে পারে .

ব্যবধানে ধরনের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ সমাধান এক্স, যা দেওয়া হয়, এই সমতার উভয় পক্ষের অবিচ্ছেদ্য গ্রহণ করে পাওয়া যাবে।

পাওয়া .

বৈশিষ্ট্যের দিকে তাকিয়ে অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য, তারপর আমরা পছন্দসই সাধারণ সমাধান খুঁজে পাই:

y = F(x) + C,

কোথায় F(x)- ফাংশনের অ্যান্টিডেরিভেটিভগুলির মধ্যে একটি f(x)মাঝে এক্স, ক থেকেএকটি নির্বিচারে ধ্রুবক।

অনুগ্রহ করে নোট করুন যে বেশিরভাগ কাজেই ব্যবধান এক্সনির্দেশ করবেন না। এর মানে হল প্রত্যেকের জন্য একটি সমাধান খুঁজে বের করতে হবে। এক্স, যার জন্য এবং পছন্দসই ফাংশন y, এবং মূল সমীকরণটি অর্থপূর্ণ।

আপনি যদি একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি নির্দিষ্ট সমাধান গণনা করতে চান যা প্রাথমিক অবস্থাকে সন্তুষ্ট করে y(x0) = y0, তারপর সাধারণ অবিচ্ছেদ্য গণনা করার পরে y = F(x) + C, এখনও ধ্রুবকের মান নির্ধারণ করা প্রয়োজন C=C0প্রাথমিক অবস্থা ব্যবহার করে। অর্থাৎ একটি ধ্রুবক C=C0সমীকরণ থেকে নির্ধারিত F(x 0) + C = y 0, এবং ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের পছন্দসই বিশেষ সমাধান ফর্মটি গ্রহণ করবে:

y = F(x) + C0.

একটি উদাহরণ বিবেচনা করুন:

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ সমাধান খুঁজুন, ফলাফলের সঠিকতা পরীক্ষা করুন। আসুন এই সমীকরণের একটি নির্দিষ্ট সমাধান খুঁজে বের করি যা প্রাথমিক শর্তটি পূরণ করবে।

সমাধান:

আমরা প্রদত্ত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণটি একীভূত করার পরে, আমরা পাই:

.

আমরা অংশ দ্বারা একীকরণ পদ্ধতি দ্বারা এই অবিচ্ছেদ্য গ্রহণ:

সেই।, হয় সাধারণ সমাধানআঙ্গক.

এর ফলাফল সঠিক কিনা তা নিশ্চিত করতে পরীক্ষা করা যাক। এটি করার জন্য, আমরা প্রদত্ত সমীকরণে যে সমাধানটি পেয়েছি তা প্রতিস্থাপন করি:

.

অর্থাৎ, এ মূল সমীকরণটি একটি পরিচয়ে পরিণত হয়:

অতএব, ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ সমাধান সঠিকভাবে নির্ধারিত হয়েছিল।

আমরা যে সমাধানটি পেয়েছি তা হল আর্গুমেন্টের প্রতিটি বাস্তব মানের জন্য ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ সমাধান এক্স.

এটি ODE-এর একটি নির্দিষ্ট সমাধান গণনা করতে রয়ে গেছে যা প্রাথমিক অবস্থাকে সন্তুষ্ট করবে। অন্য কথায়, ধ্রুবকের মান গণনা করা প্রয়োজন থেকে, যেখানে সমতা সত্য হবে:

.

.

তারপর, প্রতিস্থাপন গ = 2 ODE-এর সাধারণ সমাধানে, আমরা ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি নির্দিষ্ট সমাধান পাই যা প্রাথমিক অবস্থাকে সন্তুষ্ট করে:

.

সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমীকরণের 2টি অংশকে দ্বারা বিভক্ত করে ডেরিভেটিভের ক্ষেত্রে সমাধান করা যেতে পারে f(x). এই রূপান্তর যদি সমতুল্য হবে f(x)কোন জন্য শূন্য যেতে না এক্সডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একীকরণের ব্যবধান থেকে এক্স.

পরিস্থিতি সম্ভবত যখন, যুক্তির কিছু মান জন্য এক্স ∈ এক্সফাংশন f(x)এবং g(x)একই সময়ে শূন্যে পরিণত করুন। অনুরূপ মান জন্য এক্সডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ সমাধান হল যেকোনো ফাংশন y, যা তাদের মধ্যে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, কারণ .

যদি যুক্তির কিছু মানের জন্য এক্স ∈ এক্সশর্তটি সন্তুষ্ট, যার মানে এই ক্ষেত্রে ODE এর কোন সমাধান নেই।

অন্য সকলের জন্য এক্সব্যবধান থেকে এক্সডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ সমাধান রূপান্তরিত সমীকরণ থেকে নির্ধারিত হয়।

আসুন উদাহরণ দেখি:

উদাহরণ 1

আসুন ODE এর সাধারণ সমাধান খুঁজে বের করি: .

সমাধান।

প্রধান বৈশিষ্ট্য থেকে প্রাথমিক ফাংশনএটা স্পষ্ট যে ফাংশন প্রাকৃতিক লগারিদমঅ-নেতিবাচক যুক্তি মানের জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়, তাই অভিব্যক্তির সুযোগ লগ(x+3)একটি ব্যবধান আছে এক্স > -3 . সুতরাং, প্রদত্ত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণটি এর জন্য অর্থপূর্ণ এক্স > -3 . যুক্তি, অভিব্যক্তি এই মান সঙ্গে x + 3অদৃশ্য হয়ে যায় না, তাই কেউ ওডিই সমাধান করতে পারে ডেরিভেটিভের সাপেক্ষে 2টি দ্বারা ভাগ করে x + 3.

আমরা পেতে .

এর পরে, আমরা ডেরিভেটিভের ক্ষেত্রে সমাধান করা ফলস্বরূপ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণকে একীভূত করি: . এই অবিচ্ছেদ্য নিতে, আমরা ডিফারেনশিয়ালের চিহ্নের অধীনে সাবসাম করার পদ্ধতি ব্যবহার করি।

নির্দেশ

যদি সমীকরণটি এইভাবে উপস্থাপন করা হয়: dy/dx = q(x)/n(y), বিভাজ্য ভেরিয়েবল সহ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের বিভাগটি দেখুন। নিম্নরূপ ডিফারেনশিয়ালে শর্ত লিখে সমাধান করা যেতে পারে: n(y)dy = q(x)dx। তারপর উভয় অংশ একত্রিত করুন। কিছু ক্ষেত্রে, সমাধানটি পরিচিত ফাংশন থেকে নেওয়া অখণ্ড আকারে লেখা হয়। উদাহরণস্বরূপ, dy/dx = x/y এর ক্ষেত্রে, আমরা q(x) = x, n(y) = y পাই। এটিকে ydy = xdx হিসাবে লিখুন এবং একত্রিত করুন। আপনার y^2 = x^2 + c পাওয়া উচিত।

রৈখিক থেকে সমীকরণসমীকরণগুলিকে "প্রথম" বৈশিষ্ট্যযুক্ত করুন। এর ডেরিভেটিভ সহ একটি অজানা ফাংশন শুধুমাত্র প্রথম ডিগ্রী পর্যন্ত এই ধরনের সমীকরণে অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে। লিনিয়ারের dy/dx + f(x) = j(x), যেখানে f(x) এবং g(x) ফাংশন x এর উপর নির্ভর করে। সমাধানটি পরিচিত ফাংশন থেকে নেওয়া ইন্টিগ্রেল ব্যবহার করে লেখা হয়।

উল্লেখ্য যে অনেক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ হল সমীকরণ দ্বিতীয় ক্রম(দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ ধারণ করে) এটি, উদাহরণস্বরূপ, সাধারণ হারমোনিক গতির সমীকরণ, যা একটি সাধারণ হিসাবে লেখা: md 2x/dt 2 = –kx। এই ধরনের সমীকরণের আংশিক সমাধান আছে। সরল হারমোনিক গতির সমীকরণটি বেশ গুরুত্বপূর্ণ কিছুর একটি উদাহরণ: রৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ যার একটি ধ্রুবক সহগ রয়েছে।

সমস্যা অবস্থার মধ্যে যদি শুধুমাত্র একটি আছে একঘাত সমীকরণ, যার মানে হল যে আপনাকে অতিরিক্ত শর্ত দেওয়া হয়েছে যার কারণে আপনি একটি সমাধান খুঁজে পেতে পারেন। এই শর্তগুলি খুঁজে পেতে সমস্যাটি সাবধানে পড়ুন। যদি একটি ভেরিয়েবল x এবং y হল দূরত্ব, গতি, ওজন - নির্দ্বিধায় x≥0 এবং y≥0 সীমা সেট করুন। এটা খুবই সম্ভব যে x বা y , আপেল ইত্যাদির সংখ্যা লুকিয়ে রেখেছে। - তাহলে মানগুলি কেবল হতে পারে। যদি x পুত্রের বয়স হয়, তবে এটি স্পষ্ট যে সে তার পিতার চেয়ে বড় হতে পারে না, তাই সমস্যার শর্তে এটি নির্দেশ করুন।

সূত্র:

• কিভাবে একটি ভেরিয়েবল দিয়ে একটি সমীকরণ সমাধান করা যায়

ডিফারেনশিয়াল এবং ইন্টিগ্রাল ক্যালকুলাসের জন্য সমস্যা হয় গুরুত্বপূর্ণ উপাদানগাণিতিক বিশ্লেষণের তত্ত্বের একীকরণ, উচ্চতর গণিতের একটি বিভাগ যা বিশ্ববিদ্যালয়গুলিতে অধ্যয়ন করা হয়। ডিফারেনশিয়াল সমীকরণটিইন্টিগ্রেশন পদ্ধতি দ্বারা সমাধান করা হয়.

নির্দেশ

ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাস বৈশিষ্ট্যগুলি তদন্ত করে। বিপরীতভাবে, একটি ফাংশনের একীকরণ অনুমতি দেয়, প্রদত্ত বৈশিষ্ট্য অনুযায়ী, যেমন একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ বা ডিফারেনশিয়াল এটি নিজেই খুঁজে বের করতে। এটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধান।

যে কোনো একটি অজানা পরিমাণ এবং পরিচিত ডেটার মধ্যে একটি অনুপাত। একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের ক্ষেত্রে, অজানাটির ভূমিকাটি ফাংশন দ্বারা এবং পরিচিত পরিমাণের ভূমিকাটি এর ডেরিভেটিভ দ্বারা অভিনয় করা হয়। উপরন্তু, অনুপাত একটি স্বাধীন পরিবর্তনশীল থাকতে পারে: F(x, y(x), y'(x), y''(x),…, y^n(x)) = 0, যেখানে x একটি অজানা পরিবর্তনশীল, y (x) হল যে ফাংশনটি নির্ধারণ করা হবে, সমীকরণের ক্রম হল ডেরিভেটিভ (n) এর সর্বোচ্চ ক্রম।

এই ধরনের সমীকরণকে সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ বলা হয়। যদি এই ভেরিয়েবলগুলির সাপেক্ষে ফাংশনের সম্পর্ক এবং আংশিক ডেরিভেটিভের (পার্থক্য) মধ্যে বেশ কয়েকটি স্বাধীন চলক থাকে, তবে সমীকরণটিকে আংশিক ডেরিভেটিভের সাথে একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ বলা হয় এবং এর ফর্ম রয়েছে: x∂z/∂y - ∂z/∂ x = 0, যেখানে z(x, y) হল কাঙ্খিত ফাংশন।

সুতরাং, ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি কীভাবে সমাধান করতে হয় তা শিখতে, আপনাকে অ্যান্টিডেরিভেটিভগুলি খুঁজে পেতে সক্ষম হতে হবে, যেমন বিপরীত পার্থক্যের সমস্যা সমাধান করুন। উদাহরণস্বরূপ: প্রথম ক্রম সমীকরণ y’ = -y/x সমাধান করুন।

সমাধান y' কে dy/dx দিয়ে প্রতিস্থাপন করুন: dy/dx = -y/x।

সমীকরণটি একীকরণের জন্য সুবিধাজনক একটি ফর্মে আনুন। এটি করার জন্য, উভয় পক্ষকে dx দ্বারা গুণ করুন এবং y:dy/y = -dx/x দ্বারা ভাগ করুন।

ইন্টিগ্রেট করুন: ∫dy/y = - ∫dx/x + Сln |y| = - লগ |x| +গ.

এই সমাধানকে সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ বলা হয়। C হল একটি ধ্রুবক যার মানের সেট সমীকরণের সমাধানের সেট নির্ধারণ করে। C-এর কোনো নির্দিষ্ট মানের জন্য, সমাধান হবে অনন্য। এই জাতীয় সমাধান একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি নির্দিষ্ট সমাধান।

উচ্চতর অধিকাংশ সমীকরণের সমাধান ডিগ্রীএকটি স্পষ্ট সূত্র নেই, যেমন একটি বর্গক্ষেত্রের শিকড় খুঁজে বের করা সমীকরণ. যাইহোক, বেশ কয়েকটি হ্রাস পদ্ধতি রয়েছে যা আপনাকে সমীকরণটি রূপান্তর করতে দেয় সর্বোচ্চ ডিগ্রীআরও চাক্ষুষ দৃশ্যে।

নির্দেশ

উচ্চতর ডিগ্রির সমীকরণ সমাধানের সবচেয়ে সাধারণ পদ্ধতি হল প্রসারণ। এই পদ্ধতিটি হল পূর্ণসংখ্যার মূল নির্বাচন, মুক্ত পদের ভাজক এবং সাধারণ বহুপদীর পরবর্তী বিভাজন ফর্ম (x - x0) এর সংমিশ্রণ।

উদাহরণস্বরূপ, সমীকরণটি সমাধান করুন x^4 + x³ + 2 x² - x - 3 = 0। সমাধান। এই বহুপদীর মুক্ত সদস্য হল -3, তাই এর পূর্ণসংখ্যা ভাজক ±1 এবং ±3 হতে পারে। তাদের একে একে সমীকরণে প্রতিস্থাপন করুন এবং আপনি পরিচয় পান কিনা তা সন্ধান করুন: 1: 1 + 1 + 2 - 1 - 3 = 0।

দ্বিতীয় মূল x = -1। রাশি দ্বারা ভাগ করুন (x + 1)। ফলস্বরূপ সমীকরণটি লিখুন (x - 1) (x + 1) (x² + x + 3) = 0। ডিগ্রিটি দ্বিতীয় স্থানে নেমে গেছে, তাই, সমীকরণটির আরও দুটি মূল থাকতে পারে। তাদের খুঁজে পেতে, দ্বিঘাত সমীকরণটি সমাধান করুন: x² + x + 3 = 0D = 1 - 12 = -11

বৈষম্যকারী একটি নেতিবাচক মান, যার মানে হল যে সমীকরণটির আর প্রকৃত শিকড় নেই। সমীকরণের জটিল মূল খুঁজুন: x = (-2 + i √11)/2 এবং x = (-2 – i √11)/2।

উচ্চতর ডিগ্রি সমীকরণ সমাধানের আরেকটি পদ্ধতি হল ভেরিয়েবলকে বর্গক্ষেত্রে পরিবর্তন করা। এই পদ্ধতিটি ব্যবহার করা হয় যখন সমীকরণের সমস্ত শক্তি সমান হয়, উদাহরণস্বরূপ: x^4 - 13 x² + 36 = 0

এখন মূল সমীকরণের মূল খুঁজুন: x1 = √9 = ±3; x2 = √4 = ±2।

টিপ 10: কিভাবে রেডক্স সমীকরণ নির্ধারণ করবেন

একটি রাসায়নিক বিক্রিয়া হল পদার্থের রূপান্তরের একটি প্রক্রিয়া যা তাদের গঠনের পরিবর্তনের সাথে ঘটে। যে পদার্থগুলি বিক্রিয়ায় প্রবেশ করে তাকে প্রাথমিক বলা হয় এবং এই প্রক্রিয়ার ফলে যে পদার্থগুলি গঠিত হয় তাকে পণ্য বলা হয়। এটা ঘটে যে সময় রাসায়নিক বিক্রিয়াযে উপাদানগুলি প্রারম্ভিক উপাদানগুলি তৈরি করে তাদের অক্সিডেশন অবস্থা পরিবর্তন করে। অর্থাৎ, তারা অন্য মানুষের ইলেকট্রন গ্রহণ করতে পারে এবং তাদের নিজস্ব দিতে পারে। উভয় ক্ষেত্রেই, তাদের চার্জ পরিবর্তিত হয়। এই ধরনের প্রতিক্রিয়াকে রেডক্স প্রতিক্রিয়া বলা হয়।

দ্বিতীয় ক্রমটির একটি রৈখিক সমজাতীয় সমীকরণ বিবেচনা করুন, যেমন সমীকরণটি

এবং এর সমাধানগুলির কিছু বৈশিষ্ট্য স্থাপন করুন।

সম্পত্তি 1
যদি একটি রৈখিক সমজাতীয় সমীকরণের সমাধান হয়, তাহলে গ, কোথায় গ- একটি নির্বিচারে ধ্রুবক, একই সমীকরণের একটি সমাধান।
প্রমাণ।
বিবেচিত সমীকরণের বাম দিকে প্রতিস্থাপন করা গ, আমরা পেতে: ,
কিন্তু যেহেতু মূল সমীকরণের একটি সমাধান।
অতএব,

এবং এই সম্পত্তির বৈধতা প্রমাণিত হয়।

সম্পত্তি 2
একটি রৈখিক সমজাতীয় সমীকরণের দুটি সমাধানের যোগফল একই সমীকরণের একটি সমাধান।
প্রমাণ।
তাহলে বিবেচনা করা সমীকরণের সমাধান হোক
এবং .
এখন প্রতিস্থাপন + বিবেচনাধীন সমীকরণে, আমাদের থাকবে:
, অর্থাৎ + হল মূল সমীকরণের সমাধান।
এটি প্রমাণিত বৈশিষ্ট্যগুলি থেকে অনুসরণ করে যে, দুটি নির্দিষ্ট সমাধান এবং একটি দ্বিতীয়-ক্রম রৈখিক সমজাতীয় সমীকরণ জেনে, আমরা একটি সমাধান পেতে পারি , দুটি নির্বিচারে ধ্রুবকের উপর নির্ভর করে, যেমন দ্বিতীয়-ক্রম সমীকরণের সাধারণ সমাধানে যতগুলি ধ্রুবক থাকা উচিত। কিন্তু এই সমাধান কি সাধারণ হবে, যেমন? নির্বিচারে ধ্রুবক নির্বাচন করে, নির্বিচারে প্রদত্ত প্রাথমিক শর্তগুলি পূরণ করা কি সম্ভব?
এই প্রশ্নের উত্তরে, আমরা ফাংশনের রৈখিক স্বাধীনতার ধারণাটি ব্যবহার করব, যা নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে।

দুটি ফাংশন এবং বলা হয় রৈখিকভাবে স্বাধীনকিছু ব্যবধানে, যদি এই ব্যবধানে তাদের অনুপাত ধ্রুবক না হয়, যেমন যদি
.
অন্যথায়, ফাংশন বলা হয় রৈখিকভাবে নির্ভরশীল.
অন্য কথায়, দুটি ফাংশন এবং বলা হয় রৈখিকভাবে কিছু ব্যবধানের উপর নির্ভরশীল যদি পুরো ব্যবধানের উপর।

উদাহরণ

1. ফাংশন y 1 =ই এক্স এবং y 2 =ই -এক্স x এর সমস্ত মানের জন্য রৈখিকভাবে স্বাধীন, কারণ
.
2. ফাংশন y 1 =ই এক্স এবং y 2 = 5e এক্স রৈখিকভাবে নির্ভরশীল, যেহেতু
.

উপপাদ্য ঘ.

যদি ফাংশন এবং রৈখিকভাবে কিছু ব্যবধানের উপর নির্ভরশীল হয়, তাহলে নির্ধারক , বলা হয় ভ্রনস্কির নির্ধারক এই ফাংশনগুলির মধ্যে, এই ব্যবধানে শূন্যের সমান।

প্রমাণ।

যদি একটি
,
কোথায়, তারপর এবং
অতএব,
.
উপপাদ্য প্রমাণিত হয়েছে।

মন্তব্য করুন।
বিবেচিত উপপাদ্যে উপস্থিত ভ্রনস্কি নির্ধারক সাধারণত অক্ষর দ্বারা চিহ্নিত করা হয় ডব্লিউবা প্রতীক .
যদি ফাংশনগুলি এবং দ্বিতীয় ক্রমটির একটি রৈখিক সমজাতীয় সমীকরণের সমাধান হয়, তাহলে নিম্নলিখিত বিপরীত এবং অধিকতর, শক্তিশালী উপপাদ্য তাদের জন্য ধারণ করে।

উপপাদ্য 2।

যদি রনস্কি নির্ধারক, সমাধানের জন্য সংকলিত হয় এবং একটি দ্বিতীয়-ক্রম রৈখিক সমজাতীয় সমীকরণ, অন্তত এক সময়ে অদৃশ্য হয়ে যায়, তাহলে এই সমাধানগুলি রৈখিকভাবে নির্ভরশীল।

প্রমাণ।

রনস্কি নির্ধারক বিন্দুতে অদৃশ্য হয়ে যাক, যেমন =0,
এবং যাক এবং.
একটি রৈখিক সমজাতীয় সিস্টেম বিবেচনা করুন

অজানা এবং .
এই সিস্টেমের নির্ধারক ভ্রনস্কি নির্ধারকের মানের সাথে মিলে যায়
x=, অর্থাৎ এর সাথে মিলে যায়, এবং তাই, শূন্যের সমান। অতএব, সিস্টেমের একটি অ-শূন্য সমাধান রয়েছে এবং (এবং শূন্যের সমান নয়)। এই মানগুলি ব্যবহার করে এবং ফাংশনটি বিবেচনা করুন। এই ফাংশনটি ফাংশন এবং একই সমীকরণের একটি সমাধান। উপরন্তু, এই ফাংশন শূন্য প্রাথমিক শর্ত সন্তুষ্ট করে: , কারণ এবং .
অন্যদিকে, এটা স্পষ্ট যে শূন্য প্রাথমিক অবস্থাকে সন্তুষ্টকারী সমীকরণের সমাধান হল ফাংশন y=0.
সমাধানের স্বতন্ত্রতার কারণে, আমাদের আছে: . কোথা থেকে এটা যে অনুসরণ
,
সেগুলো. ফাংশন এবং রৈখিকভাবে নির্ভরশীল। উপপাদ্য প্রমাণিত হয়েছে।

পরিণতি।

1. যদি উপপাদ্যগুলিতে উপস্থিত রনস্কি নির্ধারক কিছু মানের জন্য শূন্যের সমান হয় x=, তাহলে এটি যেকোনো মানের জন্য শূন্যের সমান এক্সবিবেচিত ব্যবধান থেকে।

2. যদি সমাধানগুলি এবং রৈখিকভাবে স্বাধীন হয়, তাহলে বিবেচিত ব্যবধানের কোনো সময়েই রনস্কি নির্ধারক অদৃশ্য হয়ে যায় না।

3. যদি রনস্কি নির্ধারক অন্তত একটি বিন্দুতে শূন্য থেকে ভিন্ন হয়, তাহলে সমাধানগুলি এবং রৈখিকভাবে স্বাধীন।

উপপাদ্য 3.

যদি এবং একটি দ্বিতীয়-ক্রম সমজাতীয় সমীকরণের দুটি রৈখিকভাবে স্বাধীন সমাধান হয়, তাহলে ফাংশন, যেখানে এবং নির্বিচারে ধ্রুবক, এই সমীকরণের একটি সাধারণ সমাধান।

প্রমাণ।

যেমনটি জানা যায়, ফাংশনটি এবং এর যেকোনো মানের জন্য বিবেচিত সমীকরণের একটি সমাধান। এবার প্রমাণ করা যাক প্রাথমিক শর্ত যাই হোক না কেন
এবং ,
কেউ নির্বিচারে ধ্রুবকের মানগুলি বেছে নিতে পারে এবং যাতে সংশ্লিষ্ট নির্দিষ্ট সমাধানটি প্রদত্ত প্রাথমিক শর্তগুলিকে সন্তুষ্ট করে।
প্রাথমিক শর্তগুলিকে সমতায় প্রতিস্থাপন করে, আমরা সমীকরণের সিস্টেম পাই
.
এই সিস্টেম থেকে এটি নির্ধারণ করা সম্ভব এবং , কারণ এই সিস্টেমের নির্ধারক

এর জন্য রনস্কি নির্ধারক x=এবং, তাই, শূন্যের সমান নয় (সমাধানগুলির রৈখিক স্বাধীনতার কারণে এবং )।

; .

প্রাপ্ত মানগুলির জন্য একটি নির্দিষ্ট সমাধান এবং প্রদত্ত প্রাথমিক শর্তগুলিকে সন্তুষ্ট করে। সুতরাং, উপপাদ্য প্রমাণিত হয়।

উদাহরণ

উদাহরণ 1

সমীকরণের সাধারণ সমাধান হল সমাধান।
সত্যিই,
.

অতএব, ফাংশন sinx এবং cosx রৈখিকভাবে স্বাধীন। এই ফাংশনগুলির সম্পর্ক বিবেচনা করে এটি যাচাই করা যেতে পারে:

.

উদাহরণ 2

সমাধান y = C 1 e এক্স + গ 2 e -এক্স সমীকরণ সাধারণ, কারণ .

উদাহরণ 3

সমীকরণটি , যার সহগ এবং
বিন্দু x = 0 ধারণ করে না এমন যেকোনো ব্যবধানে অবিচ্ছিন্ন থাকে, বিশেষ সমাধান স্বীকার করে

(প্রতিস্থাপন দ্বারা চেক করা সহজ)। অতএব, এর সাধারণ সমাধান হল:
.

মন্তব্য করুন

আমরা প্রতিষ্ঠিত করেছি যে একটি দ্বিতীয়-ক্রম রৈখিক সমজাতীয় সমীকরণের সাধারণ সমাধান এই সমীকরণের যেকোনো দুটি রৈখিক স্বাধীন বিশেষ সমাধান জেনে নেওয়া যেতে পারে। যাইহোক, পরিবর্তনশীল সহগ সমীকরণের জন্য চূড়ান্ত আকারে এই ধরনের আংশিক সমাধান খুঁজে বের করার জন্য কোন সাধারণ পদ্ধতি নেই। ধ্রুবক সহগ সহ সমীকরণের জন্য, এই জাতীয় একটি পদ্ধতি বিদ্যমান এবং আমরা পরে বিবেচনা করব।

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধান। আমাদের ধন্যবাদ অনলাইন পরিষেবাআপনি যেকোন ধরণের এবং জটিলতার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধান করতে পারেন: একজাতীয়, সমজাতীয়, অ-রৈখিক, রৈখিক, প্রথম, দ্বিতীয় ক্রম, বিভাজ্য বা অ-বিভাজ্য চলক সহ। আপনি বিশ্লেষণাত্মক আকারে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধান পাবেন বিস্তারিত বিবরণ. অনেকেই আগ্রহী: কেন অনলাইনে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধান করা প্রয়োজন? এই রকমগণিত এবং পদার্থবিদ্যায় সমীকরণ খুবই সাধারণ, যেখানে একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ গণনা না করে অনেক সমস্যার সমাধান করা অসম্ভব। এছাড়াও, ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি অর্থনীতি, চিকিৎসা, জীববিজ্ঞান, রসায়ন এবং অন্যান্য বিজ্ঞানগুলিতে সাধারণ। এই জাতীয় সমীকরণ অনলাইনে সমাধান করা আপনার কাজগুলিকে ব্যাপকভাবে সহজ করে তোলে, উপাদানটিকে আরও ভালভাবে বোঝা এবং নিজেকে পরীক্ষা করা সম্ভব করে তোলে। অনলাইন ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধানের সুবিধা। একটি আধুনিক গাণিতিক পরিষেবা সাইট আপনাকে যেকোনো জটিলতার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ অনলাইনে সমাধান করতে দেয়। আপনি জানেন যে আছে প্রচুর পরিমাণেডিফারেনশিয়াল সমীকরণের প্রকার এবং তাদের প্রত্যেকের সমাধানের নিজস্ব পদ্ধতি রয়েছে। আমাদের পরিষেবাতে আপনি অনলাইনে যেকোনো অর্ডার এবং টাইপের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধান খুঁজে পেতে পারেন। একটি সমাধান পেতে, আমরা আপনাকে প্রাথমিক ডেটা পূরণ করার পরামর্শ দিই এবং "সমাধান" বোতামে ক্লিক করুন। পরিষেবার অপারেশনে ত্রুটিগুলি বাদ দেওয়া হয়েছে, তাই আপনি 100% নিশ্চিত হতে পারেন যে আপনি সঠিক উত্তর পেয়েছেন৷ আমাদের পরিষেবার সাথে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি সমাধান করুন। অনলাইন ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধান করুন। ডিফল্টরূপে, এই ধরনের একটি সমীকরণে, y ফাংশন x ভেরিয়েবলের একটি ফাংশন। কিন্তু আপনি আপনার নিজস্ব পরিবর্তনশীল পদবি সেট করতে পারেন। উদাহরণস্বরূপ, যদি আপনি একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণে y(t) নির্দিষ্ট করেন, তাহলে আমাদের পরিষেবা স্বয়ংক্রিয়ভাবে নির্ধারণ করবে যে y টি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশন। সম্পূর্ণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের ক্রম সমীকরণে উপস্থিত ফাংশনের ডেরিভেটিভের সর্বাধিক ক্রম উপর নির্ভর করবে। এই ধরনের সমীকরণ সমাধান করার অর্থ হল পছন্দসই ফাংশন খুঁজে বের করা। আমাদের পরিষেবা আপনাকে অনলাইনে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি সমাধান করতে সহায়তা করবে। সমীকরণটি সমাধান করতে আপনার পক্ষ থেকে খুব বেশি প্রচেষ্টা লাগে না। আপনাকে প্রয়োজনীয় ক্ষেত্রগুলিতে আপনার সমীকরণের বাম এবং ডান অংশগুলি প্রবেশ করতে হবে এবং "সমাধান" বোতামে ক্লিক করতে হবে। একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ প্রবেশ করার সময়, এটি একটি apostrophe দিয়ে বোঝানো প্রয়োজন। কয়েক সেকেন্ডের মধ্যে আপনার কাছে থাকবে বিস্তারিত সমাধানআঙ্গক. আমাদের সেবা একেবারে বিনামূল্যে. বিভাজ্য ভেরিয়েবল সহ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ। যদি বাম দিকে একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণে একটি রাশি থাকে যা y এর উপর নির্ভর করে এবং ডানদিকে একটি রাশি থাকে যা x এর উপর নির্ভর করে, তাহলে এই ধরনের একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণকে বিভাজ্য চলক দিয়ে বলা হয়। বাম দিকে y এর একটি ডেরিভেটিভ থাকতে পারে, এই ধরণের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধানটি y এর একটি ফাংশন আকারে হবে, সমীকরণের ডান পাশের অবিচ্ছেদ্য মাধ্যমে প্রকাশ করা হবে। যদি বাম পাশে y এর একটি ফাংশনের পার্থক্য থাকে, তাহলে সমীকরণের উভয় অংশই একত্রিত হয়। যখন একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের ভেরিয়েবলগুলিকে আলাদা করা হয় না, তখন একটি পৃথক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ পাওয়ার জন্য তাদের ভাগ করতে হবে। লিনিয়ার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ। একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণকে রৈখিক বলা হয় যদি ফাংশন এবং এর সমস্ত ডেরিভেটিভগুলি প্রথম ডিগ্রিতে থাকে। সাধারণ ফর্মসমীকরণ: y'+a1(x)y=f(x)। f(x) এবং a1(x) হল x এর একটানা ফাংশন। এই ধরনের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধানটি পৃথক ভেরিয়েবলের সাথে দুটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একীকরণে হ্রাস করা হয়। ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের ক্রম। ডিফারেনশিয়াল সমীকরণটি প্রথম, দ্বিতীয়, এন-ম ক্রম হতে পারে। একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের ক্রম এটিতে থাকা সর্বোচ্চ ডেরিভেটিভের ক্রম নির্ধারণ করে। আমাদের পরিষেবাতে আপনি প্রথম, দ্বিতীয়, তৃতীয় ইত্যাদির অনলাইন ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি সমাধান করতে পারেন। আদেশ সমীকরণের সমাধান হবে যেকোনো ফাংশন y=f(x), যাকে সমীকরণে প্রতিস্থাপন করলে আপনি একটি পরিচয় পাবেন। একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধান খোঁজার প্রক্রিয়াকে ইন্টিগ্রেশন বলে। কচি সমস্যা। যদি, ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ ছাড়াও, প্রাথমিক অবস্থা y(x0)=y0 নির্দিষ্ট করা হয়, তাহলে একে কচি সমস্যা বলা হয়। সূচক y0 এবং x0 সমীকরণের সমাধানে যোগ করা হয় এবং একটি নির্বিচারে ধ্রুবক C-এর মান নির্ধারণ করা হয়, এবং তারপর C-এর এই মানের জন্য সমীকরণের একটি নির্দিষ্ট সমাধান। এটি কচি সমস্যার সমাধান। Cauchy সমস্যাকে সীমানা অবস্থার সমস্যাও বলা হয়, যা পদার্থবিদ্যা এবং মেকানিক্সে খুবই সাধারণ। আপনি কচি সমস্যা সেট করার সুযোগ আছে, যে, সব থেকে সম্ভাব্য সমাধানসমীকরণের, প্রদত্ত প্রাথমিক শর্ত পূরণ করে এমন একটি ভাগফল বেছে নিন।

শিক্ষা প্রতিষ্ঠান "বেলারুশিয়ান রাজ্য

কৃষি একাডেমী"

উচ্চতর গণিত বিভাগ

ফার্স্ট অর্ডার ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশন

অ্যাকাউন্টিং ছাত্রদের জন্য বক্তৃতা সারাংশ

শিক্ষার চিঠিপত্র ফর্ম (NISPO)

গোর্কি, 2013

ফার্স্ট অর্ডার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ

একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের ধারণা। সাধারণ এবং বিশেষ সমাধান

বিভিন্ন ঘটনা অধ্যয়ন করার সময়, স্বাধীন পরিবর্তনশীল এবং পছন্দসই ফাংশনকে সরাসরি সংযুক্ত করে এমন একটি আইন খুঁজে পাওয়া প্রায়ই সম্ভব হয় না, তবে কাঙ্ক্ষিত ফাংশন এবং এর ডেরিভেটিভগুলির মধ্যে একটি সংযোগ স্থাপন করা সম্ভব।

স্বাধীন চলক, কাঙ্খিত ফাংশন এবং এর ডেরিভেটিভের সাথে সংযোগকারী সম্পর্ককে বলা হয় আঙ্গক :

এখানে এক্সএকটি স্বাধীন পরিবর্তনশীল, yকাঙ্ক্ষিত ফাংশন,
কাঙ্ক্ষিত ফাংশনের ডেরিভেটিভস। এই ক্ষেত্রে, সম্পর্ক (1) কমপক্ষে একটি ডেরিভেটিভের উপস্থিতি প্রয়োজন।

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের ক্রম সমীকরণের সর্বোচ্চ ডেরিভেটিভের ক্রম।

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ বিবেচনা করুন

. (2)

যেহেতু এই সমীকরণটিতে শুধুমাত্র প্রথম ক্রমটির একটি ডেরিভেটিভ অন্তর্ভুক্ত রয়েছে, তখন এটি বলা হয় একটি প্রথম-ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ।

যদি সমীকরণ (2) ডেরিভেটিভের সাপেক্ষে সমাধান করা যায় এবং হিসাবে লিখিত হয়

, (3)

তাহলে এই ধরনের সমীকরণকে স্বাভাবিক আকারে প্রথম-ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ বলা হয়।

অনেক ক্ষেত্রে ফর্মের সমীকরণ বিবেচনা করা সমীচীন

যা বলা হয় একটি প্রথম ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ ডিফারেনশিয়াল আকারে লেখা।

কারণ
, তারপর সমীকরণ (3) হিসাবে লেখা যেতে পারে
বা
, যেখানে একজন গণনা করতে পারে
এবং
. এর মানে হল যে সমীকরণ (3) সমীকরণে রূপান্তরিত হয়েছে (4)।

আমরা সমীকরণ (4) আকারে লিখি
. তারপর
,
,
, যেখানে একজন গণনা করতে পারে
, অর্থাৎ ফর্মের একটি সমীকরণ (3) পাওয়া যায়। সুতরাং, সমীকরণ (3) এবং (4) সমতুল্য।

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধান করে (2) বা (3) যে কোন ফাংশন বলা হয়
, যা, এটিকে সমীকরণে প্রতিস্থাপন করার সময় (2) বা (3), এটিকে একটি পরিচয়ে পরিণত করে:

বা
.

একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমস্ত সমাধান খুঁজে বের করার প্রক্রিয়াটিকে বলা হয় মিশ্রণ , এবং সমাধান গ্রাফ
ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ বলা হয় অবিচ্ছেদ্য বক্ররেখা এই সমীকরণ।

যদি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধান অন্তর্নিহিত আকারে পাওয়া যায়
, তারপর এটা বলা হয় অবিচ্ছেদ্য প্রদত্ত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ।

সাধারণ সমাধান প্রথম অর্ডারের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ হল ফর্মের ফাংশনের একটি পরিবার
, একটি নির্বিচারে ধ্রুবকের উপর নির্ভর করে থেকে, যার প্রত্যেকটি একটি নির্বিচারী ধ্রুবকের যেকোনো গ্রহণযোগ্য মানের জন্য প্রদত্ত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি সমাধান থেকে. এইভাবে, ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের অসীম সংখ্যক সমাধান রয়েছে।

ব্যক্তিগত সিদ্ধান্ত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণকে একটি নির্বিচারী ধ্রুবকের একটি নির্দিষ্ট মানের জন্য সাধারণ সমাধান সূত্র থেকে প্রাপ্ত সমাধান বলা হয় থেকে, সহ
.

কচি সমস্যা এবং এর জ্যামিতিক ব্যাখ্যা

সমীকরণ (2) অসীম সংখ্যক সমাধান রয়েছে। এই সেট থেকে একটি সমাধান বের করার জন্য, যাকে একটি নির্দিষ্ট সমাধান বলা হয়, কিছু অতিরিক্ত শর্ত নির্দিষ্ট করতে হবে।

প্রদত্ত অবস্থার অধীনে সমীকরণ (2) এর একটি নির্দিষ্ট সমাধান খুঁজে বের করার সমস্যা বলা হয় কচি সমস্যা . ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের তত্ত্বে এই সমস্যাটি সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ।

কচি সমস্যাটি নিম্নরূপ প্রণয়ন করা হয়েছে: সমীকরণের সমস্ত সমাধানের মধ্যে (2) এমন একটি সমাধান বের করুন
, যা ফাংশন
একটি প্রদত্ত সাংখ্যিক মান নেয় যদি স্বাধীন পরিবর্তনশীল এক্স একটি প্রদত্ত সাংখ্যিক মান নেয় , অর্থাৎ

,
, (5)

কোথায় ডিফাংশনের ডোমেইন
.

অর্থ ডাকা ফাংশনের প্রাথমিক মান , ক – স্বাধীন ভেরিয়েবলের প্রাথমিক মান . শর্ত (5) বলা হয় প্রাথমিক অবস্থা বা কচি অবস্থা .

জ্যামিতিক দৃষ্টিকোণ থেকে, ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ (2) এর জন্য কচি সমস্যাটি নিম্নরূপ প্রণয়ন করা যেতে পারে: সমীকরণের অবিচ্ছেদ্য বক্ররেখার সেট থেকে (2) একটি নির্দিষ্ট বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি নির্বাচন করুন
.

বিভাজ্য ভেরিয়েবল সহ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলির একটি সহজ প্রকার হল একটি প্রথম-ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ যাতে পছন্দসই ফাংশন থাকে না:

. (6)

দেত্তয়া আছে
, আমরা ফর্মে সমীকরণ লিখি
বা
. শেষ সমীকরণের উভয় পক্ষকে একীভূত করে, আমরা পাই:
বা

. (7)

সুতরাং, (7) হল সমীকরণের একটি সাধারণ সমাধান (6)।

উদাহরণ 1 . ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ সমাধান খুঁজুন
.

সমাধান . আমরা ফর্মে সমীকরণ লিখি
বা
. আমরা ফলস্বরূপ সমীকরণের উভয় অংশকে একীভূত করি:
,
. শেষ পর্যন্ত লিখি
.

উদাহরণ 2 . সমীকরণের একটি সমাধান খুঁজুন
শর্তে
.

সমাধান . আসুন সমীকরণের সাধারণ সমাধান খুঁজে বের করা যাক:
,
,
,
. শর্ত অনুসারে
,
. সাধারণ সমাধানে বিকল্প:
বা
. আমরা সাধারণ সমাধানের সূত্রে একটি নির্বিচারে ধ্রুবকের পাওয়া মান প্রতিস্থাপন করি:
. এটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের বিশেষ সমাধান যা প্রদত্ত শর্তকে সন্তুষ্ট করে।

সমীকরণটি

(8)

ডাকা একটি প্রথম-ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ যাতে একটি স্বাধীন পরিবর্তনশীল থাকে না . আমরা ফর্মে লিখি
বা
. আমরা শেষ সমীকরণের উভয় অংশকে একীভূত করি:
বা
- সমীকরণের সাধারণ সমাধান (8)।

উদাহরণ . সমীকরণের একটি সাধারণ সমাধান খুঁজুন
.

সমাধান . আমরা এই সমীকরণটি আকারে লিখি:
বা
. তারপর
,
,
,
. এইভাবে,
এই সমীকরণের সাধারণ সমাধান।

সমীকরণ টাইপ করুন

(9)

ভেরিয়েবলের বিচ্ছেদ ব্যবহার করে সমন্বিত। এটি করার জন্য, আমরা ফর্মটিতে সমীকরণটি লিখি
, এবং তারপর, গুণ এবং ভাগের ক্রিয়াকলাপ ব্যবহার করে, আমরা এটিকে এমন একটি আকারে নিয়ে এসেছি যে একটি অংশে কেবলমাত্র এর ফাংশন অন্তর্ভুক্ত থাকে এক্সএবং ডিফারেনশিয়াল dx, এবং দ্বিতীয় অংশে - এর একটি ফাংশন এএবং ডিফারেনশিয়াল dy. এটি করার জন্য, সমীকরণের উভয় দিক দিয়ে গুণ করতে হবে dxএবং দ্বারা ভাগ
. ফলস্বরূপ, আমরা সমীকরণ প্রাপ্ত

, (10)

যার মধ্যে ভেরিয়েবল এক্সএবং এপৃথক আমরা সমীকরণের উভয় অংশকে একীভূত করি (10):
. ফলস্বরূপ সম্পর্কটি সমীকরণের সাধারণ অখণ্ডতা (9)।

উদাহরণ 3 . সমীকরণ সংহত করুন
.

সমাধান . সমীকরণটি রূপান্তর করুন এবং ভেরিয়েবলগুলিকে আলাদা করুন:
,
. আসুন একীভূত করি:
,
অথবা এই সমীকরণের সাধারণ অবিচ্ছেদ্য অংশ।
.

সমীকরণটি আকারে দেওয়া যাক

এই ধরনের সমীকরণ বলা হয় বিভাজ্য ভেরিয়েবল সহ প্রথম ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ প্রতিসম আকারে।

ভেরিয়েবলগুলিকে আলাদা করতে, সমীকরণের উভয় দিককে দ্বারা ভাগ করতে হবে
:

. (12)

ফলে সমীকরণ বলা হয় বিচ্ছিন্ন ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ . আমরা সমীকরণ সংহত করি (12):

.(13)

সম্পর্ক (13) ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ (11) এর একটি সাধারণ অবিচ্ছেদ্য অংশ।

উদাহরণ 4 . ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ একীভূত করুন।

সমাধান . আমরা ফর্মে সমীকরণ লিখি

এবং উভয় অংশে ভাগ করুন
,
. ফলস্বরূপ সমীকরণ:
একটি পৃথক পরিবর্তনশীল সমীকরণ। আসুন এটি একত্রিত করি:

,
,

,
. শেষ সমতা হল প্রদত্ত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ অবিচ্ছেদ্য।

উদাহরণ 5 . একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি নির্দিষ্ট সমাধান খুঁজুন
, শর্ত সন্তুষ্ট
.

সমাধান . দেত্তয়া আছে
, আমরা ফর্মে সমীকরণ লিখি
বা
. চলুন ভেরিয়েবল আলাদা করা যাক:
. আসুন এই সমীকরণটি সংহত করি:
,
,
. ফলস্বরূপ সম্পর্ক এই সমীকরণের সাধারণ অবিচ্ছেদ্য। শর্ত অনুসারে
. সাধারণ অবিচ্ছেদ্য মধ্যে প্রতিস্থাপন এবং খুঁজুন থেকে:
,থেকে=1। তারপর অভিব্যক্তি
প্রদত্ত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি নির্দিষ্ট সমাধান, একটি নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য হিসাবে লেখা।

প্রথম অর্ডারের রৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ

সমীকরণটি

(14)

ডাকা প্রথম অর্ডারের রৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ . অজানা ফাংশন
এবং এর ডেরিভেটিভ এই সমীকরণটি রৈখিকভাবে এবং ফাংশনগুলি প্রবেশ করে
এবং
একটানা.

যদি একটি
, তারপর সমীকরণ

(15)

ডাকা রৈখিক সমজাতীয় . যদি একটি
, তারপর সমীকরণ (14) বলা হয় রৈখিক inhomogeneous .

সমীকরণ (14) এর সমাধান খুঁজতে, একজন সাধারণত ব্যবহার করে প্রতিস্থাপন পদ্ধতি (বার্নৌলি) , যার সারমর্ম নিম্নরূপ।

সমীকরণ (14) এর সমাধান দুটি ফাংশনের গুণফল আকারে চাওয়া হবে

, (16)

কোথায়
এবং
- কিছু একটানা ফাংশন। বিকল্প
এবং ডেরিভেটিভ
সমীকরণে (14):

ফাংশন vএমনভাবে নির্বাচন করা হবে যে শর্ত
. তারপর
. সুতরাং, সমীকরণ (14) এর সমাধান খুঁজতে, ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সিস্টেমটি সমাধান করা প্রয়োজন

সিস্টেমের প্রথম সমীকরণটি একটি রৈখিক সমজাতীয় সমীকরণ এবং এটি ভেরিয়েবলের পৃথকীকরণ পদ্ধতি দ্বারা সমাধান করা যেতে পারে:
,
,
,
,
. একটি বৈশিষ্ট্য হিসাবে
কেউ একজাতীয় সমীকরণের একটি নির্দিষ্ট সমাধান নিতে পারে, যেমন এ থেকে=1:
. সিস্টেমের দ্বিতীয় সমীকরণে প্রতিস্থাপন করুন:
বা
.তারপর
. এইভাবে, একটি প্রথম-ক্রম রৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ সমাধানের ফর্ম রয়েছে
.

উদাহরণ 6 . সমীকরণ সমাধান করুন
.

সমাধান . আমরা ফর্মে সমীকরণের সমাধান খুঁজব
. তারপর
. সমীকরণে প্রতিস্থাপন করুন:

বা
. ফাংশন vএমনভাবে নির্বাচন করুন যে সমতা
. তারপর
. আমরা এই সমীকরণগুলির প্রথমটি ভেরিয়েবলের পৃথকীকরণের পদ্ধতি দ্বারা সমাধান করি:
,
,
,
,. ফাংশন vদ্বিতীয় সমীকরণে প্রতিস্থাপন করুন:
,
,
,
. এই সমীকরণের সাধারণ সমাধান হল
.

জ্ঞানের স্ব-নিয়ন্ত্রণের জন্য প্রশ্ন

একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ কি?

একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের ক্রম কী?

কোন ডিফারেনশিয়াল সমীকরণকে ফার্স্ট অর্ডার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ বলা হয়?

কিভাবে একটি প্রথম ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ ডিফারেনশিয়াল আকারে লেখা হয়?

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধান কী?

একটি অবিচ্ছেদ্য বক্ররেখা কি?

প্রথম ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ সমাধান কী?

একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি নির্দিষ্ট সমাধান কি?

প্রথম ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের জন্য কচি সমস্যাটি কীভাবে তৈরি করা হয়?

কচি সমস্যার জ্যামিতিক ব্যাখ্যা কি?

কিভাবে একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ প্রতিসম আকারে বিভাজ্য চলকের সাথে লেখা হয়?

কোন সমীকরণকে প্রথম ক্রম রৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ বলা হয়?

একটি প্রথম-ক্রম রৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধান করতে কোন পদ্ধতি ব্যবহার করা যেতে পারে এবং এই পদ্ধতির সারমর্ম কী?

স্বাধীন কাজের জন্য কাজ

বিভাজ্য ভেরিয়েবল দিয়ে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধান করুন:

ক)
; খ)
;

ভিতরে)
; ছ)
.

2. প্রথম ক্রম লিনিয়ার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধান করুন:

ক)
; খ)
; ভিতরে)
;

ছ)
; ঙ)
.