Începem să luăm în considerare procesul real de calcul al integralei duble și să ne familiarizăm cu semnificația ei geometrică.

Integrala dublă este numeric egală cu aria figurii plane (regiunea de integrare). Acest cea mai simplă formă integrală dublă, când funcția a două variabile este egală cu una: .

Să luăm în considerare mai întâi problema în vedere generală. Acum vei fi destul de surprins cât de simplu este totul cu adevărat! Să calculăm aria unei figuri plate delimitate de linii. Pentru certitudine, presupunem că pe segmentul . Aria acestei figuri este numeric egală cu:

Să reprezentăm zona din desen:

Să alegem primul mod de a traversa zona:

Astfel:

Și imediat o tehnică tehnică importantă: integralele iterate pot fi calculate separat. Mai întâi integrala interioară, apoi integrala exterioară. Această metodă Il recomand cu incredere incepatorilor in materie.

1) Să calculăm integrala internă, iar integrarea se efectuează peste variabila „y”:

Integrala nedefinită aici este cea mai simplă, iar apoi se folosește formula banală Newton-Leibniz, cu singura diferență că limitele integrării nu sunt numerele, ci funcțiile. În primul rând, am înlocuit limita superioară în „y” (funcția antiderivată), apoi limita inferioară

2) Rezultatul obţinut la primul paragraf trebuie înlocuit în integrala externă:

O reprezentare mai compactă a întregii soluții arată astfel:

Formula rezultată - exact asta formula de lucru pentru a calcula aria unei figuri plane folosind integrala definită „obișnuită”! Urmărește lecția Calcularea ariei folosind o integrală definită, acolo este ea la fiecare pas!

adica problema calculării ariei folosind integrală dublă nu mult diferit din problema găsirii zonei folosind o integrală definită! De fapt, este același lucru!

Prin urmare, nu ar trebui să apară dificultăți! Nu mă voi uita la foarte multe exemple, deoarece, de fapt, ați întâlnit în mod repetat această sarcină.

Exemplul 9

Soluţie: Să reprezentăm zona din desen:

Să alegem următoarea ordine de parcurgere a zonei:

Aici și mai departe nu mă voi opri asupra modului de parcurgere a zonei, deoarece în primul paragraf au fost date explicații foarte detaliate.

Astfel:

După cum am menționat deja, este mai bine pentru începători să calculeze integrale iterate separat și voi rămâne la aceeași metodă:

1) În primul rând, folosind formula Newton-Leibniz, ne ocupăm de integrala internă:

2) Rezultatul obținut în prima etapă este înlocuit în integrala externă:

Punctul 2 este de fapt găsirea aria unei figuri plane folosind o integrală definită.

Răspuns:

Aceasta este o sarcină atât de stupidă și naivă.

Un exemplu interesant pentru decizie independentă:

Exemplul 10

Folosind o integrală dublă, calculați aria unei figuri plane delimitată de liniile , ,

Un exemplu aproximativ de soluție finală la sfârșitul lecției.

În Exemplele 9-10, este mult mai profitabil să folosești prima metodă de parcurgere a zonei, cititorii curioși, de altfel, pot schimba ordinea de parcurgere și pot calcula zonele folosind a doua metodă; Dacă nu greșești, atunci, în mod natural, vei obține aceleași valori de suprafață.

Dar, în unele cazuri, a doua metodă de traversare a zonei este mai eficientă, iar la sfârșitul cursului tânărului tocilar, să ne uităm la câteva exemple pe acest subiect:

Exemplul 11

Folosind o integrală dublă, calculați aria unei figuri plane delimitate de linii,

Soluţie: Așteptăm cu nerăbdare două parabole cu o ciudată care se află pe o parte. Nu este nevoie să zâmbești lucruri similare destul de des în integrale multiple.

Care este cel mai simplu mod de a face un desen?

Să ne imaginăm o parabolă sub forma a două funcții:
– ramura superioară și – ramura inferioară.

În mod similar, imaginați-vă o parabolă sub formă de sus și de jos ramuri.

Apoi, reprezentarea punctual a regulilor graficelor, rezultând o cifră atât de bizară:

Calculăm aria figurii folosind integrala dublă conform formulei:

Ce se întâmplă dacă alegem prima metodă de parcurgere a zonei? În primul rând, această zonă va trebui împărțită în două părți. Și în al doilea rând, vom observa această imagine tristă: . Integralele, desigur, nu sunt de un nivel supercomplicat, dar... există o veche zicală matematică: cei care sunt aproape de rădăcinile lor nu au nevoie de un test.

Prin urmare, din neînțelegerea dată în condiție, exprimăm funcțiile inverse:

Funcții inverse în în acest exemplu au avantajul că precizează întreaga parabola deodată fără frunze, ghinde, ramuri și rădăcini.

Conform celei de-a doua metode, traversarea zonei va fi după cum urmează:

Astfel:

După cum se spune, simți diferența.

1) Ne ocupăm de integrala internă:

Înlocuim rezultatul în integrala exterioară:

Integrarea peste variabila „y” nu ar trebui să fie confuză dacă ar exista o litera „zy”, ar fi grozav să o integrezi; Deși cine a citit al doilea paragraf al lecției Cum se calculează volumul unui corp de revoluție, nu mai experimentează nici cea mai mică stânjeneală cu integrarea după metoda „Y”.

Atenție și la primul pas: integrandul este par, iar intervalul de integrare este simetric față de zero. Prin urmare, segmentul poate fi înjumătățit, iar rezultatul poate fi dublat. Această tehnică este comentată în detaliu în lecție. Metode eficiente calcularea unei integrale definite.

Ce să adaugi... Toate!

Răspuns:

Pentru a vă testa tehnica de integrare, puteți încerca să calculați . Răspunsul ar trebui să fie exact același.

Exemplul 12

Folosind o integrală dublă, calculați aria unei figuri plane delimitată de linii

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Este interesant de observat că, dacă încercați să utilizați prima metodă de parcurgere a zonei, figura nu va mai trebui împărțită în două, ci în trei părți! Și, în consecință, obținem trei perechi de integrale repetate. Se întâmplă și asta.

Clasa de master s-a încheiat și este timpul să trecem la nivelul de mare maestru - Cum se calculează integrala dublă? Exemple de soluții. Voi încerca să nu fiu atât de maniac în al doilea articol =)

iti doresc succes!

Solutii si raspunsuri:

Exemplul 2:Soluţie: Să descriem zona pe desen:

Să alegem următoarea ordine de parcurgere a zonei:

Astfel:
Să trecem la funcțiile inverse:


Astfel:
Răspuns:

Exemplul 4:Soluţie: Să trecem la funcțiile directe:


Să facem desenul:

Să schimbăm ordinea de parcurgere a zonei:

Răspuns:

Sarcina nr. 3. Faceți un desen și calculați aria figurii delimitată de linii

Aplicarea integralei la rezolvarea problemelor aplicate

Calculul suprafeței

Integrala definită a unei funcții continue nenegative f(x) este numeric egală cu aria unui trapez curbiliniu delimitată de curba y = f(x), axa O x și liniile drepte x = a și x = b. În conformitate cu aceasta, formula ariei este scrisă după cum urmează:

Să ne uităm la câteva exemple de calculare a ariilor figurilor plane.

Sarcina nr. 1. Calculați aria delimitată de liniile y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.

Soluţie. Să construim o figură a cărei arie va trebui să o calculăm.

y = x 2 + 1 este o parabolă ale cărei ramuri sunt îndreptate în sus, iar parabola este deplasată în sus față de axa O y cu o unitate (Figura 1).

Figura 1. Graficul funcției y = x 2 + 1

Sarcina nr. 2. Calculați aria delimitată de liniile y = x 2 – 1, y = 0 în intervalul de la 0 la 1.

Soluţie. Graficul acestei funcții este o parabolă de ramuri care sunt îndreptate în sus, iar parabola este deplasată în jos față de axa O y cu o unitate (Figura 2).

Figura 2. Graficul funcției y = x 2 – 1

Sarcina nr. 3. Faceți un desen și calculați aria figurii delimitată de linii

y = 8 + 2x – x 2 și y = 2x – 4.

Soluţie. Prima dintre aceste două linii este o parabolă cu ramurile sale îndreptate în jos, deoarece coeficientul lui x 2 este negativ, iar a doua linie este o dreaptă care intersectează ambele axe de coordonate.

Pentru a construi o parabolă, găsim coordonatele vârfului acesteia: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – abscisa vârfului; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 este ordonata sa, N(1;9) este vârful său.

Acum să găsim punctele de intersecție ale parabolei și ale dreptei prin rezolvarea sistemului de ecuații:

Echivalarea părților drepte ale unei ecuații ale cărei părți stângi sunt egale.

Se obține 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 sau x 2 – 12 = 0, de unde .

Deci, punctele sunt punctele de intersecție ale unei parabole și ale unei linii drepte (Figura 1).

Figura 3 Grafice ale funcțiilor y = 8 + 2x – x 2 și y = 2x – 4

Să construim o dreaptă y = 2x – 4. Ea trece prin punctele (0;-4), (2;0) de pe axele de coordonate.

Pentru a construi o parabolă, puteți folosi și punctele sale de intersecție cu axa 0x, adică rădăcinile ecuației 8 + 2x – x 2 = 0 sau x 2 – 2x – 8 = 0. Folosind teorema lui Vieta, este ușor pentru a-i găsi rădăcinile: x 1 = 2, x 2 = 4.

Figura 3 prezintă o figură (segment parabolic M 1 N M 2) delimitată de aceste drepte.

A doua parte a problemei este să găsiți zona acestei figuri. Aria sa poate fi găsită folosind o integrală definită conform formulei .

În raport cu această condiție, obținem integrala:

2 Calculul volumului unui corp de rotație

Volumul corpului obținut din rotirea curbei y = f(x) în jurul axei O x se calculează prin formula:

Când se rotește în jurul axei O y, formula arată astfel:

Sarcina nr. 4. Determinați volumul corpului obținut din rotația unui trapez curbat delimitat de drepte x = 0 x = 3 și curba y = în jurul axei O x.

Soluţie. Să desenăm o imagine (Figura 4).

Figura 4. Graficul funcției y =

Volumul necesar este

Sarcina nr. 5. Calculați volumul corpului obținut din rotația unui trapez curbat mărginit de curba y = x 2 și de linii drepte y = 0 și y = 4 în jurul axei O y.

Soluţie. Avem:

Întrebări de revizuire

În acest articol veți învăța cum să găsiți aria unei figuri delimitate de linii folosind calcule integrale. Formularea unei astfel de probleme o întâlnim mai întâi în liceu, când tocmai am finalizat studiul integralelor definite și este timpul să începem interpretarea geometrică a cunoștințelor dobândite în practică.

Deci, ce este necesar pentru a rezolva cu succes problema găsirii ariei unei figuri folosind integrale:

• Abilitatea de a realiza desene competente;
• Abilitatea de a rezolva o integrală definită folosind renumită formulă Newton-Leibniz;
• Abilitatea de a „vedea” o opțiune de soluție mai profitabilă - de ex. înțelegeți cum va fi mai convenabil să efectuați integrarea într-un caz sau altul? De-a lungul axei x (OX) sau a axei y (OY)?
• Ei bine, unde am fi fără calcule corecte?) Aceasta include înțelegerea cum să rezolvăm acel alt tip de integrale și calcule numerice corecte.

Algoritm pentru rezolvarea problemei de calcul a ariei unei figuri delimitate de linii:

1. Construim un desen. Este indicat să faceți acest lucru pe o foaie de hârtie în carouri, la scară mare. Semnăm numele acestei funcții cu un creion deasupra fiecărui grafic. Semnarea graficelor se face numai pentru confortul calculelor ulterioare. După ce a primit un grafic al cifrei dorite, în majoritatea cazurilor va fi imediat clar ce limite de integrare vor fi utilizate. Astfel, rezolvăm problema grafic. Cu toate acestea, se întâmplă ca valorile limitelor să fie fracționale sau iraționale. Prin urmare, puteți face calcule suplimentare, treceți la pasul doi.

2. Dacă limitele de integrare nu sunt specificate în mod explicit, atunci găsim punctele de intersecție ale graficelor între ele și vedem dacă soluția noastră grafică coincide cu cea analitică.

3. Apoi, trebuie să analizați desenul. În funcție de modul în care sunt aranjate graficele funcțiilor, există diferite abordări pentru a găsi aria unei figuri. Să luăm în considerare exemple diferite la găsirea ariei unei figuri folosind integrale.

3.1. Cea mai clasică și simplă versiune a problemei este atunci când trebuie să găsiți zona unui trapez curbat. Ce este un trapez curbat? Aceasta este o figură plată limitată de axa x (y = 0), Drept x = a, x = b iar orice curbă continuă pe intervalul de la o la b. În plus, această cifră nu este negativă și nu se află sub axa x. În acest caz, aria trapezului curbiliniu este numeric egală cu o anumită integrală, calculată folosind formula Newton-Leibniz:

Exemplul 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Prin ce linii este delimitată figura? Avem o parabolă y = x2 – 3x + 3, care este situat deasupra axei OH, este nenegativ, deoarece toate punctele acestei parabole au valori pozitive. Apoi, date linii drepte x = 1Şi x = 3, care sunt paralele cu axa Op-amp, sunt liniile de delimitare ale figurii din stânga și dreapta. Bine y = 0, este și axa x, care limitează figura de jos. Figura rezultată este umbrită, așa cum se poate vedea din figura din stânga. În acest caz, puteți începe imediat să rezolvați problema. În fața noastră este un exemplu simplu de trapez curbat, pe care îl rezolvăm în continuare folosind formula Newton-Leibniz.

3.2. În paragraful anterior 3.1, am examinat cazul în care un trapez curbat este situat deasupra axei x. Acum luați în considerare cazul în care condițiile problemei sunt aceleași, cu excepția faptului că funcția se află sub axa x. La formula standard Newton-Leibniz se adaugă un minus. Vom analiza mai jos cum să rezolvăm o astfel de problemă.

Exemplul 2 . Calculați aria unei figuri delimitate de linii y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

În acest exemplu avem o parabolă y = x2 + 6x + 2, care provine din axă OH, Drept x = -4, x = -1, y = 0. Aici y = 0 limitează cifra dorită de sus. Direct x = -4Şi x = -1 acestea sunt limitele în care se va calcula integrala definită. Principiul rezolvării problemei găsirii ariei unei figuri coincide aproape complet cu exemplul numărul 1. Singura diferență este că funcția dată nu este pozitivă și este, de asemenea, continuă pe interval. [-4; -1] . Ce vrei sa spui ca nu pozitiv? După cum se poate observa din figură, figura care se află în x-urile date are coordonate exclusiv „negative”, ceea ce trebuie să vedem și să ne amintim atunci când rezolvăm problema. Căutăm aria figurii folosind formula Newton-Leibniz, doar cu semnul minus la început.

Articolul nu este completat.

Problema 1(despre calcularea ariei unui trapez curbat).

În carteziană sistem dreptunghiular coordonatele xOy, este dată o cifră (a se vedea figura) delimitată de axa x, drepte x = a, x = b (un trapez curbat. Este necesar să se calculeze aria trapezului curbat.
Soluţie. Geometria ne oferă rețete pentru calcularea ariilor poligoanelor și a unor părți ale unui cerc (sector, segment). Folosind considerații geometrice, putem găsi doar o valoare aproximativă a ariei necesare, raționând după cum urmează.

Să împărțim segmentul [a; b] (baza unui trapez curbat) în n părți egale; această partiție se realizează folosind punctele x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Să tragem linii drepte prin aceste puncte paralele cu axa y. Apoi, trapezul curbiliniu dat va fi împărțit în n părți, în coloane înguste. Aria întregului trapez este egală cu suma ariilor coloanelor.

Să luăm în considerare coloana k-a separat, adică. un trapez curbat a cărui bază este un segment. Să-l înlocuim cu un dreptunghi cu aceeași bază și înălțime egală cu f(x k) (vezi figura). Aria dreptunghiului este egală cu \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), unde \(\Delta x_k \) este lungimea segmentului; Este firesc să luăm în considerare produsul rezultat ca o valoare aproximativă a ariei coloanei k-a.

Dacă procedăm acum la fel cu toate celelalte coloane, vom ajunge la următorul rezultat: aria S a unui trapez curbiliniu dat este aproximativ egală cu aria S n a unei figuri în trepte formată din n dreptunghiuri (vezi figura):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Aici, de dragul uniformității notației, presupunem că a = x 0, b = x n; \(\Delta x_0 \) - lungimea segmentului, \(\Delta x_1 \) - lungimea segmentului etc.; în acest caz, așa cum am convenit mai sus, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)

Deci, \(S \approx S_n \), iar această egalitate aproximativă este mai precisă, cu cât n este mai mare.
Prin definiție, se crede că aria necesară a unui trapez curbiliniu este egală cu limita secvenței (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Problema 2(despre mutarea unui punct)
Un punct material se deplasează în linie dreaptă. Dependența vitezei de timp este exprimată prin formula v = v(t). Aflați mișcarea unui punct într-o perioadă de timp [a; b].
Soluţie. Daca miscarea ar fi uniforma, atunci problema s-ar rezolva foarte simplu: s = vt, i.e. s = v(b-a). Pentru mișcarea neuniformă, trebuie să utilizați aceleași idei pe care s-a bazat soluția la problema anterioară.
1) Împărțiți intervalul de timp [a; b] în n părți egale.
2) Considerați o perioadă de timp și presupuneți că în această perioadă de timp viteza a fost constantă, la fel ca la momentul t k. Deci presupunem că v = v(t k).
3) Să găsim valoarea aproximativă a mișcării punctului pe o perioadă de timp, vom desemna această valoare aproximativă s k
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Aflați valoarea aproximativă a deplasării s:
\(s \aprox S_n \) unde
\(S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Deplasarea necesară este egală cu limita secvenței (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Să rezumam. Soluțiile la diferite probleme au fost reduse la același model matematic. Multe probleme din diverse domenii ale științei și tehnologiei duc la același model în procesul de soluționare. Deci asta model matematic trebuie studiate special.

Conceptul de integrală definită

Să dăm o descriere matematică a modelului care a fost construit în cele trei probleme luate în considerare pentru funcția y = f(x), continuă (dar nu neapărat nenegativă, așa cum sa presupus în problemele luate în considerare) pe intervalul [a; b]:
1) împărțiți segmentul [a; b] în n părți egale;
2) alcătuiți suma $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) calculați $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

În cursul analizei matematice s-a dovedit că această limită există în cazul unei funcții continue (sau continuă pe bucăți). Îl sună o anumită integrală a funcției y = f(x) peste segmentul [a; b]și notată după cum urmează:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Numerele a și b se numesc limite de integrare (inferioară și respectiv superioară).

Să revenim la sarcinile discutate mai sus. Definiția zonei dată în problema 1 poate fi acum rescrisă după cum urmează:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
aici S este aria trapezului curbat prezentat în figura de mai sus. Aceasta este semnificația geometrică a unei integrale definite.

Definiția deplasării s a unui punct care se deplasează în linie dreaptă cu o viteză v = v(t) în perioada de timp de la t = a la t = b, dată în problema 2, poate fi rescrisă după cum urmează:

formula Newton-Leibniz

Mai întâi, să răspundem la întrebarea: care este legătura dintre integrala definită și antiderivată?

Răspunsul poate fi găsit în problema 2. Pe de o parte, deplasarea s a unui punct care se deplasează în linie dreaptă cu o viteză v = v(t) pe perioada de timp de la t = a la t = b se calculează prin formula
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)

Pe de altă parte, coordonatele unui punct în mișcare este o antiderivată pentru viteză - să o notăm s(t); Aceasta înseamnă că deplasarea s este exprimată prin formula s = s(b) - s(a). Ca rezultat obținem:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
unde s(t) este antiderivata lui v(t).

Următoarea teoremă a fost demonstrată în cursul analizei matematice.
Teorema. Dacă funcția y = f(x) este continuă pe intervalul [a; b], atunci formula este valabilă
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
unde F(x) este antiderivata lui f(x).

Formula dată este de obicei numită formula Newton-Leibnizîn onoarea fizicianului englez Isaac Newton (1643-1727) și a filozofului german Gottfried Leibniz (1646-1716), care l-au primit independent unul de celălalt și aproape simultan.

În practică, în loc să scrie F(b) - F(a), ei folosesc notația \(\left. F(x)\right|_a^b \) (uneori se numește dubla substitutie) și, în consecință, rescrieți formula Newton-Leibniz în această formă:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b \)

Când calculați o integrală definită, găsiți mai întâi antiderivată și apoi efectuați o dublă substituție.

Pe baza formulei Newton-Leibniz, putem obține două proprietăți ale integralei definite.

Proprietatea 1. Integrala sumei funcțiilor este egală cu suma integralelor:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)

Proprietatea 2. Factorul constant poate fi scos din semnul integral:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)

Calcularea ariilor figurilor plane folosind o integrală definită

Folosind integrala, puteți calcula zonele nu numai ale trapezelor curbilinie, ci și ale figurilor plane de tip mai complex, de exemplu, cea prezentată în figură. Figura P este limitată de drepte x = a, x = b și grafice ale funcțiilor continue y = f(x), y = g(x), iar pe segmentul [a; b] inegalitatea \(g(x) \leq f(x) \) este valabilă. Pentru a calcula aria S a unei astfel de figuri, vom proceda după cum urmează:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Deci, aria S a unei figuri mărginite de drepte x = a, x = b și grafice ale funcțiilor y = f(x), y = g(x), continuă pe segment și astfel încât pentru orice x din segment [o; b] inegalitatea \(g(x) \leq f(x) \) este satisfăcută, calculată prin formula
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Tabel de integrale nedefinite (antiderivate) ale unor funcții

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch) ) x +C $$

Integrală definită. Cum se calculează aria unei figuri

Să trecem la considerarea aplicațiilor calculului integral. În această lecție vom analiza sarcina tipică și cea mai comună – cum să folosiți o integrală definită pentru a calcula aria unei figuri plane. În cele din urmă, cei care caută sens în matematica superioară - să-l găsească. Nu se știe niciodată. Va trebui să o aducem mai aproape în viață teren cabana de vara funcții elementare și găsiți aria acesteia folosind o integrală definită.

Pentru a stăpâni cu succes materialul, trebuie să:

1) Înțelegeți integrală nedefinită cel putin la un nivel mediu. Astfel, manechinii ar trebui să citească mai întâi lecția Nu.

2) Să fie capabil să aplice formula Newton-Leibniz și să calculeze integrala definită. Puteți stabili relații prietenoase calde cu anumite integrale de pe pagină Integrală definită. Exemple de soluții.

De fapt, pentru a găsi aria unei figuri, nu aveți nevoie de atâtea cunoștințe despre integrala nedefinită și definită. Sarcina „calculați suprafața folosind o integrală definită” implică întotdeauna construirea unui desen, așa că cunoștințele și abilitățile tale de desen vor fi o problemă mult mai presantă. În acest sens, este util să vă reîmprospătați memoria graficelor principale functii elementareși, cel puțin, să poată construi o linie dreaptă, o parabolă și o hiperbolă. Acest lucru se poate face (pentru mulți, este necesar) folosind material metodologicși articole despre transformările geometrice ale graficelor.

De fapt, toată lumea a fost familiarizată cu sarcina de a găsi zona folosind o integrală definită încă de la școală și nu vom merge cu mult mai departe decât programa școlară. Acest articol poate să nu fi existat deloc, dar adevărul este că problema apare în 99 de cazuri din 100, când un elev suferă de o școală urâtă și stăpânește cu entuziasm un curs de matematică superioară.

Materialele acestui workshop sunt prezentate simplu, detaliat și cu un minim de teorie.

Să începem cu un trapez curbat.

Trapez curbiliniu este o figură plată delimitată de o axă, linii drepte și graficul unei funcții continuă pe un interval care nu își schimbă semnul pe acest interval. Fie localizată această cifră nu mai jos axa x:

Apoi aria unui trapez curbiliniu este numeric egală cu o integrală definită. Orice integrală definită (care există) are o semnificație geometrică foarte bună. În clasă Integrală definită. Exemple de soluții Am spus că o integrală definită este un număr. Și acum este timpul să mai spunem una fapt util. Din punct de vedere al geometriei, integrala definită este AREA.

adica integrala definită (dacă există) corespunde geometric cu aria unei anumite figuri. De exemplu, luați în considerare integrala definită. Integrandul definește o curbă pe planul situat deasupra axei (cei care doresc pot face un desen), iar integrala definită în sine este numeric egală cu aria trapezului curbiliniu corespunzător.

Exemplul 1

Aceasta este o declarație tipică de atribuire. În primul rând și cel mai important moment soluții – desen. Mai mult, desenul trebuie construit CORECT.

Când construiți un desen, vă recomand următoarea ordine: la început este mai bine să construiți toate liniile drepte (dacă există) și numai Apoi– parabole, hiperbole, grafice ale altor funcții. Este mai profitabil să construiești grafice ale funcțiilor punct cu punct, tehnica de construcție punct cu punct poate fi găsită în materialul de referință Grafice și proprietăți ale funcțiilor elementare. Acolo puteți găsi și material foarte util pentru lecția noastră - cum să construiți rapid o parabolă.

În această problemă, soluția ar putea arăta astfel.
Să desenăm desenul (rețineți că ecuația definește axa):

Nu voi ecloza un trapez curbat, aici este evident care este zona despre care vorbim. Solutia continua asa:

Pe segment se află graficul funcției deasupra axei, De aceea:

Răspuns:

Care are dificultăți în calcularea integralei definite și aplicarea formulei Newton-Leibniz , consultați prelegerea Integrală definită. Exemple de soluții.

După ce sarcina este finalizată, este întotdeauna util să priviți desenul și să vă dați seama dacă răspunsul este real. În acest caz, numărăm numărul de celule din desen „cu ochi” - ei bine, vor fi aproximativ 9, ceea ce pare să fie adevărat. Este absolut clar că dacă am primit, să zicem, răspunsul: 20 de unități pătrate, atunci este evident că s-a făcut o greșeală undeva - 20 de celule evident nu se încadrează în figura în cauză, cel mult o duzină. Dacă răspunsul este negativ, atunci și sarcina a fost rezolvată incorect.

Exemplul 2

Calculați aria unei figuri delimitate de linii , și axă

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Ce trebuie să faceți dacă este localizat trapezul curbat sub ax?

Exemplul 3

Calculați aria figurii delimitată de linii și axe de coordonate.

Soluţie: Hai să facem un desen:

Dacă este localizat un trapez curbat sub ax(sau cel putin nu mai sus axa dată), atunci aria sa poate fi găsită folosind formula:
În acest caz:

Atenţie! Cele două tipuri de sarcini nu trebuie confundate:

1) Dacă vi se cere să rezolvați pur și simplu o integrală definită fără niciuna sens geometric, atunci poate fi negativ.

2) Dacă vi se cere să găsiți aria unei figuri folosind o integrală definită, atunci aria este întotdeauna pozitivă! De aceea apare minusul în formula tocmai discutată.

În practică, cel mai adesea figura este situată atât în ​​semiplanul superior, cât și în cel inferior și, prin urmare, de la cele mai simple probleme școlare trecem la exemple mai semnificative.

Exemplul 4

Aflați aria unei figuri plane delimitată de liniile , .

Soluţie: Mai întâi trebuie să finalizați desenul. În general, atunci când construim un desen în probleme de zonă, suntem cel mai interesați de punctele de intersecție a liniilor. Să găsim punctele de intersecție ale parabolei și ale dreptei. Acest lucru se poate face în două moduri. Prima metodă este analitică. Rezolvam ecuatia:

Aceasta înseamnă că limita inferioară a integrării este , limita superioară a integrării este .
Dacă este posibil, este mai bine să nu utilizați această metodă..

Este mult mai profitabil și mai rapid să construiești linii punct cu punct, iar limitele integrării devin clare „de la sine”. Tehnica de construcție punct cu punct pentru diferite grafice este discutată în detaliu în ajutor Grafice și proprietăți ale funcțiilor elementare. Cu toate acestea, metoda analitică de găsire a limitelor mai trebuie folosită uneori dacă, de exemplu, graficul este suficient de mare sau construcția detaliată nu a evidențiat limitele integrării (pot fi fracționale sau iraționale). Și vom lua în considerare și un astfel de exemplu.

Să revenim la sarcina noastră: este mai rațional să construim mai întâi o linie dreaptă și abia apoi o parabolă. Să facem desenul:

Repet că atunci când construim punctual, limitele integrării sunt cel mai adesea descoperite „automat”.

Și acum formula de lucru: Dacă există o funcție continuă pe segment mai mare sau egal cu o funcție continuă , apoi aria figurii delimitată de graficele acestor funcții și liniile , , poate fi găsită folosind formula:

Aici nu mai trebuie să vă gândiți la locul în care se află figura - deasupra axei sau sub axa și, aproximativ vorbind, contează care grafic este MAI MARE(față de alt grafic), și care este JOS.

În exemplul luat în considerare, este evident că pe segment parabola este situată deasupra liniei drepte și, prin urmare, este necesar să se scadă din

Soluția finalizată ar putea arăta astfel:

Cifra dorită este limitată de o parabolă deasupra și de o linie dreaptă dedesubt.
Pe segment, conform formulei corespunzătoare:

Răspuns:

De fapt, formula școlară pentru aria unui trapez curbiliniu în semiplanul inferior (a se vedea exemplul simplu nr. 3) este caz special formule . Deoarece axa este specificată de ecuație, iar graficul funcției este localizat nu mai sus topoare, atunci

Și acum câteva exemple pentru propria dvs. soluție

Exemplul 5

Exemplul 6

Aflați aria figurii delimitată de liniile , .

Când rezolvați probleme care implică calcularea ariei folosind o integrală definită, se întâmplă uneori un incident amuzant. Desenul a fost făcut corect, calculele au fost corecte, dar din nepăsare... a fost găsită zona figurii greșite, exact așa a dat peste cap umilul tău servitor de mai multe ori. Aici caz real din viata:

Exemplul 7

Calculați aria figurii delimitată de liniile , , , .

Soluţie: Mai întâi, să facem un desen:

...Eh, desenul a ieșit prost, dar totul pare a fi lizibil.

Figura a cărei zonă trebuie să o găsim este umbrită în albastru(uitați-vă cu atenție la starea - cum este limitată cifra!). Dar, în practică, din cauza neatenției, apare adesea o „glitch” prin care trebuie să găsiți zona unei figuri care este umbrită. verde!

Acest exemplu este util și prin faptul că calculează aria unei figuri folosind două integrale definite. Serios:

1) Pe segmentul de deasupra axei se află un grafic al unei drepte;

2) Pe segmentul de deasupra axei există un grafic al unei hiperbole.

Este destul de evident că zonele pot (și ar trebui) să fie adăugate, prin urmare:

Răspuns:

Să trecem la o altă sarcină semnificativă.

Exemplul 8

Calculați aria unei figuri delimitate de linii,
Să prezentăm ecuațiile sub formă de „școală” și să facem un desen punct cu punct:

Din desen reiese clar că limita noastră superioară este „bună”: .
Dar care este limita inferioară?! Este clar că acesta nu este un număr întreg, dar ce este? Pot fi ? Dar unde este garanția că desenul este făcut cu acuratețe perfectă, s-ar putea dovedi că... Sau rădăcina. Ce se întâmplă dacă am construit incorect graficul?

În astfel de cazuri, trebuie să petreceți timp suplimentar și să clarificați limitele integrării analitic.

Să găsim punctele de intersecție ale unei linii drepte și ale unei parabole.
Pentru a face acest lucru, rezolvăm ecuația:


,

Într-adevăr, .

Soluția ulterioară este banală, principalul lucru este să nu vă confundați în substituții și semne, calculele de aici nu sunt cele mai simple.

Pe segment , conform formulei corespunzătoare:

Răspuns:

Ei bine, pentru a încheia lecția, să ne uităm la două sarcini mai dificile.

Exemplul 9

Calculați aria figurii delimitată de liniile , ,

Soluţie: Să reprezentăm această figură în desen.

La naiba, am uitat să semnez programul și, scuze, nu am vrut să refac poza. Nu este o zi de desen, pe scurt, azi este ziua =)

Pentru construcția punct cu punct trebuie să știți aspect sinusoide (și în general util de știut grafice ale tuturor funcţiilor elementare), precum și unele valori sinus, acestea pot fi găsite în tabel trigonometric. În unele cazuri (ca și în acest caz), este posibil să se construiască un desen schematic, pe care graficele și limitele de integrare ar trebui să fie în mod fundamental afișate corect.

Nu există probleme cu limitele de integrare aici, acestea rezultă direct din condiția: „x” se schimbă de la zero la „pi”. Să luăm o altă decizie:

Pe segment, graficul funcției este situat deasupra axei, prin urmare: