ГЛАВА 9 Сдвиг и кручение
Брус, изображённый на рис. 9.13, имеет четыре участка. Если рассматривать условия равновесия систем сил, приложенных к левой отсеченной части, то можно записать:
Участок 1 |
a (рис. 9.13, б). |
|||||||||||||||
Mx 0 : Mкр m x dx 0 ; Mкр |
dx . |
|||||||||||||||
Участок 2 |
a x2 |
a b (рис. 9.13, в). |
||||||||||||||
Mx 0 : Mкр m x dx M1 0 ; Mкр m x dx M1 . |
||||||||||||||||
Участок 3 |
a b x2 |
a b c (рис. 9.13, г). |
||||||||||||||
M 0 ; |
x dx M . |
|||||||||||||||
Участок 4 |
a b c x2 a b c d . |
|||||||||||||||
Mx 0 : Mкр m x dx M1 M2 0 ; |
||||||||||||||||
M кр |
m x dx M1 M2 . |
|||||||||||||||
Таким образом, крутящий момент М кр в поперечном сечении бруса равен алгебраической сумме моментов всех внешних сил, действующих по одну сторону от сечения.
9.2.2. Напряжения и деформации при кручении прямого бруса круглого поперечного сечения
Как уже упоминалось, полные касательные напряжения можно было бы определить из зависимости (9.14), если бы был известен закон их распределения по сечению бруса. Невозможность аналитического определения этого закона заставляет обратиться к экспериментальному исследованию деформаций бруса.
В. А. Жилкин
Рассмотрим брус, левый торец которого жестко защемлен, а к правому торцу приложен скручивающий момент М кр . До загружения бруса моментом на его поверхность была нанесена ортогональная сетка с размерами ячеек a×b (рис. 9.14, а). После приложения скручивающего момента М кр правый торец бруса повернётся относительно левого торца бруса на угол, при этом расстояния между сечениями скручиваемого бруса не изменятся, а радиусы, проведённые в торцевом сечении, останутся прямыми, т. е. можно предположить, что гипотеза плоских сечений выполняется (рис. 9.14, б). Сечения, плоские до деформации бруса, остаются плоскими и после деформации, поворачиваясь, как жесткие диски, одно относительно другого на некоторый угол. Так как расстояния между сечениями бруса не изменяется, то продольная относительная деформация x 0 равна нулю. Продольные линии сетки принимают винтообразную форму, но расстояние между ними остаётся постоянным (следовательно, y 0 ), прямоугольные ячейки сетки превращаются в параллелограммы, размеры сторон которых не изменяются, т.е. выделенный элементарный объём любого слоя бруса находится в условиях чистого сдвига.
Вырежем двумя поперечными сечениями элемент бруса длиной dx (рис. 9.15). В результате нагружения бруса правое сечение элемента повернётся относительного левого на угол d . При этом образующая цилиндра повернётся на угол
ГЛАВА 9 Сдвиг и кручение
сдвига. На тот же угол повернутся все образующие внутренних цилиндров радиуса.
Согласно рис. 9.15 дуга
ab dx d .
где d dx – называется относительным углом закручивания. Если размеры поперечных сечений прямого бруса и крутящие моменты, действующие в них, на некотором участке постоянны, то значение также постоянно и равно отношению полного угла закручивания на этом участке к его длине L , т.е. L .
Переходя по закону Гука при сдвиге (G ) к напряжениям, получаем
Итак, в поперечных сечениях бруса при кручении возникают касательные напряжения, направление которых в каждой точке перпендикулярно к радиусу, соединяющему эту точку с центром сечения, а величина прямо пропорциональна
В. А. Жилкин
расстоянию точки от центра. В центре (при 0 ) касательные напряжения равны нулю; в точках, расположенных в непосредственной близости от внешней поверхности бруса, они наибольшие.
Подставляя найденный закон распределения напряжений (9.18) в равенство (9.14), получаем
Mкр G dF G 2 dF G J , |
||||||||||||||||
где J d 4 – полярный момент инерции круглого попереч- |
||||||||||||||||
ного сечения бруса. |
||||||||||||||||
Произведение GJ |
называется жесткостью поперечно- |
|||||||||||||||
го сечения бруса при кручении. |
||||||||||||||||
Единицами измерения жесткости явля- |
||||||||||||||||
ются Н·м2 , кН·м2 и т.д. |
||||||||||||||||
Из (9.19) находим относительный угол закручивания бруса |
||||||||||||||||
M кр |
||||||||||||||||
а затем, исключая из равенства (9.18), получаем формулу |
||||||||||||||||
для напряжений при кручении бруса круглого сечения |
||||||||||||||||
M кр |
||||||||||||||||
Наибольшего значения напряжения достигают в кон- |
||||||||||||||||
турных точках сечения при d 2 : |
||||||||||||||||
M кр |
M кр |
M кр |
||||||||||||||
называют моментом сопротивления кручению вала круглого поперечного сечения.
Размерность момента сопротивления кручению – см3 , м3 и т. д.
что позволяет определить угол закручивания всего бруса
GJ кр . |
Если брус имеет несколько участков с различными аналитическими выражениями для М кр или различными значениями жесткости поперечных сечений GJ , то
Mкр dx |
|||||
Для бруса длиной L постоянного сечения, нагруженного по концам сосредоточенными парами сил с моментом М кр ,
Mкр L |
|||||||||||||||||||
| D и внутренним d . Только в этом случае J и W кр надо | |||||||||||||||||||
1 c 4 ; W кр |
1 c 4 ; c |
|||||
Эпюра касательных напряжений в сечении полого бруса приведена на рис. 9.17.
Сравнение эпюр касательных напряжений в сплошном и полом брусе указывает на преимущества полых валов, так как в таких валах материал используется более рационально (убран материал в области действия малых напряжений). В результате распределение напряжений по сечению становится более равномерным, а сам брус более легким,
чем равнопрочный ему брус сплош- Рис. 9.17 ного сечения, несмотря на некото-
рое увеличение наружного диаметра.
Но при проектировании брусьев, работающих на кручение, следует учитывать,что в случае кольцевого сечения их изготовление сложнее, а значит, и дороже.
Если при прямом или косом изгибе в поперечном сечении бруса действует только изгибающий момент, то соответственно имеется чистый прямой или чистый косой изгиб. Если в поперечном сечении действует также и поперечная сила, то имеется поперечный прямой или поперечный косой изгиб. Если изгибающий момент является единственным внутренним силовым фактором, то такой изгиб называетсячистым (рис.6.2). При наличии поперечной силы изгиб называется поперечным . Строго говоря, к простым видам сопротивления относится лишь чистый изгиб; поперечный изгиб относят к простым видам сопротивления условно, так как в большинстве случаев (для достаточно длинных балок) действием поперечной силы при расчетах на прочность можно пренебречь. Смотрите условие прочности при плоском изгибе. ри расчете балки на изгиб одной из важнейших является задача определения еепрочности. Плоский изгиб называется поперечным, если в поперечных сеченияхбалкивозникает двавнутренних силовых фактора: М – изгибающий момент и Q – поперечная сила, и чистым, если возникает только М. В поперечном изгибе силовая плоскость проходит через ось симметрии балки, являющейся одной из главных осей инерции сечения.
При изгибе балки одни слои ее растягиваются, другие сжимаются. Между ними находится нейтральный слой, который лишь искривляется, не изменяя при этом своей длины. Линия пересечения нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения совпадает со второй главной осью инерции и называется нейтральной линией (нейтральной осью).
От действия изгибающего момента в поперечных сечениях балки возникают нормальные напряжения, определяемые по формуле
где М – изгибающий момент в рассматриваемом сечении;
I – момент инерции поперечного сечения балки относительно нейтральной оси;
у – расстояние от нейтральной оси до точки, в которой определяются напряжения.
Как видно из формулы (8.1), нормальные напряжения в сечении балки по ее высоте линейны, достигая максимального значения в наиболее удаленных точках от нейтрального слоя.
где W – момент сопротивления поперечного сечения балки относитель¬но нейтральной оси.
27.Касательные напряжения в поперечном сечении балки. Формула Журавского.
Формула
Журавского позволяет
определить касательные
напряженияпри изгибе, возникающие
в точках поперечного сечении балки,
находящиеся на расстоянии отнейтральной
осиx.
ВЫВОД ФОРМУЛЫ ЖУРАВСКОГО
Вырежем из балки прямоугольного поперечного сечения (рис. 7.10, а) элемент длиной и дополнительным продольным сечением рассечем на две части (рис. 7.10, б).
Рассмотрим равновесие верхней части: из-за отличия изгибающих моментов возникают разные сжимающие напряжения. Чтобы эта часть балки находилась в равновесии () в ее продольном сечении должна возникнуть касательная сила. Уравнение равновесия части балки:
где
интегрирование ведется только по
отсеченной части площади поперечного
сечения балки (на
рис. 7.10, в заштрихована),
–
статический момент инерции отсеченной
(заштрихованной) части площади поперечного
сечения относительно нейтральной оси
x.
Предположим: касательные напряжения (), возникающие в продольном сечении балки, равномерно распределены по ее ширине () в месте сечения:
Получим выражение для касательных напряжений:
,
а ,
тогдаформула
касательных напряжений (),
возникающих в точках поперечного сечения
балки, находящихся на расстоянииy от
нейтральной оси x:
Формула Журавского
Формула Журавского получена в 1855 г. Д.И. Журавским, поэтому носит его имя.
Из формулы для определения напряжений и эпюры распределения касательных напряжений при кручении видно, что максимальные напряжения возникают на поверхности.
Определим максимальное напряжение, учитывая, что ρ та х = d/ 2, где d - диаметр бруса круглого сечения.
Для круглого сечения полярный момент инерции рассчитывается по формуле (см. лекцию 25).
Максимальное напряжение возникает на поверхности, поэтому имеем
Обычно J P /p max обозначают W p и называют моментом сопротивления при кручении, или полярным моментом сопротивления сечения
Таким образом, для расчета максимального напряжения на поверхности круглого бруса получаем формулу
Для круглого сечения
Для кольцевого сечения
Условие прочности при кручении
Разрушение бруса при кручении происходит с поверхности, при расчете на прочность используют условие прочности
где [τ к ] - допускаемое напряжение кручения.
Виды расчетов на прочность
Существует два вида расчета на прочность.
1. Проектировочный расчет - определяется диаметр бруса (вала) в опасном сечении:
2. Проверочный расчет - проверяется выполнение условия прочности
3. Определение нагрузочной способности (максимального крутящего момента)
Расчет на жесткость
При расчете на жесткость определяется деформация и сравнивается с допускаемой. Рассмотрим деформацию круглого бруса над действием внешней пары сил с моментом т
(рис. 27.4).
При кручении деформация оценивается углом закручивания (см. лекцию 26):
Здесь φ - угол закручивания; γ - угол сдвига; l - длина бруса; R - радиус; R =d/2. Откуда
Закон Гука имеет вид τ к = G γ . Подставим выражение для γ , получим
Произведение GJ P называют жесткостью сечения.
Модуль упругости можно определить как G = 0,4Е. Для стали G = 0,8 10 5 МПа.
Обычно рассчитывается угол закручивания, приходящийся на один метр длины бруса (вала) φ o .
Условие жесткости при кручении можно записать в виде
где φ o - относительный угол закручивания, φ о = φ/l; [φ о ] ≈ 1град/м = 0,02рад/м - допускаемый относительный угол закручивания.
Примеры решения задач
Пример 1. Из расчетов на прочность и жесткость определить потребный диаметр вала для передачи мощности 63 кВт при скорости 30 рад/с. Материал вала - сталь, допускаемое напряжение при кручении 30 МПа; допускаемый относительный угол закручивания [φ о ] = 0,02рад/м; модуль упругости при сдвиге G = 0,8 * 10 5 МПа.
Решение
1. Определение размеров поперечного сечения из расчета на прочность.
Условие прочности при кручении:
Определяем вращающий момент из формулы мощности при вращении:
Из условия прочности определяем момент сопротивления вала при кручении
Значения подставляем в ньютонах и мм.
Определяем диаметр вала:
2. Определение размеров поперечного сечения из расчета на жесткость.
Условие жесткости при кручении:
Из условия жесткости определяем момент инерции сечения при кручении:
Определяем диаметр вала:
3. Выбор потребного диаметра вала из расчетов на прочность и жесткость.
Для обеспечения прочности и жесткости одновременно из двух найденных значений выбираем большее.
Полученное значение следует округлить, используя ряд предпочтительных чисел. Практически округляем полученное значение так, чтобы число заканчивалось на 5 или 0. Принимаем значение d вала = 75 мм.
Для определения диаметра вала желательно пользоваться стандартным рядом диаметров, приведенном в Приложении 2.
Пример 2. В поперечном сечении бруса d = 80 мм наибольшее касательное напряжение τ тах = 40 Н/мм 2 . Определить касательное напряжение в точке, удаленной от центра сечения на 20 мм.
Решение
б . Очевидно,
 |
Пример 3. В точках внутреннего контура поперечного сечения трубы (d 0 = 60 мм; d = 80 мм) возникают касательные напряжения, равные 40 Н/мм 2 . Определить максимальные касательные напряжения, возникающие в трубе.
Решение
Эпюра касательных напряжений в поперечном сечении представлена на рис. 2.37, в . Очевидно,
Пример 4. В кольцевом поперечном сечении бруса (d 0 = 30 мм; d = 70 мм) возникает крутящий момент М z = 3 кН-м. Вычислить касательное напряжение в точке, удаленной от центра сечения на 27 мм.
Решение
Касательное напряжение в произвольной точке поперечного сечения вычисляется по формуле
В рассматриваемом примере М z = 3 кН-м = 3-10 6 Н мм,
Пример 5. Стальная труба (d 0 = l00 мм; d = 120 мм) длиной l = 1,8 м закручивается моментами т , приложенными в ее торцевых сечениях. Определить величину т , при которой угол закручивания φ = 0,25°. При найденном значении т вычислить максимальные касательные напряжения.
Решение
Угол закручивания (в град/м) для одного участка вычисляется по формуле
В данном случае
Подставляя числовые значения, получаем
Вычисляем максимальные касательные напряжения:
Пример 6.
Для заданного бруса (рис. 2.38, а
) построить эпюры крутящих моментов, максимальных касательных напряжений, углов поворота поперечных сечений.
Решение
Заданный брус имеет участки I, II, III, IV, V (рис. 2. 38, а). Напомним, что границами участков являются сечения, в которых приложены внешние (скручивающие) моменты и места изменения размеров поперечного сечения.
Пользуясь соотношением
строим эпюру крутящих моментов.
Построение эпюры М z начинаем со свободного конца бруса:
для участков III и IV
для участка V
Эпюра крутящих моментов представлена на рис, 2.38, б . Строим эпюру максимальных касательных напряжений по длине бруса. Условно приписываем τ шах те же знаки, что и соответствующим крутящим моментам. На участке I
на участке II
на участке III
на участке IV
на участке V
Эпюра максимальных касательных напряжений показана на рис. 2.38, в .
Угол поворота поперечного сечения бруса при постоянных (в пределах каждого участка) диаметре сечения и крутящем моменте определяется по формуле
Строим эпюру углов поворота поперечных сечений. Угол поворота сечения А φ л = 0, так как в этом сечении брус закреплен.
Эпюра углов поворота поперечных сечений изображена на рис. 2.38, г .
Пример 7. На шкив В ступенчатого вала (рис. 2.39, а) передается от двигателя мощность N B = 36 кВт, шкивы А и С соответственно передают на станки мощности N A = 15 кВт и N C = 21 кВт. Частота вращения вала п = 300 об/мин. Проверить прочность и жесткость вала, если [τ K J = 30 Н/мм 2 , [Θ] = 0,3 град/м, G = 8,0-10 4 Н/мм 2 , d 1 = 45 мм, d 2 = 50 мм.
Решение
Вычислим внешние (скручивающие) моменты, приложенные к валу:
Строим эпюру крутящих моментов. При этом, двигаясь от левого конца вала, условно считаем момент, соответствующий N А, положительным, N c - отрицательным. Эпюра M z показана на рис. 2.39, б . Максимальные напряжения в поперечных сечениях участка АВ
что меньше [т к ] на
Относительный угол закручивания участка АВ
что значительно больше [Θ] ==0,3 град/м.
Максимальные напряжения в поперечных сечениях участка ВС
что меньше [т к ] на
Относительный угол закручивания участка ВС
что значительно больше [Θ] = 0,3 град/м.
Следовательно, прочность вала обеспечена, а жесткость - нет.
Пример 8. От электродвигателя с помощью ремня на вал 1 передается мощность N = 20 кВт, С вала 1 поступает на вал 2 мощность N 1 = 15 кВт и к рабочим машинам - мощности N 2 = 2 кВт и N 3 = 3 кВт. С вала 2 к рабочим машинам поступают мощности N 4 = 7 кВт, N 5 = 4 кВт, N 6 = 4 кВт (рис. 2.40, а). Определить диаметры валов d 1 и d 2 из условия прочности и жесткости, если [τ K J = 25 Н/мм 2 , [Θ] = 0,25 град/м, G = 8,0-10 4 Н/мм 2 . Сечения валов 1 и 2 считать по всей длине постоянными. Частота вращения вала электродвигателя п = 970 об/мин, диаметры шкивов D 1 = 200 мм, D 2 = 400 мм, D 3 = 200 мм, D 4 = 600 мм. Скольжением в ременной передаче пренебречь.
Решение
Нарис. 2.40, б изображен вал I . На него поступает мощность N и с него снимаются мощности N l , N 2 , N 3 .
Определим угловую скорость вращения вала 1
и внешние скручивающие моменты m, m 1 , т 2 , т 3:
 |
Строим эпюру крутящих моментов для вала 1 (рис. 2.40, в ). При этом, двигаясь от левого конца вала, условно считаем моменты, соответствующие N 3 и N 1 , положительными, а N - отрицательным. Расчетный (максимальный) крутящий момент N x 1 max = 354,5 H * м.
Диаметр вала 1 из условия прочности
Диаметр вала 1 из условия жесткости ([Θ], рад/мм)
Окончательно принимаем с округлением до стандартного значения d 1 = 58 мм.
Частота вращения вала 2
На рис. 2.40, г изображен вал 2; на вал поступает мощность N 1 , а снимаются с него мощности N 4 , N 5 , N 6 .
Вычислим внешние скручивающие моменты:
Эпюра крутящих моментов для вала 2 показана на рис. 2.40, д. Расчетный (максимальный) крутящий момент М я max " = 470 H-м.
Диаметр вала 2 из условия прочности
Диаметр вала 2 из условия жесткости
Окончательно принимаем d 2 = 62 мм.
Пример 9. Определить из условий прочности и жесткости мощность N (рис. 2.41, а ), которую может передать стальной вал диаметром d = 50 мм, если [т к ] = 35 Н/мм 2 , [ΘJ = 0,9 град/м; G = 8,0* I0 4 Н/мм 2 , n = 600 об/мин.
Решение
Вычислим внешние моменты, приложенные к валу:
Расчетная схема вала показана на рис. 2.41, б .
На рис. 2.41, в представлена эпюра крутящих моментов. Расчетный (максимальный) крутящий момент M z = 9,54N . Условие прочности
Условие жесткости
Лимитирующим является условие жесткости. Следовательно, допускаемое значение передаваемой мощности [N] = 82,3 кВт.
При растяжении (сжатин) бруса в его поперечных сечениях возникают только нормальные напряжения. Равнодействующая соответствующих элементарных сил о, dA - продольная сила N - может быть найдена с помощью метода сечений. Для того чтобы иметь возможность определить нормальные напряжения при известном значении продольной силы, необходимо установить закон нх распределения по поперечному сечению бруса.
Эта задача решается на основе протезы плоских сечений (гипотезы Я. Бернулли), которая гласит:
сечения бруса, плоские и нормальные к его оси до деформации, остаются плоскими и нормальными к ося и при деформации.
При растяжении бруса (изготовленного, например, для большей наглядности опыта из резины), на поверхности которого нанесена система продольнь1х и поперечных рисок (рис. 2.7,а), можно убедиться, что риски остаются прямолинейными и взаимно перпендикулярными, изменяются лишь
где А - площадь поперечного сечения бруса. Опуская индекс z, окончательно получаем
Для нормальных напряжений принимают то же правило знаков, что и для продольных сил, т. е. при растяжении считают напряженна положительными.
Фактически распределение напряжений в сечениях бруса, примыкающих к месту приложения внешних сил, зависит от способа приложения нагрузки и может быть неравномерным. Экспериментальные и теоретические исследования показывают, что это нарушение равномерности распределения напряжений носит местный характер. В сечениях бруса, отстоящих от места нагружения на расстоянии, примерно равном наибольшему из поперечных размеров бруса, распределение напряжений можно считать практически равномерным (рис. 2.9).
Рассмотренное положение является частным случаем принципа Сен-Венана, который можно сформулировать следующим образом:
распределение напряжений существенно зависит от способа приложения внешних сил лишь вблизи места нагружения.
В частях, достаточно удаленных от места приложения сил, распределение напряжений практически зависит только от статического эквивалента этих сил, а не от способа их приложения.
Таким образом, применяя принцип Сен-Венана и отвлекаясь от вопроса о местных напряжениях, имеем возможность (как в этой, так и в последующих главах курса) не интересоваться конкретными способами приложения внешних сил.
В местах резкого изменения формы и размеров поперечного сечения бруса также возникают местные напряжения. Это явление называют концентрацией напряжений, которую в этой главе учитывать не будем.
В тех случаях, когда нормальные напряжения в различных поперечных сечениях бруса неодинаковы, целесообразно показывать закон их изменения по длине бруса в виде графика - эпюры нормальных напряжений.
П ри мер 2.3. Для бруса со ступенчато-переменным поперечным сечением (рис. 2.10,а) построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений.
Решение. Разбиваем брус на участки, начиная от свободного гонца. Границами участков являются места приложения внешних сил и изменения размеров поперечного сечения, т. е. брус имеет пять участков. При построении только эпюры N следовало бы разбить брус лишь на три участка.
Применяя метод сечений, определяем продольные силы в поперечных сечениях бруса и строим соответствующую эпюру (рис. 2.10,6). Построение эпюры И принципиально ничем не отличается от рассмотренного в примере 2.1, поэтому подробности этого построения опускаем.
Нормальные напряжения вычислим по формуле (2.1), подставляя значения сил в ньютонах, а площадей - в квадратных метрах.
В пределах каждого из участков напряжения постоянны, т. е. эпюра на данном участке - прямая, параллельная оси абсцисс (рис. 2.10, в). Для расчетов на прочность интерес представляют в первую очередь те сечения, в которых возникают наибольшие напряжения. Существенно, что в рассмотренном случае они не совпадают с теми сечениями, где продольные силы максимальны.
В тех случаях, когда сечение бруса по всей длине постоянно, эпюра а подобна эпюре N и отличается от нее только масштабом, поэтому, естественно, имеет смысл построение лишь одной из указанных эпюр.
Растяжение (сжатие) – это вид нагружения бруса, при котором в его поперечных сечениях возникает только один внутренний силовой фактор – продольная сила N.
При растяжении и сжатии внешние силы приложены вдоль продольной оси z (рисунок 109).
Рисунок 109
Применяя метод сечений, можно определить величину ВСФ – продольную силу N при простом нагружении .
Внутренние силы (напряжения), возникающие в произвольном поперечном сечении при растяжении (сжатии), определяются с помощью гипотезы плоских сечений Бернулли:
Сечение бруса, плоское и перпендикулярное оси до нагружения, остается таким же и при нагружении.
Отсюда следует, что волокна бруса (рисунок 110) удлиняются на одинаковые величины. Значит внутренние силы (т.е. напряжения), действующие на каждое волокно будут одинаковы и распределены по сечению равномерно.
Рисунок 110
Так как N – равнодействующая внутренних сил, то N = σ · А, згачит нормальные напряжения σ при растяжении и сжатии определяются по формуле:
[Н/мм 2 = МПа], (72)
где А – площадь поперечного сечения.
Пример 24. Два стержня: круглого сечения диаметром d = 4 мм и квадратного сечения со стороной 5 мм растягиваются одинаковой силой F = 1000 Н. Какой из стержней больше нагружен?
Дано : d = 4 мм; а = 5 мм; F = 1000 Н.
Определить : σ 1 и σ 2 – в стержнях 1 и 2.
Решение :
При растяжении продольная сила в стержнях N = F = 1000 Н.
Площади поперечных сечений стержней:
; 
.
Нормальные напряжения в поперечных сечениях стержней:
, 
.
Так как σ 1 > σ 2 , то первый стержень круглого сечения нагружен больше.
Пример 25. Трос, свитый из 80 проволочек диаметром 2 мм растягивается силой 5 кН. Определить напряжение в поперечном сечении.
Дано: к = 80; d = 2 мм; F = 5 кН.
Определить: σ.
Решение:
N = F = 5 кН, ,
тогда 
.
Здесь А 1 – площадь сечения одной проволочки.
Примечание : сечение троса – не круг!
2.2.2 Эпюры продольных сил N и нормальных напряжений σ по длине бруса
Для расчетов на прочность и жесткость сложно нагруженного бруса при растяжении и сжатии необходимо знать значения N и σ в различных поперечных сечениях.
Для этого строятся эпюры: эпюра N и эпюра σ.
Эпюра – это график изменения продольной силы N и нормальных напряжений σ по длине бруса.
Продольная сила N в произвольном поперечном сечении бруса равна алгебраической сумме всех внешних сил, приложенных к оставшейся части, т.е. по одну сторону от сечения
Внешние силы F, растягивающие брус и направленные в сторону от сечения, считаются положительными.
Порядок построения эпюр N и σ
1 Поперечными сечениями разбиваем брус на участки, границами которых являются:
а) сечения на концах бруса;
б) где приложены силы F;
в) где меняется площадь сечения А.
2 Нумеруем участки, начиная со
свободного конца.
3 Для каждого участка, используя метод
сечений определяем продольную силу N
и строим в масштабе эпюру N.
4 Определяем нормальное напряжение σ
на каждом участке и строим в
масштабе эпюру σ.
Пример 26. Построить эпюры N и σ по длине ступенчатого бруса (рисунок 111).
Дано: F 1 = 10 кН; F 2 = 35 кН; А 1 = 1 см 2 ; А 2 = 2 см 2 .
Решение:
1) Разбиваем брус на участки, границами которых являются: сечения на концах бруса, где приложены внешние силы F, где меняется площадь сечении А – всего получилось 4 участка.
2) Нумеруем участки, начиная со свободного конца:
с I по IV. Рисунок 111
3) Для каждого участка, используя метод сечений, определяем продольную силу N.
Продольная сила N равна алгебраической сумме всех внешних сил, приложенных к оставшейся части бруса . Причем внешние силы F, растягивающие брус считаются положительными.
Таблица 13
4) Строим в масштабе эпюру N. Масштаб указываем только положительными величинами N, на эпюре знак «плюс» или «минус» (растяжение или сжатие) указывается в кружочке в прямоугольнике эпюры. Положительные величины N откладываются выше нулевой оси эпюры, отрицательные – ниже оси.
5) Проверка (устная): В сечениях, где приложены внешние силы F, на эпюре N будут вертикальные скачки, равные по величине этим силам.
6) Определяем нормальные напряжения в сечениях каждого участка :
; 
;
; .
Строим в масштабе эпюру σ.
7) Проверка: Знаки N и σ одинаковы.
Подумай и ответь на вопросы
1) нельзя; 2) можно.
53 Зависят ли напряжения при растяжении (сжатии) стержней от формы их поперечного сечения (квадрат, прямоугольник, круг и др.)?
1) зависят; 2) не зависят.
54 Зависит ли величина напряжения в поперечном сечении от материала, из которого изготовлен стержень?
1) зависит; 2) не зависит.
55 Какие точки поперечного сечения круглого стержня нагружены больше при растяжении?
1) на оси бруса; 2) на поверхности круга;
3) во всех точках сечения напряжения одинаковы.
56 Стержни из стали и дерева с равной площадью поперечного сечения растягиваются одинаковыми силами. Будут ли равны возникающие в стержнях напряжения?
1) в стальном напряжение больше;
2) в деревянном напряжение больше;
3) в стержнях возникнут равные напряжения.
57 Для бруса (рисунок 112) построить эпюры N и σ, если F 1 = 2 кН; F 2 = 5 кН; А 1 = 1,2 см 2 ; А 2 = 1,4 см 2 .
