Počinjemo razmatrati stvarni proces izračunavanja dvostrukog integrala i upoznati se s njegovim geometrijskim značenjem.

Dvostruki integral je numerički jednak površini ravne figure (područje integracije). Ovo najjednostavniji oblik dvostruki integral, kada je funkcija dvije varijable jednaka jednoj: .

Hajde da prvo razmotrimo problem u opšti pogled. Sada ćete biti prilično iznenađeni koliko je sve zaista jednostavno! Izračunajmo površinu ravne figure ograničene linijama. Radi određenosti, pretpostavljamo da je na segmentu . Površina ove figure je brojčano jednaka:

Opišimo područje na crtežu:

Odaberimo prvi način za prelazak područja:

ovako:

I odmah važna tehnička tehnika: iterirani integrali se mogu posebno izračunati. Prvo unutrašnji integral, pa spoljni integral. Ova metoda Toplo ga preporučujem početnicima u ovoj temi.

1) Izračunajmo unutrašnji integral, a integracija se vrši preko varijable “y”:

Neodređeni integral je ovdje najjednostavniji, a zatim se koristi banalna Newton-Leibnizova formula, s jedinom razlikom da granice integracije nisu brojevi, već funkcije. Prvo smo zamijenili gornju granicu u “y” (antiderivativna funkcija), a zatim donju granicu

2) Rezultat dobijen u prvom paragrafu mora se zamijeniti eksternim integralom:

Kompaktniji prikaz cjelokupnog rješenja izgleda ovako:

Rezultirajuća formula - to je tačno radna formula izračunati površinu ravne figure koristeći "običan" definitivni integral! Gledajte lekciju Izračunavanje površine pomoću određenog integrala, tu je na svakom koraku!

To je, problem izračunavanja površine pomoću dvostrukog integrala nije mnogo drugačije iz problema pronalaženja površine pomoću određenog integrala! U stvari, to je ista stvar!

Shodno tome, ne bi trebalo biti nikakvih poteškoća! Neću se osvrtati na mnogo primjera, jer ste se vi, zapravo, više puta susreli s ovim zadatkom.

Primjer 9

Rješenje: Opišimo područje na crtežu:

Odaberemo sljedeći redoslijed obilaženja područja:

Ovdje i dalje neću se zadržavati na tome kako preći područje, jer su u prvom pasusu data vrlo detaljna objašnjenja.

ovako:

Kao što sam već napomenuo, za početnike je bolje da izračunaju iterirane integrale odvojeno, a ja ću se držati iste metode:

1) Prvo, koristeći Newton-Leibniz formulu, bavimo se unutrašnjim integralom:

2) Rezultat dobiven u prvom koraku zamjenjuje se u eksterni integral:

Tačka 2 je zapravo pronalaženje površine ravne figure pomoću određenog integrala.

odgovor:

Ovo je tako glup i naivan zadatak.

Zanimljiv primjer za nezavisna odluka:

Primjer 10

Koristeći dvostruki integral, izračunajte površinu ravne figure ograničene linijama , ,

Približan primjer konačnog rješenja na kraju lekcije.

U primjerima 9-10 mnogo je isplativije koristiti prvu metodu prelaska područja; radoznali čitatelji, inače, mogu promijeniti redoslijed obilaska i izračunati površine pomoću druge metode. Ako ne pogriješite, tada ćete, naravno, dobiti iste vrijednosti površine.

Ali u nekim slučajevima, drugi način prelaska područja je učinkovitiji, a na kraju tečaja za mlade štrebere, pogledajmo još nekoliko primjera na ovu temu:

Primjer 11

Koristeći dvostruki integral, izračunajte površinu ravne figure ograničene linijama,

Rješenje: Radujemo se dvije parabole s quirk koje leže na njihovim stranama. Nema potrebe da se smiješite, slične stvari se često dešavaju u više integrala.

Kako je najlakše napraviti crtež?

Zamislimo parabolu u obliku dvije funkcije:
– gornja grana i – donja grana.

Slično, zamislite parabolu u obliku gornjeg i donjeg grane.

Zatim, crtanje pravila grafova po tačkama, što rezultira tako bizarnom figurom:

Izračunavamo površinu figure pomoću dvostrukog integrala prema formuli:

Šta će se dogoditi ako odaberemo prvi način prelaska područja? Prvo, ovo područje će se morati podijeliti na dva dijela. I drugo, posmatraćemo ovu tužnu sliku: . Integrali, naravno, nisu na nekom superkomplikovanom nivou, ali... postoji stara matematička izreka: onima koji su blizu korena nije potreban test.

Stoga, iz nesporazuma datog u uvjetu, izražavamo inverzne funkcije:

Inverzne funkcije u u ovom primjeru imaju prednost što određuju cijelu parabolu odjednom bez ikakvih listova, žira, grana i korijena.

Prema drugoj metodi, obilazak područja će biti sljedeći:

ovako:

Kako kažu, osjetite razliku.

1) Bavimo se unutrašnjim integralom:

Zamjenjujemo rezultat u vanjski integral:

Integracija preko varijable “y” ne bi trebala biti zbunjujuća; da postoji slovo “zy”, bilo bi sjajno integrirati preko njega. Mada ko je pročitao drugi pasus lekcije Kako izračunati zapreminu tela rotacije, on više ne doživljava ni najmanju nespretnost sa integracijom po "Y" metodi.

Obratite pažnju i na prvi korak: integrand je paran, a interval integracije je simetričan oko nule. Dakle, segment se može prepoloviti, a rezultat se može udvostručiti. Ova tehnika je detaljno komentarisana u lekciji. Efikasne metode izračunavanje određenog integrala.

Šta dodati…. Sve!

odgovor:

Da biste testirali svoju tehniku ​​integracije, možete pokušati izračunati . Odgovor bi trebao biti potpuno isti.

Primjer 12

Koristeći dvostruki integral, izračunajte površinu ravne figure ograničene linijama

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Zanimljivo je primijetiti da ako pokušate koristiti prvi način prelaska područja, figura više neće morati biti podijeljena na dva, već na tri dijela! I, shodno tome, dobijamo tri para ponovljenih integrala. Ponekad se to desi.

Majstorska klasa je privedena kraju i vrijeme je da pređemo na velemajstorski nivo - Kako izračunati dvostruki integral? Primjeri rješenja. Pokušaću da ne budem toliko manijalan u drugom članku =)

Želim ti uspjeh!

Rješenja i odgovori:

Primjer 2:Rješenje: Oslikajmo područje na crtežu:

Odaberemo sljedeći redoslijed obilaženja područja:

ovako:
Pređimo na inverzne funkcije:


ovako:
odgovor:

Primjer 4:Rješenje: Pređimo na direktne funkcije:


Napravimo crtež:

Promijenimo redoslijed prelaska područja:

odgovor:

Zadatak br. 3. Napravite crtež i izračunajte površinu figure ograničene linijama

Primena integrala za rešavanje primenjenih problema

Obračun površine

Definitivni integral neprekidne nenegativne funkcije f(x) je numerički jednak površina krivolinijskog trapeza ograničenog krivom y = f(x), osom O x i pravim linijama x = a i x = b. U skladu s tim, formula površine se piše na sljedeći način:

Pogledajmo neke primjere izračunavanja površina ravnih figura.

Zadatak br. 1. Izračunajte površinu ograničenu linijama y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.

Rješenje. Konstruirajmo figuru čiju ćemo površinu morati izračunati.

y = x 2 + 1 je parabola čije su grane usmjerene prema gore, a parabola je pomjerena prema gore za jednu jedinicu u odnosu na O y osu (slika 1).

Slika 1. Grafikon funkcije y = x 2 + 1

Zadatak br. 2. Izračunajte površinu ograničenu linijama y = x 2 – 1, y = 0 u rasponu od 0 do 1.

Rješenje. Grafikon ove funkcije je parabola grana koje su usmjerene prema gore, a parabola je pomjerena u odnosu na osu O y prema dolje za jednu jedinicu (slika 2).

Slika 2. Grafikon funkcije y = x 2 – 1

Zadatak br. 3. Napravite crtež i izračunajte površinu figure ograničene linijama

y = 8 + 2x – x 2 i y = 2x – 4.

Rješenje. Prva od ove dvije linije je parabola čije su grane usmjerene prema dolje, jer je koeficijent x 2 negativan, a druga prava je prava koja seče obje koordinatne ose.

Da bismo konstruisali parabolu, nalazimo koordinate njenog vrha: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – apscisa temena; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 je njegova ordinata, N(1;9) je vrh.

Sada pronađimo tačke preseka parabole i prave tako što ćemo rešiti sistem jednačina:

Izjednačavanje desnih strana jednačine čije su lijeve strane jednake.

Dobijamo 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 ili x 2 – 12 = 0, odakle .

Dakle, tačke su presečne tačke parabole i prave (slika 1).

Slika 3 Grafikoni funkcija y = 8 + 2x – x 2 i y = 2x – 4

Konstruirajmo pravu liniju y = 2x – 4. Ona prolazi kroz tačke (0;-4), (2;0) na koordinatnim osa.

Da biste konstruisali parabolu, možete koristiti i njene tačke preseka sa osom 0x, odnosno korenima jednačine 8 + 2x – x 2 = 0 ili x 2 – 2x – 8 = 0. Koristeći Vietinu teoremu, lako je da nađemo njegove korijene: x 1 = 2, x 2 = 4.

Na slici 3 prikazana je figura (parabolički segment M 1 N M 2) ograničena ovim linijama.

Drugi dio problema je pronaći površinu ove figure. Njegova površina se može pronaći pomoću određenog integrala prema formuli .

U odnosu na ovaj uslov dobijamo integral:

2 Izračunavanje zapremine tela rotacije

Zapremina tijela dobivena rotacijom krive y = f(x) oko ose O x izračunava se po formuli:

Kada se rotira oko ose O y, formula izgleda ovako:

Zadatak br. 4. Odrediti zapreminu tijela dobivenu rotacijom zakrivljenog trapeza ograničenog pravim linijama x = 0 x = 3 i krivom y = oko ose O x.

Rješenje. Nacrtajmo sliku (slika 4).

Slika 4. Grafikon funkcije y =

Potrebna zapremina je

Zadatak br. 5. Izračunajte zapreminu tijela dobivenu rotacijom zakrivljenog trapeza ograničenog krivom y = x 2 i pravim linijama y = 0 i y = 4 oko ose O y.

Rješenje. Imamo:

Pregledajte pitanja

U ovom članku ćete naučiti kako pronaći površinu figure ograničenu linijama koristeći integralne proračune. S formulisanjem ovakvog problema prvi put se susrećemo u srednjoj školi, kada smo tek završili izučavanje određenih integrala i vreme je da počnemo sa geometrijskom interpretacijom stečenog znanja u praksi.

Dakle, ono što je potrebno za uspješno rješavanje problema pronalaženja površine figure pomoću integrala:

• Sposobnost izrade kompetentnih crteža;
• Sposobnost rješavanja određenog integrala korištenjem poznata formula Newton-Leibniz;
• Sposobnost da se "vidi" isplativija opcija rješenja - tj. razumjeti kako će biti zgodnije izvršiti integraciju u jednom ili drugom slučaju? Duž x-ose (OX) ili y-ose (OY)?
• Pa, gdje bismo bili bez tačnih proračuna?) Ovo uključuje razumijevanje kako riješiti tu drugu vrstu integrala i ispravne numeričke proračune.

Algoritam za rješavanje problema izračunavanja površine figure ograničene linijama:

1. Pravimo crtež. Preporučljivo je to učiniti na kockastom komadu papira, u velikom obimu. Naziv ove funkcije potpisujemo olovkom iznad svakog grafikona. Potpisivanje grafikona se vrši isključivo radi pogodnosti daljih proračuna. Nakon što dobijete graf željene brojke, u većini slučajeva će odmah biti jasno koje će se granice integracije koristiti. Tako problem rješavamo grafički. Međutim, dešava se da su vrijednosti granica razlomke ili iracionalne. Stoga možete napraviti dodatne proračune, idite na drugi korak.

2. Ako granice integracije nisu eksplicitno specificirane, tada nalazimo tačke preseka grafova među sobom i vidimo da li se naše grafičko rešenje poklapa sa analitičkim.

3. Zatim morate analizirati crtež. Ovisno o tome kako su raspoređeni grafovi funkcija, postoje različiti pristupi pronalaženju površine figure. Hajde da razmotrimo različiti primjeri o pronalaženju površine figure pomoću integrala.

3.1. Najklasičnija i najjednostavnija verzija problema je kada trebate pronaći područje zakrivljenog trapeza. Šta je zakrivljeni trapez? Ovo je ravna figura ograničena x-osom (y = 0), ravno x = a, x = b i bilo koja kriva kontinuirana na intervalu od a prije b. Štaviše, ova brojka nije negativna i nalazi se ne ispod x-ose. U ovom slučaju, površina krivolinijskog trapeza numerički je jednaka određenom integralu, izračunatom pomoću Newton-Leibnizove formule:

Primjer 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Kojim linijama je lik ograničen? Imamo parabolu y = x2 – 3x + 3, koji se nalazi iznad ose OH, nije negativan, jer sve tačke ove parabole imaju pozitivne vrijednosti. Dalje, date prave linije x = 1 I x = 3, koji idu paralelno sa osom OU, su granične linije figure lijevo i desno. Pa y = 0, to je i x-osa, koja ograničava sliku odozdo. Dobivena figura je zasjenjena, kao što se može vidjeti sa slike s lijeve strane. U tom slučaju možete odmah početi rješavati problem. Pred nama je jednostavan primjer zakrivljenog trapeza, koji zatim rješavamo pomoću Newton-Leibnizove formule.

3.2. U prethodnom paragrafu 3.1 ispitali smo slučaj kada se zakrivljeni trapez nalazi iznad x-ose. Sada razmotrite slučaj kada su uslovi problema isti, osim što funkcija leži ispod x-ose. Standardnoj Newton-Leibnizovoj formuli dodaje se minus. U nastavku ćemo razmotriti kako riješiti takav problem.

Primjer 2 . Izračunajte površinu figure ograničene linijama y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

U ovom primjeru imamo parabolu y = x2 + 6x + 2, koja potiče od ose OH, ravno x = -4, x = -1, y = 0. Evo y = 0 ograničava željenu figuru odozgo. Direktno x = -4 I x = -1 ovo su granice unutar kojih će se izračunati definitivni integral. Princip rješavanja problema pronalaženja površine figure gotovo se u potpunosti poklapa s primjerom broj 1. Jedina razlika je u tome što data funkcija nije pozitivna, a također je kontinuirana na intervalu [-4; -1] . Kako to misliš nije pozitivno? Kao što se vidi sa slike, figura koja se nalazi unutar datih x ima isključivo “negativne” koordinate, što trebamo vidjeti i zapamtiti prilikom rješavanja problema. Područje figure tražimo koristeći Newton-Leibniz formulu, samo sa znakom minus na početku.

Članak nije dovršen.

Problem 1(o izračunavanju površine zakrivljenog trapeza).

Kartezijanski pravougaoni sistem koordinate xOy, data je figura (vidi sliku) omeđena x osom, prave linije x = a, x = b (zakrivljeni trapez. Potrebno je izračunati površinu zakrivljenog trapeza.
Rješenje. Geometrija nam daje recepte za izračunavanje površina poligona i nekih dijelova kruga (sektora, segmenta). Koristeći geometrijska razmatranja, možemo pronaći samo približnu vrijednost tražene površine, rezonirajući na sljedeći način.

Podijelimo segment [a; b] (osnova zakrivljenog trapeza) na n jednakih dijelova; ova particija se izvodi pomoću tačaka x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Nacrtajmo prave linije kroz ove tačke paralelne sa y-osi. Tada će dati krivolinijski trapez biti podijeljen na n dijelova, na n uskih stupaca. Površina cijelog trapeza jednaka je zbiru površina stupova.

Razmotrimo k-tu kolonu posebno, tj. zakrivljeni trapez čija je osnova segment. Zamenimo ga pravougaonikom sa istom osnovom i visinom jednakom f(x k) (vidi sliku). Površina pravougaonika jednaka je \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), gdje je \(\Delta x_k \) dužina segmenta; Prirodno je uzeti u obzir dobiveni proizvod kao približnu vrijednost površine k-te kolone.

Ako sada učinimo isto sa svim ostalim stupcima, doći ćemo do sljedećeg rezultata: površina S datog krivolinijskog trapeza je približno jednaka površini S n stepenastog lika sastavljenog od n pravokutnika (vidi sliku):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Ovdje, radi uniformnosti notacije, pretpostavljamo da je a = x 0, b = x n; \(\Delta x_0 \) - dužina segmenta, \(\Delta x_1 \) - dužina segmenta, itd.; u ovom slučaju, kao što smo se prethodno dogovorili, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)

Dakle, \(S \približno S_n \), a ova približna jednakost je tačnija, što je n veće.
Po definiciji, vjeruje se da je potrebna površina krivolinijskog trapeza jednaka granici niza (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Problem 2(o pomicanju tačke)
Materijalna tačka se kreće pravolinijski. Ovisnost brzine o vremenu izražava se formulom v = v(t). Pronađite kretanje tačke tokom vremenskog perioda [a; b].
Rješenje. Kada bi kretanje bilo ravnomjerno, onda bi problem bio riješen vrlo jednostavno: s = vt, tj. s = v(b-a). Za neravnomjerno kretanje morate koristiti iste ideje na kojima je zasnovano rješenje prethodnog problema.
1) Podijelite vremenski interval [a; b] na n jednakih dijelova.
2) Uzmite u obzir vremenski period i pretpostavite da je tokom tog vremenskog perioda brzina bila konstantna, ista kao u trenutku t k. Dakle, pretpostavljamo da je v = v(t k).
3) Nađimo približnu vrijednost kretanja tačke u određenom vremenskom periodu; ovu približnu vrijednost ćemo označiti kao s k
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Pronađite približnu vrijednost pomaka s:
\(s \približno S_n \) gdje
\(S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Traženi pomak je jednak granici niza (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Hajde da sumiramo. Rješenja raznih problema svedena su na isti matematički model. Mnogi problemi iz različitih oblasti nauke i tehnologije vode ka istom modelu u procesu rešavanja. Dakle ovo matematički model potrebno je posebno proučiti.

Koncept određenog integrala

Dajemo matematički opis modela koji je izgrađen u tri razmatrana problema za funkciju y = f(x), kontinuiranu (ali ne nužno nenegativnu, kao što je pretpostavljeno u razmatranim problemima) na intervalu [a; b]:
1) podijeliti segment [a; b] na n jednakih dijelova;
2) čine zbir $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) izračunajte $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

U toku matematičke analize dokazano je da ova granica postoji u slučaju kontinuirane (ili komadno kontinuirane) funkcije. On je zvao određeni integral funkcije y = f(x) nad segmentom [a; b] i označena na sljedeći način:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Brojevi a i b nazivaju se granicama integracije (donja i gornja, respektivno).

Vratimo se zadacima o kojima smo gore govorili. Definicija površine data u Zadatku 1 sada se može prepisati na sljedeći način:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
ovdje je S površina krivolinijskog trapeza prikazanog na gornjoj slici. Ovo je geometrijsko značenje određenog integrala.

Definicija pomaka s tačke koja se kreće pravolinijski brzinom v = v(t) tokom vremenskog perioda od t = a do t = b, data u zadatku 2, može se prepisati na sljedeći način:

Newton-Leibnizova formula

Prvo, odgovorimo na pitanje: kakva je veza između određenog integrala i antiderivata?

Odgovor se može naći u zadatku 2. S jedne strane, pomak s tačke koja se kreće pravolinijski brzinom v = v(t) tokom vremenskog perioda od t = a do t = b izračunava se po formula
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)

S druge strane, koordinata pokretne tačke je antiderivat za brzinu – označimo je s(t); To znači da je pomak s izražen formulom s = s(b) - s(a). Kao rezultat dobijamo:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
gdje je s(t) antiderivat od v(t).

Sljedeća teorema je dokazana tokom matematičke analize.
Teorema. Ako je funkcija y = f(x) kontinuirana na intervalu [a; b], onda je formula važeća
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
gdje je F(x) antiderivat od f(x).

Zadata formula se obično naziva Newton-Leibnizova formula u čast engleskog fizičara Isaaca Newtona (1643-1727) i njemačkog filozofa Gottfried Leibniza (1646-1716), koji su ga primili nezavisno jedan od drugog i gotovo istovremeno.

U praksi, umjesto pisanja F(b) - F(a), oni koriste notaciju \(\left. F(x)\right|_a^b \) (ponekad se naziva dvostruka zamjena) i, shodno tome, prepiši Newton-Leibniz formulu u ovom obliku:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \lijevo. F(x)\desno|_a^b \)

Prilikom izračunavanja određenog integrala, prvo pronađite antiderivat, a zatim izvršite dvostruku zamjenu.

Na osnovu Newton-Leibnizove formule možemo dobiti dva svojstva određenog integrala.

Nekretnina 1. Integral zbira funkcija jednak je zbiru integrala:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)

Nekretnina 2. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka integrala:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)

Izračunavanje površina ravnih figura pomoću određenog integrala

Koristeći integral, možete izračunati površine ne samo zakrivljenih trapeza, već i ravnih figura složenijeg tipa, na primjer, one prikazane na slici. Slika P je ograničena pravim linijama x = a, x = b i grafovima kontinuiranih funkcija y = f(x), y = g(x), a na segmentu [a; b] vrijedi nejednakost \(g(x) \leq f(x) \). Da bismo izračunali površinu S takve figure, postupit ćemo na sljedeći način:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Dakle, površina S figure ograničene pravim linijama x = a, x = b i grafovima funkcija y = f(x), y = g(x), kontinuiranim na segmentu i takvim da za bilo koje x iz segmenta [a; b] nejednakost \(g(x) \leq f(x) \) je zadovoljena, izračunata po formuli
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Tabela neodređenih integrala (antiderivata) nekih funkcija

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2) ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$

Definitivni integral. Kako izračunati površinu figure

Idemo dalje na razmatranje primjene integralnog računa. U ovoj lekciji ćemo analizirati tipičan i najčešći zadatak – kako koristiti određeni integral za izračunavanje površine ravne figure. Konačno, oni koji traže smisao u višoj matematici – neka ga nađu. Nikad ne znaš. Morat ćemo to približiti u životu seoska vikendica elementarne funkcije i pronađu njegovu površinu pomoću određenog integrala.

Da biste uspješno savladali gradivo, morate:

1) Razumjeti neodređeni integral barem na prosječnom nivou. Stoga, lutke prvo treba da pročitaju lekciju Ne.

2) Biti u stanju primijeniti Newton-Leibniz formulu i izračunati definitivni integral. Na stranici možete uspostaviti tople prijateljske odnose sa određenim integralima Definitivni integral. Primjeri rješenja.

Zapravo, da biste pronašli površinu figure, nije vam potrebno toliko znanja o neodređenom i određenom integralu. Zadatak „izračunati površinu pomoću određenog integrala“ uvijek uključuje izradu crteža, tako da će vaše znanje i vještine crtanja biti mnogo hitniji problem. U tom smislu, korisno je osvježiti pamćenje grafova glavnog elementarne funkcije, i, u najmanju ruku, biti u stanju konstruirati pravu liniju, parabolu i hiperbolu. To se može učiniti (za mnoge je neophodno) korištenjem metodološki materijal i članci o geometrijskim transformacijama grafova.

Zapravo, svima je još od škole poznat zadatak pronalaženja područja pomoću određenog integrala i nećemo ići mnogo dalje od školskog programa. Ovaj članak možda uopće nije postojao, ali činjenica je da se problem javlja u 99 slučajeva od 100, kada učenik pati od omražene škole i sa entuzijazmom savlada predmet više matematike.

Materijali ove radionice predstavljeni su jednostavno, detaljno i sa minimumom teorije.

Počnimo sa zakrivljenim trapezom.

Krivolinijski trapez je ravna figura omeđena osom, pravim linijama i grafikom funkcije kontinuirane na intervalu koji ne mijenja predznak na ovom intervalu. Neka se ova figura nalazi ne manje x-osa:

Onda površina krivolinijskog trapeza numerički je jednaka određenom integralu. Svaki određeni integral (koji postoji) ima vrlo dobro geometrijsko značenje. Na lekciji Definitivni integral. Primjeri rješenja Rekao sam da je određeni integral broj. A sada je vrijeme da navedemo još jedno korisna činjenica. Sa stanovišta geometrije, definitivni integral je POVRŠINA.

To je, određeni integral (ako postoji) geometrijski odgovara površini određene figure. Na primjer, razmotrite definitivni integral. Integrand definira krivulju na ravni koja se nalazi iznad ose (oni koji žele mogu napraviti crtež), a sam definitivni integral je numerički jednak površini odgovarajućeg krivolinijskog trapeza.

Primjer 1

Ovo je tipična izjava o dodjeli. Prvo i najvažniji trenutak rješenja - crtež. Štaviše, crtež mora biti konstruisan PRAVO.

Prilikom izrade crteža preporučujem sljedeći redoslijed: kao prvo bolje je konstruisati sve prave (ako postoje) i samo Onda– parabole, hiperbole, grafovi drugih funkcija. Isplativije je graditi grafove funkcija tačku po tačku, tehnika konstrukcije točka po tačku može se naći u referentnom materijalu Grafovi i svojstva elementarnih funkcija. Tamo možete pronaći i vrlo koristan materijal za našu lekciju - kako brzo izgraditi parabolu.

U ovom problemu rješenje bi moglo izgledati ovako.
Nacrtajmo crtež (imajte na umu da jednačina definira os):

Zakrivljeni trapez neću šrafirati, ovdje se vidi kolika je površina mi pričamo o tome. Rješenje se nastavlja ovako:

Na segmentu se nalazi graf funkcije iznad ose, Zbog toga:

odgovor:

Koji ima poteškoća s izračunavanjem definitivnog integrala i primjenom Newton-Leibnizove formule , pogledajte predavanje Definitivni integral. Primjeri rješenja.

Nakon što je zadatak završen, uvijek je korisno pogledati crtež i shvatiti da li je odgovor stvaran. U ovom slučaju broj ćelija na crtežu brojimo "na oko" - pa, bit će ih oko 9, što se čini istinitim. Apsolutno je jasno da ako dobijemo, recimo, odgovor: 20 kvadratnih jedinica, onda je očito da je negdje napravljena greška - 20 ćelija očigledno ne staje u dotičnu cifru, najviše desetak. Ako je odgovor negativan, onda je i zadatak riješen pogrešno.

Primjer 2

Izračunajte površinu figure ograničene linijama, , i osi

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Šta učiniti ako se nalazi zakrivljeni trapez ispod osovine?

Primjer 3

Izračunajte površinu figure ograničenu linijama i koordinatnim osa.

Rješenje: Napravimo crtež:

Ako se nalazi zakrivljeni trapez ispod osovine(ili barem ne viši datu os), tada se njegova površina može pronaći pomoću formule:
U ovom slučaju:

Pažnja! Ove dvije vrste zadataka ne treba miješati:

1) Ako se od vas traži da jednostavno riješite određeni integral bez ikakvog geometrijsko značenje, onda može biti negativan.

2) Ako se od vas traži da pronađete površinu figure pomoću određenog integrala, tada je površina uvijek pozitivna! Zato se minus pojavljuje u formuli o kojoj smo upravo govorili.

U praksi se najčešće figura nalazi i u gornjoj i u donjoj poluravni, te stoga od najjednostavnijih školskih zadataka prelazimo na sadržajnije primjere.

Primjer 4

Nađite površinu ravne figure ograničene linijama , .

Rješenje: Prvo morate dovršiti crtež. Uopšteno govoreći, kada konstruišemo crtež u problemima oblasti, najviše nas zanimaju tačke preseka linija. Nađimo tačke preseka parabole i prave. To se može uraditi na dva načina. Prva metoda je analitička. Rješavamo jednačinu:

To znači da je donja granica integracije , a gornja granica integracije .
Ako je moguće, bolje je ne koristiti ovu metodu..

Mnogo je isplativije i brže graditi linije tačku po tačku, a granice integracije postaju jasne „sama po sebi“. Tehnika građenja tačku po tačku za različite grafove detaljno je razmotrena u pomoći Grafovi i svojstva elementarnih funkcija. Ipak, analitička metoda pronalaženja granica se ipak ponekad mora koristiti ako je, na primjer, graf dovoljno velik, ili detaljna konstrukcija nije otkrila granice integracije (mogu biti frakcijske ili iracionalne). I mi ćemo također razmotriti takav primjer.

Vratimo se našem zadatku: racionalnije je prvo konstruirati pravu liniju pa tek onda parabolu. Napravimo crtež:

Ponavljam da se pri konstruisanju po tačkama granice integracije najčešće otkrivaju „automatski“.

A sada radna formula: Ako postoji neka kontinuirana funkcija na segmentu veće ili jednako neke kontinuirane funkcije , tada se površina figure ograničena grafovima ovih funkcija i linijama , , može pronaći pomoću formule:

Ovdje više ne morate razmišljati o tome gdje se figura nalazi - iznad ose ili ispod ose, i, grubo govoreći, bitno je koji je graf VEĆI(u odnosu na drugi grafikon), a koja je ISPOD.

U primjeru koji se razmatra, očito je da se na segmentu parabola nalazi iznad prave linije, te je stoga potrebno oduzeti od

Završeno rješenje može izgledati ovako:

Željena figura ograničena je parabolom iznad i pravom linijom ispod.
Na segmentu, prema odgovarajućoj formuli:

odgovor:

Zapravo, školska formula za površinu krivolinijskog trapeza u donjoj poluravni (vidi jednostavan primjer br. 3) je poseban slučaj formule . Budući da je os specificirana jednadžbom, a graf funkcije je lociran ne viši sjekire, dakle

A sada par primjera za vlastito rješenje

Primjer 5

Primjer 6

Pronađite površinu figure ograničenu linijama , .

Prilikom rješavanja problema koji uključuju izračunavanje površine pomoću određenog integrala, ponekad se dogodi smiješan incident. Crtež je urađen korektno, proračuni su bili tačni, ali zbog nepažnje... pronađena je površina pogrešne figure, upravo ovako je nekoliko puta zeznuo tvoj ponizni sluga. Evo pravi slučaj iz života:

Primjer 7

Izračunajte površinu figure ograničene linijama , , , .

Rješenje: Prvo, napravimo crtež:

...Eh, crtež je ispao sranje, ali sve izgleda čitljivo.

Figura čiju oblast treba da pronađemo je zasenčena plavom bojom(pogledajte pažljivo stanje - koliko je broj ograničen!). Ali u praksi, zbog nepažnje, često se javlja "kvar" da morate pronaći područje figure koja je zasjenjena zeleno!

Ovaj primjer je također koristan po tome što izračunava površinu figure koristeći dva određena integrala. stvarno:

1) Na segmentu iznad ose nalazi se grafik prave linije;

2) Na segmentu iznad ose nalazi se graf hiperbole.

Sasvim je očigledno da se područja mogu (i trebaju) dodati, dakle:

odgovor:

Pređimo na još jedan značajan zadatak.

Primjer 8

Izračunajte površinu figure ograničene linijama,
Hajde da predstavimo jednačine u "školskom" obliku i napravimo crtež tačku po tačku:

Iz crteža je jasno da je naša gornja granica „dobra“: .
Ali koja je donja granica?! Jasno je da ovo nije ceo broj, ali šta je to? Možda ? Ali gde je garancija da je crtež napravljen sa savršenom tačnošću, može se ispostaviti da... Ili korijen. Šta ako smo pogrešno napravili graf?

U takvim slučajevima morate potrošiti dodatno vrijeme i analitički razjasniti granice integracije.

Nađimo tačke preseka prave i parabole.
Da bismo to uradili, rešavamo jednačinu:


,

Zaista, .

Dalje rješenje je trivijalno, glavna stvar je da se ne zbunite u zamjenama i znakovima; proračuni ovdje nisu najjednostavniji.

Na segmentu , prema odgovarajućoj formuli:

odgovor:

Pa, da zaključimo lekciju, pogledajmo još dva teška zadatka.

Primjer 9

Izračunajte površinu figure ograničene linijama , ,

Rješenje: Hajde da prikažemo ovu figuru na crtežu.

Prokletstvo, zaboravio sam da potpišem raspored i, izvini, nisam htio da ponavljam sliku. Nije dan za crtanje, ukratko, danas je dan =)

Za konstrukciju točka po tačku morate znati izgled sinusoidi (i općenito je korisno znati grafovi svih elementarnih funkcija), kao i neke sinusne vrijednosti, mogu se naći u trigonometrijska tabela. U nekim slučajevima (kao u ovom slučaju) moguće je konstruirati šematski crtež na kojem bi grafovi i granice integracije trebali biti fundamentalno korektno prikazani.

Ovdje nema problema s granicama integracije, one slijede direktno iz uslova: “x” se mijenja od nule do “pi”. Hajde da donesemo dalju odluku:

Na segmentu se graf funkcije nalazi iznad ose, dakle: