Să fie dat un sistem de ecuații algebrice liniare care trebuie rezolvat (găsiți astfel de valori ale necunoscutelor xi care transformă fiecare ecuație a sistemului într-o egalitate).
Știm că un sistem de ecuații algebrice liniare poate:
1) Nu au soluții (fi nearticulată).
2) Au infinit de soluții.
3) Aveți o singură soluție.
După cum ne amintim, regula lui Cramer și metoda matricei nu sunt potrivite în cazurile în care sistemul are infinite de soluții sau este inconsecvent. metoda Gauss – cel mai puternic şi unealtă universală pentru a găsi o soluție pentru orice sistem ecuații liniare , care în fiecare caz ne va conduce la răspuns! Algoritmul metodei în sine funcționează la fel în toate cele trei cazuri. Dacă metodele Cramer și matrice necesită cunoașterea determinanților, atunci pentru a aplica metoda Gauss ai nevoie doar de cunoștințe de operații aritmetice, ceea ce o face accesibilă chiar și elevilor de școală primară.
Transformări matriceale crescute ( aceasta este matricea sistemului - o matrice compusă numai din coeficienții necunoscutelor, plus o coloană de termeni liberi) sisteme de ecuații algebrice liniare în metoda Gauss:
1) Cu troki matrici Can rearanja pe alocuri.
2) dacă cele proporționale apar (sau există) în matrice (as caz special– linii identice, apoi urmează şterge din matrice toate aceste rânduri cu excepția unuia.
3) dacă în matrice apare un rând zero în timpul transformărilor, atunci ar trebui să fie și el şterge.
4) un rând al matricei poate fi înmulțire (împărțire) la orice alt număr decât zero.
5) la un rând al matricei pe care o puteți adăugați un alt șir înmulțit cu un număr, diferit de zero.
În metoda Gauss, transformările elementare nu modifică soluția sistemului de ecuații.
Metoda Gauss constă din două etape:
- „Mișcare directă” - folosind transformări elementare, aduceți matricea extinsă a unui sistem de ecuații algebrice liniare într-o formă de pas „triunghiulară”: elementele matricei extinse situate sub diagonala principală sunt egale cu zero (deplasare de sus în jos). De exemplu, la acest tip:
Pentru a face acest lucru, efectuați următorii pași:
1) Să considerăm prima ecuație a unui sistem de ecuații algebrice liniare și coeficientul pentru x 1 este egal cu K. A doua, a treia etc. transformăm ecuațiile astfel: împărțim fiecare ecuație (coeficienți pentru necunoscute, inclusiv termeni liberi) la coeficientul pentru necunoscutul x 1, care se află în fiecare ecuație, și înmulțim cu K. După aceasta, o scădem pe prima din a doua. ecuație (coeficienți pentru necunoscute și termeni liberi). Pentru x 1 din a doua ecuație obținem coeficientul 0. Din a treia ecuație transformată scădem prima ecuație până când toate ecuațiile, cu excepția primei, pentru necunoscut x 1, au coeficientul 0.
2) Să trecem la următoarea ecuație. Fie aceasta a doua ecuație și coeficientul pentru x 2 egal cu M. Continuăm cu toate ecuațiile „inferioare” așa cum este descris mai sus. Astfel, „sub” necunoscutul x 2 vor fi zerouri în toate ecuațiile.
3) Treceți la următoarea ecuație și așa mai departe până când rămâne o ultimă necunoscută și termenul liber transformat.
- „Mișcarea inversă” a metodei Gauss este de a obține o soluție a unui sistem de ecuații algebrice liniare (mișcarea „de jos în sus”).
Din ultima ecuație „inferioară” obținem o primă soluție - necunoscuta x n. Pentru a face acest lucru, rezolvăm ecuația elementară A * x n = B. În exemplul dat mai sus, x 3 = 4. Înlocuim valoarea găsită în următoarea ecuație „superioară” și o rezolvăm în raport cu următoarea necunoscută. De exemplu, x 2 – 4 = 1, i.e. x 2 = 5. Și așa mai departe până găsim toate necunoscutele.
Exemplu.
Să rezolvăm sistemul de ecuații liniare folosind metoda Gauss, așa cum ne sfătuiesc unii autori:
Să notăm matricea extinsă a sistemului și, folosind transformări elementare, să o aducem într-o formă în trepte:
Ne uităm la „pasul” din stânga sus. Ar trebui să avem unul acolo. Problema este că nu există deloc unități în prima coloană, așa că rearanjarea rândurilor nu va rezolva nimic. În astfel de cazuri, unitatea trebuie organizată folosind o transformare elementară. Acest lucru se poate face de obicei în mai multe moduri. Să facem asta:
1 pas
. La prima linie adăugăm a doua linie, înmulțită cu –1. Adică am înmulțit mental a doua linie cu –1 și am adăugat prima și a doua linie, în timp ce a doua linie nu s-a schimbat.
Acum în stânga sus este „minus unu”, care ni se potrivește destul de bine. Oricine dorește să obțină +1 poate efectua o acțiune suplimentară: înmulțiți prima linie cu –1 (schimbați-i semnul). . Prima linie, înmulțită cu 5, a fost adăugată la a doua linie. Prima linie, înmulțită cu 3, a fost adăugată la a treia linie.
Pasul 3 . Prima linie a fost înmulțită cu –1, în principiu, aceasta este pentru frumusețe. S-a schimbat și semnul celei de-a treia rânduri și s-a mutat pe locul doi, astfel încât la a doua „treaptă” să avem unitatea necesară.
Pasul 4 . A treia linie a fost adăugată la a doua linie, înmulțită cu 2.
Pasul 5 . A treia linie a fost împărțită la 3.
Un semn care indică o eroare în calcule (mai rar, o greșeală de scriere) este un rezultat „proast”. Adică, dacă avem ceva de genul (0 0 11 |23) mai jos și, în consecință, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, atunci cu un grad mare de probabilitate putem spune că a fost făcută o eroare în timpul elementului transformări.
Să facem invers; în proiectarea exemplelor, sistemul în sine nu este adesea rescris, dar ecuațiile sunt „preluate direct din matricea dată”. Mișcarea inversă, vă reamintesc, funcționează de jos în sus. ÎN în acest exemplu s-a dovedit a fi un cadou:
x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, deci x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1
Răspuns:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.
Să rezolvăm același sistem folosind algoritmul propus. Primim
4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0
Împărțim a doua ecuație cu 5 și a treia cu 3. Obținem:
4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0
Înmulțind a doua și a treia ecuație cu 4, obținem:
4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0
Scădeți prima ecuație din a doua și a treia ecuație, avem:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1
Împărțiți a treia ecuație la 0,64:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625
Înmulțiți a treia ecuație cu 0,4
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625
Scăzând a doua ecuație din a treia ecuație, obținem o matrice extinsă „în trepte”:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225
Astfel, din moment ce eroarea acumulată în timpul calculelor, obținem x 3 = 0,96 sau aproximativ 1.
x 2 = 3 și x 1 = –1.
Rezolvând în acest fel, nu te vei încurca niciodată în calcule și, în ciuda erorilor de calcul, vei obține rezultatul.
Această metodă de rezolvare a unui sistem de ecuații algebrice liniare este ușor de programat și nu ține cont caracteristici specifice coeficienți pentru necunoscute, deoarece în practică (în calculele economice și tehnice) trebuie să se ocupe de coeficienți non-întregi.
iti doresc succes! Ne vedem la clasa! Tutore.
blog.site, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursa originală.
Una dintre metodele universale și eficiente de rezolvare a sistemelor algebrice liniare este metoda gaussiana , constând în eliminarea secvenţială a necunoscutelor.
Amintiți-vă că cele două sisteme sunt numite echivalent (echivalent) dacă mulțimile soluțiilor lor coincid. Cu alte cuvinte, sistemele sunt echivalente dacă fiecare soluție a uneia dintre ele este o soluție a celeilalte și invers. Sistemele echivalente se obţin atunci când transformări elementare ecuațiile sistemului:
înmulțirea ambelor părți ale ecuației cu un alt număr decât zero;
adăugarea la o ecuație a părților corespunzătoare ale unei alte ecuații, înmulțite cu un alt număr decât zero;
rearanjarea a două ecuații.
Să fie dat un sistem de ecuații
Procesul de rezolvare a acestui sistem folosind metoda Gauss constă din două etape. În prima etapă (mișcarea directă), sistemul, folosind transformări elementare, se reduce la treptat , sau triunghiular forma, iar la a doua etapă (invers) are loc o determinare secvenţială, începând de la ultimul număr variabil, a necunoscutelor din sistemul treptat rezultat.
Să presupunem că coeficientul acestui sistem 
, altfel în sistem primul rând poate fi schimbat cu orice alt rând, astfel încât coeficientul de la 
era diferit de zero.
Să transformăm sistemul eliminând necunoscutul 
în toate ecuaţiile cu excepţia primei. Pentru a face acest lucru, înmulțiți ambele părți ale primei ecuații cu 
și adăugați termen cu termen cu a doua ecuație a sistemului. Apoi înmulțiți ambele părți ale primei ecuații cu 
și se adaugă la a treia ecuație a sistemului. Continuând acest proces, obținem sistemul echivalent
Aici 
– noi valori ale coeficienților și termenilor liberi care se obțin după primul pas.
În mod similar, luând în considerare elementul principal 
, excludeți necunoscutul 
din toate ecuațiile sistemului, cu excepția primei și a doua. Să continuăm acest proces cât mai mult timp posibil și, ca urmare, vom obține un sistem treptat
,
Unde 
,
,…,
– elementele principale ale sistemului 
.
Dacă, în procesul de reducere a sistemului la o formă în trepte, apar ecuații, adică egalități de formă 
, sunt aruncate deoarece sunt satisfăcute de orice set de numere 
. 
Dacă la
Dacă apare o ecuație de formă care nu are soluții, atunci aceasta indică incompatibilitatea sistemului. 
În timpul cursei inverse, prima necunoscută este exprimată din ultima ecuație a sistemului de trepte transformat 
prin toate celelalte necunoscute care sunt numite
.
gratuit 
Apoi expresia variabilă 
din ultima ecuație a sistemului se substituie în penultima ecuație și variabila este exprimată din aceasta 
. Variabilele sunt definite secvenţial într-un mod similar 
. Variabile , exprimate prin variabile libere, sunt numite
de bază (dependent). Rezultatul este solutie generala
sisteme de ecuații liniare. Pentru a găsi
sisteme, liber necunoscut 
în soluția generală se atribuie valori arbitrare și se calculează valorile variabilelor 
.
Este mai convenabil din punct de vedere tehnic să supunem transformărilor elementare nu ecuațiile sistemului în sine, ci matricea extinsă a sistemului
.
metoda Gauss - metoda universala, care vă permite să rezolvați nu numai sisteme pătrate, ci și dreptunghiulare în care numărul de necunoscute 
nu este egal cu numărul de ecuații 
.
Avantajul acestei metode este, de asemenea, că în procesul de rezolvare examinăm simultan sistemul pentru compatibilitate, deoarece, având în vedere matricea extinsă 
pentru a forma treptat, este ușor să determinați rangurile matricei 
și matrice extinsă 
si aplica Teorema Kronecker-Capelli
.
Exemplul 2.1 Rezolvați sistemul folosind metoda Gauss
Soluţie. Numărul de ecuații 
și numărul de necunoscute 
.
Să creăm o matrice extinsă a sistemului prin alocarea de coeficienți în dreapta matricei 
coloana membrilor liberi 
.
Să prezentăm matricea 
la o vedere triunghiulară; Pentru a face acest lucru, vom obține „0” sub elementele situate pe diagonala principală folosind transformări elementare.
Pentru a obține „0” în a doua poziție a primei coloane, înmulțiți primul rând cu (-1) și adăugați-l la al doilea rând.
Scriem această transformare ca număr (-1) pe prima linie și o notăm cu o săgeată care merge de la prima linie la a doua linie.
Pentru a obține „0” în a treia poziție a primei coloane, înmulțiți primul rând cu (-3) și adăugați la al treilea rând; Să arătăm această acțiune folosind o săgeată care merge de la prima linie la a treia.
.
În matricea rezultată, scrisă a doua în lanțul de matrici, obținem „0” în a doua coloană în a treia poziția. Pentru a face acest lucru, am înmulțit a doua linie cu (-4) și am adăugat-o la a treia. În matricea rezultată, înmulțiți al doilea rând cu (-1) și împărțiți al treilea cu (-8). Toate elementele acestei matrice situate sub elementele diagonale sunt zerouri.
Deoarece , sistemul este colaborativ și definit.
Sistemul de ecuații corespunzător ultimei matrice are o formă triunghiulară:
Din ultima (a treia) ecuație 
. Înlocuiți în a doua ecuație și obțineți 
.
Să înlocuim 
Şi 
în prima ecuație, găsim 
.
Instituția de învățământ „Statul Belarus
Academia Agricolă”
Catedra de Matematică Superioară
pentru a studia tema „Metoda Gauss pentru rezolvarea sistemelor de liniare
ecuații” de către studenții facultății de contabilitate formular de corespondență educație (NISPO)
Gorki, 2013
Metoda Gauss pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare
Sisteme echivalente de ecuații
Se spune că două sisteme de ecuații liniare sunt echivalente dacă fiecare soluție a uneia dintre ele este o soluție a celeilalte. Procesul de rezolvare a unui sistem de ecuații liniare constă în transformarea secvențială a acestuia într-un sistem echivalent folosind așa-numitul transformări elementare , care sunt:
1) rearanjarea oricăror două ecuații ale sistemului;
2) înmulțirea ambelor părți ale oricărei ecuații a sistemului cu un număr diferit de zero;
3) adăugarea la orice ecuație a unei alte ecuații înmulțite cu orice număr;
4) tăierea unei ecuații constând din zerouri, adică ecuații ale formei
eliminarea gaussiană
Luați în considerare sistemul m ecuații liniare cu n necunoscut:
Esența metodei sau metodei Gauss eliminare secvenţială necunoscutele sunt următoarele.
În primul rând, folosind transformări elementare, necunoscutul este eliminat din toate ecuațiile sistemului, cu excepția primei. Astfel de transformări de sistem se numesc Etapa de eliminare gaussiană . Necunoscutul este numit variabilă de activare la primul pas de transformare. Se numeste coeficientul factor de rezoluție , se numește prima ecuație ecuația de rezolvare , iar coloana de coeficienți la coloana de permisiuni .
Când efectuați un pas de eliminare gaussiană, trebuie să utilizați următoarele reguli:
1) coeficienții și termenul liber al ecuației de rezolvare rămân neschimbate;
2) coeficienții coloanei de rezoluție situate sub coeficientul de rezoluție devin zero;
3) toți ceilalți coeficienți și termeni liberi la efectuarea primului pas se calculează conform regulii dreptunghiului:
, Unde i=2,3,…,m; j=2,3,…,n.
Vom efectua transformări similare pe a doua ecuație a sistemului. Acest lucru va duce la un sistem în care necunoscutul va fi eliminat în toate ecuațiile, cu excepția primelor două. Ca urmare a unor astfel de transformări asupra fiecărei ecuații ale sistemului (progresia directă a metodei Gauss), sistemul original este redus la un sistem în trepte echivalent de unul dintre următoarele tipuri.
Metoda Gaussiană inversă
Sistem de trepte
are aspect triunghiular și atât 
(i=1,2,…,n). Un astfel de sistem are o soluție unică. Necunoscutele se determină pornind de la ultima ecuație (reversul metodei gaussiene).
Sistemul pas are forma
unde, adica numărul de ecuații ale sistemului este mai mic sau egal cu numărul de necunoscute. Acest sistem nu are soluții, deoarece ultima ecuație nu va fi satisfăcută pentru nicio valoare a variabilei.
Sistem de tip pas
are nenumarate solutii. Din ultima ecuație, necunoscutul este exprimat prin necunoscute 
. Apoi, în penultima ecuație, în loc de necunoscut, expresia ei este substituită prin necunoscute. . Continuând inversul metodei gaussiene, necunoscutele 
poate fi exprimat în termeni de necunoscute . În acest caz, necunoscutele sunt numite care sunt numite
și poate lua orice valoare, și necunoscut 
de bază.
La solutie practica sisteme, este convenabil să se efectueze toate transformările nu cu un sistem de ecuații, ci cu o matrice extinsă a sistemului, constând din coeficienți pentru necunoscute și o coloană de termeni liberi.
Exemplul 1. Rezolvarea sistemului de ecuații 
Soluţie. Să creăm o matrice extinsă a sistemului și să efectuăm transformări elementare:
.
În matricea extinsă a sistemului, numărul 3 (este evidențiat) este coeficientul de rezoluție, primul rând este rândul de rezoluție, iar prima coloană este coloana de rezoluție. Când treceți la următoarea matrice, rândul de rezoluție nu se modifică toate elementele coloanei de rezoluție de sub elementul de rezoluție sunt înlocuite cu zerouri. Și toate celelalte elemente ale matricei sunt recalculate conform regulii patrulaterului. În locul elementului 4 din a doua linie scriem 
, în locul elementului -3 din a doua linie se va scrie 
etc. Astfel, se va obține a doua matrice. Elementul de rezoluție al acestei matrice va fi numărul 18 din al doilea rând. Pentru a forma următoarea (a treia matrice), lăsăm al doilea rând neschimbat, în coloana de sub elementul de rezoluție scriem zero și recalculăm celelalte două elemente: în loc de numărul 1 scriem 
, iar în locul numărului 16 scriem .
Ca urmare, sistemul original a fost redus la un sistem echivalent
Din a treia ecuație găsim 
. Să înlocuim această valoare în a doua ecuație: 
y=3. Să înlocuim valorile găsite în prima ecuație yŞi z: 
, x=2.
Astfel, soluția acestui sistem de ecuații este x=2, y=3, 
.
Exemplul 2. Rezolvarea sistemului de ecuații 
Soluţie. Să efectuăm transformări elementare pe matricea extinsă a sistemului:
În a doua matrice, fiecare element din al treilea rând este împărțit la 2.
În a patra matrice, fiecare element din al treilea și al patrulea rând a fost împărțit la 11.
. Matricea rezultată corespunde sistemului de ecuații 
Hotărând acest sistem, hai sa gasim 
, 
, .
Exemplul 3. Rezolvarea sistemului de ecuații
Soluţie. Să scriem matricea extinsă a sistemului și să facem transformări elementare:
.
În a doua matrice, fiecare element din al doilea, al treilea și al patrulea rând a fost împărțit la 7.
Ca rezultat, s-a obținut un sistem de ecuații
echivalent cu cel original.
Deoarece sunt două ecuații mai puține decât necunoscute, atunci din a doua ecuație 
. Să substituim expresia pentru în prima ecuație: , 
.
Astfel, formulele 
dați o soluție generală acestui sistem de ecuații. Necunoscutele sunt gratuite și pot lua orice valoare.
Să, de exemplu, 
Apoi 
Şi 
. Soluţie 
este una dintre soluțiile particulare ale sistemului, dintre care există nenumărate.
Întrebări pentru autocontrolul cunoștințelor
1) Ce transformări ale sistemelor liniare se numesc elementare?
2) Ce transformări ale sistemului se numesc pasul de eliminare gaussian?
3) Ce este o variabilă de rezoluție, coeficient de rezoluție, coloană de rezoluție?
4) Ce reguli ar trebui folosite atunci când se efectuează un pas de eliminare gaussiană?
Definirea și descrierea metodei gaussiene
Metoda de transformare Gaussiană (cunoscută și ca metoda de eliminare secvențială a variabilelor necunoscute dintr-o ecuație sau matrice) pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare este o metodă clasică de rezolvare a sistemelor de ecuații algebrice (SLAE). Această metodă clasică este folosită și pentru a rezolva probleme precum obținerea matrici inverseși determinarea rangului matricei.
Transformarea folosind metoda Gaussiană constă în efectuarea unor mici modificări secvențiale (elementare) unui sistem de ecuații algebrice liniare, ducând la eliminarea variabilelor din acesta de sus în jos cu formarea unui nou sistem triunghiular de ecuații care este echivalent cu cel original. unul.
Definiția 1
Această parte a soluției se numește soluție Gaussiană înainte, deoarece întregul proces se desfășoară de sus în jos.
După reducerea sistemului original de ecuații la unul triunghiular, găsim pe toate variabile de sistem de jos în sus (adică primele variabile găsite ocupă exact ultimele linii ale sistemului sau ale matricei). Această parte a soluției este cunoscută și ca inversa soluției gaussiene. Algoritmul său este următorul: mai întâi, se calculează variabilele cele mai apropiate de partea de jos a sistemului de ecuații sau matrice, apoi valorile rezultate sunt substituite mai sus și astfel se găsește o altă variabilă și așa mai departe.
Descrierea algoritmului metodei gaussiene
Secvența de acțiuni pentru rezolvarea generală a unui sistem de ecuații folosind metoda Gaussiană constă în aplicarea alternativă a curselor înainte și înapoi la matrice pe baza SLAE. Fie sistemul inițial de ecuații să aibă următoarea formă:
$\begin(cases) a_(11) \cdot x_1 +...+ a_(1n) \cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_(m1) \cdot x_1 + a_(mn) \cdot x_n = b_m \end(cazuri)$
Pentru a rezolva SLAE-uri folosind metoda Gaussiană, este necesar să scrieți sistemul original de ecuații sub forma unei matrice:
$A = \begin(pmatrix) a_(11) & … & a_(1n) \\ \vdots & … & \vdots \\ a_(m1) & … & a_(mn) \end(pmatrix)$, $b =\begin(pmatrix) b_1 \\ \vdots \\ b_m \end(pmatrix)$
Matricea $A$ se numește matricea principală și reprezintă coeficienții variabilelor scrise în ordine, iar $b$ se numește coloana termenilor săi liberi. Matricea $A$, scrisă printr-o bară cu o coloană de termeni liberi, se numește matrice extinsă:
$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & … & a_(1n) & b_1 \\ \vdots & … & \vdots & ...\\ a_(m1) & … & a_( mn) & b_m \end(array)$
Acum este necesar, folosind transformări elementare pe sistemul de ecuații (sau pe matrice, deoarece acest lucru este mai convenabil), să-l aducem la următoarea formă:
$\begin(cases) α_(1j_(1)) \cdot x_(j_(1)) + α_(1j_(2)) \cdot x_(j_(2))...+ α_(1j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(1j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_1 \\ α_(2j_(2)) \cdot x_(j_(2)). ..+ α_(2j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(2j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_2 \\ ...\\ α_( rj_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(rj_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_r \\ 0 = β_(r+1) \\ … \ \ 0 = β_m \end(cases)$ (1)
Matricea obținută din coeficienții sistemului transformat de ecuație (1) se numește matrice de etape, așa arată de obicei matricele de trepte:
$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & a_(12) & a_(13) & b_1 \\ 0 & a_(22) & a_(23) & b_2\\ 0 & 0 & a_(33) și b_3 \end(array)$
Aceste matrici sunt caracterizate de următorul set de proprietăți:
- Toate liniile sale zero vin după linii diferite de zero
- Dacă un rând al unei matrice cu numărul $k$ este diferit de zero, atunci rândul anterior al aceleiași matrice are mai puține zerouri decât acesta cu numărul $k$.
După obținerea matricei de etape, este necesar să se înlocuiască variabilele rezultate în ecuațiile rămase (începând de la sfârșit) și să se obțină valorile rămase ale variabilelor.
Reguli de bază și transformări permise la utilizarea metodei Gauss
Când simplificați o matrice sau un sistem de ecuații folosind această metodă, trebuie să utilizați numai transformări elementare.
Astfel de transformări sunt considerate a fi operații care pot fi aplicate unei matrice sau unui sistem de ecuații fără a-i schimba sensul:
- rearanjarea mai multor linii,
- adăugarea sau scăderea dintr-un rând al unei matrice a unui alt rând din aceasta,
- înmulțirea sau împărțirea unui șir cu o constantă diferită de zero,
- o linie constând doar din zerouri, obținută în procesul de calcul și simplificare a sistemului, trebuie ștearsă,
- De asemenea, trebuie să eliminați liniile proporționale inutile, alegând pentru sistem singura cu coeficienți care sunt mai potrivite și mai convenabile pentru calcule ulterioare.
Toate transformările elementare sunt reversibile.
Analiza celor trei cazuri principale care apar la rezolvarea ecuațiilor liniare folosind metoda transformărilor simple Gauss
Există trei cazuri care apar atunci când se utilizează metoda Gaussiană pentru a rezolva sisteme:
- Când un sistem este inconsecvent, adică nu are soluții
- Sistemul de ecuații are o soluție și una unică, iar numărul de rânduri și coloane diferite de zero din matrice este egal unul cu celălalt.
- Sistemul are o anumită cantitate sau set solutii posibile, iar numărul de rânduri din acesta este mai mic decât numărul de coloane.
Rezultatul unei soluții cu un sistem inconsecvent
Pentru această opțiune, la rezolvare ecuația matriceală Metoda Gauss se caracterizează prin obținerea unei linii cu imposibilitatea îndeplinirii egalității. Prin urmare, dacă apare cel puțin o egalitate incorectă, sistemele rezultat și original nu au soluții, indiferent de celelalte ecuații pe care le conțin. Un exemplu de matrice inconsistentă:
$\begin(array)(ccc|c) 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)$
În ultima linie a apărut o egalitate imposibilă: $0 \cdot x_(31) + 0 \cdot x_(32) + 0 \cdot x_(33) = 1$.
Un sistem de ecuații care are o singură soluție
Aceste sisteme, după reducerea la o matrice de trepte și eliminarea rândurilor cu zerouri, au același număr de rânduri și coloane în matricea principală. Aici cel mai simplu exemplu un astfel de sistem:
$\begin(cases) x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \cdot x_1 + x_2 = -7 \end(cases)$
Să o scriem sub forma unei matrice:
$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \end(array)$
Pentru a aduce prima celulă din al doilea rând la zero, înmulțim rândul de sus cu $-2$ și îl scădem din rândul de jos al matricei și lăsăm rândul de sus în forma sa inițială, ca rezultat avem următorul :
$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \end(array)$
Acest exemplu poate fi scris ca un sistem:
$\begin(cases) x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \cdot x_2 = 10 \end(cases)$
Ecuația inferioară dă următoarea valoare pentru $x$: $x_2 = 3 \frac(1)(3)$. Înlocuiți această valoare în ecuația superioară: $x_1 – 3 \frac(1)(3)$, obținem $x_1 = 1 \frac(2)(3)$.
Un sistem cu multe soluții posibile
Acest sistem se caracterizează printr-un număr mai mic de rânduri semnificative decât numărul de coloane din el (se iau în considerare rândurile matricei principale).
Variabilele într-un astfel de sistem sunt împărțite în două tipuri: de bază și gratuite. La transformarea unui astfel de sistem, variabilele principale conținute în acesta trebuie lăsate în zona din stânga până la semnul „=”, iar variabilele rămase trebuie mutate în partea dreaptă a egalității.
Un astfel de sistem are doar o anumită soluție generală.
Să analizăm următorul sistem de ecuații:
$\begin(cases) 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \end(cases)$
Să o scriem sub forma unei matrice:
$\begin(array)(cccc|c) 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \end(array)$
Sarcina noastră este să găsim o soluție generală pentru sistem. Pentru această matrice, variabilele de bază vor fi $y_1$ și $y_3$ (pentru $y_1$ - deoarece este primul, iar în cazul $y_3$ - este situat după zerouri).
Ca variabile de bază, le alegem exact pe cele care sunt primele din rând și nu sunt egale cu zero.
Variabilele rămase sunt numite libere, trebuie să le exprimăm pe cele de bază.
Folosind așa-numita cursă inversă, analizăm sistemul de jos în sus pentru a face acest lucru, mai întâi exprimăm $y_3$ din linia de jos a sistemului:
$5y_3 – 4y_4 = 1$
$5y_3 = 4y_4 + 1$
$y_3 = \frac(4/5)y_4 + \frac(1)(5)$.
Acum înlocuim $y_3$ exprimat în ecuația superioară a sistemului $2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1$: $2y_1 + 3y_2 - (\frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5)) + y_4 = 1$
Exprimăm $y_1$ în termeni de variabile libere $y_2$ și $y_4$:
$2y_1 + 3y_2 - \frac(4)(5)y_4 - \frac(1)(5) + y_4 = 1$
$2y_1 = 1 – 3y_2 + \frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5) – y_4$
$2y_1 = -3y_2 - \frac(1)(5)y_4 + \frac(6)(5)$
$y_1 = -1,5x_2 – 0,1y_4 + 0,6$
Soluția este gata.
Exemplul 1
Rezolvați slough folosind metoda Gaussiană. Exemple. Un exemplu de rezolvare a unui sistem de ecuații liniare dat de o matrice 3 cu 3 folosind metoda Gaussiană
$\begin(cases) 4x_1 + 2x_2 – x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x^3 = 2\\ 3x_1 + 2x_2 – 3x_3 = 0 \end(cases)$
Să scriem sistemul nostru sub forma unei matrice extinse:
$\begin(array)(ccc|c) 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$
Acum, pentru comoditate și practic, trebuie să transformați matricea astfel încât $1$ să fie în colțul de sus al coloanei celei mai exterioare.
Pentru a face acest lucru, la prima linie trebuie să adăugați linia din mijloc, înmulțită cu $-1$, și să scrieți linia de mijloc așa cum este, se dovedește:
$\begin(array)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$
$\begin(array)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3\\ \end(array) $
Înmulțiți liniile de sus și ultima cu $-1$ și, de asemenea, schimbați ultima și cea de mijloc:
$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3\\ \end(array)$
$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3\\ \end(array)$
Și împărțiți ultima linie la $3$:
$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end(array)$
Obținem următorul sistem de ecuații, echivalent cu cel inițial:
$\begin(cases) x_1 + x_2 – x_3 = 1\\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \end(cases)$
Din ecuația superioară exprimăm $x_1$:
$x1 = 1 + x_3 – x_2 = 1 + 1 – 3 = -1$.
Exemplul 2
Un exemplu de rezolvare a unui sistem definit folosind o matrice 4 cu 4 folosind metoda Gaussiană
$\begin(array)(cccc|c) 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 și 37 \\ \end(array)$.
La început, schimbăm liniile de sus după el pentru a obține $1$ în colțul din stânga sus:
$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 și 37 \\ \end(array)$.
Acum înmulțiți linia de sus cu $-2$ și adăugați la a 2-a și a 3-a. La a 4-a adăugăm prima linie, înmulțită cu $-3$:
$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18\\ 0 & - 1 & 3 & -1 & 4 \\ \end(array)$
Acum la rândul numărul 3 adăugăm linia 2 înmulțită cu $4$, iar la linia 4 adăugăm linia 2 înmulțită cu $-1$.
$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \end(array)$
Înmulțim linia 2 cu $-1$ și împărțim linia 4 cu $3$ și înlocuim linia 3.
$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1 și 10 \\ \end(array)$
Acum adăugăm la ultima linie penultima, înmulțită cu $-5$.
$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end(matrice)$
Rezolvăm sistemul de ecuații rezultat:
$\begin(cases) m = 0 \\ g = 2\\ y + m = 2\ \ x + 3y + 2g + m = 11\end(cases)$
Astăzi ne uităm la metoda Gauss pentru rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare. Puteți citi despre ce sunt aceste sisteme în articolul anterior dedicat rezolvării acelorași SLAE-uri folosind metoda Cramer. Metoda Gauss nu necesită cunoștințe specifice, aveți nevoie doar de atenție și consecvență. În ciuda faptului că, din punct de vedere matematic, pregătirea școlară este suficientă pentru a o aplica, elevilor le este adesea greu să stăpânească această metodă. În acest articol vom încerca să le reducem la nimic!
metoda Gauss
M metoda gaussiana– cea mai universală metodă de rezolvare a SLAE-urilor (cu excepția foarte sisteme mari). Spre deosebire de ceea ce s-a discutat mai devreme, este potrivit nu numai pentru sistemele care au o singură soluție, ci și pentru sistemele care au un număr infinit de soluții. Există trei opțiuni posibile aici.
- Sistemul are o soluție unică (determinantul matricei principale a sistemului nu este egal cu zero);
- Sistemul are un număr infinit de soluții;
- Nu există soluții, sistemul este incompatibil.
Deci avem un sistem (lăsați-l să aibă o soluție) și îl vom rezolva folosind metoda Gauss. Cum funcţionează asta?
Metoda Gauss constă din două etape - înainte și inversă.
Cursă directă a metodei gaussiene
Mai întâi, să scriem matricea extinsă a sistemului. Pentru a face acest lucru, adăugați o coloană de membri liberi la matricea principală.
Întreaga esență a metodei Gauss este de a aduce această matrice într-o formă în trepte (sau, după cum se spune, de asemenea, triunghiulară), prin transformări elementare. În această formă, ar trebui să existe doar zerouri sub (sau deasupra) diagonalei principale a matricei.
Ce poți face:
- Puteți rearanja rândurile matricei;
- Dacă într-o matrice există rânduri egale (sau proporționale), le puteți elimina pe toate, cu excepția unuia;
- Puteți înmulți sau împărți un șir cu orice număr (cu excepția zero);
- Rândurile nule sunt eliminate;
- Puteți adăuga un șir înmulțit cu un număr diferit de zero la un șir.
Metoda Gaussiană inversă
După ce transformăm sistemul în acest fel, unul necunoscut Xn devine cunoscut și poți ordine inversă găsiți toate necunoscutele rămase substituind x-urile deja cunoscute în ecuațiile sistemului, până la prima.
Când internetul este întotdeauna la îndemână, puteți rezolva un sistem de ecuații folosind metoda Gaussiană online. Trebuie doar să introduceți coeficienții în calculatorul online. Dar trebuie să recunoști, este mult mai plăcut să realizezi că exemplul a fost rezolvat nu de un program de calculator, ci de propriul tău creier.
Un exemplu de rezolvare a unui sistem de ecuații folosind metoda Gauss
Și acum - un exemplu pentru ca totul să devină clar și de înțeles. Să fie dat un sistem de ecuații liniare și trebuie să-l rezolvați folosind metoda Gauss:
Mai întâi scriem matricea extinsă:
Acum să facem transformările. Ne amintim că trebuie să obținem un aspect triunghiular al matricei. Să înmulțim prima linie cu (3). Înmulțiți a doua linie cu (-1). Adăugați a doua linie la prima și obțineți:
Apoi înmulțiți a treia linie cu (-1). Să adăugăm a treia linie la a doua:
Să înmulțim prima linie cu (6). Să înmulțim a doua linie cu (13). Să adăugăm a doua linie la prima:
Voila - sistemul este adus la forma corespunzătoare. Rămâne de găsit necunoscutele:
Sistemul din acest exemplu are o soluție unică. Vom lua în considerare rezolvarea sistemelor cu un număr infinit de soluții într-un articol separat. Poate că la început nu veți ști de unde să începeți transformarea matricei, dar după o practică adecvată o veți înțelege și veți sparge SLAE-urile folosind metoda Gaussiană, cum ar fi nucile. Și dacă deodată întâlniți un SLA care se dovedește a fi prea greu de spart, contactați autorii noștri! puteți lăsând o cerere la Biroul de corespondență. Împreună vom rezolva orice problemă!