সিস্টেম মি রৈখিক সমীকরণঅজানাদের সাথেফর্মের একটি সিস্টেম বলা হয়
কোথায় aijএবং b i (i=1,…,মি; খ=1,…,n) কিছু পরিচিত সংখ্যা, এবং x 1,…,x n- অজানা সহগগুলির স্বরলিপিতে aijপ্রথম সূচক iসমীকরণের সংখ্যা এবং দ্বিতীয়টি বোঝায় jঅজানা সংখ্যা যেখানে এই সহগ দাঁড়িয়েছে।
অজানা জন্য সহগ একটি ম্যাট্রিক্স আকারে লেখা হবে 
, যা আমরা কল করব সিস্টেম ম্যাট্রিক্স.
সমীকরণের ডান পাশের সংখ্যা খ 1, …, খ মিডাকা বিনামূল্যে সদস্য।
সমষ্টি nসংখ্যা গ 1,…,গ এনডাকা সিদ্ধান্তএই সিস্টেমের, যদি সিস্টেমের প্রতিটি সমীকরণ এতে সংখ্যা প্রতিস্থাপন করার পরে একটি সমতা হয়ে যায় গ 1,…,গ এনপরিবর্তে সংশ্লিষ্ট অজানা x 1,…,x n.
আমাদের কাজ হবে সিস্টেমের সমাধান খুঁজে বের করা। এই ক্ষেত্রে, তিনটি পরিস্থিতি দেখা দিতে পারে:
রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম যার অন্তত একটি সমাধান আছে বলা হয় যৌথ. অন্যথায়, i.e. যদি সিস্টেমের কোন সমাধান না থাকে তবে এটি বলা হয় বেমানান.
সিস্টেমের সমাধান খুঁজে বের করার উপায় বিবেচনা করুন.
লিনিয়ার সমীকরণের সিস্টেমগুলি সমাধানের জন্য ম্যাট্রিক্স পদ্ধতি
ম্যাট্রিক্স রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেমকে সংক্ষিপ্তভাবে লেখা সম্ভব করে। তিনটি অজানা সহ 3টি সমীকরণের একটি সিস্টেম দেওয়া যাক:
সিস্টেমের ম্যাট্রিক্স বিবেচনা করুন 
এবং অজানা এবং বিনামূল্যে সদস্যদের ম্যাট্রিক্স কলাম 
আসুন পণ্যটি খুঁজে বের করি
সেগুলো. পণ্যের ফলস্বরূপ, আমরা এই সিস্টেমের সমীকরণের বাম দিকের দিকগুলি পাই। তারপর ম্যাট্রিক্স সমতার সংজ্ঞা ব্যবহার করে এই সিস্টেমফর্মে লেখা যাবে
বা খাটো ক∙X=B.
এখানে ম্যাট্রিক্স কএবং খপরিচিত হয়, এবং ম্যাট্রিক্স এক্সঅজানা তাকে খুঁজে পাওয়া দরকার, কারণ. এর উপাদানগুলি এই সিস্টেমের সমাধান। এই সমীকরণ বলা হয় ম্যাট্রিক্স সমীকরণ.
ম্যাট্রিক্স নির্ধারককে শূন্য থেকে ভিন্ন হতে দিন | ক| ≠ 0. তারপর ম্যাট্রিক্স সমীকরণটি নিম্নরূপ সমাধান করা হয়। ম্যাট্রিক্স দ্বারা বাম দিকের সমীকরণের উভয় পাশে গুণ করুন ক-১, ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ক: যতটুকু A -1 A = Eএবং ই∙X=X, তারপর আমরা আকারে ম্যাট্রিক্স সমীকরণের সমাধান পাই X = A -1 B .
মনে রাখবেন যেহেতু বিপরীত ম্যাট্রিক্স শুধুমাত্র বর্গ ম্যাট্রিক্সের জন্য পাওয়া যাবে, তাহলে ম্যাট্রিক্স পদ্ধতিশুধুমাত্র সেই সিস্টেমগুলি সমাধান করা যেতে পারে যার মধ্যে সমীকরণের সংখ্যা অজানা সংখ্যার সমান. যাইহোক, সিস্টেমের ম্যাট্রিক্স নোটেশন সেই ক্ষেত্রেও সম্ভব যখন সমীকরণের সংখ্যা অজানা সংখ্যার সমান নয়, তখন ম্যাট্রিক্স কবর্গক্ষেত্র নয় এবং তাই ফর্মে সিস্টেমের সমাধান খুঁজে পাওয়া অসম্ভব X = A -1 B.
উদাহরণ।সমীকরণের সিস্টেমগুলি সমাধান করুন।
ক্র্যামারের নিয়ম
তিনটি অজানা সহ 3টি রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম বিবেচনা করুন:
সিস্টেমের ম্যাট্রিক্সের সাথে সম্পর্কিত তৃতীয়-ক্রম নির্ধারক, যেমন অজানাতে সহগ দ্বারা গঠিত,
ডাকা সিস্টেম নির্ধারক.
আমরা নিম্নরূপ আরও তিনটি নির্ধারক রচনা করি: আমরা নির্ধারক D-এ ক্রমাগত 1, 2 এবং 3 কলামগুলিকে মুক্ত পদের একটি কলাম দিয়ে প্রতিস্থাপন করি
তারপর আমরা নিম্নলিখিত ফলাফল প্রমাণ করতে পারেন.
উপপাদ্য (ক্রেমারের নিয়ম)।যদি সিস্টেমের নির্ধারক Δ ≠ 0 হয়, তবে বিবেচনাধীন সিস্টেমটির একটি এবং একমাত্র সমাধান রয়েছে এবং
প্রমাণ. সুতরাং, তিনটি অজানা সহ 3টি সমীকরণের একটি সিস্টেম বিবেচনা করুন। বীজগণিতের পরিপূরক দ্বারা সিস্টেমের 1ম সমীকরণকে গুণ করুন ক 11উপাদান একটি 11, 2য় সমীকরণ - চালু A21এবং 3য় - অন ক 31:
এই সমীকরণ যোগ করা যাক:
এই সমীকরণের প্রতিটি বন্ধনী এবং ডান দিক বিবেচনা করুন। 1ম কলামের উপাদানগুলির পরিপ্রেক্ষিতে নির্ধারকের সম্প্রসারণের উপর উপপাদ্য দ্বারা
একইভাবে, এটি দেখানো যেতে পারে যে এবং .
অবশেষে, এটি দেখতে সহজ 
এইভাবে, আমরা সমতা পেতে: .
তাই, .
সমতা এবং একইভাবে উদ্ভূত হয়, যেখান থেকে উপপাদ্যের দাবি অনুসরণ করা হয়।
এইভাবে, আমরা লক্ষ্য করি যে যদি সিস্টেমের নির্ধারক Δ ≠ 0 হয়, তবে সিস্টেমটির একটি অনন্য সমাধান রয়েছে এবং এর বিপরীতে। যদি সিস্টেমের নির্ধারক শূন্যের সমান হয়, তাহলে সিস্টেমের হয় অসীম সমাধানের সেট আছে বা এর কোনো সমাধান নেই, যেমন বেমানান
উদাহরণ।সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধান করুন
গাউস পদ্ধতি
পূর্বে বিবেচনা করা পদ্ধতিগুলি কেবলমাত্র সেই সিস্টেমগুলি সমাধান করতে ব্যবহার করা যেতে পারে যেখানে সমীকরণের সংখ্যা অজানা সংখ্যার সাথে মিলে যায় এবং সিস্টেমের নির্ধারক অবশ্যই শূন্য থেকে আলাদা হতে হবে। গাউসিয়ান পদ্ধতিটি আরও সর্বজনীন এবং যেকোন সংখ্যক সমীকরণ সহ সিস্টেমের জন্য উপযুক্ত। এটি সিস্টেমের সমীকরণ থেকে অজানাগুলির ক্রমাগত নির্মূলে গঠিত।
তিনটি অজানা সহ তিনটি সমীকরণের একটি সিস্টেম আবার বিবেচনা করুন:
.
আমরা প্রথম সমীকরণটি অপরিবর্তিত রেখেছি এবং 2য় এবং 3য় থেকে আমরা শর্তাবলী বাদ দিয়েছি x 1. এটি করার জন্য, আমরা দ্বিতীয় সমীকরণটি দ্বারা ভাগ করি ক 21 এবং দ্বারা গুণ করুন - ক 11 এবং তারপর 1ম সমীকরণের সাথে যোগ করুন। একইভাবে, আমরা তৃতীয় সমীকরণকে ভাগ করি ক 31 এবং দ্বারা গুণ করুন - ক 11 এবং তারপর এটি প্রথম এক যোগ করুন. ফলস্বরূপ, মূল সিস্টেমটি রূপ নেবে:
এখন, শেষ সমীকরণ থেকে, আমরা সম্বলিত শব্দটি মুছে ফেলি x2. এটি করার জন্য, তৃতীয় সমীকরণটিকে , দ্বারা গুন করুন এবং দ্বিতীয়টিতে যোগ করুন। তারপরে আমাদের সমীকরণের একটি সিস্টেম থাকবে:
তাই শেষ সমীকরণ থেকে এটি খুঁজে পাওয়া সহজ x 3, তারপর ২য় সমীকরণ থেকে x2এবং অবশেষে 1 ম থেকে - x 1.
গাউসিয়ান পদ্ধতি ব্যবহার করার সময়, প্রয়োজনে সমীকরণগুলি পরিবর্তন করা যেতে পারে।
প্রায়ই লেখার পরিবর্তে নতুন সিস্টেমসমীকরণগুলি সিস্টেমের বর্ধিত ম্যাট্রিক্স লেখার মধ্যে সীমাবদ্ধ:
এবং তারপর প্রাথমিক রূপান্তর ব্যবহার করে এটিকে একটি ত্রিভুজাকার বা তির্যক আকারে আনুন।
প্রতি প্রাথমিক রূপান্তরম্যাট্রিক্সে নিম্নলিখিত রূপান্তরগুলি অন্তর্ভুক্ত রয়েছে:
- সারি বা কলামের স্থানান্তর;
- একটি স্ট্রিংকে একটি অ-শূন্য সংখ্যা দ্বারা গুণ করা;
- এক লাইনে অন্য লাইন যোগ করা হচ্ছে।
উদাহরণ:গাউস পদ্ধতি ব্যবহার করে সমীকরণের সিস্টেমগুলি সমাধান করুন।
এইভাবে, সিস্টেমে অসীম সংখ্যক সমাধান রয়েছে।
সাধারণভাবে সমীকরণ, রৈখিক বীজগণিত সমীকরণ এবং তাদের সিস্টেম, সেইসাথে তাদের সমাধানের পদ্ধতিগুলি, তাত্ত্বিক এবং প্রয়োগ উভয় ক্ষেত্রেই গণিতে একটি বিশেষ স্থান দখল করে।
এটি এই কারণে যে বেশিরভাগ শারীরিক, অর্থনৈতিক, প্রযুক্তিগত এবং এমনকি শিক্ষাগত সমস্যাগুলি বিভিন্ন সমীকরণ এবং তাদের সিস্টেমগুলি ব্যবহার করে বর্ণনা এবং সমাধান করা যেতে পারে। সম্প্রতি, গাণিতিক মডেলিং প্রায় সমস্ত বিষয়ের ক্ষেত্রে গবেষক, বিজ্ঞানী এবং অনুশীলনকারীদের মধ্যে বিশেষ জনপ্রিয়তা অর্জন করেছে, যা বিভিন্ন প্রকৃতির বস্তুর অধ্যয়নের জন্য অন্যান্য সুপরিচিত এবং প্রমাণিত পদ্ধতির তুলনায় এর সুস্পষ্ট সুবিধার দ্বারা ব্যাখ্যা করা হয়েছে, বিশেষ করে, তথাকথিত জটিল সিস্টেম. বিজ্ঞানীদের দ্বারা প্রদত্ত একটি গাণিতিক মডেলের বিভিন্ন সংজ্ঞার একটি বিশাল বৈচিত্র্য রয়েছে বিভিন্ন বার, কিন্তু আমাদের মতে, সবচেয়ে সফল নিম্নলিখিত বিবৃতি. গানিতিক প্রতিমাণএকটি সমীকরণ দ্বারা প্রকাশ একটি ধারণা. সুতরাং, সমীকরণ এবং তাদের সিস্টেমগুলি রচনা এবং সমাধান করার ক্ষমতা আধুনিক বিশেষজ্ঞের একটি অবিচ্ছেদ্য বৈশিষ্ট্য।
রৈখিক বীজগণিত সমীকরণের সিস্টেমগুলি সমাধান করার জন্য, সর্বাধিক ব্যবহৃত পদ্ধতিগুলি হল: ক্রেমার, জর্ডান-গাউস এবং ম্যাট্রিক্স পদ্ধতি।
ম্যাট্রিক্স সমাধান পদ্ধতি - একটি বিপরীত ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করে অ-শূন্য নির্ধারক সহ রৈখিক বীজগণিতীয় সমীকরণের সিস্টেমগুলি সমাধান করার একটি পদ্ধতি।
যদি আমরা ম্যাট্রিক্স A-তে অজানা মানের সহগগুলি লিখি, X ভেক্টর কলামে অজানা মানগুলি সংগ্রহ করি এবং কলাম B ভেক্টরে মুক্ত পদগুলি সংগ্রহ করি, তাহলে রৈখিক বীজগণিত সমীকরণের সিস্টেমটি লেখা যেতে পারে। নিম্নলিখিত ম্যাট্রিক্স সমীকরণ হিসাবে A X = B, যার একটি অনন্য সমাধান থাকে শুধুমাত্র যখন ম্যাট্রিক্স A-এর নির্ধারক শূন্যের সমান না হয়। এক্ষেত্রে সমীকরণ পদ্ধতির সমাধান পাওয়া যাবে নিম্নলিখিত উপায়ে এক্স = ক-এক · খ, কোথায় ক-1 - বিপরীত ম্যাট্রিক্স।
ম্যাট্রিক্স সমাধান পদ্ধতি নিম্নরূপ।
রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম দেওয়া যাক nঅজানা:
এটি ম্যাট্রিক্স আকারে পুনরায় লেখা যেতে পারে: AX = খ, কোথায় ক- সিস্টেমের প্রধান ম্যাট্রিক্স, খএবং এক্স- মুক্ত সদস্যদের কলাম এবং সিস্টেমের সমাধান যথাক্রমে:
বাম দিকের এই ম্যাট্রিক্স সমীকরণটি দ্বারা গুণ করুন ক-1 - ম্যাট্রিক্স ইনভার্স থেকে ম্যাট্রিক্স ক: ক -1 (AX) = ক -1 খ
হিসাবে ক -1 ক = ই, আমরা পেতে এক্স= ক -1 খ. এই সমীকরণের ডানদিকে মূল সিস্টেমের সমাধানগুলির একটি কলাম দেবে। প্রযোজ্য শর্ত এই পদ্ধতি(পাশাপাশি সাধারণভাবে অজানা সংখ্যার সমান সমীকরণের সংখ্যা সহ রৈখিক সমীকরণের একটি অসংলগ্ন সিস্টেমের সমাধানের অস্তিত্ব) ম্যাট্রিক্সের ননডিজেনারেসি। ক. এর জন্য একটি প্রয়োজনীয় এবং পর্যাপ্ত শর্ত হল ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক ক: det ক≠ 0.
রৈখিক সমীকরণের একটি সমজাতীয় সিস্টেমের জন্য, অর্থাৎ, যখন ভেক্টর খ = 0 , সত্যিই বিপরীত নিয়ম: পদ্ধতি AX = 0 এর একটি অ-তুচ্ছ (অর্থাৎ, শূন্য নয়) সমাধান আছে শুধুমাত্র যদি det ক= 0. রৈখিক সমীকরণের সমজাতীয় এবং একজাতীয় সিস্টেমের সমাধানগুলির মধ্যে এই ধরনের সংযোগকে ফ্রেডহোম বিকল্প বলা হয়।
উদাহরণ রৈখিক বীজগাণিতিক সমীকরণের একটি অসঙ্গতিপূর্ণ সিস্টেমের সমাধান.
আসুন আমরা নিশ্চিত করি যে রৈখিক বীজগণিত সমীকরণের সিস্টেমের অজানা সহগগুলির সমন্বয়ে গঠিত ম্যাট্রিক্সের নির্ধারকটি শূন্যের সমান নয়।
পরবর্তী ধাপ হল ম্যাট্রিক্সের উপাদানগুলির জন্য বীজগণিতের পরিপূরকগুলি গণনা করা, যা অজানাগুলির সহগ নিয়ে গঠিত। বিপরীত ম্যাট্রিক্স খুঁজে পেতে তাদের প্রয়োজন হবে।
nম ক্রমটির একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স থাকুক
ম্যাট্রিক্স A-1 বলা হয় বিপরীত ম্যাট্রিক্সম্যাট্রিক্স A এর ক্ষেত্রে, যদি A * A -1 = E হয়, যেখানে E হল nম ক্রমটির পরিচয় ম্যাট্রিক্স।
পরিচয় ম্যাট্রিক্স- এই ধরনের একটি বর্গাকার ম্যাট্রিক্স, যাতে প্রধান তির্যক বরাবর সমস্ত উপাদান, উপরের বাম কোণ থেকে নীচের ডান কোণে চলে যায়, এবং বাকিগুলি শূন্য, উদাহরণস্বরূপ:
বিপরীত ম্যাট্রিক্স বিদ্যমান থাকতে পারে শুধুমাত্র বর্গ ম্যাট্রিক্সের জন্যসেগুলো. সারি এবং কলাম একই সংখ্যক ম্যাট্রিক্সের জন্য।
ইনভার্স ম্যাট্রিক্স এক্সিস্টেন্স কন্ডিশন থিওরেম
একটি ম্যাট্রিক্সের একটি বিপরীত ম্যাট্রিক্স থাকার জন্য, এটি ননডিজেনারেট হওয়া আবশ্যক এবং যথেষ্ট।
ম্যাট্রিক্স A = (A1, A2,...A n) বলা হয় অধঃপতিতযদি কলাম ভেক্টর রৈখিকভাবে স্বাধীন হয়। একটি ম্যাট্রিক্সের রৈখিকভাবে স্বাধীন কলাম ভেক্টরের সংখ্যাকে ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক বলা হয়। অতএব, আমরা বলতে পারি যে একটি বিপরীত ম্যাট্রিক্সের অস্তিত্বের জন্য, এটি প্রয়োজনীয় এবং যথেষ্ট যে ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক তার মাত্রার সমান, যেমন r = n.
বিপরীত ম্যাট্রিক্স খোঁজার জন্য অ্যালগরিদম
- গাউস পদ্ধতিতে সমীকরণের সিস্টেমগুলি সমাধানের জন্য টেবিলে ম্যাট্রিক্স A লিখুন এবং ডানদিকে (সমীকরণের ডান অংশের জায়গায়) এটিতে ম্যাট্রিক্স E নির্ধারণ করুন।
- জর্ডান রূপান্তর ব্যবহার করে, একক কলাম সমন্বিত একটি ম্যাট্রিক্স এ ম্যাট্রিক্স এ আনুন; এই ক্ষেত্রে, একই সাথে ম্যাট্রিক্স E রূপান্তর করা প্রয়োজন।
- যদি প্রয়োজন হয়, শেষ টেবিলের সারি (সমীকরণ) পুনর্বিন্যাস করুন যাতে পরিচয় ম্যাট্রিক্স E মূল টেবিলের ম্যাট্রিক্স A-এর অধীনে পাওয়া যায়।
- বিপরীত ম্যাট্রিক্স A -1 লিখুন, যা মূল টেবিলের ম্যাট্রিক্স E এর অধীনে শেষ টেবিলে রয়েছে।
ম্যাট্রিক্স A-এর জন্য, বিপরীত ম্যাট্রিক্স A -1 খুঁজুন
সমাধান: আমরা ম্যাট্রিক্স A লিখে রাখি এবং ডানদিকে আমরা পরিচয় ম্যাট্রিক্স E নির্ধারণ করি। জর্ডান রূপান্তর ব্যবহার করে, আমরা ম্যাট্রিক্স A-কে আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্স E-তে কমিয়ে দিই। গণনাগুলি সারণি 31.1 এ দেখানো হয়েছে।
আসল ম্যাট্রিক্স A এবং বিপরীত ম্যাট্রিক্স A -1 গুণ করে গণনার সঠিকতা পরীক্ষা করা যাক।
ম্যাট্রিক্স গুণনের ফলে, পরিচয় ম্যাট্রিক্স প্রাপ্ত হয়। অতএব, গণনা সঠিক।
উত্তর: 
ম্যাট্রিক্স সমীকরণের সমাধান
ম্যাট্রিক্স সমীকরণগুলি এর মতো দেখতে পারে:
AX = B, XA = B, AXB = C,
যেখানে A, B, C ম্যাট্রিক্স দেওয়া আছে, X হল কাঙ্খিত ম্যাট্রিক্স।
ম্যাট্রিক্স সমীকরণগুলি বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণকে গুণ করে সমাধান করা হয়।
উদাহরণস্বরূপ, একটি সমীকরণ থেকে ম্যাট্রিক্স খুঁজে পেতে, আপনাকে এই সমীকরণটিকে বাম দিকে দিয়ে গুণ করতে হবে।
অতএব, সমীকরণের সমাধান খুঁজতে, আপনাকে ইনভার্স ম্যাট্রিক্স খুঁজে বের করতে হবে এবং সমীকরণের ডান পাশের ম্যাট্রিক্স দিয়ে গুণ করতে হবে।
অন্যান্য সমীকরণ একইভাবে সমাধান করা হয়।
AX = B যদি সমীকরণটি সমাধান করুন 
সিদ্ধান্ত: যেহেতু ম্যাট্রিক্সের বিপরীত সমান (উদাহরণ 1 দেখুন)
অর্থনৈতিক বিশ্লেষণে ম্যাট্রিক্স পদ্ধতি
অন্যদের সাথে, তারাও আবেদন খুঁজে পায় ম্যাট্রিক্স পদ্ধতি. এই পদ্ধতিগুলি রৈখিক এবং ভেক্টর-ম্যাট্রিক্স বীজগণিতের উপর ভিত্তি করে। এই জাতীয় পদ্ধতিগুলি জটিল এবং বহুমাত্রিক বিশ্লেষণের উদ্দেশ্যে ব্যবহৃত হয় অর্থনৈতিক ঘটনা. প্রায়শই, এই পদ্ধতিগুলি ব্যবহার করা হয় যখন সংস্থাগুলির কার্যকারিতা এবং তাদের কাঠামোগত বিভাগগুলির তুলনা করার প্রয়োজন হয়।
বিশ্লেষণের ম্যাট্রিক্স পদ্ধতি প্রয়োগের প্রক্রিয়ায়, বিভিন্ন পর্যায়ে পার্থক্য করা যেতে পারে।
প্রথম পর্যায়েঅর্থনৈতিক সূচকগুলির একটি সিস্টেম গঠন করা হয় এবং এর ভিত্তিতে প্রাথমিক ডেটার একটি ম্যাট্রিক্স সংকলন করা হয়, যা একটি টেবিল যেখানে সিস্টেম নম্বরগুলি তার পৃথক লাইনে দেখানো হয় (i = 1,2,....,n), এবং উল্লম্ব গ্রাফ বরাবর - সূচকের সংখ্যা (j = 1,2, ....,m).
দ্বিতীয় পর্যায়েপ্রতিটি উল্লম্ব কলামের জন্য, সূচকগুলির উপলব্ধ মানগুলির মধ্যে বৃহত্তমটি প্রকাশিত হয়, যা একটি ইউনিট হিসাবে নেওয়া হয়।
এর পরে, এই কলামে প্রতিফলিত সমস্ত পরিমাণ দ্বারা ভাগ করা হয় সর্বোচ্চ মানএবং প্রমিত সহগগুলির একটি ম্যাট্রিক্স গঠিত হয়।
তৃতীয় পর্যায়েম্যাট্রিক্সের সমস্ত উপাদান বর্গাকার। যদি তাদের আলাদা তাত্পর্য থাকে, তবে ম্যাট্রিক্সের প্রতিটি সূচককে একটি নির্দিষ্ট ওজন সহগ বরাদ্দ করা হয় k. পরেরটির মান একজন বিশেষজ্ঞ দ্বারা নির্ধারিত হয়।
শেষের দিকে চতুর্থ পর্যায়রেটিং এর মান পাওয়া গেছে আরজেবৃদ্ধি বা হ্রাসের ক্রমে গোষ্ঠীবদ্ধ।
উপরের ম্যাট্রিক্স পদ্ধতিগুলি ব্যবহার করা উচিত, উদাহরণস্বরূপ, কখন তুলনামূলক বিশ্লেষণবিভিন্ন বিনিয়োগ প্রকল্প, সেইসাথে সংস্থার অন্যান্য অর্থনৈতিক কর্মক্ষমতা সূচক মূল্যায়ন.
(কখনও কখনও এই পদ্ধতিটিকে ম্যাট্রিক্স পদ্ধতি বা বিপরীত ম্যাট্রিক্স পদ্ধতিও বলা হয়) SLAE লেখার ম্যাট্রিক্স ফর্মের মতো একটি ধারণার সাথে পূর্ব পরিচিতি প্রয়োজন। ইনভার্স ম্যাট্রিক্স পদ্ধতিটি রৈখিক বীজগণিত সমীকরণের সেই সিস্টেমগুলি সমাধান করার উদ্দেশ্যে তৈরি করা হয়েছে যার জন্য সিস্টেম ম্যাট্রিক্স নির্ধারক অশূন্য। স্বাভাবিকভাবেই, এটি বোঝায় যে সিস্টেমের ম্যাট্রিক্সটি বর্গাকার (নির্ধারকের ধারণাটি শুধুমাত্র বর্গাকার ম্যাট্রিক্সের জন্য বিদ্যমান)। বিপরীত ম্যাট্রিক্স পদ্ধতির সারাংশ তিনটি পয়েন্টে প্রকাশ করা যেতে পারে:
- তিনটি ম্যাট্রিক্স লিখুন: সিস্টেম ম্যাট্রিক্স $A$, অজানা ম্যাট্রিক্স $X$, বিনামূল্যের ম্যাট্রিক্স $B$।
- ইনভার্স ম্যাট্রিক্স $A^(-1)$ খুঁজুন।
- সমতা $X=A^(-1)\cdot B$ ব্যবহার করে প্রদত্ত SLAE এর সমাধান পান।
যেকোনো SLAE ম্যাট্রিক্স আকারে $A\cdot X=B$ হিসাবে লেখা যেতে পারে, যেখানে $A$ হল সিস্টেমের ম্যাট্রিক্স, $B$ হল মুক্ত পদের ম্যাট্রিক্স, $X$ হল অজানাগুলির ম্যাট্রিক্স। ম্যাট্রিক্স $A^(-1)$ বিদ্যমান থাকুক। সমতা $A\cdot X=B$ এর উভয় দিককে বাম দিকের ম্যাট্রিক্স $A^(-1)$ দ্বারা গুণ করুন:
$$A^(-1)\cdot A\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$
যেহেতু $A^(-1)\cdot A=E$ ($E$ হল পরিচয় ম্যাট্রিক্স), তাহলে উপরে লেখা সমতা হয়ে যায়:
$$E\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$
যেহেতু $E\cdot X=X$, তারপর:
$$X=A^(-1)\cdot B.$$
উদাহরণ # 1
বিপরীত ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করে SLAE $ \left \( \begin(aligned) & -5x_1+7x_2=29;\\ & 9x_1+8x_2=-11. \end(aligned) \right.$ সমাধান করুন।
$$ A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right);\; B=\left(\begin(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\right);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)। $$
চলুন সিস্টেমের ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স খুঁজে বের করা যাক, যেমন $A^(-1)$ গণনা করুন। উদাহরণস্বরূপ # 2
$$ A^(-1)=-\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(array)\right) . $$
এখন আসুন তিনটি ম্যাট্রিক্স ($X$, $A^(-1)$, $B$) $X=A^(-1)\cdot B$ সমীকরণে প্রতিস্থাপন করি। তারপর আমরা ম্যাট্রিক্স গুণন সঞ্চালন
$$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 এবং -5\end(অ্যারে)\right)\cdot \left(\begin(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\right)=\\ =-\frac (1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 8\cdot 29+(-7)\cdot (-11)\\ -9\cdot 29+(-5)\cdot (- 11) \end(অ্যারে)\right)= -\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 309\\ -206 \end(array)\right)=\left( \begin(অ্যারে) (c) -3\\ 2\end(অ্যারে)\right)। $$
তাই আমরা পেয়েছি $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) -3\\ 2\end(array )\ ডান)$। এই সমতা থেকে আমাদের আছে: $x_1=-3$, $x_2=2$।
উত্তর: $x_1=-3$, $x_2=2$।
উদাহরণ #2
সমাধান করুন SLAE $ \left\(\begin(aligned) & x_1+7x_2+3x_3=-1;\\ & -4x_1+9x_2+4x_3=0;\\ & 3x_2+2x_3=6। \end(সারিবদ্ধ)\right .$ ইনভার্স ম্যাট্রিক্স পদ্ধতি দ্বারা।
আসুন সিস্টেমের ম্যাট্রিক্স $A$, মুক্ত পদের ম্যাট্রিক্স $B$ এবং অজানা $X$ এর ম্যাট্রিক্স লিখি।
$$ A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3\\ -4 & 9 & 4 \\0 & 3 & 2\end(array)\right);\; B=\left(\begin(array) (c) -1\\0\\6\end(array)\right);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \ end(array)\right)। $$
এখন সময় এসেছে সিস্টেম ম্যাট্রিক্সের ইনভার্স ম্যাট্রিক্স খুঁজে বের করার, যেমন $A^(-1)$ খুঁজুন। বিপরীত ম্যাট্রিক্স খোঁজার জন্য নিবেদিত পৃষ্ঠায় উদাহরণ #3, বিপরীত ম্যাট্রিক্স ইতিমধ্যেই পাওয়া গেছে। আসুন সমাপ্ত ফলাফলটি ব্যবহার করি এবং লিখি $A^(-1)$:
$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 এবং 37\শেষ(অ্যারে)\ডান)। $$
এখন আমরা তিনটি ম্যাট্রিক্স ($X$, $A^(-1)$, $B$) সমতায় প্রতিস্থাপিত করি $X=A^(-1)\cdot B$, তারপরে আমরা ডানদিকে ম্যাট্রিক্স গুণন করি এই সমতার দিক।
$$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)= frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (c) -1\\0\ \6\end(অ্যারে)\right)=\\ =\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 6\cdot(-1)+(-5)\cdot 0 +1\cdot 6 \\ 8\cdot (-1)+2\cdot 0+(-16)\cdot 6 \\ -12\cdot (-1)+(-3)\cdot 0+37\cdot 6 \end(অ্যারে)\right)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 0\\-104\\234\end(array)\right)=\left( \begin(অ্যারে) (c) 0\\-4\\9\end(অ্যারে)\right) $$
তাই আমরা পেয়েছি $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) 0\\-4\ \9 \end(অ্যারে)\right)$। এই সমতা থেকে আমাদের আছে: $x_1=0$, $x_2=-4$, $x_3=9$।