Основные понятия. Поперечная сила и изгибающий момент

При изгибе поперечные сечения, оставаясь плоскими, поворачиваются относительно друг друга вокруг некоторых осей, лежащих в их плоскостях. На изгиб работают балки, оси, валы и другие детали машин и элементы конструкций. В практике встречаются поперечный (прямой), косой и чистый виды изгиба.

Поперечным (прямым) (рис. 61, а) называется изгиб, когда внешние силы, перпендикулярные продольной оси балки, действуют в плоскости, проходящей через ось балки и одну из главных центральных осей её поперечного сечения.

Косой изгиб (рис. 61, б) это изгиб, когда силы действуют в плоскости, проходящей через ось балки, но не проходящей ни через одну из главных центральных осей её поперечного сечения.

В поперечных сечениях балок при изгибе возникают два вида внутренних сил - изгибающий момент М и и поперечная сила Q. В частном случае, когда поперечная сила равна нулю, а возникает только изгибающий момент, то имеет место чистый изгиб (рис. 61, в). Чистый изгиб возникает при нагружении распределенной нагрузкой или при некоторых нагружениях сосредоточенными силами, например, балка, нагруженная двумя симметричными равными силами.

Рис. 61. Изгиб: а - поперечный (прямой) изгиб; б - косой изгиб; в - чистый изгиб

При изучении деформации изгиба мысленно представляется, что балка состоит из бесконечного количества волокон, параллельных продольной оси. При чистом изгибе справедлива гипотеза плоских сечений: волокна, лежащие на выпуклой стороне растягиваются , лежащие на вогнутой стороне - сжимаются , а на границе между ними лежит нейтральный слой волокон (продольная ось), которые только искривляются , не изменяя своей длины; продольные волокна балки не оказывают друг на друга давления и, следовательно, испытывают только растяжение и сжатие.

Внутренние силовые факторы в сечениях балок - поперечная сила Q и изгибающий момент М и (рис. 62) зависят от внешних сил и изменяются по длине балки. Законы изменения поперечных сил и изгибающих моментов представляются некоторыми уравнениями, в которых аргументами являются координаты z поперечных сечений балок, а функциями - Q и М и. Для определения внутренних силовых факторов применим метод сечений.

Рис. 62.

Поперечная сила Q есть равнодействующая внутренних касательных сил в поперечном сечении балки. Следует иметь в виду, что поперечная сила имеет противоположное направление для левой и правой частей балки, что говорит о непригодности правила знаков статики.

Изгибающий момент М и есть результирующий момент относительно нейтральной оси внутренних нормальных сил, действующих в поперечном сечении балки. Изгибающий момент также, как и поперечная сила имеет разное направление для левой и правой части балки. Это говорит о непригодности правила знаков статики при определении изгибающего момента.

Рассматривая равновесие частей балки, расположенных слева и справа от сечения, видно, что в поперечных сечениях должны действовать изгибающий момент М и и поперечная сила Q. Таким образом, в рассматриваемом случае в точках поперечных сечений действуют не только нормальные напряжения, соответствующие изгибающему моменту", но и касательные, соответствующие поперечной силе.

Для наглядного изображения распределения вдоль оси балки поперечных сил Q и изгибающих моментов М и удобно представлять их в виде эпюр, ординаты которых для любых значений абсциссы z дают соответствующие значения Q и М и. Эпюры строятся аналогично построению эпюр продольных сил (см. 4.4) и крутящих моментов (см. 4.6.1.).

Рис. 63. Направление поперечных сил: а - положительное; б - отрицательное

Так как для установления знаков поперечных сил и изгибающих моментов правила знаков статики неприемлемы, установим для них другие правила знаков, а именно:

• - если внешние сипы (рис.
• 63, а), лежащие по левую сторону от сечения, стремятся приподнять левую часть балки или, лежащие по правую сторону от сечения, опустить правую часть балки, то поперечная сила Q положительна;
• - если внешние силы (рис.
• 63, б), лежащие по левую сторону от сечения, стремятся опустить левую часть балки или, лежащие по правую сторону от сечения, приподнять правую часть балки, то поперечная сила (Зотрицательна;

Рис. 64. Направление изгибающих моментов: а - положительное; б - отрицательное

• - если внешняя нагрузка (сила и момент) (рис. 64, а), расположенная слева от сечения, даёт момент, направленный по ходу часовой стрелки или, расположенная справа от сечения, направленный против хода часовой стрелки, то изгибающий момент М и считается положительным;
• - если внешняя нагрузка (рис. 64, б), расположенная слева от сечения, даёт момент, направленный против хода часовой стрелки или, расположенная справа от сечения, направленный по ходу часовой стрелки, то изгибающий момент М и считается отрицательным.

Правило знаков для изгибающих моментов связано с характером деформации балки. Изгибающий момент считается положительным, если балка изгибается выпуклостью вниз (растянутые волокна расположены внизу). Изгибающий момент считается отрицательным, если балка изгибается выпуклостью вверх (растянутые волокна расположены вверху).

Пользуясь правилами знаков, следует мысленно представлять себе сечение балки жёстко защемлённым, а связи - отброшенными и заменёнными их реакциями. Для определения реакций пользуются правилами знаков статики.

Продольно-поперечным изгибом называется сочетание поперечного изгиба со сжатием или растяжением бруса.

При расчете на продольно-поперечный изгиб вычисление изгибающих моментов в поперечных сечениях бруса производится с учетом прогибов его оси.

Рассмотрим балку с шарнирно опертыми концами, нагруженною некоторой поперечной нагрузкой и сжимающей силой 5, действующей вдоль оси балки (рис. 8.13, а). Обозначим у прогиб оси балки в поперечном сечении с абсциссой (положительное направление оси у примем вниз, и, следовательно, прогибы балки считаем положительными, когда они направлены вниз). Изгибающий момент М, действующий в этом сечении,

(23.13)

здесь изгибающий момент от действия поперечной нагрузки; - дополнительный изгибающий момент от действия силы

Полный прогиб у можно рассматривать состоящим из прогиба возникающего от действия только поперечной нагрузки, и дополнительного прогиба, равного вызванного силой .

Полный прогиб у больше суммы прогибов, возникающих при раздельном действии поперечной нагрузки и силы S, так как в случае действия на балку только силы S прогибы ее равны нулю. Таким образом, в случае продольно-поперечного изгиба принцип независимости действия сил неприменим.

При действии на балку растягивающей силы S (рис. 8.13, б) изгибающий момент в сечении с абсциссой

(24.13)

Растягивающая сила S приводит к уменьшению прогибов балки, т. е. полные прогибы у в этом случае меньше прогибов вызванных действием только поперечной нагрузки.

В практике инженерных расчетов под продольно-поперечным изгибом подразумевают обычно случай действия сжимающей силы и поперечной нагрузки.

При жесткой балке, когда дополнительные изгибающие моменты невелики по сравнению с моментом прогибы у мало отличаются от прогибов . В этих случаях можно пренебрегать влиянием силы S на величины изгибающих моментов и величины прогибов балки и производить ее расчет на центральное сжатие (или растяжение) с поперечным изгибом, как изложено в § 2.9.

При балке, жесткость которой невелика, влияние силы S на величины изгибающих моментов и прогибов балки может быть весьма существенным и пренебрегать им при расчете нельзя. В этом случае балку следует рассчитывать на продольно-поперечный изгиб, понимая под этим расчет на совместное действие изгиба и сжатия (или растяжения), выполняемый с учетом влияния осевой нагрузки (силы S) на деформацию изгиба балки.

Рассмотрим методику такого расчета на примере балки, шарнирно опертой по концам, нагруженной поперечными силами, направленными в одну сторону, и сжимающей силой S (рис. 9.13).

Подставим в приближенное дифференциальное уравнение упругой линии (1.13) выражение изгибающего момента М по формуле (23.13):

[знак минус перед правой частью уравнения взят потому, что в отличие от формулы (1.13) здесь положительным для прогибов считается направление вниз], или

Следовательно,

В целях упрощения решения предположим, что дополнительный прогиб изменяется по длине балки по синусоиде, т. е. что

Это предположение позволяет получить достаточно точные результаты при действии на балку поперечной нагрузки, направленной в одну сторону (например, сверху вниз). Заменим в формуле (25.13) прогиб выражением

Выражение совпадает с формулой Эйлера для критической силы сжатого стержня с шарнирно закрепленными концами. Поэтому его обозначают и называют эйлеровой силой.

Следовательно,

Следует отличать эйлерову силу от критической силы вычисляемой по формуле Эйлера. Значение можно вычислять по формуле Эйлера лишь при условии, что гибкость стержня больше предельной; значение же подставляют в формулу (26.13) независимо от гибкости балки. В формулу для критической силы, как правило, входит минимальный момент инерции поперечного сечения стержня, а в выражение эйлеровой силы входит момент инерции относительно той из главных осей инерции сечения, которая перпендикулярна плоскости действия поперечной нагрузки.

Из формулы (26.13) следует, что соотношение между полными прогибами балки у и прогибами вызванными Действием только поперечной нагрузки, зависит от отношения (величины сжимающей силы 5 к величине эйлеровой силы).

Таким образом, отношение является критерием жесткости балки при продольно-поперечном изгибе; если это отношение близко к нулю, то жесткость балки велика, а если оно близко к единице, то жесткость балки мала, т. е. балка является гибкой.

В случае, когда , прогиб т. е. при отсутствии силы S прогибы вызываются только действием поперечной нагрузки.

Когда величина сжимающей силы S приближается к значению эйлеровой силы полные прогибы балки резко возрастают и могут во много раз превышать прогибы вызванные действием только поперечной нагрузки. В предельном случае при прогибы у, подсчитанные по формуле (26.13), становятся равными бесконечности.

Следует отметить, что формула (26.13) неприменима при весьма больших прогибах балки, так как она основана на приближенном выражении кривизны Это выражение применимо лишь при малых прогибах, а при больших должно быть заменено тоадым выражением кривизны (65.7). В этом случае прогибы у при не равнялись бы бесконечности, а были бы хотя и весьма большими, но конечными.

При действии на балку растягивающей силы формула (26.13) принимает вид.

Из этой, формулы следует, что полные прогибы у меньше прогибов вызванных действием только поперечной нагрузки. При растягивающей силе S, численно равной значению эйлеровой силы (т. е. при ), прогибы у вдвое меньше прогибов

Наибольшие и наименьшие нормальные напряжения в поперечном сечении балки с шарнирно закрепленными концами при продольно-поперечном изгибе и сжимающей силе S равны

Рассмотрим двухопорную балку двутаврового сечения с пролетом Балка нагружена посередине вертикальной силой Р и сжимается осевой силой S = 600 (рис. 10.13). Площадь поперечного сечения балки момент инерции , момент сопротивления и модуль упругости

Поперечные связи, соединяющие эту балку с соседними балками сооружения, исключают возможность потери устойчивости балки в горизонтальной плоскости (т. е. в плоскости наименьшей жесткости).

Изгибающий момент и прогиб посредине балки, подсчитанные без учета влияния силы S, равны:

Эйлерова сила определяется из выражения

Прогиб посередине балки, подсчитанный с учетом влияния силы S на основании формулы (26.13),

Определим наибольшие нормальные (сжимающие) напряжения в среднем поперечном сечении балки по формуле (28.13):

откуда после преобразования

Подставив в выражение (29.13) различные значения Р (в ), получим соответствующие им значения напряжений . Графически зависимость между определяемая выражением (29.13), характеризуется кривой, изображенной на рис. 11.13.

Определим допускаемую нагрузку Р, если для материала балки а необходимый коэффициент запаса прочности следовательно, допускаемое напряжение для материала

Из рис. 11.23 следует, что напряжение возникает в балке при нагрузке а напряжение - при нагрузке

Если в качестве допускаемой принять нагрузку то коэффициент запаса по напряжениям будет равен заданному значению Однако при этом балка будет обладать незначительным коэффициентом запаса по нагрузке, так как напряжения, равные от, возникнут в ней уже при Рот

Следовательно, коэффициент запаса по нагрузке в этом случае будет равен 1,06 (так как е. явно недостаточен.

Для того чтобы балка имела по нагрузке коэффициент запаса, равный 1,5, в качестве допускаемого следует принять значение при этом напряжения в балке будут, как это следует из рис. 11.13, примерно равны

Выше расчет на прочность производился по допускаемым напряжениям. Это обеспечивало необходимый запас прочности не только по напряжениям, но также и по нагрузкам, так как почти во всех случаях, рассмотренных в предыдущих главах, напряжения прямо пропорциональны величинам нагрузок.

При продольно-поперечном изгибе напряжения, как это следует из рис. 11.13, не прямо пропорциональны нагрузке, а изменяются быстрее, чем нагрузка (в случае сжимающей силы S). В связи с этим даже незначительное случайное увеличение нагрузки сверх расчетной может вызвать весьма большое увеличение напряжений и разрушение конструкции. Поэтому расчет сжато-изогнутых стержней на продольно-поперечный изгиб следует производить не по допускаемым напряжениям, а по допускаемой нагрузке.

Составим по аналогии с формулой (28.13) условие прочности при расчете на продольно-поперечный изгиб по допускаемой нагрузке.

Сжато-изогнутые стержни кроме расчета на продольно-поперечный изгиб необходимо рассчитывать также и на устойчивость.

Все многообразие существующих опорных устройств схематизируется в виде ряда основных типов опор, из которых

наиболее часто встречаются: шарнирно-подвижная опора (возможные обозначения для нее представлены на рис.1,а), шарнирно-неподвижная опора (рис.1,б) и жесткое защемление , или заделка (рис.1,в).

В шарнирно-подвижной опоре возникает одна опорная реакция, перпендикулярная опорной плоскости. Такая опора лишает опорное сечение одной степени свободы, то есть препятствует смещению в направлении опорной плоскости, но допускает перемещение в перпендикулярном направлении и поворот опорного сечения.
В шарнирно-неподвижной опоре возникают вертикальная и горизонтальная реакции. Здесь невозможны перемещения по направлениям опорных стержней, но допускается поворот опорного сечения.
В жесткой заделке возникают вертикальная и горизонтальная реакции и опорный (реактивный) момент. При этом опорное сечение не может смещаться и поворачиваться.При расчете систем, содержащих жесткую заделку, возникающие опорные реакции можно не определять, выбирая при этом отсеченную часть так, чтобы заделка с неизвестными реакциями в нее не попадала. При расчете систем на шарнирных опорах реакции опор должны быть определены обязательно. Уравнения статики, используемые для этого, зависят от вида системы (балка, рама и др.) и будут приведены в соответствующих разделах настоящего пособия.

2. Построение эпюр продольных сил Nz

Продольная сила в сечении численно равна алгебраической сумме проекций всех сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, на продольную ось стержня.

Правило знаков для Nz: условимся считать продольную силу в сечении положительной, если внешняя нагрузка, приложенная к рассматриваемой отсеченной части стержня, вызывает растяжение и отрицательной - в противном случае.

Пример 1. Построить эпюру продольных сил для жестко защемленной балки (рис.2).

Порядок расчета:

1. Намечаем характерные сечения, нумеруя их от свободного конца стержня к заделке.
2. Определяем продольную силу Nz в каждом характерном сечении. При этом рассматриваем всегда ту отсеченную часть, в которую не попадает жесткая заделка.

По найденным значениям строим эпюру Nz. Положительные значения откладываются (в выбранном масштабе) над осью эпюры, отрицательные - под осью.

3. Построение эпюр крутящих моментов Мкр .

Крутящий момент в сечении численно равен алгебраической сумме внешних моментов, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, относительно продольной оси Z.

Правило знаков для Мкр : условимся считать крутящий момент в сечении положительным, если при взгляде на сечение со стороны рассматриваемой отсеченной части внешний момент виден направленным против движения часовой стрелки и отрицательным - в противном случае.

Пример 2. Построить эпюру крутящих моментов для жестко защемленного стержня (рис.3,а).

Порядок расчета.

Следует отметить, что алгоритм и принципы построения эпюры крутящих моментов полностью совпадают с алгоритмом и принципами построения эпюры продольных сил .

1.Намечаем характерные сечения.
2.Определяем крутящий момент в каждом характерном сечении.

По найденным значениям строимэпюру Мкр (рис.3,б).

4. Правила контроля эпюр Nz и Мкр .

Для эпюр продольных сил и крутящих моментов характерны определенные закономерности, знание которых позволяет оценить правильность выполненных построений.

1. Эпюры Nz и Мкр всегда прямолинейные.

2. На участке, где нет распределенной нагрузки, эпюра Nz(Мкр) - прямая, параллельная оси, а на участке под распределенной нагрузкой - наклонная прямая.

3. Под точкой приложения сосредоточенной силы на эпюре Nz обязательно должен быть скачок на величину этой силы, аналогично под точкой приложения сосредоточенного момента на эпюре Мкр будет скачок на величину этого момента.

5. Построение эпюр поперечных сил Qy и изгибающих моментов Mx в балках

Стержень, работающий на изгиб, называется балкой . В сечениях балок, загруженных вертикальными нагрузками, возникают, как правило, два внутренних силовых фактора - Qy и изгибающий момент Mx .

Поперечная сила в сечении численно равна алгебраической сумме проекций внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, на поперечную (вертикальную) ось.

Правило знаков для Qy: условимся считать поперечную силу в сечении положительной, если внешняя нагрузка, приложенная к рассматриваемой отсеченной части, стремится повернуть данное сечение по часовой стрелке и отрицательной - в противном случае.

Схематически это правило знаков можно представить в виде

Изгибающий момент Mx в сечении численно равен алгебраической сумме моментов внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, относительно оси x , проходящей через данное сечение.

Правило знаков для Mx: условимся считать изгибающий момент в сечении положительным, если внешняя нагрузка, приложенная к рассматриваемой отсеченной части, приводит к растяжению в данном сечении нижних волокон балки и отрицательной - в противном случае.

Схематически это правило знаков можно представить в виде:

Следует отметить, что при использовании правила знаков для Mx в указанном виде, эпюра Mx всегда оказывается построенной со стороны сжатых волокон балки.

6. Консольные балки

При построении эпюр Qy и Mx в консольных, или жестко защемленных, балках нет необходимости (как и в рассмотренных ранее примерах) вычислять опорные реакции, возникающие в жесткой заделке, но выбирать отсеченную часть нужно так, чтобы заделка в нее не попадала.

Пример 3. Построить эпюры Qy и Mx (рис.4).

Порядок расчета .

1. Намечаем характерные сечения.

В точках поперечных сечений бруса при продольнопоперечном изгибе возникают нормальные напряжения от сжатия продольными силами и от изгиба поперечными и продольными нагрузками (рис. 18.10).

В наружных волокнах балки в опасном сечении суммарные нормальные напряжения имеют наибольшие значения:

В рассмотренном выше примере сжатой балки с одной поперечной силой согласно (18.7) получаем такие напряжения в наружных волокнах:

Если опасное сечение симметрично относительно его нейтральной оси, то наибольшим по абсолютной величине будет напряжение в наружных сжатых волокнах:

В сечении, не симметричном относительно нейтральной оси, наибольшим по абсолютной величине может быть как сжимающее, так и растягивающее напряжение в наружных волокнах.

При установлении опасной точки следует учитывать различие в сопротивлении материала растяжению и сжатию.

Учитывая выражение (18.2), формулу (18.12) можно записать так:

Применяя приближенное выражение для получаем

Опасным в балках постоянного сечения будет то сечение, для которого числитель второго слагаемого имеет наибольшее значение.

Размеры поперечного сечения бруса должны быть подобраны так, чтобы не превышало допускаемого напряжения

Однако полученная зависимость между напряжениями и геометрическими характеристиками сечения сложна для проектировочного расчета; размеры сечения можно подобрать только методом повторных попыток. При продольно-поперечном изгибе проводится, как правило, поверочный расчет, назначение которого установить запас прочности детали.

При продольно-поперечном изгибе между напряжениями и продольными силами нет пропорциональности; напряжения при переменной осевой силе растут быстрее, чем сама сила, что видно, например, из формулы (18.13). Поэтому запас прочности в случае продольно-поперечного изгиба надо определять не по напряжениям, т. е. не из отношения а по нагрузкам, понимая под запасом прочности число, показывающее, во сколько раз надо увеличить действующие нагрузки, чтобы максимальное напряжение в рассчитываемой детали достигло предела текучести.

Определение запаса прочности связано с решением трансцендентных уравнений, так как сила содержится в формулах (18.12) и (18.14) под знаком тригонометрической функции. Например, для балки, сжатой силой и нагруженной одной поперечной силой Р, запас прочности согласно (18.13) находится из уравнения

Для упрощения задачи можно воспользоваться формулой (18.15). Тогда для определения запаса прочности получаем квадратное уравнение:

Заметим, что в случае, когда продольная сила остается постоянной, а изменяются по величине только поперечные нагрузки, задача определения запаса прочности упрощается, и возможно определение не по нагрузке, а по напряжениям. Из формулы (18.15) для этого случая находим

Пример. Двухопорная дюралюминиевая балка двутаврового тонкостенного сечения сжата силой Р и подвергнута действию равномерно распределенной поперечной нагрузки интенсивностью и моментов приложенных на концах

балки, как показано на рис. 18.11. Определить напряжение в опасной точке и максимальный прогиб с учетом и без учета изгибающего действия продольной силы Р, а также найти запас прочности балки по пределу текучести .

В расчетах принять Характеристики двутавра:

Решение. Наиболее нагруженным является среднее сечение балки. Максимальный прогиб и изгибающий момент от одной только поперечной нагрузки:

Максимальный прогиб от совместного действия поперечной нагрузки и продольной силы Р определим по формуле (18.10). Получим