সূচকীয় ফাংশন এবং তাদের বৈশিষ্ট্য। ফাংশন এবং গ্রাফ

প্রথমে একটি সূচকীয় ফাংশনের সংজ্ঞা প্রবর্তন করা যাক।

ব্যাখ্যামূলক কাজ$f\left(x\right)=a^x$, যেখানে $a >1$।

আসুন $a >1$ এর জন্য সূচকীয় ফাংশনের বৈশিষ্ট্যগুলি উপস্থাপন করি।

\ [কোন শিকড় নেই\] \

স্থানাঙ্ক অক্ষ সঙ্গে ছেদ. ফাংশনটি $Ox$ অক্ষকে ছেদ করে না, কিন্তু $Oy$ অক্ষকে $(0,1)$ বিন্দুতে ছেদ করে।

$f""\left(x\right)=(\left(a^xlna\right))"=a^x(ln)^2a$

\ [কোন শিকড় নেই\] \

গ্রাফ (চিত্র 1)।

চিত্র 1. $f\left(x\right)=a^x,\ for\ a >1$ ফাংশনের গ্রাফ।

সূচকীয় ফাংশন $f\left(x\right)=a^x$, যেখানে $0

আসুন $0 এ সূচকীয় ফাংশনের বৈশিষ্ট্য উপস্থাপন করি

সংজ্ঞার ডোমেইন হল সমস্ত বাস্তব সংখ্যা।

$f\left(-x\right)=a^(-x)=\frac(1)(a^x)$ -- ফাংশনটি জোড় বা বিজোড়ও নয়।

$f(x)$ সংজ্ঞার সমগ্র ডোমেনে ক্রমাগত।

মানের পরিসীমা হল ব্যবধান $(0,+\infty)$।

$f"(x)=\left(a^x\right)"=a^xlna$

\ [কোন শিকড় নেই\] \ [কোন শিকড় নেই \]

ফাংশনটি সংজ্ঞার পুরো ডোমেনে উত্তল।

ডোমেনের শেষে আচরণ:

\[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) a^x\ )=+\infty \] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) a^x\ ) =0\]

গ্রাফ (চিত্র 2)।

একটি সূচকীয় ফাংশন গঠনের জন্য একটি সমস্যার উদাহরণ

$y=2^x+3$ ফাংশনটি অন্বেষণ এবং প্লট করুন।

সমাধান।

আসুন উপরের উদাহরণ চিত্রটি ব্যবহার করে একটি অধ্যয়ন পরিচালনা করি:

সংজ্ঞার ডোমেইন হল সমস্ত বাস্তব সংখ্যা।

$f\left(-x\right)=2^(-x)+3$ -- ফাংশনটি জোড় বা বিজোড়ও নয়।

$f(x)$ সংজ্ঞার সমগ্র ডোমেনে ক্রমাগত।

মানের পরিসীমা হল ব্যবধান $(3,+\infty)$।

$f"\left(x\right)=(\left(2^x+3\right))"=2^xln2>0$

সংজ্ঞার পুরো ডোমেনে ফাংশনটি বৃদ্ধি পায়।

$f(x)\ge 0$ সংজ্ঞার পুরো ডোমেন জুড়ে।

স্থানাঙ্ক অক্ষ সঙ্গে ছেদ. ফাংশনটি $Ox$ অক্ষকে ছেদ করে না, কিন্তু $Oy$ অক্ষকে বিন্দুতে ছেদ করে ($0,4)$

$f""\left(x\right)=(\left(2^xln2\right))"=2^x(ln)^22>0$

ফাংশনটি সংজ্ঞার পুরো ডোমেনে উত্তল।

ডোমেনের শেষে আচরণ:

\[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) a^x\ )=0\] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) a^x\ )=+ \nfty\]

গ্রাফ (চিত্র 3)।

চিত্র 3. ফাংশনের গ্রাফ $f\left(x\right)=2^x+3$

মনোযোগের ঘনত্ব:

সংজ্ঞা। ফাংশন প্রজাতি বলা হয় ব্যাখ্যামূলক কাজ .

মন্তব্য করুন। ভিত্তি মান থেকে বাদ কসংখ্যা 0; 1 এবং নেতিবাচক মান কনিম্নলিখিত পরিস্থিতিতে দ্বারা ব্যাখ্যা করা হয়:

বিশ্লেষণাত্মক অভিব্যক্তি নিজেই একটি xএই ক্ষেত্রে, এটি তার অর্থ ধরে রাখে এবং সমস্যা সমাধানে ব্যবহার করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, অভিব্যক্তির জন্য x yবিন্দু x = 1; y = 1 এলাকায় প্রবেশ করে গ্রহণযোগ্য মান.

ফাংশনের গ্রাফ তৈরি করুন: এবং।

একটি সূচকীয় ফাংশনের গ্রাফ
y =ক এক্স, a > 1	y =ক এক্স , 0< a < 1

সূচকীয় ফাংশনের বৈশিষ্ট্য

সূচকীয় ফাংশনের বৈশিষ্ট্য	y =ক এক্স, a > 1	y =ক এক্স , 0< a < 1
ফাংশন ডোমেইন
2. ফাংশন পরিসীমা
3. এককের সাথে তুলনার ব্যবধান	এ এক্স> 0, ক এক্স > 1	এ এক্স > 0, 0< a এক্স < 1
	এ এক্স < 0, 0< a এক্স < 1	এ এক্স < 0, a এক্স > 1
4. জোড়, বিজোড়।	ফাংশনটি জোড় বা বিজোড় নয় (সাধারণ ফর্মের একটি ফাংশন)।
5. একঘেয়েমি।	দ্বারা একঘেয়ে বৃদ্ধি পায় আর	দ্বারা একঘেয়ে হ্রাস পায় আর
6. চরম।	সূচকীয় ফাংশনের কোন চরমতা নেই।
7.অ্যাসিম্পটোট	ও-অক্ষ এক্সএকটি অনুভূমিক অ্যাসিম্পটোট।
8. কোনো বাস্তব মান জন্য এক্সএবং y;

যখন টেবিলটি পূরণ করা হয়, কাজগুলি পূরণের সাথে সমান্তরালভাবে সমাধান করা হয়।

টাস্ক নং 1. (একটি ফাংশনের সংজ্ঞার ডোমেন খুঁজে বের করতে)।

ফাংশনের জন্য কোন যুক্তি মানগুলি বৈধ:

টাস্ক নং 2। (একটি ফাংশনের মানের পরিসীমা খুঁজে বের করতে)।

চিত্রটি ফাংশনের গ্রাফ দেখায়। ফাংশনের মানের সংজ্ঞা এবং পরিসরের ডোমেন নির্দিষ্ট করুন:

টাস্ক নং 3। (একের সাথে তুলনার ব্যবধান নির্দেশ করতে)।

নিম্নলিখিত শক্তিগুলির একটির সাথে তুলনা করুন:

টাস্ক নং 4। (একঘেয়েমির জন্য ফাংশন অধ্যয়ন করতে)।

আকার দ্বারা বাস্তব সংখ্যা তুলনা মিএবং nযদি:

টাস্ক নং 5। (একঘেয়েমির জন্য ফাংশন অধ্যয়ন করতে)।

ভিত্তি সম্পর্কে একটি উপসংহার আঁকা ক, যদি:

y(x) = 10 x ; f(x) = 6 x ; z(x) - 4x

এক্স > 0, x = 0, x এর জন্য সূচকীয় ফাংশনগুলির গ্রাফগুলি একে অপরের সাথে কীভাবে আপেক্ষিক হয়< 0?

নিম্নলিখিত ফাংশন গ্রাফগুলি একটি স্থানাঙ্ক সমতলে প্লট করা হয়েছে:

y(x) = (0,1) x ; f(x) = (0.5) x ; z(x) = (0.8) x।

এক্স > 0, x = 0, x এর জন্য সূচকীয় ফাংশনগুলির গ্রাফগুলি একে অপরের সাথে কীভাবে আপেক্ষিক হয়< 0?

সংখ্যা গণিতের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ ধ্রুবকগুলির মধ্যে একটি। সংজ্ঞা দ্বারা, এটা অনুক্রমের সীমার সমান সাথে সীমাহীন বৃদ্ধি n . উপাধি eপ্রবেশ লিওনার্ড অয়লার 1736 সালে। তিনি এই সংখ্যার প্রথম 23টি সংখ্যা গণনা করেছিলেন দশমিক স্বরলিপিতে, এবং সংখ্যাটি নিজেই নেপিয়ারের সম্মানে নামকরণ করা হয়েছিল "নন-পিয়েরের সংখ্যা।" সংখ্যা eবিশেষ ভূমিকা পালন করে গাণিতিক বিশ্লেষণ. ব্যাখ্যামূলক কাজ বেস সহ e, সূচক বলা হয় এবং মনোনীত করা হয় y = e x. প্রথম লক্ষণ সংখ্যা eমনে রাখা সহজ: দুই, কমা, সাত, লিও টলস্টয়ের জন্মের বছর - দুই বার, পঁয়তাল্লিশ, নব্বই, পঁয়তাল্লিশ।

বাড়ির কাজ:

Kolmogorov অনুচ্ছেদ 35; নং 445-447; 451; 453।

মডুলাস চিহ্নের অধীনে একটি পরিবর্তনশীল সমন্বিত ফাংশনগুলির গ্রাফ নির্মাণের জন্য অ্যালগরিদম পুনরাবৃত্তি করুন।

সংখ্যাগরিষ্ঠ সিদ্ধান্ত গাণিতিক সমস্যাকোন না কোনভাবে সংখ্যাসূচক, বীজগণিতীয় বা কার্যকরী অভিব্যক্তির রূপান্তরের সাথে সম্পর্কিত। উপরোক্ত সিদ্ধান্ত বিশেষভাবে প্রযোজ্য. গণিতের ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার সংস্করণগুলিতে, এই ধরনের সমস্যাটির মধ্যে রয়েছে, বিশেষ করে, টাস্ক C3। C3 কাজগুলি সমাধান করতে শেখা শুধুমাত্র সফল হওয়ার জন্যই গুরুত্বপূর্ণ নয় ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষায় উত্তীর্ণ, কিন্তু উচ্চ বিদ্যালয়ে একটি গণিত কোর্স অধ্যয়ন করার সময় এই দক্ষতা দরকারী হবে যে কারণে.

কাজ C3 সম্পন্ন করার সময়, আপনাকে সিদ্ধান্ত নিতে হবে বিভিন্ন ধরনেরসমীকরণ এবং অসমতা। তাদের মধ্যে যুক্তিযুক্ত, অযৌক্তিক, সূচকীয়, লগারিদমিক, ত্রিকোণমিতিক, মডিউল (পরম মান) ধারণ করে, পাশাপাশি মিলিতগুলিও রয়েছে। এই নিবন্ধটি সূচকীয় সমীকরণ এবং অসমতাগুলির প্রধান প্রকারগুলি নিয়ে আলোচনা করে বিভিন্ন পদ্ধতিতাদের সিদ্ধান্ত। অন্যান্য ধরণের সমীকরণ এবং অসমতাগুলি সমাধান করার বিষয়ে পড়ুন "" বিভাগে C3 সমস্যাগুলি সমাধানের পদ্ধতিগুলিতে উত্সর্গীকৃত নিবন্ধগুলিতে ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার বিকল্পঅংক।

আমরা নির্দিষ্ট বিশ্লেষণ শুরু করার আগে সূচকীয় সমীকরণ এবং অসমতা, একজন গণিত শিক্ষক হিসাবে, আমি আপনাকে কিছু তাত্ত্বিক উপাদান ব্রাশ করার পরামর্শ দিই যা আমাদের প্রয়োজন হবে।

ব্যাখ্যামূলক কাজ

একটি সূচকীয় ফাংশন কি?

ফর্মের ফাংশন y = একটি x, কোথায় ক> 0 এবং ক≠ 1 বলা হয় ব্যাখ্যামূলক কাজ.

মৌলিক সূচকীয় ফাংশনের বৈশিষ্ট্য y = একটি x:

একটি সূচকীয় ফাংশনের গ্রাফ

সূচকীয় ফাংশনের গ্রাফ হল সূচক:

সূচকীয় ফাংশনের গ্রাফ (সূচক)

সূচকীয় সমীকরণ সমাধান করা

নির্দেশকসমীকরণ বলা হয় যেখানে অজানা চলকটি শুধুমাত্র কিছু শক্তির সূচকে পাওয়া যায়।

সমাধানের জন্য সূচকীয় সমীকরণআপনাকে নিম্নলিখিত সহজ উপপাদ্যটি জানতে এবং ব্যবহার করতে সক্ষম হতে হবে:

উপপাদ্য ঘ.সূচকীয় সমীকরণ ক চ(এক্স) = ক g(এক্স) (কোথায় ক > 0, ক≠ 1) সমীকরণের সমতুল্য চ(এক্স) = g(এক্স).

এছাড়াও, ডিগ্রি সহ মৌলিক সূত্র এবং ক্রিয়াকলাপগুলি মনে রাখা দরকারী:

শিরোনাম="QuickLaTeX.com দ্বারা রেন্ডার করা হয়েছে৷">!}

উদাহরণ 1.সমীকরণটি সমাধান করুন:

সমাধান:আমরা উপরের সূত্র এবং প্রতিস্থাপন ব্যবহার করি:

তারপর সমীকরণটি হয়ে যায়:

প্রাপ্তির বৈষম্যকারী দ্বিঘাত সমীকরণইতিবাচক:

শিরোনাম="QuickLaTeX.com দ্বারা রেন্ডার করা হয়েছে৷">!}

এটা মানে দেওয়া সমীকরণদুটি শিকড় আছে। আমরা তাদের খুঁজে পাই:

বিপরীত প্রতিস্থাপনের দিকে এগিয়ে যাচ্ছি, আমরা পাই:

দ্বিতীয় সমীকরণের কোন শিকড় নেই, যেহেতু সূচকীয় ফাংশনটি সংজ্ঞার পুরো ডোমেন জুড়ে কঠোরভাবে ইতিবাচক। আসুন দ্বিতীয়টি সমাধান করি:

উপপাদ্য 1 এ যা বলা হয়েছিল তা বিবেচনায় নিয়ে, আমরা সমতুল্য সমীকরণে এগিয়ে যাই: এক্স= 3. এটি টাস্কের উত্তর হবে।

উত্তর: এক্স = 3.

উদাহরণ 2।সমীকরণটি সমাধান করুন:

সমাধান:সমীকরণের অনুমতিযোগ্য মানগুলির পরিসরের উপর কোন সীমাবদ্ধতা নেই, যেহেতু র্যাডিকাল অভিব্যক্তিটি যে কোনও মানের জন্য অর্থপূর্ণ এক্স(ব্যাখ্যামূলক কাজ y = 9 4 -এক্সধনাত্মক এবং শূন্যের সমান নয়)।

আমরা ক্ষমতার গুণ ও ভাগের নিয়ম ব্যবহার করে সমতুল্য রূপান্তরের মাধ্যমে সমীকরণটি সমাধান করি:

শেষ রূপান্তরটি উপপাদ্য 1 অনুসারে করা হয়েছিল।

উত্তর:এক্স= 6.

উদাহরণ 3.সমীকরণটি সমাধান করুন:

সমাধান:মূল সমীকরণের উভয় পক্ষকে 0.2 দ্বারা ভাগ করা যায় এক্স. এই রূপান্তরটি সমতুল্য হবে, যেহেতু এই অভিব্যক্তিটি যেকোনো মানের জন্য শূন্যের চেয়ে বেশি এক্স(সূচক ফাংশনটি তার সংজ্ঞার ক্ষেত্রে কঠোরভাবে ইতিবাচক)। তারপর সমীকরণ ফর্ম নেয়:

উত্তর: এক্স = 0.

উদাহরণ 4.সমীকরণটি সমাধান করুন:

সমাধান:আমরা নিবন্ধের শুরুতে প্রদত্ত ক্ষমতার ভাগ এবং গুণের নিয়মগুলি ব্যবহার করে সমতুল্য রূপান্তরের মাধ্যমে একটি প্রাথমিকের সমীকরণকে সরল করি:

সমীকরণের উভয় দিককে 4 দ্বারা ভাগ করা এক্স, আগের উদাহরণের মতো, একটি সমতুল্য রূপান্তর, যেহেতু এই অভিব্যক্তিটি কোনো মানের জন্য শূন্যের সমান নয় এক্স.

উত্তর: এক্স = 0.

উদাহরণ 5।সমীকরণটি সমাধান করুন:

সমাধান:ফাংশন y = 3এক্স, সমীকরণের বাম পাশে দাঁড়ানো, বাড়ছে। ফাংশন y = —এক্সসমীকরণের ডান পাশের -2/3টি কমছে। এর মানে হল যে যদি এই ফাংশনগুলির গ্রাফগুলিকে ছেদ করে, তবে সর্বাধিক এক বিন্দুতে। এই ক্ষেত্রে, এটা অনুমান করা সহজ যে গ্রাফগুলি বিন্দুতে ছেদ করে এক্স= -1। অন্য কোন শিকড় থাকবে না।

উত্তর: এক্স = -1.

উদাহরণ 6.সমীকরণটি সমাধান করুন:

সমাধান:আমরা সমীকরণটিকে সমতুল্য রূপান্তরের মাধ্যমে সরলীকরণ করি, সর্বত্র মনে রেখে যে সূচকীয় ফাংশনটি যেকোনো মানের জন্য শূন্যের চেয়ে কঠোরভাবে বেশি এক্সএবং নিবন্ধের শুরুতে প্রদত্ত ক্ষমতার গুণফল এবং ভাগফল গণনা করার নিয়মগুলি ব্যবহার করে:

উত্তর: এক্স = 2.

সূচকীয় অসমতা সমাধান করা

নির্দেশকঅসমতা বলা হয় যেখানে অজানা চলকটি শুধুমাত্র কিছু শক্তির সূচকে থাকে।

সমাধানের জন্য সূচকীয় অসমতানিম্নলিখিত উপপাদ্য জ্ঞান প্রয়োজন:

উপপাদ্য 2।যদি ক> 1, তারপর অসমতা ক চ(এক্স) > ক g(এক্স) একই অর্থের অসমতার সমতুল্য: চ(এক্স) > g(এক্স) যদি 0< ক < 1, то показательное неравенство ক চ(এক্স) > ক g(এক্স) বিপরীত অর্থের একটি অসমতার সমতুল্য: চ(এক্স) < g(এক্স).

উদাহরণ 7।অসমতা সমাধান করুন:

সমাধান:চলুন ফর্মে মূল অসমতা উপস্থাপন করা যাক:

এই অসমতার উভয় দিককে 3 2 দ্বারা ভাগ করা যাক এক্স, এই ক্ষেত্রে (ফাংশনের ইতিবাচকতার কারণে y= 3 2এক্স) অসমতার চিহ্ন পরিবর্তন হবে না:

আসুন প্রতিস্থাপনটি ব্যবহার করি:

তাহলে অসমতা রূপ নেবে:

সুতরাং, অসমতার সমাধান হল ব্যবধান:

বিপরীত প্রতিস্থাপনে চলে গেলে, আমরা পাই:

সূচকীয় ফাংশনের ইতিবাচকতার কারণে, বাম অসমতা স্বয়ংক্রিয়ভাবে সন্তুষ্ট হয়। সুবিধা গ্রহণ করা পরিচিত সম্পত্তিলগারিদম, আমরা সমতুল্য অসমতার দিকে এগিয়ে যাই:

যেহেতু ডিগ্রির ভিত্তি হল একটি সংখ্যার চেয়ে বড়, সমতুল্য (থিওরেম 2 দ্বারা) নিম্নোক্ত অসমতার রূপান্তর:

সুতরাং, আমরা অবশেষে পেতে উত্তর:

উদাহরণ 8।অসমতা সমাধান করুন:

সমাধান:ক্ষমতার গুণন এবং ভাগের বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে, আমরা অসমতাকে আকারে আবার লিখি:

চলুন একটি নতুন পরিবর্তনশীল প্রবর্তন করা যাক:

এই প্রতিস্থাপনকে বিবেচনায় নিয়ে, অসমতা রূপ নেয়:

ভগ্নাংশের লব এবং হরকে 7 দ্বারা গুণ করলে, আমরা নিম্নলিখিত সমতুল্য অসমতা পাই:

সুতরাং, ভেরিয়েবলের নিম্নলিখিত মানগুলি অসমতাকে সন্তুষ্ট করে t:

তারপরে, বিপরীত প্রতিস্থাপনে চলে গেলে, আমরা পাই:

যেহেতু এখানে ডিগ্রির ভিত্তি একের বেশি, তাই অসমতার রূপান্তর সমতুল্য হবে (তত্ত্ব 2 দ্বারা):

অবশেষে আমরা পেতে উত্তর:

উদাহরণ 9।অসমতা সমাধান করুন:

সমাধান:

আমরা অভিব্যক্তি দ্বারা অসমতার উভয় পক্ষকে ভাগ করি:

এটি সর্বদা শূন্যের চেয়ে বেশি (সূচক ফাংশনের ইতিবাচকতার কারণে), তাই অসমতার চিহ্নটি পরিবর্তন করার প্রয়োজন নেই। আমরা পেতে:

টি ব্যবধানে অবস্থিত:

বিপরীত প্রতিস্থাপনের দিকে এগিয়ে গিয়ে, আমরা দেখতে পাই যে মূল অসমতা দুটি ক্ষেত্রে বিভক্ত:

সূচকীয় ফাংশনের ইতিবাচকতার কারণে প্রথম অসমতার কোন সমাধান নেই। আসুন দ্বিতীয়টি সমাধান করি:

উদাহরণ 10।অসমতা সমাধান করুন:

সমাধান:

প্যারাবোলা শাখা y = 2এক্স+2-এক্স 2 নীচের দিকে পরিচালিত হয়, তাই এটি উপরে থেকে সীমিত মান দ্বারা এটি তার শীর্ষে পৌঁছায়:

প্যারাবোলা শাখা y = এক্স 2 -2এক্সসূচকের +2 উপরের দিকে নির্দেশিত হয়, যার মানে এটি নীচের দিক থেকে সীমিত মান দ্বারা এটি তার শীর্ষে পৌঁছায়:

একই সময়ে, ফাংশনটিও নীচে থেকে আবদ্ধ হতে দেখা যায় y = 3 এক্স 2 -2এক্স+2, যা সমীকরণের ডানদিকে রয়েছে। এটি সূচকের প্যারাবোলার মতো একই বিন্দুতে তার ক্ষুদ্রতম মান পর্যন্ত পৌঁছায় এবং এই মানটি 3 1 = 3। সুতরাং, আসল অসমতা তখনই সত্য হতে পারে যখন বাম দিকের ফাংশন এবং ডানদিকের ফাংশনটি মানটিকে গ্রহণ করে। , 3 এর সমান (এই ফাংশনগুলির মানের ব্যাপ্তির ছেদ শুধুমাত্র এই সংখ্যা)। এই শর্ত সন্তুষ্ট হয় একমাত্র বিন্দু এক্স = 1.

উত্তর: এক্স= 1.

সিদ্ধান্ত নিতে শেখার জন্য সূচকীয় সমীকরণ এবং অসমতা,তাদের সমাধান করার জন্য ক্রমাগত প্রশিক্ষণ দেওয়া প্রয়োজন। এই কঠিন কাজটিতে বিভিন্ন জিনিস আপনাকে সাহায্য করতে পারে। পদ্ধতিগত ম্যানুয়াল, সমস্যা বই প্রাথমিক গণিত, প্রতিযোগিতামূলক সমস্যার সংগ্রহ, স্কুলে গণিত ক্লাস, পাশাপাশি স্বতন্ত্র সেশনএকজন পেশাদার শিক্ষকের সাথে। আমি আন্তরিকভাবে আপনার প্রস্তুতি এবং সাফল্য কামনা করি উজ্জ্বল ফলাফলপরীক্ষায়

সের্গেই ভ্যালেরিভিচ

পিএস প্রিয় অতিথিরা! অনুগ্রহ করে মন্তব্যে আপনার সমীকরণ সমাধানের জন্য অনুরোধ লিখবেন না। দুর্ভাগ্যক্রমে, আমার কাছে এটির জন্য একেবারেই সময় নেই। এই ধরনের বার্তা মুছে ফেলা হবে. অনুগ্রহ করে নিবন্ধটি পড়ুন। সম্ভবত এটিতে আপনি এমন প্রশ্নের উত্তর পাবেন যা আপনাকে নিজের কাজ নিজেই সমাধান করতে দেয়নি।