ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করার অপারেশনকে ডিফারেন্সিয়েশন বলা হয়।
যুক্তির বৃদ্ধির অনুপাতের সীমা হিসাবে ডেরিভেটিভকে সংজ্ঞায়িত করে সবচেয়ে সহজ (এবং খুব সাধারণ নয়) ফাংশনগুলির ডেরিভেটিভগুলি খুঁজে বের করার সমস্যাগুলি সমাধান করার ফলস্বরূপ, ডেরিভেটিভগুলির একটি টেবিল উপস্থিত হয়েছিল এবং ঠিক নির্দিষ্ট নিয়মপৃথকীকরণ। ডেরিভেটিভস খোঁজার ক্ষেত্রে প্রথম কাজ করেন আইজ্যাক নিউটন (1643-1727) এবং গটফ্রাইড উইলহেম লিবনিজ (1646-1716)।
অতএব, আমাদের সময়ে, যেকোন ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করার জন্য, আপনাকে ফাংশনের বৃদ্ধির সাথে আর্গুমেন্টের বৃদ্ধির অনুপাতের উপরে উল্লিখিত সীমা গণনা করতে হবে না, তবে আপনাকে শুধুমাত্র টেবিলটি ব্যবহার করতে হবে ডেরিভেটিভ এবং পার্থক্যের নিয়ম। নিম্নলিখিত অ্যালগরিদম ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করার জন্য উপযুক্ত।
ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করতে, আপনার প্রধান চিহ্নের অধীনে একটি অভিব্যক্তি প্রয়োজন সহজ ফাংশনগুলিকে কম্পোনেন্টে বিভক্ত করুনএবং কি কর্ম নির্ধারণ করুন (পণ্য, যোগফল, ভাগফল)এই ফাংশন সম্পর্কিত। আরও ডেরিভেটিভস প্রাথমিক ফাংশনআমরা ডেরিভেটিভের সারণীতে পাই, এবং পণ্যের ডেরিভেটিভের সূত্র, যোগফল এবং ভাগফল পার্থক্যের নিয়মে রয়েছে। প্রথম দুটি উদাহরণের পরে ডেরিভেটিভ টেবিল এবং পার্থক্যের নিয়ম দেওয়া হয়েছে।
উদাহরণ 1.একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন
সমাধান। পার্থক্যের নিয়মগুলি থেকে আমরা জানতে পারি যে ফাংশনের যোগফলের ডেরিভেটিভ হল ফাংশনের ডেরিভেটিভের যোগফল, যেমন
ডেরিভেটিভের টেবিল থেকে আমরা জানতে পারি যে "x" এর ডেরিভেটিভ একের সমান এবং সাইনের ডেরিভেটিভ কোসাইন এর সমান। আমরা এই মানগুলিকে ডেরিভেটিভের যোগফলের মধ্যে প্রতিস্থাপন করি এবং সমস্যার শর্ত অনুসারে প্রয়োজনীয় ডেরিভেটিভ খুঁজে পাই:
উদাহরণ 2।একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন
সমাধান। আমরা একটি সমষ্টির ডেরিভেটিভ হিসাবে পার্থক্য করি যেখানে দ্বিতীয় পদটির একটি ধ্রুবক গুণক থাকে এটি ডেরিভেটিভের চিহ্ন থেকে নেওয়া যেতে পারে:
কোন কিছু কোথা থেকে আসে সে সম্পর্কে যদি এখনও প্রশ্ন ওঠে, তবে সাধারণত ডেরিভেটিভের টেবিল এবং পার্থক্যের সহজতম নিয়মগুলির সাথে নিজেকে পরিচিত করার পরে সেগুলি পরিষ্কার করা হয়। আমরা এখনই তাদের দিকে এগিয়ে যাচ্ছি।
সাধারণ ফাংশনের ডেরিভেটিভের সারণী
| 1. একটি ধ্রুবক (সংখ্যা) এর ডেরিভেটিভ। যে কোনো সংখ্যা (1, 2, 5, 200...) যেটি ফাংশন এক্সপ্রেশনে আছে। সর্বদা শূন্যের সমান। এটি মনে রাখা খুবই গুরুত্বপূর্ণ, কারণ এটি প্রায়ই প্রয়োজন হয় | |
| 2. স্বাধীন চলকের ডেরিভেটিভ। প্রায়শই "এক্স"। সর্বদা একজনের সমান। এটি দীর্ঘ সময়ের জন্য মনে রাখাও গুরুত্বপূর্ণ | |
| 3. ডিগ্রির ডেরিভেটিভ। সমস্যা সমাধান করার সময়, আপনাকে অ-বর্গমূলকে শক্তিতে রূপান্তর করতে হবে। | |
| 4. একটি ভেরিয়েবল থেকে পাওয়ার -1 এর ডেরিভেটিভ | |
| 5. ডেরিভেটিভ বর্গমূল | |
| 6. সাইনের ডেরিভেটিভ | |
| 7. কোসাইন এর ডেরিভেটিভ |  |
| 8. স্পর্শক এর ডেরিভেটিভ |  |
| 9. কোট্যাঞ্জেন্টের ডেরিভেটিভ |  |
| 10. আর্কসিনের ডেরিভেটিভ |  |
| 11. আর্ক কোসাইন এর ডেরিভেটিভ |  |
| 12. arctangent এর ডেরিভেটিভ |  |
| 13. আর্ক কোট্যাঞ্জেন্টের ডেরিভেটিভ |  |
| 14. প্রাকৃতিক লগারিদমের ডেরিভেটিভ | |
| 15. লগারিদমিক ফাংশনের ডেরিভেটিভ |  |
| 16. সূচকের ডেরিভেটিভ | |
| 17. একটি সূচকীয় ফাংশনের ডেরিভেটিভ |
পার্থক্যের নিয়ম
| 1. একটি যোগফল বা পার্থক্যের ডেরিভেটিভ |  |
| 2. পণ্যের ডেরিভেটিভ |  |
| 2ক. একটি ধ্রুবক গুণনীয়ক দ্বারা গুণিত একটি অভিব্যক্তির ডেরিভেটিভ | |
| 3. ভাগফলের ডেরিভেটিভ |  |
| 4. একটি জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভ |  |
নিয়ম 1।যদি ফাংশন
কিছু সময়ে পার্থক্যযোগ্য, তারপর ফাংশন একই বিন্দুতে পার্থক্যযোগ্য
এবং
সেগুলো। ফাংশনগুলির একটি বীজগণিতীয় সমষ্টির ডেরিভেটিভ এই ফাংশনগুলির ডেরিভেটিভগুলির বীজগণিতীয় যোগফলের সমান।
পরিণতি। যদি দুটি পার্থক্যযোগ্য ফাংশন একটি ধ্রুবক পদ দ্বারা পৃথক হয়, তাহলে তাদের ডেরিভেটিভ সমান, অর্থাৎ
নিয়ম 2।যদি ফাংশন
কিছু সময়ে পার্থক্যযোগ্য, তারপর তাদের পণ্য একই বিন্দুতে পার্থক্যযোগ্য
এবং
সেগুলো। দুটি ফাংশনের গুণফলের ডেরিভেটিভ এই ফাংশনের প্রতিটির পণ্যের যোগফল এবং অন্যটির ডেরিভেটিভের সমান।
করলারি 1. ধ্রুবক গুণনীয়কটি ডেরিভেটিভের চিহ্ন থেকে বের করা যেতে পারে:
ফলাফল 2. বেশ কয়েকটি পার্থক্যযোগ্য ফাংশনের পণ্যের ডেরিভেটিভ প্রতিটি ফ্যাক্টরের ডেরিভেটিভের পণ্যের যোগফল এবং অন্য সবগুলির সমান।
উদাহরণস্বরূপ, তিনটি গুণকের জন্য:
নিয়ম 3।যদি ফাংশন
কিছু সময়ে পার্থক্যযোগ্য এবং , তারপর এই সময়ে তাদের ভাগফলও পার্থক্যযোগ্যu/v, এবং
সেগুলো। দুটি ফাংশনের ভাগফলের ডেরিভেটিভ একটি ভগ্নাংশের সমান, যার লব হল হর এবং লব এবং লবের ডেরিভেটিভ এবং হর এর ডেরিভেটিভের মধ্যে পার্থক্য এবং হর হল এর বর্গ প্রাক্তন লব।
অন্যান্য পৃষ্ঠাগুলিতে জিনিসগুলি কোথায় সন্ধান করবেন
একটি পণ্যের ডেরিভেটিভ এবং এর ভাগফল খুঁজে বের করার সময় বাস্তব সমস্যাএকবারে বিভিন্ন পার্থক্যের নিয়ম প্রয়োগ করা সর্বদা প্রয়োজন, তাই নিবন্ধে এই ডেরিভেটিভগুলির আরও উদাহরণ রয়েছে"পণ্যের ডেরিভেটিভ এবং ফাংশনের ভাগফল".
মন্তব্য করুন।আপনি একটি যোগফল এবং একটি ধ্রুবক গুণনীয়ক হিসাবে একটি শব্দ হিসাবে একটি ধ্রুবক (অর্থাৎ একটি সংখ্যা) বিভ্রান্ত করা উচিত নয়! একটি পদের ক্ষেত্রে, এর ডেরিভেটিভ শূন্যের সমান, এবং একটি ধ্রুবক গুণকের ক্ষেত্রে, এটি ডেরিভেটিভের চিহ্ন থেকে বের করা হয়। এই সাধারণ ভুল, যা ঘটে প্রাথমিক অবস্থাডেরিভেটিভ অধ্যয়নরত, কিন্তু তারা বেশ কয়েকটি এক- এবং দুই-অংশের উদাহরণের সমাধান করে, গড় শিক্ষার্থী আর এই ভুল করে না।
এবং যদি, একটি পণ্য বা ভাগফল পার্থক্য করার সময়, আপনার একটি শব্দ আছে u"v, যা u- একটি সংখ্যা, উদাহরণস্বরূপ, 2 বা 5, অর্থাৎ একটি ধ্রুবক, তাহলে এই সংখ্যাটির ডেরিভেটিভটি শূন্যের সমান হবে এবং তাই, পুরো শব্দটি শূন্যের সমান হবে (এই ক্ষেত্রে উদাহরণ 10 এ আলোচনা করা হয়েছে)।
অন্যান্য সাধারণ ভুল- একটি সাধারণ ফাংশনের ডেরিভেটিভ হিসাবে একটি জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভের যান্ত্রিক সমাধান। এই জন্য একটি জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভএকটি পৃথক নিবন্ধ উৎসর্গ করা হয়. কিন্তু প্রথমে আমরা সহজ ফাংশনগুলির ডেরিভেটিভগুলি খুঁজে বের করতে শিখব।
পথ ধরে, আপনি অভিব্যক্তি রূপান্তর ছাড়া করতে পারবেন না। এটি করার জন্য, আপনাকে নতুন উইন্ডোতে ম্যানুয়ালটি খুলতে হতে পারে। ক্ষমতা এবং শিকড় সঙ্গে কর্মএবং ভগ্নাংশ সঙ্গে অপারেশন .
আপনি যদি শক্তি এবং শিকড় সহ ভগ্নাংশের ডেরিভেটিভের সমাধান খুঁজছেন, অর্থাৎ, যখন ফাংশনটি এমন দেখাচ্ছে 
, তারপর "শক্তি এবং মূল সহ ভগ্নাংশের যোগফলের ডেরিভেটিভ" পাঠটি অনুসরণ করুন।
যদি আপনার মত একটি কাজ আছে 
, তারপর আপনি "সরল ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের ডেরিভেটিভস" পাঠটি নেবেন।
ধাপে ধাপে উদাহরণ - কিভাবে ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করতে হয়
উদাহরণ 3.একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন
সমাধান। আমরা ফাংশন এক্সপ্রেশনের অংশগুলিকে সংজ্ঞায়িত করি: সম্পূর্ণ এক্সপ্রেশনটি একটি পণ্যকে উপস্থাপন করে এবং এর ফ্যাক্টরগুলি হল সমষ্টি, যার দ্বিতীয়টিতে একটি ধ্রুবক ফ্যাক্টর রয়েছে। আমরা পণ্যের পার্থক্যের নিয়ম প্রয়োগ করি: দুটি ফাংশনের পণ্যের ডেরিভেটিভ অন্যটির ডেরিভেটিভ দ্বারা এই ফাংশনের প্রতিটির পণ্যের যোগফলের সমান:
এর পরে, আমরা যোগফলের পার্থক্যের নিয়মটি প্রয়োগ করি: ফাংশনের বীজগণিতীয় যোগফলের ডেরিভেটিভ এই ফাংশনগুলির ডেরিভেটিভের বীজগণিতীয় যোগফলের সমান। আমাদের ক্ষেত্রে, প্রতিটি যোগফলের দ্বিতীয় পদে একটি বিয়োগ চিহ্ন রয়েছে। প্রতিটি সমষ্টিতে আমরা একটি স্বাধীন চলক উভয়ই দেখতে পাই, যার ডেরিভেটিভ একটি সমান এবং একটি ধ্রুবক (সংখ্যা), যার ডেরিভেটিভটি শূন্যের সমান। সুতরাং, "X" এক হয়ে যায়, এবং বিয়োগ 5 শূন্যে পরিণত হয়। দ্বিতীয় রাশিতে, "x" কে 2 দ্বারা গুণ করা হয়, তাই আমরা "x" এর ডেরিভেটিভ হিসাবে একই একক দ্বারা দুটিকে গুণ করি। আমরা নিম্নলিখিত ডেরিভেটিভ মানগুলি পাই:
আমরা প্রাপ্ত ডেরিভেটিভগুলিকে পণ্যের যোগফলের মধ্যে প্রতিস্থাপন করি এবং সমস্যার শর্ত দ্বারা প্রয়োজনীয় সমগ্র ফাংশনের ডেরিভেটিভ পাই:
উদাহরণ 4.একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন
সমাধান। আমাদের ভাগফলের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করতে হবে। আমরা ভাগফলকে আলাদা করার জন্য সূত্রটি প্রয়োগ করি: দুটি ফাংশনের ভাগফলের ডেরিভেটিভ একটি ভগ্নাংশের সমান, যার লবটি হর এবং লবের ডেরিভেটিভ এবং লবের ডেরিভেটিভ এবং এর ডেরিভেটিভের মধ্যে পার্থক্য হর, এবং হর হল পূর্ববর্তী লবের বর্গ। আমরা পেতে:
আমরা ইতিমধ্যেই 2 উদাহরণে লবের ফ্যাক্টরগুলির ডেরিভেটিভ খুঁজে পেয়েছি। আমাদের এও ভুলে যাওয়া উচিত নয় যে পণ্যটি, যা বর্তমান উদাহরণে লবের দ্বিতীয় ফ্যাক্টর, একটি বিয়োগ চিহ্ন দিয়ে নেওয়া হয়েছে:
আপনি যদি এমন সমস্যার সমাধান খুঁজছেন যেখানে আপনাকে একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করতে হবে, যেখানে শিকড় এবং ক্ষমতার অবিচ্ছিন্ন স্তূপ রয়েছে, যেমন, উদাহরণস্বরূপ, 
, তারপর ক্লাসে স্বাগতম "শক্তি এবং মূল সহ ভগ্নাংশের যোগফলের ডেরিভেটিভ" .
সাইন, কোসাইন, ট্যানজেন্ট এবং অন্যদের ডেরিভেটিভ সম্পর্কে আপনার যদি আরও জানতে হয় ত্রিকোণমিতিক ফাংশন, যে, যখন ফাংশন মত দেখায় , তাহলে আপনার জন্য একটি পাঠ "সরল ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের ডেরিভেটিভস" .
উদাহরণ 5।একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন
সমাধান। এই ফাংশনে আমরা একটি পণ্য দেখতে পাই, যার একটি কারণ হল স্বাধীন পরিবর্তনশীলের বর্গমূল, যার ডেরিভেটিভের সাথে আমরা নিজেদেরকে ডেরিভেটিভের টেবিলে পরিচিত করেছি। বর্গমূলের ডেরিভেটিভের গুণফল এবং সারণী মানের পার্থক্য করার নিয়ম ব্যবহার করে, আমরা পাই:
উদাহরণ 6.একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন
সমাধান। এই ফাংশনে আমরা একটি ভাগফল দেখতে পাচ্ছি যার লভ্যাংশ হল স্বাধীন চলকের বর্গমূল। ভাগফলের পার্থক্যের নিয়ম ব্যবহার করে, যা আমরা পুনরাবৃত্তি করেছি এবং প্রয়োগ করেছি উদাহরণ 4, এবং বর্গমূলের ডেরিভেটিভের সারণীকৃত মান, আমরা পাই:
লবের একটি ভগ্নাংশ থেকে পরিত্রাণ পেতে, লব এবং হরকে গুন করুন।
সংজ্ঞা।ফাংশন \(y = f(x)\) বিন্দু \(x_0\) ধারণকারী একটি নির্দিষ্ট ব্যবধানে সংজ্ঞায়িত করা যাক। আসুন আর্গুমেন্টটিকে একটি ইনক্রিমেন্ট \(\Delta x \) দিন যাতে এটি এই ব্যবধানটি ছেড়ে না যায়। চলুন ফাংশনের অনুরূপ বৃদ্ধি খুঁজে বের করি \(\Delta y \) (যখন বিন্দু \(x_0 \) থেকে বিন্দুতে চলে যায় \(x_0 + \Delta x \)) এবং সম্পর্ক রচনা করি \(\frac(\Delta) y)(\ডেল্টা x) \)। যদি এই অনুপাতের একটি সীমা থাকে \(\Delta x \rightarrow 0\), তাহলে নির্দিষ্ট সীমা বলা হয় একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ\(y=f(x) \) বিন্দুতে \(x_0 \) এবং বোঝান \(f"(x_0) \)।
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$
y চিহ্নটি প্রায়শই ডেরিভেটিভ বোঝাতে ব্যবহৃত হয়।" মনে রাখবেন যে y" = f(x) হল নতুন বৈশিষ্ট্য, কিন্তু স্বাভাবিকভাবেই y = f(x) ফাংশনের সাথে যুক্ত, যে সমস্ত বিন্দু x যেখানে উপরের সীমাটি বিদ্যমান সেখানে সংজ্ঞায়িত। এই ফাংশন এই মত বলা হয়: ফাংশনের ডেরিভেটিভ y = f(x).
ডেরিভেটিভ এর জ্যামিতিক অর্থনিম্নরূপ। যদি y = f(x) ফাংশনের গ্রাফে abscissa x=a বিন্দুতে একটি স্পর্শক আঁকা সম্ভব হয়, যা y-অক্ষের সমান্তরাল নয়, তাহলে f(a) স্পর্শকের ঢাল প্রকাশ করে :
\(k = f"(a)\)
যেহেতু \(k = tg(a) \), তাহলে সমতা \(f"(a) = tan(a) \) সত্য।
এখন আনুমানিক সমতার দৃষ্টিকোণ থেকে ডেরিভেটিভের সংজ্ঞাটি ব্যাখ্যা করা যাক। ফাংশন \(y = f(x)\) একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে একটি ডেরিভেটিভ থাকতে দিন \(x\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
এর মানে হল x বিন্দুর কাছাকাছি আনুমানিক সমতা \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x)\), অর্থাৎ \(\Delta y \approx f"(x) \cdot\ ডেল্টা x\)। ফলস্বরূপ আনুমানিক সমতার অর্থপূর্ণ অর্থ হল: ফাংশনের বৃদ্ধি আর্গুমেন্টের বৃদ্ধির সাথে "প্রায় সমানুপাতিক" এবং আনুপাতিকতার সহগ হল ডেরিভেটিভের মান প্রদত্ত বিন্দুএক্স। উদাহরণস্বরূপ, ফাংশনের জন্য \(y = x^2\) আনুমানিক সমতা \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) বৈধ। যদি আমরা একটি ডেরিভেটিভের সংজ্ঞাটি যত্ন সহকারে বিশ্লেষণ করি তবে আমরা দেখতে পাব যে এটি খুঁজে পাওয়ার জন্য এটিতে একটি অ্যালগরিদম রয়েছে।
এর প্রণয়ন করা যাক।
কিভাবে ফাংশন y = f(x) এর ডেরিভেটিভ বের করবেন?
1. \(x\) এর মান ঠিক করুন, \(f(x)\) খুঁজুন
2. যুক্তি \(x\) একটি বৃদ্ধি দাও \(\Delta x\), একটি নতুন বিন্দুতে যান \(x+ \Delta x \), খুঁজুন \(f(x+ \Delta x) \)
3. ফাংশনের বৃদ্ধি খুঁজুন: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. সম্পর্ক তৈরি করুন \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. গণনা করুন $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
এই সীমাটি x বিন্দুতে ফাংশনের ডেরিভেটিভ।
যদি একটি ফাংশন y = f(x) একটি বিন্দু x-এ একটি ডেরিভেটিভ থাকে, তাহলে তাকে x বিন্দুতে ডিফারেনশিয়াবল বলে। y = f(x) ফাংশনের ডেরিভেটিভ বের করার পদ্ধতিকে বলা হয় পৃথকীকরণফাংশন y = f(x)।
আসুন আমরা নিম্নলিখিত প্রশ্নটি আলোচনা করি: একটি বিন্দুতে একটি ফাংশনের ধারাবাহিকতা এবং পার্থক্য কীভাবে একে অপরের সাথে সম্পর্কিত?
y = f(x) ফাংশনটি x বিন্দুতে পার্থক্যযোগ্য হতে দিন। তারপর M(x; f(x)) বিন্দুতে ফাংশনের গ্রাফে একটি স্পর্শক আঁকতে পারে, এবং স্মরণ করুন, স্পর্শকটির কৌণিক সহগ f "(x) এর সমান। এই ধরনের একটি গ্রাফ "ব্রেক" করতে পারে না। M বিন্দুতে, অর্থাৎ ফাংশনটি বিন্দু x এ অবিচ্ছিন্ন হতে হবে।
এই ছিল "হ্যান্ড অন" আর্গুমেন্ট. আসুন আরও কঠোর যুক্তি দেওয়া যাক। যদি x বিন্দুতে y = f(x) ফাংশনটি পার্থক্যযোগ্য হয়, তাহলে আনুমানিক সমতা \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x\) ধরে। যদি এই সমতা \(\Delta x) থাকে \) শূন্যের দিকে ঝোঁক, তারপর \(\Delta y \) শূন্যের দিকে ঝোঁক, এবং এটি একটি বিন্দুতে ফাংশনের ধারাবাহিকতার শর্ত।
তাই, যদি একটি ফাংশন x বিন্দুতে পার্থক্যযোগ্য হয়, তবে এটি সেই বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন থাকে.
বিপরীত বক্তব্য সত্য নয়। যেমন: ফাংশন y = |x| সর্বত্র অবিচ্ছিন্ন, বিশেষ করে x = 0 বিন্দুতে, কিন্তু "জাংশন পয়েন্ট" (0; 0) এ ফাংশনের গ্রাফের স্পর্শক বিদ্যমান নেই। যদি কোনো সময়ে কোনো ফাংশনের গ্রাফে স্পর্শক আঁকতে না পারে, তাহলে সেই বিন্দুতে ডেরিভেটিভের অস্তিত্ব থাকে না।
আরও একটি উদাহরণ। ফাংশন \(y=\sqrt(x)\) বিন্দু x = 0 সহ সমগ্র সংখ্যারেখায় অবিচ্ছিন্ন থাকে। এবং ফাংশনের গ্রাফের স্পর্শকটি x = 0 বিন্দু সহ যেকোনো বিন্দুতে বিদ্যমান থাকে। কিন্তু এই বিন্দুতে স্পর্শকটি y-অক্ষের সাথে মিলে যায়, অর্থাৎ, এটি অ্যাবসিসা অক্ষের সাথে লম্ব, এর সমীকরণের আকার x = 0। এই ধরনের একটি সরল রেখার একটি কোণ সহগ থাকে না, যার অর্থ হল \(f "(0)\) বিদ্যমান নেই৷
সুতরাং, আমরা একটি ফাংশনের একটি নতুন সম্পত্তির সাথে পরিচিত হয়েছি - পার্থক্য। কিভাবে একটি ফাংশনের গ্রাফ থেকে উপসংহারে আসতে পারে যে এটি পার্থক্যযোগ্য?
উত্তর আসলে উপরে দেওয়া হয়. যদি কোনো সময়ে অ্যাবসিসা অক্ষের লম্ব নয় এমন কোনো ফাংশনের গ্রাফে স্পর্শক আঁকা সম্ভব হয়, তাহলে এই সময়ে ফাংশনটি পার্থক্যযোগ্য। যদি কোনো সময়ে কোনো ফাংশনের গ্রাফের স্পর্শক বিদ্যমান না থাকে বা এটি অ্যাবসিসা অক্ষের সাথে লম্ব হয়, তাহলে এই সময়ে ফাংশনটি পার্থক্যযোগ্য নয়।
পার্থক্যের নিয়ম
ডেরিভেটিভ খোঁজার অপারেশন বলা হয় পৃথকীকরণ. এই ক্রিয়াকলাপটি সম্পাদন করার সময়, আপনাকে প্রায়শই ভাগফল, যোগফল, ফাংশনের পণ্যগুলির পাশাপাশি "ফাংশনের ফাংশন" অর্থাৎ জটিল ফাংশনগুলির সাথে কাজ করতে হবে। ডেরিভেটিভের সংজ্ঞার উপর ভিত্তি করে, আমরা পার্থক্যের নিয়মগুলি বের করতে পারি যা এই কাজটিকে সহজ করে তোলে। যদি C একটি ধ্রুবক সংখ্যা হয় এবং f=f(x), g=g(x) কিছু পার্থক্যযোগ্য ফাংশন হয়, তাহলে নিম্নলিখিতটি সত্য পার্থক্য নিয়ম:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$
কিছু ফাংশনের ডেরিভেটিভের সারণী
$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)" = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $প্রাকৃতিক লগারিদমের ডেরিভেটিভ এবং লগারিদমের ভিত্তি a-এর জন্য সূত্রের প্রমাণ এবং ডেরিভেশন। ln 2x, ln 3x এবং ln nx এর ডেরিভেটিভ গণনার উদাহরণ। গাণিতিক আবেশ পদ্ধতি ব্যবহার করে nম ক্রম লগারিদমের ডেরিভেটিভের সূত্রের প্রমাণ।
প্রাকৃতিক লগারিদমের ডেরিভেটিভের সূত্র এবং লগারিদমের ভিত্তি a এর জন্য
x এর প্রাকৃতিক লগারিদমের ডেরিভেটিভ x দ্বারা ভাগ করা একের সমান:
(1)
(ln x)′ =.
লগারিদমের ডেরিভেটিভ বেস a-এর সাথে একটির সমান হয় যা একটি ভেরিয়েবল x দ্বারা গুণিত a এর প্রাকৃতিক লগারিদম দ্বারা বিভক্ত হয়:
(2)
(log a x)′ =.
প্রমাণ
কিছু ধনাত্মক সংখ্যা হতে দিন, না একের সমান. একটি পরিবর্তনশীল x এর উপর নির্ভর করে একটি ফাংশন বিবেচনা করুন, যা বেসের লগারিদম:
.
এই ফাংশন সংজ্ঞায়িত করা হয় . চলুন x চলকের সাপেক্ষে এর ডেরিভেটিভ বের করি। সংজ্ঞা অনুসারে, ডেরিভেটিভ হল নিম্নলিখিত সীমা:
(3)
.
আসুন এই অভিব্যক্তিটিকে পরিচিত গাণিতিক বৈশিষ্ট্য এবং নিয়মগুলিতে হ্রাস করতে রূপান্তর করি। এটি করার জন্য আমাদের নিম্নলিখিত তথ্যগুলি জানতে হবে:
ক)লগারিদমের বৈশিষ্ট্য। আমাদের নিম্নলিখিত সূত্রগুলির প্রয়োজন হবে:
(4)
;
(5)
;
(6)
;
খ)লগারিদমের ধারাবাহিকতা এবং একটানা ফাংশনের জন্য সীমার বৈশিষ্ট্য:
(7)
.
এখানে একটি ফাংশন আছে যার একটি সীমা আছে এবং এই সীমাটি ইতিবাচক।
ভিতরে)দ্বিতীয় উল্লেখযোগ্য সীমার অর্থ:
(8)
.
আসুন এই তথ্যগুলিকে আমাদের সীমাতে প্রয়োগ করি। প্রথমে আমরা বীজগাণিতিক রাশি রূপান্তর করি
.
এটি করার জন্য, আমরা বৈশিষ্ট্যগুলি (4) এবং (5) প্রয়োগ করি।
.
আসুন সম্পত্তি (7) এবং দ্বিতীয় উল্লেখযোগ্য সীমা (8) ব্যবহার করি:
.
এবং অবশেষে, আমরা সম্পত্তি প্রয়োগ (6):
.
লগারিদম থেকে বেস eডাকা প্রাকৃতিক লগারিদম. এটি নিম্নরূপ মনোনীত করা হয়:
.
তারপর;
.
এইভাবে, আমরা লগারিদমের ডেরিভেটিভের জন্য সূত্র (2) পেয়েছি।
প্রাকৃতিক লগারিদমের ডেরিভেটিভ
আবারও আমরা লগারিদমের ডেরিভেটিভের জন্য সূত্রটি লিখি a বেস:
.
এই সূত্রে প্রাকৃতিক লগারিদমের সহজতম রূপ রয়েছে, যার জন্য , . তারপর
(1)
.
এই সরলতার কারণে, প্রাকৃতিক লগারিদমটি গাণিতিক বিশ্লেষণে এবং ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাস সম্পর্কিত গণিতের অন্যান্য শাখায় ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়। অন্যান্য বেসের সাথে লগারিদমিক ফাংশনগুলিকে প্রাকৃতিক লগারিদমের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা যেতে পারে সম্পত্তি ব্যবহার করে (6):
.
ভিত্তির সাপেক্ষে লগারিদমের ডেরিভেটিভ সূত্র (1) থেকে পাওয়া যাবে, যদি আপনি পার্থক্য চিহ্ন থেকে ধ্রুবকটিকে বের করেন:
.
লগারিদমের ডেরিভেটিভ প্রমাণ করার অন্যান্য উপায়
এখানে আমরা অনুমান করি যে আমরা সূচকের ডেরিভেটিভের সূত্রটি জানি:
(9)
.
তারপরে আমরা প্রাকৃতিক লগারিদমের ডেরিভেটিভের সূত্রটি বের করতে পারি, কারণ লগারিদমটি সূচকের বিপরীত ফাংশন।
আসুন প্রাকৃতিক লগারিদমের ডেরিভেটিভের সূত্রটি প্রমাণ করি, বিপরীত ফাংশনের ডেরিভেটিভের জন্য সূত্র প্রয়োগ করা:
.
আমাদের ক্ষেত্রে । প্রাকৃতিক লগারিদমের বিপরীত ফাংশন হল সূচকীয়:
.
এর ডেরিভেটিভ সূত্র (9) দ্বারা নির্ধারিত হয়। ভেরিয়েবল যে কোন চিঠি দ্বারা মনোনীত করা যেতে পারে. সূত্রে (9), ভেরিয়েবল x কে y দিয়ে প্রতিস্থাপন করুন:
.
তখন থেকে
.
তারপর
.
সূত্র প্রমাণিত।
এখন আমরা ব্যবহার করে প্রাকৃতিক লগারিদমের ডেরিভেটিভের সূত্রটি প্রমাণ করি জটিল ফাংশন পার্থক্য জন্য নিয়ম. যেহেতু ফাংশন এবং একে অপরের বিপরীত, তারপর
.
চলুন x চলকের ক্ষেত্রে এই সমীকরণটিকে আলাদা করা যাক:
(10)
.
x এর ডেরিভেটিভ একের সমান:
.
আমরা জটিল ফাংশনগুলির পার্থক্যের নিয়ম প্রয়োগ করি:
.
এখানে । এর বিকল্প করা যাক (10):
.
এখান থেকে
.
উদাহরণ
এর ডেরিভেটিভস খুঁজুন ln 2x, ln 3xএবং lnnx.
সমাধান
মূল ফাংশন আছে অনুরূপ চেহারা. তাই আমরা ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজে পাব y = লগ nx. তারপর আমরা n = 2 এবং n = 3 প্রতিস্থাপন করব। এবং, এইভাবে, আমরা এর ডেরিভেটিভগুলির জন্য সূত্রগুলি পাই ln 2xএবং ln 3x .
সুতরাং, আমরা ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজছি
y = লগ nx
.
আসুন এই ফাংশনটিকে দুটি ফাংশন নিয়ে গঠিত একটি জটিল ফাংশন হিসাবে কল্পনা করি:
1)
একটি ভেরিয়েবলের উপর নির্ভর করে ফাংশন: ;
2)
একটি পরিবর্তনশীল উপর নির্ভর করে ফাংশন: .
তারপর মূল ফাংশন ফাংশন গঠিত হয় এবং:
.
চলুন x চলকের সাপেক্ষে ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করা যাক:
.
চলুন চলকটির সাপেক্ষে ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করি:
.
আমরা একটি জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভের জন্য সূত্রটি প্রয়োগ করি।
.
এখানে আমরা এটা সেট আপ.
তাই আমরা খুঁজে পেয়েছি:
(11)
.
আমরা দেখি যে ডেরিভেটিভটি n-এর উপর নির্ভর করে না। এই ফলাফলটি বেশ স্বাভাবিক যদি আমরা পণ্যের লগারিদমের সূত্রটি ব্যবহার করে মূল ফাংশনটি রূপান্তর করি:
.
- এটি একটি ধ্রুবক। এর ডেরিভেটিভ শূন্য। তারপর, যোগফলের পার্থক্যের নিয়ম অনুসারে, আমাদের আছে:
.
উত্তর
; ; .
মডুলাস x এর লগারিদমের ডেরিভেটিভ
আসুন আরেকটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করি - মডুলাস x এর প্রাকৃতিক লগারিদম:
(12)
.
এর মামলা বিবেচনা করা যাক. তারপর ফাংশন মত দেখায়:
.
এর ডেরিভেটিভ সূত্র (1) দ্বারা নির্ধারিত হয়:
.
এখন কেস বিবেচনা করা যাক. তারপর ফাংশন মত দেখায়:
,
কোথায় ।
কিন্তু আমরা উপরের উদাহরণে এই ফাংশনের ডেরিভেটিভও খুঁজে পেয়েছি। এটি n এর উপর নির্ভর করে না এবং এর সমান
.
তারপর
.
আমরা এই দুটি কেসকে একটি সূত্রে একত্রিত করি:
.
তদনুসারে, লগারিদমের ভিত্তি a করার জন্য, আমাদের আছে:
.
প্রাকৃতিক লগারিদমের উচ্চতর আদেশের ডেরিভেটিভ
ফাংশন বিবেচনা করুন
.
আমরা এটির প্রথম অর্ডার ডেরিভেটিভ খুঁজে পেয়েছি:
(13)
.
আসুন দ্বিতীয় অর্ডার ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করা যাক:
.
আসুন তৃতীয় অর্ডার ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করি:
.
আসুন চতুর্থ অর্ডার ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করি:
.
আপনি লক্ষ্য করতে পারেন যে nth অর্ডার ডেরিভেটিভের ফর্ম রয়েছে:
(14)
.
গাণিতিক আবেশ দ্বারা এটি প্রমাণ করা যাক।
প্রমাণ
আসুন n = 1 মানটিকে সূত্রে প্রতিস্থাপন করি (14):
.
যেহেতু , তারপর যখন n = 1
, সূত্র (14) বৈধ।
আসুন ধরে নিই যে সূত্র (14) n = k এর জন্য সন্তুষ্ট। আসুন প্রমাণ করি যে এটি বোঝায় যে সূত্রটি n = k এর জন্য বৈধ + 1 .
প্রকৃতপক্ষে, n = k এর জন্য আমাদের আছে:
.
পরিবর্তনশীল x এর সাথে পার্থক্য করুন:
.
তাই আমরা পেয়েছি:
.
এই সূত্রটি n = k + এর জন্য সূত্র (14) এর সাথে মিলে যায় 1
. সুতরাং, অনুমান থেকে যে সূত্র (14) n = k এর জন্য বৈধ, এটি অনুসরণ করে যে সূত্রটি (14) n = k + এর জন্য বৈধ 1
.
অতএব, সূত্র (14), nম ক্রম ডেরিভেটিভের জন্য, যেকোনো n-এর জন্য বৈধ।
লগারিদমের উচ্চ ক্রমগুলির ডেরিভেটিভস বেস a
একটি লগারিদমের nম ক্রম ডেরিভেটিভকে বেস a করার জন্য, আপনাকে এটিকে প্রাকৃতিক লগারিদমের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করতে হবে:
.
সূত্র প্রয়োগ করে (14), আমরা nম ডেরিভেটিভ খুঁজে পাই:
.