Definiţie. Orice linie dreaptă de pe plan poate fi specificată printr-o ecuație de ordinul întâi
Ax + Wu + C = 0,
Mai mult, constantele A și B nu sunt egale cu zero în același timp. Această ecuație de ordinul întâi se numește ecuația generală a unei drepte. In functie de valori constanta A, Bși C sunt posibile următoarele cazuri speciale:
C = 0, A ≠0, B ≠ 0 – dreapta trece prin origine
A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0) - linie dreaptă paralelă cu axa Ox
B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) – linie dreaptă paralelă cu axa Oy
B = C = 0, A ≠0 – linia dreaptă coincide cu axa Oy
A = C = 0, B ≠0 – linia dreaptă coincide cu axa Ox
Ecuația unei linii drepte poate fi reprezentată în sub diverse formeîn funcţie de orice condiţii iniţiale date.
Ecuația unei drepte dintr-un punct și vector normal
Definiţie.În sistemul de coordonate dreptunghiular cartezian, un vector cu componente (A, B) este perpendicular pe dreapta dată de ecuația Ax + By + C = 0.
Exemplu. Aflați ecuația dreptei care trece prin punctul A(1, 2) perpendicular pe (3, -1).
Soluţie. Cu A = 3 și B = -1, să compunem ecuația dreptei: 3x – y + C = 0. Pentru a găsi coeficientul C, înlocuim coordonatele în expresia rezultată. punct dat A. Se obține: 3 – 2 + C = 0, deci, C = -1. Total: ecuația necesară: 3x – y – 1 = 0.
Ecuația unei drepte care trece prin două puncte
Fie date două puncte M 1 (x 1, y 1, z 1) și M 2 (x 2, y 2, z 2) în spațiu, atunci ecuația dreptei care trece prin aceste puncte este:
Dacă oricare dintre numitori este egal cu zero, numărătorul corespunzător ar trebui să fie egal cu zero În plan, ecuația dreptei scrise mai sus este simplificată:
dacă x 1 ≠ x 2 și x = x 1, dacă x 1 = x 2.
Se numește fracția = k pantă direct.
Exemplu. Aflați ecuația dreptei care trece prin punctele A(1, 2) și B(3, 4).
Soluţie. Aplicând formula scrisă mai sus, obținem:
Ecuația unei drepte dintr-un punct și panta
Dacă totalul Ax + Bu + C = 0, duce la forma:
și desemnează 
, atunci ecuația rezultată se numește ecuația unei drepte cu pantak.
Ecuația unei drepte dintr-un punct și un vector de direcție
Prin analogie cu punctul care are în vedere ecuația unei drepte printr-un vector normal, puteți introduce definiția unei drepte printr-un punct și vectorul de direcție al dreptei.
Definiţie. Fiecare vector diferit de zero (α 1, α 2), ale cărui componente îndeplinesc condiția A α 1 + B α 2 = 0 se numește vector de direcție al dreptei
Ax + Wu + C = 0.
Exemplu. Aflați ecuația unei drepte cu un vector de direcție (1, -1) și care trece prin punctul A(1, 2).
Soluţie. Vom căuta ecuația dreptei dorite sub forma: Ax + By + C = 0. Conform definiției, coeficienții trebuie să îndeplinească condițiile:
1 * A + (-1) * B = 0, adică A = B.
Atunci ecuația dreptei are forma: Ax + Ay + C = 0, sau x + y + C / A = 0. pentru x = 1, y = 2 obținem C/ A = -3, adică. ecuația necesară:
Ecuația unei drepte în segmente
Dacă în ecuația generală a dreptei Ах + Ву + С = 0 С≠0, atunci, împărțind la –С, obținem: 
sau
Sensul geometric coeficienți este că coeficientul O este coordonata punctului de intersecție a dreptei cu axa Ox și b– coordonata punctului de intersecție a dreptei cu axa Oy.
Exemplu. Ecuația generală a dreptei x – y + 1 = 0 Găsiți ecuația acestei drepte în segmente.
C = 1, , a = -1, b = 1.
Ecuația normală a unei linii
Dacă ambele părți ale ecuației Ax + By + C = 0 sunt înmulțite cu numărul 
care se numeste factor de normalizare, apoi primim
xcosφ + ysinφ - p = 0 –
ecuația normală a unei linii. Semnul ± al factorului de normalizare trebuie ales astfel încât μ * C< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.
Exemplu. Având în vedere ecuația generală a dreptei 12x – 5y – 65 = 0. Trebuie să scrieți diverse tipuri ecuațiile acestei drepte.
ecuația acestei drepte în segmente: 
ecuația acestei drepte cu panta: (împarte la 5)
; cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.
Trebuie remarcat faptul că nu orice linie dreaptă poate fi reprezentată printr-o ecuație în segmente, de exemplu, drepte paralele cu axele sau care trec prin originea coordonatelor.
Exemplu. Linia dreaptă taie segmente pozitive egale pe axele de coordonate. Scrieți o ecuație a unei drepte dacă aria triunghiului format din aceste segmente este de 8 cm2.
Soluţie. Ecuația dreptei are forma: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.
Exemplu. Scrieți o ecuație pentru o dreaptă care trece prin punctul A(-2, -3) și origine.
Soluţie.
Ecuația dreptei este: 
, unde x 1 = y 1 = 0; x2 = -2; y2 = -3.
Unghiul dintre liniile drepte pe un plan
Definiţie. Dacă sunt date două drepte y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, atunci unghiul ascuțit dintre aceste drepte va fi definit ca
.
Două drepte sunt paralele dacă k 1 = k 2. Două drepte sunt perpendiculare dacă k 1 = -1/ k 2.
Teorema. Dreptele Ax + Bу + C = 0 și A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 sunt paralele când coeficienții A 1 = λA, B 1 = λB sunt proporționali. Dacă și C 1 = λC, atunci liniile coincid. Coordonatele punctului de intersecție a două drepte se găsesc ca soluție a sistemului de ecuații ale acestor drepte.
Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat perpendicular pe o dreaptă dată
Definiţie. O dreaptă care trece prin punctul M 1 (x 1, y 1) și perpendiculară pe dreapta y = kx + b este reprezentată de ecuația:
Distanța de la punct la linie
Teorema. Dacă este dat un punct M(x 0, y 0), atunci distanța până la dreapta Ax + Bу + C = 0 este determinată ca
.
Dovada. Fie punctul M 1 (x 1, y 1) să fie baza unei perpendiculare coborâte din punctul M la o dreaptă dată. Atunci distanța dintre punctele M și M 1:
(1)
Coordonatele x 1 și y 1 pot fi găsite prin rezolvarea sistemului de ecuații:
A doua ecuație a sistemului este ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat M 0 perpendicular pe o dreaptă dată. Dacă transformăm prima ecuație a sistemului în forma:
A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
apoi, rezolvand, obtinem:
Înlocuind aceste expresii în ecuația (1), găsim:
Teorema a fost demonstrată.
Exemplu. Să se determine unghiul dintre drepte: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.
k1 = -3; k2 = 2; tgφ = 
; φ= π /4.
Exemplu. Arătați că dreptele 3x – 5y + 7 = 0 și 10x + 6y – 3 = 0 sunt perpendiculare.
Soluţie. Găsim: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, prin urmare, dreptele sunt perpendiculare.
Exemplu. Sunt date vârfurile triunghiului A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Găsiți ecuația înălțimii desenată din vârful C.
Soluţie. Găsim ecuația laturii AB: 
; 4 x = 6 y – 6;
2 x – 3 y + 3 = 0;
Ecuația de înălțime necesară are forma: Ax + By + C = 0 sau y = kx + b. k = . Atunci y = . Deoarece înălțimea trece prin punctul C, apoi coordonatele sale satisfac această ecuație: 
de unde b = 17. Total: . 
Răspuns: 3 x + 2 y – 34 = 0.
Ecuațiile canonice ale unei linii în spațiu sunt ecuații care definesc o dreaptă care trece printr-un punct dat, coliniar cu vectorul de direcție.
Fie dat un punct și un vector direcție. Un punct arbitrar se află pe o dreaptă l numai dacă vectorii și sunt coliniari, adică condiția este îndeplinită pentru ei:
.
Ecuațiile de mai sus sunt ecuații canonice direct.
Numerele m , nŞi p sunt proiecții ale vectorului direcție pe axele de coordonate. Deoarece vectorul este diferit de zero, atunci toate numerele m , nŞi p nu poate fi simultan egal cu zero. Dar unul sau două dintre ele se pot dovedi a fi zero. În geometria analitică, de exemplu, este permisă următoarea intrare:
,
ceea ce înseamnă că proiecţiile vectorului pe axă OiŞi Oz sunt egale cu zero. Prin urmare, atât vectorul cât și linia definită de ecuațiile canonice sunt perpendiculare pe axele OiŞi Oz, adică avioane yOz .
Exemplul 1. Scrieți ecuații pentru o dreaptă în spațiu perpendiculară pe un plan 
şi trecând prin punctul de intersecţie a acestui plan cu axa Oz
.
Soluţie. Să găsim punctul de intersecție al acestui plan cu axa Oz. Din moment ce orice punct situat pe axă Oz, are coordonatele , atunci, presupunând în ecuația dată a planului x = y = 0, obținem 4 z- 8 = 0 sau z= 2 . Prin urmare, punctul de intersecție al acestui plan cu axa Oz are coordonatele (0; 0; 2) . Deoarece linia dorită este perpendiculară pe plan, este paralelă cu vectorul său normal. Prin urmare, vectorul de direcție al dreptei poate fi vectorul normal 
avion dat.
Acum să scriem ecuațiile necesare ale unei drepte care trece printr-un punct O= (0; 0; 2) în direcția vectorului:
Ecuațiile unei drepte care trece prin două puncte date
O linie dreaptă poate fi definită prin două puncte aflate pe ea 
Şi 
În acest caz, vectorul de direcție al dreptei poate fi vectorul . Atunci ecuațiile canonice ale dreptei iau forma
.
Ecuațiile de mai sus determină o dreaptă care trece prin două puncte date.
Exemplul 2. Scrieți o ecuație pentru o dreaptă din spațiu care trece prin punctele și .
Soluţie. Să notăm ecuațiile necesare ale dreptei în forma dată mai sus în referința teoretică:
.
Deoarece , atunci linia dreaptă dorită este perpendiculară pe axă Oi .
Drept ca linia de intersecție a planelor
O linie dreaptă în spațiu poate fi definită ca linia de intersecție a două plane neparalele și, adică, ca o mulțime de puncte care satisfac un sistem de două ecuații liniare
Ecuațiile sistemului sunt numite și ecuații generale ale unei linii drepte în spațiu.
Exemplul 3. Alcătuiți ecuații canonice ale unei drepte în spațiu date de ecuații generale
Soluţie. Pentru a scrie ecuațiile canonice ale unei linii sau, ceea ce este același lucru, ecuațiile unei linii care trece prin două puncte date, trebuie să găsiți coordonatele oricăror două puncte de pe linie. Ele pot fi punctele de intersecție ale unei linii drepte cu oricare două plane de coordonate, de exemplu yOzŞi xOz .
Punct de intersecție a unei drepte și a unui plan yOz are o abscisă x= 0 . Prin urmare, presupunând în acest sistem de ecuații x= 0, obținem un sistem cu două variabile:
Decizia ei y = 2 , z= 6 împreună cu x= 0 definește un punct O(0; 2; 6) linia dorită. Apoi presupunând în sistemul dat de ecuații y= 0, obținem sistemul
Decizia ei x = -2 , z= 0 împreună cu y= 0 definește un punct B(-2; 0; 0) intersecția unei drepte cu un plan xOz .
Acum să scriem ecuațiile dreptei care trece prin puncte O(0; 2; 6) și B (-2; 0; 0) :
,
sau după împărțirea numitorilor la -2:
,
În acest articol vom lua în considerare ecuația generală a unei drepte pe un plan. Să dăm exemple de construcție a unei ecuații generale a unei drepte dacă sunt cunoscute două puncte ale acestei drepte sau dacă se cunosc un punct și vectorul normal al acestei drepte. Să introducem metode de transformare a ecuației în vedere generalăîn vederi canonice și parametrice.
Să fie dat un sistem de coordonate cartezian dreptunghiular arbitrar Oxy. Luați în considerare ecuația de gradul întâi sau ecuație liniară:
| Ax+By+C=0, | (1) |
Unde A, B, C− unele constante, și cel puțin unul dintre elemente OŞi B diferit de zero.
Vom arăta că o ecuație liniară pe un plan definește o dreaptă. Să demonstrăm următoarea teoremă.
Teorema 1. Într-un sistem de coordonate cartezian dreptunghiular arbitrar pe un plan, fiecare dreaptă poate fi specificată printr-o ecuație liniară. În schimb, fiecare ecuație liniară (1) dintr-un sistem de coordonate cartezian dreptunghiular arbitrar pe un plan definește o dreaptă.
Dovada. Este suficient să demonstrăm că linia dreaptă L este determinată de o ecuație liniară pentru orice sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare, deoarece atunci va fi determinată de o ecuație liniară pentru orice sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare.
Să fie dată o linie dreaptă pe plan L. Să alegem un sistem de coordonate astfel încât axa Bou a coincis cu o linie dreaptă L, și axa Oi era perpendicular pe acesta. Apoi ecuația dreptei L va lua următoarea formă:
| y=0. | (2) |
Toate punctele de pe o linie L va satisface ecuația liniară (2), iar toate punctele din afara acestei linii nu vor satisface ecuația (2). Prima parte a teoremei a fost demonstrată.
Să fie dat un sistem de coordonate dreptunghiular cartezian și să fie dată o ecuație liniară (1), unde cel puțin unul dintre elemente OŞi B diferit de zero. Să găsim locul geometric al punctelor ale căror coordonate satisfac ecuația (1). Deoarece cel puţin unul dintre coeficienţi OŞi B este diferită de zero, atunci ecuația (1) are cel puțin o soluție M(x 0 ,y 0). (De exemplu, când O≠0, punct M 0 (−C/A, 0) aparține locului geometric dat al punctelor). Înlocuind aceste coordonate în (1) obținem identitatea
| Topor 0 +De 0 +C=0. | (3) |
Să scădem identitatea (3) din (1):
| O(x−x 0)+B(y−y 0)=0. | (4) |
Evident, ecuația (4) este echivalentă cu ecuația (1). Prin urmare, este suficient să demonstrăm că (4) definește o anumită linie.
Din moment ce luăm în considerare cartezianul sistem dreptunghiular coordonate, apoi din egalitatea (4) rezultă că vectorul cu componente ( x−x 0 , y−y 0 ) ortogonală cu vectorul n cu coordonate ( A,B}.
Să luăm în considerare o linie dreaptă L, trecând prin punct M 0 (x 0 , y 0) și perpendicular pe vector n(Fig.1). Lasă punctul M(x,y) aparține liniei L. Apoi vectorul cu coordonatele x−x 0 , y−y 0 perpendiculară nși ecuația (4) este satisfăcută (produsul scalar al vectorilor nși egal cu zero). Dimpotrivă, dacă punct M(x,y) nu se află pe o linie L, apoi vectorul cu coordonatele x−x 0 , y−y 0 nu este ortogonal cu vectorul n iar ecuația (4) nu este satisfăcută. Teorema a fost demonstrată.
Dovada. Deoarece liniile (5) și (6) definesc aceeași linie, atunci vectorii normali n 1 ={O 1 ,B 1) și n 2 ={O 2 ,B 2) coliniare. Din moment ce vectori n 1 ≠0, n 2 ≠0, atunci există un astfel de număr λ , Ce n 2 =n 1 λ . De aici avem: O 2 =O 1 λ , B 2 =B 1 λ . Să demonstrăm asta C 2 =C 1 λ . Evident, liniile care coincid au un punct comun M 0 (x 0 , y 0). Înmulțirea ecuației (5) cu λ și scăzând ecuația (6) din ea obținem:
Deoarece primele două egalități din expresiile (7) sunt satisfăcute, atunci C 1 λ −C 2 =0. Aceste. C 2 =C 1 λ . Remarca a fost dovedită.
Rețineți că ecuația (4) definește ecuația dreptei care trece prin punct M 0 (x 0 , y 0) și având un vector normal n={A,B). Prin urmare, dacă vectorul normal al unei linii și punctul aparținând acestei drepte sunt cunoscute, atunci ecuația generală a dreptei poate fi construită folosind ecuația (4).
Exemplul 1. O dreaptă trece printr-un punct M=(4,−1) și are un vector normal n=(3, 5). Construiți ecuația generală a unei drepte.
Soluţie. Avem: x 0 =4, y 0 =−1, O=3, B=5. Pentru a construi ecuația generală a unei linii drepte, înlocuim aceste valori în ecuația (4):
Răspuns:
Vectorul este paralel cu dreapta Lși, prin urmare, perperdicular pe vectorul normal al dreptei L. Să construim un vector linie normal L, ținând cont că produsul scalar al vectorilor nși egal cu zero. Putem scrie, de exemplu, n={1,−3}.
Pentru a construi ecuația generală a unei linii drepte, folosim formula (4). Să înlocuim coordonatele punctului în (4) M 1 (putem lua și coordonatele punctului M 2) și vector normal n:
Înlocuind coordonatele punctelor M 1 și M 2 în (9) ne putem asigura că dreapta dată de ecuația (9) trece prin aceste puncte.
Răspuns:
Scădeți (10) din (1):
Am obținut ecuația canonică a dreptei. Vector q={−B, O) este vectorul de direcție al dreptei (12).
Vezi conversia inversă.
Exemplul 3. O dreaptă pe un plan este reprezentată de următoarea ecuație generală:
Să mutam al doilea termen la dreapta și să împărțim ambele părți ale ecuației la 2·5.
Ecuația unei drepte pe un plan.
După cum se știe, orice punct din plan este determinat de două coordonate într-un sistem de coordonate. Sistemele de coordonate pot fi diferite în funcție de alegerea bazei și a originii.
Definiţie. Ecuația liniilor se numeşte relaţia y = f(x) între coordonatele punctelor care alcătuiesc această dreaptă.
Rețineți că ecuația unei linii poate fi exprimată parametric, adică fiecare coordonată a fiecărui punct este exprimată printr-un parametru independent t.
Un exemplu tipic este traiectoria unui punct în mișcare. În acest caz, rolul parametrului este jucat de timp.
Ecuația unei drepte pe un plan.
Definiţie. Orice linie dreaptă de pe plan poate fi specificată printr-o ecuație de ordinul întâi
Ax + Wu + C = 0,
Mai mult, constantele A și B nu sunt egale cu zero în același timp, adică. A 2 + B 2 0. Această ecuație de ordinul întâi se numește ecuația generală a unei drepte.
În funcție de valorile constantelor A, B și C, sunt posibile următoarele cazuri speciale:
C = 0, A 0, B 0 – dreapta trece prin origine
A = 0, B 0, C 0 (By + C = 0) - linie dreaptă paralelă cu axa Ox
B = 0, A 0, C 0 (Ax + C = 0) – linie dreaptă paralelă cu axa Oy
B = C = 0, A 0 – linia dreaptă coincide cu axa Oy
A = C = 0, B 0 – linia dreaptă coincide cu axa Ox
Ecuația unei linii drepte poate fi prezentată în diferite forme în funcție de orice condiții inițiale date.
Ecuația unei drepte dintr-un punct și un vector normal.
Definiţie. În sistemul de coordonate dreptunghiular cartezian, un vector cu componente (A, B) este perpendicular pe dreapta dată de ecuația Ax + By + C = 0.
Exemplu. Aflați ecuația dreptei care trece prin punctul A(1, 2) perpendicular pe vector 
(3,
-1).
Cu A = 3 și B = -1, să compunem ecuația dreptei: 3x – y + C = 0. Pentru a găsi coeficientul C, înlocuim coordonatele punctului dat A în expresia rezultată.
Se obține: 3 – 2 + C = 0, deci C = -1.
Total: ecuația necesară: 3x – y – 1 = 0.
Ecuația unei drepte care trece prin două puncte.
Fie date două puncte M 1 (x 1, y 1, z 1) și M 2 (x 2, y 2, z 2) în spațiu, atunci ecuația dreptei care trece prin aceste puncte este:
Dacă oricare dintre numitori este zero, numărătorul corespunzător trebuie setat egal cu zero.
Pe plan, ecuația dreptei scrise mai sus este simplificată:
dacă x 1 x 2 și x = x 1, dacă x 1 = x 2.
Fracţiune 
=k se numește pantă direct.
Exemplu. Aflați ecuația dreptei care trece prin punctele A(1, 2) și B(3, 4).
Aplicând formula scrisă mai sus, obținem:
Ecuația unei drepte folosind un punct și panta.
Dacă ecuația generală a dreptei Ax + By + C = 0 se reduce la forma:
și desemnează 
, atunci ecuația rezultată se numește ecuația unei drepte cu pantak.
Ecuația unei drepte dintr-un punct și un vector de direcție.
Prin analogie cu punctul care are în vedere ecuația unei drepte printr-un vector normal, puteți introduce definiția dreptei printr-un punct și vectorul de direcție al dreptei.
Definiţie.
Fiecare vector diferit de zero 
( 1, 2), ale cărei componente îndeplinesc condiția A 1 + B 2 = 0 se numește vectorul de direcție al dreptei
Ax + Wu + C = 0.
Exemplu. Aflați ecuația unei drepte cu un vector de direcție 
(1, -1) și trecând prin punctul A(1, 2).
Vom căuta ecuația dreptei dorite sub forma: Ax + By + C = 0. Conform definiției, coeficienții trebuie să îndeplinească condițiile:
1A + (-1)B = 0, adică. A = B.
Atunci ecuația dreptei are forma: Ax + Ay + C = 0, sau x + y + C/A = 0.
la x = 1, y = 2 obținem C/A = -3, adică. ecuația necesară:
Ecuația unei drepte în segmente.
Dacă în ecuația generală a dreptei Ах + Ву + С = 0 С 0, atunci, împărțind la –С, obținem: 
sau
, Unde
Sensul geometric al coeficienților este că coeficientul O este coordonata punctului de intersecție a dreptei cu axa Ox și b– coordonata punctului de intersecție a dreptei cu axa Oy.
Exemplu. Ecuația generală a dreptei x – y + 1 = 0 Găsiți ecuația acestei drepte în segmente.
C = 1, 
, a = -1,b = 1.
Ecuația normală a unei linii.
Dacă ambele părți ale ecuației Ax + By + C = 0 sunt împărțite la număr 
care se numeste factor de normalizare, apoi primim
xcos + ysin - p = 0 –
ecuația normală a unei linii.
Semnul al factorului de normalizare trebuie ales astfel încât С< 0.
p este lungimea perpendicularei coborâte de la origine la dreapta, iar este unghiul format de această perpendiculară cu direcția pozitivă a axei Ox.
Exemplu. Este dată ecuația generală a dreptei 12x – 5y – 65 = 0. Este necesar să se scrie diferite tipuri de ecuații pentru această dreaptă.
ecuația acestei drepte în segmente: 
ecuația acestei drepte cu panta: (împarte la 5)
ecuația normală a unei linii:
;
cos = 12/13; sin = -5/13; p = 5.
Exemplu. Trebuie remarcat faptul că nu orice linie dreaptă poate fi reprezentată printr-o ecuație în segmente, de exemplu, drepte paralele cu axele sau care trec prin originea coordonatelor.
Linia dreaptă taie segmente pozitive egale pe axele de coordonate. Scrieți o ecuație a unei drepte dacă aria triunghiului format din aceste segmente este de 8 cm2. 
Ecuația dreptei este:
, a = b = 1; ab/2 = 8; a = 4; -4.
a = -4 nu este potrivit în funcție de condițiile problemei. 
Total:
Exemplu. sau x + y – 4 = 0.
Linia dreaptă taie segmente pozitive egale pe axele de coordonate. Scrieți o ecuație a unei drepte dacă aria triunghiului format din aceste segmente este de 8 cm2. 
Scrieți o ecuație pentru o dreaptă care trece prin punctul A(-2, -3) și origine.
, unde x 1 = y 1 = 0; x2 = -2; y2 = -3.
Definiţie. Unghiul dintre liniile drepte dintr-un plan.
.
Dacă sunt date două drepte y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, atunci unghiul ascuțit dintre aceste drepte va fi definit ca
Două drepte sunt paralele dacă k 1 = k 2.
Teorema. Două drepte sunt perpendiculare dacă k 1 = -1/k 2 . 1 Linii directe Ax + Wu + C = 0 și A 1 x + B 1 y + C 1 = = 0 sunt paralele când coeficienții A sunt proporționali 1 = A, B 1 = B. Dacă și C
C, atunci liniile coincid.
Coordonatele punctului de intersecție a două drepte se găsesc ca soluție a sistemului de ecuații ale acestor drepte.
Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat
Definiţie. perpendicular pe această dreaptă.
O dreaptă care trece prin punctul M 1 (x 1, y 1) și perpendiculară pe dreapta y = kx + b este reprezentată de ecuația:
Teorema. Distanța de la un punct la o dreaptă. 0 Dacă este dat punctul M(x). 0 ), atunci distanța până la linia dreaptă Ах + Ву + С =0 este definită ca
.
Dovada. Fie punctul M 1 (x 1, y 1) să fie baza unei perpendiculare coborâte din punctul M la o dreaptă dată. Atunci distanța dintre punctele M și M 1:
Coordonatele x 1 și y 1 pot fi găsite prin rezolvarea sistemului de ecuații:
A doua ecuație a sistemului este ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat M 0 perpendicular pe o dreaptă dată.
Dacă transformăm prima ecuație a sistemului în forma:
A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
apoi, rezolvand, obtinem:
Înlocuind aceste expresii în ecuația (1), găsim:
.
Teorema a fost demonstrată.
Exemplu. Determinați unghiul dintre drepte: y = -3x + 7; y = 2x + 1.
k1 = -3; k 2 = 2 tg = 
;
Exemplu. = /4.
Arătați că dreptele 3x – 5y + 7 = 0 și 10x + 6y – 3 = 0 sunt perpendiculare.
Exemplu. Găsim: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, prin urmare, dreptele sunt perpendiculare.
Sunt date vârfurile triunghiului A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Găsiți ecuația înălțimii desenată din vârful C. 
Găsim ecuația laturii AB:
; 
4x = 6y – 6;
2x – 3y + 3 = 0; 
Ecuația de înălțime necesară are forma: Ax + By + C = 0 sau y = kx + b. 
k = 
. Atunci y = 
.
. Deoarece înălțimea trece prin punctul C, apoi coordonatele sale satisfac această ecuație:
de unde b = 17. Total:
Răspuns: 3x + 2y – 34 = 0.
Geometrie analitică în spațiu.
Ecuația unei drepte în spațiu.
Ecuația unei drepte în spațiu dat un punct și 
vector de direcție. 
Să luăm o linie arbitrară și un vector (m, n, p), paralel cu dreapta dată. Vector direct.
numit
vector ghid
Pe linie dreaptă luăm două puncte arbitrare M 0 (x 0 , y 0 , z 0) și M (x, y, z).
z 
M 1 
Să notăm vectorii de rază ai acestor puncte ca 
-
=
.
Şi 
M 1 
, este evident că 
=
Deoarece vectori
sunt coliniare, atunci relația este adevărată 
=
+
t, unde t este un parametru.
În total, putem scrie: t..
Deoarece această ecuație este satisfăcută de coordonatele oricărui punct de pe linie, atunci ecuația rezultată este
ecuația parametrică a unei linii
.
Definiţie.
Această ecuație vectorială poate fi reprezentată sub formă de coordonate: După ce am transformat acest sistem și echivalând valorile parametrului t, obținem ecuațiile canonice ale unei linii drepte în spațiu: 
Cosinusuri de direcție
;
.
directe sunt cosinusurile de direcție ale vectorului
, care poate fi calculat folosind formulele: De aici obținem: m: n: p = cos : cos : cos. Se numesc numerele m, n, p 
coeficienții de unghi
direct. Deoarece
prin două puncte.
Dacă pe o dreaptă în spațiu notăm două puncte arbitrare M 1 (x 1, y 1, z 1) și M 2 (x 2, y 2, z 2), atunci coordonatele acestor puncte trebuie să satisfacă ecuația dreptei. obtinut mai sus:
.
În plus, pentru punctul M 1 putem scrie:
.
Rezolvând împreună aceste ecuații, obținem:
.
Aceasta este ecuația unei drepte care trece prin două puncte din spațiu.
Ecuații generale ale unei drepte în spațiu.
Ecuația unei drepte poate fi considerată drept ecuația dreptei de intersecție a două plane.
După cum sa discutat mai sus, un plan în formă vectorială poate fi specificat prin ecuația:
+ D = 0, unde
- plan normal; 
- raza este vectorul unui punct arbitrar din plan.
Lăsați dreapta să treacă prin punctele M 1 (x 1; y 1) și M 2 (x 2; y 2). Ecuația unei drepte care trece prin punctul M 1 are forma y-y 1 = k (x - x 1), (10,6)
Unde k - coeficient încă necunoscut.
Deoarece linia dreaptă trece prin punctul M 2 (x 2 y 2), coordonatele acestui punct trebuie să îndeplinească ecuația (10.6): y 2 -y 1 = k (x 2 - x 1).
De aici găsim Înlocuirea valorii găsite k
în ecuația (10.6), obținem ecuația unei drepte care trece prin punctele M 1 și M 2: 
Se presupune că în această ecuație x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2
Dacă x 1 = x 2, atunci linia dreaptă care trece prin punctele M 1 (x 1,y I) și M 2 (x 2,y 2) este paralelă cu axa ordonatelor. Ecuația sa este x = x 1 .
Dacă y 2 = y I, atunci ecuația dreptei poate fi scrisă ca y = y 1, dreapta M 1 M 2 este paralelă cu axa absciselor.
Ecuația unei drepte în segmente
Fie ca linia dreaptă să intersecteze axa Ox în punctul M 1 (a;0) și axa Oy în punctul M 2 (0;b). Ecuația va lua forma: 
aceste. 
. Această ecuație se numește ecuația unei drepte în segmente, deoarece numerele a și b indică segmentele pe care linia le decupează pe axele de coordonate.
Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat perpendicular pe un vector dat
Să găsim ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat Mo (x O; y o) perpendicular pe un vector dat diferit de zero n = (A; B).
Să luăm un punct arbitrar M(x; y) pe linie și să considerăm vectorul M 0 M (x - x 0; y - y o) (vezi Fig. 1). Deoarece vectorii n și M o M sunt perpendiculari, produsul lor scalar este egal cu zero: adică
A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)
Ecuația (10.8) se numește ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat perpendicular pe un vector dat .
Vectorul n= (A; B), perpendicular pe dreapta, se numește normal vector normal al acestei linii .
Ecuația (10.8) poate fi rescrisă ca Ah + Wu + C = 0 , (10.9)
unde A și B sunt coordonatele vectorului normal, C = -Ax o - Vu o este termenul liber. Ecuația (10.9) este ecuația generală a dreptei(vezi fig. 2).
Fig.1 Fig.2
Ecuații canonice ale dreptei
,
Unde 
- coordonatele punctului prin care trece linia, și 
- vector de direcție.
Curbe de ordinul doi Cerc
Un cerc este mulțimea tuturor punctelor planului echidistante de un punct dat, care se numește centru.
Ecuația canonică a unui cerc de rază
R centrat într-un punct 
:
În special, dacă centrul mizei coincide cu originea coordonatelor, atunci ecuația va arăta astfel: 
Elipsă
O elipsă este un set de puncte dintr-un plan, suma distanțelor de la fiecare dintre acestea la două puncte date.
Şi 
, care se numesc focare, este o mărime constantă 
, mai mare decât distanța dintre focare 
.
Ecuația canonică a unei elipse ale cărei focare se află pe axa Ox, iar originea coordonatelor în mijlocul dintre focare are forma 
G 
de o lungimea semi-axei majore; b – lungimea semiaxei minore (Fig. 2).