Cursul este o înregistrare video de studio a primei jumătăți a primului semestru de prelegeri de analiză matematică, așa cum sunt susținute la Universitatea Academică. Pe parcursul a 4 module, elevii se vor familiariza cu conceptele de bază ale analizei matematice: secvențe, limite și continuitate. Ne vom limita doar la numere reale și funcții ale unei variabile. Prezentarea se va desfășura la un nivel destul de elementar fără posibile generalizări care nu schimbă ideile principale ale dovezilor, dar complică semnificativ percepția. Toate afirmațiile (cu excepția unor justificări formale plictisitoare chiar la începutul cursului și în definirea funcțiilor elementare) vor fi dovedite cu strictețe. Înregistrările video sunt însoțite de un număr mare de sarcini pentru ca elevii să lucreze independent.
Pentru cine este acest curs
Studenți juniori ai specialităților tehnice
Elevii trebuie să stăpânească bine programa școlară de matematică. Și anume, trebuie să știți cum arată graficele funcțiilor elementare de bază, să cunoașteți formulele de bază pentru funcții trigonometrice, exponențiale și logaritmice, pentru progresii aritmetice și geometrice și, de asemenea, să fiți capabil să faceți cu încredere transformări algebrice cu egalități și inegalități. Pentru mai multe probleme trebuie să cunoașteți și cele mai simple proprietăți ale numerelor raționale și iraționale.
Cursul se adresează licențelor și masteranzilor cu specializare în discipline matematice, economice sau științe ale naturii, precum și profesorilor de matematică din gimnaziu și profesorilor universitari. De asemenea, va fi util pentru școlari care studiază matematica în profunzime.
Structura cursului este tradițională. Cursul acoperă material clasic de analiză matematică, studiat în primul an de universitate în primul semestru. Vor fi prezentate secțiunile „Elemente de teoria mulțimilor și numere reale”, „Teoria secvențelor de numere”, „Limita și continuitatea unei funcții”, „Diferențiabilitatea unei funcții”, „Aplicații ale diferențiabilității”. Ne vom familiariza cu conceptul de mulțime, vom oferi o definiție strictă a unui număr real și vom studia proprietățile numerelor reale. Apoi vom vorbi despre secvențele de numere și proprietățile lor. Acest lucru ne va permite să luăm în considerare conceptul de funcție numerică, bine cunoscut școlarilor, la un nivel nou, mai riguros. Vom introduce conceptul de limită și continuitate a unei funcții, vom discuta proprietățile funcțiilor continue și aplicarea lor pentru rezolvarea problemelor.
În a doua parte a cursului, vom defini derivata și diferențiabilitatea unei funcții a unei variabile și vom studia proprietățile funcțiilor diferențiabile. Acest lucru vă va permite să învățați cum să rezolvați probleme aplicate atât de importante, cum ar fi calculul aproximativ al valorilor funcției și rezolvarea ecuațiilor, calcularea limitelor, studierea proprietăților unei funcții și construirea graficului acesteia.
Format
Forma de studiu este corespondența (distanța).
Cursurile săptămânale vor include vizionarea de prelegeri video tematice și finalizarea sarcinilor de testare cu verificarea automată a rezultatelor.
Un element important al studierii disciplinei este soluția independentă a problemelor de calcul și de demonstrare. Soluția va trebui să conțină raționament riguros și corect din punct de vedere logic care să conducă la răspunsul corect (în cazul unei probleme de calcul) sau să demonstreze complet afirmația cerută (pentru probleme teoretice).
Cerințe
Cursul este destinat absolvenților de anul I de licență. Sunt necesare cunoștințe de matematică elementară la nivelul liceului (clasa a 11-a).
Programul cursului
Cursul 1. Elemente de teoria multimilor.
Cursul 2. Conceptul de număr real. Fețele exacte ale mulțimilor numerice.
Cursul 3. Operatii aritmetice pe numere reale. Proprietățile numerelor reale.
Cursul 4. Secvențe de numere și proprietățile lor.
Cursul 5. Secvențe monotone. Criteriul Cauchy pentru convergența secvenței.
Cursul 6. Conceptul de funcție a unei variabile. Limita functiei. Funcții infinit de mici și infinit de mari.
Cursul 7. Continuitatea funcției. Clasificarea punctelor de întrerupere. Proprietățile locale și globale ale funcțiilor continue.
Cursul 8. Funcții monotone. Funcția inversă.
Cursul 9. Cele mai simple funcții elementare și proprietățile lor: funcții exponențiale, logaritmice și de putere.
Cursul 10. Funcții trigonometrice și trigonometrice inverse. Limite remarcabile. Continuitate uniformă a funcției.
Cursul 11. Conceptul de derivată și diferențială. Sensul geometric al derivatului. Reguli de diferențiere.
Cursul 12. Derivate ale funcţiilor elementare de bază. Diferenţial de funcţie.
Cursul 13. Derivate și diferențiale de ordin superior. formula lui Leibniz. Derivate ale funcţiilor definite parametric.
Cursul 14. Proprietățile de bază ale funcțiilor diferențiabile. teoremele lui Rolle și Lagrange.
Cursul 15. teorema lui Cauchy. Prima regulă a L'Hopital de a dezvălui incertitudinea.
Cursul 16. A doua regulă a lui L'Hopital pentru dezvăluirea incertitudinilor. Formula lui Taylor cu un termen de rest în forma Peano.
Cursul 17. Formula lui Taylor cu un termen rest în formă generală, în forma Lagrange și Cauchy. Extinderea după formula Maclaurin a principalelor funcții elementare. Aplicații ale formulei lui Taylor.
Cursul 18. Condiții suficiente pentru un extremum. Asimptotele graficului unei funcții. Convex.
Cursul 19. Puncte de inflexiune. Schema generală a cercetării funcţiilor. Exemple de trasare grafice.
Rezultatele învățării
Ca urmare a stăpânirii cursului, studentul va dobândi o înțelegere a conceptelor de bază ale analizei matematice: mulțime, număr, succesiune și funcție, se va familiariza cu proprietățile acestora și va învăța să aplice aceste proprietăți la rezolvarea problemelor.
Întrebări pentru examenul la „Analiza matematică”, anul I, semestrul I.
1. Mulțimi. Operații de bază pe platouri. Spații metrice și aritmetice.
2. Seturi numerice. Seturi pe linia numerică: segmente, intervale, semi-axe, vecinătăți.
3. Definiția unei mulțimi mărginite. Limitele superioare și inferioare ale seturilor de numere. Postulate despre limitele superioare și inferioare ale mulțimilor numerice.
4. Metoda inducției matematice. inegalitățile Bernoulli și Cauchy.
5. Definiția unei funcții. Graficul funcției. Funcții pare și impare. Funcții periodice. Metode pentru specificarea unei funcții.
6. Limită de consistență. Proprietăţi ale secvenţelor convergente.
7. Secvențe limitate. Teoremă cu o condiție suficientă pentru divergența unei secvențe.
8. Definiția unei secvențe monotone. Teorema lui Weierstrass pe o secvență monotonă.
9. Numărul e.
10. Limita unei funcții într-un punct. Limita unei funcții la infinit. Limite unilaterale.
11. Funcții infinitezimale. Limita sumei, produsului și coeficientului de funcții.
12. Teoreme privind stabilitatea inegalităţilor. Trecerea la limită în inegalități. Teoremă despre trei funcții.
13. Prima și a doua sunt limite minunate.
14. Funcții infinit de mari și legătura lor cu funcții infinitezimale.
15. Comparația funcțiilor infinitezimale. Proprietățile infinitezimale echivalente. Teoremă privind înlocuirea infinitezimalelor cu altele echivalente. Echivalențe de bază.
16. Continuitatea unei funcții într-un punct. Acțiuni cu funcții continue. Continuitatea funcțiilor elementare de bază.
17. Clasificarea punctelor de discontinuitate a funcţiilor. Definitie prin continuitate
18. Definiția unei funcții complexe. Limita unei funcții complexe. Continuitatea unei funcții complexe. Funcții hiperbolice
19. Continuitatea unei funcții pe un segment. Teoremele lui Cauchy asupra dispariției unei funcții continue pe un interval și asupra valorii intermediare a funcției.
20. Proprietățile funcțiilor continue pe un interval. Teorema lui Weierstrass asupra mărginirii unei funcții continue. Teorema lui Weierstrass privind cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții.
21. Definiția unei funcții monotone. Teorema lui Weierstrass asupra limitei unei funcții monotone. Teoremă asupra mulțimii valorilor unei funcții care este monotonă și continuă pe un interval.
22. Funcția inversă. Graficul funcției inverse. Teorema privind existența și continuitatea funcției inverse.
23. Funcții trigonometrice și hiperbolice inverse.
24. Determinarea derivatei unei funcții. Derivate ale funcţiilor elementare de bază.
25. Definiția unei funcții diferențiabile. Condiție necesară și suficientă pentru diferențiabilitatea unei funcții. Continuitatea unei funcții diferențiabile.
26. Sensul geometric al derivatului. Ecuația tangentei și a normalei la graficul unei funcții.
27. Derivată a sumei, produsului și câtului a două funcții
28. Derivată a unei funcții complexe și a funcției sale inverse.
29. Diferențierea logaritmică. Derivată a unei funcții dată parametric.
30. Partea principală a creșterii funcției. Formula de liniarizare a funcției. Sensul geometric al diferenţialului.
31. Diferenţialul unei funcţii complexe. Invarianța formei diferenţialului.
32. Teoreme ale lui Rolle, Lagrange și Cauchy privind proprietățile funcțiilor diferențiabile. Formula de increment finit.
33. Aplicarea derivatelor la dezvăluirea incertitudinilor în limite. Regula lui L'Hopital.
34. Definiţia derivative ordinea a n-a. Reguli pentru găsirea derivatei de ordinul al n-lea. formula lui Leibniz. Diferențiale de ordine superioare.
35. Formula lui Taylor cu un termen de rest în forma Peano. Termeni reziduali în formele Lagrange și Cauchy.
36. Funcții de creștere și scădere. Puncte extreme.
37. Convexitatea și concavitatea funcției. Puncte de inflexiune.
38. Pauze nesfârșite de caracteristici. Asimptote.
39. Schema pentru construirea unui grafic al unei funcții.
40. Definiţia antiderivative. Proprietățile de bază ale antiderivatei. Cele mai simple reguli de integrare. Tabelul integralelor simple.
41. Integrarea prin schimbarea variabilei și formula de integrare prin părți în integrala nedefinită.
42. Integrarea expresiilor formei e ax cos bx și e ax sin bx folosind relații de recurență.
43. Integrarea fracțiilor |
folosind relaţii de recurenţă. |
|||
a 2 n |
||||
44. Integrală nedefinită a unei funcții raționale. Integrarea fracțiilor simple.
45. Integrală nedefinită a unei funcții raționale. Descompunerea fracțiilor proprii în fracții simple.
46. Integrală nedefinită a unei funcții iraționale. Integrarea expresiilor
Rx, m |
|||
47. Integrală nedefinită a unei funcții iraționale. Integrarea expresiilor de forma R x , ax 2 bx c . înlocuirile lui Euler.
48. Integrarea expresiilor formei |
|||||||||||||
ax2 bx c |
ax2 bx c |
2 lăzi c |
49. Integrală nedefinită a unei funcții iraționale. Integrarea diferenţialelor binomiale.
50. Integrarea expresiilor trigonometrice. Substituție trigonometrică universală.
51. Integrarea expresiilor trigonometrice raționale în cazul în care integrandul este impar față de sin x (sau cos x) sau chiar față de sin x și cos x.
52. Integrarea expresiilor sin n x cos m x și sin nx cos mx .
53. Integrarea expresiilor tg m x și ctg m x .
54. Integrarea expresiilor R x , x 2 a 2 , R x , a 2 x 2 și R x , x 2 a 2 folosind substituții trigonometrice.
55. Integrală definită. Problema calculării ariei unui trapez curbat.
56. Sume integrale. Darboux sume. Teoremă privind condiția existenței unei integrale definite. Clase de funcții integrabile.
57. Proprietățile unei integrale definite. Teoreme ale valorii medii.
58. Integrală definită în funcție de limita superioară. Formula Newton-Leibniz.
59. Formula pentru schimbarea unei variabile și formula pentru integrarea pe părți într-o integrală definită.
60. Aplicarea calculului integral la geometrie. Volumul figurii. Volumul cifrelor de rotație.
61. Aplicarea calculului integral la geometrie. Aria unei figuri plate. Zona unui sector curbat. Lungimea curbei.
62. Definiția unei integrale improprie de primul fel. Formula Newton-Leibniz pentru integrale improprie de primul fel. Cele mai simple proprietăți.
63. Convergența integralelor improprie de primul fel pentru o funcție pozitivă. Teoremele de comparație 1 și 2.
64. Convergența absolută și condiționată a integralelor improprie de primul fel dintr-o funcție alternativă. Teste pentru convergența lui Abel și Dirichlet.
65. Definiția unei integrale improprie de al doilea fel. Formula Newton-Leibniz pentru integrale improprie de al doilea fel.
66. Conectarea integralelor necorespunzătoare 1 și 2 fel. Integrale improprii în sensul valorii principale.