Exemple de soluții la inegalități. Metoda intervalelor: rezolvarea celor mai simple inegalități stricte

Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa dvs e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm cu oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea informațiilor către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• Dacă este necesar - în conformitate cu legea, procedura judiciară, procedurile judiciare și/sau în baza cererilor sau solicitărilor publice din partea agentii guvernamentale pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluie informațiile tale personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de importanță publică.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către terțul succesor aplicabil.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Respectarea vieții private la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Unul dintre subiectele care necesită atenție și perseverență maximă din partea elevilor este rezolvarea inegalităților. Atât de asemănătoare cu ecuațiile și în același timp foarte diferite de ele. Pentru că rezolvarea lor necesită o abordare specială.

Proprietăți care vor fi necesare pentru a găsi răspunsul

Toate sunt folosite pentru a înlocui o intrare existentă cu una echivalentă. Cele mai multe dintre ele sunt similare cu ceea ce era în ecuații. Dar există și diferențe.

• O funcție care este definită în ODZ, sau orice număr, poate fi adăugată la ambele părți ale inegalității inițiale.
• La fel, înmulțirea este posibilă, dar numai printr-o funcție sau un număr pozitiv.
• Dacă această acțiune este efectuată cu o funcție sau un număr negativ, atunci semnul de inegalitate trebuie înlocuit cu cel opus.
• Funcțiile care nu sunt negative pot fi ridicate la o putere pozitivă.

Uneori, rezolvarea inegalităților este însoțită de acțiuni care oferă răspunsuri străine. Ele trebuie eliminate prin compararea domeniului DL și a setului de soluții.

Folosind metoda intervalului

Esența sa este de a reduce inegalitatea la o ecuație în care există un zero în partea dreaptă.

1. Determinați zona în care se află valorile admisibile ale variabilelor, adică ODZ.
2. Transformați inegalitatea folosind operații matematice astfel încât partea dreaptă să aibă zero.
3. Înlocuiți semnul inegalității cu „=” și rezolvați ecuația corespunzătoare.
4. Pe axa numerică, marcați toate răspunsurile care au fost obținute în timpul rezolvării, precum și intervalele OD. În caz de inegalitate strictă, punctele trebuie extrase ca fiind perforate. Dacă există un semn egal, atunci ar trebui să fie pictate peste.
5. Determinați semnul funcției inițiale pe fiecare interval obținut din punctele ODZ și răspunsurile care o împart. Dacă semnul funcției nu se schimbă la trecerea printr-un punct, atunci acesta este inclus în răspuns. În caz contrar, este exclus.
6. Punctele de limită pentru ODZ trebuie verificate în continuare și abia apoi incluse sau nu în răspuns.
7. Răspunsul rezultat trebuie scris sub formă de seturi combinate.

Un pic despre inegalitățile duble

Ei folosesc două semne de inegalitate simultan. Adică, o anumită funcție este limitată de condiții de două ori simultan. Astfel de inegalități sunt rezolvate ca un sistem de doi, atunci când originalul este împărțit în părți. Iar în metoda intervalului sunt indicate răspunsurile din rezolvarea ambelor ecuații.

Pentru a le rezolva, este permisă și utilizarea proprietăților indicate mai sus. Cu ajutorul lor, este convenabil să reduceți inegalitatea la zero.

Dar inegalitățile care au un modul?

În acest caz, soluția inegalităților folosește următoarele proprietăți și sunt valabile pentru o valoare pozitivă a „a”.

Dacă „x” capătă o expresie algebrică, atunci sunt valabile următoarele înlocuiri:

• |x|< a на -a < х < a;
• |x| > de la a la x< -a или х >o.

Dacă inegalitățile nu sunt stricte, atunci și formulele sunt corecte, doar în ele, pe lângă semnul mai mare sau mai mic, apare „=”.

Cum se rezolvă un sistem de inegalități?

Aceste cunoștințe vor fi necesare în cazurile în care o astfel de sarcină este dată sau există o înregistrare a inegalității duble sau apare un modul în evidență. Într-o astfel de situație, soluția vor fi valorile variabilelor care ar satisface toate inegalitățile din înregistrare. Dacă nu există astfel de numere, atunci sistemul nu are soluții.

Planul conform căruia se realizează soluția sistemului de inegalități:

• rezolvați fiecare dintre ele separat;
• descrieți toate intervalele pe axa numerelor și determinați intersecțiile lor;
• notează răspunsul sistemului, care va fi o combinație a ceea ce s-a întâmplat în al doilea paragraf.

Ce să faci cu inegalitățile fracționale?

Deoarece rezolvarea acestora poate necesita schimbarea semnului inegalității, trebuie să urmați foarte atent și cu atenție toate punctele planului. În caz contrar, puteți obține răspunsul opus.

Rezolvarea inegalităților fracționale folosește și metoda intervalului. Și planul de acțiune va fi astfel:

• Folosind proprietățile descrise, dați fracției o astfel de formă încât doar zero să rămână în dreapta semnului.
• Înlocuiți inegalitatea cu „=” și determinați punctele în care funcția va fi egală cu zero.
• Marcați-le pe axa de coordonate. În acest caz, numerele obținute ca rezultat al calculelor la numitor vor fi întotdeauna eliminate. Toate celelalte se bazează pe condiția inegalității.
• Determinați intervalele de constanță a semnului.
• Ca răspuns, notați uniunea acelor intervale al căror semn corespunde cu cel din inegalitatea inițială.

Situații în care iraționalitatea apare în inegalitate

Cu alte cuvinte, există o rădăcină matematică în notație. Din moment ce în curs şcolarÎn algebră, majoritatea sarcinilor sunt pentru rădăcina pătrată, așa că acesta este ceea ce va fi luat în considerare.

Soluția la inegalitățile iraționale se rezumă la obținerea unui sistem de doi sau trei care să fie echivalent cu cel inițial.

Inegalitatea originală	stare	sistem echivalent
√ n(x)< m(х)	m(x) mai mic sau egal cu 0	fara solutii
	m(x) mai mare decât 0	n(x) este mai mare sau egal cu 0 n(x)< (m(х)) 2
√ n(x) > m(x)		m(x) mai mare sau egal cu 0 n(x) > (m(x)) 2
		n(x) este mai mare sau egal cu 0 m(x) mai mic decât 0
√n(x) ≤ m(x)	m(x) mai mic decât 0	fara solutii
	m(x) mai mare sau egal cu 0	n(x) este mai mare sau egal cu 0 n(x) ≤ (m(x)) 2
√n(x) ≥ m(x)		m(x) mai mare sau egal cu 0 n(x) ≥ (m(x)) 2
		n(x) este mai mare sau egal cu 0 m(x) mai mic decât 0
√ n(x)< √ m(х)		n(x) este mai mare sau egal cu 0 n(x) mai mic decât m(x)
√n(x) * m(x)< 0		n(x) mai mare decât 0 m(x) mai mic decât 0
√n(x) * m(x) > 0		n(x) mai mare decât 0 m(x) mai mare decât 0
√n(x) * m(x) ≤ 0		n(x) mai mare decât 0
		n(x) este egal cu 0 m(x) - oricare
√n(x) * m(x) ≥ 0		n(x) mai mare decât 0
		n(x) este egal cu 0 m(x) - oricare

Exemple de rezolvare a diferitelor tipuri de inegalități

Pentru a adăuga claritate teoriei despre rezolvarea inegalităților, mai jos sunt date exemple.

Primul exemplu. 2x - 4 > 1 + x

Soluție: Pentru a determina ADI, tot ce trebuie să faceți este să priviți îndeaproape inegalitatea. Este format din funcții liniare, prin urmare este definit pentru toate valorile variabilei.

Acum trebuie să scădeți (1 + x) din ambele părți ale inegalității. Rezultă: 2x - 4 - (1 + x) > 0. După ce parantezele sunt deschise și sunt dați termeni similari, inegalitatea va lua următoarea formă: x - 5 > 0.

Echivalându-l cu zero, este ușor să-i găsești soluția: x = 5.

Acum acest punct cu numărul 5 trebuie marcat pe raza de coordonate. Apoi verificați semnele funcției originale. Pe primul interval de la minus infinit la 5, puteți lua numărul 0 și îl puteți înlocui în inegalitatea obținută în urma transformărilor. După calcule rezultă -7 >0. sub arcul intervalului trebuie să semnați un semn minus.

În următorul interval de la 5 la infinit, puteți alege numărul 6. Apoi se dovedește că 1 > 0. Există un semn „+” sub arc. Acest al doilea interval va fi răspunsul la inegalitate.

Răspuns: x se află în intervalul (5; ∞).

Al doilea exemplu. Este necesar să se rezolve un sistem de două ecuații: 3x + 3 ≤ 2x + 1 și 3x - 2 ≤ 4x + 2.

Soluţie. VA acestor inegalități se află și în regiunea oricăror numere, deoarece sunt date funcții liniare.

A doua inegalitate va lua forma următoarei ecuații: 3x - 2 - 4x - 2 = 0. După transformare: -x - 4 =0. Aceasta produce o valoare pentru variabilă egală cu -4.

Aceste două numere trebuie marcate pe axă, ilustrând intervale. Deoarece inegalitatea nu este strictă, toate punctele trebuie umbrite. Primul interval este de la minus infinit la -4. Să fie ales numărul -5. Prima inegalitate va da valoarea -3, iar a doua 1. Aceasta înseamnă că acest interval nu este inclus în răspuns.

Al doilea interval este de la -4 la -2. Puteți alege numărul -3 și îl puteți înlocui în ambele inegalități. În primul și al doilea, valoarea este -1. Aceasta înseamnă că sub arcul „-”.

În ultimul interval de la -2 la infinit, cel mai bun număr este zero. Trebuie să-l înlocuiți și să găsiți valorile inegalităților. Primul dintre ele produce un număr pozitiv, iar al doilea un zero. Acest decalaj trebuie, de asemenea, exclus din răspuns.

Dintre cele trei intervale, doar unul este o soluție a inegalității.

Răspuns: x aparține lui [-4; -2].

Al treilea exemplu. |1 - x| > 2 |x - 1|.

Soluţie. Primul pas este de a determina punctele în care funcțiile dispar. Pentru cel din stânga acest număr va fi 2, pentru cel din dreapta - 1. Trebuie marcate pe fascicul și trebuie determinate intervalele de constanță a semnului.

Pe primul interval, de la minus infinit la 1, funcția din partea stângă a inegalității ia valori pozitive, iar din dreapta - negativ. Sub arc trebuie să scrieți două semne „+” și „-” unul lângă celălalt.

Următorul interval este de la 1 la 2. Pe el, ambele funcții iau valori pozitive. Aceasta înseamnă că există două plusuri sub arc.

Al treilea interval de la 2 la infinit va da următorul rezultat: funcția din stânga este negativă, funcția din dreapta este pozitivă.

Luând în considerare semnele rezultate, trebuie să calculați valorile inegalității pentru toate intervalele.

Prima produce următoarea inegalitate: 2 - x > - 2 (x - 1). Minusul dinaintea celor doi din a doua inegalitate se datorează faptului că această funcție este negativă.

După transformare, inegalitatea arată astfel: x > 0. Oferă imediat valorile variabilei. Adică din acest interval se va răspunde doar la intervalul de la 0 la 1.

Pe al doilea: 2 - x > 2 (x - 1). Transformările vor da următoarea inegalitate: -3x + 4 este mai mare decât zero. Zeroul său va fi x = 4/3. Luând în considerare semnul de inegalitate, rezultă că x trebuie să fie mai mic decât acest număr. Aceasta înseamnă că acest interval este redus la un interval de la 1 la 4/3.

Acesta din urmă dă următoarea inegalitate: - (2 - x) > 2 (x - 1). Transformarea lui conduce la următoarele: -x > 0. Adică, ecuația este adevărată când x este mai mic decât zero. Aceasta înseamnă că pe intervalul necesar inegalitatea nu oferă soluții.

În primele două intervale, numărul limită s-a dovedit a fi 1. Trebuie verificat separat. Adică, înlocuiți-o în inegalitatea originală. Rezultă: |2 - 1| > 2 |1 - 1|. Numărarea arată că 1 este mai mare decât 0. Aceasta este o afirmație adevărată, așa că una este inclusă în răspuns.

Răspuns: x se află în intervalul (0; 4/3).

De exemplu, inegalitatea este expresia \(x>5\).

Tipuri de inegalități:

Dacă \(a\) și \(b\) sunt numere sau , atunci inegalitatea este numită numeric. De fapt, este doar compararea a două numere. Astfel de inegalități sunt împărțite în credinciosŞi necredincios.

De exemplu:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) este o inegalitate numerică incorectă, deoarece \(17+3=20\) și \(20\) este mai mic decât \(115\) (și nu mai mare sau egal cu) .

Dacă \(a\) și \(b\) sunt expresii care conțin o variabilă, atunci avem inegalitatea cu variabila. Astfel de inegalități sunt împărțite în tipuri în funcție de conținut:

\(2x+1\geq4(5-x)\)				Variabil doar la prima putere
\(3x^2-x+5>0\)				Există o variabilă în a doua putere (pătrat), dar nu există puteri superioare (a treia, a patra etc.)
\(\log_(4)((x+1))<3\)
\(2^(x)\leq8^(5x-2)\)

... și așa mai departe.

Care este soluția la o inegalitate?

Dacă înlocuiți un număr în loc de o variabilă într-o inegalitate, acesta se va transforma într-un număr numeric.

Dacă o valoare dată pentru x transformă inegalitatea inițială într-una numerică adevărată, atunci se numește soluție la inegalitate. Dacă nu, atunci această valoare nu este o soluție. Și așa că rezolva inegalitatea– trebuie să-i găsești toate soluțiile (sau să arăți că nu există).

De exemplu, dacă substituim numărul \(7\) în inegalitatea liniară \(x+6>10\), obținem inegalitatea numerică corectă: \(13>10\). Și dacă înlocuim \(2\), va exista o inegalitate numerică incorectă \(8>10\). Adică, \(7\) este o soluție la inegalitatea inițială, dar \(2\) nu este.

Totuși, inegalitatea \(x+6>10\) are alte soluții. Într-adevăr, vom obține inegalitățile numerice corecte când înlocuim \(5\), și \(12\), și \(138\)... Și cum le putem găsi pe toate solutii posibile? Pentru aceasta folosesc. Pentru cazul nostru avem:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

Adică, orice număr mai mare de patru ni se va potrivi. Acum trebuie să scrieți răspunsul. Soluțiile la inegalități sunt de obicei scrise numeric, marcându-le suplimentar pe axa numerelor cu umbrire. Pentru cazul nostru avem:

Răspuns: \(x\in(4;+\infty)\)

Când se schimbă semnul unei inegalități?

Există o mare capcană în inegalități în care elevii „adoră” să cadă:

Când înmulțiți (sau împărțiți) o inegalitate cu un număr negativ, aceasta este inversată („mai mult” cu „mai puțin”, „mai mult sau egal” cu „mai puțin decât sau egal” și așa mai departe)

De ce se întâmplă asta? Pentru a înțelege acest lucru, să ne uităm la transformările inegalității numerice \(3>1\). Este corect, trei este într-adevăr mai mare decât unul. Mai întâi, să încercăm să-l înmulțim cu orice număr pozitiv, de exemplu, doi:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

După cum putem vedea, după înmulțire inegalitatea rămâne adevărată. Și indiferent cu ce număr pozitiv înmulțim, vom obține întotdeauna inegalitatea corectă. Acum să încercăm să înmulțim cu un număr negativ, de exemplu, minus trei:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

Rezultatul este o inegalitate incorectă, deoarece minus nouă este mai puțin decât minus trei! Adică, pentru ca inegalitatea să devină adevărată (și, prin urmare, transformarea înmulțirii cu negativ a fost „legală”), trebuie să inversați semnul de comparație, astfel: \(−9<− 3\).
Cu diviziunea va funcționa la fel, puteți verifica singur.

Regula scrisă mai sus se aplică tuturor tipurilor de inegalități, nu doar celor numerice.

Exemplu: Rezolvați inegalitatea \(2(x+1)-1<7+8x\)
Soluţie:

\(2x+2-1<7+8x\)	Să ne deplasăm \(8x\) la stânga și \(2\) și \(-1\) la dreapta, fără a uita să schimbăm semnele
\(2x-8x<7-2+1\)
\(-6x<6\) \(|:(-6)\)	Să împărțim ambele părți ale inegalității la \(-6\), fără a uita să schimbăm de la „mai puțin” la „mai mult”.
	Să marchem un interval numeric pe axă. Inegalitatea, prin urmare, „înțepăm” valoarea \(-1\) în sine și nu o luăm ca răspuns
	Să scriem răspunsul ca un interval

Răspuns: \(x\in(-1;\infty)\)

Inegalități și dizabilități

Inegalitățile, la fel ca și ecuațiile, pot avea restricții asupra , adică asupra valorilor lui x. În consecință, acele valori care sunt inacceptabile conform DZ ar trebui excluse din gama de soluții.

Exemplu: Rezolvați inegalitatea \(\sqrt(x+1)<3\)

Soluţie: Este clar că, pentru ca partea stângă să fie mai mică decât \(3\), expresia radicală trebuie să fie mai mică decât \(9\) (la urma urmei, din \(9\) doar \(3\)). Primim:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(x<8\)

Toate? Orice valoare a lui x mai mică decât \(8\) ne va potrivi? Nu! Pentru că dacă luăm, de exemplu, valoarea \(-5\) care pare să se potrivească cerinței, aceasta nu va fi o soluție la inegalitatea inițială, deoarece ne va conduce la calcularea rădăcinii unui număr negativ.

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

Prin urmare, trebuie să luăm în considerare și restricțiile privind valoarea lui X - nu poate fi astfel încât să existe un număr negativ sub rădăcină. Astfel, avem a doua cerință pentru x:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

Și pentru ca x să fie soluția finală, trebuie să îndeplinească ambele cerințe simultan: trebuie să fie mai mic decât \(8\) (pentru a fi o soluție) și mai mare decât \(-1\) (pentru a fi admisibil în principiu). Trasând-o pe linia numerică, avem răspunsul final:

Răspuns: \(\stanga[-1;8\dreapta)\)

În termeni mai simpli, putem spune că acestea sunt inegalități în care există o variabilă doar până la gradul I, și nu se află la numitorul fracției.

Exemple:

\(\frac(3y-4)(5)\) \(\leq1\)

\(5(x-1)-2x>3x-8\)

Exemple de inegalități neliniare:

\(3>-2\) – nu există variabile aici, doar numere, ceea ce înseamnă că aceasta este o inegalitate numerică
\(\frac(-14)((y-3)^(2)-5)\) \(\leq0\) – există o variabilă la numitor, aceasta
\(5(x-1)-2x>3x^(2)-8\) - există o variabilă la a doua putere, aceasta este

Rezolvarea inegalităților liniare

Rezolvarea inegalității va exista orice număr a cărui substituire în locul variabilei va face ca inegalitatea să fie adevărată. Rezolvați inegalitatea- înseamnă găsirea tuturor acestor numere.

De exemplu, pentru inegalitatea \(x-2>0\) numărul \(5\) va fi soluția, deoarece când înlocuim cinci în loc de x, obținem numărul corect: \(3>0\). Dar numărul \(1\) nu va fi o soluție, deoarece înlocuirea va avea ca rezultat o inegalitate numerică incorectă: \(-1>0\) . Dar soluția inegalității va fi nu numai cinci, ci și \(4\), \(7\), \(15\), \(42\), \(726\) și un număr infinit de numere: orice număr mai mare de doi.

Prin urmare, inegalitățile liniare nu pot fi rezolvate prin căutarea și înlocuirea valorilor. În schimb, folosiți-le duce la una dintre următoarele:

\(x c\), \(x\leqс\), \(x\geqс\), unde \(с\) este orice număr

Răspunsul este apoi marcat pe linia numerică și scris ca (numit și interval).

În general, dacă știi să rezolvi, atunci poți face inegalități liniare, deoarece procesul de rezolvare este foarte asemănător. Există un singur plus important:

Exemplu. Rezolvați inegalitatea \(2(x+1)-1<7+8x\)
Soluţie:

Răspuns: \(x\in(-1;\infty)\)

Cazul special nr. 1: soluția inegalității - orice număr

În inegalitățile liniare, este posibilă o situație când absolut orice număr poate fi folosit ca soluție - întreg, fracționar, negativ, pozitiv, zero... De exemplu, această inegalitate \(x+2>x\) va fi adevărată pentru orice valoarea lui x. Ei bine, cum s-ar putea altfel, pentru că la X a fost adăugat un doi din stânga, dar nu și din dreapta. Desigur, numărul din stânga va fi mai mare, indiferent de ce X luăm.

Exemplu. Rezolvați inegalitatea \(3(2x-1)+5<6x+4\)
Soluţie:

Răspuns: \(x\in(-\infty;\infty)\)

Cazul special nr. 2: inegalitatea nu are soluții

Este posibilă și situația opusă, când o inegalitate liniară nu are deloc soluții, adică niciun x nu o va face adevărată. De exemplu, \(x-2>x\) nu va fi niciodată adevărat, deoarece doi este scăzut din x în stânga, dar nu în dreapta. Asta înseamnă că în stânga va fi întotdeauna mai puțin, nu mai mult.

Exemplu. Rezolvați inegalitatea \(\frac(x-5)(2)\) \(>\) \(\frac(3x+2)(6)\) \(-1\)
Soluţie:

\(\frac(x-5)(2)\) \(>\) \(\frac(3x+2)(6)\) \(-1\)		Numitorii ne ies în cale. Scăpăm imediat de ele înmulțind toate inegalitățile cu numitorul comun al tuturor, adică cu 6
\(6\cdot\)\(\frac(x-5)(2)\) \(>\)\(6\cdot\)\((\frac(3x+2)(6)\) \( -1\)\()\)		Să deschidem parantezele
\(6\cdot\)\(\frac(x-5)(2)\) \(>\)\(6\cdot\)\(\frac(3x+2)(6)\) \(- 6\)		Să tăiem ce poate fi tăiat
\(3\cdot(x-5)>3x+2-6\)		În stânga vom deschide paranteza, iar în dreapta vom prezenta termeni similari
\(3x-15>3x-4\)		Deplasați \(3x\) la stânga și \(-15\) la dreapta, schimbând semnele
\(3x-3x>-4+15\)		Prezentăm din nou termeni similari
		Ați primit o inegalitate numerică incorectă. Și va fi incorect pentru orice x, deoarece nu afectează în niciun fel inegalitatea rezultată. Aceasta înseamnă că orice valoare a lui X nu va fi o soluție.

Răspuns: \(x\in\varnothing\)

Inegalitate este o expresie cu, ≤ sau ≥. De exemplu, 3x - 5 Rezolvarea unei inegalități înseamnă găsirea tuturor valorilor variabilelor pentru care inegalitatea este adevărată. Fiecare dintre aceste numere este o soluție a inegalității, iar mulțimea tuturor acestor soluții este a acestuia multe solutii. Se numesc inegalitățile care au același set de soluții inegalități echivalente.

Inegalități liniare

Principiile pentru rezolvarea inegalităților sunt similare cu principiile pentru rezolvarea ecuațiilor.

Principii de rezolvare a inegalităților
Pentru orice numere reale a, b și c:
Principiul adunării inegalităților: Dacă a Principiul înmulțirii pentru inegalități: Dacă un 0 este adevărat, atunci ac Dacă un bc este și adevărat.
Afirmații similare se aplică și pentru a ≤ b.

Când ambele părți ale unei inegalități sunt înmulțite cu un număr negativ, semnul inegalității trebuie inversat.
Se numesc inegalitățile de primul nivel, ca în exemplul 1 (mai jos). inegalități liniare.

Exemplul 1 Rezolvați fiecare dintre următoarele inegalități. Apoi desenați un set de soluții.
a) 3x - 5 b) 13 - 7x ≥ 10x - 4
Soluţie
Orice număr mai mic de 11/5 este o soluție.
Mulțimea soluțiilor este (x|x
Pentru a verifica, putem desena un grafic cu y 1 = 3x - 5 și y 2 = 6 - 2x. Atunci este clar că pentru x
Mulțimea soluției este (x|x ≤ 1), sau (-∞, 1). Graficul setului de soluții este prezentat mai jos.

Inegalități duble

Când două inegalități sunt legate printr-un cuvânt Şi, sau, apoi se formează dubla inegalitate. Dubla inegalitate ca
-3 Şi 2x + 5 ≤ 7
numit conectat, pentru că folosește Şi. Intrarea -3 Inegalitățile duble pot fi rezolvate folosind principiile adunării și înmulțirii inegalităților.

Exemplul 2 Rezolvați -3 Soluţie Avem

Mulțimea soluțiilor (x|x ≤ -1 sau x > 3). De asemenea, putem scrie soluția folosind notația interval și simbolul pentru asociatii sau incluzând ambele mulțimi: (-∞ -1] (3, ∞). Graficul mulțimii soluții este prezentat mai jos.

Pentru a verifica, să reprezentăm grafic y 1 = 2x - 5, y 2 = -7 și y 3 = 1. Rețineți că pentru (x|x ≤ -1 sau x > 3), y 1 ≤ y 2 sau y 1 > y 3 .

Inegalități cu valoare absolută (modul)

Inegalitățile conțin uneori module. Următoarele proprietăți sunt folosite pentru a le rezolva.
Pentru a > 0 și expresia algebrică x:
|x| |x| > a este echivalent cu x sau x > a.
Afirmații similare pentru |x| ≤ a și |x| ≥ a.

De exemplu,
|x| |y| ≥ 1 este echivalent cu y ≤ -1 sau y ≥ 1;
și |2x + 3| ≤ 4 este echivalent cu -4 ≤ 2x + 3 ≤ 4.

Exemplul 4 Rezolvați fiecare dintre următoarele inegalități. Reprezentați grafic setul de soluții.
a) |3x + 2| b) |5 - 2x| ≥ 1

Soluţie
a) |3x + 2|

Mulțimea soluției este (x|-7/3
b) |5 - 2x| ≥ 1
Mulțimea soluției este (x|x ≤ 2 sau x ≥ 3), sau (-∞, 2] )