U ovom članku ćemo razmotriti opštu jednadžbu prave linije na ravni. Navedimo primjere konstrukcije opće jednadžbe prave ako su poznate dvije tačke ove prave ili ako su poznate jedna tačka i vektor normale ove prave. Hajde da uvedemo metode za transformaciju jednačine u opšti pogled u kanonski i parametarski pogled.

Neka je dat proizvoljan kartezijanski pravougaoni koordinatni sistem Oxy. Razmotrimo jednačinu prvog stepena ili linearna jednačina:

Ax+By+C=0,

(1)

Gdje A, B, C− neke konstante i barem jedan od elemenata A I B različito od nule.

Pokazaćemo da linearna jednačina na ravni definiše pravu liniju. Dokažimo sljedeću teoremu.

Teorema 1. U proizvoljnom kartezijanskom pravougaoni sistem koordinate na ravni, svaka prava linija se može specificirati linearnom jednačinom. Obrnuto, svaka linearna jednačina (1) u proizvoljnom Dekartovom pravougaonom koordinatnom sistemu na ravni definiše pravu liniju.

Dokaz. Dovoljno je dokazati da je prava linija L je određen linearnom jednačinom za bilo koji Dekartov pravougaoni koordinatni sistem, pošto će tada biti određen linearnom jednačinom za bilo koji izbor Dekartovog pravougaonog koordinatnog sistema.

Neka je na ravni data prava linija L. Odaberimo koordinatni sistem tako da os Ox poklopila sa pravom linijom L, i osa Oy bio okomit na njega. Zatim jednačina prave Lće poprimiti sljedeći oblik:

y=0.

(2)

Sve tačke na pravoj Lće zadovoljiti linearnu jednačinu (2), a sve tačke izvan ove prave neće zadovoljiti jednačinu (2). Prvi dio teoreme je dokazan.

Neka je zadan kartezijanski pravougaoni koordinatni sistem i neka linearna jednadžba (1), gdje je barem jedan od elemenata A I B različito od nule. Nađimo geometrijski lokus tačaka čije koordinate zadovoljavaju jednačinu (1). Budući da je barem jedan od koeficijenata A I B je različit od nule, tada jednačina (1) ima barem jedno rješenje M(x 0 ,y 0). (Na primjer, kada A≠0, tačka M 0 (−C/A, 0) pripada datom geometrijskom lokusu tačaka). Zamjenom ovih koordinata u (1) dobijamo identitet

Sjekira 0 +By 0 +C=0.

(3)

Oduzmimo identitet (3) od (1):

A(x−x 0)+B(y−y 0)=0.

(4)

Očigledno, jednačina (4) je ekvivalentna jednačini (1). Stoga je dovoljno dokazati da (4) definira određenu pravu.

Pošto razmatramo kartezijanski pravougaoni koordinatni sistem, iz jednakosti (4) slijedi da vektor sa komponentama ( x−x 0 , y−y 0 ) ortogonalno na vektor n sa koordinatama ( A,B}.

Razmotrimo neku pravu liniju L, prolazeći kroz tačku M 0 (x 0 , y 0) i okomito na vektor n(Sl.1). Pusti poentu M(x,y) pripada liniji L. Zatim vektor sa koordinatama x−x 0 , y−y 0 okomito n i jednačina (4) je zadovoljena (skalarni proizvod vektora n i jednaka nuli). Obrnuto, ako tačka M(x,y) ne leži na pravoj L, zatim vektor sa koordinatama x−x 0 , y−y 0 nije ortogonalno na vektor n a jednačina (4) nije zadovoljena. Teorema je dokazana.

Dokaz. Kako linije (5) i (6) definiraju istu liniju, onda su vektori normale n 1 ={A 1 ,B 1) i n 2 ={A 2 ,B 2) kolinearna. Od vektora n 1 ≠0, n 2 ≠0, onda postoji takav broj λ , Šta n 2 =n 1 λ . Odavde imamo: A 2 =A 1 λ , B 2 =B 1 λ . Dokažimo to C 2 =C 1 λ . Očigledno, slučajne linije imaju zajednička tačka M 0 (x 0 , y 0). Množenje jednadžbe (5) sa λ i oduzimanjem jednačine (6) od nje dobijamo:

Pošto su prve dvije jednakosti iz izraza (7) zadovoljene, onda C 1 λ −C 2 =0. One. C 2 =C 1 λ . Primedba je dokazana.

Imajte na umu da jednačina (4) definira jednačinu prave linije koja prolazi kroz tačku M 0 (x 0 , y 0) i ima normalan vektor n={A,B). Dakle, ako su poznati vektor normale prave i tačka koja pripada ovoj pravoj, onda se opšta jednačina prave može konstruisati pomoću jednačine (4).

Primjer 1. Prava linija prolazi kroz tačku M=(4,−1) i ima normalan vektor n=(3, 5). Konstruirajte opštu jednačinu prave.

Rješenje. Imamo: x 0 =4, y 0 =−1, A=3, B=5. Da bismo konstruirali opću jednadžbu prave linije, ove vrijednosti zamjenjujemo u jednačinu (4):

odgovor:

Vektor je paralelan pravoj L i, prema tome, okomito na normalni vektor prave L. Konstruirajmo vektor normalne linije L, uzimajući u obzir da je skalarni proizvod vektora n i jednako nuli. Možemo napisati npr. n={1,−3}.

Da bismo konstruirali opštu jednačinu prave, koristimo formulu (4). Zamenimo koordinate tačke u (4) M 1 (možemo uzeti i koordinate tačke M 2) i normalni vektor n:

Zamjena koordinata tačaka M 1 i M 2 u (9) možemo osigurati da prava linija data jednačinom (9) prolazi kroz ove tačke.

odgovor:

Oduzmi (10) od (1):

Dobili smo kanonsku jednačinu prave. Vector q={−B, A) je vektor smjera linije (12).

Vidi obrnutu konverziju.

Primer 3. Prava linija na ravni je predstavljena sledećom opštom jednačinom:

Pomerimo drugi član udesno i podelimo obe strane jednačine sa 2·5.

Jednačina prave na ravni.

Kao što je poznato, bilo koja tačka na ravni je određena sa dve koordinate u nekom koordinatnom sistemu. Koordinatni sistemi mogu biti različiti u zavisnosti od izbora baze i porekla.

Definicija. Jednačina linije naziva se relacija y = f(x) između koordinata tačaka koje čine ovu pravu.

Imajte na umu da se jednadžba prave može izraziti parametarski, odnosno svaka koordinata svake tačke se izražava kroz neki nezavisni parametar t.

Tipičan primjer je putanja pokretne tačke. U ovom slučaju, ulogu parametra igra vrijeme.

Jednačina prave linije na ravni.

Definicija. Bilo koja prava linija na ravni može se odrediti jednadžbom prvog reda

Ax + Wu + C = 0,

Štaviše, konstante A i B nisu u isto vrijeme jednake nuli, tj. A 2 + B 2  0. Ova jednačina prvog reda se zove opšta jednačina prave linije.

Ovisno o vrijednostima konstanti A, B i C, mogući su sljedeći posebni slučajevi:

C = 0, A  0, B  0 – prava prolazi kroz početak

A = 0, B  0, C  0 (By + C = 0) - prava linija paralelna osi Ox

B = 0, A  0, C  0 (Ax + C = 0) – prava paralelna sa Oy osom

B = C = 0, A  0 – prava linija se poklapa sa Oy osom

A = C = 0, B  0 – prava linija se poklapa sa osom Ox

Jednačina prave linije može se predstaviti u različitim oblicima u zavisnosti od bilo kojeg datog početnog uslova.

Jednačina prave linije iz tačke i vektora normale.

Definicija. U Dekartovom pravougaonom koordinatnom sistemu, vektor sa komponentama (A, B) je okomit na pravu liniju datu jednačinom Ax + By + C = 0.

Primjer. Naći jednadžbu prave koja prolazi kroz tačku A(1, 2) okomito na vektor (3, -1).

Sa A = 3 i B = -1, sastavimo jednačinu prave: 3x – y + C = 0. Da bismo pronašli koeficijent C, zamijenimo koordinate date tačke A u rezultirajući izraz.

Dobijamo: 3 – 2 + C = 0, dakle C = -1.

Ukupno: tražena jednačina: 3x – y – 1 = 0.

Jednadžba prave koja prolazi kroz dvije tačke.

Neka su u prostoru date dvije tačke M 1 (x 1, y 1, z 1) i M 2 (x 2, y 2, z 2), tada je jednadžba prave koja prolazi kroz ove tačke:

Ako je bilo koji od nazivnika nula, odgovarajući brojnik treba postaviti jednak nuli.

Na ravni, jednadžba ravne linije koja je gore napisana je pojednostavljena:

ako je x 1  x 2 i x = x 1, ako je x 1 = x 2.

Razlomak
=k se poziva nagib ravno.

Primjer. Naći jednačinu prave koja prolazi kroz tačke A(1, 2) i B(3, 4).

Primjenom gore napisane formule dobijamo:

Jednadžba prave linije koristeći tačku i nagib.

Ako se opšta jednačina prave Ax + By + C = 0 svede na oblik:

i odrediti
, tada se rezultirajuća jednačina zove jednačina prave linije sa nagibomk.

Jednačina prave linije iz tačke i vektora pravca.

Po analogiji sa tačkom uzimajući u obzir jednadžbu prave linije kroz vektor normale, možete uneti definiciju prave linije kroz tačku i usmeravajući vektor prave linije.

Definicija. Svaki vektor različit od nule ( 1,  2), čije komponente zadovoljavaju uslov A 1 + B 2 = 0 naziva se usmjeravajući vektor prave

Ax + Wu + C = 0.

Primjer. Naći jednadžbu prave sa vektorom smjera (1, -1) i prolazi kroz tačku A(1, 2).

Tražićemo jednačinu željene linije u obliku: Ax + By + C = 0. U skladu sa definicijom, koeficijenti moraju zadovoljiti uslove:

1A + (-1)B = 0, tj. A = B.

Tada jednačina prave linije ima oblik: Ax + Ay + C = 0, ili x + y + C/A = 0.

kod x = 1, y = 2 dobijamo C/A = -3, tj. tražena jednačina:

Jednačina prave linije u segmentima.

Ako u opštoj jednačini prave Ah + Vu + S = 0 S 0, onda, dijeljenjem sa –S, dobijamo:
ili

, Gdje

Geometrijsko značenje koeficijenata je da koeficijent A je koordinata tačke preseka linije sa Ox osom, i b– koordinata tačke preseka prave sa Oy osom.

Primjer. Data je opšta jednačina prave x – y + 1 = 0. Naći jednačinu ove prave u segmentima.

C = 1,
, a = -1,b = 1.

Normalna jednadžba prave.

Ako se obje strane jednačine Ax + By + C = 0 podijele brojem
koji se zove normalizujući faktor, onda dobijamo

xcos + ysin - p = 0 –

normalna jednačina prave.

Predznak  faktora normalizacije mora biti odabran tako da S< 0.

p je dužina okomice spuštene od početka do prave, a  je ugao koji ova okomica formira sa pozitivnim smjerom ose Ox.

Primjer. Data je opšta jednačina prave 12x – 5y – 65 = 0. Za ovu pravu je potrebno napisati različite vrste jednačina.

jednadžba ove prave u segmentima:

jednadžba ove prave sa nagibom: (podijelite sa 5)

normalna jednadžba prave:

; cos = 12/13; sin = -5/13; p = 5.

Treba napomenuti da se ne može svaka ravna linija predstaviti jednadžbom u segmentima, na primjer, prave linije paralelne sa osama ili koje prolaze kroz ishodište koordinata.

Primjer. Prava linija odsijeca jednake pozitivne segmente na koordinatnim osa. Napišite jednadžbu ravne linije ako je površina trokuta koji čine ovi segmenti 8 cm 2.

Jednačina prave linije je:
, a = b = 1; ab/2 = 8; a = 4; -4.

a = -4 nije prikladno prema uslovima problema.

Ukupno:
ili x + y – 4 = 0.

Primjer. Napišite jednačinu za pravu liniju koja prolazi kroz tačku A(-2, -3) i ishodište.

Jednačina prave linije je:
, gdje je x 1 = y 1 = 0; x 2 = -2; y 2 = -3.

Ugao između pravih linija na ravni.

Definicija. Ako su date dvije prave y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, tada će oštar ugao između ovih pravih biti definiran kao

.

Dvije prave su paralelne ako je k 1 = k 2.

Dvije prave su okomite ako je k 1 = -1/k 2 .

Teorema. Direktne linije Ax + Wu + C = 0 i A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 su paralelni kada su koeficijenti A proporcionalni 1 =  A, B 1 =  B. Ako i C 1 =  C, tada se linije poklapaju.

Koordinate tačke preseka dve prave nalaze se kao rešenje sistema jednačina ovih pravih.

Jednačina prave koja prolazi kroz datu tačku

okomito na ovu pravu.

Definicija. Prava linija koja prolazi kroz tačku M 1 (x 1, y 1) i okomita na pravu liniju y = kx + b predstavljena je jednadžbom:

Udaljenost od tačke do prave.

Teorema. Ako je data tačka M(x). 0 , y 0 ), tada je rastojanje do prave Ah + Vu + S =0 definisano kao

.

Dokaz. Neka je tačka M 1 (x 1, y 1) osnova okomice spuštene iz tačke M na datu pravu liniju. Tada je rastojanje između tačaka M i M 1:

Koordinate x 1 i y 1 se mogu naći rješavanjem sistema jednadžbi:

Druga jednačina sistema je jednačina linije koja prolazi dati poen M 0 je okomito na datu pravu liniju.

Ako transformišemo prvu jednačinu sistema u oblik:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

tada, rješavanjem, dobijamo:

Zamjenom ovih izraza u jednačinu (1) nalazimo:

.

Teorema je dokazana.

Primjer. Odrediti ugao između pravih: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2 tg =
;  = /4.

Primjer. Pokažite da su prave 3x – 5y + 7 = 0 i 10x + 6y – 3 = 0 okomite.

Nalazimo: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, dakle, prave su okomite.

Primjer. Dati su vrhovi trougla A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Naći jednadžbu visine povučene iz vrha C.

Pronalazimo jednačinu stranice AB:
; 4x = 6y – 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Tražena jednačina visine ima oblik: Ax + By + C = 0 ili y = kx + b.

k = . Tada je y =
. Jer visina prolazi kroz tačku C, tada njene koordinate zadovoljavaju ovu jednačinu:
odakle je b = 17. Ukupno:
.

Odgovor: 3x + 2y – 34 = 0.

Analitička geometrija u prostoru.

Jednačina prave u prostoru.

Jednadžba prave u prostoru date tački i

vektor smjera.

Uzmimo proizvoljnu liniju i vektor (m, n, p), paralelno sa datom pravom. Vector pozvao vodeći vektor ravno.

Na pravoj liniji uzimamo dvije proizvoljne tačke M 0 (x 0 , y 0 , z 0) i M (x, y, z).

z

M 1

Označimo radijus vektore ovih tačaka kao I , očigledno je da - =
.

Jer vektori
I su kolinearni, onda je relacija tačna
= t, gdje je t neki parametar.

Ukupno možemo napisati: = + t.

Jer ova jednačina je zadovoljena koordinatama bilo koje tačke na pravoj, onda je rezultirajuća jednačina parametarska jednačina prave.

Ova vektorska jednadžba se može predstaviti u koordinatnom obliku:

Transformisanjem ovog sistema i izjednačavanjem vrednosti parametra t dobijamo kanonske jednačine prava linija u prostoru:

.

Definicija. Smjer kosinus direktni su kosinusi smjera vektora , koji se može izračunati pomoću formula:

;

.

Odavde dobijamo: m: n: p = cos : cos : cos.

Zovu se brojevi m, n, p ugaoni koeficijenti ravno. Jer je vektor različit od nule, tada m, n i p ne mogu biti jednaki nuli u isto vrijeme, ali jedan ili dva od ovih brojeva mogu biti jednaki nuli. U ovom slučaju, u jednačini linije, odgovarajući brojioci treba da budu jednaki nuli.

Jednačina prave linije u prolazu kroz prostor

kroz dve tačke.

Ako na pravoj liniji u prostoru označimo dvije proizvoljne tačke M 1 (x 1, y 1, z 1) i M 2 (x 2, y 2, z 2), tada koordinate ovih tačaka moraju zadovoljiti jednačinu prave dobijeno gore:

.

Osim toga, za tačku M 1 možemo napisati:

.

Zajedno rješavajući ove jednačine dobijamo:

.

Ovo je jednadžba prave koja prolazi kroz dvije tačke u prostoru.

Opšte jednačine prave u prostoru.

Jednačina prave linije se može posmatrati kao jednačina linije preseka dve ravni.

Kao što je gore objašnjeno, ravan u vektorskom obliku može se specificirati jednadžbom:

+ D = 0, gdje je

- normalna ravan; - radijus je vektor proizvoljne tačke na ravni.

Ovaj članak otkriva izvođenje jednadžbe prave linije koja prolazi kroz dvije date tačke u pravokutnom koordinatnom sistemu koji se nalazi na ravni. Izvedemo jednačinu prave linije koja prolazi kroz dvije date tačke u pravougaonom koordinatnom sistemu. Jasno ćemo prikazati i riješiti nekoliko primjera vezanih za obrađeni materijal.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Prije dobijanja jednačine prave koja prolazi kroz dvije date tačke, potrebno je obratiti pažnju na neke činjenice. Postoji aksiom koji kaže da je kroz dvije divergentne tačke na ravni moguće povući pravu liniju i samo jednu. Drugim rečima, dve date tačke na ravni su definisane pravom linijom koja prolazi kroz ove tačke.

Ako je ravan definirana pravokutnim koordinatnim sistemom Oxy, tada će svaka ravna linija prikazana u njoj odgovarati jednačini ravne linije na ravni. Postoji i veza sa usmjeravajućim vektorom prave linije.Ovaj podatak je dovoljan da se sastavi jednačina prave koja prolazi kroz dvije date tačke.

Pogledajmo primjer rješavanja sličnog problema. Potrebno je napraviti jednačinu za pravu liniju a koja prolazi kroz dvije divergentne tačke M 1 (x 1, y 1) i M 2 (x 2, y 2), koje se nalaze u Dekartovom koordinatnom sistemu.

U kanonskoj jednadžbi prave na ravni, koja ima oblik x - x 1 a x = y - y 1 a y, pravougaoni koordinatni sistem O x y je specificiran sa pravom koja se sa njom seče u tački sa koordinatama M 1 (x 1, y 1) sa vodećim vektorom a → = (a x , a y) .

Potrebno je napraviti kanonsku jednačinu prave a, koja će prolaziti kroz dvije tačke sa koordinatama M 1 (x 1, y 1) i M 2 (x 2, y 2).

Prava a ima vektor pravca M 1 M 2 → sa koordinatama (x 2 - x 1, y 2 - y 1), pošto seče tačke M 1 i M 2. Dobili smo potrebne podatke za transformaciju kanonske jednadžbe sa koordinatama vektora pravca M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) i koordinatama tačaka M 1 koje leže na njima (x 1, y 1) i M 2 (x 2 , y 2) . Dobijamo jednačinu oblika x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 ili x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1.

Razmotrite sliku ispod.

Nakon proračuna, pišemo parametarske jednačine prava na ravni koja prolazi kroz dvije tačke sa koordinatama M 1 (x 1, y 1) i M 2 (x 2, y 2). Dobijamo jednačinu oblika x = x 1 + (x 2 - x 1) · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ ili x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ .

Pogledajmo pobliže rješavanje nekoliko primjera.

Primjer 1

Zapišite jednačinu prave koja prolazi kroz 2 date tačke sa koordinatama M 1 - 5, 2 3, M 2 1, - 1 6.

Rješenje

Kanonska jednadžba za pravu koja se siječe u dvije tačke sa koordinatama x 1, y 1 i x 2, y 2 ima oblik x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. Prema uslovima zadatka, imamo da je x 1 = - 5, y 1 = 2 3, x 2 = 1, y 2 = - 1 6. Neophodna je zamena numeričke vrijednosti u jednačinu x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. Odavde dobijamo da kanonska jednadžba ima oblik x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

Odgovor: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

Ako trebate riješiti problem s drugom vrstom jednadžbe, onda prvo možete prijeći na kanonsku, jer je lakše doći od nje do bilo koje druge.

Primjer 2

Sastaviti opštu jednačinu prave koja prolazi kroz tačke sa koordinatama M 1 (1, 1) i M 2 (4, 2) u O x y koordinatnom sistemu.

Rješenje

Prvo, trebate zapisati kanonsku jednačinu date prave koja prolazi kroz date dvije tačke. Dobijamo jednačinu oblika x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .

Dovedemo kanonsku jednačinu u željeni oblik, tada ćemo dobiti:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

odgovor: x - 3 y + 2 = 0 .

O primjerima takvih zadataka govorilo se u školskim udžbenicima tokom časova algebre. Školski problemi su se razlikovali po tome što je poznata jednačina prave linije sa ugaonim koeficijentom, koja ima oblik y = k x + b. Ako trebate pronaći vrijednost nagiba k i broja b za koji jednačina y = k x + b definira pravu u sistemu O x y koja prolazi kroz tačke M 1 (x 1, y 1) i M 2 ( x 2, y 2) , gdje je x 1 ≠ x 2. Kada je x 1 = x 2 , tada ugaoni koeficijent poprima vrijednost beskonačnosti, a prava linija M 1 M 2 definirana je općom nepotpunom jednačinom oblika x - x 1 = 0 .

Jer bodovi M 1 I M 2 nalaze se na pravoj liniji, tada njihove koordinate zadovoljavaju jednačinu y 1 = k x 1 + b i y 2 = k x 2 + b. Potrebno je riješiti sistem jednačina y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b za k i b.

Da bismo to učinili, nalazimo k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 ili k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .

Sa ovim vrijednostima k i b, jednačina prave koja prolazi kroz date dvije tačke postaje y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 ili y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Zapamtite ovo odmah velika količina formule neće raditi. Da biste to učinili, potrebno je povećati broj ponavljanja u rješavanju problema.

Primjer 3

Zapišite jednačinu prave linije sa ugaonim koeficijentom koja prolazi kroz tačke sa koordinatama M 2 (2, 1) i y = k x + b.

Rješenje

Za rješavanje problema koristimo formulu sa ugaonim koeficijentom oblika y = k x + b. Koeficijenti k i b moraju imati takvu vrijednost da ova jednačina odgovara pravoj liniji koja prolazi kroz dvije tačke sa koordinatama M 1 (- 7, - 5) i M 2 (2, 1).

Poeni M 1 I M 2 nalaze se na pravoj liniji, onda njihove koordinate moraju činiti jednačinu y = k x + b istinitom jednakošću. Iz ovoga dobijamo da je - 5 = k · (- 7) + b i 1 = k · 2 + b. Kombinirajmo jednačinu u sistem - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b i riješimo.

Nakon zamjene to dobijamo

5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Sada se vrijednosti k = 2 3 i b = - 1 3 zamjenjuju u jednadžbu y = k x + b. Nalazimo da će tražena jednačina koja prolazi kroz date tačke biti jednačina oblika y = 2 3 x - 1 3 .

Ova metoda rješenja unaprijed određuje potrošnju velika količina vrijeme. Postoji način na koji se zadatak rješava u bukvalno dva koraka.

Napišimo kanonsku jednačinu prave koja prolazi kroz M 2 (2, 1) i M 1 (- 7, - 5), koja ima oblik x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5 ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Sada pređimo na jednadžbu nagiba. Dobijamo da je: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 · (x + 7) = 9 · (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3.

Odgovor: y = 2 3 x - 1 3 .

Ako u trodimenzionalnom prostoru postoji pravougaoni koordinatni sistem O x y z sa dve date nepodudarne tačke sa koordinatama M 1 (x 1, y 1, z 1) i M 2 (x 2, y 2, z 2), prava M koja prolazi kroz njih 1 M 2 , potrebno je dobiti jednačinu ove prave.

Imamo te kanonske jednadžbe oblika x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z i parametarske jednačine oblika x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ mogu definirati pravu u koordinatnom sistemu O x y z, koja prolazi kroz tačke koje imaju koordinate (x 1, y 1, z 1) sa vektorom smjera a → = (a x, a y, a z).

Ravno M 1 M 2 ima vektor smjera oblika M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1), gdje prava prolazi kroz tačku M 1 (x 1, y 1, z 1) i M 2 (x 2 , y 2 , z 2), stoga kanonska jednadžba može biti oblika x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 ili x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1, zauzvrat parametarski x = x 1 + (x 2 - x 1 ) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ ili x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ z = z 2 + (z 2 - z 1) · λ .

Razmotrite crtež koji prikazuje 2 date tačke u prostoru i jednačinu prave linije.

Primjer 4

Napišite jednačinu prave definisane u pravougaonom koordinatnom sistemu O x y z trodimenzionalnog prostora, prolazeći kroz date dve tačke sa koordinatama M 1 (2, - 3, 0) i M 2 (1, - 3, - 5).

Rješenje

Potrebno je pronaći kanonsku jednačinu. Jer mi pričamo o tome o trodimenzionalnom prostoru, što znači da kada prava prolazi kroz date tačke, željena kanonska jednačina će imati oblik x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .

Po uslovu imamo da je x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. Iz toga slijedi da će se potrebne jednačine napisati na sljedeći način:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Odgovor: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Jednačina prave koja prolazi kroz datu tačku u datom pravcu. Jednačina prave koja prolazi kroz dvije date tačke. Ugao između dvije prave linije. Uslov paralelnosti i okomitosti dvije prave. Određivanje tačke preseka dve prave

1. Jednačina prave koja prolazi kroz datu tačku A(x 1 , y 1) u datom pravcu, određenom nagibom k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Ova jednačina definira olovku linija koje prolaze kroz tačku A(x 1 , y 1), koji se naziva centar snopa.

2. Jednačina prave koja prolazi kroz dvije tačke: A(x 1 , y 1) i B(x 2 , y 2), napisano ovako:

Ugaoni koeficijent prave linije koja prolazi kroz dvije date tačke određuje se formulom

3. Ugao između pravih linija A I B je ugao za koji se prva prava linija mora rotirati A oko tačke preseka ovih linija u smeru suprotnom od kazaljke na satu dok se ne poklopi sa drugom linijom B. Ako su dvije prave date jednadžbama sa nagibom

y = k 1 x + B 1 ,

Kanonske jednadžbe prave u prostoru su jednadžbe koje definiraju pravu koja prolazi kroz datu tačku kolinearnu vektoru smjera.

Neka su data tačka i vektor pravca. Proizvoljna tačka leži na pravoj l samo ako su vektori i kolinearni, tj. za njih je ispunjen uslov:

.

Gore navedene jednačine su kanonske jednačine prave.

Brojevi m , n I str su projekcije vektora smjera na koordinatne ose. Pošto vektor nije nula, onda su svi brojevi m , n I str ne može istovremeno biti jednako nuli. Ali jedan ili dva od njih mogu se pokazati kao nula. U analitičkoj geometriji, na primjer, dozvoljen je sljedeći unos:

,

što znači da su projekcije vektora na os Oy I Oz jednake su nuli. Stoga su i vektor i prava linija definirani kanonskim jednadžbama okomiti na osi Oy I Oz, odnosno avioni yOz .

Primjer 1. Napišite jednadžbe za pravu u prostoru okomitu na ravan i prolazi kroz tačku preseka ove ravni sa osom Oz .

Rješenje. Nađimo tačku preseka ove ravni sa osom Oz. Od bilo koje tačke koja leži na osi Oz, ima koordinate , dakle, pod pretpostavkom u datoj jednačini ravnine x = y = 0, dobijamo 4 z- 8 = 0 ili z= 2 . Dakle, tačka preseka ove ravni sa osom Oz ima koordinate (0; 0; 2) . Pošto je željena prava okomita na ravan, ona je paralelna sa svojim vektorom normale. Stoga, usmjeravajući vektor prave linije može biti vektor normale dati avion.

Zapišimo sada tražene jednačine prave linije koja prolazi kroz tačku A= (0; 0; 2) u smjeru vektora:

Jednačine prave koja prolazi kroz dvije date tačke

Prava linija se može definisati sa dve tačke koje leže na njoj I U ovom slučaju, usmjeravajući vektor prave linije može biti vektor . Tada kanonske jednadžbe prave dobijaju oblik

.

Gornje jednačine određuju pravu koja prolazi kroz dvije date tačke.

Primjer 2. Napišite jednadžbu za liniju u prostoru koja prolazi kroz točke i .

Rješenje. Zapišimo tražene jednačine prave u gore datom obliku u teorijskoj referenci:

.

Budući da je , tada je željena ravna linija okomita na os Oy .

Prava kao linija preseka ravnina

Prava linija u prostoru se može definisati kao linija preseka dve neparalelne ravni, odnosno kao skup tačaka koje zadovoljavaju sistem dve linearne jednačine

Jednačine sistema se nazivaju i opšte jednačine prave u prostoru.

Primjer 3. Sastaviti kanonske jednadžbe prave u prostoru date općim jednačinama

Rješenje. Da biste napisali kanonske jednadžbe prave ili, što je isto, jednačine prave koja prolazi kroz dvije date tačke, potrebno je pronaći koordinate bilo koje dvije tačke na pravoj. One mogu biti tačke preseka prave linije sa bilo koje dve koordinatne ravni, na primer yOz I xOz .

Tačka preseka prave i ravni yOz ima apscisu x= 0 . Stoga, pretpostavljajući u ovom sistemu jednačina x= 0, dobijamo sistem sa dve varijable:

Njena odluka y = 2 , z= 6 zajedno sa x= 0 definira tačku A(0; 2; 6) željeni red. Zatim uz pretpostavku u datom sistemu jednačina y= 0, dobijamo sistem

Njena odluka x = -2 , z= 0 zajedno sa y= 0 definira tačku B(-2; 0; 0) presek prave sa ravninom xOz .

Zapišimo sada jednačine prave koja prolazi kroz tačke A(0; 2; 6) i B (-2; 0; 0) :

,

ili nakon dijeljenja nazivnika sa -2:

,