Презентация на тему преобразования графиков функций. Презентация. Преобразование графиков элементарных функций. Основные задачи элективного курса

─ формирование практических умений и навыков

построения графиков элементарных функций;

─ развитие осознанного использования алгоритмов

построения графиков функций;

─ формирование умений анализировать задание,

ход построения, результат;

─ развитие навыков чтения графиков функций;

─ создание благоприятных условий

для развития

«успешной личности»

учащегося.

Основные задачи элективного курса:

Актуальность использования компьютерной презентации по данной теме:

─ наглядность и доступность изложения

теоретического и практического материала;

─ неоднократная возможность просмотра динамики

преобразования графиков;

─ возможность индивидуально выбирать темп и

уровень процесса усвоения и закрепления учебного

материала;

─ рациональное использование времени урока;

─ возможность самостоятельного обучения;

─ сохранение положительного

психологического настроя на обучение.

Параллельный перенос по оси Оу.

Параллельный перенос по оси Ох.

Симметричное отображение относительно оси Ох.

Симметричное отображение относительно оси Оу.

Графики функций, содержащих модуль.

Растяжение (сжатие) вдоль оси Оу.

Растяжение (сжатие) вдоль оси Ох.

Задачи.

Управляющие кнопки: ─ вперед, ─ назад,

Т1. Параллельный перенос по оси Оу

y = f(x)

график исходной

функции

y = f(x) + a

параллельный

перенос вверх

по оси Оу

-a

y = f(x)

y = f(x) – a

параллельный

перенос вниз

по оси Оу

y = f(x) - a

Преобразование графиков функций. Т2. Параллельный перенос по оси Ох

y = f(x)

график исходной

функции

y = f(x+a )

- a

+ a

параллельный

перенос влево

по оси Ох

y = f(x +а )

y = f(x–a )

y = f(x)

y = f(x -а )

параллельный

перенос вправо

по оси Ох

Преобразование графиков функций. Т3. Симметричное отображение относительно оси Ох

y = f(x)

график исходной

функции

y = - f(x)

+с

y = - f(x)

симметричное

отображение

относительно

оси Ох

-с

y = f(x)

Преобразование графиков функций. Т4. Симметричное отображение относительно оси Оу

y = f(x)

график исходной

функции

y = f( - x)

y = f( - x)

-a

симметричное

отображение

относительно

оси Оу

-с

y = f(x)

Преобразование графиков функций. Т5.1. Графики функций, содержащих модуль.

y =|f(x)|

y = f(x)

график исходной

функции

y = f(x)

y =|f(x)|

часть графика,

лежащая над осью Ох

сохраняется, часть

лежащая ниже оси Ох,

симметрично

отображается

относительно оси Ох

0 сохраняется, она же симметрично отображается относительно оси Оу y = f(| x|) " width="640"

Преобразование графиков функций. Т5.2.Графики функций, содержащих модуль.

y = f(x) -

график исходной

функции

y = f(x)

y = f(|x|)

часть графика

при х 0 сохраняется,

она же симметрично

отображается

относительно

оси Оу

y = f( | x|)

1 (на рисунке k = 2) y = f(x) -1 - 2 11 " width="640"

Преобразование графиков функций. Т6.1. Растяжение вдоль оси Оу

y = f(x)

график исходной

функции

y = 2 f(x)

y = kf(x)

растяжение вдоль

оси Оу в k раз если

k 1

( на рисунке k = 2)

y = f(x)

-1

- 2

Преобразование графиков функций. Т6.2. Сжатие вдоль оси Оу

y = f(x)

график исходной

функции

y = 1/ 2 f(x)

1/ 2

y = kf(x)

сжатие вдоль

оси Оу в 1 / k раз

если k 1

( на рисунке k = 1 / 2)

-1/ 2

y = f(x)

-1

Преобразование графиков функций. Т7.1. Растяжение вдоль оси Ох

y = f(x)

график исходной

функции

y = f(x)

y = f(kx)

- 2

- 1

растяжение вдоль

оси Ох в 1 / k раз если

k 1

( на рисунке k = 1/ 2)

y = f( 2х )

1 (на рисунке k = 2) - 1 1 y = f(x) " width="640"

Преобразование графиков функций. Т7.2. Сжатие вдоль оси Ох

y = f(x)

график исходной

функции

y = f( 2х )

y = f(kx)

- 2

сжатие вдоль

оси Ох в k раз если

k 1

( на рисунке k = 2)

- 1

y = f(x)

Задачи

1. (параллельный перенос вдоль оси Оу)

2. (параллельный перенос вдоль оси Ох)

1.,2. (параллельный перенос вдоль осей координат)

3. (симметричное отображение относительно оси Ох)

4. (симметричное отображение относительно оси Оу)

5.1

5.2 (графики функций, содержащих модуль)

6. ( растяжение и сжатие вдоль оси Оу)

7. (растяжение и сжатие вдоль оси Ох)

Тема 1. Задание 1

График исходной функции у = f(x) задан точками

А(-5;-3) → В(-2;3) → С(1;3) → Д(5;0). Постройте графики функции у = f(x) +3 и функции у = f(x) ─2

ответ

помощь

Задание 2

Назовите функции, графики которых можно построить путем параллельного переноса исходного графика вдоль оси Оу : , у = (х – 8) 2 , у = х 3 + 3 , у = х + 4 ,

, у = х 2 – 2 ,

ответ

Задание 3

Постройте графики функций,

найденных в задании 2.

ответ

Помощь. Тема 1. Задание 1.

Для построения графика у = f(x) +3 у = f(x) на 3 единицы вверх вдоль оси Оу .

1 (-5;0) , точка В(-2;3) → В 1 (-2;6) , точка С(1;3) → С 1 (1;6) , точка

Д(5;0) → Д 1 (5;3)

Для построения графика у = f(x) -2 необходимо выполнить параллельный перенос графика у = f(x) на 2 единицы вниз вдоль оси Оу .

Таким образом точка А(-5;-3) перейдет в точку А 2 (-5;-5) , точка В(-2;3) → В 2 (-2;1) , точка С(1;3) → С 2 (1;1) , точка

Д(5;0) → Д 2 (5;-2)

Ответ 1.1.

Ответ 1.2.

Путем параллель-ного переноса исходного графика вдоль оси Оу

у = х 3 +3 ,

у = х + 4 ,

у = х 2 –2 ,

y = f(x) + 3

y = f(x) – 2

y = f(x)

у = х 3 +3

Ответ 1.3.

у = х+4

у = х 2 –2

-2

Тема 2. Задание 1

График исходной функции у = f(x) задан точками

А(-5;-3) → В(-2;3) → С(1;-2) → Д(5;0). Постройте графики функции у = f(x +2 ) и функции у = f(x ─3 )

ответ

помощь

Задание 2

Назовите функции, графики которых можно построить путем параллельного переноса исходного графика вдоль оси Ох : , у = (х – 4) 2 , у = х 3 + 3 , у = х + 4 ,

, у = х 2 – 2 ,

ответ

Задание 3

Постройте графики функций,

найденных в задании 2.

ответ

Помощь. Тема 2. Задание 1.

Для построения графика у = f(x +2 ) необходимо выполнить параллельный перенос графика у = f(x) .

Таким образом точка А(-5;-3) перейдет в точку А 1 (-7;-3) , точка В(-2;3) → В 1 (-4;3) , точка С(1;-2) → С 1 (-1;-2) , точка

Д(5;0) → Д 1 (3;0)

Для построения графика у = f(x -3 ) необходимо выполнить параллельный перенос графика у = f(x) на 3 единицы вправо вдоль оси Ох .

Таким образом точка А(-5;-3) перейдет в точку А 2 (-2;-3) , точка В(-2;3) → В 2 (1;3) , точка С(1;-2) → С 2 (4;-2) , точка

Д(5;0) → Д 2 (8;0)

Ответ 2.2.

Ответ 2.1.

Путем параллель-ного переноса исходного графика вдоль оси Ох можно построить графики следующих функций:

у = (х – 4) 2 ,

у = (х +4) ,

y = f(x+ 2 )

y = f(x)

y = f(x– 3 )

Ответ 2.3.

у =(х –4) 2

-3

Т 1.2. Параллельный перенос по осям координат вдоль оси Оу вдоль оси Ох

y = f(x) + a

- a

+ a

y = f(x +а )

-a

y = f(x)

y = f(x -а )

y = f(x) - a

Тема 1, Тема 2. Задание 1.

Используя правила параллельного переноса вдоль координатных осей установите соответствие между формулой, задающей функцию и правилом преобразования ее графика.

График данной функции построен путем

параллельного переноса графика функции

у = f(x) :

- на 3 ед. вниз по оси Оу;
- на 3 ед. вправо по Ох и на 3 вниз по Оу;
- на 3 ед. вверх по оси Оу;
- на 3 ед.влево по оси Ох и на 3 вниз по Оу;
- на 3 ед. вправо по оси Ох;
- на 3 ед. влево по оси Ох и на 3 вверх по Оу;
- на 3 ед. вверх по оси Оу и на 3 вправо по Ох

Тема 1, Тема 2. Задание 2.

Используя правила параллельного переноса вдоль координатных осей, постройте графики функций:

1) у=(х+2) 2 – 3 , 2) ,

3) у=(х–3) 3 – 4 , 4)

помощь

-2

-3

у =(х +2) 2 –3

-4

у =(х –3) 3 – 4

-3

-2

Помощь. Тема 1. Тема 2. Задание 1.

1. Для построения графика у = ( x +2 ) 2 –3 необходимо выполнить параллельный перенос графика у = x 2 на 2 единицы влево вдоль оси Ох , затем полученный график перенести на 3 единицы вниз вдоль оси Оу .

2. Данный график можно построить путем параллель-ного переноса осей координат: ось Оу – на 2 единицы влево, а ось Ох – на 3 единицы вниз. Затем построить график у = x 2 в новой системе координат.

Тема 3. Задание 1

График исходной функции у = f(x) задан точками

А(-6;-3) → В(-3;2) → С(1;0) → Д(3;3) → Е(7;-4).

Постройте график функции у = - f(x) .

ответ

помощь

Задание 2

Назовите функции, графики которых можно построить : у = (4 – х) 2 , у = – х 3 ,

, у = – (х +2) 2 ,

ответ

Задание 3

ответ

Постройте графики функций,

найденных в задании 2.

помощь

Помощь. Тема 3. Задание 1.

Для построения графика у = - f(x)

у = f(x) относительно оси Ох .

Таким образом точка А(-6;-3) перейдет в точку А 1 (-6;3) , точка В(-3;2) → В 1 (-3;-2) , точка С(1;0) → С 1 (1;0) , точка

Д(3;3) → Д 1 (3;-3) , точка Е(7;-4) → Е 1 (7;4)

Задание 3.

Графики функций у = –(х+2) 2 и строятся с использованием двух преобразований : симметричного отображения относительно оси Ох и параллельного переноса вдоль оси Оу. Необходимо помнить, что эти преобразования можно выполнять в любом порядке:

1. у=х 2 → у=(х+2) 2 → у= –(х+2) 2

исходная функция → перенос влево на 2 ед. → отображение отн. Ох.

2. у=х 2 → у= –х 2 → у= –(х+2) 2 исходная функция → отображение отн. Ох → перенос влево на 2 ед.

→

Ответ 3.1.

Ответ 3.2.

Путем симметричного отображения исходного графика относительно оси Ох можно построить графики следующих функций:

у = – х 3 ,

у = –(х + 2) 2 ,

y = - f(x)

y = f(x)

Ответ 3.3.

у = – х 3

у = – (х +2) 2

Тема 4. Задание 1

График исходной функции у = f(x) задан точками

А(-6;2) → В(-3;2) → С(0;-1) → Д(3;3) → Е(7;-4).

Постройте график функции у = f( - x) .

ответ

помощь

Задание 2

Назовите функции, графики которых можно построить путем симметричного отображения исходного графика относительно оси Оу : у = (2 – х) 3 , у = – х ,

, у = – (х +2) 2 ,

ответ

Задание 3

ответ

Постройте графики функций,

найденных в задании 2.

помощь

Помощь. Тема 4. Задание 1.

Для построения графика у = f( - x) необходимо выполнить симметричное отображение графика

у = f(x) относительно оси Оу .

Таким образом точка А(-6;2) перейдет в точку А 1 (6;2) , точка В(-3;2) → В 1 (3;2) , точка С(0;-1) → С 1 (0;-1) , точка

Д(3;3) → Д 1 (-3;3) , точка Е(7;-4) → Е 1 (-7;-4)

Задание 3.

Графики функций у = (4–х) 3 и , строятся с использованием двух преобразований : симметричного отображения относительно оси Оу и параллельного переноса вдоль оси Ох. Необходимо помнить, что эти преобразования выполняются в следующем порядке:

1. у=х 3 → у=(2+х) 3 → у=(2–х) 3

исходная функция → перенос влево на 2 ед. → отображение отн. Оу.

2. → →

исходная функция → перенос влево на 4 ед. → отображение отн. Оу

→

Ответ 4.1.

Ответ 4.2.

у = – х,

у = (2–х) 3 ,

y = f( - x)

y = f(x)

Ответ 4.3.

у = – х

у =(2 – х) 3

Тема 5.1. Задание 1

График исходной функции у = f(x) задан точками

А(-6;1) → В(-3;4) → С(0;-2) → Д(3;2) → Е(7;-5).

Постройте график функции у = | f(x) | .

ответ

Помощь.

Для построения графика у = | f(x) | необходимо выполнить симметричное отображение части графика у = f(x) , лежащей ниже оси Ох относительно оси Оу , часть графика, расположенная выше оси Ох полностью сохраниться .

Таким образом точки А(-6;1) , В(-3;4) , Д(3;2) сохранят свои координаты, а точка С(0;-2) перейдет в точку С 1 (0;2) , точка Е(7;-5) перейдет в точку Е 1 (7;5).

Ответ 5.1.1.

y = | f(x) |

y = f(x)

Тема 5.1. Задание 2

постройте графики функций:

ответ

функция

у = | х |

у = х → у = | х | -

у = | х+1 |

у = х → у = х+1 параллельный перенос вверх на 1 ед. → у = | х+1 | - часть графика, лежащая над осью сохраняется, часть - ниже оси Ох, отображается относительно оси Ох

у = | х–3 |

у = х → у = х–3 → у = | х – 3 | - часть графика, лежащая над осью сохраняется, часть - ниже оси Ох, отображается относительно оси Ох

у = | 2–х |

у = || х | –4 |

у = х → у = –х отображение относительно оси Оу → у = 2–х параллель-ный перенос вверх на 2 ед. → у = | 2 – х | - часть графика, лежащая над осью сохраняется, часть - ниже оси Ох, отображается относительно оси Ох

у=х → у= | х | - часть графика, лежащая над осью сохраняется, часть - ниже оси Ох, отображается относительно оси Ох → у= | х | –4 параллельный пере-нос вниз на 4 ед. → у= || х | –4 | - часть графика, лежащая над осью сохраняет-ся, часть - ниже оси Ох, отображается относительно оси Ох

Ответ 5.1.2.

y = |x +1 |

y = |x – 3 |

y = | x |

y = x +1

y = x – 3

y = x

у = || х | – 4 |

y = | 2 – х |

y = –х +2

y = |x| – 4

Тема 5.1. Задание 3

Используя основные правила преобразования графиков,

постройте графики функций:

ответ

функция

у = | х 2 |

у =х 2 → у = | х 2 |

у = | х 2 – 4 |

у = | ( х– 2) 2 – 1 |

у = х 2 → у = х 2 – 4 параллельный перенос вниз на 4 ед. → у = | х 2 – 4 | - часть графика, лежащая над осью сохраняется, часть - ниже оси Ох, отображается относительно оси Ох

у = х 2 → у = (х -2) 2 параллельный перенос вправо на 2 ед. → у = (х - 2) 2 –1 →

у = | (х - 2) 2 –1 | - часть графика, лежащая над осью сохраняется, часть - ниже оси Ох, отображается относительно оси Ох

у = || х 2 – 1 | – 3 |

у = х 2 → у = х 2 –1 параллельный перенос вниз на 1 ед. → у = | х 2 –1 | - часть графика, лежащая над осью сохраняется, часть - ниже оси Ох, отображается относительно оси Ох →

у = | х 2 –1 | – 3 параллельный перенос вниз на 3 ед. →

у = || х 2 –1 | – 3 | часть графика, лежащая над осью сохраняется, часть - ниже оси Ох, отображается относительно оси Ох

Ответ 5.1.3.

у = | (х – 2) 2 –1 |

y = | x 2 |

y = x 2

у = (х – 2) 2 –1

у = | х 2 – 1 |

у = | | х 2 – 1 | – 3 |

y = | x 2 – 4 |

у = | х 2 – 1 | – 3

y = x 2 – 4

Тема 5.2. Задание 1.

График исходной функции у = f(x) задан точками

А(-8;2) → В(-4;2) → С(-2;-6) → Д(6;6) → Е(9;6) → К(11;9).

Постройте график функции у = f( | x | ) .

ответ

помощь

Задание 2.

Используя правила построения графика функции у= f( | x |) постройте графики функций:

1) у= | х | , 2) у= | х | 2 , 3) у= | х | 3 , 4) , 5)

ответ

Задание 3.

1) у= | х | + 2 , 2) у=( | х | + 1) 2 , 3) у=( | х | – 1) 2 ,

4) , 5)

помощь

ответ

Помощь. Тема 5.2. Задание 1.

Для построения графика у = f(|x|) необходимо часть графика

у = f(x) , лежащую справа от оси Оу сохранить и её же симметрично отобразить относительно оси Оу .

Таким образом точек А(-8;2) , В(-4;2) , С(-2;-6) на заданном графике не будет; точки Д(6;6), Е(9;6) и К(11;9) сохранят свои координаты, и они же отобразятся в точки Д 1 (-6;6), Е 1 (-9;6) и К 1 (-11;9).

Задание 3.

функция

Приемы построения графика функции

у = | х | +2

у = ( | х | +1) 2

у = ( | х | –1) 2

у = х → у = х + 2 → у = | х | + 2

вверх на 2 отображение

у = х 2 → у = (х + 1) 2 → у = ( | х | + 1) 2

влево на 1 отображение

у = х 2 → у = (х – 1) 2 → у = ( | х | – 1) 2

вправо на 1 отображение

влево на 1 отображение

Ответ 5.2.1.

y = f( | x | )

y = f(x)

Ответ 5.2.2.

y = |x| 2

y = |x|

y = |x| 3

y = x 2

y = x 3

y = x

Ответ 5.2.3.

y = ( |x| +1) 2

y = ( x -1) 2

y = ( |x| -1) 2

y = |x| +2

y = ( x +1) 2

y = x +2

Тема 6. Задание 1.

График исходной функции у = f(x) задан точками

А(-7;0) → В(-5;2) → С(-2;0) → Д(0;-2) → Е(3;-2) → К(4;0) → Р(9;3).

Постройте графики функций у = 3 f(x) и у = 0,5 f(x)

ответ

помощь

Задание 2.

Используя правила построения графика функции у= к f(x ) постройте графики функций:

1) у= – 0,5х , 2) у= 3х 2 , 3) у= 0,5х 3 , 4) , 5)

ответ

Задание 3.

Пользуясь всеми изученными правилами преобразования графиков, постройте графики следующих функций:

1) у= 3х + 3 , 2) у= 2(х+2) 2 , 3) у= – 0,5 (х – 1) 2 ,

4) , 5)

ответ

помощь

Помощь. Тема 6. Задание 1.

Для построения графика у = 3 f(x) у = f(x) в 3 раза вдоль оси Оу . Таким образом, точки А(-7;0), С(-2;0), и К(4;0) сохранят свои координаты, а точка В(-5;2) перейдет в точку В 1 (-5;6) , точка Д(0;-2) → Д 1 (0;-6), точка Е(3;-2) → Е 1 (3;-6), точка Р(9;3) → Р 1 (9;9)

Для построения графика у = 0,5 f(x) у = f(x) в 2 раза вдоль оси Оу .

Таким образом, точки А(-7;0), С(-2;0), и К(4;0) сохранят свои координаты, а точка В(-5;2) перейдет в точку В 1 (-5;1) , точка Д(0;-2) → Д 1 (0;-1), точка Е(3;-2) → Е 1 (3;-1), точка Р(9;3) → Р 1 (9;1,5)

Помощь. Тема 6. Задание 3.

функция

у = 3х+3

Приемы построения графика функции

у = 2(х+2) 2

у = -0,5(х–1) 2

у = х → у = 3х → у = 3х + 3

растяжение по Оу перенос вверх на 3

у = х 2 → у = (х + 2) 2 → у = 2(х + 2) 2

влево на 2 растяжение по Оу

у = х 2 → у = (х -1) 2 → у = 0,5(х -1) 2 → у = - 0,5(х -1) 2

вправо на 1 сжатие по Оу отображение отн. Ох

→ → →

растяжение отображение перенос вверх на 1

влево на 1 растяжение по Оу

Ответ 6.1.

y = 3 f(x)

y = f(x)

y = 0,5 f(x)

Ответ 6.2.

y = 3 x 2

y = 0,5 x 3

y = - x

y = x 2

y = -0,5 x

y = x 3

y = 0,5( x -1) 2

y = 2( x +2) 2

Ответ 6.3.

y = ( x +2) 2

y = x 2

y = ( x -1) 2

y = x 2

y = 3 x

y = x

y = 3 x +3

y = -0,5( x -1) 2

Тема 7. Задание 1.

График исходной функции у = f(x) задан точками

А(-6;-2) → В(-3;0) → С(0;8) → Д(3;3) → Е(6;-4) → К(9;0) .

Постройте графики функций у = f( 3 x) и у = f( 0,5 x)

ответ

помощь

Задание 2.

Пользуясь всеми изученными правилами преобразования графиков, постройте графики следующих функций:

1) у= 3х + 3 , 2) у= 2(х+2) 2 , 3) у= – 0,5 (х – 1) 2 ,

4) , 5)

Помощь. Тема 7. Задание 1.

Для построения графика у = f( 3 x) необходимо выполнить сжатие графика у = f(x) в 3 раза вдоль оси Ох 1 (-2;-2), точка В(-3;0) → В 1 (-1;0), точка С(0;8) сохранит свои координаты, точка Д(3;3) → Д 1 (1;3), точка Е(6;-4) → Е 1 (2;-4), точка К(9;0) → К 1 (3;0)

Для построения графика у = f( 0,5х ) необходимо выполнить растяжение графика у = f(x) в 2 раза вдоль оси Ох . Таким образом, точка А(-6;-2) перейдет в точку А 1 (-12;-2), точка В(-3;0) → В 1 (-6;0), точка С(0;8) сохранит свои координаты, точка Д(3;3) → Д 1 (6;3), точка Е(6;-4) → Е 1 (12;-4), точка К(9;0) → К 1 (18;0)

Ответ 7.1.

y = f(x)

y = f( 3х )

y = f( 0,5х )

Слайд 2

Зная вид графика некоторой функции, можно при помощи геометрических преобразований построить график более сложной функции.Рассмотрим график функции y=x2и выясним,как можно построить, используя сдвиги вдоль координатных осей, графики функций видаy=(x-m)2иy=x2+n.

Слайд 3

Пример 1.Построим график функции y=(x- 2)2, опираясь на график функции y=x2 (щелчок мышкой).График функции y=x2 есть некоторое множество точек координатной плоскости, координатыкоторых обращают уравнение y=x2 в верное числовое равенство. Обозначим это множество точек, то есть график функции y=x2, буквой F, а неизвестный нам пока график функции y=(x-2)2 обозначим буквой G.Сравним координаты тех точек графиков F и G, у которых одинаковые ординаты. Для этого составим таблицу: Рассматривая таблицу (которую можно неограниченно продолжать и вправо и влево), замечаем, что одинаковые ординаты имеют точки вида (х0; у0) графика F и (х0 + 2; у0) графика G, где х0, у0 – некоторые вполне определенные числа. На основании этого наблюдения можем сделать вывод, что график функции y=(x-2)2можно получить из графика функции y=x2путем сдвига всех его точек вправо на 2 единицы (щелчок мышкой).

Слайд 4

Таким образом, график функции y=(x- 2)2 может быть получен из графика функции y=x2сдвигом вправо на 2 единицы. Рассуждая аналогично, можно доказать, что график функции y=(x + 3)2также может быть получен из графика функции y=x2, но сдвигом не вправо, а влево на 3 единицы. Хорошо видно, что осями симметрии графиков функций y=(x- 2)2 и y=(x - 3)2 являются соответственно прямые х = 2 и х = - 3. Чтобы увидеть графики, щелкни мышкой

Слайд 5

Если вместо графика y=(x- 2)2 или y=(x + 3)2 рассмотреть график функции y=(x - m)2, где m– произвольное число, то в проведенном ранее рассуждении ничего принципиально не изменится. Таким образом, из графика функции у = х2 можно получить график функции y=(x - m)2 с помощью сдвига вправо на mединиц в направлении оси Ох, если m> 0, или влево, если m 0, или влево, если m

Слайд 6

Пример 2.Построим график функции y=x2 + 1, опираясь на график функции y=x2(щелчок мышкой).Сравним координаты точек этих графиков, у которых одинаковые абсциссы. Для этого составим таблицу: Рассматривая таблицу, замечаем, что одинаковые абсциссы имеют точки вида (х0; у0) для графика функции y=x2и (х0; у0 + 1) для графика функции y=x2 + 1. На основании этого наблюдения можем сделать вывод, что график функции y=x2 + 1можно получить из графика функции y=x2путем сдвига всех его точек вверх (вдоль оси Оу) на 1 единицу (щелчок мышкой).

Слайд 7

Итак, зная график функции y=x2, можно построить график функции y=x2 + п с помощью сдвига первого графика вверх на пединиц, если п>0, или вниз на | п | единиц, если п 0, или вниз, если п

Слайд 8

Из выше сказанного следует, что графиком функции y=(x - m)2 + п является парабола с вершиной в точке (m; п). Ее можно получить из параболы y=x2с помощью двух последовательных сдвигов. Пример 3. Докажем, что графиком функции у = х2 + 6х + 8 является парабола, и построим график. Решение. Представим трехчлен х2 + 6х + 8 в виде (x - m)2 + п. Имеем х2 + 6х + 8= х2 + 2х*3 + 32 – 1 = (x + 3)2 – 1. Отсюда у = (x + 3)2 – 1. Значит, графиком функции у = х2 + 6х + 8 является парабола с вершиной в точке(- 3; - 1). Учитывая, что ось симметрии параболы – прямая х = - 3, при составлении таблицы значения аргумента функции следует брать симметрично относительно прямой х = - 3: Отметив в координатной плоскости точки, координаты которых занесены в таблицу (щелчок мышкой), проводим параболу (по щелчку).

2) Преобразование симметрии относительно оси y f(x) f(-x) График функции y=f(-x) получается преобразованием симметрии графика функции y=f(x) относительно оси y. Замечание. Точка пересечения графика с осью y остается неизменной. Замечание 1. График четной функции не изменяется при отражении относительно оси y, поскольку для четной функции f(-x)=f(x). Пример: (-x)²=x² Замечание 2. График нечетной функции изменяется одинаково как при отражении относительно оси x, так и при отражении относительно оси y, посольку для нечетной функции f(-x)=-f(x). Пример: sin(-x)=-sinx.

3) Параллельный перенос вдоль оси x f(x) f(x-a) График функции y=f(x-a) получается параллельным переносом графика функции y=f(x) вдоль оси x на |a| вправо при a>0 и влево при a 0 и влево при a"> 0 и влево при a"> 0 и влево при a" title="3) Параллельный перенос вдоль оси x f(x) f(x-a) График функции y=f(x-a) получается параллельным переносом графика функции y=f(x) вдоль оси x на |a| вправо при a>0 и влево при a"> title="3) Параллельный перенос вдоль оси x f(x) f(x-a) График функции y=f(x-a) получается параллельным переносом графика функции y=f(x) вдоль оси x на |a| вправо при a>0 и влево при a">

4) Параллельный перенос вдоль оси y f(x) f(x)+b График функции y=f(x)+b получается параллельным переносом графика функции y=f(x) вдоль оси y на |b| вверх при b>0 и вниз при b 0 и вниз при b"> 0 и вниз при b"> 0 и вниз при b" title="4) Параллельный перенос вдоль оси y f(x) f(x)+b График функции y=f(x)+b получается параллельным переносом графика функции y=f(x) вдоль оси y на |b| вверх при b>0 и вниз при b"> title="4) Параллельный перенос вдоль оси y f(x) f(x)+b График функции y=f(x)+b получается параллельным переносом графика функции y=f(x) вдоль оси y на |b| вверх при b>0 и вниз при b">

0 >1 График функции y=а(x) получается сжатием графика функции y=f(x) вдоль оси x в раз. Замечание. Точки с пересечения графика с осью y остаются неизменными. 00 >1 График функции y=а(x) получается сжатием графика функции y=f(x) вдоль оси x в раз. Замечание. Точки с пересечения графика с осью y остаются неизменными. 0 8 5) Сжатие и растяжение вдоль оси x f(x) f(x), где >0 >1 График функции y=а(x) получается сжатием графика функции y=f(x) вдоль оси x в раз. Замечание. Точки с пересечения графика с осью y остаются неизменными. 0 0 >1 График функции y=а(x) получается сжатием графика функции y=f(x) вдоль оси x в раз. Замечание. Точки с пересечения графика с осью y остаются неизменными. 0 0 >1 График функции y=а(x) получается сжатием графика функции y=f(x) вдоль оси x в раз. Замечание. Точки с пересечения графика с осью y остаются неизменными. 0 0 >1 График функции y=а(x) получается сжатием графика функции y=f(x) вдоль оси x в раз. Замечание. Точки с пересечения графика с осью y остаются неизменными. 00 >1 График функции y=а(x) получается сжатием графика функции y=f(x) вдоль оси x в раз. Замечание. Точки с пересечения графика с осью y остаются неизменными. 0 title="5) Сжатие и растяжение вдоль оси x f(x) f(x), где >0 >1 График функции y=а(x) получается сжатием графика функции y=f(x) вдоль оси x в раз. Замечание. Точки с пересечения графика с осью y остаются неизменными. 0

6) Сжатие и растяжение вдоль оси y f(x) kf(x), где k>0 k>1 График функции y=kf(x) получается растяжением графика функции y=f(x) вдоль оси y в k раз. 0 0 k>1 График функции y=kf(x) получается растяжением графика функции y=f(x) вдоль оси y в k раз. 0"> 0 k>1 График функции y=kf(x) получается растяжением графика функции y=f(x) вдоль оси y в k раз. 0"> 0 k>1 График функции y=kf(x) получается растяжением графика функции y=f(x) вдоль оси y в k раз. 0" title="6) Сжатие и растяжение вдоль оси y f(x) kf(x), где k>0 k>1 График функции y=kf(x) получается растяжением графика функции y=f(x) вдоль оси y в k раз. 0"> title="6) Сжатие и растяжение вдоль оси y f(x) kf(x), где k>0 k>1 График функции y=kf(x) получается растяжением графика функции y=f(x) вдоль оси y в k раз. 0">

7) Построение графика функции y=|f(x)| Части графика функции y=f(x), лежащие выше оси x и на оси x, остаются без изменения, а лежащие ниже оси x – симметрично отображаются относительно этой оси (вверх). Замечание. Функция y=|f(x)| неотрицательна (ее график расположен в верхней полуплоскости). Примеры:

8) Построение графика функции y=f(|x|) Часть графика функции y=f(x), лежащая левее оси y, удаляется, а часть, лежащая правее оси y – остается без изменения и, кроме того, симметрично отражается относительно оси y (влево). Точка графика лежащая на оси y, остается неизменной. Замечание. Функция y=f(|x|) четная (ее график симметричен относительно оси y). Примеры:

9) Построение графика обратной функции График функции y=g(x), обратной функции y=f(x), можно получить преобразованием симметрии графика функции y=f(x) относительно прямой y=x. Замечание. Описанное построение производить только для функции, имеющей обратную.

Решить систему уравнений: В одной системе координат, построим графики функций: а) График этой функции получается в результате построения графика в новой системе координат xoy, где O(1;0) б) В системе xoy, где o(4;3) построим график y=|x|. Решением системы являются координаты точки пересечения графиков и Пара чисел: Проверка: (верно) Ответ: (2;5)..)5;2(y x

Решить уравнение:f(g(x))+g(f(x))=32, если известно, что и Решение: Преобразуем функцию f(x). Так как, то Тогда g(f(x))=20. Подставим в уравнение f(g(x))+g(f(x))=32, получим f(g(x))+20=32; f(g(x))=12 Пусть g(x)=t, тогда f(t)=12 или при при или Имеем: g(x)=0 или g(x)=4 Так как при x5 g(x)=20, то решения уравнений: g(x)=0 и g(x)=4 будем искать среди x

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Простейшие преобразования графиков функций

Зная вид графика некоторой функции, можно при помощи геометрических преобразований построить график более сложной функции. Рассмотрим график функции y=x 2 и выясним,как можно построить, используя сдвиги вдоль координатных осей, графики функций вида y=(x-m) 2 и y=x 2 +n .

Пример 1. Построим график функции y=(x - 2) 2 , опираясь на график функции y=x 2 (щелчок мышкой) . График функции y=x 2 есть некоторое множество точек координатной плоскости, координаты которых обращают уравнение y=x 2 в верное числовое равенство. Обозначим это множество точек, то есть график функции y=x 2 , буквой F , а неизвестный нам пока график функции y=(x - 2) 2 обозначим буквой G . Сравним координаты тех точек графиков F и G , у которых одинаковые ординаты. Для этого составим таблицу: х -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 х 2 4 1 0 1 4 9 16 25 36 (х – 2) 2 16 9 4 1 0 1 4 9 16 Рассматривая таблицу (которую можно неограниченно продолжать и вправо и влево), замечаем, что одинаковые ординаты имеют точки вида (х 0 ; у 0) графика F и (х 0 + 2; у 0) графика G , где х 0 , у 0 – некоторые вполне определенные числа. На основании этого наблюдения можем сделать вывод, что график функции y=(x - 2) 2 можно получить из графика функции y=x 2 путем сдвига всех его точек вправо на 2 единицы (щелчок мышкой).

Таким образом, график функции y=(x - 2) 2 может быть получен из графика функции y=x 2 сдвигом вправо на 2 единицы. Рассуждая аналогично, можно доказать, что график функции y=(x + 3) 2 также может быть получен из графика функции y=x 2 , но сдвигом не вправо, а влево на 3 единицы. Хорошо видно, что осями симметрии графиков функций y=(x - 2) 2 и y=(x - 3) 2 являются соответственно прямые х = 2 и х = - 3 . Чтобы увидеть графики, щелкни мышкой

Если вместо графика y=(x - 2) 2 или y=(x + 3) 2 рассмотреть график функции y=(x - m) 2 , где m – произвольное число, то в проведенном ранее рассуждении ничего принципиально не изменится. Таким образом, из графика функции у = х 2 можно получить график функции y=(x - m) 2 с помощью сдвига вправо на m единиц в направлении оси Ох, если m > 0 , или влево, если m 0 , или влево, если m

Пример 2 . Построим график функции y = x 2 + 1 , опираясь на график функции y=x 2 (щелчок мышкой) . Сравним координаты точек этих графиков, у которых одинаковые абсцисс ы. Для этого составим таблицу: х -3 -2 -1 0 1 2 3 х 2 9 4 1 0 1 4 9 x 2 + 1 10 5 2 1 2 5 10 Рассматривая таблицу, замечаем, что одинаковые абсциссы имеют точки вида (х 0 ; у 0) для графика функции y=x 2 и (х 0 ; у 0 + 1) для графика функции y = x 2 + 1 . На основании этого наблюдения можем сделать вывод, что график функции y=x 2 + 1 можно получить из графика функции y=x 2 путем сдвига всех его точек вверх (вдоль оси Оу) на 1 единицу (щелчок мышкой).

Итак, зная график функции y=x 2 , можно построить график функции y=x 2 + п с помощью сдвига первого графика вверх на п единиц, если п>0 , или вниз на | п | единиц, если п 0 , или вниз, если п

Из выше сказанного следует, что графиком функции y=(x - m) 2 + п является парабола с вершиной в точке (m ; п) . Ее можно получить из параболы y=x 2 с помощью двух последовательных сдвигов. Пример 3. Докажем, что графиком функции у = х 2 + 6х + 8 является парабола, и построим график. Решение. Представим трехчлен х 2 + 6х + 8 в виде (x - m) 2 + п. Имеем х 2 + 6х + 8 = х 2 + 2х*3 + 3 2 – 1 = (x + 3) 2 – 1 . Отсюда у = (x + 3) 2 – 1 . Значит, графиком функции у = х 2 + 6х + 8 является парабола с вершиной в точке (- 3; - 1) . Учитывая, что ось симметрии параболы – прямая х = - 3 , при составлении таблицы значения аргумента функции следует брать симметрично относительно прямой х = - 3: х -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 у 8 3 0 -1 0 3 8 Отметив в координатной плоскости точки, координаты которых занесены в таблицу (щелчок мышкой), проводим параболу (по щелчку).