একটি বর্গাকার ত্রিনামিক ফ্যাক্টর করার সূত্রটি একটি উদাহরণ। কিভাবে একটি বর্গাকার ত্রিনামিক ফ্যাক্টরাইজ করা যায়: সূত্র

বর্গাকার ত্রিনয়কের ফ্যাক্টরাইজেশন স্কুল অ্যাসাইনমেন্টগুলির মধ্যে একটি যা প্রত্যেকে শীঘ্র বা পরে সম্মুখীন হয়। এটা কিভাবে করতে হবে? একটি বর্গাকার ত্রিনামিক ফ্যাক্টর করার সূত্র কি? উদাহরণ সহ ধাপে ধাপে এর মধ্য দিয়ে যাওয়া যাক।

সাধারণ সূত্র

বর্গাকার ত্রিনয়কের ফ্যাক্টরাইজেশন সমাধানের মাধ্যমে করা হয় দ্বিঘাত সমীকরণ. এটি একটি সহজ কাজ যা বিভিন্ন পদ্ধতি দ্বারা সমাধান করা যেতে পারে - বৈষম্যকারীকে খুঁজে বের করে, ভিয়েটা উপপাদ্য ব্যবহার করে, এটি সমাধান করার একটি গ্রাফিক্যাল উপায়ও রয়েছে। প্রথম দুটি পদ্ধতি উচ্চ বিদ্যালয়ে অধ্যয়ন করা হয়।

সাধারণ সূত্র এই মত দেখায়:lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)

টাস্ক এক্সিকিউশন অ্যালগরিদম

বর্গাকার ত্রিকোণকে ফ্যাক্টরাইজ করার জন্য, আপনাকে উইটের উপপাদ্য জানতে হবে, সমাধানের জন্য একটি প্রোগ্রাম হাতে থাকতে হবে, গ্রাফিকভাবে একটি সমাধান খুঁজে পেতে সক্ষম হতে হবে বা বৈষম্যমূলক সূত্রের মাধ্যমে দ্বিতীয় ডিগ্রির একটি সমীকরণের শিকড় সন্ধান করতে হবে। যদি একটি বর্গাকার ত্রিনমিক দেওয়া হয় এবং এটি অবশ্যই ফ্যাক্টর করা হয়, তাহলে ক্রিয়াগুলির অ্যালগরিদম নিম্নরূপ:

1) সমীকরণ পেতে মূল অভিব্যক্তিকে শূন্যের সমান করুন।

2) অনুরূপ পদ দিন (যদি প্রয়োজন হয়)।

3) কোনটির শিকড় সন্ধান করুন পরিচিত উপায়. গ্রাফিকাল পদ্ধতিটি সর্বোত্তম ব্যবহার করা হয় যদি এটি আগে থেকেই জানা যায় যে মূলগুলি পূর্ণসংখ্যা এবং ছোট সংখ্যা। মনে রাখতে হবে মূলের সংখ্যা সমীকরণের সর্বোচ্চ ডিগ্রির সমান, অর্থাৎ দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি মূল রয়েছে।

4) বিকল্প মান এক্সঅভিব্যক্তিতে (1)।

5) বর্গাকার ত্রিনয়কের ফ্যাক্টরাইজেশন লেখ।

উদাহরণ

অনুশীলন আপনাকে অবশেষে বুঝতে দেয় কিভাবে এই কাজটি সঞ্চালিত হয়। উদাহরণগুলি একটি বর্গাকার ত্রিনামিকের ফ্যাক্টরাইজেশন চিত্রিত করে:

আপনাকে অভিব্যক্তিটি প্রসারিত করতে হবে:

আসুন আমাদের অ্যালগরিদম ব্যবহার করি:

1) x 2 -17x+32=0

2) অনুরূপ পদ হ্রাস করা হয়

3) ভিয়েটা সূত্র অনুসারে, এই উদাহরণের জন্য শিকড় খুঁজে পাওয়া কঠিন, তাই বৈষম্যকারীর জন্য অভিব্যক্তিটি ব্যবহার করা ভাল:

D=289-128=161=(12.69) 2

4) সম্প্রসারণের মূল সূত্রে আমরা যে শিকড়গুলি পেয়েছি তা প্রতিস্থাপন করুন:

(x-2.155) * (x-14.845)

5) তারপর উত্তর হবে:

x 2 -17x + 32 \u003d (x-2.155) (x-14.845)

বৈষম্যকারীর দ্বারা পাওয়া সমাধানগুলি ভিয়েটা সূত্রের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ কিনা তা পরীক্ষা করা যাক:

14,845 . 2,155=32

এই শিকড়গুলির জন্য, ভিয়েটার উপপাদ্য প্রয়োগ করা হয়, সেগুলি সঠিকভাবে পাওয়া গেছে, যার মানে আমরা যে ফ্যাক্টরাইজেশন পেয়েছি তাও সঠিক।

একইভাবে, আমরা 12x 2 + 7x-6 প্রসারিত করি।

x 1 \u003d -7 + (337) 1/2

x 2 \u003d -7- (337) 1/2

আগের ক্ষেত্রে, সমাধানগুলি ছিল অ-পূর্ণসংখ্যা, কিন্তু বাস্তব সংখ্যা, যা আপনার সামনে ক্যালকুলেটর দিয়ে খুঁজে পাওয়া সহজ। এখন আরও বিবেচনা করুন জটিল উদাহরণ, যেখানে শিকড়গুলি জটিল হবে: x 2 + 4x + 9 ফ্যাক্টরাইজ করুন। ভিয়েটা সূত্র অনুসারে, শিকড় খুঁজে পাওয়া যায় না, এবং বৈষম্যকারী নেতিবাচক। শিকড় জটিল সমতলে হবে।

D=-20

এর উপর ভিত্তি করে, আমরা -4 + 2i * 5 1/2-এ আগ্রহী শিকড়গুলি পাই এবং -4-2i * 5 1/2 কারণ (-20) 1/2 = 2i*5 1/2

আমরা সাধারণ সূত্রে শিকড় প্রতিস্থাপন করে কাঙ্খিত প্রসারণ পাই।

আরেকটি উদাহরণ: আপনাকে 23x 2 -14x + 7 অভিব্যক্তিটি ফ্যাক্টরাইজ করতে হবে।

আমাদের সমীকরণ আছে 23x 2 -14x+7 =0

D=-448

সুতরাং মূলগুলি হল 14+21,166i এবং 14-21,166i। উত্তর হবে:

23x 2 -14x+7 =23(x- 14-21,166i )*(এক্স- 14+21.166i ).

আসুন আমরা একটি উদাহরণ দিই যা বৈষম্যকারীর সাহায্য ছাড়াই সমাধান করা যেতে পারে।

দ্বিঘাত সমীকরণ x 2 -32x + 255 পচন করা প্রয়োজন। স্পষ্টতই, এটি বৈষম্যকারী দ্বারাও সমাধান করা যেতে পারে, তবে এই ক্ষেত্রে শিকড়গুলি খুঁজে পাওয়া আরও দ্রুত।

x 1 = 15

x2=17

মানে x 2 -32x + 255 =(x-15)(x-17)।

একটি বর্গাকার ত্রিনমিক হল ax^2 + bx + c ফর্মের একটি বহুপদী, যেখানে x একটি চলক, a, b এবং c কিছু সংখ্যা, তাছাড়া একটি ≠ 0।

একটি ত্রিনামিক ফ্যাক্টরাইজ করার জন্য, আপনাকে এই ত্রিনাময়ের মূলগুলি জানতে হবে। (এরপরে ত্রিনয়িক 5x^2 + 3x-2 এর একটি উদাহরণ)

দ্রষ্টব্য: 5x^2 + 3x - 2 বর্গক্ষেত্রের মান x এর মানের উপর নির্ভর করে। উদাহরণস্বরূপ: যদি x = 0, তাহলে 5x^2 + 3x - 2 = -2

যদি x = 2, তাহলে 5x^2 + 3x - 2 = 24

যদি x = -1 হয়, তাহলে 5x^2 + 3x - 2 = 0

যখন x \u003d -1, বর্গক্ষেত্র ত্রিনয়িক 5x ^ 2 + 3x - 2 অদৃশ্য হয়ে যায়, এই ক্ষেত্রে সংখ্যা -1 বলা হয় একটি বর্গাকার ত্রিনামীর মূল.

কিভাবে সমীকরণ মূল পেতে

আমরা এই সমীকরণের মূল কিভাবে পেয়েছি তা ব্যাখ্যা করা যাক। প্রথমে আপনাকে উপপাদ্য এবং সূত্রটি পরিষ্কারভাবে জানতে হবে যার দ্বারা আমরা কাজ করব:

"যদি x1 এবং x2 হয় বর্গাকার ত্রিনয়িক ax^2 + bx + c এর মূল, তাহলে ax^2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2)।"

X \u003d (-b ± √ (b^ 2-4ac)) / 2a \

বহুপদীর শিকড় খোঁজার এই সূত্রটি হল সবচেয়ে আদিম সূত্র, যার দ্বারা সমাধান করলে আপনি কখনই বিভ্রান্ত হবেন না।

অভিব্যক্তি 5x^2 + 3x - 2।

1. শূন্যের সমান: 5x^2 + 3x - 2 = 0

2. আমরা দ্বিঘাত সমীকরণের শিকড় খুঁজে পাই, এর জন্য আমরা সূত্রে মানগুলি প্রতিস্থাপন করি (a হল X ^ 2 এর সহগ, b হল X এর সহগ, একটি মুক্ত পদ, অর্থাৎ, a এক্স ছাড়া চিত্র):

আমরা বর্গমূলের সামনে একটি যোগ চিহ্ন সহ প্রথম মূলটি খুঁজে পাই:

X1 = (-3 + √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 + √(9 -(-40)))/10 = (-3 + √(9+40))/10 = (-3 + √49)/10 = (-3 +7)/10 = 4/(10) = 0.4

বর্গমূলের আগে একটি বিয়োগ চিহ্ন সহ দ্বিতীয় মূল:

X2 = (-3 - √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 - √(9- (-40)))/10 = (-3 - √(9+40))/10 = (-3 - √49)/10 = (-3 - 7)/10 = (-10)/(10) = -1

তাই আমরা বর্গাকার ত্রিনামিকের শিকড় খুঁজে পেয়েছি। সেগুলি সঠিক কিনা তা নিশ্চিত করতে, আপনি পরীক্ষা করতে পারেন: প্রথমে, আমরা সমীকরণে প্রথম রুটটি প্রতিস্থাপন করি, তারপর দ্বিতীয়টি:

1) 5x^2 + 3x - 2 = 0

5 * 0,4^2 + 3*0,4 – 2 = 0

5 * 0,16 + 1,2 – 2 = 0

2) 5x^2 + 3x - 2 = 0

5 * (-1)^2 + 3 * (-1) – 2 = 0

5 * 1 + (-3) – 2 = 0

5 – 3 – 2 = 0

যদি সমস্ত মূল প্রতিস্থাপনের পরে, সমীকরণটি অদৃশ্য হয়ে যায়, তাহলে সমীকরণটি সঠিকভাবে সমাধান করা হয়েছে।

3. এখন উপপাদ্য থেকে সূত্রটি ব্যবহার করা যাক: ax^2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2), মনে রাখবেন X1 এবং X2 হল দ্বিঘাত সমীকরণের মূল। তাই: 5x^2 + 3x - 2 = 5 * (x - 0.4) * (x- (-1))

5x^2 + 3x– 2 = 5(x - 0.4)(x + 1)

4. পচন সঠিক কিনা তা নিশ্চিত করতে, আপনি কেবল বন্ধনীগুলিকে গুণ করতে পারেন:

5(x - 0.4)(x + 1) = 5(x^2 + x - 0.4x - 0.4) = 5(x^2 + 0.6x - 0.4) = 5x^2 + 3 - 2। যা সঠিকতা নিশ্চিত করে সিদ্ধান্তের।

একটি বর্গক্ষেত্র ত্রিনামিক এর শিকড় খোঁজার জন্য দ্বিতীয় বিকল্প

একটি বর্গাকার ত্রিনামিকের শিকড় খুঁজে বের করার আরেকটি বিকল্প হল ভিয়েটের উপপাদ্যের বিপরীত উপপাদ্য। এখানে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলগুলি সূত্র দ্বারা পাওয়া যায়: x1 + x2 = -(খ), x1 * x2 = গ. কিন্তু এটা বোঝা গুরুত্বপূর্ণ যে এই উপপাদ্যটি শুধুমাত্র তখনই ব্যবহার করা যেতে পারে যদি সহগ a \u003d 1, অর্থাৎ x^2 \u003d 1 এর সামনে থাকা সংখ্যা।

যেমন: x^2 - 2x +1 = 0, a = 1, b = - 2, c = 1।

সমাধান: x1 + x2 = - (-2), x1 + x2 = 2

এখন ভাবা জরুরী যে পণ্যের কোন সংখ্যাগুলো কোন একক দেয়? স্বাভাবিকভাবেই এই 1 * 1 এবং -1 * (-1) . এই সংখ্যাগুলি থেকে, আমরা সেগুলি নির্বাচন করি যেগুলি x1 + x2 = 2 অভিব্যক্তির সাথে মিলে যায়, অবশ্যই - এটি 1 + 1। সুতরাং আমরা সমীকরণটির মূল খুঁজে পেয়েছি: x1 = 1, x2 = 1। এটি পরীক্ষা করা সহজ কিনা আপনি এক্সপ্রেশনে x ^ 2 প্রতিস্থাপন করুন - 2x + 1 = 0।

বর্গাকার ত্রিনামিক a*x 2 +b*x+c ফর্মের একটি ত্রিনমিক বলা হয়, যেখানে a,b,c কিছু নির্বিচারে বাস্তব (বাস্তব) সংখ্যা এবং x একটি পরিবর্তনশীল। অধিকন্তু, a সংখ্যাটি শূন্যের সমান হওয়া উচিত নয়।

a,b,c সংখ্যাগুলোকে সহগ বলা হয়। সংখ্যা a কে অগ্রণী সহগ বলা হয়, সংখ্যা b কে x এ সহগ এবং c সংখ্যাটিকে মুক্ত সদস্য বলা হয়।

একটি বর্গাকার ত্রিনামীর মূল a*x 2 +b*x+c হল x ভেরিয়েবলের যেকোন মান যাতে বর্গক্ষেত্র ত্রিনামিক a*x 2 +b*x+c অদৃশ্য হয়ে যায়।

একটি বর্গাকার ত্রিনামিকের শিকড় খুঁজে বের করার জন্য, a*x 2 +b*x+c=0 ফর্মের একটি দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করা প্রয়োজন।

কিভাবে একটি বর্গাকার ত্রিনামিক এর শিকড় খুঁজে বের করতে হয়

এটি সমাধান করতে, আপনি পরিচিত পদ্ধতিগুলির একটি ব্যবহার করতে পারেন।

• 1 উপায়।

সূত্র দ্বারা একটি বর্গাকার ত্রিনামিকের শিকড় সন্ধান করা।

1. D \u003d b 2 -4 * a * c সূত্র ব্যবহার করে বৈষম্যকারীর মান নির্ণয় কর।

2. বৈষম্যকারীর মানের উপর নির্ভর করে, সূত্র ব্যবহার করে শিকড় গণনা করুন:

যদি D > 0,তাহলে বর্গাকার ত্রিনয়কের দুটি মূল আছে।

x = -b±√D / 2*a

যদি ডি< 0, তারপর বর্গাকার ত্রিনয়কের একটি মূল আছে।

যদি বৈষম্যকারী নেতিবাচক হয়, তাহলে বর্গক্ষেত্র ত্রিনামিকের কোন মূল নেই।

• ২টি পথ.

একটি পূর্ণ বর্গ নির্বাচন করে একটি বর্গাকার ত্রিনয়কের মূল খুঁজে বের করা। হ্রাসকৃত বর্গক্ষেত্রের ত্রিনামিক উদাহরণটি বিবেচনা করুন। হ্রাসকৃত দ্বিঘাত সমীকরণ, যে সমীকরণটি অগ্রণী সহগের জন্য একের সমান.

চলুন বর্গাকার ত্রিনামিক x 2 +2*x-3 এর মূল বের করা যাক। এটি করার জন্য, আমরা নিম্নলিখিত দ্বিঘাত সমীকরণটি সমাধান করব: x 2 +2*x-3=0;

আসুন এই সমীকরণটি রূপান্তরিত করি:

সমীকরণের বাম দিকে একটি বহুপদ x 2 +2 * x আছে, এটিকে যোগফলের বর্গ হিসাবে উপস্থাপন করার জন্য, আমাদের 1 এর সমান আরও একটি সহগ থাকতে হবে। এই রাশি থেকে 1 যোগ এবং বিয়োগ করুন, আমরা পাওয়া:

(x 2 +2*x+1) -1=3

একটি দ্বিপদীর বর্গ হিসাবে বন্ধনীতে কী উপস্থাপন করা যেতে পারে

এই সমীকরণ দুটি ক্ষেত্রে বিভক্ত, হয় x+1=2 বা x+1=-2।

প্রথম ক্ষেত্রে, আমরা উত্তর পাই x=1, এবং দ্বিতীয়টিতে, x=-3।

উত্তর: x=1, x=-3।

রূপান্তরের ফলস্বরূপ, আমাদের বাম দিকে দ্বিপদীর বর্গ এবং ডান দিকে কিছু সংখ্যা পেতে হবে। ডান দিকে একটি পরিবর্তনশীল থাকা উচিত নয়.

উদাহরণ 1.1

এক্স 4 + x 3 - 6 x 2.

সিদ্ধান্ত

এক্স বের করুন 2 বন্ধনী জন্য:
.
2 + x - 6 = 0:
.
সমীকরণের মূল:
, .

.

উত্তর

উদাহরণ 1.2

একটি তৃতীয়-ডিগ্রী বহুপদী ফ্যাক্টরিং:
এক্স 3 + 6 x 2 + 9 x.

সিদ্ধান্ত

আমরা বন্ধনী থেকে x বের করি:
.
আমরা দ্বিঘাত সমীকরণ x সমাধান করি 2 + 6 x + 9 = 0:
এর বৈষম্যমূলক।
যেহেতু বৈষম্যকারীটি শূন্যের সমান, তাই সমীকরণের মূলগুলি গুণিত: ;
.

এখান থেকে আমরা বহুপদীর পচন গুণনীয়কগুলিতে পাই:
.

উত্তর

উদাহরণ 1.3

একটি পঞ্চম-ডিগ্রী বহুপদী ফ্যাক্টরিং:
এক্স 5 - 2 x 4 + 10 x 3.

সিদ্ধান্ত

এক্স বের করুন 3 বন্ধনী জন্য:
.
আমরা দ্বিঘাত সমীকরণ x সমাধান করি 2 - 2 x + 10 = 0.
এর বৈষম্যমূলক।
যেহেতু বৈষম্যকারী শূন্যের চেয়ে কম, তাই সমীকরণের মূলগুলি জটিল: ;
, .

বহুপদীর ফ্যাক্টরাইজেশনের ফর্ম রয়েছে:
.

আমরা যদি বাস্তব সহগ সহ ফ্যাক্টরিং করতে আগ্রহী হই, তাহলে:
.

উত্তর

সূত্র ব্যবহার করে বহুপদী ফ্যাক্টরিং এর উদাহরণ

দ্বিচক্রীয় বহুপদ সহ উদাহরণ

উদাহরণ 2.1

দ্বিচক্রীয় বহুপদকে ফ্যাক্টরাইজ করুন:
এক্স 4 + x 2 - 20.

সিদ্ধান্ত

সূত্র প্রয়োগ করুন:
ক 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
ক 2 - b 2 = (a - b)(a + b).

;
.

উত্তর

উদাহরণ 2.2

একটি বহুপদী গুণিতক যা দ্বিচক্রে হ্রাস পায়:
এক্স 8 + x 4 + 1.

সিদ্ধান্ত

সূত্র প্রয়োগ করুন:
ক 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
ক 2 - b 2 = (a - b)(a + b):

;

;
.

উত্তর

পুনরাবৃত্ত বহুপদী সহ উদাহরণ 2.3

পুনরাবৃত্ত বহুপদী ফ্যাক্টরিং:
.

সিদ্ধান্ত

পুনরাবৃত্ত বহুপদীর একটি বিজোড় ডিগ্রি আছে। তাই এর একটি মূল আছে x = - 1 . আমরা বহুপদকে x দ্বারা ভাগ করি - (-1) = x + 1. ফলস্বরূপ, আমরা পাই:
.
আমরা একটি প্রতিস্থাপন করি:
, ;
;


;
.

উত্তর

পূর্ণসংখ্যার মূল সহ ফ্যাক্টরিং বহুপদীর উদাহরণ

উদাহরণ 3.1

একটি বহুপদ গুণনীয়ক:
.

সিদ্ধান্ত

সমীকরণ ধরুন

6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 .
(-6) 3 - 6 (-6) 2 + 11 (-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6 (-3) 2 + 11 (-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6 (-2) 2 + 11 (-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6 (-1) 2 + 11 (-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0;
3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 = 0;
6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60.

সুতরাং, আমরা তিনটি শিকড় খুঁজে পেয়েছি:
এক্স 1 = 1 , এক্স 2 = 2 , এক্স 3 = 3 .
যেহেতু মূল বহুপদীটি তৃতীয় মাত্রার তাই এর তিনটির বেশি মূল নেই। যেহেতু আমরা তিনটি শিকড় খুঁজে পেয়েছি, সেগুলি সহজ। তারপর
.

উত্তর

উদাহরণ 3.2

একটি বহুপদ গুণনীয়ক:
.

সিদ্ধান্ত

সমীকরণ ধরুন

অন্তত একটি পূর্ণসংখ্যা রুট আছে. তারপর এটি সংখ্যার ভাজক 2 (এক্স ছাড়া একজন সদস্য)। অর্থাৎ, পুরো মূলটি সংখ্যাগুলির একটি হতে পারে:
-2, -1, 1, 2 .
এই মানগুলি একে একে প্রতিস্থাপন করুন:
(-2) 4 + 2 (-2) 3 + 3 (-2) 3 + 4 (-2) + 2 = 6 ;
(-1) 4 + 2 (-1) 3 + 3 (-1) 3 + 4 (-1) + 2 = 0 ;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54 .
যদি আমরা ধরে নিই যে এই সমীকরণটির একটি পূর্ণসংখ্যার মূল আছে, তাহলে এটি সংখ্যাটির একটি ভাজক 2 (এক্স ছাড়া একজন সদস্য)। অর্থাৎ, পুরো মূলটি সংখ্যাগুলির একটি হতে পারে:
1, 2, -1, -2 .
বিকল্প x = -1 :
.

তাই আমরা আরেকটি মূল x খুঁজে পেয়েছি 2 = -1 . এটি সম্ভব হবে, পূর্ববর্তী ক্ষেত্রের মতো, বহুপদীকে দ্বারা ভাগ করা, তবে আমরা শর্তগুলিকে গোষ্ঠীবদ্ধ করব:
.

যেহেতু সমীকরণ x 2 + 2 = 0 এর কোনো প্রকৃত শিকড় নেই, তাহলে বহুপদীর ফ্যাক্টরাইজেশন ফর্ম আছে।

বর্গাকার ত্রিনামিক ax 2 +bx+cসূত্র দ্বারা রৈখিক ফ্যাক্টরগুলিতে প্রসারিত করা যেতে পারে:

ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2), কোথায় x 1, x 2দ্বিঘাত সমীকরণের মূল ax2+bx+c=0।

বর্গাকার ত্রিনামিককে রৈখিক ফ্যাক্টরগুলিতে পচন:

উদাহরণ 1)। 2x2-7x-15।

সিদ্ধান্ত. 2x2-7x-15=0।

ক=2; খ=-7; গ=-15। এই সাধারণ ক্ষেত্রেসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণের জন্য। বৈষম্যকারীকে খুঁজে বের করা ডি.

D=b 2 -4ac=(-7) 2 -4∙2∙(-15)=49+120=169=13 2 >0; 2 প্রকৃত শিকড়।

আসুন সূত্রটি প্রয়োগ করা যাক: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2)।

2x 2 -7x-15=2 (x+1.5)(x-5)=(2x+3)(x-5)। আমরা এই ত্রিনয়ক চালু করেছি 2x2-7x-15 2x+3এবং x-5।

উত্তর: 2x2 -7x-15= (2x+3)(x-5)।

উদাহরণ 2)। 3x2 +2x-8.

সিদ্ধান্ত.চলো দ্বিঘাত সমীকরণের শিকড় খুঁজে বের করা যাক:

ক=3; খ=2;গ=-8। এই বিশেষ মামলাএকটি এমনকি দ্বিতীয় সহগ সহ একটি সম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণের জন্য ( খ=2)। বৈষম্যকারীকে খুঁজে বের করা D1.

আসুন সূত্রটি প্রয়োগ করা যাক: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2)।

আমরা ট্রিনোমিয়াল চালু করেছি 3x2 +2x-8দ্বিপদগুলির একটি পণ্য হিসাবে x+2এবং 3x-4.

উত্তর: 3x2 +2x-8 =(x+2)(3x-4).

উদাহরণ 3). 5x2-3x-2।

সিদ্ধান্ত.চলো দ্বিঘাত সমীকরণের শিকড় খুঁজে বের করা যাক:

ক=5; খ=-3; গ=-2। নিম্নলিখিত শর্ত সহ সম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণের জন্য এটি একটি বিশেষ ক্ষেত্রে: a+b+c=0(5-3-2=0)। এই ক্ষেত্রে প্রথম মূলসর্বদা একের সমান, এবং দ্বিতীয় মূলপ্রথম সহগ দ্বারা বিভক্ত মুক্ত পদের ভাগফলের সমান:

আসুন সূত্রটি প্রয়োগ করা যাক: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2)।

5x 2 -3x-2 \u003d 5 (x-1) (x + 0.4) \u003d (x-1) (5x + 2)। আমরা ট্রিনোমিয়াল চালু করেছি 5x2-3x-2দ্বিপদগুলির একটি পণ্য হিসাবে x-1এবং 5x+2।

উত্তর: 5x2 -3x-2= (x-1)(5x+2)।

উদাহরণ 4)। 6x2+x-5।

সিদ্ধান্ত.চলো দ্বিঘাত সমীকরণের শিকড় খুঁজে বের করা যাক:

ক=6; খ=1; গ=-5। নিম্নলিখিত শর্ত সহ সম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণের জন্য এটি একটি বিশেষ ক্ষেত্রে: a-b+c=0(6-1-5=0)। এই ক্ষেত্রে প্রথম মূলসর্বদা বিয়োগ একের সমান, এবং দ্বিতীয় মূলপ্রথম সহগ দ্বারা বিভক্ত বিনামূল্যে পদের ভাগফল বিয়োগের সমান:

আসুন সূত্রটি প্রয়োগ করা যাক: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2)।

আমরা ট্রিনোমিয়াল চালু করেছি 6x2+x-5দ্বিপদগুলির একটি পণ্য হিসাবে x+1এবং 6x-5.

উত্তর: 6x 2 +x-5= (x+1)(6x-5).

উদাহরণ 5)। x2 -13x+12।

সিদ্ধান্ত.আসুন প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের মূল খুঁজে বের করি:

x 2 -13x+12=0। দেখা যাক প্রয়োগ করা যায় কিনা। এই জন্য বৈষম্যকারী খুঁজুনএবং পরীক্ষা করুন যে এটি একটি পূর্ণসংখ্যার নিখুঁত বর্গ।

ক=1; খ=-13; গ=12। বৈষম্যকারীকে খুঁজে বের করা ডি.

D=b 2 -4ac=13 2 -4∙1∙12=169-48=121=11 2 .

আমরা ভিয়েটা উপপাদ্য প্রয়োগ করি: শিকড়ের যোগফল অবশ্যই দ্বিতীয় সহগের সমান হতে হবে, বিপরীত চিহ্নের সাথে নেওয়া হবে এবং শিকড়ের গুণফল মুক্ত পদের সমান হতে হবে:

x 1 + x 2 \u003d 13; x 1 ∙ x 2 \u003d 12। এটা স্পষ্ট যে x 1 =1; x2=12।

আসুন সূত্রটি প্রয়োগ করা যাক: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2)।

x 2 -13x+12=(x-1)(x-12)।

উত্তর: x 2 -13x+12= (x-1)(x-12).

উদাহরণ 6)। x2-4x-6।

সিদ্ধান্ত. আসুন প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের মূল খুঁজে বের করি:

ক=1; খ=-4; গ=-6। দ্বিতীয় সহগটি একটি জোড় সংখ্যা। বৈষম্যকারী D 1 খুঁজুন।

বৈষম্যকারী একটি পূর্ণসংখ্যার একটি নিখুঁত বর্গ নয়, তাই, ভিয়েটা উপপাদ্য আমাদের সাহায্য করবে না, এবং আমরা একটি এমনকি দ্বিতীয় সহগের জন্য সূত্রগুলি ব্যবহার করে শিকড়গুলি খুঁজে পাব:

আসুন সূত্রটি প্রয়োগ করা যাক: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2) এবং উত্তর লিখুন।