Într-un paralelogram, laturile opuse sunt egale și paralele. Paralelogram

Subiectul lecției

Proprietățile diagonalelor unui paralelogram.

Obiectivele lecției

Familiarizați-vă cu definiții noi și amintiți-vă de unele deja studiate.
Precizați și demonstrați proprietatea diagonalelor unui paralelogram.
Învață să aplici proprietățile formelor atunci când rezolvi probleme.
Dezvoltare – pentru a dezvolta atenția elevilor, perseverența, perseverența, gândirea logică, vorbirea matematică.
Educațional - prin lecție, cultivați o atitudine atentă unul față de celălalt, insuflați capacitatea de a asculta tovarășii, asistența reciprocă și independența.

Obiectivele lecției

Testați abilitățile elevilor de rezolvare a problemelor.

Planul lecției

Introducere.
Repetarea materialului studiat anterior.
Paralelogramul, proprietățile și caracteristicile sale.
Exemple de sarcini.
Verificare personală.

Introducere

"Mare descoperire științifică oferă o soluție la o problemă majoră, dar în soluționarea oricărei probleme există un sâmbure de descoperire.”

Proprietatea laturilor opuse ale unui paralelogram

Un paralelogram are laturile opuse care sunt egale.

Dovada.

Fie ABCD paralelogramul dat. Și lăsați diagonalele sale să se intersecteze în punctul O.
Deoarece Δ AOB = Δ COD după primul criteriu de egalitate a triunghiurilor (∠ AOB = ∠ COD, ca verticale, AO=OC, DO=OB, prin proprietatea diagonalelor unui paralelogram), atunci AB=CD. În același mod, din egalitatea triunghiurilor BOC și DOA rezultă că BC = DA. Teorema este demonstrată.

Proprietatea unghiurilor opuse ale unui paralelogram

Într-un paralelogram, unghiurile opuse sunt egale.

Dovada.

Fie ABCD paralelogramul dat. Și lăsați diagonalele sale să se intersecteze în punctul O.
Din ceea ce s-a dovedit în teorema despre proprietățile laturilor opuse ale unui paralelogram Δ ABC = Δ CDA pe trei laturi (AB=CD, BC=DA din cele dovedite, AC – general). Din egalitatea triunghiurilor rezultă că ∠ ABC = ∠ CDA.
De asemenea, se demonstrează că ∠ DAB = ∠ BCD, care rezultă din ∠ ABD = ∠ CDB. Teorema este demonstrată.

Proprietatea diagonalelor unui paralelogram

Diagonalele unui paralelogram se intersectează și sunt bisectate în punctul de intersecție.

Dovada.

Fie ABCD paralelogramul dat. Să desenăm diagonala AC. Să marchem pe el mijlocul O. În continuarea segmentului DO, vom lăsa deoparte segmentul OB 1 egal cu DO.
După teorema anterioară, AB 1 CD este un paralelogram. Prin urmare, linia AB 1 este paralelă cu DC. Dar prin punctul A se poate trasa o singură linie paralelă cu DC. Aceasta înseamnă că linia AB 1 coincide cu dreapta AB.
De asemenea, se dovedește că BC 1 coincide cu BC. Aceasta înseamnă că punctul C coincide cu C 1. paralelogramul ABCD coincide cu paralelogramul AB 1 CD. În consecință, diagonalele paralelogramului se intersectează și sunt bisectate în punctul de intersecție. Teorema este demonstrată.

În manualele școlilor obișnuite (de exemplu, în Pogorelovo) se dovedește astfel: diagonalele împart un paralelogram în 4 triunghiuri. Să luăm în considerare o pereche și să aflăm - sunt egale: bazele lor sunt laturi opuse, unghiurile corespunzătoare adiacente acesteia sunt egale, ca unghiurile verticale cu linii paralele. Adică, segmentele diagonalelor sunt egale în perechi. Toate.

Asta e tot?
S-a dovedit mai sus că punctul de intersecție traversează diagonalele - dacă există. Raționamentul de mai sus nu dovedește în niciun fel însăși existența lui. Adică, o parte a teoremei „diagonalele unui paralelogram se intersectează” rămâne nedovedită.

Lucrul amuzant este că această parte este mult mai greu de demonstrat. Aceasta rezultă, de altfel, din mai multe rezultat general: orice patrulater convex va avea diagonale care se intersectează, dar orice patrulater neconvex nu va avea.

Pe egalitatea triunghiurilor de-a lungul unei laturi și a două unghiuri adiacente (al doilea semn de egalitate a triunghiurilor) și altele.

Thales a găsit o teoremă importantă privind egalitatea a două triunghiuri de-a lungul unei laturi și a două unghiuri adiacente uz practic. Un telemetru a fost construit în portul Milet pentru a determina distanța până la o navă pe mare. Acesta a fost format din trei șuruburi antrenate A, B și C (AB = BC) și o linie dreaptă marcată SC, perpendiculară pe CA. Când o navă a apărut pe linia dreaptă SK, am găsit punctul D astfel încât punctele D, .B și E erau pe aceeași linie dreaptă. După cum reiese din desen, distanța CD la sol este distanța dorită până la navă.

Întrebări

Diagonalele unui pătrat sunt împărțite la jumătate la punctul de intersecție?
Diagonalele unui paralelogram sunt egale?
Sunt unghiurile opuse ale unui paralelogram egale?
Spuneți definiția paralelogramului?
Câte semne de paralelogram?
Poate un romb să fie un paralelogram?

Lista surselor utilizate

Kuznetsov A.V., profesor de matematică (clasele 5-9), Kiev
"Singur Examen de stat 2006. Matematică. Materiale educaționale și de instruire pentru pregătirea elevilor / Rosobrnadzor, ISOP - M.: Intellect-Center, 2006"
Mazur K. I. „Rezolvarea principalelor probleme de concurs la matematică ale colecției editate de M. I. Skanavi”
L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina „Geometrie, 7 – 9: manual pentru instituțiile de învățământ”

Am lucrat la lecție

Kuznetsov A.V.

Poturnak S.A.

Evgenii Petrov

Pune o întrebare despre învăţământul modern, exprimați o idee sau rezolvați o problemă presantă, puteți Forum educațional, unde un consiliu educațional de gândire și acțiune proaspătă se întrunește la nivel internațional. După ce a creat blog, Nu numai că îți vei îmbunătăți statutul de profesor competent, dar vei aduce și o contribuție semnificativă la dezvoltarea școlii viitorului. Breasla Liderilor Educaționali deschide porți specialiștilor de top și îi invită să coopereze în crearea celor mai bune școli din lume.

Subiecte > Matematică > Matematică clasa a VIII-a

Un paralelogram este un patrulater ale cărui laturi opuse sunt paralele în perechi (Fig. 233).

Pentru un paralelogram arbitrar sunt valabile următoarele proprietăți:

1. Laturile opuse ale unui paralelogram sunt egale.

Dovada. În paralelogramul ABCD desenăm diagonala AC. Triunghiurile ACD și AC B sunt egale, având o latură comună AC și două perechi de unghiuri egale adiacente acesteia:

(ca unghiuri transversale cu drepte paralele AD și BC). Aceasta înseamnă, la fel ca laturile triunghiurilor egale situate opuse unghiurilor egale, ceea ce trebuia demonstrat.

2. Unghiurile opuse ale unui paralelogram sunt egale:

3. Unghiurile adiacente ale unui paralelogram, adică unghiurile adiacente unei laturi, se adună etc.

Dovada proprietăților 2 și 3 se obține imediat din proprietățile unghiurilor pentru drepte paralele.

4. Diagonalele unui paralelogram se bisectează în punctul lor de intersecție. Cu alte cuvinte,

Dovada. Triunghiurile AOD și BOC sunt congruente, deoarece laturile lor AD și BC sunt egale (proprietatea 1) și unghiurile adiacente lor (ca unghiurile transversale pentru liniile paralele). De aici rezultă că laturile corespunzătoare acestor triunghiuri sunt egale: AO, care este ceea ce trebuia demonstrat.

Fiecare dintre aceste patru proprietăți caracterizează un paralelogram sau, după cum se spune, este proprietatea sa caracteristică, adică fiecare patrulater care are cel puțin una dintre aceste proprietăți este un paralelogram (și, prin urmare, are toate celelalte trei proprietăți).

Să facem dovada pentru fiecare proprietate separat.

1". Dacă laturile opuse ale unui patrulater sunt egale în perechi, atunci acesta este un paralelogram.

Dovada. Fie patrulaterul ABCD să aibă laturile AD și BC, AB și respectiv CD egale (Fig. 233). Să desenăm diagonala AC. Triunghiurile ABC și CDA vor fi egale ca având trei perechi laturi egale.

Dar atunci unghiurile BAC și DCA sunt egale și . Paralelismul laturilor BC și AD rezultă din egalitatea unghiurilor CAD și ACB.

2. Dacă un patrulater are două perechi de unghiuri opuse egale, atunci este un paralelogram.

Dovada. Lăsa . De atunci, ambele laturi AD și BC sunt paralele (pe baza paralelismului dreptelor).

3. Lăsăm cititorului formularea și dovada.

4. Dacă diagonalele unui patrulater se bisectează în punctul de intersecție, atunci patrulaterul este un paralelogram.

Dovada. Dacă AO = OS, BO = OD (Fig. 233), atunci triunghiurile AOD și BOC sunt egale, ca și cum ar avea unghiuri egale(vertical!) la vârful O, închis între perechi de laturi egale AO și CO, BO și DO. Din egalitatea triunghiurilor concluzionăm că laturile AD și BC sunt egale. Laturile AB și CD sunt de asemenea egale, iar patrulaterul se dovedește a fi un paralelogram conform proprietății caracteristice G.

Astfel, pentru a demonstra că un patrulater dat este un paralelogram, este suficient să verificăm validitatea oricăreia dintre cele patru proprietăți. Cititorul este invitat să demonstreze independent o altă proprietate caracteristică a unui paralelogram.

5. Dacă un patrulater are o pereche de laturi egale, paralele, atunci este un paralelogram.

Uneori, orice pereche de laturi paralele ale unui paralelogram se numește bazele sale, apoi celelalte două sunt numite laturi laterale. Un segment de linie dreaptă perpendicular pe două laturi ale unui paralelogram, închis între ele, se numește înălțimea paralelogramului. Paralelogramul din fig. 234 are o înălțime h trasă pe laturile AD și BC, a doua înălțime a sa este reprezentată de segmentul .

Conceptul de paralelogram

Definiția 1

Paralelogram este un patrulater în care laturile opuse sunt paralele între ele (Fig. 1).

Poza 1.

Un paralelogram are două proprietăți principale. Să le luăm în considerare fără dovezi.

Proprietatea 1: Laturile și unghiurile opuse ale unui paralelogram sunt, respectiv, egale.

Proprietatea 2: Diagonalele desenate într-un paralelogram sunt tăiate în două de punctul lor de intersecție.

Semne ale unui paralelogram

Să luăm în considerare trei caracteristici ale unui paralelogram și să le prezentăm sub formă de teoreme.

Teorema 1

Dacă două laturi ale unui patrulater sunt egale între ele și, de asemenea, paralele, atunci acest patrulater va fi un paralelogram.

Dovada.

Să ni se dea un patrulater $ABCD$. În care $AB||CD$ și $AB=CD$ Să desenăm în ea o diagonală $AC$ (Fig. 2).

Figura 2.

Luați în considerare liniile paralele $AB$ și $CD$ și secantele lor $AC$. Apoi

\[\angle CAB=\angle DCA\]

ca niște colțuri încrucișate.

Conform criteriului $I$ de egalitate a triunghiurilor,

deoarece $AC$ este partea lor comună și $AB=CD$ după condiție. Mijloace

\[\angle DAC=\angle ACB\]

Luați în considerare dreptele $AD$ și $CB$ și secantele lor $AC$ prin ultima egalitate între unghiurile situate obținem că $AD||CB$.) În consecință, prin definiție $1$, acest patrulater este un paralelogram;

Teorema este demonstrată.

Teorema 2

Dacă laturile opuse ale unui patrulater sunt egale între ele, atunci acesta este un paralelogram.

Dovada.

Să ni se dea un patrulater $ABCD$. În care $AD=BC$ și $AB=CD$. Să desenăm în ea o diagonală $AC$ (Fig. 3).

Figura 3.

Deoarece $AD=BC$, $AB=CD$ și $AC$ este o latură comună, atunci după criteriul $III$ pentru egalitatea triunghiurilor,

\[\triunghi DAC=\triunghi ACB\]

\[\angle DAC=\angle ACB\]

Să luăm în considerare liniile $AD$ și $CB$ și secantele lor $AC$ prin ultima egalitate peste unghiurile situate obținem acel $AD||CB$; Prin urmare, prin definiție $1$, acest patrulater este un paralelogram.

\[\angle DCA=\angle CAB\]

Să considerăm dreptele $AB$ și $CD$ și secantele lor $AC$ prin ultima egalitate peste unghiurile situate obținem acel $AB||CD$; Prin urmare, după Definiția 1, acest patrulater este un paralelogram.

Teorema este demonstrată.

Teorema 3

Dacă diagonalele desenate într-un patrulater sunt împărțite în două părți egale prin punctul lor de intersecție, atunci acest patrulater este un paralelogram.

Dovada.

Să ni se dea un patrulater $ABCD$. Să desenăm diagonalele $AC$ și $BD$ în el. Lasă-le să se intersecteze în punctul $O$ (Fig. 4).

Figura 4.

Deoarece, prin condiție, $BO=OD,\ AO=OC$, iar unghiurile $\angle COB=\angle DOA$ sunt verticale, atunci, după criteriul $I$ pentru egalitatea triunghiurilor,

\[\triangle BOC=\triunghi AOD\]

\[\angle DBC=\angle BDA\]

Luați în considerare liniile $BC$ și $AD$ și secantele lor $BD$ prin ultima egalitate peste unghiurile situate obținem acel $BC||AD$; De asemenea, $BC=AD$. Prin urmare, după teorema $1$, acest patrulater este un paralelogram.

Instituție de învățământ bugetar municipal

Savinskaya medie şcoală cuprinzătoare

Cercetare

Paralelogramul și noile sale proprietăți

Completat de: elev clasa 8B

Școala Gimnazială MBOU Savinskaya

Kuznetsova Svetlana, 14 ani

Șef: profesor de matematică

Tulchevskaya N.A.

p. Savino

Regiunea Ivanovo, Rusia

2016

eu. Introducere _________________________________________________pagina 3

II. Din istoria paralelogramului _________________________________pagina 4

III Proprietăți suplimentare ale unui paralelogram ______________________________pagina 4

IV. Dovada proprietăților _____________________________________ pagina 5

V. Rezolvarea problemelor folosind proprietăți suplimentare __________pagina 8

VI. Aplicarea proprietăților unui paralelogram în viață _________________pagina 11

VII. Concluzie _________________________________________________pagina 12

VIII. Literatură _________________________________________________pagina 13

Introducere

"Printre minți egale

la egalitatea altor condiţii

cel care cunoaște geometria este superior”

(Blaise Pascal).

În timp ce studiam subiectul „Paralelogram” în lecțiile de geometrie, ne-am uitat la două proprietăți ale unui paralelogram și trei caracteristici, dar când am început să rezolvăm probleme, s-a dovedit că acest lucru nu era suficient.

Am avut o întrebare: paralelogramul are alte proprietăți și cum vor ajuta ele la rezolvarea problemelor?

Și am decis să studiez proprietăți suplimentare ale unui paralelogram și să arăt cum pot fi aplicate pentru a rezolva probleme.

Subiect de studiu : paralelogram

Obiect de studiu : proprietățile unui paralelogram
Scopul lucrării:

formularea și demonstrarea proprietăților suplimentare ale unui paralelogram care nu sunt studiate la școală;

aplicarea acestor proprietăți pentru rezolvarea problemelor.

Sarcini:

Studiați istoria apariției paralelogramului și istoria dezvoltării proprietăților acestuia;

Găsiți literatură suplimentară despre problema studiată;

Studiați proprietățile suplimentare ale unui paralelogram și demonstrați-le;

Arată aplicarea acestor proprietăți pentru rezolvarea problemelor;

Luați în considerare aplicarea proprietăților unui paralelogram în viață.
Metode de cercetare:

Lucrul cu literatură educațională și populară, resurse de pe Internet;

Studiul materialului teoretic;

Identificarea unei game de probleme care pot fi rezolvate folosind proprietăți suplimentare ale unui paralelogram;

Observație, comparație, analiză, analogie.

Durata studiului : 3 luni: ianuarie-martie 2016

Într-un manual de geometrie citim următoarea definiție a paralelogramului: Un paralelogram este un patrulater ale cărui laturi opuse sunt paralele în perechi.

Cuvântul „paralelogram” este tradus ca „linii paralele” (de la cuvinte grecești Paralelos - paralel și gram - linie), acest termen a fost introdus de Euclid. În cartea sa Elemente, Euclid a demonstrat următoarele proprietăți ale unui paralelogram: laturile și unghiurile opuse ale unui paralelogram sunt egale, iar diagonala îl bisectează. Euclid nu menționează punctul de intersecție al unui paralelogram. Abia spre sfârșitul Evului Mediu s-a dezvoltat o teorie completă a paralelogramelor și abia în secolul al XVII-lea au apărut în manuale teoreme despre paralelograme, care sunt dovedite folosind teorema lui Euclid asupra proprietăților unui paralelogram.

III Proprietăți suplimentare ale unui paralelogram

În manualul de geometrie, sunt date doar 2 proprietăți ale unui paralelogram:

Unghiurile și laturile opuse sunt egale

Diagonalele unui paralelogram se intersectează și sunt tăiate în două de punctul de intersecție.

ÎN diverse surseÎn geometrie, puteți găsi următoarele proprietăți suplimentare:

Suma unghiurilor adiacente ale unui paralelogram este 180 0

Bisectoarea unghiului unui paralelogram decupează de acesta un triunghi isoscel;

Bisectoarele unghiurilor opuse ale unui paralelogram se află pe drepte paralele;

Bisectoarele unghiurilor adiacente ale unui paralelogram se intersectează în unghi drept;

Când bisectoarele tuturor unghiurilor unui paralelogram se intersectează, ele formează un dreptunghi;

Distanțele de la colțurile opuse ale unui paralelogram la aceeași diagonală sunt egale.

Dacă conectați vârfuri opuse într-un paralelogram cu punctele medii ale laturilor opuse, obțineți un alt paralelogram.

Suma pătratelor diagonalelor unui paralelogram este egală cu de două ori suma pătratelor laturilor adiacente ale acestuia.

Dacă desenați altitudini din două unghiuri opuse într-un paralelogram, obțineți un dreptunghi.

IV Dovada proprietăților unui paralelogram

Suma unghiurilor adiacente ale unui paralelogram este 180 0

Dat:

ABCD – paralelogram

Dovedi:

A+
B=

Dovada:

A și
B – unghiuri interne unilaterale cu drepte paralele BC AD și secanta AB, ceea ce înseamnă
A+
B=

Dat: ABCD - paralelogram,

Bisectoare AK
A.

Dovedi: AVK – isoscel

Dovada:

1)
1=
3 (încrucișat la BC AD și secant AK ),

2)
2=
3 deoarece AK este o bisectoare,

înseamnă 1=
2.

3) ABC - isoscel deoarece 2 unghiuri ale unui triunghi sunt egale

. Bisectoarea unghiului unui paralelogram decupează un triunghi isoscel din acesta

Dat: ABCD este un paralelogram,

AK – bisectoare A,

CP - bisectoare C.

Dovedi: AK ║ SR

Dovada:

1) 1=2 deoarece AK este bisectoare

2) 4=5 deoarece CP – bisectoare

3) 3=1 (unghiuri de culcare transversală la

BC ║ AD și AK-secante),

4) A =C (prin proprietatea unui paralelogram), ceea ce înseamnă 2=3=4=5.

4) Din paragrafele 3 și 4 rezultă că 1 = 4, iar aceste unghiuri corespund dreptelor AK și CP și secantei BC,

aceasta înseamnă AK ║ CP (bazat pe paralelismul liniilor)

. Bisectoarele unghiurilor opuse ale unui paralelogram se află pe drepte paralele

Bisectoarele unghiurilor adiacente ale unui paralelogram se intersectează în unghi drept

Dat: ABCD - paralelogram,

AK-bisectoare A,

Bisectoarea DP D

Dovedi: DP AK.

Dovada:

1) 1=2, deoarece AK - bisectoare

Fie 1=2=x, apoi A=2x,

2) 3=4, deoarece D Р – bisectoare

Fie 3=4=y, apoi D=2y

3) A + D =180 0, deoarece suma unghiurilor adiacente ale unui paralelogram este 180

2) Luați în considerare O OD

1+3=90 0 , atunci
<5=90 0 (сумма углов треугольников равна 180 0)

5. Bisectoarele tuturor unghiurilor unui paralelogram la intersectare formează un dreptunghi

Dat: ABCD - paralelogram, AK-bisectoare A,

DP-bisectoare D,

CM bisectoare C,

BF - bisectoare B .

Dovedi: KRNS - dreptunghi

Dovada:

Pe baza proprietății anterioare 8=7=6=5=90 0 ,

înseamnă că KRNS este un dreptunghi.

Distanțele de la colțurile opuse ale unui paralelogram la aceeași diagonală sunt egale.

Dat: ABCD-paralelogram, AC-diagonală.

VC AC, D.P. A.C.

Dovedi: BC=DP

Dovada: 1) DCP = KAB, ca cruci interioare situate cu AB ║ CD și secante AC.

2) AKB= CDP (de-a lungul laturii și a două unghiuri adiacente AB=CD CD P=AB K).

Și în triunghiuri egale laturile corespunzătoare sunt egale, ceea ce înseamnă DP=BK.

Dacă conectați vârfuri opuse într-un paralelogram cu punctele medii ale laturilor opuse, obțineți un alt paralelogram.

Dat: ABCD paralelogram.

Dovedi: VKDP este un paralelogram.

Dovada:

1) BP=KD (AD=BC, punctele K și P

împărțiți aceste părți în jumătate)

2) BP ║ KD (mintire pe AD BC)

Dacă laturile opuse ale unui patrulater sunt egale și paralele, atunci patrulaterul este un paralelogram.

Dacă desenați altitudini din două unghiuri opuse într-un paralelogram, obțineți un dreptunghi.

Suma pătratelor diagonalelor unui paralelogram este egală cu de două ori suma pătratelor laturilor adiacente ale acestuia.

Dat: ABCD este un paralelogram. BD și AC sunt diagonale.

Dovedi: AC 2 +ВD 2 =2(AB 2 + AD 2 )

Dovada: 1)CERE: A.C. ²=
+

2)B RD : BD 2 = B R 2 + RD 2 (conform teoremei lui Pitagora)

3) A.C. ²+ BD ²=SK²+A K²+B Р²+РD ²

4) SC = BP = N(înălţime )

5) AC 2 +BD 2 = H 2 + A LA 2 + H 2 +PD 2

6) Lăsa D K=A P=x, Apoi C LAD : H 2 = CD 2 - X 2 conform teoremei lui Pitagora )

7) AC²+BD ² = CD 2 - x²+ AK 1 ²+ CD 2 -X 2 +PD 2 ,

AC²+BD ²=2СD 2 -2x 2 + A LA 2 +PD 2

8) A LA=AD+ X, RD=AD- X,

AC²+BD ² =2CD 2 -2x 2 +(ANUNȚ +x) 2 +(ANUNȚ -X) 2 ,

AC²+ ÎND²=2 CUD²-2 X² +AD 2 +2AD X+ X 2 +AD 2 -2AD X+ X 2 ,
AC²+ ÎND²=2CD 2 +2AD 2 =2(CD 2 +AD 2 ).

V . Rezolvarea problemelor folosind aceste proprietăți

Punctul de intersecție al bisectoarelor a două unghiuri ale unui paralelogram adiacent unei laturi aparține laturii opuse. Cea mai scurtă latură a unui paralelogram este 5 . Găsește-i partea cea mare.

Dat: ABCD este un paralelogram,

AK – bisectoare
A,

D K – bisectoare
D, AB=5

Găsi: Soarele

decizie

Soluţie

Deoarece AK - bisectoare
Și atunci ABC este isoscel.

Deoarece D K – bisectoare
D, atunci DCK - isoscel

DC =C K= 5

Apoi, BC=VC+SC=5+5 = 10

Raspuns: 10

2. Aflați perimetrul unui paralelogram dacă bisectoarea unuia dintre unghiurile sale împarte latura paralelogramului în segmente de 7 cm și 14 cm.

1 caz

Dat:
A,

VK=14 cm, KS=7 cm

Găsi: P paralelogram

Soluţie

VS=VK+KS=14+7=21 (cm)

Deoarece AK – bisectoare
Și atunci ABC este isoscel.

AB=BK= 14 cm

Atunci P=2 (14+21) =70 (cm)

petrecându-se

Dat: ABCD este un paralelogram,

D K – bisectoare
D

VK=14 cm, KS=7 cm

Găsi: P paralelogram

Soluţie

VS=VK+KS=14+7=21 (cm)

Deoarece D K – bisectoare
D, atunci DCK - isoscel

DC =C K= 7

Atunci, P= 2 (21+7) = 56 (cm)

Răspuns: 70 cm sau 56 cm

3. Laturile unui paralelogram au 10 cm și 3 cm Bisectoarele a două unghiuri adiacente laturii mai mari împart latura opusă în trei segmente. Găsiți aceste segmente.

1 caz: bisectoarele se intersectează în afara paralelogramului

Dat: ABCD – paralelogram, AK – bisectoare
A,

D K – bisectoare
D, AB=3 cm, BC=10 cm

Găsi: VM, MN, NC

Soluţie

Deoarece AM - bisectoare
Și apoi AVM este isoscel.

Deoarece DN – bisectoare
D, atunci DCN - isoscel

DC=CN=3

Atunci, MN = 10 – (BM +NC) = 10 – (3+3)=4 cm

Cazul 2: bisectoarele se intersectează în interiorul unui paralelogram

Deoarece AN - bisectoare
Și atunci ABN este isoscel.

AB=BN = 3 D

Și grila glisantă trebuie mutată la distanța necesară în prag

Mecanismul paralelogramului- un mecanism cu patru bare, ale cărui legături formează un paralelogram. Este folosit pentru implementarea mișcării de translație prin mecanisme cu balamale.

Paralelogram cu o legătură fixă- o verigă este nemișcată, cea opusă face o mișcare de balansare, rămânând paralelă cu cea nemișcată. Două paralelograme conectate unul după altul dau legăturii de capăt două grade de libertate, lăsând-o paralelă cu legătura staționară.

Exemple: ștergătoarele de parbriz pentru autobuze, stivuitoare, trepiede, umerase, suspensii auto.

Paralelogram cu articulație fixă- se folosește proprietatea paralelogramului de a menține un raport constant al distanțelor între trei puncte. Exemplu: pantograf de desen - un dispozitiv pentru scalarea desenelor.

Romb- toate legăturile au aceeași lungime, apropierea (contracția) unei perechi de balamale opuse duce la depărtarea celorlalte două balamale. Toate linkurile funcționează în compresie.

Exemple - cric de automobile în formă de diamant, pantograf de tramvai.

foarfeca sau Mecanism în formă de X, de asemenea cunoscut ca si foarfece de la Nürnberg- varianta romb - doua verigi legate in mijloc printr-o balama. Avantajele mecanismului sunt compactitatea și simplitatea, dezavantajul este prezența a două perechi glisante. Două (sau mai multe) astfel de mecanisme conectate în serie formează un diamant(e) în mijloc. Folosit în ascensoare și jucării pentru copii.

VII Concluzie

Cine a studiat matematica încă din copilărie?

își dezvoltă atenția, își antrenează creierul,

propria voință, cultivă perseverența

și perseverență în atingerea scopurilor

A. Markushevici

În timpul lucrării, am demonstrat proprietăți suplimentare ale paralelogramului.

Eram convins că, folosind aceste proprietăți, puteți rezolva problemele mai rapid.

Am arătat cum sunt aplicate aceste proprietăți folosind exemple de rezolvare a unor probleme specifice.

Am învățat multe despre paralelogram, care nu este în manualul nostru de geometrie

Eram convins că cunoașterea geometriei este foarte importantă în viață prin exemple de aplicare a proprietăților unui paralelogram.

Scopul muncii mele de cercetare a fost îndeplinit.

Importanța cunoștințelor matematice este evidențiată de faptul că a fost stabilit un premiu pentru persoana care publică o carte despre o persoană care și-a trăit întreaga viață fără ajutorul matematicii. Nicio persoană nu a primit încă acest premiu.

VIII Literatură

În lecția de astăzi vom trece în revistă proprietățile de bază ale unui paralelogram, apoi vom acorda atenție luării în considerare a primelor două proprietăți ale unui paralelogram și le vom demonstra. În cursul demonstrației, să ne amintim utilizarea testelor pentru egalitatea triunghiurilor, pe care le-am studiat anul trecut și le-am repetat în prima lecție. La final, se va da un exemplu de utilizare a caracteristicilor studiate ale unui paralelogram.

Subiect: Cadrilatere

Lecția: Semne ale unui paralelogram

Să începem prin a aminti definiția paralelogramului.

Definiție. Paralelogram- un patrulater în care fiecare două laturi opuse sunt paralele (vezi Fig. 1).

Orez. 1. Paralelogram

Să ne amintim proprietățile de bază ale paralelogramului:

Pentru a putea folosi toate aceste proprietăți, trebuie să fii sigur că figura în cauză este un paralelogram. Pentru a face acest lucru, trebuie să cunoașteți fapte precum caracteristicile unui paralelogram. Le vom lua în considerare astăzi pe primele două dintre ele.

Teorema. Primul semn al paralelogramului. Dacă două laturi opuse ale unui patrulater sunt egale și paralele, atunci acest patrulater este paralelogram. .

Orez. 2. Primul semn al unui paralelogram

Dovada. Să desenăm o diagonală în patrulater (vezi Fig. 2), o împarte în două triunghiuri. Să scriem ce știm despre aceste triunghiuri:

după primul criteriu de egalitate a triunghiurilor.

Din egalitatea triunghiurilor indicate rezultă că în virtutea paralelismului dreptelor când se intersectează cu o secante. Avem asta:

Dovedit.

Teorema. Al doilea semn al unui paralelogram. Dacă într-un patrulater fiecare două laturi opuse sunt egale, atunci acest patrulater este paralelogram. .

Orez. 3. Al doilea semn al unui paralelogram

Dovada. Să desenăm o diagonală în patrulater (vezi Fig. 3), o împarte în două triunghiuri. Să scriem ce știm despre aceste triunghiuri pe baza formulării teoremei:

conform celui de-al treilea criteriu pentru egalitatea triunghiurilor.

Din egalitatea triunghiurilor rezultă că dreptele sunt paralele atunci când se intersectează cu o secante. Primim:

paralelogram prin definiție. Q.E.D.

Dovedit.

Să ne uităm la un exemplu de utilizare a caracteristicilor paralelogramului.

Exemplul 1. Într-un patrulater convex Aflați: a) unghiurile patrulaterului; b) lateral.

Soluţie. Să reprezentăm Fig. 4.

Orez. 4

paralelogram după primul semn al paralelogramului.