Pentru măsurători directe

1. Să se măsoare două tensiuni o dată pe un voltmetru U 1 = 10 V, U 2 = 200 V. Voltmetrul are următoarele caracteristici: clasa de precizie d clasa t = 0,2, U max = 300 V.

Să determinăm erorile absolute și relative ale acestor măsurători.

Deoarece ambele măsurători au fost făcute pe același dispozitiv, atunci D U 1 = D U 2 și sunt calculate folosind formula (B.4)

Conform definiției, erori relative U 1 și U 2 sunt, respectiv, egali

ε 1 = 0,6 ∙ V / 10 V = 0,06 = 6%,

ε 2 = 0,6 ∙ V / 200 V = 0,003 = 0,3%.

Din rezultatele date ale calculelor ε 1 și ε 2 este clar că ε 1 este semnificativ mai mare decât ε 2.

Acest lucru duce la regula: ar trebui să alegeți un dispozitiv cu o astfel de limită de măsurare încât citirile să fie în ultima treime a scalei.

2. Lasă o anumită cantitate să fie măsurată de mai multe ori, adică produsă n măsurători individuale ale acestei mărimi A x 1 , A x 2 ,...,A x 3 .

Apoi pentru a calcula eroarea absolută se efectuează următoarele operații:

1) folosind formula (B.5) determinați valoarea medie aritmetică O 0 valoare măsurată;

2) calculați suma abaterilor pătrate ale măsurătorilor individuale de la media aritmetică găsită și, folosind formula (B.6), determinați eroarea pătratică medie, care caracterizează eroarea absolută a unei singure măsurători pentru măsurători directe multiple de o anumită valoare ;

3) eroarea relativă ε se calculează folosind formula (B.2).

Calculul erorii absolute și relative

Cu măsurare indirectă

Calcularea erorilor în măsurătorile indirecte este o sarcină mai dificilă, deoarece în acest caz valoarea dorită este o funcție a altor mărimi auxiliare, a căror măsurare este însoțită de apariția erorilor. De obicei, în măsurători, în afară de erori, erorile aleatorii se dovedesc a fi foarte mici în comparație cu valoarea măsurată. Sunt atât de mici încât a doua sau mai multe grade înalte erorile depășesc precizia măsurării și pot fi neglijate. Datorită micii erori pentru a obține formula de eroare
metodele de calcul diferenţial sunt folosite pentru a măsura o mărime măsurată indirect. Când se măsoară o mărime indirect, când mărimile asociate cu relația matematică dorită sunt măsurate direct, este mai convenabil să se determine mai întâi eroarea relativă și apoi
Folosind eroarea relativă găsită, calculați eroarea absolută de măsurare.

Calculul diferențial oferă cel mai simplu mod de a determina eroarea relativă în măsurarea indirectă.

Lăsați cantitatea necesară O este legat printr-o dependență funcțională cu mai multe mărimi independente măsurabile direct x 1 ,
x 2 , ..., x k, adică

O= f(x 1 , x 2 , ..., x k).

Pentru a determina eroarea relativă a valorii O luați logaritmul natural al ambelor părți ale egalității

ln O= jurnal f(x 1 , x 2 , ..., x k).

Apoi se calculează diferența logaritmul natural funcții
O= f(x 1 ,x 2 , ..., x k),

dln O=dln f(x 1 , x 2 , ..., x k)

Toate transformările și simplificările algebrice posibile sunt efectuate în expresia rezultată. După aceasta, toate simbolurile diferențiale d sunt înlocuite cu simbolurile de eroare D, iar semnele negative din fața diferențelor variabilelor independente sunt înlocuite cu unele pozitive, adică se ia cazul cel mai nefavorabil, când se adună toate erorile. În acest caz, se calculează eroarea maximă a rezultatului.

Cu acestea spuse

dar ε = D O / O

Această expresie este formula pentru eroarea relativă a valorii Oîn măsurătorile indirecte, determină eroarea relativă a valorii dorite, prin erorile relative ale valorilor măsurate. După ce s-a calculat eroarea relativă folosind formula (B.11),
determina eroarea absolută a valorii O ca produs dintre eroarea relativă și valoarea calculată O adică

D O = ε O, (B.12)

unde ε este exprimat ca număr adimensional.

Deci, erorile relative și absolute ale mărimii măsurate indirect ar trebui calculate în următoarea secvență:

1) luați o formulă prin care se calculează valoarea dorită ( formula de calcul);

2) luați logaritmul natural al ambelor părți ale formulei de calcul;

3) se calculează diferenţialul total al logaritmului natural al mărimii dorite;

4) toate transformările și simplificările algebrice posibile sunt efectuate în expresia rezultată;

5) simbolul diferenţial d este înlocuit cu simbolul de eroare D, în timp ce toate semnele negative din faţa diferenţialelor variabilelor independente sunt înlocuite cu unele pozitive (valoarea erorii relative va fi maximă) şi se obţine formula de eroare relativă;

6) se calculează eroarea relativă a valorii măsurate;

7) pe baza erorii relative calculate, eroarea absolută a măsurării indirecte se calculează utilizând formula (B.12).

Să ne uităm la câteva exemple de calculare a erorilor relative și absolute în măsurători indirecte.

1. Cantitatea necesară O legate de cantități direct măsurabile X, la, z raport

Unde oŞi b– valori constante.

2. Luați logaritmul natural al expresiei (B.13)

3. Calculați diferența totală a logaritmului natural al mărimii dorite O, adică deosebim (B.13)

4. Facem transformări. Având în vedere că d O= 0, deoarece O= const,cos la/păcat y=ctg y, obținem:

5. Înlocuiți simbolurile diferențiale cu simboluri de eroare și semnul minus din fața diferențialului cu un semn plus.

6. Calculăm eroarea relativă a valorii măsurate.

7. Pe baza erorii relative calculate, eroarea absolută a măsurării indirecte se calculează conform formulei (B.12), adică.

Se determină lungimea de undă galben linia spectrală a mercurului folosind o rețea de difracție (folosind secvența acceptată pentru calcularea erorilor relative și absolute pentru lungimea de undă galbenă).

1. Lungimea de undă a culorii galbene în acest caz este determinată de formula:

Unde CU– constanta rețelei de difracție (valoare măsurată indirect); φ f – unghiul de difracție al liniei galbene într-o ordine spectrală dată (valoare măsurată direct); K g – ordinea spectrului în care s-a făcut observația.

Constanta rețelei de difracție este calculată prin formula

Unde K h – ordinea spectrului liniei verzi; λ з – lungimea de undă cunoscută de culoare verde (λ з – constantă); φз – unghiul de difracție al liniei verzi într-o ordine spectrală dată (valoare măsurată direct).

Apoi, ținând cont de expresia (B.15)

(B.16)

Unde K h, K g – observabile, care sunt considerate constante; φ h, φ w – sunt
cantități direct măsurabile.

Expresia (B.16) este formula de calcul pentru lungimea de undă galbenă determinată utilizând o rețea de difracție.

4. d K z = 0; d K w = 0; dλ з = 0, deoarece K h, K g și λ h – valori constante;

Apoi

5. (B.17)

unde Dφ w, Dφ h – erori absolute în măsurarea unghiului de difracție al galbenului
și linii verzi ale spectrului.

6. Calculați eroarea relativă a lungimii de undă galbenă.

7. Calculați eroarea absolută a lungimii de undă galbenă:

Dλ f = ελ f.

La măsurarea oricărei mărimi, există invariabil o oarecare abatere de la valoarea adevărată, datorită faptului că niciun instrument nu poate da un rezultat precis. Pentru a determina abaterile admisibile se folosesc datele obținute din valoarea exactă, reprezentările erorii relative și necondiționate.

vei avea nevoie

• – rezultatele măsurătorilor;
• - calculator.

Instrucţiuni

1. În primul rând, efectuați mai multe măsurători cu un instrument de aceeași valoare pentru a avea șansa de a calcula valoarea reală. Cu cât se fac mai multe măsurători, cu atât rezultatul va fi mai precis. Să presupunem că cântărim un măr pe un cântar electronic. Este posibil să obțineți rezultate de 0,106, 0,111, 0,098 kg.

2. Acum calculați valoarea reală a cantității (reală, deoarece este imposibil să o detectăm pe cea adevărată). Pentru a face acest lucru, adunați totalurile rezultate și împărțiți-le la numărul de măsurători, adică găsiți media aritmetică. În exemplu, valoarea reală ar fi (0,106+0,111+0,098)/3=0,105.

3. Pentru a calcula eroarea necondiționată a primei măsurători, scădeți valoarea reală din total: 0,106-0,105=0,001. În același mod, calculați erorile necondiționate ale măsurătorilor rămase. Vă rugăm să rețineți că, indiferent dacă rezultatul se dovedește a fi un minus sau un plus, semnul erorii este invariabil pozitiv (adică luați valoarea absolută).

4. Pentru a obține eroarea relativă a primei măsurători, împărțiți eroarea absolută la valoarea reală: 0,001/0,105=0,0095. Vă rugăm să rețineți că eroarea relativă este de obicei măsurată ca procent, prin urmare înmulțiți numărul rezultat cu 100%: 0,0095x100% = 0,95%. În același mod, calculați erorile relative ale altor măsurători.

5. Dacă valoarea adevărată este deja cunoscută, începeți imediat calcularea erorilor, eliminând căutarea mediei aritmetice a rezultatelor măsurătorii. Scădeți imediat totalul rezultat din valoarea adevărată și veți descoperi o eroare necondiționată.

6. După aceasta, împărțiți eroarea absolută la valoarea adevărată și înmulțiți cu 100% - aceasta va fi eroarea relativă. Să presupunem că numărul de elevi este 197, dar a fost rotunjit la 200. În acest caz, calculați eroarea de rotunjire: 197-200=3, eroare relativă: 3/197x100%=1,5%.

Eroare este o valoare care determină abaterile admisibile ale datelor obţinute de la valoarea exactă. Există concepte de eroare relativă și necondiționată. Găsirea lor este una dintre sarcinile unei revizuiri matematice. Cu toate acestea, în practică, este mai important să se calculeze eroarea în răspândirea unui indicator măsurat. Dispozitive fizice au propria lor eroare posibilă. Dar nu este singurul lucru care trebuie luat în considerare atunci când se determină indicatorul. Pentru a calcula eroarea de dispersie σ, este necesar să se efectueze mai multe măsurători ale acestei mărimi.

vei avea nevoie

• Dispozitiv pentru măsurarea valorii cerute

Instrucţiuni

1. Măsurați valoarea de care aveți nevoie cu un dispozitiv sau alt dispozitiv de măsurare. Repetați măsurătorile de mai multe ori. Cu cât valorile obținute sunt mai mari, cu atât este mai mare acuratețea determinării erorii de împrăștiere. În mod tradițional, se fac 6-10 măsurători. Notați setul rezultat de valori măsurate.

2. Dacă toate valorile obținute sunt egale, prin urmare, eroarea de împrăștiere este zero. Dacă există valori diferite în serie, calculați eroarea de împrăștiere. Există o formulă specială pentru a o determina.

3. Conform formulei, calculați mai întâi valoare medie <х>din valorile obtinute. Pentru a face acest lucru, adunați toate valorile și împărțiți suma lor la numărul de măsurători efectuate n.

4. Determinați unul câte unul diferența dintre întreaga valoare obținută și valoarea medie<х>. Notează rezultatele diferențelor obținute. După aceasta, pătrați toate diferențele. Aflați suma pătratelor date. Veți salva suma totală finală primită.

5. Evaluați expresia n(n-1), unde n este numărul de măsurători pe care le faceți. Împărțiți totalul din calculul anterior la valoarea rezultată.

6. Luați rădăcina pătrată a coeficientului împărțirii. Aceasta va fi eroarea în răspândirea lui σ, valoarea pe care ați măsurat-o.

Când se efectuează măsurători, este imposibil să se garanteze acuratețea acestora; eroare. Pentru a afla precizia măsurării sau clasa de precizie a dispozitivului, trebuie să determinați necondiționat și relativ eroare .

vei avea nevoie

• – mai multe rezultate de măsurare sau altă probă;
• - calculator.

Instrucţiuni

1. Faceți măsurători de cel puțin 3-5 ori pentru a putea calcula valoarea reală a parametrului. Adunați rezultatele rezultate și împărțiți-le la numărul de măsurători, obțineți valoarea reală, care este folosită în sarcini în loc de cea adevărată (este imposibil să o determinați). Să presupunem că dacă măsurătorile au dat un total de 8, 9, 8, 7, 10, atunci valoarea reală va fi egală cu (8+9+8+7+10)/5=8.4.

2. Descoperă necondiționat eroare a întregii măsurători. Pentru a face acest lucru, scădeți valoarea reală din rezultatul măsurării, neglijând semnele. Veți primi 5 erori necondiționate, câte una pentru fiecare măsurătoare. În exemplu, acestea vor fi egale cu 8-8.4 = 0.4, 9-8.4 = 0.6, 8-8.4 = 0.4, 7-8.4 = 1.4, 10-8.4 =1.6 (total module luate).

3. Pentru a afla ruda eroare orice dimensiune, împărțiți necondiționatul eroare la valoarea reală (adevărată). După aceasta, înmulțiți totalul rezultat cu 100%, în mod tradițional, această valoare este măsurată ca procent. În exemplu, descoperiți ruda eroare astfel: ?1=0,4/8,4=0,048 (sau 4,8%), ?2=0,6/8,4=0,071 (sau 7,1%), ?3=0,4/8,4=0,048 (sau 4,8%), ?4=1,4/8,4 =0,167 (sau 16,7%), ?5=1,6/8,4=0,19 (sau 19%).

4. În practică, pentru a afișa eroarea în mod deosebit de precis, se folosește media abaterea standard. Pentru a-l detecta, pătrați toate erorile de măsurare necondiționate și adăugați-le. Apoi împărțiți acest număr la (N-1), unde N este numărul de măsurători. Prin calcularea rădăcinii totalului rezultat, veți obține abaterea standard, care caracterizează eroare măsurători.

5. Pentru a descoperi necondiționatul suprem eroare, descoperi număr minim, depășind evident necondiționatul eroare sau egal cu acesta. În exemplul luat în considerare, pur și simplu selectați cea mai mare valoare– 1.6. De asemenea, ocazional este necesar să descoperim ruda limitativă eroare, în acest caz, găsiți un număr mai mare sau egal cu eroarea relativă, în exemplu este de 19%.

O parte inseparabilă a oricărei măsurători este unele eroare. Reprezintă o bună trecere în revistă a acurateței cercetării efectuate. După forma de prezentare, aceasta poate fi necondiționată și relativă.

vei avea nevoie

• - calculator.

Instrucţiuni

1. Erorile în măsurătorile fizice sunt împărțite în sistematice, aleatorii și obscene. Primele sunt cauzate de factori care acționează identic atunci când măsurătorile sunt repetate de mai multe ori. Sunt continue sau se schimbă în mod regulat. Ele pot fi cauzate instalare incorectă dispozitiv sau imperfecțiune a metodei de măsurare alese.

2. Al doilea apar din puterea cauzelor și din dispoziția fără cauză. Acestea includ rotunjirea incorectă la calcularea citirilor și a puterii mediu. Dacă astfel de erori sunt mult mai mici decât diviziunile la scară ale acestui dispozitiv de măsurare, atunci este potrivit să luăm jumătate din diviziune ca eroare absolută.

3. dor sau îndrăzneț eroare reprezintă rezultatul urmăririi, unul care este net diferit de toate celelalte.

4. Necondiţionat eroare aproximativ valoare numerică– aceasta este diferența dintre rezultatul obținut în timpul măsurării și valoarea adevărată a valorii măsurate. Valoarea adevărată sau reală reflectă în mod deosebit cu acuratețe mărimea fizică studiată. Acest eroare este cea mai ușoară măsură cantitativă a erorii. Poate fi calculat folosind următoarea formulă: ?Х = Hisl – Hist. Poate căpăta semnificații pozitive și negative. Pentru o mai bună înțelegere, să ne uităm la un exemplu. Școala are 1205 elevi, atunci când este rotunjit la 1200 absolut eroare este egal cu: ? = 1200 – 1205 = 5.

5. Sunt anumite reguli calcularea erorii valorilor. În primul rând, necondiționat eroare suma a 2 marimi independente este egala cu suma erorilor lor neconditionate: ?(X+Y) = ?X+?Y. O abordare similară este aplicabilă pentru diferența de 2 erori. Puteți folosi formula: ?(X-Y) = ?X+?Y.

6. Modificarea constituie un necondiționat eroare, luat cu semnul opus: ?п = -?. Este folosit pentru a elimina erorile sistematice.

Măsurătorile mărimi fizice invariabil însoţit de unul sau altul eroare. Reprezintă abaterea rezultatelor măsurătorilor de la valoarea reală a valorii măsurate.

vei avea nevoie

• -metru:
• -calculator.

Instrucţiuni

1. Pot apărea erori ca urmare a alimentării diverși factori. Dintre acestea, putem evidenția imperfecțiunea mijloacelor sau metodelor de măsurare, inexactități în fabricarea acestora, nerespectarea conditii speciale la efectuarea cercetărilor.

2. Există mai multe sistematizări ale erorilor. După forma de prezentare, ele pot fi necondiționate, relative și reduse. Primele reprezintă diferența dintre valoarea calculată și cea reală a unei cantități. Ele sunt exprimate în unităţi ale fenomenului măsurat şi se găsesc folosind formula:?x = hisl-hist. Acestea din urmă sunt determinate de raportul dintre erorile necondiționate și valoarea reală a indicatorului Formula de calcul are forma:? = ?x/hist. Se măsoară în procente sau cote.

3. Eroare redusă instrument de măsurare se găsește ca raport?x la valoarea de normalizare xn. În funcție de tipul de dispozitiv, se acceptă fie egal cu limita măsurători sau atribuite intervalului lor specific.

4. În funcție de condițiile de origine, ele disting între de bază și suplimentare. Dacă măsurătorile au fost efectuate în conditii tipice, apoi apare primul tip. Abaterile datorate valorilor în afara intervalului tipic sunt suplimentare. Pentru a-l evalua, documentația stabilește de obicei standarde în cadrul cărora valoarea se poate modifica dacă sunt încălcate condițiile de măsurare.

5. De asemenea, erorile în măsurătorile fizice sunt împărțite în sistematice, aleatorii și îndrăznețe. Primele sunt cauzate de factori care acționează atunci când măsurătorile sunt repetate de mai multe ori. Al doilea apar din puterea cauzelor și din dispoziția fără cauză. O ratare reprezintă rezultatul urmăririi, cel care este radical diferit de toate celelalte.

6. În funcție de natura mărimii măsurate, pot fi utilizate diferite metode de măsurare a erorii. Prima dintre ele este metoda Kornfeld. Se bazează pe calcularea intervalului de încredere care variază de la cel mai mic la maxim total. Eroarea în acest caz va fi jumătate din diferența dintre aceste totale: ?x = (xmax-xmin)/2. O altă metodă este calculul erorii pătratice medii.

Măsurătorile pot fi efectuate cu diferite grade de precizie. În același timp, nici măcar instrumentele de precizie nu sunt absolut precise. Erorile absolute și relative pot fi mici, dar în realitate sunt practic neschimbate. Diferența dintre valorile aproximative și exacte ale unei anumite cantități se numește necondiționată eroare. În acest caz, abaterea poate fi mare sau mică.

vei avea nevoie

• – date de măsurare;
• - calculator.

Instrucţiuni

1. Înainte de a calcula eroarea necondiționată, luați mai multe postulate ca date inițiale. Eliminați erorile îndrăznețe. Să presupunem că corecțiile necesare au fost deja calculate și incluse în total. Un astfel de amendament ar putea fi, de exemplu, mutarea punctului de plecare al măsurătorilor.

2. Luați ca poziție inițială că erorile aleatoare sunt cunoscute și luate în considerare. Aceasta înseamnă că sunt mai mici decât cele sistematice, adică necondiționate și relative, caracteristice acestui dispozitiv particular.

3. Erorile aleatorii afectează rezultatul măsurătorilor chiar și foarte precise. În consecință, fiecare rezultat va fi mai mult sau mai puțin apropiat de necondiționat, dar vor exista invariabil discrepanțe. Determinați acest interval. Poate fi exprimat prin formula (Xism-?X)?Xism? (Hism+?X).

4. Determinați valoarea care este cât mai apropiată de valoarea adevărată. În măsurătorile reale se ia media aritmetică, care poate fi determinată folosind formula prezentată în figură. Luați totalul drept valoare adevărată. În multe cazuri, citirea instrumentului de referință este acceptată ca fiind exactă.

5. Cunoscând adevărata valoare de măsurare, puteți descoperi eroarea necondiționată, care trebuie luată în considerare în toate măsurătorile ulterioare. Găsiți valoarea lui X1 - datele unei anumite măsurători. Determinați diferența? X scăzând numărul mai mic din numărul mai mare. La determinarea erorii, se ia în considerare doar modulul acestei diferențe.

Fiţi atenți!
Ca de obicei, în practică este imposibil să se efectueze o măsurătoare absolut exactă. În consecință, eroarea maximă este luată ca valoare de referință. Reprezintă cea mai mare valoare a modulului de eroare absolută.

Sfaturi utile
În măsurătorile utilitare, valoarea erorii necondiționate este de obicei considerată ca fiind jumătate din cea mai mică valoare a diviziunii. Când lucrați cu numere, eroarea absolută este considerată a fi jumătate din valoarea numărului, care este ulterior numere exacte deversare. Pentru a determina clasa de precizie a unui instrument, cel mai important lucru este raportul dintre eroarea absolută și măsurarea totală sau lungimea scalei.

Erorile de măsurare sunt asociate cu imperfecțiunea instrumentelor, instrumentelor și metodologiei. Precizia depinde și de observația și starea experimentatorului. Erorile sunt împărțite în necondiționate, relative și reduse.

Instrucţiuni

1. Fie ca o singură măsurătoare a unei mărimi să dea rezultatul x. Valoarea adevărată se notează cu x0. Apoi necondiționat eroare?x=|x-x0|. Estimă eroarea necondiționată de măsurare. Necondiţionat eroare constă din 3 componente: erori aleatorii, erori sistematice și greșeli. De obicei, atunci când se măsoară cu un instrument, jumătate din valoarea diviziunii este considerată o eroare. Pentru o riglă milimetrică, aceasta ar fi 0,5 mm.

2. Valoarea adevărată a valorii măsurate este în intervalul (x-?x; x+?x). Pe scurt, aceasta este scrisă ca x0=x±?x. Principalul lucru este să măsurați x și ?x în aceleași unități și să scrieți numerele în același format, spuneți întreaga parte și trei cifre după virgulă. Se dovedește necondiționat eroare dă limitele intervalului în care, cu o oarecare probabilitate, este situată valoarea adevărată.

3. Relativ eroare exprimă raportul dintre eroarea necondiţionată şi valoarea reală a mărimii: ?(x)=?x/x0. Aceasta este o cantitate fără dimensiune și poate fi scrisă și ca procent.

4. Măsurătorile pot fi directe sau indirecte. În măsurătorile directe, valoarea dorită este măsurată imediat cu dispozitivul corespunzător. Să presupunem că lungimea unui corp se măsoară cu o riglă, tensiunea cu un voltmetru. În măsurătorile indirecte, o valoare este găsită folosind formula pentru relația dintre aceasta și valorile măsurate.

5. Dacă rezultatul este o conexiune între 3 mărimi ușor de măsurat care au erori?x1, ?x2, ?x3, atunci eroare măsurare indirectă?F=?[(?x1 ?F/?x1)?+(?x2 ?F/?x2)?+(?x3 ?F/?x3)?]. Aici?F/?x(i) sunt derivatele parțiale ale funcției în raport cu oricare dintre mărimile ușor de măsurat.

Sfaturi utile
Greșelile sunt inexactități îndrăznețe în măsurători care apar din cauza funcționării defectuoase a instrumentelor, neatenției experimentatorului sau încălcării metodologiei experimentale. Pentru a reduce probabilitatea unor astfel de greșeli, atunci când efectuați măsurători, aveți grijă și descrieți în detaliu rezultatele obținute.

Rezultatul oricărei măsurători este însoțit inevitabil de o abatere de la valoarea adevărată. Eroarea de măsurare poate fi calculată folosind mai multe metode în funcție de tipul acesteia, de exemplu, metode statistice pentru determinarea intervalului de încredere, abaterea standard etc.

Instrucţiuni

1. Există mai multe motive pentru care erori măsurători. Acestea sunt inexactitatea instrumentului, metodologia imperfectă, precum și erorile cauzate de neatenția operatorului care efectuează măsurători. În plus, valoarea adevărată a unui parametru este adesea considerată ca fiind valoarea sa reală, ceea ce de fapt este posibil doar în mod deosebit, pe baza unei analize a unui eșantion statistic a rezultatelor unei serii de experimente.

2. Eroarea este o măsură a abaterii unui parametru măsurat de la valoarea sa adevărată. Conform metodei lui Kornfeld se determină un interval de încredere, unul care garantează un anumit grad de securitate. În acest caz, se găsesc așa-numitele limite de încredere în care valoarea fluctuează, iar eroarea este calculată ca jumătate de sumă a acestor valori:? = (xmax – xmin)/2.

3. Aceasta este o estimare a intervalului erori, ceea ce are sens să se efectueze cu o dimensiune mică a eșantionului statistic. O estimare punctuală constă în calcularea așteptării matematice și a abaterii standard.

4. Așteptarea matematică este suma integrală a unui număr de produse a 2 parametri de urmărire. Acestea sunt, de fapt, valorile mărimii măsurate și probabilitatea acesteia în aceste puncte: M = ?xi pi.

5. Formula clasică de calcul a abaterii standard presupune calcularea valorii medii a secvenței analizate de valori ale valorii măsurate și, de asemenea, ia în considerare volumul seriei de experimente efectuate:? = ?(?(xi – xav)?/(n – 1)).

6. După metoda de exprimare, se disting și erorile necondiționate, relative și reduse. Eroarea necondiționată este exprimată în aceleași unități ca și valoarea măsurată și este egală cu diferența dintre valoarea sa calculată și cea adevărată:?x = x1 – x0.

7. Eroare relativă măsurarea este legată de necondiționat, dar este mai eficientă. Nu are dimensiune și uneori este exprimată în procente. Valoarea sa este egală cu raportul necondiționului erori la valoarea reală sau calculată a parametrului măsurat:?x = ?x/x0 sau?x = ?x/x1.

8. Eroarea redusă este exprimată prin relația dintre eroarea necondiționată și o valoare x acceptată convențional, care este constantă pentru toate măsurătoriși este determinată de calibrarea scalei instrumentului. Dacă scara începe de la zero (unilateral), atunci această valoare de normalizare este egală cu limita sa superioară, iar dacă este cu două fețe, este egală cu lățimea fiecăruia dintre intervalele sale:? = ?x/xn.

Automonitorizarea diabetului zaharat este considerată o componentă importantă a tratamentului. Un glucometru este folosit pentru a măsura zahărul din sânge acasă. Eroarea posibilă a acestui dispozitiv este mai mare decât cea a analizoarelor glicemice de laborator.

Măsurarea zahărului din sânge este necesară pentru a evalua eficacitatea tratamentului diabetului zaharat și pentru a ajusta doza de medicamente. De câte ori pe lună va trebui să vă măsurați zahărul depinde de terapia prescrisă. Ocazional, prelevarea de sânge pentru revizuire este necesară de mai multe ori în timpul zilei, uneori este suficientă de 1-2 ori pe săptămână. Automonitorizarea este necesară în special pentru femeile însărcinate și pentru pacienții cu diabet zaharat de tip 1.

Eroare permisă pentru un glucometru conform standardelor internaționale

Glucometrul nu este considerat un dispozitiv de înaltă precizie. Este destinat numai pentru determinarea aproximativă a concentrației de zahăr din sânge. Eroarea posibilă a unui glucometru conform standardelor mondiale este de 20% atunci când glicemia este mai mare de 4,2 mmol/l. Să spunem, dacă în timpul autocontrolului se înregistrează un nivel de zahăr de 5 mmol/l, atunci valoarea reală a concentrației este în intervalul de la 4 la 6 mmol/l. Eroarea posibilă a unui glucometru în condiții standard este măsurată ca procent, nu în mmol/l. Cu cât indicatorii sunt mai mari, cu atât eroarea în cifre absolute este mai mare. Să spunem, dacă zahărul din sânge ajunge la aproximativ 10 mmol/l, atunci eroarea nu depășește 2 mmol/l, iar dacă zahărul este de aproximativ 20 mmol/l, atunci diferența cu rezultatul măsurării de laborator poate fi de până la 4 mmol /l. În majoritatea cazurilor, glucometrul supraestimează nivelurile glicemice Standardele permit depășirea erorii de măsurare declarată în 5% din cazuri. Aceasta înseamnă că fiecare al douăzecilea studiu poate distorsiona semnificativ rezultatele.

Eroare permisă pentru glucometre de la diverse companii

Glucometrele sunt supuse certificării obligatorii. Documentele care însoțesc dispozitivul indică de obicei cifre pentru posibila eroare de măsurare. Dacă acest articol nu este în instrucțiuni, atunci eroarea corespunde cu 20%. Unii producători de glucometre pun un accent deosebit pe acuratețea măsurătorilor. Există dispozitive de la companii europene care au o posibilă eroare mai mică de 20%. Cel mai bun indicator astazi este de 10-15%.

Eroare la glucometru în timpul automonitorizării

Eroarea de măsurare admisă caracterizează funcționarea dispozitivului. Câțiva alți factori afectează, de asemenea, acuratețea sondajului. Piele pregătită anormal, volum prea mic sau mare de picătură de sânge primită, inacceptabil regim de temperatură– toate acestea pot duce la erori. Numai dacă sunt respectate toate regulile de autocontrol, ne putem baza pe posibila eroare de cercetare declarată. Puteți afla regulile de automonitorizare cu ajutorul unui glucometru de la medicul dumneavoastră. Precizia glucometrului poate fi verificată la centru de service. Garanțiile producătorilor includ consultanță gratuită și depanare.

Când aveți de-a face cu fracții zecimale infinite în calcule, trebuie să aproximați aceste numere pentru comoditate, adică să le rotunjiți. Numerele aproximative se obțin și din diferite măsurători.

Poate fi util să știm cât de mult diferă valoarea aproximativă a unui număr de valoarea lui exactă. Este clar că cu cât această diferență este mai mică, cu atât mai bine, cu atât măsurarea sau calculul se realizează mai precis.

Pentru a determina acuratețea măsurătorilor (calculelor), un concept precum eroare de aproximare. Ei o numesc altfel eroare absolută. Eroarea de aproximare este diferența luată modulo între valoarea exactă a unui număr și valoarea sa aproximativă.

Dacă a este valoarea exacta numărul, iar b este valoarea sa aproximativă, atunci eroarea de aproximare este determinată de formula |a – b|.

Să presupunem că în urma măsurătorilor s-a obținut numărul 1,5. Cu toate acestea, ca rezultat al calculului folosind formula, valoarea exactă a acestui număr este 1,552. În acest caz, eroarea de aproximare va fi egală cu |1,552 – 1,5| = 0,052.

În cazul fracțiilor infinite, eroarea de aproximare este determinată de aceeași formulă. În locul numărului exact, se scrie fracția infinită în sine. De exemplu, |π – 3,14| = |3,14159... – 3,14| = 0,00159... . Aici rezultă că eroarea de aproximare este exprimată printr-un număr irațional.

După cum se știe, aproximarea poate fi efectuată atât prin deficiență, cât și prin exces. Același număr π la aproximarea prin deficiență cu o precizie de 0,01 este egal cu 3,14, iar la aproximarea prin exces cu o precizie de 0,01 este egal cu 3,15. Motivul pentru care calculul folosește aproximarea deficienței sale este aplicarea regulilor de rotunjire. Conform acestor reguli, dacă prima cifră care trebuie aruncată este cinci sau mai mare de cinci, atunci se efectuează o aproximare în exces. Dacă mai puțin de cinci, atunci din cauza deficienței. Deoarece a treia cifră după punctul zecimal al numărului π este 1, prin urmare, atunci când se aproximează cu o precizie de 0,01, se realizează prin deficiență.

Într-adevăr, dacă calculăm erorile de aproximare la 0,01 ale numărului π prin deficiență și exces, obținem:

|3,14159... – 3,14| = 0,00159...
|3,14159... – 3,15| = 0,0084...

Din 0,00159...

Când se vorbește despre eroarea de aproximare, precum și în cazul aproximării în sine (prin exces sau deficiență), este indicată acuratețea acesteia. Deci, în exemplul de mai sus cu numărul π, trebuie spus că este egal cu numărul 3,14 cu o precizie de 0,01. La urma urmei, modulul diferenței dintre numărul în sine și valoarea sa aproximativă nu depășește 0,01 (0,00159... ≤ 0,01).

În mod similar, π este egal cu 3,15 cu o precizie de 0,01, deoarece 0,0084... ≤ 0,01. Totuși, dacă vorbim de o precizie mai mare, de exemplu până la 0,005, atunci putem spune că π este egal cu 3,14 cu o precizie de 0,005 (din moment ce 0,00159... ≤ 0,005). Nu putem spune acest lucru în raport cu aproximarea de 3,15 (din moment ce 0,0084... > 0,005).

Erori absolute și relative

Avem de a face cu numere aproximative atunci când calculăm valorile unor funcții sau când măsurăm și procesăm mărimi fizice obținute în urma experimentelor. În ambele cazuri, trebuie să puteți nota corect valorile numerelor aproximative și eroarea acestora.

Număr aproximativ O este un număr care diferă ușor de numărul exact Oși îl înlocuiește pe acesta din urmă în calcule. Daca se stie ca O< А , Asta O numită valoarea aproximativă a numărului O prin deficiență; Dacă a > A, – apoi în exces. Dacă O este o valoare aproximativă a numărului O, apoi scriu a ≈ A.

Sub eroare sau eroare O număr aproximativ O de obicei se referă la diferența dintre numărul exact corespunzător Oși cei apropiați, adică

Pentru a obține numărul exact O, trebuie să adăugați eroarea acesteia la valoarea aproximativă a numărului, adică.

În multe cazuri, semnul erorii este necunoscut. Atunci este recomandabil să folosiți eroarea absolută a numărului aproximativ

Din înregistrarea de mai sus rezultă că eroarea absolută a numărului aproximativ O se numește modulul diferenței dintre numărul exact corespunzător Oși valoarea sa aproximativă O, adică

Număr exact O cel mai adesea este necunoscut, deci nu este posibil să găsiți o eroare sau o eroare absolută. În acest caz, este utilă introducerea unei estimări de sus, așa-numita eroare absolută maximă, în locul erorii teoretice necunoscute.

Sub eroarea maximă absolută a numărului aproximativ O se înțelege orice număr care nu este mai mic decât eroarea absolută a acestui număr, adică.

Dacă în ultima intrare folosim formula (1.1), atunci putem scrie

(1.2)

Rezultă că numărul exact O cuprinse în limite

În consecință, diferența este o aproximare a numărului A din cauza deficienței sale și – aproximarea numărului O prin exces. În acest caz, pentru concizie, utilizați notația

Este clar că eroarea absolută maximă este determinată în mod ambiguu: dacă un anumit număr este eroarea absolută maximă, atunci orice număr mai mare decât pozitiv este și eroarea absolută maximă. În practică, ei încearcă să aleagă cel mai mic și mai simplu număr posibil care satisface inegalitatea (1.2).

De exemplu, dacă în urma măsurării am obținut lungimea segmentului l= 210 cm ± 0,5 cm, atunci aici este eroarea absolută maximă = 0,5 cm și valoarea exactă l segmentul este cuprins în limitele de 209,5 cm ≤l≤ 210,5 cm.

Eroarea absolută nu este suficientă pentru a caracteriza acuratețea unei măsurători sau a unui calcul. Deci, de exemplu, dacă la măsurarea lungimii a două tije se obțin rezultatele l 1= 95,6 cm ± 0,1 cm și l 2=8,3 ± 0,1 cm, atunci, în ciuda coincidenței erorilor maxime absolute, precizia primei măsurători este mai mare decât a celei de-a doua. Acest lucru arată că pentru precizia măsurării, ceea ce este mai important nu este eroarea absolută, ci eroarea relativă, care depinde de valorile cantităților măsurate.

Eroare relativă δ număr aproximativ O este raportul dintre eroarea absolută a acestui număr și modulul numărului exact corespunzător O, aceste.

Similar cu eroarea maximă absolută, se folosește și definiția erorii relative maxime. Eroarea relativă maximă a acestui număr aproximativ O se numește orice număr care nu este mai mic decât eroarea relativă a acestui număr

aceste. de unde urmează

Astfel, dincolo de eroarea maximă absolută a numărului O poate fi acceptat

Din moment ce în practică A≈a, atunci în loc de formula (1.3) folosesc adesea formula

1.2 Notarea zecimală a numerelor aproximative

Orice număr zecimal pozitiv a poate fi reprezentat ca o fracție finită sau infinită

unde sunt cifrele zecimale ale numărului O( = 0,1,2,...,9), cu cea mai mare cifră a m– numărul de cifre din înregistrarea părții întregi a numărului O, A n– numărul de cifre din înregistrarea părții fracționale a unui număr O. De exemplu:

5214,73... = 5 10 3 + 2 10 2 + 1 10 1 + 4 10 0 +7 10 -1 + 3 10 -2 ... (1,5)

Fiecare cifră se află într-un anumit loc dintr-un număr O, scris sub forma (1.4), are propria sa greutate. Deci, numărul care vine primul (adică) cântărește 10 m, pe a doua – 10 m-1 etc.

În practică, de obicei nu folosim notația în forma (1.4), ci folosim o notație prescurtată a numerelor sub forma unei secvențe de coeficienți la puterile corespunzătoare de 10. Deci, de exemplu, în notația (1.5) folosim forma la stânga semnului egal, și nu la dreapta, reprezentând expansiunea acestui număr în puteri de 10.

În practică, trebuie să se ocupe în principal de numere aproximative sub formă de finit zecimale. Pentru a compara corect diferite rezultate computaționale și experimentale, conceptul cifră semnificativăîn înregistrarea rezultatelor. Toate salvat valori zecimale ( i = m,m- 1,…, m-n+ 1) altele decât zero și zero dacă apare între cifre semnificative sau este un reprezentant al unei zecimale stocate la sfârșitul unui număr se numesc cifre semnificative ale unui număr aproximativ O. În acest caz, zerourile asociate cu factorul 10 n nu sunt considerate semnificative.

La desemnarea unui număr O V sistem zecimal La numerotare, uneori trebuie să introduceți zerouri suplimentare la începutul sau la sfârșitul unui număr. De exemplu,

O= 7·10 -3 + 0·10 -4 + 1·10 -5 + 0·10 -6 = 0,00 7010

b= 2·10 9 + 0·10 8 + 0·10 7 + 3·10 6 + 0·10 5 = 2003000000.

Astfel de zerouri (sunt subliniate în exemplele date) nu sunt considerate cifre semnificative.

Cifra semnificativă a unui număr aproximativ este orice cifră din reprezentarea sa zecimală care este diferită de zero,și, de asemenea, zero dacă este cuprins între cifre semnificative sau este un reprezentant al unei zecimale stocate. Toate celelalte zerouri care fac parte dintr-un număr aproximativ și servesc doar la desemnarea zecimalei acestuia nu sunt socotite ca numere semnificative.

De exemplu, în numărul 0,002080, primele trei zerouri nu sunt cifre semnificative, deoarece servesc doar la stabilirea zecimalei celorlalte cifre. Cele două zerouri rămase sunt cifre semnificative, deoarece primul se află între cifrele semnificative 2 și 8, iar al doilea indică faptul că zecimala 10 -6 este reținută în numărul aproximativ. Dacă într-un anumit număr 0,002080 ultima cifră nu este semnificativă, atunci acest număr trebuie scris ca 0,00208. Din acest punct de vedere, numerele 0,002080 și 0,00208 nu sunt echivalente, deoarece prima dintre ele conține patru cifre semnificative, iar a doua doar trei.

Pe lângă conceptul de figură semnificativă, un concept important este număr corect. Trebuie remarcat faptul că acest concept există în două definiții - în îngustŞi în sens larg.

Definiţie(V în sens larg). Ei spun asta n Primele cifre semnificative ale numărului (numărând de la stânga la dreapta) sunt credincios într-un larg sens, dacă eroarea absolută a acestui număr nu depășește unu (greutate) n-deversare mare. (Explicație: 1 10 1 - aici greutatea lui 1 este 10; 1 10 0 - aici greutatea lui 1 este 1; 1 10 -1 - aici greutatea lui 1 este 0,1; 1 10 -2 - aici greutatea lui 1 este 0,01, etc .d.).

Definiţie(în sens restrâns). Ei spun asta n primele cifre semnificative ale unui număr aproximativ sunt corecte dacă eroarea absolută a acestui număr nu depășește jumătate unități (greutate) n-deversare mare. (Explicație: 1 10 1 – aici greutatea jumătății 1 este 5; 1 10 0 – aici greutatea jumătății 1 este 0,5; 1 10 -1 – este 0,05 etc.).

De exemplu, în numărul aproximativ Pe baza primei definiții, cifrele semnificative 3,4 și 5 sunt corecte în sens larg, dar numărul 6 este îndoielnic. Pe baza celei de-a doua definiții, cifrele semnificative 3 și 4 sunt corecte în sens restrâns, iar cifrele semnificative 5 și 6 sunt îndoielnice. Este important de subliniat că acuratețea numărului aproximativ nu depinde de numărul de cifre semnificative, ci de numărul corectează cifrele semnificative.

Atât în ​​raționamentul teoretic cât și în aplicatii practice Definiția figurii corecte în sens restrâns este utilizată mai pe scară largă.

Astfel, dacă pentru un număr aproximativ o înlocuire a numărului O, se știe că

(1.6)

apoi, prin definiție, primul n numere aceste numere sunt corecte.

De exemplu, pentru un număr exact O= 35,97 număr O= 36,00 este o aproximare cu trei semne sigure. Următorul raționament duce la acest rezultat. Deoarece eroarea absolută a numărului nostru aproximativ este 0,03, atunci prin definiție trebuie să îndeplinească condiția

(1.7)

În aproximarea noastră de 36,00, cifra 3 este prima cifră semnificativă (adică), deci m= 1. De aici este evident că condiția (1.7) va fi îndeplinită pt n = 3.

De obicei acceptat atunci când scrieți un număr aproximativ în zecimală scrie doar numere corecte. Dacă se știe că un anumit număr aproximativ este scris corect, atunci eroarea absolută maximă poate fi determinată din înregistrare. Cu înregistrarea corectă, eroarea absolută nu depășește jumătate din cifra cea mai puțin semnificativă care urmează ultimei cifre corecte (sau jumătate de unitate din ultima cifră corectă, care este același lucru)

De exemplu, se dau numere aproximative scrise corect: a = 3,8; b= 0,0283; c = 4260. Conform definiţiei, erorile absolute maxime ale acestor numere vor fi: = 0,05; = 0,00005; = 0,5.

Dimensiunile se numesc Drept, dacă valorile cantităților sunt determinate direct de instrumente (de exemplu, măsurarea lungimii cu o riglă, determinarea timpului cu un cronometru etc.). Dimensiunile se numesc indirect, dacă valoarea mărimii măsurate este determinată prin măsurători directe ale altor mărimi care sunt asociate cu relația specifică măsurată.

Erori aleatorii în măsurători directe

Eroare absolută și relativă. Lasă-l să se realizeze N măsurători de aceeași cantitate xîn lipsa erorii sistematice. Rezultatele măsurătorilor individuale sunt după cum urmează: x 1 ,x 2 , …,x N. Valoarea medie a valorii măsurate este selectată ca fiind cea mai bună:

Eroare absolută a unei singure măsurări se numește diferență de forma:

.

Eroare absolută medie N unitate de masura:

(2)

numit eroare medie absolută.

Eroare relativă Raportul dintre eroarea medie absolută și valoarea medie a mărimii măsurate se numește:

. (3)

Erori de instrument în măsurători directe

Dacă nu instrucțiuni speciale, eroarea instrumentului este egală cu jumătate din valoarea sa de diviziune (riglă, pahar).

Eroarea instrumentelor echipate cu vernier este egală cu valoarea diviziunii vernierului (micrometru - 0,01 mm, șubler - 0,1 mm).

Eroarea valorilor din tabel este egală cu o jumătate de unitate din ultima cifră (cinci unități din ordinul următor după ultima cifră semnificativă).

Eroarea instrumentelor electrice de măsură se calculează în funcție de clasa de precizie CU indicat pe scala instrumentului:

De exemplu:
Şi
,

Unde U maxŞi eu max– limita de măsurare a aparatului.

Eroarea dispozitivelor cu afișaj digital este egală cu una din ultima cifră a afișajului.

După aprecierea erorilor aleatorii și instrumentale se ia în considerare cea a cărei valoare este mai mare.

Calculul erorilor în măsurători indirecte

Majoritatea măsurătorilor sunt indirecte. În acest caz, valoarea dorită X este o funcție a mai multor variabile O,b, c… , ale căror valori pot fi găsite prin măsurători directe: X = f( o, b, c…).

Media aritmetică a rezultatului măsurătorilor indirecte va fi egală cu:

X = f( o, b, c…).

O modalitate de a calcula eroarea este de a diferenția logaritmul natural al funcției X = f( o, b, c...). Dacă, de exemplu, valoarea dorită X este determinată de relația X = , apoi după logaritm obținem: lnX = ln o+ln b+ln( c+ d).

Diferenţialul acestei expresii are forma:

.

În legătură cu calculul valorilor aproximative, se poate scrie pentru eroarea relativă sub forma:

 =
. (4)

Eroarea absolută se calculează folosind formula:

Х = Х(5)

Astfel, calculul erorilor și calculul rezultatului pentru măsurători indirecte se efectuează în următoarea ordine:

1) Măsurați toate cantitățile incluse în formula inițială pentru a calcula rezultatul final.

2) Calculați valorile medii aritmetice ale fiecărei valori măsurate și erorile absolute ale acestora.

3) Înlocuiți valorile medii ale tuturor valorilor măsurate în formula originală și calculați valoarea medie a valorii dorite:

X = f( o, b, c…).

4) Logaritmul formulei originale X = f( o, b, c...) și notați expresia erorii relative sub forma formulei (4).

5) Calculaţi eroarea relativă  = .

6) Calculați eroarea absolută a rezultatului folosind formula (5).

7) Rezultatul final se scrie astfel:

X = X medie X

Erorile absolute și relative ale celor mai simple funcții sunt date în tabel:

	Absolut eroare	Relativ eroare
	a+ b
	a+ b