এমবিইউ "সিডোরস্কায়া"
একটি রূপরেখা পরিকল্পনার উন্নয়ন খোলা পাঠ
এই বিষয়ে 11 তম গ্রেডে বীজগণিত:
প্রস্তুত এবং বাহিত
গণিত শিক্ষক
ইসখাকোভা ই.এফ.
11 তম গ্রেডে বীজগণিতের একটি খোলা পাঠের রূপরেখা।
বিষয় : "একটি যুক্তিযুক্ত সূচক সহ একটি ডিগ্রি।"
পাঠের ধরন : নতুন উপাদান শেখা
পাঠের উদ্দেশ্য:
পূর্বে অধ্যয়ন করা উপাদানের (একটি পূর্ণসংখ্যা সূচক সহ ডিগ্রী) এর উপর ভিত্তি করে একটি যৌক্তিক সূচক এবং এর মৌলিক বৈশিষ্ট্য সহ একটি ডিগ্রির ধারণার সাথে ছাত্রদের পরিচয় করিয়ে দিন।
গণনামূলক দক্ষতা এবং মূলদ সূচকের সাথে সংখ্যা রূপান্তর এবং তুলনা করার ক্ষমতা বিকাশ করুন।
শিক্ষার্থীদের মধ্যে গাণিতিক সাক্ষরতা এবং গাণিতিক আগ্রহ বিকাশ করা।
যন্ত্রপাতি : টাস্ক কার্ড, একটি পূর্ণসংখ্যা সূচক সহ ডিগ্রী দ্বারা ছাত্র উপস্থাপনা, একটি যুক্তিসঙ্গত সূচক, ল্যাপটপ, মাল্টিমিডিয়া প্রজেক্টর, স্ক্রিন সহ ডিগ্রী দ্বারা শিক্ষক উপস্থাপনা।
ক্লাস চলাকালীন:
আয়োজনের সময়।
পৃথক টাস্ক কার্ড ব্যবহার করে আচ্ছাদিত বিষয়ের আয়ত্ত পরীক্ষা করা হচ্ছে।
টাস্ক নং 1।
=2;
খ) =x + 5;
অযৌক্তিক সমীকরণের পদ্ধতিটি সমাধান করুন: - 3 = -10,
4 - 5 =6.
টাস্ক নং 2।
অযৌক্তিক সমীকরণ সমাধান করুন: 
= - 3;
খ) = x - 2;
অযৌক্তিক সমীকরণের পদ্ধতিটি সমাধান করুন: 2 + = 8,
3 - 2 = - 2.
পাঠের বিষয় এবং উদ্দেশ্য যোগাযোগ করুন।
আমাদের আজকের পাঠের বিষয় হল " যৌক্তিক সূচক সহ শক্তি».
পূর্বে অধ্যয়ন করা উপাদানের উদাহরণ ব্যবহার করে নতুন উপাদানের ব্যাখ্যা।
আপনি ইতিমধ্যেই একটি পূর্ণসংখ্যা সূচক সহ একটি ডিগ্রির ধারণার সাথে পরিচিত। কে আমাকে তাদের মনে রাখতে সাহায্য করবে?
উপস্থাপনা ব্যবহার করে পুনরাবৃত্তি " একটি পূর্ণসংখ্যা সূচক সহ ডিগ্রী».
যে কোনো সংখ্যার জন্য a, b এবং যেকোনো পূর্ণসংখ্যা m এবং n এর সমতা সত্য:
a m * a n = a m + n ;
a m: a n =a m-n (a ≠ 0);
(a m) n = a mn ;
(a b) n =a n * b n ;
(a/b) n = a n /b n (b ≠ 0) ;
a 1 =a ; a 0 = 1 (a ≠ 0)
আজ আমরা একটি সংখ্যার শক্তির ধারণাকে সাধারণীকরণ করব এবং ভগ্নাংশের সূচকযুক্ত রাশিগুলির অর্থ দেব। আসুন পরিচয় করিয়ে দেই সংজ্ঞাএকটি যৌক্তিক সূচক সহ ডিগ্রী (প্রেজেন্টেশন "একটি যুক্তিযুক্ত সূচক সহ ডিগ্রী"):
ক্ষমতা a > মূলদ সূচক সহ 0 r = , কোথায় মি একটি পূর্ণসংখ্যা, এবং n - প্রাকৃতিক ( n > 1), নম্বরে কল করুন মি .
সুতরাং, সংজ্ঞা দ্বারা আমরা যে পেতে = মি .
একটি কাজ শেষ করার সময় এই সংজ্ঞাটি প্রয়োগ করার চেষ্টা করা যাক।
উদাহরণ নং 1
আমি একটি সংখ্যার মূল হিসাবে অভিব্যক্তি উপস্থাপন করি:
ক) খ) ভিতরে) .
এখন এই সংজ্ঞাটি বিপরীতভাবে প্রয়োগ করার চেষ্টা করা যাক
II একটি যৌক্তিক সূচক সহ একটি শক্তি হিসাবে অভিব্যক্তি প্রকাশ করুন:
ক) 2 খ) ভিতরে) 5 .
0 এর শক্তি শুধুমাত্র ধনাত্মক সূচকের জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়।
0 rযে কোনোটির জন্য = 0 r> 0.
ব্যবহার এই সংজ্ঞা, ঘরবাড়িআপনি #428 এবং #429 সম্পূর্ণ করবেন।
আসুন এখন দেখাই যে উপরে প্রণয়নকৃত একটি যৌক্তিক সূচক সহ ডিগ্রীর সংজ্ঞা সহ, ডিগ্রীর মৌলিক বৈশিষ্ট্যগুলি সংরক্ষিত হয়, যেগুলি যে কোনও সূচকের জন্য সত্য।
যেকোন মূলদ সংখ্যা r এবং s এবং যে কোন ধনাত্মক a এবং b এর জন্য, নিম্নলিখিত সমতা ধারণ করে:
1 0 . ক r ক s =a r+s ;
উদাহরণ: *
20 a r: a s = a r-s ;
উদাহরণ: :
3 0 . (a r ) s = a rs ;
উদাহরণ: ( -2/3
4 0 . ( ab) r = ক r খ r ; 5 0 . ( = .
উদাহরণ: (25 4) 1/2 ; ( ) 1/2
একবারে একাধিক বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করার উদাহরণ: * : .
শারীরিক শিক্ষা মিনিট।
আমরা ডেস্কের উপর কলম রাখি, পিঠ সোজা করি, এবং এখন আমরা এগিয়ে যাই, আমরা বোর্ডটি স্পর্শ করতে চাই। এখন আমরা এটি উত্থাপন করেছি এবং ডান, বাম, সামনে, পিছনে ঝুঁকেছি। তুমি আমাকে তোমার হাত দেখিয়েছিলে, এখন দেখাও তোমার আঙ্গুলগুলো কিভাবে নাচতে পারে।
উপাদান কাজ
যৌক্তিক সূচক সহ ডিগ্রীর আরও দুটি বৈশিষ্ট্য লক্ষ্য করা যাক:
6 0। দিন r একটি মূলদ সংখ্যা এবং 0< a < b . Тогда
ক r < b rএ r> 0,
ক r < b rএ r< 0.
7 0 . যেকোনো মূলদ সংখ্যার জন্যrএবং sবৈষম্য থেকে r> sযে অনুসরণ করে
ক r> ক rএকটি > 1 এর জন্য,
ক r < а r 0 এ< а < 1.
উদাহরণ: সংখ্যার তুলনা করুন:
এবং ; 2 300 এবং 3 200 .
পাঠের সারাংশ:
আজ পাঠে আমরা একটি পূর্ণসংখ্যা সূচক সহ একটি ডিগ্রির বৈশিষ্ট্যগুলি স্মরণ করেছি, একটি যৌক্তিক সূচক সহ একটি ডিগ্রির সংজ্ঞা এবং মৌলিক বৈশিষ্ট্যগুলি শিখেছি এবং অনুশীলন করার সময় অনুশীলনে এই তাত্ত্বিক উপাদানটির প্রয়োগ পরীক্ষা করেছি৷ আমি এই বিষয়টির প্রতি আপনার দৃষ্টি আকর্ষণ করতে চাই যে "যুক্তিযুক্ত সূচক সহ সূচক" বিষয়টি বাধ্যতামূলক ইউনিফাইড স্টেট এক্সাম অ্যাসাইনমেন্ট. বাড়ির কাজ প্রস্তুত করার সময় (নং 428 এবং নং 429
a সংখ্যার পূর্ণসংখ্যা সূচক থেকে, মূলদ সূচকে রূপান্তর নিজেই নির্দেশ করে। নীচে আমরা একটি যৌক্তিক সূচক সহ একটি ডিগ্রি সংজ্ঞায়িত করব এবং আমরা এটি এমনভাবে করব যাতে একটি পূর্ণসংখ্যা সূচক সহ একটি ডিগ্রির সমস্ত বৈশিষ্ট্য সংরক্ষিত থাকে। এটি প্রয়োজনীয় কারণ পূর্ণসংখ্যাগুলি মূলদ সংখ্যার অংশ।
এটা জানা যায় যে মূলদ সংখ্যার সেটটি পূর্ণসংখ্যা এবং ভগ্নাংশ নিয়ে গঠিত এবং প্রতিটি ভগ্নাংশ সংখ্যাকে ধনাত্মক বা ঋণাত্মক হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে। সাধারণ ভগ্নাংশ. আমরা পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদে একটি পূর্ণসংখ্যা সূচক সহ একটি ডিগ্রী সংজ্ঞায়িত করেছি, তাই, একটি যৌক্তিক সূচক সহ একটি ডিগ্রির সংজ্ঞা সম্পূর্ণ করার জন্য, আমাদের সংখ্যাটির ডিগ্রির অর্থ দিতে হবে কএকটি ভগ্নাংশ সূচক সহ m/n, কোথায় মিএকটি পূর্ণসংখ্যা, এবং n- প্রাকৃতিক। চল এটা করি।
ফর্মের ভগ্নাংশের সূচক সহ একটি ডিগ্রি বিবেচনা করা যাক। পাওয়ার-টু-পাওয়ার সম্পত্তি বৈধ থাকার জন্য, সমতা ধরে রাখতে হবে 
. আমরা যদি ফলস্বরূপ সমতা বিবেচনা করি এবং কীভাবে আমরা ডিগ্রীর nম মূল নির্ধারণ করি, তবে এটি গ্রহণ করা যৌক্তিক, তবে প্রদত্ত মি, nএবং কঅভিব্যক্তি অর্থপূর্ণ করে তোলে।
এটি পরীক্ষা করা সহজ যে একটি পূর্ণসংখ্যা সূচক সহ একটি ডিগ্রীর সমস্ত বৈশিষ্ট্য বৈধ (এটি একটি মূলদ সূচক সহ একটি ডিগ্রির বৈশিষ্ট্যগুলিতে করা হয়েছিল)।
উপরের যুক্তি আমাদের নিম্নলিখিত করতে অনুমতি দেয় উপসংহার: যদি ডেটা দেওয়া হয় মি, nএবং কঅভিব্যক্তি অর্থবোধ করে, তারপর সংখ্যার শক্তি কএকটি ভগ্নাংশ সূচক সহ m/nমূল বলা হয় nতম ডিগ্রী কএকটি ডিগ্রী পর্যন্ত মি.
এই বিবৃতিটি ভগ্নাংশের সূচক সহ একটি ডিগ্রির সংজ্ঞার কাছাকাছি নিয়ে আসে। যা বাকি আছে তা কি বর্ণনা করতে হবে মি, nএবং কঅভিব্যক্তি অর্থপূর্ণ করে তোলে। উপর আরোপিত বিধিনিষেধের উপর নির্ভর করে মি, nএবং কদুটি প্রধান পন্থা আছে.
1. সবচেয়ে সহজ উপায় হল একটি সীমাবদ্ধতা আরোপ করা ক, গ্রহণ করা হয়েছে a≥0ইতিবাচক জন্য মিএবং a>0নেতিবাচক জন্য মি(কখন থেকে m≤0ডিগ্রী 0 মিনির্ধারিত না)। তারপরে আমরা একটি ভগ্নাংশের সূচক সহ একটি ডিগ্রির নিম্নলিখিত সংজ্ঞা পাই।
সংজ্ঞা।
একটি ধনাত্মক সংখ্যার শক্তি কএকটি ভগ্নাংশ সূচক সহ m/n , কোথায় মি- পুরো, এবং n- একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা, যাকে মূল বলা হয় n-সংখ্যার তম কএকটি ডিগ্রী পর্যন্ত মি, এটাই, ।
শূন্যের ভগ্নাংশের শক্তিও শুধুমাত্র এই সতর্কতার সাথে নির্ধারিত হয় যে সূচকটি অবশ্যই ধনাত্মক হতে হবে।
সংজ্ঞা।
ভগ্নাংশ ধনাত্মক সূচক সহ শূন্যের শক্তি m/n
, কোথায় মিএকটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা, এবং n- প্রাকৃতিক সংখ্যা হিসাবে সংজ্ঞায়িত 
.
যখন ডিগ্রী নির্ধারণ করা হয় না, অর্থাৎ, একটি ভগ্নাংশ ঋণাত্মক সূচক সহ শূন্য সংখ্যার ডিগ্রী বোঝা যায় না।
এটি লক্ষ করা উচিত যে ভগ্নাংশের সূচক সহ একটি ডিগ্রির এই সংজ্ঞার সাথে, একটি সতর্কতা রয়েছে: কিছু নেতিবাচকের জন্য কএবং কিছু মিএবং nঅভিব্যক্তিটি বোধগম্য, কিন্তু আমরা শর্তটি প্রবর্তন করে এই ক্ষেত্রেগুলি বাতিল করে দিয়েছি a≥0. উদাহরণস্বরূপ, এন্ট্রিগুলি অর্থপূর্ণ 
বা, এবং উপরে প্রদত্ত সংজ্ঞা আমাদের বলতে বাধ্য করে যে ফর্মের একটি ভগ্নাংশ সূচক সহ শক্তিগুলি 
অর্থবোধ করবেন না, যেহেতু ভিত্তিটি নেতিবাচক হওয়া উচিত নয়।
2. ভগ্নাংশের সূচক দিয়ে ডিগ্রী নির্ধারণের আরেকটি পদ্ধতি m/nমূলের জোড় এবং বিজোড় সূচকগুলিকে আলাদাভাবে বিবেচনা করে। এই পদ্ধতির একটি অতিরিক্ত শর্ত প্রয়োজন: সংখ্যার শক্তি ক, যার সূচকটি একটি হ্রাসযোগ্য সাধারণ ভগ্নাংশ, তাকে সংখ্যার একটি শক্তি হিসাবে বিবেচনা করা হয় ক, যার সূচকটি সংশ্লিষ্ট অপরিবর্তনীয় ভগ্নাংশ (এই অবস্থার গুরুত্ব নীচে ব্যাখ্যা করা হবে)। অর্থাৎ, যদি m/nএকটি অপরিবর্তনীয় ভগ্নাংশ, তারপর যেকোনো প্রাকৃতিক সংখ্যার জন্য kডিগ্রি প্রাথমিকভাবে দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়।
এমনকি nএবং ইতিবাচক মিঅভিব্যক্তি কোনো অ নেতিবাচক জন্য অর্থে তোলে ক(একটি ঋণাত্মক সংখ্যার একটি জোড় মূলের কোন অর্থ নেই), ঋণাত্মক জন্য মিসংখ্যা কএখনও শূন্য থেকে আলাদা হতে হবে (অন্যথায় শূন্য দ্বারা বিভাজন হবে)। এবং বিজোড় জন্য nএবং ইতিবাচক মিসংখ্যা কযেকোনো হতে পারে (একটি বিজোড় মূল যেকোনো বাস্তব সংখ্যার জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়), এবং ঋণাত্মক জন্য মিসংখ্যা কঅ-শূন্য হতে হবে (যাতে শূন্য দ্বারা কোন বিভাজন নেই)।
উপরের যুক্তিটি ভগ্নাংশের সূচক সহ একটি ডিগ্রির এই সংজ্ঞার দিকে নিয়ে যায়।
সংজ্ঞা।
দিন m/n- অপরিবর্তনীয় ভগ্নাংশ, মি- পুরো, এবং n- প্রাকৃতিক সংখ্যা। যেকোনো হ্রাসযোগ্য ভগ্নাংশের জন্য, ডিগ্রীটি দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়। ডিগ্রী কএকটি অপরিবর্তনীয় ভগ্নাংশের সূচক সহ m/n- এটা জন্য
o কোনো বাস্তব সংখ্যা ক, সম্পূর্ণ ইতিবাচক মিএবং অদ্ভুত প্রাকৃতিক n, উদাহরণ স্বরূপ, 
;
o যেকোনো অ-শূন্য বাস্তব সংখ্যা ক, ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা মিএবং অদ্ভুত n, উদাহরণ স্বরূপ, 
;
o যেকোন নন-নেতিবাচক সংখ্যা ক, সম্পূর্ণ ইতিবাচক মিআর যদি n, উদাহরণ স্বরূপ, 
;
o কোনো ইতিবাচক ক, ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা মিআর যদি n, উদাহরণ স্বরূপ, 
;
o অন্যান্য ক্ষেত্রে, একটি ভগ্নাংশ সূচক সহ ডিগ্রী নির্ধারণ করা হয় না, যেমন ডিগ্রীগুলি সংজ্ঞায়িত করা হয় না 
.a আমরা ভুক্তির সাথে কোন অর্থ সংযুক্ত করি না; আমরা ধনাত্মক ভগ্নাংশের জন্য শূন্য সংখ্যার শক্তিকে সংজ্ঞায়িত করি m/nকিভাবে , ঋণাত্মক ভগ্নাংশের সূচকের জন্য শূন্য সংখ্যার শক্তি নির্ধারণ করা হয় না।
এই পয়েন্টের উপসংহারে, আসুন আমরা এই বিষয়টির প্রতি দৃষ্টি আকর্ষণ করি যে একটি ভগ্নাংশের সূচককে দশমিক ভগ্নাংশ বা একটি মিশ্র সংখ্যা হিসাবে লেখা যেতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, 
. এই ধরনের অভিব্যক্তির মান গণনা করতে, আপনাকে একটি সাধারণ ভগ্নাংশের আকারে সূচকটি লিখতে হবে এবং তারপর একটি ভগ্নাংশের সূচকের সাথে সূচকের সংজ্ঞাটি ব্যবহার করতে হবে। উপরের উদাহরণগুলির জন্য আমাদের আছে 
এবং 
যৌক্তিক সূচক সহ শক্তি
খাস্যানোভা টিজি,
গণিত শিক্ষক
উপস্থাপিত উপাদানটি গণিতের শিক্ষকদের জন্য উপযোগী হবে যখন বিষয় অধ্যয়ন করা হবে "একটি যুক্তিযুক্ত সূচক সহ সূচক।"
উপস্থাপিত উপাদানটির উদ্দেশ্য: "যুক্তিযুক্ত সূচকের সাথে সূচক" বিষয়ে একটি পাঠ পরিচালনা করার আমার অভিজ্ঞতা প্রকাশ করা কাজের প্রোগ্রামশৃঙ্খলা "গণিত"।
পাঠ পরিচালনার পদ্ধতিটি এর ধরণের সাথে মিলে যায় - অধ্যয়ন এবং প্রাথমিকভাবে নতুন জ্ঞান একত্রিত করার একটি পাঠ। পূর্বে অর্জিত অভিজ্ঞতার ভিত্তিতে প্রাথমিক জ্ঞান এবং দক্ষতা আপডেট করা হয়েছিল; প্রাথমিক মুখস্থ, একত্রীকরণ এবং নতুন তথ্য প্রয়োগ। একীভূতকরণ এবং নতুন উপাদানের প্রয়োগ সমস্যা সমাধানের আকারে ঘটেছে যা আমি বিভিন্ন জটিলতার পরীক্ষা করেছি, বিষয়টি আয়ত্ত করার ক্ষেত্রে একটি ইতিবাচক ফলাফল দিয়েছে।
পাঠের শুরুতে, আমি শিক্ষার্থীদের জন্য নিম্নলিখিত লক্ষ্যগুলি সেট করেছি: শিক্ষামূলক, উন্নয়নমূলক, শিক্ষামূলক। পাঠের সময় আমি ব্যবহার করেছি বিভিন্ন উপায়েকার্যক্রম: সম্মুখ, স্বতন্ত্র, জোড়া, স্বাধীন, পরীক্ষা। কাজগুলিকে আলাদা করা হয়েছিল এবং পাঠের প্রতিটি পর্যায়ে জ্ঞান অর্জনের মাত্রা সনাক্ত করা সম্ভব হয়েছিল। কাজের আয়তন এবং জটিলতা শিক্ষার্থীদের বয়সের বৈশিষ্ট্যের সাথে মিলে যায়। আমার অভিজ্ঞতা থেকে - বাড়ির কাজ, শ্রেণীকক্ষে সমাধান করা সমস্যার অনুরূপ, আপনাকে অর্জিত জ্ঞান এবং দক্ষতাকে নির্ভরযোগ্যভাবে একত্রিত করতে দেয়। পাঠের শেষে, প্রতিফলন করা হয়েছিল এবং পৃথক ছাত্রদের কাজ মূল্যায়ন করা হয়েছিল।
লক্ষ্যগুলি অর্জিত হয়েছিল। শিক্ষার্থীরা একটি ডিগ্রীর ধারণা এবং বৈশিষ্ট্যগুলি একটি যৌক্তিক সূচকের সাথে অধ্যয়ন করেছিল, সমাধান করার সময় এই বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করতে শিখেছিল ব্যবহারিক সমস্যা. পিছনে স্বাধীন কাজপরবর্তী পাঠে গ্রেড ঘোষণা করা হবে।
আমি বিশ্বাস করি যে আমি গণিত শেখানোর জন্য যে পদ্ধতি ব্যবহার করি তা গণিতের শিক্ষকরা ব্যবহার করতে পারেন।
পাঠের বিষয়: যুক্তিযুক্ত সূচক সহ শক্তি
পাঠের উদ্দেশ্য:
একটি জটিল জ্ঞান এবং দক্ষতার উপর ছাত্রদের দক্ষতার স্তর সনাক্তকরণ এবং এর উপর ভিত্তি করে প্রয়োগ নির্দিষ্ট সিদ্ধান্তশিক্ষা প্রক্রিয়া উন্নত করতে।
পাঠের উদ্দেশ্য:
শিক্ষাগত:মৌলিক ধারণা, নিয়ম, একটি যুক্তিসঙ্গত সূচক সহ ডিগ্রী নির্ধারণের জন্য আইনের শিক্ষার্থীদের মধ্যে নতুন জ্ঞান তৈরি করা, পরিবর্তিত এবং অ-মানক পরিস্থিতিতে মানক অবস্থাতে স্বাধীনভাবে জ্ঞান প্রয়োগ করার ক্ষমতা;
উন্নয়নশীল:যৌক্তিকভাবে চিন্তা করুন এবং সৃজনশীল ক্ষমতা উপলব্ধি করুন;
উত্থাপন:গণিতে আগ্রহ তৈরি করুন, আপনার শব্দভাণ্ডারকে নতুন পদ দিয়ে পূরণ করুন এবং আপনার চারপাশের বিশ্ব সম্পর্কে অতিরিক্ত তথ্য পান। ধৈর্য, অধ্যবসায় এবং অসুবিধাগুলি কাটিয়ে উঠার ক্ষমতা গড়ে তুলুন।
আয়োজনের সময়
রেফারেন্স জ্ঞান আপডেট করা
একই ঘাঁটিগুলির সাথে শক্তিগুলিকে গুণ করার সময়, সূচকগুলি যোগ করা হয়, তবে ভিত্তিটি একই থাকে:
উদাহরণ স্বরূপ, 
2. একই বেস দিয়ে ডিগ্রী ভাগ করার সময়, ডিগ্রীর সূচকগুলি বিয়োগ করা হয়, কিন্তু ভিত্তি একই থাকে:
উদাহরণ স্বরূপ, 
3. একটি ক্ষমতার একটি ডিগ্রী বাড়ানোর সময়, সূচকগুলিকে গুণ করা হয়, কিন্তু ভিত্তিটি একই থাকে:
উদাহরণ স্বরূপ,
4. গুণনীয়কের ডিগ্রীর গুণফলের সমান গুণফলের ডিগ্রি:
উদাহরণ স্বরূপ, 
5. ভাগফলের ডিগ্রী লভ্যাংশ এবং ভাজকের ডিগ্রীর ভাগফলের সমান:
উদাহরণ স্বরূপ, 
সমাধান সহ ব্যায়াম
অভিব্যক্তির অর্থ খুঁজুন: 
সমাধান:
এই ক্ষেত্রে, একটি প্রাকৃতিক সূচক সহ ডিগ্রীর কোনো বৈশিষ্ট্যই স্পষ্টভাবে প্রয়োগ করা যাবে না, যেহেতু সমস্ত ডিগ্রীতে ভিন্ন কারন. আসুন একটি ভিন্ন আকারে কিছু শক্তি লিখি:
(উপাদানের ডিগ্রী ফ্যাক্টরের ডিগ্রীর গুণফলের সমান);
(একই ঘাঁটির সাথে ঘাতগুলিকে গুণ করার সময়, সূচকগুলি যোগ করা হয়, কিন্তু ভিত্তিটি একই থাকে; যখন একটি শক্তিকে একটি ডিগ্রি বাড়ায়, তখন সূচকগুলিকে গুণ করা হয়, কিন্তু ভিত্তিটি একই থাকে)।
তারপর আমরা পাই:
ভিতরে এই উদাহরণেপ্রাকৃতিক সূচক সহ ডিগ্রির প্রথম চারটি বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করা হয়েছিল।
পাটিগণিত বর্গমূল
একটি অ-ঋণাত্মক সংখ্যা যার বর্গ সমানক,
. এ 
- অভিব্যক্তি সংজ্ঞায়িত নয়, কারণ এমন কোন বাস্তব সংখ্যা নেই যার বর্গ একটি ঋণাত্মক সংখ্যার সমানক.
গাণিতিক হুকুম(৮-১০ মিনিট)
অপশন
২. অপশন
1. অভিব্যক্তির মান খুঁজুন
ক) 
খ) 
1. অভিব্যক্তির মান খুঁজুন
ক) 
খ) 
2. গণনা করুন
ক) 
খ) 
ভিতরে) 
2. গণনা করুন
ক) 
খ) 
ভি) 
আত্ম পরীক্ষা(ল্যাপেল বোর্ডে):
প্রতিক্রিয়া ম্যাট্রিক্স:
№ বিকল্প/টাস্ক
সমস্যা 1
সমস্যা 2
বিকল্প 1
ক) 2
খ) 2
ক) 0.5
খ) 
ভি) 
বিকল্প 2
ক) 1.5
খ)
ক) 
খ) 
4 এ
নতুন জ্ঞান গঠন
আসুন বিবেচনা করি অভিব্যক্তিটির অর্থ কী, কোথায় 
- সঠিক নাম্বার- ভগ্নাংশ সংখ্যা এবং m-পূর্ণসংখ্যা, n-প্রাকৃতিক (n›1)
সংজ্ঞা: মূলদ সূচক সহ a›0 এর শক্তিr = , মি- পুরো, n-প্রাকৃতিক ( n› 1) নম্বরটি বলা হয়.
তাই: 
উদাহরণ স্বরূপ: 
মন্তব্য:
1. যেকোনো ধনাত্মক a এবং যেকোনো মূলদ r সংখ্যার জন্য 
ইতিবাচকভাবে
2. কখন যৌক্তিক ডিগ্রীসংখ্যাকনির্ধারিত না।
মত প্রকাশ 
কোন মানে নেই
3.যদি 
একটি ভগ্নাংশ ধনাত্মক সংখ্যা 
.
যদি ভগ্নাংশ ঋণাত্মক সংখ্যা, তারপর 
-কোন মানে হয় না
উদাহরণ স্বরূপ: 
- কোন মানে নেই
একটি যুক্তিযুক্ত সূচক সহ একটি ডিগ্রির বৈশিষ্ট্য বিবেচনা করা যাক।
ধরুন a >0, b>0; r, s - যেকোনো মূলদ সংখ্যা. তারপরে যেকোন যুক্তিযুক্ত সূচক সহ একটি ডিগ্রির নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্য রয়েছে:
1.
2.
3.
4.
5.
III. একত্রীকরণের। নতুন দক্ষতা এবং ক্ষমতা গঠন।
টাস্ক কার্ড একটি পরীক্ষার আকারে ছোট দলে কাজ করে।
একটি সংখ্যার ডিগ্রি নির্ধারণ করার পরে, এটি সম্পর্কে কথা বলা যৌক্তিক ডিগ্রী বৈশিষ্ট্য. এই নিবন্ধে আমরা একটি সংখ্যার শক্তির মৌলিক বৈশিষ্ট্য দেব, সব সম্ভাব্য সূচকগুলিকে স্পর্শ করার সময়। এখানে আমরা ডিগ্রীর সমস্ত বৈশিষ্ট্যের প্রমাণ প্রদান করব, এবং উদাহরণগুলি সমাধান করার সময় এই বৈশিষ্ট্যগুলি কীভাবে ব্যবহার করা হয় তাও দেখাব।
পৃষ্ঠা নেভিগেশন.
প্রাকৃতিক সূচক সহ ডিগ্রীর বৈশিষ্ট্য
একটি প্রাকৃতিক সূচক সহ একটি শক্তির সংজ্ঞা অনুসারে, শক্তি a n হল n ফ্যাক্টরের গুণফল, যার প্রত্যেকটি a এর সমান। এই সংজ্ঞা উপর ভিত্তি করে, এবং এছাড়াও ব্যবহার করে বাস্তব সংখ্যার গুণের বৈশিষ্ট্য, আমরা নিম্নলিখিত প্রাপ্ত এবং ন্যায্যতা করতে পারেন প্রাকৃতিক সূচক সহ ডিগ্রির বৈশিষ্ট্য:
- ডিগ্রীর প্রধান বৈশিষ্ট্য a m ·a n =a m+n, এর সাধারণীকরণ;
- অনুরূপ বেস সহ ভাগফল ক্ষমতার বৈশিষ্ট্য a m:a n =a m−n ;
- পণ্য শক্তি বৈশিষ্ট্য (a·b) n =a n ·b n , এর এক্সটেনশন;
- প্রাকৃতিক মাত্রার ভাগফলের বৈশিষ্ট্য (a:b) n =a n:b n ;
- একটি শক্তি (a m) n =a m·n, এর সাধারণীকরণে একটি ডিগ্রি বৃদ্ধি করা (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k;
- শূন্যের সাথে ডিগ্রির তুলনা:
- যদি a>0, তাহলে a n>0 যেকোন স্বাভাবিক সংখ্যার জন্য n;
- যদি a=0, তাহলে a n =0;
- যদি একটি<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 যদি ক<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
- যদি a এবং b ধনাত্মক সংখ্যা এবং a হয়
- যদি m এবং n প্রাকৃতিক সংখ্যা হয় যেমন m>n, তাহলে 0 এ
- যদি m এবং n প্রাকৃতিক সংখ্যা হয় যেমন m>n, তাহলে 0 এ
আসুন অবিলম্বে নোট করুন যে সমস্ত লিখিত সমতা অভিন্ননির্দিষ্ট শর্ত সাপেক্ষে, তাদের ডান এবং বাম উভয় অংশ অদলবদল করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, a m·a n =a m+n সহ ভগ্নাংশের প্রধান বৈশিষ্ট্য অভিব্যক্তি সরলীকরণপ্রায়শই a m+n =a m·a n আকারে ব্যবহৃত হয়।
এখন বিস্তারিতভাবে তাদের প্রতিটি তাকান.
চলুন শুরু করা যাক একই ঘাঁটির সাথে দুটি শক্তির গুণফলের বৈশিষ্ট্য, যাকে বলা হয় ডিগ্রির প্রধান সম্পত্তি: যে কোনো বাস্তব সংখ্যা a এবং যেকোনো প্রাকৃতিক সংখ্যা m এবং n এর জন্য, সমতা a m ·a n =a m+n সত্য।
আসুন ডিগ্রীর মূল সম্পত্তি প্রমাণ করি। একটি প্রাকৃতিক সূচক সহ একটি শক্তির সংজ্ঞা অনুসারে, a m ·a n আকারের একই বেস সহ শক্তির গুণফলকে একটি গুণফল হিসাবে লেখা যেতে পারে। গুণের বৈশিষ্ট্যের কারণে, ফলে প্রাপ্ত রাশিটি হিসাবে লেখা যেতে পারে 
, এবং এই গুণফলটি হল a সংখ্যার একটি ঘাত যার একটি প্রাকৃতিক সূচক m+n, অর্থাৎ একটি m+n। এটি প্রমাণটি সম্পূর্ণ করে।
ডিগ্রীর মূল সম্পত্তি নিশ্চিত করে একটি উদাহরণ দেওয়া যাক। আসুন একই বেস 2 এবং প্রাকৃতিক শক্তি 2 এবং 3 সহ ডিগ্রী গ্রহণ করি, ডিগ্রীর মৌলিক বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে আমরা সমতা 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 লিখতে পারি। 2 2 · 2 3 এবং 2 5 অভিব্যক্তির মান গণনা করে এর বৈধতা পরীক্ষা করা যাক। বাহ্যিক ব্যাখ্যা বহন, আমরা আছে 2 2 ·2 3 =(2·2)·(2·2·2)=4·8=32এবং 2 5 =2·2·2·2·2=32, যেহেতু সমান মান পাওয়া যায়, তাহলে সমতা 2 2 ·2 3 =2 5 সঠিক, এবং এটি ডিগ্রীর মূল বৈশিষ্ট্য নিশ্চিত করে।
গুণের বৈশিষ্ট্যের উপর ভিত্তি করে একটি ডিগ্রির মৌলিক বৈশিষ্ট্যকে একই বেস এবং প্রাকৃতিক সূচক সহ তিন বা ততোধিক শক্তির গুণফলের সাধারণীকরণ করা যেতে পারে। সুতরাং n 1, n 2, …, n k প্রাকৃতিক সংখ্যার যেকোন সংখ্যার জন্য নিম্নলিখিত সমতা সত্য: a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.
উদাহরণ স্বরূপ, (2,1) 3 · (2,1) 3 · (2,1) 4 · (2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .
আমরা একটি প্রাকৃতিক সূচকের সাথে শক্তির পরবর্তী সম্পত্তিতে যেতে পারি - একই ঘাঁটি সহ ভাগফল ক্ষমতার সম্পত্তি: যে কোনো অ-শূন্য বাস্তব সংখ্যা a এবং নির্বিচারে স্বাভাবিক সংখ্যা m এবং n শর্ত m>n সন্তুষ্ট করে, সমতা a m:a n =a m−n সত্য।
এই সম্পত্তির প্রমাণ উপস্থাপন করার আগে, আসুন আমরা প্রণয়নে অতিরিক্ত শর্তের অর্থ নিয়ে আলোচনা করি। শূন্য দ্বারা বিভাজন এড়াতে a≠0 শর্তটি প্রয়োজনীয়, যেহেতু 0 n =0, এবং যখন আমরা বিভাজনের সাথে পরিচিত হয়েছিলাম, তখন আমরা সম্মত হয়েছিলাম যে আমরা শূন্য দিয়ে ভাগ করতে পারি না। শর্ত m>n চালু করা হয়েছে যাতে আমরা প্রাকৃতিক সূচকের বাইরে না যাই। প্রকৃতপক্ষে, m>n-এর জন্য সূচকটি হল m−n স্বাভাবিক সংখ্যা, অন্যথায় এটি হয় শূন্য (যা হয় যখন m−n হয়) অথবা একটি ঋণাত্মক সংখ্যা (যা ঘটে যখন m) প্রমাণ। একটি ভগ্নাংশের প্রধান বৈশিষ্ট্য আমাদের সমতা লিখতে দেয় a m−n ·a n =a (m−n)+n =a m. ফলস্বরূপ সমতা থেকে একটি m−n ·a n =a m এবং এটি অনুসরণ করে যে একটি m−n হল a m এবং a n শক্তিগুলির একটি ভাগফল। এটি অভিন্ন বেস সহ ভাগফল ক্ষমতার বৈশিষ্ট্য প্রমাণ করে। একটা উদাহরণ দেওয়া যাক। একই বেস π এবং প্রাকৃতিক সূচক 5 এবং 2 সহ দুটি ডিগ্রি নেওয়া যাক, সমতা π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 ডিগ্রীর বিবেচিত বৈশিষ্ট্যের সাথে মিলে যায়। এখন বিবেচনা করা যাক পণ্য শক্তি সম্পত্তি: যে কোনো দুটি বাস্তব সংখ্যা a এবং b এর গুণফলের প্রাকৃতিক শক্তি n, a n এবং b n, অর্থাৎ (a·b) n =a n ·b n শক্তির গুণফলের সমান। প্রকৃতপক্ষে, একটি প্রাকৃতিক সূচক সঙ্গে একটি ডিগ্রী সংজ্ঞা দ্বারা আমরা আছে এখানে একটি উদাহরণ: এই সম্পত্তি তিনটি বা ততোধিক কারণের পণ্যের শক্তি পর্যন্ত প্রসারিত। অর্থাৎ, k ফ্যাক্টরগুলির গুণফলের প্রাকৃতিক ডিগ্রি n এর সম্পত্তি হিসাবে লেখা হয় (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n. স্পষ্টতার জন্য, আমরা একটি উদাহরণ সহ এই সম্পত্তি দেখাব. তিনটি গুণনীয়কের গুণফলের জন্য আমাদের 7 শক্তি আছে। নিম্নলিখিত সম্পত্তি হল ধরনের একটি ভাগফল সম্পত্তি: প্রকৃত সংখ্যা a এবং b, b≠0 এর প্রাকৃতিক শক্তি n এর ভাগফল a n এবং b n, অর্থাৎ (a:b) n =a n:b n এর ক্ষমতার ভাগফলের সমান। পূর্ববর্তী সম্পত্তি ব্যবহার করে প্রমাণ করা যেতে পারে। তাই (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, এবং সমতা (a:b) n ·b n =a n থেকে এটি অনুসরণ করে যে (a:b) n হল a n এর ভাগফল b n দ্বারা বিভক্ত। আসুন একটি উদাহরণ হিসাবে নির্দিষ্ট সংখ্যা ব্যবহার করে এই সম্পত্তি লিখুন: এখন এর ভয়েস করা যাক একটি শক্তি একটি শক্তি উত্থাপন সম্পত্তি: যে কোনো বাস্তব সংখ্যা a এবং যে কোনো প্রাকৃতিক সংখ্যা m এবং n এর জন্য, a m থেকে n এর ঘাতের ঘাত a সংখ্যাটির ঘাতের সাথে m·n, অর্থাৎ (a m) n =a m·n। উদাহরণস্বরূপ, (5 2) 3 =5 2·3 =5 6। পাওয়ার-টু-ডিগ্রী সম্পত্তির প্রমাণ হল সমতার নিম্নলিখিত চেইন: বিবেচিত সম্পত্তি ডিগ্রী থেকে ডিগ্রী পর্যন্ত প্রসারিত করা যেতে পারে, ইত্যাদি। উদাহরণস্বরূপ, যেকোনো প্রাকৃতিক সংখ্যার জন্য p, q, r এবং s, সমতা এটি একটি প্রাকৃতিক সূচকের সাথে ডিগ্রীর তুলনা করার বৈশিষ্ট্যগুলির উপর নির্ভর করে। একটি প্রাকৃতিক সূচকের সাথে শূন্য এবং শক্তি তুলনা করার বৈশিষ্ট্য প্রমাণ করে শুরু করা যাক। প্রথমত, প্রমাণ করা যাক যে কোনো a>0 এর জন্য একটি n >0। দুটি ধনাত্মক সংখ্যার গুণফল একটি ধনাত্মক সংখ্যা, যা গুণের সংজ্ঞা থেকে নিম্নরূপ। এই সত্য এবং গুণের বৈশিষ্ট্যগুলি ইঙ্গিত করে যে ধনাত্মক সংখ্যাগুলির যেকোনো সংখ্যাকে গুণ করার ফলাফলটিও একটি ধনাত্মক সংখ্যা হবে। এবং প্রাকৃতিক সূচক n সহ একটি সংখ্যার শক্তি, সংজ্ঞা অনুসারে, n গুণনীয়কগুলির গুণফল, যার প্রতিটি a এর সমান। এই আর্গুমেন্টগুলি আমাদেরকে নিশ্চিত করতে দেয় যে কোনো ধনাত্মক ভিত্তি a এর জন্য, ডিগ্রী a n একটি ধনাত্মক সংখ্যা। প্রমাণিত সম্পত্তির কারণে 3 5 >0, (0.00201) 2 >0 এবং এটা খুবই স্পষ্ট যে a=0 সহ যেকোনো প্রাকৃতিক সংখ্যা n-এর জন্য a n-এর ডিগ্রি শূন্য। প্রকৃতপক্ষে, 0 n =0·0·…·0=0 । উদাহরণস্বরূপ, 0 3 =0 এবং 0 762 =0। ডিগ্রী নেতিবাচক ঘাঁটি এগিয়ে চলুন. সূচকটি একটি জোড় সংখ্যা হলে চলুন শুরু করা যাক, এটিকে 2·m হিসাবে চিহ্নিত করা যাক, যেখানে m একটি স্বাভাবিক সংখ্যা। তারপর অবশেষে, যখন ভিত্তি a একটি ঋণাত্মক সংখ্যা এবং সূচকটি একটি বিজোড় সংখ্যা 2 m−1, তখন আসুন একই প্রাকৃতিক সূচকগুলির সাথে শক্তির তুলনা করার বৈশিষ্ট্যে এগিয়ে যাই, যার নিম্নলিখিত সূত্র রয়েছে: একই প্রাকৃতিক সূচকের সাথে দুটি শক্তির, n যার ভিত্তি ছোট তার চেয়ে কম এবং যার ভিত্তি বড় তার চেয়ে বড় . এটা প্রমাণ করা যাক. অসমতা a n বৈষম্যের বৈশিষ্ট্য a n ফর্মের প্রমাণযোগ্য অসমতাও সত্য (2.2) 7 এবং প্রাকৃতিক সূচক সহ শক্তির তালিকাভুক্ত বৈশিষ্ট্যগুলির শেষটি প্রমাণ করা বাকি রয়েছে। এর প্রণয়ন করা যাক। প্রাকৃতিক সূচক এবং অভিন্ন ধনাত্মক ঘাঁটির একটির চেয়ে কম দুটি শক্তির মধ্যে, যার সূচক ছোট সে বড়; এবং প্রাকৃতিক সূচক এবং অভিন্ন বেস সহ দুটি শক্তির একটির চেয়ে বেশি, যার সূচক বেশি সে বড়। আসুন এই সম্পত্তির প্রমাণে এগিয়ে যাই। আসুন m>n এবং 0 এর জন্য প্রমাণ করি এটা সম্পত্তি দ্বিতীয় অংশ প্রমাণ অবশেষ. আসুন প্রমাণ করি যে m>n এবং a>1 a m >a n সত্য। বন্ধনী থেকে একটি n নেওয়ার পরে a m −a n যে পার্থক্যটি তা রূপ নেয় a n ·(a m−n −1)। এই গুণফলটি ধনাত্মক, যেহেতু a>1 এর জন্য ডিগ্রী a n একটি ধনাত্মক সংখ্যা, এবং পার্থক্য একটি m−n −1 একটি ধনাত্মক সংখ্যা, যেহেতু m−n>0 প্রাথমিক অবস্থার কারণে, এবং a>1 এর জন্য ডিগ্রী a m−n একের চেয়ে বড়। ফলস্বরূপ, a m −a n >0 এবং a m >a n, যা প্রমাণ করা প্রয়োজন। এই বৈশিষ্ট্যটি অসমতা 3 7 >3 2 দ্বারা চিত্রিত হয়েছে।
. গুণের বৈশিষ্ট্যের উপর ভিত্তি করে, শেষ গুণফলটি হিসাবে পুনরায় লেখা যেতে পারে 
, যা a n · b n এর সমান।
.
.
.
. আরও স্পষ্টতার জন্য, এখানে নির্দিষ্ট সংখ্যা সহ একটি উদাহরণ দেওয়া হল: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10
.
.
. a·a ফর্মের প্রতিটি পণ্যের জন্য a এবং a সংখ্যার মডিউলির গুণফলের সমান, যার মানে এটি একটি ধনাত্মক সংখ্যা। অতএব, পণ্যটিও ইতিবাচক হবে 
এবং ডিগ্রী a 2·m। উদাহরণ দেওয়া যাক: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 এবং .
. সমস্ত পণ্য a·a হল ধনাত্মক সংখ্যা, এই ধনাত্মক সংখ্যাগুলির গুণফলও ধনাত্মক, এবং অবশিষ্ট ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা এর গুণফল একটি ঋণাত্মক সংখ্যায় পরিণত হয়। এই সম্পত্তির কারণে (−5) 3<0
, (−0,003) 17 <0
и 
.
.
পূর্ণসংখ্যা সূচক সহ ক্ষমতার বৈশিষ্ট্য
যেহেতু ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাগুলি প্রাকৃতিক সংখ্যা, তাই ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার সূচক সহ শক্তিগুলির সমস্ত বৈশিষ্ট্য পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদে তালিকাভুক্ত এবং প্রমাণিত প্রাকৃতিক সূচকগুলির সাথে শক্তিগুলির বৈশিষ্ট্যগুলির সাথে হুবহু মিলে যায়৷
আমরা একটি পূর্ণসংখ্যা ঋণাত্মক সূচক সহ একটি ডিগ্রী সংজ্ঞায়িত করেছি, সেইসাথে একটি শূন্য সূচক সহ একটি ডিগ্রী, এমনভাবে যাতে সমতা দ্বারা প্রকাশ করা প্রাকৃতিক সূচক সহ ডিগ্রীর সমস্ত বৈশিষ্ট্য বৈধ থাকে৷ অতএব, এই সমস্ত বৈশিষ্ট্য শূন্য সূচক এবং উভয়ের জন্যই বৈধ নেতিবাচক সূচক, এবং, অবশ্যই, শক্তির ঘাঁটিগুলি শূন্য থেকে আলাদা।
সুতরাং, যে কোনো বাস্তব এবং অ-শূন্য সংখ্যা a এবং b, সেইসাথে m এবং n পূর্ণসংখ্যার জন্য, নিম্নলিখিতগুলি সত্য: পূর্ণসংখ্যা সূচক সহ শক্তির বৈশিষ্ট্য:
- a m ·a n =a m + n ;
- a m:a n =a m−n ;
- (a·b) n =a n ·b n ;
- (a:b) n =a n:b n ;
- (a m) n =a m·n ;
- যদি n একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হয়, a এবং b ধনাত্মক সংখ্যা, এবং a b−n;
- যদি m এবং n পূর্ণসংখ্যা হয় এবং m>n হয়, তাহলে 0-এ
যখন a=0, তখন a m এবং a n এর ঘাত তখনই বোঝা যায় যখন m এবং n উভয়ই ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা, অর্থাৎ প্রাকৃতিক সংখ্যা। এইভাবে, শুধুমাত্র লেখা বৈশিষ্ট্যগুলি সেই ক্ষেত্রেও বৈধ যখন a=0 এবং সংখ্যা m এবং n ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হয়।
এই বৈশিষ্ট্যগুলির প্রতিটি প্রমাণ করা কঠিন নয়, এটি প্রাকৃতিক এবং পূর্ণসংখ্যার সূচকগুলির সাথে সাথে বাস্তব সংখ্যাগুলির সাথে ক্রিয়াকলাপের বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করা যথেষ্ট। একটি উদাহরণ হিসাবে, আসুন প্রমাণ করা যাক যে পাওয়ার-টু-পাওয়ার সম্পত্তি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং অ-ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা উভয়ের জন্যই ধারণ করে। এটি করার জন্য, আপনাকে দেখাতে হবে যে p যদি শূন্য হয় বা একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা এবং q যদি শূন্য বা একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা হয়, তাহলে সমতা (a p) q =a p·q, (a −p) q =a (−p) ·q, (a p ) −q =a p·(−q) এবং (a −p) −q =a (−p)·(−q). চল এটা করি।
ধনাত্মক p এবং q এর জন্য, সমতা (a p) q =a p·q পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদে প্রমাণিত হয়েছে। যদি p=0 হয়, তাহলে আমাদের আছে (a 0) q =1 q =1 এবং a 0·q =a 0 =1, যেখান থেকে (a 0) q =a 0·q। একইভাবে, যদি q=0, তাহলে (a p) 0 =1 এবং a p·0 =a 0 =1, যেখান থেকে (a p) 0 =a p·0। যদি p=0 এবং q=0 উভয়ই হয়, তাহলে (a 0) 0 =1 0 =1 এবং a 0·0 =a 0 =1, কোথা থেকে (a 0) 0 =a 0·0।
এখন আমরা প্রমাণ করি যে (a −p) q =a (−p)·q। একটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা সূচক সহ একটি শক্তির সংজ্ঞা অনুসারে, তারপর 
. ভাগফলের সম্পত্তি দ্বারা আমাদের ক্ষমতা রয়েছে 
. যেহেতু 1 p =1·1·…·1=1 এবং তারপর। শেষ অভিব্যক্তি, সংজ্ঞা অনুসারে, a −(p·q) ফর্মের একটি শক্তি, যা গুণের নিয়মের কারণে, একটি (−p)·q হিসাবে লেখা যেতে পারে।
একইভাবে 
.
এবং 
.
একই নীতি ব্যবহার করে, আপনি সমতা আকারে লিখিত একটি পূর্ণসংখ্যা সূচক সহ একটি ডিগ্রির অন্যান্য সমস্ত বৈশিষ্ট্য প্রমাণ করতে পারেন।
লিপিবদ্ধ বৈশিষ্ট্যের শেষভাগে, এটি অসমতার প্রমাণের উপর নির্ভর করা মূল্যবান a −n >b −n, যা যে কোনও ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা −n এবং যে কোনও ধনাত্মক a এবং b এর জন্য বৈধ যার জন্য a শর্তটি সন্তুষ্ট। . যেহেতু শর্ত দ্বারা ক 0 a n · b n ধনাত্মক সংখ্যা a n এবং b n এর গুণফল হিসাবেও ধনাত্মক। তারপর প্রাপ্ত ভগ্নাংশটি ধনাত্মক সংখ্যা b n −a n এবং a n ·b n এর ভাগফল হিসাবে ধনাত্মক। অতএব, কোথা থেকে a −n >b −n, যা প্রমাণ করা দরকার।
পূর্ণসংখ্যা সূচক সহ ক্ষমতার শেষ সম্পত্তি প্রাকৃতিক সূচক সহ ক্ষমতার অনুরূপ সম্পত্তি হিসাবে একইভাবে প্রমাণিত হয়।
যৌক্তিক সূচক সহ ক্ষমতার বৈশিষ্ট্য
আমরা একটি ডিগ্রীকে একটি পূর্ণসংখ্যা সূচক সহ একটি ডিগ্রির বৈশিষ্ট্যগুলিকে প্রসারিত করে একটি ভগ্নাংশের সূচক সহ সংজ্ঞায়িত করেছি। অন্য কথায়, ভগ্নাংশের সূচকযুক্ত শক্তিগুলির পূর্ণসংখ্যা সূচকগুলির শক্তিগুলির মতো একই বৈশিষ্ট্য রয়েছে। যথা:
ভগ্নাংশের সূচক সহ ডিগ্রীর বৈশিষ্ট্যের প্রমাণ একটি ভগ্নাংশের সূচক সহ একটি ডিগ্রির সংজ্ঞা এবং একটি পূর্ণসংখ্যা সূচক সহ একটি ডিগ্রির বৈশিষ্ট্যের উপর ভিত্তি করে। আসুন প্রমাণ প্রদান করি।
একটি ভগ্নাংশ সূচক সহ একটি শক্তির সংজ্ঞা অনুসারে এবং তারপরে 
. পাটিগণিত মূলের বৈশিষ্ট্যগুলি আমাদের নিম্নলিখিত সমতাগুলি লিখতে দেয়। আরও, একটি পূর্ণসংখ্যা সূচক সহ একটি ডিগ্রির বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে, আমরা পাই, যা থেকে, একটি ভগ্নাংশের সূচক সহ একটি ডিগ্রির সংজ্ঞা অনুসারে, আমাদের আছে 
, এবং প্রাপ্ত ডিগ্রীর সূচকটি নিম্নরূপ রূপান্তরিত হতে পারে: . এটি প্রমাণটি সম্পূর্ণ করে।
ভগ্নাংশের সূচক সহ শক্তির দ্বিতীয় বৈশিষ্ট্যটি সম্পূর্ণ অনুরূপভাবে প্রমাণিত হয়: 
অবশিষ্ট সমতা অনুরূপ নীতি ব্যবহার করে প্রমাণিত হয়: 
এর পরবর্তী সম্পত্তি প্রমাণ করা যাক. আসুন প্রমাণ করি যে কোন ধনাত্মক a এবং b, a এর জন্য খ পি. আসুন মূলদ সংখ্যা p কে m/n হিসাবে লিখি, যেখানে m একটি পূর্ণসংখ্যা এবং n একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা। শর্ত পি<0 и p>0 এই ক্ষেত্রে শর্ত m<0 и m>সেই অনুযায়ী 0। m>0 এবং a এর জন্য
একইভাবে, এম জন্য<0 имеем a m >b m, কোথা থেকে, যে, এবং a p >b p।
এটি তালিকাভুক্ত বৈশিষ্ট্য শেষ প্রমাণ অবশেষ. আসুন প্রমাণ করি যে মূলদ সংখ্যার জন্য p এবং q, p>q 0 এ 
এবং 
. এবং একটি যৌক্তিক সূচক সহ একটি ডিগ্রির সংজ্ঞা আমাদের অসাম্যের দিকে যেতে দেয় এবং সেই অনুযায়ী। এখান থেকে আমরা চূড়ান্ত উপসংহার টানা: p>q এবং 0 এর জন্য
অযৌক্তিক সূচক সহ ক্ষমতার বৈশিষ্ট্য
একটি অযৌক্তিক সূচক সহ একটি ডিগ্রী যেভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে তা থেকে আমরা উপসংহারে আসতে পারি যে এটিতে মূলদ সূচক সহ ডিগ্রীর সমস্ত বৈশিষ্ট্য রয়েছে। তাই যেকোনো a>0, b>0 এবং এর জন্য অমূলদ সংখ্যা p এবং q নিম্নরূপ অযৌক্তিক সূচক সহ শক্তির বৈশিষ্ট্য:
- a p ·a q =a p+q ;
- a p:a q =a p−q ;
- (a·b) p =a p ·b p ;
- (a:b) p =a p:b p ;
- (a p) q =a p·q ;
- যে কোন ধনাত্মক সংখ্যা a এবং b, a এর জন্য 0 অসমতা একটি পি খ পি;
- অমূলদ সংখ্যার জন্য p এবং q, p>q 0 এ
এ থেকে আমরা উপসংহারে পৌঁছাতে পারি যে a>0 এর জন্য যে কোনো বাস্তব সূচকের p এবং q এর ক্ষমতা একই বৈশিষ্ট্য রয়েছে।
গ্রন্থপঞ্জি।
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. ৫ম শ্রেণীর গণিতের পাঠ্যপুস্তক। শিক্ষা প্রতিষ্ঠান।
- মাকারিচেভ ইউ.এন., মিন্ডুক এন.জি., নেশকভ কে.আই., সুভোরোভা এস.বি. বীজগণিত: 7 ম শ্রেণীর পাঠ্যপুস্তক। শিক্ষা প্রতিষ্ঠান।
- মাকারিচেভ ইউ.এন., মিন্ডুক এন.জি., নেশকভ কে.আই., সুভোরোভা এস.বি. বীজগণিত: 8 ম শ্রেণীর পাঠ্যপুস্তক। শিক্ষা প্রতিষ্ঠান।
- মাকারিচেভ ইউ.এন., মিন্ডুক এন.জি., নেশকভ কে.আই., সুভোরোভা এস.বি. বীজগণিত: 9 ম শ্রেণীর পাঠ্যপুস্তক। শিক্ষা প্রতিষ্ঠান।
- কোলমোগোরভ এ.এন., আব্রামভ এ.এম., ডুডনিটসিন ইউ.পি. এবং অন্যান্য বীজগণিত এবং বিশ্লেষণের শুরু: সাধারণ শিক্ষা প্রতিষ্ঠানের 10 - 11 গ্রেডের পাঠ্যপুস্তক।
- গুসেভ V.A., Mordkovich A.G. গণিত (যারা প্রযুক্তিগত বিদ্যালয়ে প্রবেশ করে তাদের জন্য একটি ম্যানুয়াল)।
ভিডিও পাঠ "একটি যুক্তিযুক্ত সূচক সহ সূচক" একটি ভিজ্যুয়াল রয়েছে শিক্ষাগত উপাদানএই বিষয়ে একটি পাঠ শেখান. ভিডিও পাঠে একটি যৌক্তিক সূচক সহ একটি ডিগ্রির ধারণা, এই জাতীয় ডিগ্রিগুলির বৈশিষ্ট্য এবং সেইসাথে ব্যবহারিক সমস্যাগুলি সমাধানের জন্য শিক্ষাগত উপাদানের ব্যবহার বর্ণনা করার উদাহরণগুলি সম্পর্কে তথ্য রয়েছে। এই ভিডিও পাঠের উদ্দেশ্য হ'ল শিক্ষাগত উপাদানগুলিকে স্পষ্টভাবে এবং স্পষ্টভাবে উপস্থাপন করা, শিক্ষার্থীদের এটির বিকাশ এবং মুখস্থ করার সুবিধা দেওয়া এবং শেখা ধারণাগুলি ব্যবহার করে সমস্যাগুলি সমাধান করার ক্ষমতা বিকাশ করা।
ভিডিও পাঠের প্রধান সুবিধাগুলি হল দৃশ্যত রূপান্তর এবং গণনা সম্পাদন করার ক্ষমতা, শেখার দক্ষতা উন্নত করতে অ্যানিমেশন প্রভাবগুলি ব্যবহার করার ক্ষমতা। ভয়েস সহযোগ সঠিক গাণিতিক বক্তৃতা বিকাশে সহায়তা করে এবং শিক্ষকের ব্যাখ্যাকে প্রতিস্থাপন করা সম্ভব করে, তাকে স্বতন্ত্র কাজ করার জন্য মুক্ত করে।
ভিডিও পাঠ শুরু হয় বিষয় পরিচয় দিয়ে। লিঙ্কিং অধ্যয়ন নতুন বিষয়পূর্বে অধ্যয়ন করা উপাদানের সাথে, এটি মনে রাখার পরামর্শ দেওয়া হয় যে n √a অন্যথায় প্রাকৃতিক n এবং ধনাত্মক a এর জন্য 1/n দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। এই এন-রুট উপস্থাপনা পর্দায় প্রদর্শিত হয়। এর পরে, আমরা একটি m/n শব্দের অর্থ কী তা বিবেচনা করার প্রস্তাব দিই, যেখানে a একটি ধনাত্মক সংখ্যা এবং m/n একটি ভগ্নাংশ। একটি m/n = n √a m হিসাবে একটি যুক্তিযুক্ত সূচক সহ একটি ডিগ্রির সংজ্ঞা দেওয়া হয়েছে, ফ্রেমে হাইলাইট করা হয়েছে। এটা উল্লেখ্য যে n একটি স্বাভাবিক সংখ্যা হতে পারে, এবং m একটি পূর্ণসংখ্যা হতে পারে।
একটি যৌক্তিক সূচক সহ একটি ডিগ্রী সংজ্ঞায়িত করার পরে, উদাহরণের মাধ্যমে এর অর্থ প্রকাশ করা হয়: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3। একটি উদাহরণও দেখানো হয়েছে যার দ্বারা উপস্থাপিত ডিগ্রি দশমিক, একটি সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তরিত হয় যা একটি মূল হিসাবে উপস্থাপন করা হয়: (1/7) 1.7 = (1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 এবং উদাহরণ সহ নেতিবাচক মানডিগ্রি: 3 -1/8 = 8 √3 -1।
ডিগ্রীর ভিত্তি শূন্য হলে বিশেষ ক্ষেত্রের অদ্ভুততা আলাদাভাবে নির্দেশিত হয়। এটা লক্ষ করা যায় যে এই ডিগ্রী শুধুমাত্র একটি ধনাত্মক ভগ্নাংশের সূচকের সাথে বোঝা যায়। এই ক্ষেত্রে, এর মান শূন্য: 0 m/n =0।
একটি যৌক্তিক সূচক সহ একটি ডিগ্রীর আরেকটি বৈশিষ্ট্য উল্লেখ করা হয়েছে - একটি ভগ্নাংশের সূচক সহ একটি ডিগ্রীকে ভগ্নাংশের সূচকের সাথে বিবেচনা করা যায় না। ডিগ্রির ভুল স্বরলিপির উদাহরণ দেওয়া হল: (-9) -3/7, (-3) -1/3, 0 -1/5।
পরবর্তী ভিডিও পাঠে আমরা একটি ডিগ্রীর বৈশিষ্ট্য একটি যুক্তিযুক্ত সূচক সহ আলোচনা করব। এটি উল্লেখ্য যে একটি পূর্ণসংখ্যা সূচক সহ একটি ডিগ্রির বৈশিষ্ট্যগুলি একটি মূলদ সূচক সহ একটি ডিগ্রির জন্যও বৈধ হবে। এই ক্ষেত্রেও বৈধ সম্পত্তির তালিকা প্রত্যাহার করার প্রস্তাব করা হয়েছে:
- একই ঘাঁটিগুলির সাথে শক্তিগুলিকে গুণ করার সময়, তাদের সূচকগুলি যোগ করে: a p a q =a p+q।
- একই বেস সহ ডিগ্রীর বিভাজন একটি প্রদত্ত বেস সহ ডিগ্রীতে হ্রাস করা হয় এবং সূচকের পার্থক্য: a p:a q =a p-q।
- যদি আমরা ডিগ্রীকে একটি নির্দিষ্ট শক্তিতে বাড়াই, তাহলে আমরা একটি প্রদত্ত বেস এবং সূচকের গুণফল সহ একটি ডিগ্রি দিয়ে শেষ করব: (a p) q =a pq।
এই সমস্ত বৈশিষ্ট্যগুলি মূলদ সূচক p, q এবং ধনাত্মক বেস a>0 সহ শক্তিগুলির জন্য বৈধ। এছাড়াও, বন্ধনী খোলার সময় ডিগ্রী রূপান্তর সত্য থাকে:
- (ab) p =a p b p - যৌক্তিক সূচকের সাহায্যে কিছু ঘাত বাড়ালে দুটি সংখ্যার গুণফলকে সংখ্যার গুণে কমানো হয়, যার প্রতিটি একটি নির্দিষ্ট শক্তিতে উত্থিত হয়।
- (a/b) p =a p /b p - একটি ভগ্নাংশকে একটি যুক্তিযুক্ত সূচক সহ একটি ঘাতে উত্থাপন করা একটি ভগ্নাংশে হ্রাস করা হয় যার লব এবং হর একটি প্রদত্ত শক্তিতে উত্থাপিত হয়।
ভিডিও টিউটোরিয়ালটি একটি যুক্তিসঙ্গত সূচকের সাথে ক্ষমতার বিবেচিত বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করে এমন উদাহরণগুলি সমাধানের আলোচনা করে। প্রথম উদাহরণটি আপনাকে ভগ্নাংশের শক্তিতে x ভেরিয়েবল ধারণ করে এমন একটি এক্সপ্রেশনের মান খুঁজে বের করতে বলে: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1)। অভিব্যক্তির জটিলতা সত্ত্বেও, ক্ষমতার বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে এটি বেশ সহজভাবে সমাধান করা যেতে পারে। সমস্যাটির সমাধান শুরু হয় অভিব্যক্তিকে সরলীকরণের মাধ্যমে, যা একটি শক্তির যৌক্তিক সূচকের সাথে একটি শক্তি বৃদ্ধি করার নিয়ম ব্যবহার করে, সেইসাথে একই ভিত্তির সাথে ক্ষমতাকে গুণ করে। প্রদত্ত মান x=8কে সরলীকৃত রাশি x 1/3 +48-এ প্রতিস্থাপন করার পরে, মান প্রাপ্ত করা সহজ - 50।
দ্বিতীয় উদাহরণে, আপনাকে এমন একটি ভগ্নাংশকে কমাতে হবে যার লব এবং হর একটি মূলদ সূচক সহ শক্তি ধারণ করে। ডিগ্রীর বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করে, আমরা পার্থক্য থেকে গুণনীয়ক x 1/3 বের করি, যা তারপর লব এবং হর-এ ছোট করা হয় এবং বর্গক্ষেত্রের পার্থক্যের সূত্র ব্যবহার করে, লবটিকে গুণিতক করা হয়, যা অভিন্নের আরও হ্রাস দেয়। লব এবং হর এর গুণনীয়ক। এই ধরনের রূপান্তরের ফলাফল হল ছোট ভগ্নাংশ x 1/4 +3।
শিক্ষক নতুন পাঠের বিষয় ব্যাখ্যা করার পরিবর্তে ভিডিও পাঠ "যুক্তিযুক্ত সূচক সহ সূচক" ব্যবহার করা যেতে পারে। এই ম্যানুয়ালটির জন্য পর্যাপ্ত সম্পূর্ণ তথ্যও রয়েছে নিজ পাঠছাত্র। উপাদানটি দূরত্ব শিক্ষার জন্যও উপযোগী হতে পারে।