Sistem m ecuații liniare cu n necunoscute numit un sistem al formei
Unde a ijŞi b i (i=1,…,m; b=1,…,n) sunt câteva numere cunoscute și x 1 ,…,x n– necunoscut. În desemnarea coeficienţilor a ij primul indice i denotă numărul ecuației, iar al doilea j– numărul necunoscutului la care se află acest coeficient.
Vom scrie coeficienții pentru necunoscute sub forma unei matrice 
, pe care o vom numi matricea sistemului.
Numerele din partea dreaptă a ecuațiilor sunt b 1 ,…,b m sunt numite membri liberi.
Totalitate n numere c 1 ,…,c n numit decizie a unui sistem dat, dacă fiecare ecuație a sistemului devine o egalitate după înlocuirea numerelor în ea c 1 ,…,c nîn locul necunoscutelor corespunzătoare x 1 ,…,x n.
Sarcina noastră va fi să găsim soluții pentru sistem. În acest caz, pot apărea trei situații:
Un sistem de ecuații liniare care are cel puțin o soluție se numește comun. Altfel, i.e. dacă sistemul nu are soluții, atunci se numește nearticulată.
Să luăm în considerare modalități de a găsi soluții pentru sistem.
METODĂ MATRIXĂ PENTRU REZOLVAREA SISTEMELOR DE ECUAȚII LINARE
Matricele fac posibilă scrierea pe scurt a unui sistem de ecuații liniare. Să fie dat un sistem de 3 ecuații cu trei necunoscute:
Luați în considerare matricea sistemului 
și coloane de matrice de termeni necunoscuți și liberi 
Să găsim de lucru
aceste. ca rezultat al produsului, obținem părțile din stânga ecuațiilor acestui sistem. Apoi, folosind definiția egalității matriceale acest sistem poate fi scris sub forma
sau mai scurt O∙X=B.
Iată matricele OŞi B sunt cunoscute, iar matricea X necunoscut. Este necesar să-l găsim, pentru că... elementele sale sunt soluția acestui sistem. Această ecuație se numește ecuația matriceală.
Fie determinantul matricei diferit de zero | O| ≠ 0. Atunci ecuația matriceală se rezolvă după cum urmează. Înmulțiți ambele părți ale ecuației din stânga cu matricea A-1, inversul matricei O: . Din moment ce A -1 A = EŞi E∙X = X, apoi obținem o soluție a ecuației matriceale sub forma X = A -1 B .
Rețineți că, deoarece matricea inversă poate fi găsită numai pentru matrice pătrată, atunci metoda matricei se pot rezolva numai acele sisteme în care numărul de ecuații coincide cu numărul de necunoscute. Cu toate acestea, înregistrarea matriceală a sistemului este posibilă și în cazul în care numărul de ecuații nu este egal cu numărul de necunoscute, atunci matricea O nu va fi pătrat și, prin urmare, este imposibil să găsiți o soluție la sistem în formă X = A -1 B.
Exemple. Rezolvarea sistemelor de ecuații.
REGULA LUI CRAMER
Să considerăm un sistem de 3 ecuații liniare cu trei necunoscute:
Determinant de ordinul trei corespunzător matricei sistemului, i.e. compus din coeficienți pentru necunoscute,
numit determinant al sistemului.
Să mai compunem trei determinanți astfel: înlocuiți coloanele 1, 2 și 3 din determinantul D succesiv cu o coloană de termeni liberi
Apoi putem demonstra următorul rezultat.
Teoremă (regula lui Cramer). Dacă determinantul sistemului Δ ≠ 0, atunci sistemul luat în considerare are una și o singură soluție și
Dovada. Deci, să considerăm un sistem de 3 ecuații cu trei necunoscute. Să înmulțim prima ecuație a sistemului cu complementul algebric A 11 element un 11, a 2-a ecuație – pe A 21și al 3-lea – pe A 31:
Să adăugăm aceste ecuații:
Să ne uităm la fiecare dintre paranteze și partea dreaptă a acestei ecuații. Prin teorema expansiunii determinantului în elementele coloanei I
În mod similar, se poate demonstra că și .
În cele din urmă, este ușor de observat asta 
Astfel, obținem egalitatea: .
Prin urmare, .
Egalitățile și sunt derivate în mod similar, din care urmează enunțul teoremei.
Astfel, observăm că dacă determinantul sistemului Δ ≠ 0, atunci sistemul are o soluție unică și invers. Dacă determinantul sistemului este egal cu zero, atunci sistemul fie are un număr infinit de soluții, fie nu are soluții, adică. incompatibil.
Exemple. Rezolvarea sistemului de ecuații
METODA GAUSS
Metodele discutate anterior pot fi folosite pentru a rezolva numai acele sisteme în care numărul de ecuații coincide cu numărul de necunoscute, iar determinantul sistemului trebuie să fie diferit de zero. Metoda Gauss este mai universală și potrivită pentru sisteme cu orice număr de ecuații. Constă în eliminarea consecventă a necunoscutelor din ecuațiile sistemului.
Să considerăm din nou un sistem de trei ecuații cu trei necunoscute:
.
Vom lăsa prima ecuație neschimbată, iar din a 2-a și a 3-a vom exclude termenii care conțin x 1. Pentru a face acest lucru, împărțiți a doua ecuație la O 21 și înmulțiți cu - O 11, apoi adăugați-l la prima ecuație. În mod similar, împărțim a treia ecuație la O 31 și înmulțiți cu - O 11, apoi adăugați-l cu primul. Ca rezultat, sistemul original va lua forma:
Acum din ultima ecuație eliminăm termenul care conține x 2. Pentru a face acest lucru, împărțiți a treia ecuație cu, înmulțiți cu și adăugați cu a doua. Atunci vom avea un sistem de ecuații:
De aici, din ultima ecuație este ușor de găsit x 3, apoi din a 2-a ecuație x 2și în sfârșit, de la 1 - x 1.
Când se utilizează metoda Gauss, ecuațiile pot fi schimbate dacă este necesar.
De multe ori, în loc să scrie sistem nou ecuațiile, sunt limitate la scrierea matricei extinse a sistemului:
iar apoi aduceți-o într-o formă triunghiulară sau diagonală folosind transformări elementare.
LA transformări elementare matricele includ următoarele transformări:
- rearanjarea rândurilor sau coloanelor;
- înmulțirea unui șir cu un alt număr decât zero;
- adăugarea altor linii la o singură linie.
Exemple: Rezolvarea sistemelor de ecuații folosind metoda Gauss.
Astfel, sistemul are un număr infinit de soluții.
Ecuațiile în general, ecuațiile algebrice liniare și sistemele lor, precum și metodele de rezolvare a acestora, ocupă un loc aparte în matematică, atât teoretică, cât și aplicată.
Acest lucru se datorează faptului că marea majoritate a problemelor fizice, economice, tehnice și chiar pedagogice pot fi descrise și rezolvate folosind o varietate de ecuații și sistemele acestora. Recent, modelarea matematică a câștigat o popularitate deosebită în rândul cercetătorilor, oamenilor de știință și practicienilor din aproape toate domeniile subiectelor, ceea ce se explică prin avantajele sale evidente față de alte metode bine-cunoscute și dovedite pentru studierea obiectelor de diferite naturi, în special așa-numitele sisteme complexe. Există o mare varietate de definiții diferite ale modelului matematic dat de oamenii de știință în timpuri diferite, dar în opinia noastră, cea mai reușită este următoarea afirmație. Model matematic este o idee exprimată printr-o ecuație. Astfel, capacitatea de a compune și rezolva ecuații și sistemele acestora este o caracteristică integrală a unui specialist modern.
Pentru rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare, cele mai frecvent utilizate metode sunt Cramer, Jordan-Gauss și metoda matricei.
Metoda soluției matriceale este o metodă de rezolvare a sistemelor de ecuații algebrice liniare cu un determinant diferit de zero folosind o matrice inversă.
Dacă scriem coeficienții pentru mărimile necunoscute xi în matricea A, colectăm mărimile necunoscute în coloana vectorială X și termenii liberi în coloana vectorială B, atunci sistemul de ecuații algebrice liniare poate fi scris sub forma: urmând ecuația matricei A · X = B, care are o soluție unică numai atunci când determinantul matricei A nu este egal cu zero. În acest caz, soluția sistemului de ecuații poate fi găsită în felul următor X = O-1 · B, Unde O-1 este matricea inversă.
Metoda soluției matriceale este următoarea.
Să ni se dea un sistem de ecuații liniare cu n necunoscut:
Poate fi rescris sub formă de matrice: TOPOR = B, Unde O- matricea principală a sistemului, BŞi X- coloane de termeni liberi și soluții ale sistemului, respectiv:
Să înmulțim această ecuație matriceală din stânga cu O-1 - matricea inversă a matricei O: O -1 (TOPOR) = O -1 B
Deoarece O -1 O = E, primim X= A -1 B. Partea dreaptă a acestei ecuații va oferi coloana soluție a sistemului original. Condiție de aplicabilitate această metodă(precum și existența generală a unei soluții la un sistem neomogen de ecuații liniare cu numărul de ecuații egal cu numărul de necunoscute) este nedegenerarea matricei O. O condiție necesară și suficientă pentru aceasta este ca determinantul matricei să nu fie egal cu zero O:det O≠ 0.
Pentru un sistem omogen de ecuații liniare, adică atunci când vectorul B = 0 , într-adevăr regula inversă: sistem TOPOR = 0 are o soluție non-trivială (adică non-zero) numai dacă det O= 0. O astfel de conexiune între soluțiile sistemelor omogene și neomogene de ecuații liniare se numește alternativa Fredholm.
Exemplu soluții la un sistem neomogen de ecuații algebrice liniare.
Să ne asigurăm că determinantul matricei, compus din coeficienții necunoscutelor sistemului de ecuații algebrice liniare, nu este egal cu zero.
Următorul pas este calcularea complementelor algebrice pentru elementele matricei formate din coeficienții necunoscutelor. Ele vor fi necesare pentru a găsi matricea inversă.
Să fie o matrice pătrată de ordinul al n-lea
Se numește matricea A -1 matrice inversăîn raport cu matricea A, dacă A*A -1 = E, unde E este matricea de identitate de ordinul al n-lea.
Matricea identitară- o astfel de matrice pătrată în care toate elementele de-a lungul diagonalei principale, care trec din colțul din stânga sus în colțul din dreapta jos, sunt unul, iar restul sunt zerouri, de exemplu:
Matrice inversă poate exista numai pentru matrice pătrată aceste. pentru acele matrice în care numărul de rânduri și coloane coincide.
Teorema pentru condiția de existență a unei matrici inverse
Pentru ca o matrice să aibă o matrice inversă, este necesar și suficient ca aceasta să fie nesingulară.
Se numește matricea A = (A1, A2,...A n). nedegenerat, dacă vectorii coloanei sunt liniar independenți. Numărul de vectori de coloană liniar independenți ai unei matrice se numește rangul matricei. Prin urmare, putem spune că pentru ca o matrice inversă să existe, este necesar și suficient ca rangul matricei să fie egal cu dimensiunea acesteia, adică. r = n.
Algoritm pentru găsirea matricei inverse
- Scrieți matricea A în tabelul pentru rezolvarea sistemelor de ecuații folosind metoda Gaussiană și atribuiți-i matricea E din dreapta (în loc de părțile din dreapta ale ecuațiilor).
- Folosind transformările Jordan, reduceți matricea A la o matrice formată din coloane de unitate; în acest caz, este necesară transformarea simultană a matricei E.
- Dacă este necesar, rearanjați rândurile (ecuațiile) ultimului tabel astfel încât sub matricea A a tabelului original să obțineți matricea de identitate E.
- Notați matricea inversă A -1, care se află în ultimul tabel sub matricea E a tabelului original.
Pentru matricea A, găsiți matricea inversă A -1
Rezolvare: Scriem matricea A și atribuim matricea de identitate E la dreapta Folosind transformările Jordan, reducem matricea A la matricea de identitate E. Calculele sunt date în Tabelul 31.1.
Să verificăm corectitudinea calculelor înmulțind matricea originală A și matricea inversă A -1.
Ca rezultat al înmulțirii matricei s-a obținut matricea de identitate. Prin urmare, calculele au fost făcute corect.
Răspuns: 
Rezolvarea ecuațiilor matriceale
Ecuațiile matriceale pot arăta astfel:
AX = B, HA = B, AXB = C,
unde A, B, C sunt matricele specificate, X este matricea dorită.
Ecuațiile matriceale se rezolvă prin înmulțirea ecuației cu matrici inverse.
De exemplu, pentru a găsi matricea din ecuație, trebuie să înmulțiți această ecuație cu din stânga.
Prin urmare, pentru a găsi o soluție la ecuație, trebuie să găsiți matricea inversă și să o înmulțiți cu matricea din partea dreaptă a ecuației.
Alte ecuații se rezolvă în mod similar.
Rezolvați ecuația AX = B dacă 
Soluţie: Deoarece matricea inversă este egală cu (vezi exemplul 1)
Metoda matriceală în analiza economică
Alături de altele, sunt și ele folosite metode matriceale. Aceste metode se bazează pe algebră liniară și vector-matrice. Astfel de metode sunt utilizate în scopul analizei complexe și multidimensionale fenomene economice. Cel mai adesea, aceste metode sunt utilizate atunci când este necesar să se facă o evaluare comparativă a funcționării organizațiilor și a diviziunilor lor structurale.
În procesul de aplicare a metodelor de analiză matriceală se pot distinge mai multe etape.
La prima etapă se formează un sistem de indicatori economici și pe baza acestuia este compilată o matrice de date inițiale, care este un tabel în care numerele sistemului sunt afișate în rândurile sale individuale (i = 1,2,....,n), iar în coloane verticale - numere de indicatori (j = 1,2,....,m).
La a doua etapă Pentru fiecare coloană verticală, este identificată cea mai mare dintre valorile indicatorului disponibile, care este luată ca una.
După aceasta, toate sumele reflectate în această coloană sunt împărțite la cea mai mare valoareși se formează o matrice de coeficienți standardizați.
La a treia etapă toate componentele matricei sunt la pătrat. Dacă au semnificații diferite, atunci fiecărui indicator matrice i se atribuie un anumit coeficient de greutate k. Valoarea acestuia din urmă este determinată de opinia expertului.
Pe ultimul, a patra etapă au găsit valori de rating Rj sunt grupate în ordinea creșterii sau scăderii lor.
Metodele matricei prezentate ar trebui utilizate, de exemplu, când analiză comparativă diverse proiecte de investitii, precum și la evaluarea altor indicatori economici ai organizațiilor.
(uneori această metodă este numită și metoda matricei sau metoda matricei inverse) necesită familiarizarea preliminară cu un astfel de concept precum forma matriceală de notare a SLAE. Metoda matricei inverse este destinată rezolvării acelor sisteme de ecuații algebrice liniare în care determinantul matricei sistemului este diferit de zero. Desigur, aceasta presupune că matricea sistemului este pătrată (conceptul de determinant există doar pentru matrice pătrată). Esența metodei matricei inverse poate fi exprimată în trei puncte:
- Notează trei matrice: matricea sistemului $A$, matricea necunoscutelor $X$, matricea termenilor liberi $B$.
- Aflați matricea inversă $A^(-1)$.
- Folosind egalitatea $X=A^(-1)\cdot B$, obțineți o soluție la SLAE dat.
Orice SLAE poate fi scris sub formă de matrice ca $A\cdot X=B$, unde $A$ este matricea sistemului, $B$ este matricea termenilor liberi, $X$ este matricea necunoscutelor. Fie matricea $A^(-1)$ să existe. Să înmulțim ambele părți ale egalității $A\cdot X=B$ cu matricea $A^(-1)$ din stânga:
$$A^(-1)\cdot A\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$
Deoarece $A^(-1)\cdot A=E$ ($E$ este matricea de identitate), egalitatea de mai sus devine:
$$E\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$
Deoarece $E\cdot X=X$, atunci:
$$X=A^(-1)\cdot B.$$
Exemplul nr. 1
Rezolvați SLAE $ \left \( \begin(aligned) & -5x_1+7x_2=29;\\ & 9x_1+8x_2=-11. \end(aligned) \right.$ folosind matricea inversă.
$$ A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right);\; B=\left(\begin(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\right);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right). $$
Să găsim matricea inversă față de matricea sistemului, adică. Să calculăm $A^(-1)$. În exemplul nr. 2
$$ A^(-1)=-\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(array)\right) . $$
Acum să substituim toate cele trei matrice ($X$, $A^(-1)$, $B$) în egalitatea $X=A^(-1)\cdot B$. Apoi efectuăm înmulțirea matriceală
$$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 și -5\end(array)\right)\cdot \left(\begin(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\right)=\\ =-\frac (1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 8\cdot 29+(-7)\cdot (-11)\\ -9\cdot 29+(-5)\cdot (- 11) \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 309\\ -206 \end(array)\right)=\left( \begin(array) (c) -3\\ 2\end(array)\right). $$
Deci, am obținut egalitatea $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) -3\\ 2\end( matrice )\dreapta)$. Din această egalitate avem: $x_1=-3$, $x_2=2$.
Răspuns: $x_1=-3$, $x_2=2$.
Exemplul nr. 2
Rezolvați SLAE $ \left\(\begin(aligned) & x_1+7x_2+3x_3=-1;\\ & -4x_1+9x_2+4x_3=0;\\ & 3x_2+2x_3=6. \end(aligned)\right .$ folosind metoda matricei inverse.
Să notăm matricea sistemului $A$, matricea termenilor liberi $B$ și matricea necunoscutelor $X$.
$$ A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3\\ -4 & 9 & 4 \\0 & 3 & 2\end(array)\right);\; B=\left(\begin(array) (c) -1\\0\\6\end(array)\right);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right). $$
Acum este rândul să găsim matricea inversă față de matricea sistemului, adică. găsi $A^(-1)$. În exemplul nr. 3 de pe pagina dedicată găsirii matricelor inverse, matricea inversă a fost deja găsită. Să folosim rezultatul final și să scriem $A^(-1)$:
$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 și 37\end(matrice)\dreapta). $$
Acum să substituim toate cele trei matrice ($X$, $A^(-1)$, $B$) în egalitatea $X=A^(-1)\cdot B$, apoi să efectuăm înmulțirea matricei pe partea dreaptă de această egalitate.
$$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)= \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (c) -1\\0\ \6\end(array)\right)=\\ =\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 6\cdot(-1)+(-5)\cdot 0 +1\cdot 6 \\ 8\cdot (-1)+2\cdot 0+(-16)\cdot 6 \\ -12\cdot (-1)+(-3)\cdot 0+37\cdot 6 \end(array)\right)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 0\\-104\\234\end(array)\right)=\left( \begin(array) (c) 0\\-4\\9\end(array)\right) $$
Deci, am obținut egalitatea $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) 0\\-4 \ \9\end(matrice)\right)$. Din această egalitate avem: $x_1=0$, $x_2=-4$, $x_3=9$.