তিনটি ভেক্টর এবং এর বৈশিষ্ট্যের মিশ্র পণ্য
মিশ্র পণ্যতিনটি ভেক্টরকে সমান সংখ্যা বলে। নির্দেশিত 
. এখানে প্রথম দুটি ভেক্টরকে ভেক্টরীয়ভাবে গুণ করা হয় এবং তারপরে প্রাপ্ত ভেক্টরকে তৃতীয় ভেক্টর দ্বারা স্কেলারলি গুণ করা হয়। স্পষ্টতই, যেমন একটি পণ্য কিছু সংখ্যা.
মিশ্র পণ্যের বৈশিষ্ট্য বিবেচনা করুন।
- জ্যামিতিক ইন্দ্রিয়মিশ্র পণ্য। 3টি ভেক্টরের মিশ্র গুণফল, একটি চিহ্ন পর্যন্ত, এই ভেক্টরগুলিতে নির্মিত সমান্তরাল পাইপডের আয়তনের সমান, যেমন প্রান্তের উপর, অর্থাৎ .
এইভাবে, এবং
.
প্রমাণ. আসুন সাধারণ উত্স থেকে ভেক্টরগুলিকে স্থগিত করি এবং তাদের উপর একটি সমান্তরাল পাইপ তৈরি করি। আসুন আমরা তা উল্লেখ করি এবং নোট করি। স্কেলার পণ্যের সংজ্ঞা অনুসারে
যে অনুমান এবং মাধ্যমে বোঝানো জসমান্তরাল পাইপের উচ্চতা, আমরা খুঁজে পাই।
এইভাবে, এ
যদি , তারপর এবং . তাই, .
এই উভয় ক্ষেত্রে একত্রিত, আমরা পেতে বা .
এই বৈশিষ্ট্যের প্রমাণ থেকে, বিশেষ করে, এটি অনুসরণ করে যে ভেক্টরের ত্রিগুণ সঠিক হলে, মিশ্র গুণফল , এবং যদি এটি বাম হয়, তাহলে।
- যেকোনো ভেক্টরের জন্য, , সমতা
এই সম্পত্তির প্রমাণ সম্পত্তি থেকে অনুসরণ করে 1. প্রকৃতপক্ষে, এটি দেখানো সহজ এবং . তদুপরি, "+" এবং "-" চিহ্নগুলি একই সাথে নেওয়া হয়, কারণ ভেক্টর এবং এবং এবং উভয়ের মধ্যে কোণগুলি তীব্র বা স্থূল।
- যখন যে কোন দুটি কারণের বিনিময় হয়, মিশ্র পণ্য পরিবর্তনের চিহ্ন।
প্রকৃতপক্ষে, যদি আমরা মিশ্র পণ্য বিবেচনা করি, তাহলে, উদাহরণস্বরূপ, বা
- একটি মিশ্র পণ্য যদি এবং শুধুমাত্র যদি কারণগুলির একটি শূন্যের সমান হয় বা ভেক্টরগুলি কপ্ল্যানার হয়।
প্রমাণ.
সুতরাং, 3টি ভেক্টরের কমপ্ল্যানারির জন্য একটি প্রয়োজনীয় এবং পর্যাপ্ত শর্ত হল তাদের মিশ্র পণ্যের শূন্যের সমতা। উপরন্তু, এটি থেকে এটি অনুসরণ করে যে তিনটি ভেক্টর যদি মহাকাশে একটি ভিত্তি তৈরি করে।
যদি ভেক্টরগুলি স্থানাঙ্ক আকারে দেওয়া হয়, তাহলে দেখা যাবে যে তাদের মিশ্র গুণফল সূত্র দ্বারা পাওয়া যায়:
.এইভাবে, মিশ্র পণ্যটি একটি তৃতীয়-ক্রম নির্ধারকের সমান যার প্রথম লাইনে প্রথম ভেক্টরের স্থানাঙ্ক রয়েছে, দ্বিতীয় লাইনে দ্বিতীয় ভেক্টরের স্থানাঙ্ক রয়েছে এবং তৃতীয় লাইনে তৃতীয় ভেক্টরের স্থানাঙ্ক রয়েছে।
উদাহরণ।
মহাকাশে বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতি
সমীকরণটি F(x, y, z)= 0 মহাকাশে সংজ্ঞায়িত করে অক্সিজকিছু পৃষ্ঠ, যেমন বিন্দুর অবস্থান যার স্থানাঙ্ক x, y, zএই সমীকরণ সন্তুষ্ট. এই সমীকরণ বলা হয় পৃষ্ঠ সমীকরণ, এবং x, y, z- বর্তমান স্থানাঙ্ক।
যাইহোক, প্রায়শই পৃষ্ঠকে একটি সমীকরণ দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় না, তবে স্থানের বিন্দুগুলির একটি সেট হিসাবে যার একটি বা অন্য একটি সম্পত্তি রয়েছে। এই ক্ষেত্রে, এটির জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্যের উপর ভিত্তি করে পৃষ্ঠের সমীকরণ খুঁজে বের করতে হবে।
প্লেন।
নরমাল প্লেন ভেক্টর।
একটি প্রদত্ত পয়েন্টের মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি প্লেনের সমীকরণ৷
মহাকাশে একটি নির্বিচারে সমতল σ বিবেচনা করুন। এর অবস্থান এই সমতলে একটি ভেক্টর লম্ব স্থাপন করে এবং কিছু নির্দিষ্ট বিন্দু নির্ধারণ করে M0(x0, y 0, z0) সমতলে শুয়ে থাকা σ.
সমতলে লম্ব ভেক্টর σ বলা হয় স্বাভাবিকএই সমতলের ভেক্টর। ভেক্টরের স্থানাঙ্ক থাকতে দিন।
প্রদত্ত বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া সমতল σ-এর সমীকরণ আমরা বের করি M0এবং একটি সাধারণ ভেক্টর আছে। এটি করার জন্য, সমতল σ এ একটি নির্বিচারে বিন্দু নিন M(x, y, z)এবং ভেক্টর বিবেচনা করুন।
যেকোনো বিন্দুর জন্য এমÎ σ ভেক্টর। অতএব, তাদের স্কেলার গুণফল শূন্যের সমান। এই সমতা শর্ত যে বিন্দু এমО σ। এটি এই সমতলের সমস্ত পয়েন্টের জন্য বৈধ এবং পয়েন্টের সাথে সাথে লঙ্ঘন করা হয় এমসমতল σ এর বাইরে থাকবে।
যদি আমরা ব্যাসার্ধ ভেক্টর দ্বারা বিন্দু বোঝায় এম, বিন্দুর ব্যাসার্ধ ভেক্টর M0, তারপর সমীকরণটি হিসাবে লেখা যেতে পারে
এই সমীকরণ বলা হয় ভেক্টরসমতল সমীকরণ। এর স্থানাঙ্ক আকারে লিখুন. তখন থেকে
সুতরাং, আমরা প্রদত্ত বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া সমতলের সমীকরণ পেয়েছি। সুতরাং, সমতলের সমীকরণ রচনা করার জন্য, আপনাকে সাধারণ ভেক্টরের স্থানাঙ্ক এবং সমতলে থাকা কিছু বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি জানতে হবে।
উল্লেখ্য যে সমতলের সমীকরণটি বর্তমান স্থানাঙ্কের ক্ষেত্রে 1ম ডিগ্রির একটি সমীকরণ x, yএবং z.
উদাহরণ।
প্লেনের সাধারণ সমীকরণ
এটি দেখানো যেতে পারে যে কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্কের ক্ষেত্রে প্রথম ডিগ্রির যেকোনো সমীকরণ x, y, zকিছু সমতল একটি সমীকরণ. এই সমীকরণটি এভাবে লেখা হয়:
Ax+By+Cz+D=0
এবং কল সাধারণ সমীকরণসমতল, এবং স্থানাঙ্ক A, B, Cএখানে সমতলের স্বাভাবিক ভেক্টরের স্থানাঙ্ক রয়েছে।
আসুন সাধারণ সমীকরণের বিশেষ ক্ষেত্রে বিবেচনা করি। সমীকরণের এক বা একাধিক সহগ অদৃশ্য হয়ে গেলে সমতল কীভাবে স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার সাপেক্ষে অবস্থিত তা খুঁজে বের করা যাক।
A হল অক্ষের উপর সমতল দ্বারা কাটা অংশের দৈর্ঘ্য বলদ. একইভাবে, কেউ তা দেখাতে পারে খএবং গঅক্ষের উপর বিবেচনা করা সমতল দ্বারা কাটা অংশগুলির দৈর্ঘ্য ওয়এবং ওজ.
প্লেন নির্মাণের জন্য অংশে সমতলের সমীকরণ ব্যবহার করা সুবিধাজনক।
এই পাঠে, আমরা ভেক্টর সহ আরও দুটি অপারেশন দেখব: ভেক্টরের ক্রস পণ্যএবং ভেক্টরের মিশ্র পণ্য (যাদের প্রয়োজন তাদের জন্য অবিলম্বে লিঙ্ক). এটা ঠিক আছে, এটা কখনও কখনও ঘটে যে সম্পূর্ণ সুখের জন্য, ছাড়াও ভেক্টরের ডট পণ্য, আরো এবং আরো প্রয়োজন হয়. এটি ভেক্টর আসক্তি। কেউ ধারণা করতে পারে যে আমরা বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতির জঙ্গলে প্রবেশ করছি। এটা সত্য নয়। উচ্চতর গণিতের এই বিভাগে, সাধারণত সামান্য জ্বালানী কাঠ থাকে, সম্ভবত পিনোচিওর জন্য যথেষ্ট। আসলে, উপাদানটি খুব সাধারণ এবং সহজ - একই তুলনায় কমই কঠিন স্কালে পণ্য, এমনকি কম সাধারণ কাজ হবে. বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতির প্রধান জিনিস, যেমনটি অনেকেই দেখবেন বা ইতিমধ্যেই দেখেছেন, গণনায় ভুল করা নয়। একটি বানান মত পুনরাবৃত্তি, এবং আপনি খুশি হবে =)
যদি ভেক্টরগুলি দূরে কোথাও চকচক করে, যেমন দিগন্তে বজ্রপাত, তাতে কিছু যায় আসে না, পাঠ দিয়ে শুরু করুন ডামি জন্য ভেক্টরভেক্টর সম্পর্কে প্রাথমিক জ্ঞান পুনরুদ্ধার বা পুনরায় অর্জন করতে। আরও প্রস্তুত পাঠকরা নির্বাচনীভাবে তথ্যের সাথে পরিচিত হতে পারেন, আমি প্রায়শই ব্যবহারিক কাজে পাওয়া উদাহরণগুলির সর্বাধিক সম্পূর্ণ সংগ্রহ সংগ্রহ করার চেষ্টা করেছি।
কি আপনাকে খুশি করতে হবে? আমি যখন ছোট ছিলাম, তখন আমি দুই এমনকি তিনটি বলও ধাক্কাধাক্কি করতে পারতাম। এটা ভাল কাজ আউট. এখন মোটেও ঘাঁটাঘাঁটি করার দরকার নেই, যেহেতু আমরা বিবেচনা করব শুধুমাত্র স্থান ভেক্টর, এবং দুটি স্থানাঙ্ক সহ সমতল ভেক্টর বাদ দেওয়া হবে। কেন? এইভাবে এই ক্রিয়াগুলির জন্ম হয়েছিল - ভেক্টরের ভেক্টর এবং মিশ্র গুণফল সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং ত্রিমাত্রিক স্থানে কাজ করে। ইতিমধ্যে সহজ!
এই অপারেশনে, স্কেলার পণ্যের মতো একইভাবে, দুটি ভেক্টর. অবিনশ্বর অক্ষর হোক।
কর্ম নিজেই চিহ্নিতনিম্নলিখিত উপায়ে:। অন্যান্য বিকল্প আছে, কিন্তু আমি ক্রস সহ বর্গাকার বন্ধনীতে এইভাবে ভেক্টরের ক্রস পণ্য নির্ধারণ করতে অভ্যস্ত।
এবং অবিলম্বে প্রশ্ন: যদি ইন ভেক্টরের ডট পণ্যদুটি ভেক্টর জড়িত, এবং এখানে দুটি ভেক্টরকেও গুণ করা হয়, তারপর পার্থক্য কি? একটি স্পষ্ট পার্থক্য, প্রথমত, ফলাফলে:
ভেক্টরের স্কেলার গুণফলের ফলাফল হল একটি NUMBER:
ভেক্টরের ক্রস পণ্যের ফলাফল হল একটি ভেক্টর:, অর্থাৎ, আমরা ভেক্টরকে গুণ করি এবং আবার একটি ভেক্টর পাই। বন্ধ ক্লাব। আসলে, তাই অপারেশনের নাম. বিভিন্ন শিক্ষামূলক সাহিত্যে, পদবীও ভিন্ন হতে পারে, আমি অক্ষরটি ব্যবহার করব।
ক্রস পণ্যের সংজ্ঞা
প্রথমে একটি ছবি সহ একটি সংজ্ঞা, তারপর মন্তব্য হবে।
সংজ্ঞা: ক্রস পণ্য অ-সমলাইনভেক্টর, এই ক্রমে নেওয়া, কে ভেক্টর বলা হয়, দৈর্ঘ্যযা সংখ্যাগতভাবে সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফলের সমান, এই ভেক্টরের উপর নির্মিত; ভেক্টর ভেক্টর থেকে অর্থোগোনাল, এবং নির্দেশিত হয় যাতে ভিত্তিটির একটি সঠিক অভিযোজন থাকে: 
আমরা হাড় দ্বারা সংজ্ঞা বিশ্লেষণ, আকর্ষণীয় জিনিস অনেক আছে!
সুতরাং, আমরা নিম্নলিখিত উল্লেখযোগ্য পয়েন্টগুলি হাইলাইট করতে পারি:
1) উৎস ভেক্টর , সংজ্ঞা দ্বারা লাল তীর দ্বারা নির্দেশিত সমরেখার নয়. একটু পরে কলিনিয়ার ভেক্টরের ক্ষেত্রে বিবেচনা করা উপযুক্ত হবে।
2) ভেক্টর নেওয়া একটি কঠোর আদেশে: – "a" কে "be" দিয়ে গুণ করা হয়, "হতে" থেকে "ক" নয়। ভেক্টর গুণের ফলাফল VECTOR হল, যা নীল রঙে চিহ্নিত করা হয়। যদি ভেক্টরগুলিকে বিপরীত ক্রমে গুণ করা হয়, তবে আমরা দৈর্ঘ্যে সমান এবং বিপরীত দিকে (রাকা রঙের রঙ) একটি ভেক্টর পাই। অর্থাৎ সমতা 
.
3) এবার আসুন ভেক্টর পণ্যের জ্যামিতিক অর্থের সাথে পরিচিত হই। এটি খুব গুরুত্বপূর্ণ ধারণা! নীল ভেক্টরের দৈর্ঘ্য (এবং, তাই, ক্রিমসন ভেক্টর) ভেক্টরের উপর নির্মিত সমান্তরাল বৃত্তের ক্ষেত্রফলের সংখ্যাগতভাবে সমান। চিত্রে, এই সমান্তরালগ্রামটি কালো রঙে ছায়াযুক্ত।
বিঃদ্রঃ : অঙ্কনটি পরিকল্পিত, এবং অবশ্যই, ক্রস পণ্যের নামমাত্র দৈর্ঘ্য সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফলের সমান নয়।
আমরা জ্যামিতিক সূত্রগুলির মধ্যে একটি স্মরণ করি: একটি সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফল সন্নিহিত বাহুর গুণফল এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণের সাইনের সমান. অতএব, পূর্বোক্তের উপর ভিত্তি করে, একটি ভেক্টর পণ্যের LENGTH গণনা করার সূত্রটি বৈধ:
আমি জোর দিয়েছি যে সূত্রে আমরা ভেক্টরের দৈর্ঘ্য সম্পর্কে কথা বলছি, ভেক্টর নিজেই নয়। ব্যবহারিক অর্থ কি? এবং অর্থটি এমন যে বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতির সমস্যাগুলিতে, একটি সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফল প্রায়শই একটি ভেক্টর পণ্যের ধারণার মাধ্যমে পাওয়া যায়:
আমরা দ্বিতীয় গুরুত্বপূর্ণ সূত্র পেতে. সমান্তরালগ্রামের কর্ণ (লাল বিন্দুযুক্ত রেখা) এটিকে দুটি সমান ত্রিভুজে বিভক্ত করে। অতএব, ভেক্টরের উপর নির্মিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল (লাল ছায়া) সূত্র দ্বারা পাওয়া যাবে:
4) একটি সমান গুরুত্বপূর্ণ সত্য হল যে ভেক্টর ভেক্টরের জন্য অর্থোগোনাল, অর্থাৎ 
. অবশ্যই, বিপরীতভাবে নির্দেশিত ভেক্টর (ক্রিমসন অ্যারো)ও মূল ভেক্টরের অর্থোগোনাল।
5) ভেক্টর যাতে নির্দেশিত হয় ভিত্তিইহা ছিল অধিকারঅভিযোজন সম্পর্কে একটি পাঠ একটি নতুন ভিত্তিতে রূপান্তরসম্পর্কে বিস্তারিত বলেছি সমতল অভিযোজন, এবং এখন আমরা স্থানের অভিযোজন কি তা বের করব। আমি আপনার আঙ্গুলের উপর ব্যাখ্যা করব ডান হাত. মানসিকভাবে একত্রিত করুন তর্জনীভেক্টর সহ এবং মধ্যমাভেক্টর সহ। অনামিকা এবং কনিষ্ঠ আঙুলআপনার তালুতে টিপুন। ফলে থাম্ব- ভেক্টর পণ্য দেখতে হবে. এটি ডান-ভিত্তিক ভিত্তি (এটি চিত্রে রয়েছে)। এখন ভেক্টর অদলবদল করুন ( তর্জনী এবং মধ্যম আঙ্গুল) কিছু জায়গায়, ফলস্বরূপ, থাম্বটি ঘুরবে এবং ভেক্টর পণ্যটি ইতিমধ্যে নীচের দিকে তাকাবে। এটিও একটি অধিকার-ভিত্তিক ভিত্তি। সম্ভবত আপনার একটি প্রশ্ন আছে: কি ভিত্তিতে একটি বাম অভিযোজন আছে? একই আঙ্গুলগুলি "বরাদ্দ করুন" বাম হাতভেক্টর , এবং বাম ভিত্তি এবং বাম স্থান অভিযোজন পান (এই ক্ষেত্রে, থাম্বটি নিম্ন ভেক্টরের দিকে অবস্থিত হবে). রূপকভাবে বলতে গেলে, এই ঘাঁটিগুলি "মোচড়" বা স্থানকে বিভিন্ন দিকে অভিমুখ করে। এবং এই ধারণাটিকে সুদূরপ্রসারী বা বিমূর্ত কিছু হিসাবে বিবেচনা করা উচিত নয় - উদাহরণস্বরূপ, সবচেয়ে সাধারণ আয়না স্থানের অভিযোজন পরিবর্তন করে এবং আপনি যদি "প্রতিফলিত বস্তুটিকে আয়না থেকে টেনে আনেন" তবে সাধারণভাবে এটি সম্ভব হবে না। এটি "মূল" এর সাথে একত্রিত করুন। যাইহোক, আয়নার কাছে তিনটি আঙুল আনুন এবং প্রতিফলন বিশ্লেষণ করুন ;-)
... এটা কত ভালো যে আপনি এখন সম্পর্কে জানেন ডান এবং বাম ভিত্তিকভিত্তি, কারণ অভিযোজন পরিবর্তন সম্পর্কে কিছু প্রভাষকের বক্তব্য ভয়ানক =)
সমতলীয় ভেক্টরের ভেক্টর গুণফল
সংজ্ঞাটি বিশদভাবে তৈরি করা হয়েছে, ভেক্টরগুলি সমরেখার হলে কী ঘটে তা খুঁজে বের করা বাকি রয়েছে। যদি ভেক্টরগুলি সমরেখার হয়, তাহলে সেগুলিকে একটি সরল রেখায় স্থাপন করা যেতে পারে এবং আমাদের সমান্তরালগ্রামও একটি সরল রেখায় "ভাঁজ" করে। ক্ষেত্রফল যেমন, গণিতবিদরা বলেন, অধঃপতনসমান্তরালগ্রাম শূন্য। একই সূত্র থেকে অনুসরণ করা হয় - শূন্য বা 180 ডিগ্রির সাইন শূন্যের সমান, যার মানে হল ক্ষেত্রফল শূন্য
এইভাবে, যদি, তারপর 
এবং 
. দয়া করে মনে রাখবেন যে ক্রস পণ্য নিজেই শূন্য ভেক্টরের সমান, কিন্তু বাস্তবে এটি প্রায়শই উপেক্ষা করা হয় এবং লেখা হয় যে এটি শূন্যের সমান।
একটি বিশেষ ক্ষেত্রে একটি ভেক্টরের ভেক্টর পণ্য এবং নিজেই:
ক্রস পণ্য ব্যবহার করে, আপনি ত্রিমাত্রিক ভেক্টরের সমন্বিততা পরীক্ষা করতে পারেন এবং আমরা অন্যদের মধ্যে এই সমস্যাটিও বিশ্লেষণ করব।
ব্যবহারিক উদাহরণ সমাধান করার জন্য, এটি প্রয়োজন হতে পারে ত্রিকোণমিতিক টেবিলএটি থেকে সাইনের মান খুঁজে বের করতে।
আচ্ছা, আসুন আগুন শুরু করি:
উদাহরণ 1
ক) যদি ভেক্টরের ভেক্টর গুণফলের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর 
খ) ভেক্টরের উপর নির্মিত সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন যদি 
সিদ্ধান্ত: না, এটা কোনো টাইপো নয়, আমি ইচ্ছাকৃতভাবে কন্ডিশন আইটেমের প্রাথমিক ডেটা একই করেছি। কারণ সমাধানের নকশা ভিন্ন হবে!
ক) শর্ত অনুযায়ী এটি খুঁজে বের করতে হবে দৈর্ঘ্যভেক্টর (ভেক্টর পণ্য)। সংশ্লিষ্ট সূত্র অনুযায়ী:
উত্তর:
যেহেতু এটি দৈর্ঘ্য সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করা হয়েছিল, তখন উত্তরে আমরা মাত্রা নির্দেশ করি - একক।
খ) শর্ত অনুযায়ী এটি খুঁজে বের করতে হবে বর্গক্ষেত্রভেক্টরের উপর নির্মিত সমান্তরাল বৃত্ত। এই সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফল ক্রস পণ্যের দৈর্ঘ্যের সংখ্যাগতভাবে সমান:
উত্তর:
দয়া করে মনে রাখবেন যে ভেক্টর পণ্য সম্পর্কে উত্তরে কোনও কথা নেই, আমাদের সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করা হয়েছিল চিত্র এলাকা, যথাক্রমে, মাত্রা হল বর্গ একক।
আমরা সর্বদা অবস্থার দ্বারা কী পাওয়া দরকার তা দেখি, এবং এর উপর ভিত্তি করে আমরা প্রণয়ন করি পরিষ্কারউত্তর. এটি আক্ষরিকতার মতো মনে হতে পারে, তবে শিক্ষকদের মধ্যে যথেষ্ট আক্ষরিকতাবাদী রয়েছে এবং ভাল সম্ভাবনা সহ কাজটি সংশোধনের জন্য ফিরিয়ে দেওয়া হবে। যদিও এটি একটি বিশেষভাবে স্ট্রেনড নিটপিক নয় - যদি উত্তরটি ভুল হয়, তবে একজনের ধারণা হয় যে ব্যক্তি সাধারণ জিনিসগুলি বোঝেন না এবং / অথবা কাজের সারমর্মটি খুঁজে পাননি। এই মুহূর্তটি সর্বদা নিয়ন্ত্রণে রাখা উচিত, উচ্চতর গণিত এবং অন্যান্য বিষয়েও যে কোনও সমস্যা সমাধান করা উচিত।
বড় অক্ষর "en" কোথায় গেল? নীতিগতভাবে, এটি অতিরিক্তভাবে সমাধানে আটকে যেতে পারে, তবে রেকর্ডটি ছোট করার জন্য, আমি তা করিনি। আমি আশা করি সবাই বুঝতে পেরেছেন এবং একই জিনিসের উপাধি।
নিজে নিজে সমাধানের জন্য একটি জনপ্রিয় উদাহরণ:
উদাহরণ 2
ভেক্টরের উপর নির্মিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন যদি 
ভেক্টর পণ্যের মাধ্যমে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল বের করার সূত্রটি সংজ্ঞাটির মন্তব্যে দেওয়া হয়েছে। পাঠ শেষে সমাধান এবং উত্তর।
অনুশীলনে, কাজটি সত্যিই খুব সাধারণ, ত্রিভুজগুলি সাধারণত নির্যাতন করা যেতে পারে।
অন্যান্য সমস্যা সমাধানের জন্য, আমাদের প্রয়োজন:
ভেক্টরের ক্রস পণ্যের বৈশিষ্ট্য
আমরা ইতিমধ্যে ভেক্টর পণ্যের কিছু বৈশিষ্ট্য বিবেচনা করেছি, তবে, আমি তাদের এই তালিকায় অন্তর্ভুক্ত করব।
নির্বিচারে ভেক্টর এবং একটি নির্বিচারে সংখ্যার জন্য, নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলি সত্য:
1) তথ্যের অন্যান্য উত্সগুলিতে, এই আইটেমটিকে সাধারণত বৈশিষ্ট্যগুলিতে আলাদা করা হয় না, তবে এটি ব্যবহারিক দিক থেকে খুব গুরুত্বপূর্ণ। অতএব এটি করা হোক.
2) 
- সম্পত্তি উপরেও আলোচনা করা হয়েছে, কখনও কখনও এটি বলা হয় কমিউটাটিভিটি. অন্য কথায়, ভেক্টরের ক্রম গুরুত্বপূর্ণ।
3) - সংমিশ্রণ বা সহযোগীভেক্টর পণ্য আইন। ধ্রুবকগুলি সহজেই ভেক্টর পণ্যের সীমার বাইরে নেওয়া হয়। সত্যিই, তারা সেখানে কি করছে?
4) - বিতরণ বা বিতরণভেক্টর পণ্য আইন। বন্ধনী খোলার সাথে কোন সমস্যা নেই।
একটি প্রদর্শন হিসাবে, একটি ছোট উদাহরণ বিবেচনা করুন:
উদাহরণ 3
যদি খুঁজুন 
সিদ্ধান্ত:শর্ত অনুসারে, এটি আবার ভেক্টর পণ্যের দৈর্ঘ্য খুঁজে বের করতে হবে। আসুন আমাদের ক্ষুদ্রাকৃতি আঁকুন: 
(1) সহযোগী আইন অনুসারে, আমরা ভেক্টর পণ্যের সীমার বাইরে ধ্রুবকগুলি বের করি।
(2) আমরা ধ্রুবকটিকে মডিউল থেকে বের করি, যখন মডিউলটি বিয়োগ চিহ্নটি "খায়"। দৈর্ঘ্য নেতিবাচক হতে পারে না।
(3) নিম্নলিখিত কি স্পষ্ট.
উত্তর: 
আগুনে কাঠ নিক্ষেপ করার সময় এসেছে:
উদাহরণ 4
ভেক্টরের উপর নির্মিত একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল গণনা করুন যদি 
সিদ্ধান্ত: সূত্র ব্যবহার করে একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন 
. সমস্যা হল যে ভেক্টর "ce" এবং "te" নিজেদেরকে ভেক্টরের যোগফল হিসাবে উপস্থাপন করা হয়। এখানে অ্যালগরিদমটি আদর্শ এবং পাঠের নং 3 এবং 4 নং উদাহরণের কিছুটা স্মরণ করিয়ে দেয়। ভেক্টরের ডট পণ্য. স্বচ্ছতার জন্য এটিকে তিনটি ধাপে ভাগ করা যাক:
1) প্রথম ধাপে, আমরা ভেক্টর পণ্যের মাধ্যমে ভেক্টর পণ্য প্রকাশ করি, আসলে, ভেক্টরকে ভেক্টরের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ কর. দৈর্ঘ্য সম্পর্কে এখনও কোন শব্দ!
(1) আমরা ভেক্টরের অভিব্যক্তি প্রতিস্থাপন করি।
(2) বন্টনমূলক আইন ব্যবহার করে, বহুপদ গুণনের নিয়ম অনুযায়ী বন্ধনী খুলুন।
(3) সহযোগী আইন ব্যবহার করে, আমরা ভেক্টর পণ্যগুলির বাইরে সমস্ত ধ্রুবক বের করি। সামান্য অভিজ্ঞতার সাথে, ক্রিয়া 2 এবং 3 একই সাথে সঞ্চালিত হতে পারে।
(4) আনন্দদায়ক সম্পত্তির কারণে প্রথম এবং শেষ পদগুলি শূন্য (শূন্য ভেক্টর) এর সমান। দ্বিতীয় মেয়াদে, আমরা ভেক্টর পণ্যের প্রতিকমিউটিভিটি বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করি:
(5) আমরা অনুরূপ পদ উপস্থাপন করি।
ফলস্বরূপ, ভেক্টরটি একটি ভেক্টরের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়েছিল, যা অর্জন করা দরকার ছিল: 
2) দ্বিতীয় ধাপে, আমরা আমাদের প্রয়োজনীয় ভেক্টর পণ্যের দৈর্ঘ্য খুঁজে পাই। এই ক্রিয়াটি উদাহরণ 3 এর অনুরূপ: 
3) পছন্দসই ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল খুঁজুন: 
সমাধানের ধাপ 2-3 এক লাইনে সাজানো যেতে পারে।
উত্তর:
বিবেচিত সমস্যাটি পরীক্ষায় বেশ সাধারণ, এখানে একটি স্বাধীন সমাধানের জন্য একটি উদাহরণ রয়েছে:
উদাহরণ 5
যদি খুঁজুন
পাঠ শেষে সংক্ষিপ্ত সমাধান এবং উত্তর। দেখা যাক আগের উদাহরণগুলো পড়ার সময় আপনি কতটা মনোযোগী ছিলেন ;-)
স্থানাঙ্কে ভেক্টরের ক্রস পণ্য
, অর্থনর্মাল ভিত্তিতে দেওয়া, সূত্র দ্বারা প্রকাশ করা হয়:
সূত্রটি সত্যিই সহজ: আমরা নির্ধারকের উপরের লাইনে স্থানাঙ্ক ভেক্টর লিখি, আমরা ভেক্টরগুলির স্থানাঙ্কগুলিকে দ্বিতীয় এবং তৃতীয় লাইনে "প্যাক" করি এবং আমরা রাখি কঠোর আদেশে- প্রথমে, ভেক্টর "ve" এর স্থানাঙ্ক, তারপর ভেক্টর "ডবল-ve" এর স্থানাঙ্ক। যদি ভেক্টরগুলিকে ভিন্ন ক্রমে গুণিত করার প্রয়োজন হয়, তবে লাইনগুলিও অদলবদল করা উচিত: 
উদাহরণ 10
নিম্নলিখিত স্পেস ভেক্টরগুলি সমরেখার কিনা তা পরীক্ষা করুন:
ক)
খ) 
সিদ্ধান্ত: পরীক্ষাটি এই পাঠের একটি বিবৃতির উপর ভিত্তি করে করা হয়েছে: যদি ভেক্টরগুলি সমরেখার হয়, তাহলে তাদের ক্রস গুণফল শূন্য (শূন্য ভেক্টর): 
.
ক) ভেক্টর পণ্য খুঁজুন: 
তাই ভেক্টর সমরেখার নয়।
খ) ভেক্টর পণ্য খুঁজুন: 
উত্তর: ক) সমরেখা নয়, খ)
এখানে, সম্ভবত, ভেক্টরের ভেক্টর পণ্য সম্পর্কে সমস্ত প্রাথমিক তথ্য।
এই বিভাগটি খুব বড় হবে না, যেহেতু ভেক্টরের মিশ্র পণ্য ব্যবহার করা হয় সেখানে কয়েকটি সমস্যা রয়েছে। আসলে, সবকিছু সংজ্ঞা, জ্যামিতিক অর্থ এবং কয়েকটি কার্যকরী সূত্রের উপর নির্ভর করবে।
ভেক্টরের মিশ্র গুণফল তিনটি ভেক্টরের গুণফল:
এভাবেই তারা ট্রেনের মতো সারিবদ্ধ হয়ে অপেক্ষা করে, তারা হিসাব না করা পর্যন্ত অপেক্ষা করতে পারে না।
প্রথমে আবার সংজ্ঞা এবং ছবি:
সংজ্ঞা: মিশ্র পণ্য নন-কপ্লানারভেক্টর, এই ক্রমে নেওয়া, বলা হয় সমান্তরাল পাইপ এর আয়তন, এই ভেক্টরগুলির উপর নির্মিত, ভিত্তিটি সঠিক হলে একটি "+" চিহ্ন দিয়ে সজ্জিত, এবং ভিত্তিটি বামে থাকলে একটি "-" চিহ্ন।
এর অঙ্কন করা যাক. আমাদের কাছে অদৃশ্য রেখাগুলি একটি বিন্দুযুক্ত রেখা দ্বারা আঁকা হয়: 
আসুন সংজ্ঞায় ডুব দেওয়া যাক:
2) ভেক্টর নেওয়া একটি নির্দিষ্ট ক্রমে, অর্থাৎ, পণ্যে ভেক্টরের স্থানান্তর, যেমন আপনি অনুমান করতে পারেন, ফলাফল ছাড়া যায় না।
3) জ্যামিতিক অর্থ সম্পর্কে মন্তব্য করার আগে, আমি স্পষ্ট সত্যটি নোট করব: ভেক্টরের মিশ্র গুণফল একটি NUMBER: শিক্ষাগত সাহিত্যে, নকশা কিছুটা ভিন্ন হতে পারে, আমি একটি মিশ্র পণ্যের মাধ্যমে মনোনীত করতাম এবং "পে" অক্ষর দিয়ে গণনার ফলাফল।
এ-প্রিয়রি মিশ্র পণ্য হল সমান্তরাল পাইপের আয়তন, ভেক্টরের উপর নির্মিত (চিত্রটি লাল ভেক্টর এবং কালো রেখা দিয়ে আঁকা হয়েছে)। অর্থাৎ, সংখ্যাটি প্রদত্ত প্যারালেলেপিপডের আয়তনের সমান।
বিঃদ্রঃ : অঙ্কন পরিকল্পিত.
4) আসুন ভিত্তি এবং স্থানের ওরিয়েন্টেশনের ধারণা নিয়ে আবার মাথা ঘামাই না। চূড়ান্ত অংশের অর্থ হল আয়তনে একটি বিয়োগ চিহ্ন যোগ করা যেতে পারে। সহজ শর্তে, মিশ্র পণ্য নেতিবাচক হতে পারে: .
ভেক্টরের উপর নির্মিত সমান্তরাল পাইপের আয়তন গণনার সূত্রটি সরাসরি সংজ্ঞা থেকে অনুসরণ করে।
সংজ্ঞা।সংখ্যাটিকে [, ] ভেক্টরের ত্রিগুণ ক্রমাগত মিশ্র গুণফল বলা হয়।
আমরা বোঝাই: (,) = = [, ]।
যেহেতু ভেক্টর এবং স্কেলার পণ্যগুলি মিশ্র পণ্যের সংজ্ঞায় জড়িত, তাদের সাধারণ বৈশিষ্ট্যগুলি মিশ্র পণ্যের বৈশিষ্ট্য।
যেমন, () = ()।
উপপাদ্য ঘ. তিনটি কপ্ল্যানার ভেক্টরের মিশ্র গুণফল শূন্য।
প্রমাণ।যদি প্রদত্ত ভেক্টরের ট্রিপলেটটি কপ্ল্যানার হয়, তাহলে নিম্নলিখিত শর্তগুলির মধ্যে একটি ভেক্টরের জন্য সন্তুষ্ট।
- 1. ভেক্টরের এই ট্রিপলে অন্তত একটি শূন্য ভেক্টর থাকে। এই ক্ষেত্রে, উপপাদ্যের প্রমাণ সুস্পষ্ট।
- 2. এই ট্রিপল ভেক্টরে অন্তত একজোড়া সমরেখা ভেক্টর থাকে। যদি ||, তাহলে [, ] = 0, কারণ [, ]=। যদি একটি
|| , তারপর [, ] এবং [, ] = 0. একইভাবে, যদি || .
3. প্রদত্ত ভেক্টরের ট্রিপলকে কপ্ল্যানার হতে দিন, কিন্তু ক্ষেত্রে 1 এবং 2 সন্তুষ্ট নয়। তারপর ভেক্টর [, ] হবে লম্ব যে সমতলে তিনটি ভেক্টর, .
অতএব, [, ] এবং (,) = 0।
উপপাদ্য 2।বেসিসে () ভেক্টর (), (), () দেওয়া যাক। তারপর
প্রমাণ।মিশ্র পণ্যের সংজ্ঞা অনুযায়ী
(,) = [, ] = s 1 - s 2 + s 3 = .
নির্ধারকের বৈশিষ্ট্যের কারণে, আমাদের আছে:
উপপাদ্য প্রমাণিত.
উপপাদ্য 3. (,) = [, ].
প্রমাণ. হিসাবে
এবং নির্ধারকের বৈশিষ্ট্যের ভিত্তিতে আমাদের আছে:
(,) = = = [, ] = [, ].
উপপাদ্য প্রমাণিত.
উপপাদ্য 4. একটি নন-কপ্লানার ট্রিপল ভেক্টরের মিশ্র পণ্যের মডুলাস সংখ্যাগতভাবে একটি সাধারণ উৎসের এই ভেক্টরগুলির প্রতিনিধিদের উপর নির্মিত সমান্তরাল পাইপের আয়তনের সমান।
প্রমাণ. আমরা একটি স্বেচ্ছাচারী বিন্দু O নির্বাচন করি এবং এটি থেকে এই ভেক্টরগুলির প্রতিনিধিদের আলাদা করে রাখি, : ,। সমতল OAB-তে, আমরা একটি সমান্তরাল লোগ্রাম OADB তৈরি করি এবং, একটি প্রান্ত OS যোগ করে, আমরা একটি সমান্তরাল পাইপড OADBCADB তৈরি করি। এই সমান্তরাল পাইপটির ভলিউম V বেস ОАDB এর ক্ষেত্রফলের গুণফল এবং সমান্তরাল পাইপড ОО এর উচ্চতার দৈর্ঘ্যের সমান।
সমান্তরাল লোগ্রাম ОАDB এর ক্ষেত্রফল |[, ]| এর সমান। অন্যদিকে
|ওও| = || |cos |, ভেক্টর এবং [, ] এর মধ্যে কোণ কোথায়।
মিশ্র পণ্য মডিউল বিবেচনা করুন:
|(,)| = | [, ]| = |[, ]||||cos | = |[, ]||OO| = ভি.
উপপাদ্য প্রমাণিত হয়েছে।
মন্তব্য ১.যদি ট্রিপল ভেক্টরের মিশ্র গুণফল শূন্যের সমান হয়, তাহলে ভেক্টরের এই ট্রিপলটি রৈখিকভাবে নির্ভরশীল।
মন্তব্য 2.যদি প্রদত্ত ভেক্টরের ট্রিপলের মিশ্র গুণফল ধনাত্মক হয়, তাহলে ভেক্টরের ট্রিপলটি ডান, এবং যদি এটি ঋণাত্মক হয়, তাহলে ভেক্টরের ট্রিপলটি বামে। প্রকৃতপক্ষে, মিশ্র পণ্যের চিহ্নটি cos চিহ্নের সাথে মিলে যায়, এবং কোণের মাত্রা ট্রিপলের অভিযোজন নির্ধারণ করে। যদি কোণটি তীক্ষ্ণ হয়, তাহলে ত্রিপলটি ডান, এবং যদি এটি একটি স্থূলকোণ হয়, তবে ত্রিপলটি বাম।
উদাহরণ 1একটি সমান্তরাল পাইপযুক্ত ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 এবং একটি অর্থনর্মাল ভিত্তিতে নিম্নলিখিত ভেক্টরগুলির স্থানাঙ্ক দেওয়া হয়েছে: (4; 3; 0), (2; 1; 2), (-3; -2; 5)।
খুঁজুন: 1) সমান্তরাল পাইপ এর আয়তন;
- 2) মুখের এলাকা ABCD এবং CDD 1 C;
- 3) প্লেন ABC এবং CDD 1 এর মধ্যে ডিহেড্রাল কোণের কোসাইন।
সিদ্ধান্ত.
এই বাক্সটি ভেক্টরের উপর নির্মিত
সুতরাং, এর আয়তন এই ভেক্টরগুলির মিশ্র পণ্যের মডুলাসের সমান, যেমন
সুতরাং, ভি বাষ্প \u003d 12 ঘন একক।
মনে রাখবেন যে একটি সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফল যে ভেক্টরের উপর এটি নির্মিত হয়েছে তার ক্রস পণ্যের দৈর্ঘ্যের সমান।
আমরা স্বরলিপি প্রবর্তন: , তারপর
অতএব, (6; - 8; - 2), কোথা থেকে
যে. বর্গ ইউনিট
একইভাবে,
তাহলে যাক
কোথা থেকে (15; - 20; 1) এবং
তাই বর্গ ইউনিট।
আসুন আমরা নিম্নলিখিত স্বরলিপি চালু করি: sq. (ABC)=, pl. (ডিসিসি 1) =।
একটি ভেক্টর পণ্যের সংজ্ঞা অনুযায়ী, আমাদের আছে:
সুতরাং নিম্নলিখিত সমতা সত্য:
সমাধানের দ্বিতীয় বিন্দু থেকে আমাদের আছে:
প্রমাণ করুন যে, যদি পারস্পরিক লম্ব একক ভেক্টর হয়, তাহলে যেকোনো ভেক্টরের জন্য এবং সমতা সত্য:
সিদ্ধান্ত.
অর্থনর্মাল ভিত্তিতে ধরা যাক, ভেক্টরগুলির স্থানাঙ্কগুলি দেওয়া হয়েছে: ; . যেহেতু, মিশ্র পণ্যের সম্পত্তি দ্বারা, আমাদের আছে:
এইভাবে, সমতা (1) নিম্নলিখিত আকারে লেখা যেতে পারে: , এবং এটি ভেক্টরের ভেক্টর গুণফলের প্রমাণিত বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে একটি এবং। সুতরাং, সমতার বৈধতা (1) প্রমাণিত হয়।
নিয়ন্ত্রণ কাজের শূন্য সংস্করণের সমাধান
টাস্ক নম্বর 1
ভেক্টর ভিত্তি ভেক্টর এবং, যথাক্রমে, কোণ এবং সঙ্গে ফর্ম. একটি ভেক্টর একটি ভেক্টর দিয়ে যে কোণ তৈরি করে তা নির্ধারণ করুন।
সিদ্ধান্ত.
আসুন ভেক্টর এবং একটি তির্যকের উপর একটি সমান্তরাল পাইপ তৈরি করি, যাতে ভেক্টর এবং সমান হয়।
তারপর একটি সমকোণ বিশিষ্ট একটি সমকোণী ত্রিভুজে, কোণের মাত্রা হল কোথা থেকে।
একইভাবে, সমকোণ বিশিষ্ট একটি সমকোণী ত্রিভুজে, মাত্রা হল কোথা থেকে।
একটি সমকোণী ত্রিভুজে, পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য অনুসারে, আমরা পাই:
সমকোণ সহ একটি সমকোণ ত্রিভুজে, পা এবং কর্ণ। তাই কোণ সমান। কিন্তু কোণটি ভেক্টর এবং এর মধ্যবর্তী কোণের সমান। এইভাবে, সমস্যা সমাধান করা হয়.
টাস্ক নম্বর 2।
তিনটি ভেক্টর দেওয়া হয়, ভিত্তিতে,. প্রমাণ কর যে চতুর্ভুজ সমতল। এর এলাকা খুঁজুন।
সিদ্ধান্ত.
1. যদি ভেক্টর এবং কপ্ল্যানার হয়, তাহলে এটি একটি সমতল চতুর্ভুজ। আসুন আমরা এই ভেক্টরগুলির স্থানাঙ্কগুলি দ্বারা গঠিত নির্ধারক গণনা করি।
যেহেতু নির্ণায়কটি শূন্য, ভেক্টর এবং কপ্ল্যানার, যার মানে চতুর্ভুজটি সমতল।
2. লক্ষ্য করুন যে, অতএব, এবং এইভাবে চতুর্ভুজটি AB এবং CD বেস সহ একটি ট্র্যাপিজয়েড।
ভেক্টর পণ্যের সম্পত্তি দ্বারা, আমাদের আছে:
ভেক্টর পণ্য খোঁজা
টাস্ক নম্বর 3।ভেক্টর (2; 1; -2) এর সাথে একটি ভেক্টর সমরেখা খুঁজুন যার দৈর্ঘ্য 5।
সিদ্ধান্ত.
ভেক্টরের স্থানাঙ্ক (x, y, z) বোঝাই। আপনি জানেন, সমরেখা ভেক্টরের স্থানাঙ্কগুলি সমানুপাতিক, এবং তাই আমাদের আছে:
x = 2t, y = t, z = ? 2টি.
সমস্যা অবস্থা দ্বারা || = 5, এবং সমন্বয় আকারে:
t প্যারামিটারের পরিপ্রেক্ষিতে ভেরিয়েবল প্রকাশ করলে আমরা পাই:
4t2+t2+4t2=25,
এইভাবে,
x = , y = , z = .
আমরা দুটি সমাধান পেয়েছি।
এই বিষয়টি বিস্তারিতভাবে বিবেচনা করার জন্য, আপনাকে আরও কয়েকটি বিভাগ কভার করতে হবে। বিষয়টি ডট এবং ক্রস পণ্যের মতো পদের সাথে সরাসরি সম্পর্কিত। এই নিবন্ধে, আমরা একটি সঠিক সংজ্ঞা দেওয়ার চেষ্টা করেছি, একটি সূত্র নির্দেশ করে যা ভেক্টরগুলির স্থানাঙ্ক ব্যবহার করে পণ্য নির্ধারণে সহায়তা করবে। উপরন্তু, নিবন্ধটি কাজের বৈশিষ্ট্যগুলির তালিকাভুক্ত বিভাগগুলি অন্তর্ভুক্ত করে এবং সাধারণ সমতা এবং সমস্যাগুলির একটি বিশদ বিশ্লেষণ উপস্থাপন করে।
মেয়াদ
এই শব্দটি কী তা নির্ধারণ করার জন্য, আপনাকে তিনটি ভেক্টর নিতে হবে।
সংজ্ঞা 1
মিশ্র পণ্য a → , b → এবং d → হল সেই মান যা a → × b → এবং d → এর ডট গুণফলের সমান, যেখানে a → × b → a → এবং b → এর গুণফল। a → , b → এবং d → গুণনের ক্রিয়াটি প্রায়শই a → · b → · d → দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। আপনি সূত্রটিকে এভাবে রূপান্তর করতে পারেন: a → b → d → = (a → × b → , d →)।
একটি স্থানাঙ্ক সিস্টেমে গুণন
স্থানাঙ্ক সমতলে নির্দিষ্ট করা থাকলে আমরা ভেক্টরকে গুণ করতে পারি।
i → , j → , k → নিন
এই বিশেষ ক্ষেত্রে ভেক্টরের গুণফলের নিম্নলিখিত ফর্ম থাকবে: a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x + a x b z) j → + (a x b y + a y b x) k → = a y a z b y b z i → - a x a z → + a x a y b x b y k →
সংজ্ঞা 2
ডট পণ্য সঞ্চালনস্থানাঙ্ক সিস্টেমে, আপনাকে অবশ্যই স্থানাঙ্কের গুণনের সময় প্রাপ্ত ফলাফল যোগ করতে হবে।
অতএব:
a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x + a x b z) j → + (a x b y + a y b x) k → = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a b xy → a b xy →
আমরা ভেক্টরগুলির একটি মিশ্র গুণফলকেও সংজ্ঞায়িত করতে পারি যদি, একটি প্রদত্ত স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায়, গুণিত হওয়া ভেক্টরগুলির স্থানাঙ্কগুলি নির্দিষ্ট করা হয়।
a → × b → = (a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a y b x b y k → , d x i → + d y j → + d z k →) = = a y a z b y b z d x - a x a z b x b z d y + a x a y b x b y d z = a x a y a z b x b y b z d x d y d z
সুতরাং, এটি উপসংহারে আসা যেতে পারে যে:
a → b → d = a → × b → , d → = a x a y a z b x b y b z d x d y d z
সংজ্ঞা 3
একটি মিশ্র পণ্য সমান করা যেতে পারেএকটি ম্যাট্রিক্সের নির্ধারকের কাছে যার সারিগুলি ভেক্টর স্থানাঙ্ক। দৃশ্যত, এটি এইরকম দেখায়: a → b → d = a → × b → , d → = a x a y a z b x b y b z d x d y d z।
ভেক্টরের উপর ক্রিয়াকলাপের বৈশিষ্ট্যগুলি একটি স্কেলার বা ভেক্টর পণ্যের বৈশিষ্ট্যগুলি থেকে, আপনি মিশ্র পণ্যটির বৈশিষ্ট্যযুক্ত বৈশিষ্ট্যগুলি অর্জন করতে পারেন। আমরা নীচের প্রধান বৈশিষ্ট্য উপস্থাপন.
- (λ a →) b → d → = a → (λ b →) d → = a → b → (λ d →) = λ a → b → d → λ ∈ R;
- a → b → d → = d → a → b → = b → d → a → ; a → d → b → = b → a → d → = d → b → a → ;
- (a (1) → + a (2) →) b → d → = a (1) → b → d → + a (2) → b → d → a → (b(1) → + b (2) →) d → = a → b (1) → d → + a → b (2) → d → a → b → (d (1) → + d (2) →) = a → b → d (2) → + a → b → d (2) →
উপরের বৈশিষ্ট্যগুলি ছাড়াও, এটি স্পষ্ট করা উচিত যে যদি গুণনীয়কটি শূন্য হয়, তবে গুণের ফলাফলও শূন্য হবে।
দুই বা ততোধিক গুণনীয়ক সমান হলে গুণের ফলাফলও শূন্য হবে।
প্রকৃতপক্ষে, যদি a → = b → , তাহলে, ভেক্টর পণ্যের সংজ্ঞা অনুসরণ করে [ a → × b → ] = a → b → sin 0 = 0 , অতএব, মিশ্র পণ্যটি শূন্যের সমান, যেহেতু ([ a → × b → ] , d →) = (0 → , d →) = 0।
যদি a → = b → বা b → = d → হয়, তাহলে ভেক্টরের মধ্যে কোণ [ a → × b → ] এবং d → সমান π 2। ভেক্টরের স্কেলার গুণফলের সংজ্ঞা অনুসারে ([ a → × b → ] , d →) = [ a → × b → ] · d → · cos π 2 = 0 ।
সমস্যা সমাধানের সময় গুণন অপারেশনের বৈশিষ্ট্যগুলি প্রায়শই প্রয়োজন হয়।
এই বিষয়টিকে বিশদভাবে বিশ্লেষণ করার জন্য, আসুন কয়েকটি উদাহরণ গ্রহণ করি এবং সেগুলি বিস্তারিতভাবে বর্ণনা করি।
উদাহরণ 1
সমতা প্রমাণ করুন ([ a → × b → ] , d → + λ · a → + b →) = ([ a → × b → ] , d →), যেখানে λ কিছু বাস্তব সংখ্যা।
এই সমতার সমাধান খুঁজতে হলে এর বাম দিকের রূপান্তর প্রয়োজন। এটি করার জন্য, আপনাকে মিশ্র পণ্যের তৃতীয় বৈশিষ্ট্যটি ব্যবহার করতে হবে, যা পড়ে:
([ a → × b → ] , d → + λ a → + b →) = ([ a → × b → ] , d →) + ([ a → × b → ] , λ a →) + ( [ a → × b → ] , b →)
আমরা বিশ্লেষণ করেছি যে (([ a → × b → ] , b →) = 0. এটি থেকে এটি অনুসরণ করে যে
([ a → × b → ] , d → + λ a → + b →) = ([ a → × b → ] , d →) + ([ a → × b → ] , λ a →) + ( [ a → × b → ] , b →) = = ([ a → × b → ] , d →) + ([ a → × b → ] , λ a →) + 0 = ([ a → × b → ] , d →) + ([ a → × b → ] , λ a →)
প্রথম বৈশিষ্ট্য অনুসারে ([a ⇀ × b ⇀] , λ · a →) = λ · ([ a ⇀ × b ⇀ ] , a →) , এবং ([ a ⇀ × b ⇀ ] , a →) = 0 . এইভাবে, ([ a ⇀ × b ⇀ ] , λ · a →)। তাই,
([ a ⇀ × b ⇀ ] , d → + λ a → + b →) = ([ a ⇀ × b ⇀ ] , d →) + ([ a ⇀ × b ⇀ ] , λ a →) = = ([ a ⇀ × b ⇀ ] , d →) + 0 = ([ a ⇀ × b ⇀ ] , d →)
সমতা প্রমাণিত হয়েছে।
উদাহরণ 2
এটি প্রমাণ করা প্রয়োজন যে তিনটি ভেক্টরের মিশ্র গুণফলের মডুলাস তাদের দৈর্ঘ্যের গুণফলের চেয়ে বেশি নয়।
সিদ্ধান্ত
শর্তের উপর ভিত্তি করে, আমরা উদাহরণটিকে একটি অসমতা a → × b → , d → ≤ a → b → d → হিসাবে উপস্থাপন করতে পারি।
সংজ্ঞা অনুসারে, আমরা অসমতা রূপান্তর করি d → cos ([ a → × b → ^ ] , d)
প্রাথমিক ফাংশন ব্যবহার করে, আমরা উপসংহারে আসতে পারি যে 0 ≤ sin (a → , b → ^) ≤ 1 , 0 ≤ cos ([ a → × b → ^ ] , d →) ≤ 1 ।
এ থেকে এ সিদ্ধান্তে আসা যায়
(a → × b → , d →) = a → b → sin (a → , b →) ^ d → cos (a → × b → ^ , d →) ≤ ≤ a → b → 1 d → 1 = a → খ → ডি →
বৈষম্য প্রমাণিত হয়েছে।
সাধারণ কাজ বিশ্লেষণ
ভেক্টরের গুণফল কী তা নির্ধারণ করার জন্য, গুণিত ভেক্টরগুলির স্থানাঙ্কগুলি জানা উচিত। অপারেশনের জন্য, আপনি নিম্নলিখিত সূত্রটি ব্যবহার করতে পারেন a → b → d → = (a → × b → , d →) = a x a y a z b x b y b z d x d y d z।
উদাহরণ 3
একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায়, নিম্নলিখিত স্থানাঙ্ক সহ 3টি ভেক্টর রয়েছে: a → = (1 , - 2 , 3), b → (- 2 , 2 , 1) , d → = (3 , - 2 , 5 ) নির্দেশিত ভেক্টরের গুণফল a → · b → · d → সমান তা নির্ধারণ করা প্রয়োজন।
উপরে উপস্থাপিত তত্ত্বের উপর ভিত্তি করে, আমরা নিয়মটি ব্যবহার করতে পারি যা বলে যে মিশ্র পণ্যটি ম্যাট্রিক্স নির্ধারকের পরিপ্রেক্ষিতে গণনা করা যেতে পারে। এটি দেখতে এরকম হবে: a → b → d → = (a → × b → , d →) = a x a y a z b x b y b z d x d y d z = 1 - 2 3 - 2 2 1 3 - 2 5 = = 1 2 5 + (- 1) + 3 (- 2) (- 2) - 3 2 3 - (- 1) (- 2) 5 - 1 1 (- 2) = - 7
উদাহরণ 4
i → + j → , i → + j → - k → , i → + j → + 2 k → , যেখানে i → , j → , k → একটি আয়তক্ষেত্রের একক ভেক্টর খুঁজে বের করতে হবে। কার্টেসিয়ান সমন্বয় ব্যবস্থা।
ভেক্টরগুলি একটি প্রদত্ত স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় অবস্থিত এই শর্তের ভিত্তিতে, আমরা তাদের স্থানাঙ্কগুলি বের করতে পারি: i → + j → = (1 , 1 , 0) i → + j → - k → = (1 , 1 , - 1) ) i → + j → + 2 k → = (1 , 1 , 2)
উপরের সূত্রটি ব্যবহার করুন
i → + j → × (i → + j → - k → , (i → + j → + 2 k →) = 1 1 0 1 1 - 1 1 1 2 = 0 i → + j → × (i → + j → - k → , (i → + j → + 2 k →) = 0
ভেক্টরের দৈর্ঘ্য, যা ইতিমধ্যেই পরিচিত, এবং তাদের মধ্যে কোণ ব্যবহার করে মিশ্র পণ্যটি সংজ্ঞায়িত করাও সম্ভব। আসুন একটি উদাহরণে এই থিসিস বিশ্লেষণ করা যাক.
উদাহরণ 5
একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায়, তিনটি ভেক্টর থাকে a → , b → এবং d → যা একে অপরের সাথে লম্ব। তারা একটি ডান ট্রিপল এবং তাদের দৈর্ঘ্য 4, 2 এবং 3। আমাদের ভেক্টর গুন করতে হবে।
c → = a → × b → নির্দেশ করুন।
নিয়ম অনুসারে, স্কেলার ভেক্টরকে গুণ করার ফলাফল এমন একটি সংখ্যা যা তাদের মধ্যবর্তী কোণের কোসাইন দ্বারা ব্যবহৃত ভেক্টরগুলির দৈর্ঘ্যকে গুণ করার ফলাফলের সমান। আমরা উপসংহারে পৌঁছেছি যে a → b → d → = ([ a → × b → ] , d →) = c → , d → = c → d → cos (c → , d → ^)।
আমরা উদাহরণের শর্তে নির্দিষ্ট করা ভেক্টর d → এর দৈর্ঘ্য ব্যবহার করি: a → b → d → = c → d → cos (c → , d → ^) = 3 c → cos (c → , d → ^)। c → এবং c → , d → ^ সংজ্ঞায়িত করা প্রয়োজন। শর্ত অনুসারে a → , b → ^ = π 2 , a → = 4 , b → = 2। আমরা সূত্র ব্যবহার করে c → ভেক্টর খুঁজে পাই: c → = [ a → × b → ] = a → b → sin a → , b → ^ = 4 2 sin π 2 = 8
এটি উপসংহারে আসা যেতে পারে যে c → a → এবং b → এর সাথে লম্ব। a → , b → , c → ভেক্টর সঠিক ট্রিপল হবে, তাই কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা ব্যবহার করা হয়। ভেক্টর c → এবং d → হবে একমুখী, অর্থাৎ c → , d → ^ = 0। প্রাপ্ত ফলাফলগুলি ব্যবহার করে, আমরা উদাহরণটি সমাধান করি a → · b → · d → = 3 · c → · cos (c → , d → ^) = 3 · 8 · cos 0 = 24।
a → · b → · d → = 24।
আমরা a → , b → এবং d → ফ্যাক্টর ব্যবহার করি।
a → , b → এবং d → ভেক্টর একই বিন্দু থেকে আসে। আমরা একটি চিত্র তৈরি করার জন্য তাদের পক্ষ হিসাবে ব্যবহার করি।
উল্লেখ করুন যে c → = [ a → × b → ]। এই ক্ষেত্রে, আমরা ভেক্টরের গুণফলকে → b → d → = c → d → cos (c → , d → ^) = c → n p c → d → হিসাবে সংজ্ঞায়িত করতে পারি, যেখানে n p c → d → হল সংখ্যাসূচক অভিক্ষেপ ভেক্টর d → ভেক্টরের দিক c → = [ a → × b → ]।
n p c → d → এর পরম মান একটি সংখ্যার সমান যা চিত্রের উচ্চতার সমান, যার জন্য ভেক্টর a → , b → এবং d → পার্শ্ব হিসাবে ব্যবহৃত হয়। এর উপর ভিত্তি করে, এটি স্পষ্ট করা উচিত যে c → = [ a → × b → ] একটি → এবং একটি ভেক্টরের সাথে লম্ব এবং ভেক্টর গুণনের সংজ্ঞা অনুসারে একটি ভেক্টর। মান c → = a → x b → a → এবং b → ভেক্টরের উপর নির্মিত সমান্তরাল পাইপের ক্ষেত্রফলের সমান।
আমরা উপসংহারে পৌঁছেছি যে a → b → d → = c → n p c → d → অঙ্কের উচ্চতা দ্বারা ভিত্তি ক্ষেত্রফলকে গুণ করার ফলাফলের সমান, যা a → , b → এবং ভেক্টরের উপর নির্মিত। d →
সংজ্ঞা 4
ক্রস পণ্যের পরম মান হল সমান্তরাল পাইপের আয়তন: V সমান্তরাললেলেপি পিডা = a → · b → · d → .
এই সূত্রটি জ্যামিতিক অর্থ।
সংজ্ঞা 5
একটি টেট্রাহেড্রনের আয়তন, যা a → , b → এবং d → এর উপর নির্মিত, সমান্তরাল পাইপ এর আয়তনের 1/6 সমান = 1 6 · a → · b → · d →।
জ্ঞান একত্রিত করার জন্য, আমরা কয়েকটি সাধারণ উদাহরণ বিশ্লেষণ করব।
উদাহরণ 6
সমান্তরাল পাইপের আয়তন খুঁজে বের করা প্রয়োজন, যার বাহুগুলি হল A B → = (3 , 6 , 3), A C → = (1 , 3 , - 2) , A A 1 → = (2 , 2 , 2) , একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক সিস্টেমে দেওয়া হয়। পরম মান সূত্র ব্যবহার করে একটি সমান্তরাল পাইপের আয়তন পাওয়া যেতে পারে। এটি থেকে এটি অনুসরণ করে: A B → A C → A A 1 → = 3 6 3 1 3 - 2 2 2 2 = 3 3 2 + 6 (- 2) 2 + 3 1 2 - 3 3 2 - 6 1 2 - 3 (- 2) 2 = - 18
তারপর, V সমান্তরাল পাইপডা = - 18 = 18।
V সমান্তরাললেলেপিপিডা = 18
উদাহরণ 7
স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় A (0 , 1 , 0), B (3 , - 1 , 5), C (1 , 0 , 3), D (- 2 , 3 , 1) বিন্দু রয়েছে। এই পয়েন্টগুলিতে অবস্থিত টেট্রাহেড্রনের আয়তন নির্ধারণ করা প্রয়োজন।
আসুন V t e t r hedra = 1 6 · A B → · A C → · A D → সূত্রটি ব্যবহার করি। আমরা বিন্দুর স্থানাঙ্ক থেকে ভেক্টরের স্থানাঙ্ক নির্ধারণ করতে পারি: A B → = (3 - 0 , - 1 - 1 , 5 - 0) = (3 , - 2 , 5) A C → = (1 - 0 , 0) - 1 , 3 - 0 ) = (1 , - 1 , 3) A D → = (- 2 - 0 , 3 - 1 , 1 - 0) = (- 2 , 2 , 1)
এর পরে, আমরা ভেক্টরগুলির স্থানাঙ্ক দ্বারা মিশ্র পণ্য A B → A C → A D → সংজ্ঞায়িত করি: A B → A C → A D → = 3 - 2 5 1 - 1 3 - 2 2 1 = 3 (- 1) 1 + (- 2 ) 3 (- 2) + 5 1 2 - 5 (- 1) (- 2) - (- 2) 1 1 - 3 3 2 = - 7 ভলিউম V t e r a hedra = 1 6 - 7 = 7 6 ।
Vt e t ra hedra = 7 6।
আপনি যদি পাঠ্যটিতে একটি ভুল লক্ষ্য করেন, অনুগ্রহ করে এটি হাইলাইট করুন এবং Ctrl+Enter টিপুন