Tradus din limba greacă paralelogram înseamnă plan. Un paralelipiped este o prismă cu un paralelogram la bază. Există cinci tipuri de paralelogram: oblic, drept și cuboid. Cubul și romboedrul aparțin și ele paralelipipedului și sunt varietatea acestuia.
Înainte de a trece la conceptele de bază, să dăm câteva definiții:
- Diagonala unui paralelipiped este un segment care unește vârfurile paralelipipedului care sunt opuse unul altuia.
- Dacă două fețe au o muchie comună, atunci le putem numi muchii adiacente. Dacă nu există margine comună, atunci fețele se numesc opuse.
- Două vârfuri care nu se află pe aceeași față sunt numite opuse.
Ce proprietăți are un paralelipiped?
- Întins pe laturi opuse Fețele unui paralelipiped sunt paralele între ele și egale între ele.
- Dacă desenați diagonale de la un vârf la altul, atunci punctul de intersecție al acestor diagonale le va împărți în jumătate.
- Laturile paralelipipedului situate în același unghi față de bază vor fi egale. Cu alte cuvinte, unghiurile laturilor co-dirijate vor fi egale între ele.
Ce tipuri de paralelipiped există?
Acum să ne dăm seama ce fel de paralelipipede există. După cum am menționat mai sus, există mai multe tipuri de această figură: paralelipiped drept, dreptunghiular, înclinat, precum și cub și romboedru. Cum se deosebesc unul de celălalt? Totul este despre planurile care le formează și unghiurile pe care le formează.
Să ne uităm la fiecare dintre ele mai detaliat. tipurile enumerate paralelipiped.
- După cum reiese deja din denumire, un paralelipiped înclinat are fețe înclinate, și anume acele fețe care nu se află la un unghi de 90 de grade în raport cu baza.
- Dar pentru un paralelipiped drept, unghiul dintre bază și margine este exact nouăzeci de grade. Din acest motiv, acest tip de paralelipiped are un astfel de nume.
- Dacă toate fețele paralelipipedului sunt pătrate identice, atunci această cifră poate fi considerată un cub.
- Paralepiped dreptunghiular a primit acest nume datorită avioanelor care o formează. Dacă toate sunt dreptunghiuri (inclusiv baza), atunci acesta este un cuboid. Acest tip de paralelipiped nu se găsește foarte des. Tradus din greacă, romboedrul înseamnă față sau bază. Acesta este numele dat unei figuri tridimensionale ale cărei fețe sunt romburi.
Formule de bază pentru un paralelipiped
Volumul unui paralelipiped este egal cu produsul dintre suprafața bazei și înălțimea acestuia perpendicular pe bază.
Aria suprafeței laterale va fi egală cu produsul dintre perimetrul bazei și înălțimea.
Cunoscând definițiile și formulele de bază, puteți calcula aria de bază și volumul. Baza poate fi aleasă la discreția dumneavoastră. Cu toate acestea, de regulă, un dreptunghi este folosit ca bază.
Când erai mic și te jucai cu cuburi, este posibil să fi făcut formele prezentate în Figura 154. Aceste cifre dau o idee despre paralelipiped dreptunghiular. Forma unui paralelipiped dreptunghiular este, de exemplu, o cutie de ciocolată, o cărămidă, cutie de chibrituri, cutie de ambalare, pachet de suc.
Figura 155 prezintă un paralelipiped dreptunghiular ABCDA 1 B 1 C 1 D 1.
Un paralelipiped dreptunghiular este limitat de șase marginile. Fiecare față este un dreptunghi, adică. Suprafața unui paralelipiped dreptunghiular este formată din șase dreptunghiuri.
Laturile fețelor se numesc marginile unui paralelipiped dreptunghiular, vârfurile fețelor − vârfurile unui paralelipiped dreptunghiular. De exemplu, segmentele AB, BC, A 1 B 1 sunt muchii, iar punctele B, A 1, C 1 sunt vârfuri ale paralelipipedului ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (Fig. 155).
Un paralelipiped dreptunghiular are 8 vârfuri și 12 muchii.
Fețele AA 1 B 1 B și DD 1 C 1 C nu au vârfuri comune. Astfel de muchii sunt numite opus. În paralelipipedul ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 există încă două perechi de fețe opuse: dreptunghiuri ABCD și A 1 B 1 C 1 D 1, precum și dreptunghiuri AA 1 D 1 D și BB 1 C 1 C.
Fețele opuse ale unui paralelipiped dreptunghiular sunt egale.
În Figura 155, se numește fața ABCD bază paralelipiped dreptunghiular ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 .
Aria suprafeței unui paralelipiped este suma ariilor tuturor fețelor sale.
Pentru a avea o idee despre dimensiunile unui paralelipiped dreptunghiular, este suficient să luați în considerare orice trei margini care au un vârf comun. Lungimile acestor muchii se numesc măsurători paralelipiped dreptunghiular. Pentru a le distinge, ei folosesc nume: lungime, lăţime, înălţime(Fig. 156).
Se numește paralelipiped dreptunghic în care toate dimensiunile sunt egale cub(Fig. 157). Suprafața cubului este formată din șase pătrate egale.
Dacă o cutie în formă de paralelipiped dreptunghiular este deschisă (Fig. 158) și tăiată de-a lungul a patru margini verticale (Fig. 159), și apoi desfășurată, obținem o figură formată din șase dreptunghiuri (Fig. 160). Această cifră se numește dezvoltarea unui paralelipiped dreptunghiular.
Figura 161 prezintă o figură formată din șase pătrate egale. Este o plasă dintr-un cub.
Folosind o dezvoltare, puteți realiza un model de paralelipiped dreptunghiular.
Acest lucru se poate face, de exemplu, așa. Desenați-i conturul pe hârtie. Tăiați-l, îndoiți-l de-a lungul segmentelor corespunzătoare marginilor paralelipipedului dreptunghiular (vezi Fig. 159) și lipiți-l împreună.
Un paralelipiped dreptunghic este un tip de poliedru - o figură a cărei suprafață este formată din poligoane. Figura 162 prezintă poliedre.
Un tip de poliedru este piramidă.
Această cifră nu este nouă pentru tine. Studiind cursul Lumea antică, te-ai familiarizat cu una dintre cele șapte minuni ale lumii - piramidele egiptene.
Figura 163 prezintă piramidele MABC, MABCD, MABCDE. Suprafața piramidei este formată din fetele laterale− triunghiuri având un vârf comun, și temeiuri(Fig. 164). Vârful comun al fețelor laterale se numește marginile bazei piramidei, iar laturile fețelor laterale care nu aparțin bazei sunt marginile laterale ale piramidei.
Piramidele pot fi clasificate în funcție de numărul de laturi ale bazei: triunghiulare, patrulatere, pentagonale (vezi Fig. 163) etc.
Suprafața unei piramide triunghiulare este formată din patru triunghiuri. Oricare dintre aceste triunghiuri poate servi drept bază a unei piramide. Această bază este un tip de piramidă, orice față poate servi drept bază.
Figura 165 prezintă o figură care poate servi dezvoltarea unei piramide patruunghiulare. Este format dintr-un pătrat și patru triunghiuri isoscele egale.
Figura 166 prezintă o figură formată din patru triunghiuri echilaterale egale. Folosind această figură, puteți realiza un model al unei piramide triunghiulare, ale cărei fețe sunt triunghiuri echilaterale.
Poliedrele sunt exemple corpuri geometrice.
Figura 167 prezintă corpuri geometrice familiare care nu sunt poliedre. Veți afla mai multe despre aceste corpuri în clasa a VI-a.
Un paralelipiped este o prismă ale cărei baze sunt paralelograme. În acest caz, toate marginile vor fi paralelograme.
Fiecare paralelipiped poate fi considerat ca o prismă cu trei în diverse moduri, deoarece fiecare două fețe opuse pot fi luate ca baze (în Figura 5, fețele ABCD și A"B"C"D", sau ABA"B" și CDC "D", sau VSV "C" și ADA "D") .
Corpul în cauză are douăsprezece margini, patru egale și paralele între ele.
Teorema 3
. Diagonalele unui paralelipiped se intersectează într-un punct, coincizând cu mijlocul fiecăruia dintre ele.
Paralepipedul ABCDA"B"C"D" (Fig. 5) are patru diagonale AC", BD", CA", DB". Trebuie să dovedim că punctele medii ale oricăror două dintre ele, de exemplu AC și BD", coincid. Aceasta rezultă din faptul că figura ABC "D", având laturile egale și paralele AB și C"D", este un paralelogram.
Definiția 7
. Un paralelipiped drept este un paralelipiped care este și o prismă dreaptă, adică un paralelipiped ale cărui margini laterale sunt perpendiculare pe planul bazei.
Definiția 8
. Un paralelipiped dreptunghiular este un paralelipiped drept a cărui bază este un dreptunghi. În acest caz, toate fețele sale vor fi dreptunghiuri.
Un paralelipiped dreptunghiular este o prismă dreaptă, indiferent care dintre fețele sale o luăm ca bază, deoarece fiecare dintre muchiile sale este perpendiculară pe muchiile care ies din același vârf și, prin urmare, va fi perpendiculară pe planurile fețelor definite. prin aceste margini. În schimb, un paralelipiped drept, dar nu dreptunghiular, poate fi privit ca o prismă dreaptă într-un singur mod.
Definiția 9
. Lungimile a trei muchii ale unui paralelipiped dreptunghiular, dintre care două nu sunt paralele între ele (de exemplu, trei muchii care ies din același vârf), se numesc dimensiunile sale. Două paralelipipede dreptunghiulare având dimensiuni corespunzător egale sunt în mod evident egale între ele.
Definiția 10
.Un cub este un paralelipiped dreptunghiular, toate cele trei dimensiuni sunt egale între ele, astfel încât toate fețele sale sunt pătrate. Două cuburi ale căror margini sunt egale sunt egale. 
Definiția 11
. Un paralelipiped înclinat în care toate muchiile sunt egale între ele și unghiurile tuturor fețelor sunt egale sau complementare se numește romboedru.
Toate fețele unui romboedru sunt romburi egale. (Unele cristale au formă de romboedru, având mare valoare, de exemplu, cristale spate din Islanda.) Într-un romboedru puteți găsi un vârf (și chiar două vârfuri opuse) astfel încât toate unghiurile adiacente acestuia să fie egale între ele.
Teorema 4
. Diagonalele unui paralelipiped dreptunghiular sunt egale între ele. Pătratul diagonalei este egal cu suma pătratelor celor trei dimensiuni.
În paralelipipedul dreptunghic ABCDA"B"C"D" (Fig. 6), diagonalele AC" și BD" sunt egale, deoarece patrulaterul ABC"D" este dreptunghi (dreapta AB este perpendiculară pe planul ECB" C", în care zace BC") .
În plus, AC" 2 =BD" 2 = AB2+AD" 2 bazat pe teorema despre pătratul ipotenuzei. Dar pe baza aceleiași teoreme AD" 2 = AA" 2 + +A"D" 2; deci avem au:
AC" 2 = AB 2 + AA" 2 + A" D" 2 = AB 2 + AA" 2 + AD 2.
În geometrie, conceptele cheie sunt plan, punct, linie dreaptă și unghi. Folosind acești termeni, puteți descrie orice figură geometrică. Poliedrele sunt de obicei descrise în termeni de mai mult figuri simple, care se află în același plan, cum ar fi un cerc, triunghi, pătrat, dreptunghi etc. În acest articol ne vom uita la ce este un paralelipiped, vom descrie tipurile de paralelipiped, proprietățile sale, din ce elemente constă și vom oferi, de asemenea, formulele de bază pentru calcularea ariei și volumului pentru fiecare tip de paralelipiped.
Definiţie
Un paralelipiped în spațiul tridimensional este o prismă, toate laturile căreia sunt paralelograme. În consecință, poate avea doar trei perechi de paralelograme paralele sau șase fețe.
Pentru a vizualiza un paralelipiped, imaginați-vă o cărămidă standard obișnuită. caramida - bun exemplu un paralelipiped dreptunghiular pe care și-l poate imagina chiar și un copil. Alte exemple includ mai multe etaje case cu panouri, dulapuri, containere de depozitare produse alimentare formă adecvată etc.
Varietăți de figură
Există doar două tipuri de paralelipipede:
- Dreptunghiular, ale căror toate fețele laterale sunt la un unghi de 90° față de bază și sunt dreptunghiuri.
- Înclinat, ale cărui margini laterale sunt situate la un anumit unghi față de bază.
În ce elemente poate fi împărțită această figură?
- La fel ca oricare altul figură geometrică, la un paralelipiped, oricare 2 fețe cu muchie comună se numesc adiacente, iar cele care nu o au sunt paralele (pe baza proprietății paralelogramului, care are perechi de laturi opuse paralele).
- Vârfurile unui paralelipiped care nu se află pe aceeași față se numesc opuse.
- Segmentul care leagă astfel de vârfuri este o diagonală.
- Lungimile celor trei margini ale unui cuboid care se întâlnesc la un vârf sunt dimensiunile acestuia (și anume lungimea, lățimea și înălțimea).
Proprietăți forme
- Este întotdeauna construită simetric față de mijlocul diagonalei.
- Punctul de intersecție al tuturor diagonalelor împarte fiecare diagonală în două segmente egale.
- Fețele opuse sunt egale ca lungime și se află pe linii paralele.
- Dacă adăugați pătratele tuturor dimensiunilor unui paralelipiped, valoarea rezultată va fi egală cu pătratul lungimii diagonalei.
Formule de calcul
Formulele pentru fiecare caz particular al unui paralelipiped vor fi diferite.
Pentru un paralelipiped arbitrar, este adevărat că volumul său este egal cu valoarea absolută a produsului scalar triplu al vectorilor a trei laturi care emană dintr-un vârf. Cu toate acestea, nu există o formulă pentru calcularea volumului unui paralelipiped arbitrar.
Pentru un paralelipiped dreptunghiular se aplică următoarele formule:
- V=a*b*c;
- Sb=2*c*(a+b);
- Sp=2*(a*b+b*c+a*c).
- V - volumul figurii;
- Sb - suprafata laterala;
- Sp - zona suprafata intreaga;
- a - lungime;
- b - latime;
- c - înălțime.
Un alt caz special al unui paralelipiped în care toate laturile sunt pătrate este un cub. Dacă oricare dintre laturile pătratului este desemnată de litera a, atunci următoarele formule pot fi utilizate pentru suprafața și volumul acestei figuri:
- S=6*a*2;
- V=3*a.
- S - zona figurii,
- V este volumul figurii,
- a este lungimea feței figurii.
Ultimul tip de paralelipiped pe care îl luăm în considerare este un paralelipiped drept. Care este diferența dintre un paralelipiped drept și un cuboid, vă întrebați. Faptul este că baza unui paralelipiped dreptunghiular poate fi orice paralelogram, dar baza unui paralelipiped drept poate fi doar un dreptunghi. Dacă notăm perimetrul bazei, egal cu suma lungimilor tuturor laturilor, cu Po, și notăm înălțimea cu litera h, avem dreptul să folosim următoarele formule pentru a calcula volumul și ariile totalului și suprafețele laterale.
Va fi util pentru elevii de liceu să învețe cum să rezolve problemele de examen de stat unificat pentru a găsi volumul și alți parametri necunoscuți ai unui paralelipiped dreptunghiular. Experiența anilor anteriori confirmă faptul că astfel de sarcini sunt destul de dificile pentru mulți absolvenți.
În același timp, elevii de liceu cu orice nivel de pregătire ar trebui să înțeleagă cum să găsească volumul sau aria unui paralelipiped dreptunghiular. Numai în acest caz ei vor putea conta pe primirea punctajelor competitive pe baza rezultatelor promovării examenului unificat de stat la matematică.
Puncte cheie de reținut
- Paralelogramele care alcătuiesc un paralelipiped sunt fețele sale, laturile lor sunt marginile sale. Vârfurile acestor figuri sunt considerate vârfurile poliedrului însuși.
- Toate diagonalele unui paralelipiped dreptunghiular sunt egale. Deoarece acesta este un poliedru drept, fețele laterale sunt dreptunghiuri.
- Deoarece un paralelipiped este o prismă cu un paralelogram la bază, această figură are toate proprietățile unei prisme.
- Marginile laterale ale unui paralelipiped dreptunghiular sunt perpendiculare pe bază. Prin urmare, ele sunt înălțimile sale.
Pregătește-te pentru examenul de stat unificat cu Shkolkovo!
Pentru a vă face cursurile mai ușoare și cât mai eficiente posibil, alegeți portalul nostru de matematică. Aici le vei găsi pe toate materialul necesar, care va fi solicitată în etapa pregătirii pentru examenul unificat de stat.
Specialiști proiect educațional„Shkolkovo” propune să trecem de la simplu la complex: mai întâi oferim teorie, formule de bază și probleme elementare cu soluții, apoi trecem treptat la sarcini la nivel de expert. Puteți exersa, de exemplu, cu .
Veți găsi informațiile de bază necesare în secțiunea „Informații teoretice”. De asemenea, puteți începe imediat rezolvarea problemelor pe tema „Paralepiped dreptunghiular” online. Secțiunea „Catalog” prezintă o selecție largă de exerciții de diferite grade de dificultate. Baza de date de sarcini este actualizată în mod regulat.
Vezi dacă poți găsi cu ușurință volumul unui paralelipiped dreptunghiular chiar acum. Analizați orice sarcină. Dacă exercițiul este ușor pentru tine, treci la sarcini mai dificile. Și dacă apar anumite dificultăți, vă recomandăm să vă planificați ziua în așa fel încât programul dvs. să includă cursuri cu portalul de la distanță Shkolkovo.