Definiţie. Orice linie dreaptă de pe plan poate fi specificată printr-o ecuație de ordinul întâi
Ax + Wu + C = 0,
Mai mult, constantele A și B nu sunt egale cu zero în același timp. Această ecuație de ordinul întâi se numește ecuația generală a unei drepte. In functie de valori constanta A, Bși C sunt posibile următoarele cazuri speciale:
C = 0, A ≠0, B ≠ 0 – dreapta trece prin origine
A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0) - linie dreaptă paralelă cu axa Ox
B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) – linie dreaptă paralelă cu axa Oy
B = C = 0, A ≠0 – linia dreaptă coincide cu axa Oy
A = C = 0, B ≠0 – linia dreaptă coincide cu axa Ox
Ecuația unei linii drepte poate fi reprezentată în sub diverse formeîn funcţie de orice condiţii iniţiale date.
Ecuația unei drepte dintr-un punct și un vector normal
Definiţie.În sistemul de coordonate dreptunghiular cartezian, un vector cu componente (A, B) este perpendicular pe dreapta dată de ecuația Ax + By + C = 0.
Exemplu. Aflați ecuația dreptei care trece prin punctul A(1, 2) perpendicular pe (3, -1).
Soluţie. Cu A = 3 și B = -1, să compunem ecuația dreptei: 3x – y + C = 0. Pentru a găsi coeficientul C, înlocuim coordonatele punctului dat A în expresia rezultată. 3 – 2 + C = 0, prin urmare, C = -1 . Total: ecuația necesară: 3x – y – 1 = 0.
Ecuația unei drepte care trece prin două puncte
Fie date două puncte M 1 (x 1, y 1, z 1) și M 2 (x 2, y 2, z 2) în spațiu, atunci ecuația dreptei care trece prin aceste puncte este:
Dacă oricare dintre numitori este egal cu zero, numărătorul corespunzător trebuie setat egal cu zero Pe un plan, ecuația dreptei scrise mai sus este simplificată:
dacă x 1 ≠ x 2 și x = x 1, dacă x 1 = x 2.
Se numește fracția = k pantă direct.
Exemplu. Aflați ecuația dreptei care trece prin punctele A(1, 2) și B(3, 4).
Soluţie. Aplicând formula scrisă mai sus, obținem:
Ecuația unei drepte dintr-un punct și panta
Dacă totalul Ax + Bu + C = 0, duce la forma:
și desemnează 
, atunci ecuația rezultată se numește ecuația unei drepte cu pantak.
Ecuația unei drepte dintr-un punct și un vector de direcție
Prin analogie cu punctul care are în vedere ecuația unei drepte printr-un vector normal, puteți introduce definiția dreptei printr-un punct și vectorul de direcție al dreptei.
Definiţie. Fiecare vector diferit de zero (α 1, α 2), ale cărui componente îndeplinesc condiția A α 1 + B α 2 = 0 se numește vector de direcție al dreptei
Ax + Wu + C = 0.
Exemplu. Aflați ecuația unei drepte cu un vector de direcție (1, -1) și care trece prin punctul A(1, 2).
Soluţie. Vom căuta ecuația dreptei dorite sub forma: Ax + By + C = 0. Conform definiției, coeficienții trebuie să îndeplinească condițiile:
1 * A + (-1) * B = 0, adică A = B.
Atunci ecuația dreptei are forma: Ax + Ay + C = 0, sau x + y + C / A = 0. pentru x = 1, y = 2 obținem C/ A = -3, adică. ecuația necesară:
Ecuația unei drepte în segmente
Dacă în ecuația generală a dreptei Ах + Ву + С = 0 С≠0, atunci, împărțind la –С, obținem: 
sau
Sensul geometric coeficienți este că coeficientul O este coordonata punctului de intersecție a dreptei cu axa Ox și b– coordonata punctului de intersecție a dreptei cu axa Oy.
Exemplu. Ecuația generală a dreptei x – y + 1 = 0 Găsiți ecuația acestei drepte în segmente.
C = 1, , a = -1, b = 1.
Ecuația normală a unei linii
Dacă ambele părți ale ecuației Ax + By + C = 0 sunt înmulțite cu numărul 
care se numeste factor de normalizare, apoi primim
xcosφ + ysinφ - p = 0 –
ecuația normală a unei linii. Semnul ± al factorului de normalizare trebuie ales astfel încât μ * C< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.
Exemplu. Având în vedere ecuația generală a dreptei 12x – 5y – 65 = 0. Trebuie să scrieți diverse tipuri ecuațiile acestei linii.
ecuația acestei drepte în segmente: 
ecuația acestei drepte cu panta: (împarte la 5)
; cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.
Trebuie remarcat faptul că nu orice linie dreaptă poate fi reprezentată printr-o ecuație în segmente, de exemplu, drepte paralele cu axele sau care trec prin originea coordonatelor.
Exemplu. Linia dreaptă taie segmente pozitive egale pe axele de coordonate. Scrieți o ecuație a unei drepte dacă aria triunghiului format din aceste segmente este de 8 cm2.
Soluţie. Ecuația dreptei are forma: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.
Exemplu. Scrieți o ecuație pentru o dreaptă care trece prin punctul A(-2, -3) și origine.
Soluţie.
Ecuația dreptei este: 
, unde x 1 = y 1 = 0; x2 = -2; y 2 = -3.
Unghiul dintre liniile drepte pe un plan
Definiţie. Dacă sunt date două drepte y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, atunci unghiul ascuțit dintre aceste drepte va fi definit ca
.
Două drepte sunt paralele dacă k 1 = k 2. Două drepte sunt perpendiculare dacă k 1 = -1/ k 2.
Teorema. Dreptele Ax + Bу + C = 0 și A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 sunt paralele când coeficienții A 1 = λA, B 1 = λB sunt proporționali. Dacă și C 1 = λC, atunci liniile coincid. Coordonatele punctului de intersecție a două drepte se găsesc ca soluție a sistemului de ecuații ale acestor drepte.
Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat perpendicular pe o dreaptă dată
Definiţie. O dreaptă care trece prin punctul M 1 (x 1, y 1) și perpendiculară pe dreapta y = kx + b este reprezentată de ecuația:
Distanța de la punct la linie
Teorema. Dacă este dat un punct M(x 0, y 0), atunci distanța până la dreapta Ax + Bу + C = 0 este determinată ca
.
Dovada. Fie punctul M 1 (x 1, y 1) să fie baza unei perpendiculare coborâte din punctul M la o dreaptă dată. Atunci distanța dintre punctele M și M 1:
(1)
Coordonatele x 1 și y 1 pot fi găsite prin rezolvarea sistemului de ecuații:
A doua ecuație a sistemului este ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat M 0 perpendicular pe o dreaptă dată. Dacă transformăm prima ecuație a sistemului în forma:
A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
apoi, rezolvand, obtinem:
Înlocuind aceste expresii în ecuația (1), găsim:
Teorema a fost demonstrată.
Exemplu. Să se determine unghiul dintre drepte: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.
k1 = -3; k2 = 2; tgφ = 
; φ= π /4.
Exemplu. Arătați că dreptele 3x – 5y + 7 = 0 și 10x + 6y – 3 = 0 sunt perpendiculare.
Soluţie. Găsim: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, prin urmare, dreptele sunt perpendiculare.
Exemplu. Sunt date vârfurile triunghiului A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Găsiți ecuația înălțimii desenată din vârful C.
Soluţie. Găsim ecuația laturii AB: 
; 4 x = 6 y – 6;
2 x – 3 y + 3 = 0;
Ecuația de înălțime necesară are forma: Ax + By + C = 0 sau y = kx + b. k = . Atunci y = . Deoarece înălțimea trece prin punctul C, apoi coordonatele sale satisfac această ecuație: 
de unde b = 17. Total: . 
Răspuns: 3 x + 2 y – 34 = 0.
Linia care trece prin punctul K(x 0 ; y 0) și paralelă cu dreapta y = kx + a se găsește prin formula:
y - y 0 = k(x - x 0) (1)
Unde k este panta dreptei.
Formula alternativa:
O dreaptă care trece prin punctul M 1 (x 1 ; y 1) și paralelă cu dreapta Ax+By+C=0 este reprezentată prin ecuație
A(x-x1)+B(y-y1)=0. (2)
Exemplul nr. 1. Scrieți o ecuație pentru o dreaptă care trece prin punctul M 0 (-2,1) și în același timp:a) paralel cu dreapta 2x+3y -7 = 0;
b) perpendicular pe dreapta 2x+3y -7 = 0.
Soluţie . Să ne imaginăm ecuația cu panta sub forma y = kx + a. Pentru a face acest lucru, mutați toate valorile cu excepția y în partea dreaptă: 3y = -2x + 7 . Apoi împărțiți partea dreaptă cu un factor de 3. Se obține: y = -2/3x + 7/3
Să găsim ecuația NK care trece prin punctul K(-2;1), paralelă cu dreapta y = -2 / 3 x + 7 / 3
Înlocuind x 0 = -2, k = -2 / 3, y 0 = 1 obținem:
y-1 = -2 / 3 (x-(-2))
sau
y = -2 / 3 x - 1 / 3 sau 3y + 2x +1 = 0
Exemplul nr. 2. Scrieți ecuația unei drepte paralele cu dreapta 2x + 5y = 0 și formând împreună cu axele de coordonate un triunghi a cărui aria este 5.
Soluţie
. Deoarece liniile sunt paralele, ecuația dreptei dorite este 2x + 5y + C = 0. Aria unui triunghi dreptunghic, unde a și b sunt catetele sale. Să găsim punctele de intersecție ale liniei dorite cu axele de coordonate: 
;
.
Deci, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Să o înlocuim în formula pentru zonă: 
. Obținem două soluții: 2x + 5y + 10 = 0 și 2x + 5y – 10 = 0.
Exemplul nr. 3. Scrieți o ecuație pentru o dreaptă care trece prin punctul (-2; 5) și paralelă cu dreapta 5x-7y-4=0.
Soluţie. Această linie dreaptă poate fi reprezentată prin ecuația y = 5 / 7 x – 4 / 7 (aici a = 5 / 7). Ecuația dreptei dorite este y – 5 = 5 / 7 (x – (-2)), adică. 7(y-5)=5(x+2) sau 5x-7y+45=0.
Exemplul nr. 4. După ce am rezolvat exemplul 3 (A=5, B=-7) folosind formula (2), găsim 5(x+2)-7(y-5)=0.
Exemplul nr. 5. Scrieți o ecuație pentru o dreaptă care trece prin punctul (-2;5) și paralelă cu dreapta 7x+10=0.
Soluţie. Aici A=7, B=0. Formula (2) dă 7(x+2)=0, adică. x+2=0. Formula (1) nu este aplicabilă, deoarece această ecuație nu poate fi rezolvată în raport cu y (această linie dreaptă este paralelă cu axa ordonatelor).
Proprietățile unei drepte în geometria euclidiană.
Un număr infinit de linii drepte pot fi trase prin orice punct.
Prin oricare două puncte necoincidente poate fi trasată o singură linie dreaptă.
Două drepte divergente dintr-un plan fie se intersectează într-un singur punct, fie sunt
paralel (urmează din precedentul).
În spațiul tridimensional, există trei opțiuni pentru poziția relativă a două linii:
- liniile se intersectează;
- liniile sunt paralele;
- linii drepte se intersectează.
Drept linia— curbă algebrică de ordinul întâi: o dreaptă în sistemul de coordonate carteziene
este dat pe plan de o ecuație de gradul I (ecuație liniară).
Ecuația generală direct.
Definiţie. Orice linie dreaptă de pe plan poate fi specificată printr-o ecuație de ordinul întâi
Ax + Wu + C = 0,
și constantă A, B nu sunt egale cu zero în același timp. Această ecuație de ordinul întâi se numește general
ecuația unei linii drepte.În funcție de valorile constantelor A, BŞi CU Sunt posibile următoarele cazuri speciale:
. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- o linie dreaptă trece prin origine
. A = 0, B ≠0, C ≠0 (Prin + C = 0)- linie dreaptă paralelă cu axa Oh
. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- linie dreaptă paralelă cu axa Oh
. B = C = 0, A ≠0- linia dreaptă coincide cu axa Oh
. A = C = 0, B ≠0- linia dreaptă coincide cu axa Oh
Ecuația unei linii drepte poate fi prezentată în diferite forme în funcție de orice dat
conditiile initiale.
Ecuația unei drepte dintr-un punct și un vector normal.
Definiţie. Într-un sistem de coordonate dreptunghiular cartezian, un vector cu componente (A, B)
perpendicular pe dreapta dată de ecuație
Ax + Wu + C = 0.
Exemplu. Aflați ecuația unei drepte care trece printr-un punct A(1, 2) perpendicular pe vector (3, -1).
Soluţie. Cu A = 3 și B = -1, să compunem ecuația dreptei: 3x - y + C = 0. Pentru a găsi coeficientul C
Să substituim coordonatele punctului dat A în expresia rezultată. Obținem: 3 - 2 + C = 0, prin urmare
C = -1. Total: ecuația necesară: 3x - y - 1 = 0.
Ecuația unei drepte care trece prin două puncte.
Să fie date două puncte în spațiu M 1 (x 1 , y 1 , z 1)Şi M2 (x 2, y 2, z 2), Apoi ecuația unei linii,
trecând prin aceste puncte:
Dacă oricare dintre numitori este zero, numărătorul corespunzător trebuie setat egal cu zero. Pe
plan, ecuația dreptei scrise mai sus este simplificată:
Dacă x 1 ≠ x 2Şi x = x 1, Dacă x 1 = x 2 .
Fracţiune = k numit pantă direct.
Exemplu. Aflați ecuația dreptei care trece prin punctele A(1, 2) și B(3, 4).
Soluţie. Aplicând formula scrisă mai sus, obținem:
Ecuația unei drepte folosind un punct și panta.
Dacă ecuația generală a dreptei Ax + Wu + C = 0 duce la:
și desemnează 
, atunci ecuația rezultată se numește
ecuația unei drepte cu panta k.
Ecuația unei drepte dintr-un punct și un vector de direcție.
Prin analogie cu punctul care are în vedere ecuația unei linii drepte prin vectorul normal, puteți intra în sarcină
o dreaptă printr-un punct și un vector de direcție al unei drepte.
Definiţie. Fiecare vector diferit de zero (α 1 , α 2), ale căror componente satisfac condiția
Aα 1 + Bα 2 = 0 numit vector de direcție al unei linii drepte.
Ax + Wu + C = 0.
Exemplu. Aflați ecuația unei drepte cu un vector de direcție (1, -1) și care trece prin punctul A(1, 2).
Soluţie. Vom căuta ecuația dreptei dorite sub forma: Ax + By + C = 0. Conform definiției,
coeficienții trebuie să îndeplinească următoarele condiții:
1 * A + (-1) * B = 0, adică A = B.
Atunci ecuația dreptei are forma: Ax + Ay + C = 0, sau x + y + C / A = 0.
la x = 1, y = 2 primim C/A = -3, adică ecuația necesară:
x + y - 3 = 0
Ecuația unei drepte în segmente.
Dacă în ecuația generală a dreptei Ах + Ву + С = 0 С≠0, atunci, împărțind la -С, obținem:
sau unde
Sensul geometric al coeficienților este că coeficientul a este coordonata punctului de intersecție
drept cu axa Oh, O b- coordonata punctului de intersecție a dreptei cu axa Oh.
Exemplu. Este dată ecuația generală a unei drepte x - y + 1 = 0. Găsiți ecuația acestei drepte în segmente.
C = 1, , a = -1, b = 1.
Ecuația normală a unei linii.
Dacă ambele părți ale ecuației Ax + Wu + C = 0împărțiți la număr 
care se numeste
factor de normalizare, apoi primim
xcosφ + ysinφ - p = 0 -ecuația normală a unei linii.
Semnul ± al factorului de normalizare trebuie ales astfel încât μ*C< 0.
r- lungimea perpendicularei coborâte de la origine la linia dreaptă,
O φ - unghiul format de aceasta perpendiculara cu directia pozitiva a axei Oh.
Exemplu. Este dată ecuația generală a dreptei 12x - 5y - 65 = 0. Necesar pentru a scrie diferite tipuri de ecuații
această linie dreaptă.
Ecuația acestei drepte în segmente:
Ecuația acestei drepte cu panta: (împarte la 5)
Ecuația unei linii:
cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.
Trebuie remarcat faptul că nu orice linie dreaptă poate fi reprezentată printr-o ecuație în segmente, de exemplu, linii drepte,
paralel cu axele sau trecând prin origine.
Unghiul dintre liniile drepte dintr-un plan.
Definiţie. Dacă sunt date două rânduri y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, apoi unghiul ascuțit dintre aceste linii
va fi definit ca
Două drepte sunt paralele dacă k 1 = k 2. Două drepte sunt perpendiculare
Dacă k 1 = -1/ k 2 .
Teorema.
Direct Ax + Wu + C = 0Şi A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 paralel când coeficienții sunt proporționali
A1 = λA, B1 = λB. Dacă de asemenea С 1 = λС, apoi liniile coincid. Coordonatele punctului de intersecție a două drepte
se găsesc ca soluție a sistemului de ecuații ale acestor drepte.
Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat perpendicular pe o dreaptă dată.
Definiţie. Linie care trece printr-un punct M 1 (x 1, y 1)și perpendicular pe linie y = kx + b
reprezentată prin ecuația:
Distanța de la un punct la o dreaptă.
Teorema. Dacă se acordă un punct M(x 0, y 0), apoi distanța până la linia dreaptă Ax + Wu + C = 0 definit ca:
Dovada. Lasă punctul M 1 (x 1, y 1)- baza unei perpendiculare coborâte dintr-un punct M pentru un dat
direct. Apoi distanța dintre puncte MŞi M 1:
(1)
Coordonatele x 1Şi la 1 poate fi găsită ca soluție a sistemului de ecuații:
A doua ecuație a sistemului este ecuația unei drepte care trece perpendicular printr-un punct dat M 0
linie dreaptă dată. Dacă transformăm prima ecuație a sistemului în forma:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
apoi, rezolvand, obtinem:
Înlocuind aceste expresii în ecuația (1), găsim:
Teorema a fost demonstrată.
În acest articol vom lua în considerare ecuația generală a unei drepte pe un plan. Să dăm exemple de construcție a unei ecuații generale a unei drepte dacă sunt cunoscute două puncte ale acestei drepte sau dacă se cunosc un punct și vectorul normal al acestei drepte. Să introducem metode de transformare a ecuației în vedere generalăîn vederi canonice și parametrice.
Să fie dat un sistem de coordonate cartezian dreptunghiular arbitrar Oxy. Luați în considerare ecuația de gradul întâi sau ecuație liniară:
| Ax+By+C=0, | (1) |
Unde A, B, C− unele constante, și cel puțin unul dintre elemente OŞi B diferit de zero.
Vom arăta că o ecuație liniară pe un plan definește o dreaptă. Să demonstrăm următoarea teoremă.
Teorema 1. Într-un sistem de coordonate cartezian dreptunghiular arbitrar pe un plan, fiecare dreaptă poate fi specificată printr-o ecuație liniară. În schimb, fiecare ecuație liniară (1) dintr-un sistem de coordonate dreptunghiular cartezian arbitrar pe un plan definește o dreaptă.
Dovada. Este suficient să demonstrăm că linia dreaptă L este determinată de o ecuație liniară pentru orice sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare, deoarece atunci va fi determinată de o ecuație liniară pentru orice sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare.
Să fie dată o linie dreaptă pe plan L. Să alegem un sistem de coordonate astfel încât axa Bou a coincis cu o linie dreaptă L, și axa Oi era perpendicular pe acesta. Apoi ecuația dreptei L va lua următoarea formă:
| y=0. | (2) |
Toate punctele de pe o linie L va satisface ecuația liniară (2), iar toate punctele din afara acestei linii nu vor satisface ecuația (2). Prima parte a teoremei a fost demonstrată.
Să fie dat un sistem de coordonate dreptunghiular cartezian și să fie dată o ecuație liniară (1), unde cel puțin unul dintre elemente OŞi B diferit de zero. Să găsim locul geometric al punctelor ale căror coordonate satisfac ecuația (1). Deoarece cel puţin unul dintre coeficienţi OŞi B este diferită de zero, atunci ecuația (1) are cel puțin o soluție M(x 0 ,y 0). (De exemplu, când O≠0, punct M 0 (−C/A, 0) aparține locului geometric dat al punctelor). Substituind aceste coordonate în (1) obținem identitatea
| Topor 0 +De 0 +C=0. | (3) |
Să scădem identitatea (3) din (1):
| O(x−x 0)+B(y−y 0)=0. | (4) |
Evident, ecuația (4) este echivalentă cu ecuația (1). Prin urmare, este suficient să demonstrăm că (4) definește o anumită linie.
Din moment ce luăm în considerare cartezianul sistem dreptunghiular coordonate, apoi din egalitatea (4) rezultă că vectorul cu componente ( x−x 0 , y−y 0 ) ortogonală cu vectorul n cu coordonate ( A,B}.
Să luăm în considerare o linie dreaptă L, trecând prin punct M 0 (x 0 , y 0) și perpendicular pe vector n(Fig.1). Lasă punctul M(x,y) aparține liniei L. Apoi vectorul cu coordonatele x−x 0 , y−y 0 perpendiculară nși ecuația (4) este satisfăcută (produsul scalar al vectorilor nși egal cu zero). Dimpotrivă, dacă punct M(x,y) nu se află pe o linie L, apoi vectorul cu coordonatele x−x 0 , y−y 0 nu este ortogonal cu vectorul n iar ecuația (4) nu este satisfăcută. Teorema a fost demonstrată.
Dovada. Deoarece liniile (5) și (6) definesc aceeași linie, atunci vectorii normali n 1 ={O 1 ,B 1) și n 2 ={O 2 ,B 2) coliniare. Din moment ce vectori n 1 ≠0, n 2 ≠0, atunci există un astfel de număr λ , Ce n 2 =n 1 λ . De aici avem: O 2 =O 1 λ , B 2 =B 1 λ . Să demonstrăm asta C 2 =C 1 λ . Evident, liniile care coincid au un punct comun M 0 (x 0 , y 0). Înmulțirea ecuației (5) cu λ și scăzând ecuația (6) din ea obținem:
Deoarece primele două egalități din expresiile (7) sunt satisfăcute, atunci C 1 λ −C 2 =0. Aceste. C 2 =C 1 λ . Remarca a fost dovedită.
Rețineți că ecuația (4) definește ecuația dreptei care trece prin punct M 0 (x 0 , y 0) și având un vector normal n={A,B). Prin urmare, dacă vectorul normal al unei linii și punctul aparținând acestei drepte sunt cunoscute, atunci ecuația generală a dreptei poate fi construită folosind ecuația (4).
Exemplul 1. O dreaptă trece printr-un punct M=(4,−1) și are un vector normal n=(3, 5). Construiți ecuația generală a unei drepte.
Soluţie. Avem: x 0 =4, y 0 =−1, O=3, B=5. Pentru a construi ecuația generală a unei linii drepte, înlocuim aceste valori în ecuația (4):
Răspuns:
Vectorul este paralel cu dreapta Lși, prin urmare, perperdicular pe vectorul normal al dreptei L. Să construim un vector linie normal L, ținând cont că produsul scalar al vectorilor nși egal cu zero. Putem scrie, de exemplu, n={1,−3}.
Pentru a construi ecuația generală a unei linii drepte, folosim formula (4). Să înlocuim coordonatele punctului în (4) M 1 (putem lua și coordonatele punctului M 2) și vector normal n:
Înlocuind coordonatele punctelor M 1 și M 2 în (9) ne putem asigura că dreapta dată de ecuația (9) trece prin aceste puncte.
Răspuns:
Scădeți (10) din (1):
Am obținut ecuația canonică a dreptei. Vector q={−B, O) este vectorul de direcție al dreptei (12).
Vezi conversia inversă.
Exemplul 3. O dreaptă pe un plan este reprezentată de următoarea ecuație generală:
Să mutam al doilea termen la dreapta și să împărțim ambele părți ale ecuației la 2·5.
Ecuația unei drepte care trece prin două puncte. În articol" " Ți-am promis să te uiți la a doua metodă de rezolvare a problemelor prezentate de găsire a derivatei, cu această diagramă funcţie şi tangentă la acest grafic. Vom discuta despre această metodă în , nu rata! De ce in urmatoarea?
Faptul este că formula pentru ecuația unei linii drepte va fi folosită acolo. Desigur, ai putea doar să arăți această formulăși te sfătuiesc să-l înveți. Dar este mai bine să explici de unde provine (cum este derivat). Acest lucru este necesar! Dacă îl uiți, îl poți restaura rapidnu va fi dificil. Totul este prezentat mai jos în detaliu. Deci, avem două puncte A pe planul de coordonate(x 1;y 1) și B(x 2;y 2), se trasează o linie dreaptă prin punctele indicate: 
Iată formula directă în sine:
*Adică, când înlocuim coordonatele specifice ale punctelor, obținem o ecuație de forma y=kx+b.
**Dacă pur și simplu „memorezi” această formulă, atunci există o probabilitate mare de a te confunda cu indicii atunci când X. În plus, indicii pot fi desemnați în diferite moduri, de exemplu:
De aceea este important să înțelegem sensul.
Acum derivarea acestei formule. Este foarte simplu!
Triunghiurile ABE și ACF sunt similare ca unghi ascuțit (primul semn de similitudine triunghiuri dreptunghiulare). Rezultă din aceasta că rapoartele elementelor corespunzătoare sunt egale, adică:
Acum pur și simplu exprimăm aceste segmente prin diferența dintre coordonatele punctelor:
Desigur, nu va exista nicio eroare dacă scrieți relațiile elementelor într-o ordine diferită (principalul este să mențineți consistența):
Rezultatul va fi aceeași ecuație a dreptei. Asta e tot!
Adică, indiferent de modul în care sunt desemnate punctele în sine (și coordonatele lor), prin înțelegerea acestei formule veți găsi întotdeauna ecuația unei linii drepte.
Formula poate fi derivată folosind proprietățile vectorilor, dar principiul derivării va fi același, deoarece vom vorbi despre proporționalitatea coordonatelor acestora. În acest caz, funcționează aceeași similitudine a triunghiurilor dreptunghiulare. După părerea mea, concluzia descrisă mai sus este mai clară)).
Vizualizați rezultatul prin coordonatele vectoriale >>>
Să fie construită o dreaptă pe planul de coordonate care trece prin doi puncte date A(x 1;y 1) și B(x 2;y 2). Să marchem un punct arbitrar C pe dreapta cu coordonatele ( x; y). De asemenea, notăm doi vectori:
Se știe că pentru vectorii aflați pe drepte paralele (sau pe aceeași linie), coordonatele lor corespunzătoare sunt proporționale, adică:
— notăm egalitatea raporturilor coordonatelor corespunzătoare:
Să ne uităm la un exemplu:
Aflați ecuația unei drepte care trece prin două puncte cu coordonatele (2;5) și (7:3).
Nici măcar nu trebuie să construiți linia dreaptă în sine. Aplicam formula:
Este important să înțelegeți corespondența atunci când stabiliți raportul. Nu poți greși dacă scrii:
Răspuns: y=-2/5x+29/5 merge y=-0,4x+5,8
Pentru a vă asigura că ecuația rezultată este găsită corect, asigurați-vă că verificați - înlocuiți coordonatele datelor în starea punctelor în ea. Ecuațiile ar trebui să fie corecte.
Asta e tot. Sper că materialul ți-a fost de folos.
Salutări, Alexandru.
P.S: V-as fi recunoscator daca mi-ati spune despre site pe retelele de socializare.