Или уже решены относительно производной , или их можно решить относительно производной .
Общее решение дифференциальных уравнений типа на интервале X , который задан, можно найти, взяв интеграл обоих частей этого равенства.
Получим .
Если посмотреть на свойства неопределенного интеграла, то найдем искомое общее решение:
y = F(x) + C ,
где F(x) - одна из первообразных функции f(x) на промежутке X , а С - произвольная постоянная.
Обратите внимание, что в большинстве задач интервал X не указывают. Это значит, что решение нужно находить для всех x , при которых и искомая функция y , и исходное уравнение имеют смысл.
Если нужно вычислить частное решение дифференциального уравнения , которое удовлетворяет начальному условию y(x 0) = y 0 , то после вычисления общего интеграла y = F(x) + C , еще необходимо определить значение постоянной C = C 0 , используя начальное условие. Т.е., константу C = C 0 определяют из уравнения F(x 0) + C = y 0 , и искомое частное решение дифференциального уравнения примет вид:
y = F(x) + C 0 .
Рассмотрим пример:
Найдем общее решение дифференциального уравнения , проверим правильность результата. Найдем частное решение этого уравнения, которое удовлетворяло бы начальному условию .
Решение:
После того, как мы проинтегрировали заданное дифференциальное уравнение, получаем:
.
Возьмем этот интеграл методом интегрирования по частям:
Т.о., является общим решением дифференциального уравнения.
Чтобы убедиться в правильности результата, сделаем проверку. Для этого подставляем решение, которое мы нашли, в заданное уравнение:
.
То есть, при исходное уравнение превращается в тождество:
поэтому общее решение дифференциального уравнения определили верно.
Решение, которое мы нашли, является общим решением дифференциального уравнения для каждого действительного значения аргумента x .
Осталось вычислить частное решение ОДУ, которое удовлетворяло бы начальному условию . Другими словами, необходимо вычислить значение константы С , при котором будет верно равенство:
.
.
Тогда, подставляя С = 2 в общее решение ОДУ, получаем частное решение дифференциального уравнения, которое удовлетворяет первоначальному условию:
.
Обыкновенное дифференциальное уравнение можно решить относительно производной, разделив 2 части равенства на f(x)
. Это преобразование будет равнозначным, если f(x)
не превращается в нуль ни при каких x
из интервала интегрирования дифференциального уравнения X
.
Вероятны ситуации, когда при некоторых значениях аргумента x ∈ X функции f(x) и g(x) одновременно превращаются в нуль. Для подобных значений x общим решением дифференциального уравнения будет всякая функция y , которая определена в них, т.к. .
Если для некоторых значений аргумента x ∈ X выполняется условие , значит, в этом случае у ОДУ решений нет.
Для всех других x из интервала X общее решение дифференциального уравнения определяется из преобразованного уравнения .
Разберем на примерах:
Пример 1.
Найдем общее решение ОДУ: .
Решение.
Из свойств основных элементарных функций ясно, что функция натурального логарифма определена для неотрицательных значений аргумента, поэтому областью определения выражения ln(x+3) есть интервал x > -3 . Значит, заданное дифференциальное уравнение имеет смысл для x > -3 . При этих значениях аргумента выражение x + 3 не обращается в нуль, поэтому можно решить ОДУ относительно производной, разделив 2 части на х + 3 .
Получаем .
Далее проинтегрируем полученное дифференциальное уравнение, решенное относительно производной: . Для взятия этого интеграла пользуемся методом подведения под знак дифференциала.
Дифференциальное уравнение (ДУ)
- это уравнение ,
где - независимые переменные, y
- функция и - частные производные.
Обыкновенное дифференциальное уравнение - это дифференциальное уравнение, которое имеет только одну независимую переменную, .
Дифференциальное уравнение в частных производных - это дифференциальное уравнение, которое имеет две и более независимых переменных.
Слова “обыкновенные“ и "в частных производных" могут опускаться, если ясно, какое уравнение рассматривается. В дальнейшем рассматриваются обыкновенные дифференциальные уравнения.
Порядок дифференциального уравнения - это порядок старшей производной.
Вот пример уравнения первого порядка:
Вот пример уравнения четвертого порядка:
Иногда дифференциальное уравнение первого порядка записывается через дифференциалы:
В этом случае переменные x
и y
являются равноправными. То есть независимой переменной может быть как x
так и y
.
В первом случае y
является функцией от x
.
Во втором случае x
является функцией от y
.
Если необходимо, мы можем привести это уравнение к виду, в котором явно входит производная y′
.
Разделив это уравнение на dx
,
мы получим:
.
Поскольку и ,
то отсюда следует, что
.
Решение дифференциальных уравнений
Производные от элементарных функций выражаются через элементарные функции. Интегралы от элементарных функций часто не выражаются через элементарные функции. С дифференциальными уравнениями дело обстоит еще хуже. В результате решения можно получить:
- явную зависимость функции от переменной;
Решение дифференциального уравнения - это функция y = u(x) , которая определена, n раз дифференцируема, и .
- неявную зависимость в виде уравнения типа Φ(x, y)
= 0
или системы уравнений;
Интеграл дифференциального уравнения - это решение дифференциального уравнения, которое имеет неявный вид.
- зависимость, выраженную через элементарные функции и интегралы от них;
Решение дифференциального уравнения в квадратурах - это нахождение решения в виде комбинации элементарных функций и интегралов от них.
- решение может не выражается через элементарные функции.
Поскольку решение дифференциальных уравнений сводится к вычислению интегралов, то в состав решения входит набор постоянных C 1 , C 2 , C 3 , ... C n . Количество постоянных равно порядку уравнения.Частный интеграл дифференциального уравнения - это общий интеграл при заданных значениях постоянных C 1 , C 2 , C 3 , ... , C n .
Использованная литература:
В.В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, «ЛКИ», 2015.
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.
На сегодняшний день одним из важнейших навыков для любого специалиста является умение решать дифференциальные уравнения. Решение дифференциальных уравнений – без этого не обходится ни одна прикладная задача, будь это расчет какого-либо физического параметра или моделирование изменений в результате принятой макроэкономической политики. Эти уравнения также важны для ряда других наук, таких как химия, биология, медицина и т.д. Ниже мы приведем пример использования дифференциальных уравнений в экономике, но перед этим кратко расскажем об основных типах уравнений.
Дифференциальные уравнения – простейшие виды
Мудрецы говорили, что законы нашей вселенной написаны на математическом языке. Конечно, в алгебре есть много примеров различных уравнений, но это, большей частью, учебные примеры, неприменимые на практике. По-настоящему интересная математика начинается, когда мы хотим описать процессы, протекающие в реальной жизни. Но как отразить фактор времени, которому подчиняются реальные процессы – инфляция, выработка продукции или демографические показатели?
Вспомним одно важное определение из курса математики, касающееся производной функции. Производная является скоростью изменения функции, следовательно, она может помочь нам отразить фактор времени в уравнении.
То есть, мы составляем уравнение с функцией, которая описывает интересующий нас показатель и добавляем в уравнение производную этой функции. Это и есть дифференциальное уравнение. А теперь перейдем к простейшим типам дифференциальных уравнений для чайников .
Простейшее дифференциальное уравнение имеет вид $y’(x)=f(x)$, где $f(x)$ – некоторая функция, а $y’(x)$ – производная или скорость изменения искомой функции. Оно решается обычным интегрированием: $$y(x)=\int f(x)dx.$$
Второй простейший тип называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Такое уравнение выглядит следующим образом $y’(x)=f(x)\cdot g(y)$. Видно, что зависимая переменная $y$ также входит в состав конструируемой функции. Уравнение решается очень просто – нужно "разделить переменные", то есть привести его к виду $y’(x)/g(y)=f(x)$ или $dy/g(y)=f(x)dx$. Остается проинтегрировать обе части $$\int \frac{dy}{g(y)}=\int f(x)dx$$ – это и есть решение дифференциального уравнения разделяющегося типа.
Последний простой тип – это линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Оно имеет вид $y’+p(x)y=q(x)$. Здесь $p(x)$ и $q(x)$ – некоторые функции, а $y=y(x)$ – искомая функция. Для решения такого уравнения применяют уже специальные методы (метод Лагранжа вариации произвольной постоянной, метод подстановки Бернулли).
Есть более сложные виды уравнений – уравнения второго, третьего и вообще произвольного порядка, однородные и неоднородные уравнения, а также системы дифференциальных уравнений. Для их решения нужна предварительная подготовка и опыт решения более простых задач.
Большое значение для физики и, что неожиданно, финансов имеют так называемые дифференциальные уравнения в частных производных. Это значит, что искомая функция зависит от нескольких переменных одновременно. Например, уравнение Блека-Шоулса из области финансового инжиниринга описывает стоимость опциона (вид ценной бумаги) в зависимости от его доходности, размера выплат, а также сроков начала и конца выплат. Решение дифференциального уравнения в частных производных довольно сложное, обычно нужно использовать специальные программы, такие как Matlab или Maple.
Пример применения дифференциального уравнения в экономике
Приведем, как и было обещано, простой пример решения дифференциального уравнения. Вначале поставим задачу.
Для некоторой фирмы функция маржинальной выручки от продажи своей продукции имеет вид $MR=10-0,2q$. Здесь $MR$ – маржинальная выручка фирмы, а $q$ – объем продукции. Нужно найти общую выручку.
Как видно из задачи, это прикладной пример из микроэкономики. Множество фирм и предприятий постоянно сталкивается с подобными расчетами в ходе своей деятельности.
Приступаем к решению. Как известно из микроэкономики, маржинальная выручка представляет собой производную от общей выручки, причем выручка равна нулю при нулевом уровне продаж.
С математической точки задача свелась к решению дифференциального уравнения $R’=10-0,2q$ при условии $R(0)=0$.
Проинтегрируем уравнение, взяв первообразную функцию от обеих частей, получим общее решение: $$R(q) = \int (10-0,2q)dq = 10 q-0,1q^2+C. $$
Чтобы найти константу $C$, вспомним условие $R(0)=0$. Подставим: $$R(0) =0-0+C = 0. $$ Значит C=0 и наша функция общей выручки принимает вид $R(q)=10q-0,1q^2$. Задача решена.
Другие примеры по разным типам ДУ собраны на странице:
Учреждение образования «Белорусская государственная
сельскохозяйственная академия»
Кафедра высшей математики
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Конспект лекции для студентов бухгалтерского факультета
заочной формы получения образования (НИСПО)
Горки, 2013
Дифференциальные уравнения первого порядка
Понятие дифференциального уравнения. Общее и частное решения
При изучении различных явлений часто не удаётся найти закон, который непосредственно связывает независимую переменную и искомую функцию, но можно установить связь между искомой функцией и её производными.
Соотношение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и её производные, называется дифференциальным уравнением :
Здесь
x
– независимая переменная, y
– искомая функция,
-
производные искомой функции. При этом
в соотношении (1) обязательно наличие
хотя бы одной производной.
Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в уравнение.
Рассмотрим дифференциальное уравнение
.
(2)
Так в это уравнение входит производная только первого порядка, то оно называется дифференциальным уравнением первого порядка.
Если уравнение (2) можно разрешить относительно производной и записать в виде
,
(3)
то такое уравнение называется дифференциальным уравнением первого порядка в нормальной форме.
Во многих случаях целесообразно рассматривать уравнение вида
которое называется дифференциальным уравнением первого порядка, записанным в дифференциальной форме.
Так
как
,
то уравнение (3) можно записать в виде
или
,
где можно считать
и
.
Это означает, что уравнение (3) преобразовано
в уравнение (4).
Запишем
уравнение (4) в виде
.
Тогда
,
,
,
где можно считать
, т.е. получено уравнение вида (3). Таким
образом, уравнения (3) и (4) равносильны.
Решением
дифференциального уравнения
(2) или (3) называется любая функция
,
которая при подстановке её в уравнение
(2) или (3) обращает его в тождество:
или
.
Процесс
нахождения всех решений дифференциального
уравнения называется его интегрированием
,
а график решения
дифференциального уравнения называетсяинтегральной
кривой
этого уравнения.
Если
решение дифференциального уравнения
получено в неявном виде
,
то оно называетсяинтегралом
данного дифференциального уравнения.
Общим
решением
дифференциального уравнения первого
порядка называется семейство функций
вида
,
зависящее от произвольной постояннойС
,
каждая из которых является решением
данного дифференциального уравнения
при любом допустимом значении произвольной
постоянной С
.
Таким образом, дифференциальное уравнение
имеет бесчисленное множество решений.
Частным
решением
дифференциального уравнения называется
решение, получаемое из формулы общего
решения при конкретном значении
произвольной постоянной С
,
включая
.
Задача Коши и её геометрическая интерпретация
Уравнение (2) имеет бесчисленное множество решений. Чтобы из этого множества выделить одно решение, которое называется частным, нужно задать некоторые дополнительные условия.
Задача отыскания частного решения уравнения (2) при заданных условиях называется задачей Коши . Эта задача является одной из важнейших в теории дифференциальных уравнений.
Формулируется
задача Коши следующим образом: среди
всех решений уравнения (2) найти такое
решение
,
в котором функция
принимает заданное числовое значение
,
если независимая переменная
x
принимает заданное числовое значение
,
т.е.
,
,
(5)
где
D
– область определения функции
.
Значение
называетсяначальным
значением функции
,
а
– начальным
значением независимой переменной
.
Условие (5) называется начальным
условием
или условием
Коши
.
С
геометрической точки зрения задачу
Коши для дифференциального уравнения
(2) можно сформулировать следующим
образом: из
множества интегральных кривых уравнения
(2) выделить ту, которая проходит через
заданную точку
.
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Одним из простейших видов дифференциальных уравнений является дифференциальное уравнение первого порядка, не содержащее искомой функции:
.
(6)
Учитывая,
что
,
запишем уравнение в виде
или
.
Интегрируя обе части последнего
уравнения, получим:
или
.
(7)
Таким образом, (7) является общим решением уравнения (6).
Пример
1
.
Найти общее решение дифференциального
уравнения
.
Решение
.
Запишем уравнение в виде
или
.
Проинтегрируем обе части полученного
уравнения:
,
.
Окончательно запишем
.
Пример
2
.
Найти решение уравнения
при условии
.
Решение
.
Найдём общее решение уравнения:
,
,
,
.
По условию
,
.
Подставим в общее решение:
или
.
Найденное значение произвольной
постоянной подставим в формулу общего
решения:
.
Это и есть частное решение дифференциального
уравнения, удовлетворяющее заданному
условию.
Уравнение
(8)
Называется
дифференциальным
уравнением первого порядка, не содержащим
независимой переменной
.
Запишем его в виде
или
.
Проинтегрируем обе части последнего
уравнения:
или
- общее решение уравнения (8).
Пример
.
Найти общее решение уравнения
.
Решение
.
Запишем это уравнение в виде:
или
.
Тогда
,
,
,
.
Таким образом,
– общее решение данного уравнения.
Уравнение вида
(9)
интегрируется
с помощью разделения переменных. Для
этого уравнение запишем в виде
,
а затем с помощью операций умножения и
деления приводим его к такой форме,
чтобы в одну часть входила только функция
отх
и дифференциал dx
,
а во вторую часть – функция от у
и дифференциал dy
.
Для этого обе части уравнения нужно
умножить на dx
и разделить на
.
В результате получим уравнение
,
(10)
в
котором переменные х
и у
разделены. Проинтегрируем обе части
уравнения (10):
.
Полученное соотношение является общим
интегралом уравнения (9).
Пример
3
.
Проинтегрировать
уравнение
.
Решение
.
Преобразуем уравнение и разделим
переменные:
,
.
Проинтегрируем:
,
или – общий интеграл данного уравнения.
.
Пусть уравнение задано в виде
Такое уравнение называется дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными в симметрической форме.
Для
разделения переменных нужно обе части
уравнения разделить на
:
.
(12)
Полученное уравнение называется дифференциальным уравнением с разделёнными переменными . Проинтегрируем уравнение (12):
.
(13)
Соотношение (13) является общим интегралом дифференциального уравнения (11).
Пример 4 . Проинтегрировать дифференциальное уравнение .
Решение . Запишем уравнение в виде
и
разделим обе его части на
,
.
Полученное уравнение:
является уравнением с разделёнными
переменными. Проинтегрируем его:
,
,
,
.
Последнее равенство является общим
интегралом данного дифференциального
уравнения.
Пример
5
.
Найти частное решение дифференциального
уравнения
,
удовлетворяющее условию
.
Решение
.
Учитывая, что
,
запишем уравнение в виде
или
.
Разделим переменные:
.
Проинтегрируем это уравнение:
,
,
.
Полученное соотношение является общим
интегралом данного уравнения. По условию
.
Подставим в общий интеграл и найдёмС
:
,С
=1.
Тогда выражение
является частным решением данного
дифференциального уравнения, записанным
в виде частного интеграла.
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Уравнение
(14)
называется
линейным
дифференциальным уравнением первого
порядка
.
Неизвестная функция
и её производная входят в это уравнение
линейно, а функции
и
непрерывны.
Если
,
то уравнение
(15)
называется
линейным
однородным
.
Если
,
то уравнение (14) называетсялинейным
неоднородным
.
Для нахождения решения уравнения (14) обычно используют метод подстановки (Бернулли) , суть которого в следующем.
Решение уравнения (14) будем искать в виде произведения двух функций
,
(16)
где
и
-
некоторые непрерывные функции. Подставим
и производную
в уравнение (14):
Функцию
v
будем подбирать таким образом, чтобы
выполнялось условие
.
Тогда
.
Таким образом, для нахождения решения
уравнения (14) нужно решить систему
дифференциальных уравнений
Первое
уравнение системы является линейным
однородным уравнением и решить его
можно методом разделения переменных:
,
,
,
,
.
В качестве функции
можно
взять одно из частных решений однородного
уравнения, т.е. приС
=1:
.
Подставим во второе уравнение системы:
или
.Тогда
.
Таким образом, общее решение линейного
дифференциального уравнения первого
порядка имеет вид
.
Пример
6
.
Решить уравнение
.
Решение
.
Решение уравнения будем искать в виде
.
Тогда
.
Подставим в уравнение:
или
.
Функциюv
выберем таким образом, чтобы выполнялось
равенство
.
Тогда
.
Решим первое из этих уравнений методом
разделения переменных:
,
,
,
,
.
Функциюv
подставим во второе уравнение:
,
,
,
.
Общим решением данного уравнения
является
.
Вопросы для самоконтроля знаний
Что называется дифференциальным уравнением?
Что называется порядком дифференциального уравнения?
Какое дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением первого порядка?
Как записывается дифференциальное уравнение первого порядка в дифференциальной форме?
Что называется решением дифференциального уравнения?
Что называется интегральной кривой?
Что называется общим решением дифференциального уравнения первого порядка?
Что называется частным решением дифференциального уравнения?
Как формулируется задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка?
Какова геометрическая интерпретация задачи Коши?
Как записывается дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными в симметрической форме?
Какое уравнение называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка?
Каким методом можно решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка и в чём суть этого метода?
Задания для самостоятельной работы
Решить дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
2. Решить линейные дифференциальные уравнения первого порядка:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.