În acest videoclip ne vom uita întregul set ecuații liniare care sunt rezolvate folosind același algoritm - de aceea sunt numite cele mai simple.

Mai întâi, să definim: ce este o ecuație liniară și care se numește cea mai simplă?

O ecuație liniară este una în care există o singură variabilă și numai la primul grad.

Cea mai simplă ecuație înseamnă construcția:

pe toți ceilalți ecuații liniare redus la cel mai simplu folosind un algoritm:

1. Extindeți parantezele, dacă există;
2. Mutați termenii care conțin o variabilă într-o parte a semnului egal și termenii fără variabilă în cealaltă;
3. Dați termeni similari la stânga și la dreapta semnului egal;
4. Împărțiți ecuația rezultată la coeficientul variabilei $x$.

Desigur, acest algoritm nu ajută întotdeauna. Cert este că uneori după toate aceste mașinațiuni coeficientul variabilei $x$ se dovedește a fi egal cu zero. În acest caz, sunt posibile două opțiuni:

1. Ecuația nu are deloc soluții. De exemplu, când se dovedește ceva de genul $0\cdot x=8$, de exemplu. în stânga este zero, iar în dreapta este un alt număr decât zero. În videoclipul de mai jos vom analiza mai multe motive pentru care această situație este posibilă.
2. Soluția sunt toate numerele. Singurul caz în care acest lucru este posibil este atunci când ecuația a fost redusă la construcția $0\cdot x=0$. Este destul de logic că, indiferent de ce $x$ înlocuim, se va dovedi totuși „zero este egal cu zero”, adică. egalitate numerică corectă.

Acum să vedem cum funcționează toate acestea folosind exemple din viața reală.

Exemple de rezolvare a ecuațiilor

Astăzi avem de-a face cu ecuații liniare și doar cu cele mai simple. În general, o ecuație liniară înseamnă orice egalitate care conține exact o variabilă și merge doar la primul grad.

Astfel de construcții sunt rezolvate aproximativ în același mod:

1. În primul rând, trebuie să extindeți parantezele, dacă există (ca în ultimul nostru exemplu);
2. Apoi combinați similar
3. În cele din urmă, izolați variabila, adică mutați tot ceea ce este legat de variabilă - termenii în care este conținut - într-o parte și mutați tot ce rămâne fără ea în cealaltă parte.

Apoi, de regulă, trebuie să aduceți altele similare de fiecare parte a egalității rezultate, iar după aceea tot ce rămâne este să împărțiți cu coeficientul lui „x”, iar vom obține răspunsul final.

În teorie, acest lucru arată frumos și simplu, dar în practică, chiar și elevii de liceu cu experiență pot face greșeli jignitoare în ecuații liniare destul de simple. De obicei, erorile sunt făcute fie la deschiderea parantezelor, fie la calcularea „plusurilor” și „minusurilor”.

În plus, se întâmplă ca o ecuație liniară să nu aibă deloc soluții sau ca soluția să fie întreaga dreaptă numerică, adică. orice număr. Ne vom uita la aceste subtilități în lecția de astăzi. Dar vom începe, așa cum ați înțeles deja, cu chiar sarcini simple.

Schema de rezolvare a ecuatiilor liniare simple

Mai întâi, permiteți-mi să scriu încă o dată întreaga schemă pentru rezolvarea celor mai simple ecuații liniare:

1. Extindeți parantezele, dacă există.
2. Izolăm variabilele, adică Mutăm tot ce conține „X” într-o parte și tot ce nu conține „X” în cealaltă.
3. Prezentăm termeni similari.
4. Împărțim totul cu coeficientul lui „x”.

Desigur, această schemă nu funcționează întotdeauna, există anumite subtilități și trucuri în ea, iar acum le vom cunoaște.

Rezolvarea exemplelor reale de ecuații liniare simple

Sarcina nr. 1

Primul pas ne cere să deschidem paranteze. Dar nu sunt în acest exemplu, așa că sărim peste acest pas. În a doua etapă trebuie să izolam variabilele. Vă rugăm să rețineți: despre care vorbim numai despre termeni individuali. Hai sa o scriem:

Prezentăm termeni similari în stânga și în dreapta, dar acest lucru s-a făcut deja aici. Prin urmare, să trecem la al patrulea pas: împărțit la coeficientul:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Deci am primit răspunsul.

Sarcina nr. 2

Putem vedea parantezele din această problemă, așa că haideți să le extindem:

Atat in stanga cat si in dreapta vedem aproximativ acelasi design, dar sa actionam conform algoritmului, i.e. separarea variabilelor:

Iată câteva asemănătoare:

La ce rădăcini funcționează asta? Răspuns: pentru orice. Prin urmare, putem scrie că $x$ este orice număr.

Sarcina nr. 3

A treia ecuație liniară este mai interesantă:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Sunt mai multe paranteze, dar nu se inmultesc cu nimic, sunt pur si simplu precedate de diverse semne. Să le defalcăm:

Facem al doilea pas deja cunoscut de noi:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Hai să facem calculul:

Realizam ultimul pas— împărțiți totul la coeficientul lui „x”:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Lucruri de reținut atunci când rezolvați ecuații liniare

Dacă ignorăm sarcinile prea simple, aș dori să spun următoarele:

• După cum am spus mai sus, nu orice ecuație liniară are o soluție - uneori pur și simplu nu există rădăcini;
• Chiar dacă există rădăcini, ar putea fi zero printre ele - nu este nimic în neregulă cu asta.

Zero este același număr ca și ceilalți;

O altă caracteristică este legată de deschiderea parantezelor. Vă rugăm să rețineți: când există un „minus” în fața lor, îl eliminăm, dar între paranteze schimbăm semnele în opus. Și apoi îl putem deschide folosind algoritmi standard: vom obține ceea ce am văzut în calculele de mai sus.

Înțelegerea acestui simplu fapt te va ajuta să eviți să faci greșeli stupide și rănitoare în liceu, când a face astfel de lucruri este luat de la sine înțeles.

Rezolvarea ecuațiilor liniare complexe

Să trecem la ecuații mai complexe. Acum construcțiile vor deveni mai complexe și la efectuarea diverselor transformări va apărea o funcție pătratică. Cu toate acestea, nu ar trebui să ne fie frică de acest lucru, deoarece dacă, conform planului autorului, rezolvăm o ecuație liniară, atunci în timpul procesului de transformare toate monomiile care conțin o funcție pătratică se vor anula în mod necesar.

Exemplul nr. 1

Evident, primul pas este deschiderea parantezelor. Să facem asta cu mare atenție:

Acum să aruncăm o privire asupra confidențialității:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Iată câteva asemănătoare:

Evident, această ecuație nu are soluții, așa că vom scrie asta în răspuns:

\[\varnothing\]

sau nu există rădăcini.

Exemplul nr. 2

Efectuăm aceleași acțiuni. Primul pas:

Să mutăm totul cu o variabilă la stânga și fără ea - la dreapta:

Iată câteva asemănătoare:

Evident, această ecuație liniară nu are soluție, așa că o vom scrie astfel:

\[\varnothing\],

sau nu există rădăcini.

Nuanțe ale soluției

Ambele ecuații sunt complet rezolvate. Folosind aceste două expresii ca exemplu, ne-am convins încă o dată că, chiar și în cele mai simple ecuații liniare, totul poate să nu fie atât de simplu: poate exista fie una, fie niciuna, fie infinit de multe rădăcini. În cazul nostru, am luat în considerare două ecuații, ambele pur și simplu nu au rădăcini.

Dar aș dori să vă atrag atenția asupra unui alt fapt: cum să lucrați cu parantezele și cum să le deschideți dacă există un semn minus în fața lor. Luați în considerare această expresie:

Înainte de deschidere, trebuie să înmulțiți totul cu „X”. Vă rugăm să rețineți: se înmulțește fiecare termen individual. În interior sunt doi termeni - respectiv, doi termeni și înmulțiți.

Și numai după ce aceste transformări aparent elementare, dar foarte importante și periculoase au fost finalizate, puteți deschide paranteza din punctul de vedere al faptului că există un semn minus după el. Da, da: abia acum, când transformările sunt finalizate, ne amintim că în fața parantezelor este un semn minus, ceea ce înseamnă că tot ce este dedesubt pur și simplu schimbă semnele. În același timp, parantezele în sine dispar și, cel mai important, dispare și „minus” din față.

Facem același lucru cu a doua ecuație:

Nu întâmplător sunt atent la aceste fapte mărunte, aparent nesemnificative. Pentru că rezolvarea ecuațiilor este întotdeauna o succesiune de transformări elementare, unde incapacitatea de a efectua clar și competent acțiuni simple duce la faptul că elevii de liceu vin la mine și învață din nou să rezolve astfel de ecuații simple.

Desigur, va veni și ziua în care vei perfecționa aceste abilități până la automatism. Nu va mai trebui să efectuați atât de multe transformări de fiecare dată, veți scrie totul pe o singură linie. Dar în timp ce doar înveți, trebuie să scrii fiecare acțiune separat.

Rezolvarea unor ecuații liniare și mai complexe

Ceea ce vom rezolva acum cu greu poate fi numit cea mai simplă sarcină, dar sensul rămâne același.

Sarcina nr. 1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Să înmulțim toate elementele din prima parte:

Să facem puțină confidențialitate:

Iată câteva asemănătoare:

Să parcurgem ultimul pas:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Iată răspunsul nostru final. Și, în ciuda faptului că în procesul de rezolvare am avut coeficienți cu o funcție pătratică, aceștia s-au anulat reciproc, ceea ce face ca ecuația să fie liniară și nu pătratică.

Sarcina nr. 2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Să facem cu atenție primul pas: înmulțiți fiecare element din prima paranteză cu fiecare element din al doilea. Ar trebui să existe un total de patru termeni noi după transformări:

Acum să efectuăm cu atenție înmulțirea în fiecare termen:

Să mutăm termenii cu „X” la stânga și cei fără - la dreapta:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Iată termeni similari:

Încă o dată am primit răspunsul final.

Nuanțe ale soluției

Cea mai importantă notă despre aceste două ecuații este următoarea: de îndată ce începem să înmulțim paranteze care conțin mai mult de un termen, acest lucru se face după următoarea regulă: luăm primul termen din primul și înmulțim cu fiecare element din al doilea; apoi luăm al doilea element din primul și în mod similar ne înmulțim cu fiecare element din al doilea. Ca urmare, vom avea patru mandate.

Despre suma algebrică

Cu acest ultim exemplu, aș dori să le reamintesc elevilor ce este o sumă algebrică. În matematica clasică, prin $1-7$ ne referim design simplu: scade sapte din unu. În algebră, înțelegem următoarele prin aceasta: la numărul „unu” adăugăm un alt număr, și anume „minus șapte”. Acesta este modul în care o sumă algebrică diferă de o sumă aritmetică obișnuită.

De îndată ce, atunci când efectuați toate transformările, fiecare adunare și înmulțire, începeți să vedeți construcții similare celor descrise mai sus, pur și simplu nu veți avea probleme în algebră când lucrați cu polinoame și ecuații.

În cele din urmă, să ne uităm la câteva exemple care vor fi chiar mai complexe decât cele la care tocmai ne-am uitat și pentru a le rezolva va trebui să extindem ușor algoritmul nostru standard.

Rezolvarea ecuațiilor cu fracții

Pentru a rezolva astfel de sarcini, va trebui să mai adăugăm un pas la algoritmul nostru. Dar mai întâi, permiteți-mi să vă reamintesc algoritmul nostru:

1. Deschideți parantezele.
2. Variabile separate.
3. Aduceți altele asemănătoare.
4. Împărțiți la raport.

Din păcate, acest algoritm minunat, cu toată eficacitatea sa, se dovedește a nu fi pe deplin potrivit atunci când avem fracții în fața noastră. Și în ceea ce vom vedea mai jos, avem o fracție atât în ​​stânga cât și în dreapta în ambele ecuații.

Cum se lucrează în acest caz? Da, este foarte simplu! Pentru a face acest lucru, trebuie să adăugați încă un pas la algoritm, care poate fi făcut atât înainte, cât și după prima acțiune, și anume, scăparea de fracții. Deci algoritmul va fi după cum urmează:

1. Scapă de fracții.
2. Deschideți parantezele.
3. Variabile separate.
4. Aduceți altele asemănătoare.
5. Împărțiți la raport.

Ce înseamnă „să scapi de fracții”? Și de ce se poate face acest lucru atât după, cât și înainte de primul pas standard? De fapt, în cazul nostru, toate fracțiile sunt numerice la numitorul lor, adică. Peste tot numitorul este doar un număr. Prin urmare, dacă înmulțim ambele părți ale ecuației cu acest număr, vom scăpa de fracții.

Exemplul nr. 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Să scăpăm de fracțiile din această ecuație:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Vă rugăm să rețineți: totul este înmulțit cu „patru” o dată, adică. doar pentru că ai două paranteze nu înseamnă că trebuie să le înmulți pe fiecare cu „patru”. Hai sa scriem:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Acum să extindem:

Izolam variabila:

Efectuăm reducerea termenilor similari:

\[-4x=-1\left| :\stânga(-4 \dreapta) \dreapta.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Am primit soluția finală, să trecem la a doua ecuație.

Exemplul nr. 2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Aici efectuăm toate aceleași acțiuni:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Problema este rezolvată.

Asta, de fapt, este tot ce am vrut să vă spun astăzi.

Puncte cheie

Constatările cheie sunt:

• Cunoașteți algoritmul de rezolvare a ecuațiilor liniare.
• Abilitatea de a deschide paranteze.
• Nu-ți face griji dacă vezi funcții pătratice, cel mai probabil, în procesul de transformări ulterioare vor scădea.
• Există trei tipuri de rădăcini în ecuațiile liniare, chiar și cele mai simple: o singură rădăcină, întreaga linie numerică este o rădăcină și nicio rădăcină.

Sper că această lecție vă va ajuta să stăpâniți un subiect simplu, dar foarte important pentru înțelegerea ulterioară a tuturor matematicii. Dacă ceva nu este clar, intră pe site și rezolvă exemplele prezentate acolo. Rămâneți pe fază, vă așteaptă multe alte lucruri interesante!

Utilizarea ecuațiilor este larg răspândită în viața noastră. Ele sunt folosite în multe calcule, construcție de structuri și chiar sport. Omul a folosit ecuații în antichitate, iar de atunci utilizarea lor a crescut. Ecuațiile de putere sau exponențiale sunt ecuații în care variabilele sunt în puteri și baza este un număr. De exemplu:

Soluția ecuației exponențiale se reduce destul de mult la 2 actiuni simple:

1. Trebuie să verificați dacă bazele ecuației din dreapta și din stânga sunt aceleași. Dacă motivele nu sunt aceleași, căutăm opțiuni pentru a rezolva acest exemplu.

2. După ce bazele devin aceleași, echivalăm gradele și rezolvăm noua ecuație rezultată.

Să presupunem că ni se dă o ecuație exponențială de următoarea formă:

Merită să începeți soluția acestei ecuații cu o analiză a bazei. Bazele sunt diferite - 2 și 4, dar pentru a le rezolva trebuie să fie aceleași, așa că transformăm 4 folosind următoarea formulă -\[ (a^n)^m = a^(nm):\]

Adăugăm la ecuația inițială:

Să-l scoatem din paranteze \

Să exprimăm \

Deoarece gradele sunt aceleași, le renunțăm:

Raspuns: \

Unde pot rezolva o ecuație exponențială folosind un rezolvator online?

Puteți rezolva ecuația pe site-ul nostru https://site. Rezolvatorul online gratuit vă va permite să rezolvați ecuații online de orice complexitate în câteva secunde. Tot ce trebuie să faceți este să introduceți pur și simplu datele dvs. în soluție. De asemenea, puteți viziona instrucțiuni video și puteți afla cum să rezolvați ecuația pe site-ul nostru. Și dacă mai aveți întrebări, le puteți adresa în grupul nostru VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Alăturați-vă grupului nostru, suntem întotdeauna bucuroși să vă ajutăm.

Calculatorul gratuit pe care îl aducem în atenție are un arsenal bogat de posibilități pentru calcule matematice. Vă permite să utilizați un calculator online în diverse domenii activitati: educativ, profesionalŞi comercial. Desigur, utilizarea unui calculator online este deosebit de populară printre eleviiŞi şcolari, le este mult mai ușor să efectueze o varietate de calcule.

În același timp, calculatorul poate deveni instrument utilîn unele domenii de afaceri și pentru oameni de diferite profesii. Desigur, necesitatea de a folosi un calculator în afaceri sau activitatea muncii determinată în primul rând de tipul de activitate în sine. Dacă afacerea și profesia dvs. sunt asociate cu calcule și calcule constante, atunci merită să încercați un calculator electronic și să evaluați gradul de utilitate al acestuia pentru o anumită sarcină.

Acest calculator online poate

• Efectuați corect funcțiile matematice standard scrise pe o singură linie, cum ar fi - 12*3-(7/2) și poate procesa numere mai mari decât putem număra numere uriașe într-un calculator online Nici măcar nu știm cum să numim corect un astfel de număr (. sunt 34 de caractere și aceasta nu este deloc limita).
• Cu excepţia tangentă, cosinus, sinusși alte funcții standard - calculatorul acceptă operațiuni de calcul arctangent, arccotangent si altele.
• Disponibil în Arsenal logaritmi, factorialeși alte caracteristici interesante
• Acest calculator online știe să construiască grafice!!!

Pentru a reprezenta grafice, serviciul folosește un buton special (graficul este desenat cu gri) sau o reprezentare cu litere a acestei funcție (Plot). Pentru a construi un grafic într-un calculator online, trebuie doar să scrieți funcția: plot(tan(x)),x=-360..360.

Am luat cel mai simplu grafic pentru tangentă, iar după punctul zecimal am indicat intervalul variabilei X de la -360 la 360.

Puteți construi absolut orice funcție, cu orice număr de variabile, de exemplu: plot(cos(x)/3z, x=-180..360,z=4) sau chiar mai complex cu care poți veni. Acordați atenție comportamentului variabilei X - intervalul de la și până este indicat cu două puncte.

Singurul negativ (deși este dificil să-l numim un dezavantaj) al acestui lucru calculator online asta este ca nu stie sa construiasca sfere si altele cifrele volumetrice- doar avionul.

Cum se utilizează Calculatorul de matematică

1. Afișajul (ecranul de calcul) afișează expresia introdusă și rezultatul calculului acesteia în simboluri obișnuite, așa cum scriem pe hârtie. Acest câmp este pur și simplu pentru vizualizarea tranzacției curente. Intrarea apare pe ecran pe măsură ce introduceți o expresie matematică în linia de introducere.

2. Câmpul de introducere a expresiei este destinat pentru înregistrarea expresiei care trebuie calculată. Trebuie remarcat aici că simbolurile matematice folosite în programele de calculator nu sunt întotdeauna aceleași cu cele pe care le folosim de obicei pe hârtie. În prezentarea generală a fiecărei funcții de calculator, veți găsi denumirea corectă pentru o anumită operație și exemple de calcule în calculator. Pe această pagină de mai jos este o listă cu toate operațiunile posibile din calculator, indicând și ortografia lor corectă.

3. Bara de instrumente - acestea sunt butoanele calculatorului care înlocuiesc introducerea manuală a simbolurilor matematice care indică operația corespunzătoare. Unele butoane ale calculatorului (funcții suplimentare, convertor de unități, matrice de rezolvare și ecuații, grafice) completează bara de activități cu câmpuri noi în care sunt introduse date pentru un anumit calcul. Câmpul „Istoric” conține exemple de scriere a expresiilor matematice, precum și cele mai recente șase intrări ale tale.

Vă rugăm să rețineți că atunci când apăsați butoanele pentru apelarea funcțiilor suplimentare, un convertor de unități, rezolvarea matricelor și ecuațiilor și trasarea graficelor, întregul panou al calculatorului se mișcă în sus, acoperind o parte a afișajului. Completați câmpurile obligatorii și apăsați tasta „I” (evidențiată cu roșu în imagine) pentru a vedea afișajul la dimensiune completă.

4. Tastatura numerică conține numere și simboluri aritmetice. Butonul „C” șterge întreaga intrare din câmpul de introducere a expresiei. Pentru a șterge caracterele unul câte unul, trebuie să utilizați săgeata din dreapta liniei de introducere.

Încercați să închideți întotdeauna parantezele la sfârșitul unei expresii. Pentru majoritatea operațiunilor acest lucru nu este critic; calculatorul online va calcula totul corect. Cu toate acestea, în unele cazuri pot apărea erori. De exemplu, atunci când se ridică la o putere fracțională, parantezele neînchise vor face ca numitorul fracției din exponent să intre în numitorul bazei. Paranteza de închidere este afișată cu gri pal pe afișaj și ar trebui să fie închisă când înregistrarea este completă.

Cheie	Simbol	Operațiunea
pi	pi	pi constantă
e	e	numărul lui Euler
%	%	La sută
()	()	Deschide/Închide paranteze
,	,	Virgulă
păcat	păcat(?)	Sinusul unghiului
cos	ca(?)	Cosinus
bronzat	bronzat(y)	Tangentă
sinh	sinh()	Sinus hiperbolic
cosh	cosh()	Cosinus hiperbolic
tanh	tanh()	Tangenta hiperbolica
păcatul -1	asin()	Sinus invers
cos -1	acos()	Cosinus invers
bronzat -1	atan()	tangentă inversă
sinh -1	asinh()	Sinus hiperbolic invers
cosh -1	acosh()	Cosinus hiperbolic invers
tanh -1	atanh()	tangentă hiperbolică inversă
x 2	^2	Pătrare
x 3	^3	Cub
x y	^	Exponentiație
10 x	10^()	Exponentiație la baza 10
e x	exp()	Exponentiarea numarului lui Euler
vx	sqrt(x)	Rădăcină pătrată
3 vx	sqrt3(x)	a 3-a rădăcină
yvx	sqrt(x,y)	Extracția rădăcinilor
log 2 x	log2(x)	Logaritm binar
jurnal	log(x)	Logaritm zecimal
ln	ln(x)	Logaritmul natural
log y x	log(x,y)	Logaritm
I/II		Restrânge/Apelează funcții suplimentare
Unitate		Convertor de unitate
Matrice		Matrici
Rezolva		Ecuații și sisteme de ecuații
		Grafic
Funcții suplimentare (apel cu tasta II)
mod	mod	Împărțire cu rest
!	!	Factorială
i/j	i/j	Unitate imaginară
Re	Re()	Izolarea întregii părți reale
Im	Im()	Excluzând partea reală
|x|	abs()	Modulul numeric
Arg	arg()	Argumentul funcției
nCr	ncr()	Coeficient binominal
gcd	gcd()	GCD
lcm	lcm()	NOC
sumă	sumă()	Valoarea totală a tuturor soluțiilor
fac	factorizați()	Factorizarea primelor
dif	diff()	Diferenţiere
Deg		Grade
Rad		Radiani

Ecuații

Cum se rezolvă ecuațiile?

În această secțiune vom reaminti (sau studiem, în funcție de cine alegeți) cele mai elementare ecuații. Deci care este ecuația? În limbajul uman, acesta este un fel de expresie matematică în care există un semn egal și o necunoscută. Care este de obicei notat cu litera "X". Rezolvați ecuația- aceasta este pentru a găsi astfel de valori ale lui x care, atunci când sunt substituite în original expresia ne va da identitatea corectă. Permiteți-mi să vă reamintesc că identitatea este o expresie fără îndoială chiar și pentru o persoană care nu este absolut împovărată cu cunoștințe matematice. Ca 2=2, 0=0, ab=ab etc. Deci, cum se rezolvă ecuațiile? Să ne dăm seama.

Există tot felul de ecuații (sunt surprins, nu?). Dar toată varietatea lor infinită poate fi împărțită în doar patru tipuri.

4. toți ceilalți.)

Toate restul, desigur, mai ales, da...) Aceasta include cubice, exponențiale, logaritmice, trigonometrice și tot felul de altele. Vom lucra îndeaproape cu ei în secțiunile corespunzătoare.

Voi spune imediat că uneori ecuațiile primului trei tipuri te vor înșela atât de mult încât nici nu-i vei recunoaște... Nimic. Vom învăța cum să le relaxăm.

Și de ce avem nevoie de aceste patru tipuri? Și apoi ce ecuații liniare rezolvată într-un fel pătrat alţii, raționale fracționale - a treia, O odihnă Nu îndrăznesc deloc! Ei bine, nu este că ei nu pot decide deloc, ci că m-am înșelat cu matematica.) Doar că au propriile lor tehnici și metode speciale.

Dar pentru orice (repet - pentru orice!) ecuațiile oferă o bază fiabilă și sigură pentru rezolvare. Funcționează peste tot și întotdeauna. Acest fond de ten - Sună înfricoșător, dar este foarte simplu. Și foarte (Foarte!) important.

De fapt, soluția ecuației constă chiar din aceste transformări. 99% Răspuns la întrebarea: „ Cum se rezolvă ecuațiile?" stă tocmai în aceste transformări. Este indiciu clar?)

Transformări identice ale ecuațiilor.

ÎN orice ecuații Pentru a găsi necunoscutul, trebuie să transformați și să simplificați exemplul original. Și astfel încât la schimbare aspect esența ecuației nu s-a schimbat. Astfel de transformări se numesc identic sau echivalent.

Rețineți că aceste transformări se aplică în special la ecuaţii. Există și transformări identitare în matematică expresii. Acesta este un alt subiect.

Acum vom repeta toate, toate, toate de bază transformări identice ale ecuațiilor.

De bază pentru că pot fi aplicate orice ecuații - liniare, pătratice, fracționale, trigonometrice, exponențiale, logaritmice etc. etc.

Prima transformare a identității: puteți adăuga (scădea) la ambele părți ale oricărei ecuații orice(dar unul și același!) număr sau expresie (inclusiv o expresie cu o necunoscută!). Acest lucru nu schimbă esența ecuației.

Apropo, ai folosit constant această transformare, doar ai crezut că transferi niște termeni dintr-o parte a ecuației în alta cu o schimbare de semn. Tip:

Cazul este familiar, le mutăm pe cele două spre dreapta și obținem:

De fapt tu luată din ambele părți ale ecuației este doi. Rezultatul este același:

x+2 - 2 = 3 - 2

Mutarea termenilor la stânga și la dreapta cu o schimbare de semn este pur și simplu o versiune prescurtată a primului transformarea identităţii. Și de ce avem nevoie de cunoștințe atât de profunde? – întrebi. Nimic în ecuații. Pentru numele lui Dumnezeu, suportă. Doar nu uitați să schimbați semnul. Dar în inegalități, obiceiul de a transfera poate duce la o fundătură...

A doua transformare a identităţii: ambele părți ale ecuației pot fi înmulțite (împărțite) cu același lucru diferit de zero număr sau expresie. Aici apare deja o limitare de înțeles: înmulțirea cu zero este o prostie, iar împărțirea este complet imposibilă. Aceasta este transformarea pe care o folosești când rezolvi ceva genial

Desigur, X= 2. Cum ai găsit-o? Prin selecție? Sau tocmai ți-a dat seama? Pentru a nu selecta și a nu aștepta o perspectivă, trebuie să înțelegi că ești drept împărțit ambele părți ale ecuației cu 5. La împărțirea părții stângi (5x), cele cinci au fost reduse, lăsând X pur. Care este exact ceea ce aveam nevoie. Și când împărțim partea dreaptă a lui (10) la cinci, obținem, știți, doi.

Asta este.

E amuzant, dar aceste două (doar două!) transformări identice stau la baza soluției toate ecuațiile matematicii. Wow! Este logic să privim exemple de ce și cum, nu?)

Exemple de transformări identice de ecuații. Principalele probleme.

Să începem cu primul transformarea identităţii. Transfer stânga-dreapta.

Un exemplu pentru cei mai tineri.)

Să presupunem că trebuie să rezolvăm următoarea ecuație:

3-2x=5-3x

Să ne amintim vraja: "cu X - la stânga, fără X - la dreapta!" Această vrajă este instrucțiuni pentru utilizarea primei transformări de identitate.) Ce expresie cu un X este în dreapta? 3x? Răspunsul este incorect! În dreapta noastră - 3x! Minus trei x! Prin urmare, atunci când vă deplasați spre stânga, semnul se va schimba în plus. Se va dovedi:

3-2x+3x=5

Deci, X-urile au fost adunate într-o grămadă. Să intrăm în cifre. Există un trei în stânga. Cu ce ​​semn? Răspunsul „cu niciunul” nu este acceptat!) În fața celor trei, într-adevăr, nu se desenează nimic. Și asta înseamnă că înaintea celor trei există plus. Deci matematicienii au fost de acord. Nimic nu este scris, ceea ce înseamnă plus. Prin urmare, triplul va fi transferat în partea dreaptă cu un minus. Primim:

-2x+3x=5-3

Au mai rămas doar fleacuri. În stânga - aduceți altele asemănătoare, în dreapta - numărați. Răspunsul vine imediat:

În acest exemplu, o singură transformare de identitate a fost suficientă. Al doilea nu era nevoie. Ei bine, bine.)

Un exemplu pentru copiii mai mari.)

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)

Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

În etapa de pregătire pentru testul final, elevii de liceu trebuie să-și îmbunătățească cunoștințele pe tema „Ecuații exponențiale”. Experiența anilor trecuți indică faptul că astfel de sarcini provoacă anumite dificultăți pentru școlari. Prin urmare, elevii de liceu, indiferent de nivelul lor de pregătire, trebuie să stăpânească temeinic teoria, să-și amintească formulele și să înțeleagă principiul rezolvării unor astfel de ecuații. După ce au învățat să facă față acestui tip de problemă, absolvenții pot conta pe scoruri mari la promovarea Examenului de stat unificat la matematică.

Pregătește-te pentru testarea examenului cu Shkolkovo!

La trecerea în revistă a materialelor pe care le-au abordat, mulți elevi se confruntă cu problema găsirii formulelor necesare rezolvării ecuațiilor. Manualul școlar nu este întotdeauna la îndemână și selecția informatiile necesare pe tema de pe Internet durează mult.

Portalul educațional Shkolkovo invită studenții să folosească baza noastră de cunoștințe. Implementăm complet noua metoda pregătirea pentru proba finală. Studiind pe site-ul nostru, veți putea identifica lacunele în cunoștințe și să acordați atenție acelor sarcini care provoacă cele mai multe dificultăți.

Profesorii Shkolkovo au adunat, sistematizat și prezentat tot ceea ce este necesar pentru promovarea cu succes Material pentru examenul de stat unificatîn cea mai simplă și mai accesibilă formă.

Definițiile și formulele de bază sunt prezentate în secțiunea „Teoretică”.

Pentru a înțelege mai bine materialul, vă recomandăm să exersați finalizarea sarcinilor. Examinați cu atenție exemplele de ecuații exponențiale cu soluții prezentate pe această pagină pentru a înțelege algoritmul de calcul. După aceea, continuați să efectuați sarcini în secțiunea „Directoare”. Puteți începe cu cele mai ușoare probleme sau puteți merge direct la rezolvarea ecuațiilor exponențiale complexe cu mai multe necunoscute sau . Baza de date de exerciții de pe site-ul nostru este completată și actualizată în mod constant.

Acele exemple cu indicatori care v-au cauzat dificultăți pot fi adăugate la „Favorite”. Astfel, le puteți găsi rapid și puteți discuta soluția cu profesorul.

Pentru a promova cu succes examenul de stat unificat, studiați în fiecare zi pe portalul Shkolkovo!