Ţintă: Luați în considerare conceptul de linie pe un plan, dați exemple. Pe baza definiției unei drepte, introduceți conceptul de ecuație a unei drepte pe un plan. Luați în considerare tipurile de linii drepte, oferiți exemple și metode de definire a unei linii drepte. Întăriți capacitatea de a traduce ecuația unei linii drepte dintr-o formă generală într-o ecuație a unei linii drepte „în segmente”, cu un coeficient unghiular.

1. Ecuația unei drepte pe un plan.
2. Ecuația unei drepte pe un plan. Tipuri de ecuații.
3. Metode de specificare a unei linii drepte.

1. Fie x și y două variabile arbitrare.

Definiţie: Se numește o relație de forma F(x,y)=0 ecuaţie , dacă nu este adevărat pentru vreo pereche de numere x și y.

Exemplu: 2x + 7y – 1 = 0, x 2 + y 2 – 25 = 0.

Dacă egalitatea F(x,y)=0 este valabilă pentru orice x, y, atunci, prin urmare, F(x,y) = 0 este o identitate.

Exemplu: (x + y) 2 - x 2 - 2xy - y 2 = 0

Ei spun că numerele x sunt 0 și y sunt 0 satisface ecuația , dacă la înlocuirea lor în această ecuație se transformă într-o egalitate adevărată.

Cel mai important concept de geometrie analitică este conceptul de ecuație a unei linii.

Definiţie: Ecuația unei linii date este ecuația F(x,y)=0, care este satisfăcută de coordonatele tuturor punctelor aflate pe această dreaptă și nu este satisfăcută de coordonatele niciunuia dintre punctele care nu se află pe această dreaptă.

Linia definită de ecuația y = f(x) se numește graficul lui f(x). Variabilele x și y se numesc coordonate curente, deoarece sunt coordonatele unui punct variabil.

Unele exemple definiții de linii.

1) x – y = 0 => x = y. Această ecuație definește o linie dreaptă:

2) x 2 - y 2 = 0 => (x-y)(x+y) = 0 => punctele trebuie să satisfacă fie ecuația x - y = 0, fie ecuația x + y = 0, care corespunde în plan cu o pereche de linii drepte care se intersectează care sunt bisectoare ale unghiurilor de coordonate:

3) x 2 + y 2 = 0. Această ecuație este satisfăcută de un singur punct O(0,0).

2. Definiţie: Orice linie dreaptă de pe plan poate fi specificată printr-o ecuație de ordinul întâi

Ax + Wu + C = 0,

Mai mult, constantele A și B nu sunt egale cu zero în același timp, adică. A 2 + B 2 ¹ 0. Această ecuație de ordinul întâi se numește ecuația generală a unei drepte.

În funcție de valorile constantelor A, B și C, sunt posibile următoarele cazuri speciale:

C = 0, A ¹ 0, B ¹ 0 – linia dreaptă trece prin origine

A = 0, B ¹ 0, C ¹ 0 (By + C = 0) - linie dreaptă paralelă cu axa Ox

B = 0, A ¹ 0, C ¹ 0 (Ax + C = 0) – linie dreaptă paralelă cu axa Oy

B = C = 0, A ¹ 0 – linia dreaptă coincide cu axa Oy

A = C = 0, B ¹ 0 – linia dreaptă coincide cu axa Ox

Ecuația unei linii drepte poate fi prezentată în diferite forme în funcție de orice condiții inițiale date.

Ecuația unei drepte cu un coeficient unghiular.

Dacă ecuația generală a dreptei Ax + By + C = 0 se reduce la forma:

și notăm , atunci se numește ecuația rezultată ecuația unei drepte cu panta k.

Ecuația unei drepte în segmente.

Dacă în ecuația generală a dreptei Ах + Ву + С = 0 С ¹ 0, atunci, împărțind la –С, obținem: sau , unde

Sensul geometric al coeficienților este că coeficientul O este coordonata punctului de intersecție a dreptei cu axa Ox și b– coordonata punctului de intersecție a dreptei cu axa Oy.

Ecuația normală a unei linii.

Dacă ambele părți ale ecuației Ax + By + C = 0 sunt împărțite la un număr numit factor de normalizare, apoi primim

xcosj + ysinj - p = 0 – ecuația normală a unei drepte.

Semnul ± al factorului de normalizare trebuie ales astfel încât m×С< 0.

p este lungimea perpendicularei coborâte de la origine la dreapta, iar j este unghiul format de această perpendiculară cu direcția pozitivă a axei Ox.

3. Ecuația unei drepte folosind un punct și panta.

Fie coeficientul unghiular al dreptei egal cu k, dreapta trece prin punctul M(x 0, y 0). Atunci ecuația dreptei se găsește cu formula: y – y 0 = k(x – x 0)

Ecuația unei drepte care trece prin două puncte.

Fie date două puncte M 1 (x 1, y 1, z 1) și M 2 (x 2, y 2, z 2) în spațiu, atunci ecuația dreptei care trece prin aceste puncte este:

Dacă oricare dintre numitori este zero, numărătorul corespunzător trebuie setat egal cu zero.

Pe plan, ecuația dreptei scrise mai sus este simplificată:

dacă x 1 ¹ x 2 și x = x 1, dacă x 1 = x 2.

Se numește fracția = k pantă direct.

Rezolvarea ecuației

Ilustrarea unei metode grafice pentru găsirea rădăcinilor unei ecuații

Rezolvarea unei ecuații este sarcina de a găsi astfel de valori ale argumentelor la care se realizează această egalitate. Condiții suplimentare (întreg, real etc.) pot fi impuse valorilor posibile ale argumentelor.

Înlocuirea unei alte rădăcini produce o declarație incorectă:

.

Astfel, a doua rădăcină trebuie aruncată ca străină.

Tipuri de ecuații

Există ecuații algebrice, parametrice, transcendentale, funcționale, diferențiale și alte tipuri de ecuații.

Unele clase de ecuații au soluții analitice, care sunt convenabile deoarece nu numai că dau valoarea exactă a rădăcinii, dar vă permit și să scrieți soluția sub forma unei formule, care poate include parametri. Expresiile analitice permit nu numai să se calculeze rădăcinile, ci și să se analizeze existența și cantitatea lor în funcție de valorile parametrilor, ceea ce este adesea chiar mai important pentru utilizare practică decât valorile specifice ale rădăcinilor.

Ecuațiile pentru care sunt cunoscute soluții analitice includ ecuații algebrice nu mai mari de gradul al patrulea: ecuația liniară, ecuația pătratică, ecuația cubică și ecuația de gradul patru. Ecuațiile algebrice de grade superioare în cazul general nu au o soluție analitică, deși unele dintre ele pot fi reduse la ecuații de grade inferioare.

O ecuație care include funcții transcendentale se numește transcendental. Dintre acestea, soluțiile analitice sunt cunoscute pentru unele ecuații trigonometrice, deoarece zerourile funcțiilor trigonometrice sunt bine cunoscute.

În cazul general, când nu se poate găsi o soluție analitică, se folosesc metode numerice. Metodele numerice nu oferă o soluție exactă, ci permit doar să restrângă intervalul în care se află rădăcina la o anumită valoare predeterminată.

Exemple de ecuații

Vezi de asemenea

Literatură

• Bekarevich, A. B. Ecuații într-un curs de matematică școlar / A. B. Bekarevich. - M., 1968.
• Markushevich, L. A. Ecuații și inegalități în repetarea finală a cursului de algebră de liceu / L. A. Markushevich, R. S. Cherkasov. / Matematica la scoala. - 2004. - Nr. 1.
• Kaplan Y. V. Rivnyannya. - Kiev: Şcoala Radyanska, 1968.
• Ecuaţie- articol din Marea Enciclopedie Sovietică
• Ecuații// Enciclopedia lui Collier. - Societate deschisă. 2000.
• Ecuaţie// Enciclopedie în jurul lumii
• Ecuaţie// Enciclopedie matematică. - M.: Enciclopedia Sovietică. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Legături

• EqWorld - World of Mathematical Equations - conține informații extinse despre ecuații matematice și sisteme de ecuații.

Fundația Wikimedia.

2010.:

Sinonime:

• Antonime
• Khadzhimba, Raul Dzhumkovich

ES COMPUTER

Vedeți ce este „Ecuația” în alte dicționare: ECUAŢIE - (1) o reprezentare matematică a problemei găsirii unor astfel de valori ale argumentelor (a se vedea (2)), pentru care valorile a două date (a se vedea) sunt egale. Argumentele de care depind aceste funcții se numesc necunoscute, iar valorile necunoscutelor la care valorile... ...

Vedeți ce este „Ecuația” în alte dicționare:- ECUAȚIE, ecuații, cf. 1. Acțiune conform cap. egalizare egalizare și condiție conform cap. egalize egalize. Drepturi egale. Ecuația timpului (traducerea timpului solar adevărat în timpul solar mediu, acceptată în societate și în știință;... ... Dicționarul explicativ al lui Ușakov

Vedeți ce este „Ecuația” în alte dicționare:- (ecuație) Cerința ca o expresie matematică să ia o anumită valoare. De exemplu, o ecuație pătratică se scrie ca: ax2+bx+c=0. Soluția este valoarea lui x la care ecuația dată devine o identitate. ÎN… … Dicționar economic

Vedeți ce este „Ecuația” în alte dicționare:- o reprezentare matematică a problemei găsirii valorilor argumentelor pentru care valorile a două funcții date sunt egale. Argumentele de care depind aceste funcții se numesc necunoscute, iar valorile necunoscutelor pentru care valorile funcției sunt egale... ... Dicţionar enciclopedic mare

Vedeți ce este „Ecuația” în alte dicționare:- ECUAȚIE, două expresii legate printr-un semn egal; aceste expresii implică una sau mai multe variabile numite necunoscute. A rezolva o ecuație înseamnă a găsi toate valorile necunoscutelor la care devine o identitate sau a stabili... Enciclopedie modernă

Dacă se specifică o regulă conform căreia un anumit număr u este asociat fiecărui punct M al planului (sau o anumită parte a planului), atunci se spune că în plan (sau pe o parte a planului) „o funcție punct este dat"; specificarea funcției este exprimată simbolic printr-o egalitate de forma u=f(M). Numărul u asociat cu punctul M se numește valoarea acestei funcție în punctul M. De exemplu, dacă A este un punct fix pe plan, M este un punct arbitrar, atunci distanța de la A la M este o funcție a punctului M . În acest caz, f(m)=AM .

Să fie dată o funcție u=f(M) și, în același timp, să fie introdus un sistem de coordonate. Atunci un punct arbitrar M este determinat de coordonatele x, y. În consecință, valoarea acestei funcții în punctul M este determinată de coordonatele x, y sau, după cum se spune, u=f(M) este funcția a două variabile x și y. O funcție a două variabile x și y se notează cu simbolul f(x; y): dacă f(M)=f(x;y), atunci formula u=f(x; y) se numește expresia acestei funcţionează în sistemul de coordonate ales. Deci, în exemplul anterior f(M)=AM; dacă introducem un sistem de coordonate dreptunghiular cartezian cu originea în punctul A, obținem expresia pentru această funcție:

u=sqrt(x^2 + y^2)

PROBLEMA 3688 Dată o funcție f (x, y)=x^2–y^2–16.

Având în vedere funcția f (x, y)=x^2–y^2–16. Determinați expresia acestei funcții în noul sistem de coordonate dacă axele de coordonate sunt rotite cu un unghi de –45 de grade.

Ecuații de linii parametrice

Să notăm cu literele x și y coordonatele unui anumit punct M; Luați în considerare două funcții ale argumentului t:

x=φ(t), y=ψ(t) (1)

Când t se schimbă, valorile x și y se vor schimba, în general, prin urmare, punctul M se va deplasa. Se numesc egalităţi (1). ecuații de linii parametrice, care este traiectoria punctului M; argumentul t se numește parametru. Dacă parametrul t poate fi exclus din egalitățile (1), atunci obținem ecuația traiectoriei punctului M sub forma

O egalitate de forma F(x, y) = 0 se numește ecuație cu două variabile x, y dacă nu este adevărată pentru toate perechile de numere x, y. Ei spun că două numere x = x 0, y = y 0 satisfac o ecuație de forma F(x, y) = 0 dacă, la înlocuirea acestor numere în loc de variabilele x și y în ecuație, partea stângă a acesteia devine zero. .

Ecuația unei linii date (într-un sistem de coordonate desemnat) este o ecuație cu două variabile care este satisfăcută de coordonatele fiecărui punct aflat pe această dreaptă și nu este satisfăcută de coordonatele fiecărui punct care nu se află pe ea.

În cele ce urmează, în loc de expresia „având în vedere ecuația dreptei F(x, y) = 0”, vom spune adesea mai pe scurt: având în vedere dreapta F(x, y) = 0.

Dacă sunt date ecuațiile a două drepte: F(x, y) = 0 și Ф(x, y) = 0, atunci soluția comună a sistemului

F(x,y) = 0, Ф(x, y) = 0

oferă toate punctele lor de intersecție. Mai precis, fiecare pereche de numere care este o soluție comună a acestui sistem determină unul dintre punctele de intersecție,

157. Punctele date *) M 1 (2; -2), M 2 (2; 2), M 3 (2; - 1), M 4 (3; -3), M 5 (5; -5), M6 (3; -2). Determinați care dintre punctele date se află pe dreapta definită de ecuația x + y = 0 și care nu se află pe ea. Care linie este definită de această ecuație? (Desenează-l pe desen.)

158. Pe dreapta definită de ecuația x 2 + y 2 = 25, găsiți puncte ale căror abscise sunt egale cu următoarele numere: 1) 0, 2) -3, 3) 5, 4) 7; pe aceeași linie găsiți puncte ale căror ordonate sunt egale cu următoarele numere: 5) 3, 6) -5, 7) -8. Care linie este definită de această ecuație? (Desenează-l pe desen.)

159. Stabiliți care drepte sunt determinate de următoarele ecuații (construiți-le pe desen): 1)x - y = 0; 2) x + y = 0; 3) x - 2 = 0; 4)x + 3 = 0; 5) y - 5 = 0; 6) y + 2 = 0; 7) x = 0; 8) y = 0; 9) x 2 - xy = 0; 10) xy + y 2 = 0; 11) x 2 - y 2 = 0; 12) xy = 0; 13) y 2 - 9 = 0; 14) x 2 - 8x + 15 = 0; 15) y 2 + prin + 4 = 0; 16) x 2 y - 7xy + 10y = 0; 17) y - |x|; 18) x - |y|; 19) y + |x| = 0; 20) x + |y| = 0; 21) y = |x - 1|; 22) y = |x + 2|; 23) x 2 + y 2 = 16; 24) (x - 2) 2 + (y - 1) 2 = 16; 25 (x + 5) 2 + (y-1) 2 = 9; 26) (x - 1) 2 + y 2 = 4; 27) x 2 + (y + 3) 2 = 1; 28) (x - 3) 2 + y 2 = 0; 29) x 2 + 2y 2 = 0; 30) 2x 2 + 3y 2 + 5 = 0; 31) (x - 2) 2 + (y + 3) 2 + 1 = 0.

160. Drepte date: l)x + y = 0; 2)x - y = 0; 3)x 2 + y 2 - 36 = 0; 4) x 2 + y 2 - 2x + y = 0; 5) x 2 + y 2 + 4x - 6y - 1 = 0. Să se determine care dintre ele trec prin origine.

161. Drepturi date: 1) x 2 + y 2 = 49; 2) (x - 3) 2 + (y + 4) 2 = 25; 3) (x + 6) 2 + (y - Z) 2 = 25; 4) (x + 5) 2 + (y - 4) 2 = 9; 5) x 2 + y 2 - 12x + 16y - 0; 6) x 2 + y 2 - 2x + 8y + 7 = 0; 7) x 2 + y 2 - 6x + 4y + 12 = 0. Aflați punctele lor de intersecție: a) cu axa Ox; b) cu axa Oy.

162. Aflați punctele de intersecție a două drepte:

1) x 2 + y 2 - 8; x - y =0;

2) x 2 + y 2 - 16x + 4y + 18 = 0; x + y = 0;

3) x 2 + y 2 - 2x + 4y - 3 = 0; x 2 + y 2 = 25;

4) x 2 + y 2 - 8y + 10y + 40 = 0; x 2 + y 2 = 4.

163. În sistemul de coordonate polare, punctele M 1 (l; π/3), M 2 (2; 0), M 3 (2; π/4), M 4 (√3; π/6) și M 5 ( 1; 2/3π). Determinați care dintre aceste puncte se află pe dreapta definită în coordonate polare de ecuația p = 2cosΘ și care nu se află pe ea. Care linie este determinată de această ecuație? (Desenează-l pe desen.)

164. Pe dreapta definită de ecuația p = 3/cosΘ, găsiți puncte ale căror unghiuri polare sunt egale cu următoarele numere: a) π/3, b) - π/3, c) 0, d) π/6. Care linie este definită de această ecuație? (Construiți-l pe desen.)

165. Pe dreapta definită de ecuația p = 1/sinΘ, găsiți puncte ale căror raze polare sunt egale cu următoarele numere: a) 1 6) 2, c) √2. Care linie este definită de această ecuație? (Construiți-l pe desen.)

166. Stabiliți ce drepte sunt determinate în coordonate polare de următoarele ecuații (construiți-le pe desen): 1) p = 5; 2) Θ = π/2; 3) Θ = - π/4; 4) p cosΘ = 2; 5) p sinΘ = 1; 6.) p = 6cosΘ; 7) p = 10 sinΘ; 8) sinΘ = 1/2; 9) sinp = 1/2.

167. Construiți pe desen următoarele spirale lui Arhimede: 1) p = 20; 2) p = 50; 3) p = Θ/π; 4) p = -Θ/π.

168. Construiţi pe desen următoarele spirale hiperbolice: 1) p = 1/Θ; 2) p = 5/Θ; 3) p = π/Θ; 4) р= - π/Θ

169. Construiți pe desen următoarele spirale logaritmice: 1) p = 2 Θ; 2) p = (1/2) Θ.

170. Să se determine lungimile segmentelor în care spirala lui Arhimede p = 3Θ este tăiată de un fascicul care iese din pol și înclinat față de axa polară la un unghi Θ = π/6. Faceți un desen.

171. Pe spirala lui Arhimede p = 5/πΘ se ia punctul C, a cărui rază polară este 47. Stabiliți câte părți taie această spirală raza polară a punctului C. Faceți un desen.

172. Pe o spirală hiperbolică P = 6/Θ, găsiți un punct P a cărui rază polară este 12. Faceți un desen.

173. Pe o spirală logaritmică p = 3 Θ, găsiți un punct P a cărui rază polară este 81. Faceți un desen.

Ecuația unei drepte pe planul XOY este o ecuație care este satisfăcută de coordonatele x și y ale fiecărui punct de pe acea dreaptă și nu este satisfăcută de coordonatele oricărui punct care nu este pe acea dreaptă. În general, ecuația unei linii poate fi scrisă ca 0), (yx. F sau)(xfy

Să fie dată o dreaptă care intersectează axa y în punctul B (0, b) și formează un unghi α cu axa x Să alegem un punct arbitrar M(x, y) pe linie dreaptă.

x y M N

Coordonatele punctului N (x, in). Din triunghiul BMN: k este coeficientul unghiular al dreptei. k x prin NB MN tg bkxy

Să luăm în considerare cazurile speciale: - ecuația unei drepte care trece prin originea coordonatelor. 10 bkxy 2 bytg 00 - ecuația unei drepte paralele cu axa x.

adică o linie verticală nu are pantă. 3 22 tg - nu există Ecuația unei drepte paralele cu axa y, în acest caz are forma ax unde a este segmentul tăiat de linia dreaptă pe axa x.

Să fie dată o dreaptă, care trece printr-un punct dat2 și formează un unghi α cu axa x), (111 yx. M

Deoarece punctul M 1 se află pe o dreaptă, coordonatele sale trebuie să satisfacă ecuația (1): Scădeți această ecuație din ecuația (1): bkxy 11)(11 xxkyy

Dacă coeficientul unghiular nu este definit în această ecuație, atunci el specifică un mănunchi de drepte care trec printr-un punct dat, cu excepția dreptei paralele cu axa y, care nu are un coeficient unghiular. xy

Să fie dată o dreaptă care trece prin două puncte: Să scriem ecuația unui mănunchi de drepte care trec prin punctul M 1:), (111 yx. M), (222 yx. M)(11 xxkyy

Deoarece punctul M 2 se află pe această dreaptă, înlocuim coordonatele lui în ecuația unui creion de linii:)(1212 xxkyy 12 12 xx yy k Înlocuim k în ecuația unui creion de linii. Astfel, selectăm din acest creion o linie care trece prin două puncte date:

1 12 12 1 xx xx aa aa sau 12 1 xx xx aa aa

SOLUŢIE. Inlocuim coordonatele punctelor in ecuatia unei drepte care trece prin doua puncte. 53 5 42 4 xy)5(8 6 4 xy 4 1 4 3 xy

Să fie dată o linie dreaptă care decupează segmente egale cu a și b de pe axele de coordonate. Aceasta înseamnă că trece prin punctele)0, (a. A), 0(b. B) Să găsim ecuația acestei drepte.

xy 0 ab

Să substituim coordonatele punctelor A și B în ecuația unei drepte care trece prin două puncte (3): ax b y 00 0 a ax b y 1 ax b y 1 b y a x

EXEMPLU. Scrieți o ecuație pentru o dreaptă care trece prin punctul A(2, -1) dacă decupează de pe semiaxa pozitivă y un segment de două ori mai mare decât pe semiaxa pozitivă x.

SOLUŢIE. Conform condițiilor problemei, ab 2 Înlocuiți în ecuația (4): 1 2 a y a x Punctul A(2, -1) se află pe această dreaptă, prin urmare coordonatele sale satisfac această ecuație: 1 2 12 aa 1 2 41 a 23 a 1 35. 1 yx

Să luăm în considerare ecuația: Să luăm în considerare cazuri speciale ale acestei ecuații și să arătăm că pentru orice valoare a coeficienților A, B (nu egal cu zero în același timp) și C, această ecuație este ecuația unei linii drepte pe o avion. 0 CBy. Topor

Atunci ecuația (5) poate fi reprezentată ca: Atunci obținem ecuația (1): Să notăm: 10 B B C x B A y k B A b B C bkxy

Atunci ecuația are forma: Se obține ecuația: - ecuația unei drepte care trece prin origine. 2000 CAB x B A y 3 000 CAB BC y este ecuația unei drepte paralele cu axa x.

Atunci ecuația are forma: Se obține ecuația: - ecuația axei x. 40 y 5 000 CAB este ecuația unei drepte paralele cu axa y. 000 CAB A C x

Atunci ecuația are forma: - ecuația axei y. 60 x 000 CAB Astfel, pentru orice valoare a coeficienților A, B (nu egal cu zero în același timp) și C, ecuația (5) este ecuația unei drepte pe un plan. Acest