Числовой интервал
Промежуток , открытый промежуток , интервал - множество точек числовой прямой, заключённых между двумя данными числами a и b , то есть множество чисел x , удовлетворяющих условию: a < x < b . Промежуток не включает концов и обозначается (a ,b ) (иногда ]a ,b [ ), в отличие от отрезка [a ,b ] (замкнутого промежутка), включающего концы, то есть состоящего из точек .
В записи (a ,b ) , числа a и b называют концами промежутка. Промежуток включает все вещественные числа , промежуток - все числа меньшие a и промежуток - все числа большие a .
Термин промежуток используется в составе сложных терминов:
- при интегрировании - промежуток интегрирования ,
- при уточнении корней уравнения - промежуток изоляции
- при определении сходимости степенных рядов - промежуток сходимости степенного ряда .
Кстати, в английском языке словом interval называется отрезок . А для обозначения понятия интервала используется термин open interval .
Литература
- Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. М.: «Астрель», «АСТ», 2002
См. также
Ссылки
Wikimedia Foundation . 2010 .
Смотреть что такое "Числовой интервал" в других словарях:
От лат. intervallum промежуток, расстояние: В музыке: Интервал отношение высот двух тонов; отношение звуковых частот этих тонов. В математике: Интервал (геометрия) множество точек прямой, заключённых между точками А и В,… … Википедия
< x < b. Промежуток не включает концов и обозначается (a,b)… … Википедия
Промежуток, открытый промежуток, интервал множество точек числовой прямой, заключённых между двумя данными числами a и b, то есть множество чисел x, удовлетворяющих условию: a < x < b. Промежуток не включает концов и обозначается (a,b)… … Википедия
Промежуток, или более точно, промежуток числовой прямой множество вещественных чисел, обладающее тем свойством, что вместе с любыми двумя числами содержит любое, лежащее между ними. С использованием логических символов, это определение… … Википедия
Напомним определения некоторых основных подмножеств действительных чисел. Если, то множество называется отрезком расширенной числовой прямой R и обозначается через, то есть В случае отрезок … Википедия
Последовательность Числовая последовательность это последовательность элементов числового пространства. Числовые пос … Википедия
МИКРОСКОП - (от греч. mikros малый и skopeo смотрю), оптический инструмент для изучения малых предметов, недоступных непосредственному рассмотрению невооруженным глазом. Различают простой М., или лупу, и сложный М., или микроскоп в собственном смысле. Лупа… … Большая медицинская энциклопедия
ГОСТ Р 53187-2008: Акустика. Шумовой мониторинг городских территорий - Терминология ГОСТ Р 53187 2008: Акустика. Шумовой мониторинг городских территорий оригинал документа: 1 Дневной оценочный уровень звука. 2 Вечерний оценочный максимальный уровень звука. 3 Ночной оценочный уровень звукового давления … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
Отрезком может называться одно из двух близких понятий в геометрии и математическом анализе. Отрезок множество точек, к … Википедия
Коэффициент корреляции - (Correlation coefficient) Коэффициент корреляции это статистический показатель зависимости двух случайных величин Определение коэффициента корреляции, виды коэффициентов корреляции, свойства коэффициента корреляции, вычисление и применение… … Энциклопедия инвестора
Ответ - Множество (-∞;+∞) называется числовой прямой, а любое число - точкой этой прямой. Пусть a - произвольная точка числовой прямой и δ
Положительное число. Интервал (a-δ; a+δ) называется δ-окрестностью точки а.
Множество Х ограничено сверху (снизу), если существует такое число c, что для любого x ∈ X выполняется неравенство x≤с (x≥c). Число с в этом случае называется верхней(нижней) гранью множества Х. Множество, ограниченное и сверху и снизу, называется ограниченным. Наименьшая (наибольшая) из верхних (нижних) граней множества называется точной верхней (нижней) гранью этого множества.
Числовым промежутком называется связанное множество действительных чисел, то есть такое, что если 2 числа принадлежат этому множеству, то все числа заключенные между ними также принадлежат этому множеству. Существует несколько в некотором смысле различных типов непустых числовых промежутков: Прямая, открытый луч, замкнутый луч, отрезок, полуинтервал, интервал
Числовая прямая
Множество всех действительных чиселназывают ещё числовой прямой. Пишут.
На практике нет необходимости различать понятие координатной или числовой прямойв геометрическом смысле и понятие числовой прямой, введённое настоящим определением. Поэтому эти разные понятия обозначаются одним и тем же термином.
Открытый луч
Множество чисел таких, чтоилиназывают открытым числовым лучом. Пишутили соответственно:.
Замкнутый луч
Множество чисел таких, чтоилиназывают замкнутым числовым лучом. Пишутили соответственно:.
Множество чисел таких, чтоназывают числовым отрезком.
Замечание. В определении не оговаривается, что . Предполагается, что случайвозможен. Тогда числовой промежуток превращается в точку.
Интервал
Множество чисел , таких чтоназывают числовым интервалом.
Замечание. Совпадение обозначений открытого луча, прямой и интервала не случайно. Открытый луч можно понимать как интервал, один из концов которого удалён в бесконечность, а числовую прямую - как интервал, оба конца которого удалены в бесконечность.
Полуинтервал
Множество чисел , таких чтоилиназывают числовым полуинтервалом.
Пишут или, соответственно,
3.Функция.График функции. Способы задания функции.
Ответ - Если даны две переменные х и y, то говорят, что переменная y является функцией от переменной х, если задана такая зависимость между этими переменными, которая позволяет для каждого значения ходнозначно определить значение у.
Запись F = у(х) означает, что рассматривается функция, позволяющая для любого значения независимой переменной х (из числа тех, которые аргумент х вообще может принимать) находить соответствующее значение зависимой переменной у.
Способы задания функции.
Функция может быть задана формулой, например:
у = 3х2 – 2.
Функция может быть задана графиком. С помощью графика можно установить, какое значение функции соответствует указанному значению аргумента. Обычно это приближённое значение функции.
4.Основные характеристики функции: монотонность, четность, периодичность.
Ответ -
Периодичность
Определение.
Функция f называется периодичной,
если существует такое число
,
что f(x+
)=f(x), для
всех xD(f).
Естественно,
что таких чисел существует бесчисленное
множество. Наименьшее положительное
число ^ Т называется периодом
функции.
Примеры.
А. у = соs х,
Т = 2.
В.
у = tg х, Т =.
С.
у = {х}, Т = 1.
D. у =, эта
функция не является
периодической.
Четность
Определение.
Функция f называется четной, если
для всех х из D(f) выполняется
свойство f(-х) = f(х).
Если f(-х)
= -f(х), то функция называется нечетной.
Если
ни одно из указанных соотношений не
выполняется, то функция называется
функцией общего вида.
Примеры.
А.
у = соs (х) - четная;
В. у = tg (х) -
нечетная;
С. у = {х}; y=sin(x+1) –
функции общего вида.
Монотонность
Определение.
Функция f: X -> R называется
возрастающей (убывающей), если для
любых
выполняется
условие:
Определение.
Функция Х ->R называется монотонной
на X, если она на X возрастающая
или убывающая.
Если f монотонна
на некоторых подмножествах из X, то
она называется кусочно-монотонной.
Пример. у
= cos х - кусочно-монотонная
функция.
Среди числовых множеств, то есть множеств , объектами которых являются числа, выделяют так называемые числовые промежутки . Их ценность в том, что очень легко вообразить множество, соответствующее указанному числовому промежутку, и наоборот. Поэтому с их помощью удобно записывать множество решений неравенства.
В этой статье мы разберем все виды числовых промежутков. Здесь мы дадим их названия, введем обозначения, изобразим числовые промежутки на координатной прямой, а также покажем, какие простейшие неравенства им соответствуют. В заключение наглядно представим всю информацию в виде таблицы числовых промежутков.
Навигация по странице.
Виды числовых промежутков
Каждому числовому промежутку присущи четыре неразрывно связанные между собой вещи:
- название числового промежутка,
- отвечающее ему неравенство или двойное неравенство,
- обозначение,
- и его геометрический образ в виде изображения на координатной прямой.
Любой числовой промежуток может быть задан любым из трех последних по списку способов: либо неравенством, либо обозначением, либо его изображением на координатной прямой. Причем по данному способу задания, например, по неравенству, с легкостью восстанавливаются и другие (в нашем случае обозначение и геометрический образ).
Переходим к конкретике. Опишем все числовые промежутки с указанных выше четырех сторон.
Начнем с описания числового промежутка, получившего название открытый числовой луч . Заметим, что часто прилагательное «открытый» опускают, оставляя название открытый луч.
Этому числовому промежутку соответствуют простейшие неравенства с одной переменной вида xa , где a – некоторое действительное число. То есть, согласно смыслу записанных неравенств, открытый числовой луч составляют все , которые меньше числа a (в случае неравенства xa ).
Множество чисел, удовлетворяющих неравенству xa , как (a, +∞) .
Осталось показать геометрическое изображение открытого луча, из него станет видно, что такое название рассматриваемый числовой промежуток получил не случайно. Обратимся к . Известно, что между ее точками и действительными числами имеет место взаимно однозначное соответствие, что позволяет координатную прямую называть числовой прямой. А при разговоре о сравнении чисел мы отметили, что большее число располагается на координатной прямой правее меньшего, а меньшее – левее большего. Исходя из этих соображений, неравенству xa – точки, лежащие правее точки a . Само число a не удовлетворяет этим неравенствам, чтобы подчеркнуть это на чертеже ее изображают точкой с пустым центром. Над точками, которым соответствуют числа, удовлетворяющие неравенству, изображают наклонную штриховку:
Из приведенных чертежей видно, что данным числовым промежуткам соответствуют части числовой прямой, представляющие собой лучи с началом в точке a , но исключая саму точку a . Другими словами, это лучи без начала. Отсюда и название – открытый числовой луч.
Приведем несколько конкретных примеров открытых числовых лучей. Так строгое неравенство x>−3
задает открытый числовой луч. Его же задает запись (−3, ∞)
. А на координатной прямой этот числовой промежуток представляет собой множество точек, лежащих правее точки с координатой −3
, не включая саму эту точку. Еще пример: неравенство x<2,3
, как и запись (−∞, 2,3)
, задает открытый числовой луч, который следующим образом изображается на координатной прямой
Переходим к числовым промежуткам следующего вида – числовым лучам . В геометрическом плане их отличие от открытых лучей заключается в том, что начало луча не отбрасывается. Другими словами, геометрический образ числовых промежутков этого вида есть полноценный луч.
Что касается задания числовых лучей с помощью неравенств, то им отвечают нестрогие неравенства x≤a
или x≥a
. Для них приняты обозначения (−∞, a]
и
. А геометрический образ числового отрезка представляет собой отрезок вместе с его концами:
Например, числовой отрезок, который задается двойным неравенством можно обозначить как , на координатной прямой ему отвечает отрезок с концами в точках, имеющих координаты корень из двух и корень из трех.
Осталось лишь сказать про числовые промежутки, называемые полуинтервалами
. Они представляют собой, если так можно выразиться, промежуточный вариант между интервалом и отрезком, так как включают в себя одну из граничных точек. Полуинтервалы задаются двойными неравенствами a
Таблица числовых промежутков
Итак, в предыдущем пункте мы определили и описали следующие числовые промежутки:
- открытый числовой луч;
- числовой луч;
- интервал;
- полуинтервал.
Для удобства сведем все данные о числовых промежутках в таблицу. Занесем в нее название числового промежутка, соответствующее ему неравенство, обозначение и изображение на координатной прямой. Получаем следующую таблицу числовых промежутков :
Список литературы.
- Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2011. - 222 с.: ил. ISBN 978-5-346-01752-3.
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
7 класс Числовые промежутки Учитель математики: Бахвалова Г.С. Гимназия №52
Цели урока: 1.Ввести понятие числового промежутка; 2.Привить навыки изображения числовых промежутков на числовой прямой и умение их обозначать. 3.Развивать логическое мышление: анализировать, сравнивать. План урока: 1.Актуализация знаний: «Координатная ось». 2.Новая тема: «Числовые промежутки». 3.Обучающая самостоятельная работа. 4.Итоги урока.
Выполните задание: 1.Отметьте на числовой прямой точки с координатами: А(-2); В(5); О(0); С(5); D (-3).
Ответ: 1. А(-2); В(5); О(0); С(3); D (- 3). 0 А В С 1 0 D
Выполните задание: 2.Сравните числа: -2 и 5; 5 и 0; -2 и –3; 5 и 3; 0 и –2.
Ответ: -2 0; -2 > –3; 5 > 3; 0 > –2. Проверь себя
Выполните задание устно: 3.Какое из данных чисел на числовой прямой находится левее: -2 или 5; 5 или 0; -2 или –3; 5 или 3; 0 или –2. ВЫВОД: из двух чисел на числовой прямой меньшее число расположено левее, а большее – правее.
Отметим на координатной прямой точки с координатами – 3 и 2. Если точка расположена между ними, то ей соответствует число, которое больше –3 и меньше 2 . Верно и обратное: если число х удовлетворяет условию – 3Слайд 9
Множество всех чисел, удовлетворяющих условию 3Слайд 10
Число х, удовлетворяющее условию -3 ≤х≤ 2, изображается точкой, которая либо лежит между точками с координатами –3 и 2, либо совпадает с одной из них. Множество таких чисел обозначают [-3;2]. - 3 2 Запиши в тетрадь Запиши в тетрадь Запиши в тетрадь
Число х, удовлетворяющее условию х≤ 2, изображается точкой, которая либо лежит левее точки с координатой 2, либо совпадает с ней. Множество таких чисел обозначают (-∞;2]. 2 Запиши в тетрадь Запиши в тетрадь Запиши в тетрадь
Число х, удовлетворяющее условию х >-3 , изображается точкой, которая либо лежит правее точки с координатой -3. Множество таких чисел о бозначают (-3; +∞). - 3 Запиши в тетрадь Запиши в тетрадь Запиши в тетрадь
3 5 3 5 3 5 3 5 5 -7 3
Самостоятельная работа ВАРИАНТ 1 ВАРИАНТ 4 ВАРИАНТ 2 ВАРИАНТ 3 ВЫБЕРИ ВАРИАНТ Помоги мне! А мне, а мне. Выбери меня! Ты ведь мне поможешь?
ВАРИАНТ 1 1.Изобразите на координатной прямой числовые промежутки: а). ; б). (-2; + ∞); в). [ 3;5) ; г).(- ∞ ;5 ]. 2. Запишите числовой промежуток, изображенный на рисунке: 3. Какие из чисел -1,6; -1,5; -1; 0; 3; 5,1; 6,5 принадлежат промежутку: а). [-1,5;6,5]; б).(3; + ∞); в). (- ∞ ;1]. 3 7 -5 6 -7 в). а). б). 4. Укажите наибольшее целое число принадлежащее промежутку: а). [-12;-9]; б). (-1;17). СПАСИБО!
ВАРИАНТ 2 1.Изобразите на координатной прямой числовые промежутки: а). [ - 3; 0) ; б). [ - 3 ; + ∞); в). (- 3; 0) ; г).(- ∞ ; 0) . 2. Запишите числовой промежуток, изображенный на рисунке: 3. Какие из чисел - 2 , 2 ; - 2 , 1 ; -1; 0; 0,5 ; 1; 8 , 9 принадлежат промежутку: а). (- 2 , 2 ; 8 , 9 ]; б).(- ∞ ;0 ] ; в). (1 ;+ ∞) . -5 6 3 7 в). а). б). 4. Укажите наибольшее целое число принадлежащее промежутку: а). [-12;-9) ; б). [ -1;17 ] . 2 Помоги мне!
ВАРИАНТ 3 1.Изобразите на координатной прямой числовые промежутки: а). (-0,44 ;5) ; б). (10 ; + ∞); в). [ 0 ; 13) ; г).(- ∞ ; -0,44 ]. 2. Запишите числовой промежуток, изображенный на рисунке: 3. Назовите все целые чис ла, принадлежа щие промежутку: а). [- 3 ; 1 ]; б).(- 3; 1); в) [- 3 ; 1) ; г). (- 3 ; 1 ]; . 7 20 -8 6 -7 в). а). б). 4. Укажите наи мен ьшее целое число принадлежащее промежутку: а). [-12;-9]; б). (-1;17 ] . Спасибо, я очень рад!
ВАРИАНТ 4 1.Изобразите на координатной прямой числовые промежутки: а). [ -4 ; -0,29 ]; б). (- ∞ ;+ ∞); в). [ 1,7 ;5 ,9) ; г).(0,01;+ ∞) . 2. Запишите числовой промежуток, изображенный на рисунке: 3. Назовите все целые чис ла, принадлежа щие промежутку: а). [- 4 ; 3 ]; б).(-4 ; 3); в) [- 4 ; 3) ; г). (- 4 ; 3 ]; . -4 -1 -5 25 в). а). б). 4. Укажите наи мен ьшее целое число принадлежащее промежутку: а). [-12;-9) ; б). (-1;17 ] . -8 Молодец!
Вызываем тестовую программу Если у тебя остались свободные минуты,вызови тестовую программу, нажав на слово «ВЫЗЫВАЕМ» Домашняя работа Можно решить другой ВАРИАНТ
Домашняя работа 1). Изобразить на одной и той же координатной прямой два числовых промежутка таких, чтобы они имели общие точки (2 примера). 2). Изобразить на одной и той же координатной прямой два числовых промежутка таких, чтобы они не имели общих точек (2 примера). Завершение работы
СПАСИБО ЗА РАБОТУ!!!