Cum se numeste un cub in 4 dimensiuni? Cybercube este primul pas în a patra dimensiune. Hipercubul și solidele platonice

Dacă ți s-a întâmplat un incident neobișnuit, ai văzut o creatură ciudată sau un fenomen de neînțeles, ne poți trimite povestea ta și va fi publicată pe site-ul nostru ===> .

Doctrina spațiilor multidimensionale a început să apară la mijlocul secolului al XIX-lea. Ideea spațiului cu patru dimensiuni a fost împrumutată de la oamenii de știință de scriitorii de science fiction. În lucrările lor, ei au povestit lumii despre minunile uimitoare ale celei de-a patra dimensiuni.

Eroii lucrărilor lor, folosind proprietățile spațiului cu patru dimensiuni, puteau mânca conținutul unui ou fără a deteriora coaja și să bea o băutură fără a deschide capacul sticlei. Hoții au scos comoara din seif prin dimensiunea a patra. Chirurgii au efectuat operații pe organele interne fără a tăia țesutul corporal al pacientului.

Teseract

În geometrie, un hipercub este o analogie n-dimensională a unui pătrat (n = 2) și a unui cub (n = 3). Analogul cu patru dimensiuni al cubului nostru tridimensional obișnuit este cunoscut sub numele de tesseract. Teseractul este la cub, așa cum cubul este la pătrat. Mai formal, un tesseract poate fi descris ca un poliedru cu patru dimensiuni convex obișnuit a cărui limită constă din opt celule cubice.

Fiecare pereche de fețe 3D neparalele se intersectează pentru a forma fețe 2D (pătrate) și așa mai departe. În cele din urmă, tesseractul are 8 fețe 3D, 24 fețe 2D, 32 de muchii și 16 vârfuri.
Apropo, conform dicționarului Oxford, cuvântul tesseract a fost inventat și a început să fie folosit în 1888 de Charles Howard Hinton (1853-1907) în cartea sa „ Eră nouă gânduri". Mai târziu, unii oameni au numit aceeași figură un tetracub (greacă tetra - patru) - un cub cu patru dimensiuni.

Construcție și descriere

Să încercăm să ne imaginăm cum va arăta un hipercub fără a părăsi spațiul tridimensional.
Într-un „spațiu” unidimensional - pe o linie - selectăm un segment AB de lungime L. Pe un plan bidimensional la o distanță L de AB, desenăm un segment DC paralel cu acesta și legăm capetele. Rezultatul este un CDBA pătrat. Repetând această operație cu planul, obținem un cub tridimensional CDBAGHFE. Și prin deplasarea cubului în a patra dimensiune (perpendiculară pe primele trei) cu o distanță L, obținem hipercubul CDBAGHFEKLJIOPNM.

Într-un mod similar, ne putem continua raționamentul pentru hipercuburi de un număr mai mare de dimensiuni, dar este mult mai interesant să vedem cum ne va arăta un hipercub cu patru dimensiuni pentru noi, rezidenții spațiului tridimensional.

Să luăm cubul de sârmă ABCDHEFG și să-l privim cu un ochi din partea marginii. Vom vedea și putem desena două pătrate pe plan (marginile apropiate și îndepărtate), conectate prin patru linii - margini laterale. În mod similar, un hipercub cu patru dimensiuni în spațiul tridimensional va arăta ca două „cutii” cubice introduse una în cealaltă și conectate prin opt margini. În acest caz, „cutiile” în sine - fețe tridimensionale - vor fi proiectate în spațiul „nostru”, iar liniile care le leagă se vor întinde în direcția celei de-a patra axe. De asemenea, puteți încerca să vă imaginați cubul nu în proiecție, ci într-o imagine spațială.

Așa cum un cub tridimensional este format dintr-un pătrat deplasat de lungimea feței sale, un cub mutat în a patra dimensiune va forma un hipercub. Este limitat de opt cuburi, care în viitor vor arăta ca un fel de drăguț figură complexă. Hipercubul cu patru dimensiuni în sine poate fi împărțit într-un număr infinit de cuburi, la fel cum un cub tridimensional poate fi „tăiat” într-un număr infinit de pătrate plate.

Tăiind cele șase fețe ale unui cub tridimensional, îl puteți descompune în figură plată- scanează. Va avea câte un pătrat pe fiecare parte a feței originale, plus încă unul - fața opusă acesteia. Și dezvoltarea tridimensională a unui hipercub cu patru dimensiuni va consta din cubul original, șase cuburi „crescând” din acesta, plus încă unul - „hiperfața” finală.

Hipercubul în art

Tesseract este o figură atât de interesantă încât a atras în mod repetat atenția scriitorilor și realizatorilor de film.
Robert E. Heinlein a menționat de mai multe ori hipercuburi. În The House That Teal Built (1940), el a descris o casă construită ca un teseract neîmpachetat și apoi, din cauza unui cutremur, „s-a pliat” în dimensiunea a patra pentru a deveni un „adevărat” tesseract. Romanul lui Heinlein, Drumul Gloriei, descrie o cutie de dimensiuni foarte mari, care era mai mare la interior decât la exterior.

Povestea lui Henry Kuttner „All Tenali Borogov” descrie o jucărie educativă pentru copiii din viitorul îndepărtat, similară ca structură cu un tesseract.

Intriga din Cube 2: Hypercube se concentrează pe opt străini prinși într-un „hipercub” sau o rețea de cuburi conectate.

Lumea paralelă

Abstracțiile matematice au dat naștere ideii existenței unor lumi paralele. Acestea sunt înțelese ca realități care există simultan cu ale noastre, dar independent de aceasta. O lume paralelă poate avea dimensiuni diferite: de la o zonă geografică mică la un întreg univers. Într-o lume paralelă, evenimentele au loc în felul lor, pot fi diferite de lumea noastră, ca în detalii individuale, și în aproape orice. Mai mult, legile fizice ale unei lumi paralele nu sunt neapărat similare cu legile Universului nostru.

Acest subiect este un teren fertil pentru scriitorii de science fiction.

Pictura lui Salvador Dali „Răstignirea” înfățișează un teseract. „Răstignirea sau corpul hipercubic” este un tablou al artistului spaniol Salvador Dali, pictat în 1954. Îl înfățișează pe Iisus Hristos răstignit pe o scanare a teseractelor. Pictura este păstrată la Metropolitan Museum of Art din New York

Totul a început în 1895, când H.G. Wells, cu povestea sa „The Door in the Wall”, a deschis existența unor lumi paralele cu science-fiction. În 1923, Wells a revenit la ideea de lumi paralele și a plasat într-una dintre ele o țară utopică în care merg personajele din romanul Men Like Gods.

Romanul nu a trecut neobservat. În 1926, a apărut povestea lui G. Dent „Împăratul Țării „Dacă”” În povestea lui Dent, a apărut pentru prima dată ideea că ar putea exista țări (lumi) a căror istorie ar putea merge diferit de istoria țărilor reale. în lumea noastră, iar aceste lumi nu sunt mai puțin reale decât ale noastre.

În 1944, Jorge Luis Borges a publicat povestea „Grădina căilor care se bifurcă” în cartea sa Povestiri fictive. Aici ideea timpului de ramificare a fost în sfârșit exprimată cu cea mai mare claritate.
În ciuda apariției lucrărilor enumerate mai sus, ideea multor lumi a început să se dezvolte serios în science fiction abia la sfârșitul anilor patruzeci ai secolului al XX-lea, aproximativ în același timp când a apărut o idee similară în fizică.

Unul dintre pionierii noii direcții în science-fiction a fost John Bixby, care a sugerat în povestea „One Way Street” (1954) că între lumi te poți mișca doar într-o singură direcție - odată ce treci din lumea ta într-una paralelă, nu te vei întoarce înapoi, dar vei trece dintr-o lume în alta. Cu toate acestea, întoarcerea la propria lume nu este exclusă - pentru aceasta este necesar ca sistemul de lumi să fie închis.

Romanul lui Clifford Simak Un inel în jurul soarelui (1982) descrie numeroase planete Pământ, fiecare existând în propria sa lume, dar pe aceeași orbită, iar aceste lumi și aceste planete diferă unele de altele doar printr-o ușoară schimbare (microsecundă) în timp. Numeroasele Pământuri pe care le vizitează eroul romanului formează un singur sistem de lumi.

Alfred Bester a exprimat o viziune interesantă asupra ramificării lumilor în povestea sa „The Man Who Killed Mohammed” (1958). „Schimbând trecutul”, a argumentat eroul poveștii, „îl schimbi doar pentru tine”. Cu alte cuvinte, după o schimbare în trecut, se naște o ramură a istoriei în care doar pentru personajul care a făcut schimbarea există această schimbare.

Povestea fraților Strugatsky „Luni începe sâmbătă” (1962) descrie călătoriile personajelor către opțiuni diferite descrise de scriitorii de science fiction ai viitorului - spre deosebire de călătoria în lume care exista deja în science fiction diverse opțiuni trecut.

Cu toate acestea, chiar și o simplă enumerare a tuturor lucrărilor care ating tema lumilor paralele ar dura prea mult timp. Și, deși scriitorii de science fiction, de regulă, nu fundamentează științific postulatul multidimensionalității, au dreptate cu privire la un lucru - aceasta este o ipoteză care are dreptul de a exista.
A patra dimensiune a teseractului încă așteaptă să o vizităm.

Victor Savinov

Hipercubul și solidele platonice

Modelați un icosaedru trunchiat (“ minge de fotbal»)
în care fiecare pentagon este delimitat de hexagoane

Icosaedru trunchiat poate fi obținut prin tăierea a 12 vârfuri pentru a forma fețe sub formă de pentagoane regulate. În acest caz, numărul de vârfuri ale noului poliedru crește de 5 ori (12×5=60), 20 de fețe triunghiulare se transformă în hexagoane regulate (în total fețele devin 20+12=32), A numărul muchiilor crește la 30+12×5=90.

Etape pentru construirea unui icosaedru trunchiat în sistemul Vector

Figuri în spațiu 4-dimensional.

--à

--à ?

De exemplu, având în vedere un cub și un hipercub. Un hipercub are 24 de fețe. Aceasta înseamnă că un octaedru cu 4 dimensiuni va avea 24 de vârfuri. Deși nu, un hipercub are 8 fețe de cuburi - fiecare are un centru la vârf. Aceasta înseamnă că un octaedru cu 4 dimensiuni va avea 8 vârfuri, ceea ce este și mai ușor.

octaedru cu 4 dimensiuni. Este format din opt tetraedre echilaterale și egale,
legate prin patru la fiecare vârf.

Orez. O încercare de a simula
hipersferă-hipersferă în sistemul Vector

Fețe față - spate - bile fără distorsiuni. Alte șase bile pot fi definite prin elipsoide sau suprafețe pătratice (prin 4 linii de contur ca generatoare) sau prin fețe (definite mai întâi prin generatoare).

Mai multe tehnici pentru a „construi” o hipersferă
- aceeași „minge de fotbal” în spațiul 4-dimensional

Anexa 2

Pentru poliedre convexe, există o proprietate care leagă numărul vârfurilor, muchiilor și fețelor sale, demonstrată în 1752 de Leonhard Euler și numită teorema lui Euler.

Înainte de a-l formula, luați în considerare poliedrele cunoscute nouă și completați următorul tabel, în care B este numărul de vârfuri, P - muchii și G - fețe ale unui poliedru dat:

Nume poliedru
Piramida triunghiulara
Piramida patruunghiulara
Prismă triunghiulară
Prismă patruunghiulară
n-piramida cărbunelui	n+1	2n	n+1
n-prismă de carbon	2n	3n	n+2
n-cărbune trunchiat piramidă	2n	3n	n+2

Din acest tabel este imediat clar că pentru toate poliedrele selectate este valabilă egalitatea B - P + G = 2. Se dovedește că această egalitate este valabilă nu numai pentru aceste poliedre, ci și pentru un poliedru convex arbitrar.

teorema lui Euler. Pentru orice poliedru convex, egalitatea este valabilă

B - P + G = 2,

unde B este numărul de vârfuri, P este numărul de muchii și G este numărul de fețe ale unui poliedru dat.

Dovada. Pentru a demonstra această egalitate, imaginați-vă suprafața acestui poliedru realizat dintr-un material elastic. Să scoatem (decupăm) una dintre fețele acesteia și să întindem suprafața rămasă pe un plan. Obținem un poligon (format din muchiile feței îndepărtate a poliedrului), împărțit în poligoane mai mici (formate din fețele rămase ale poliedrului).

Rețineți că poligoanele pot fi deformate, mărite, reduse sau chiar curbate laturile lor, atâta timp cât nu există goluri în laturi. Numărul de vârfuri, muchii și fețe nu se va modifica.

Să demonstrăm că împărțirea rezultată a poligonului în poligoane mai mici satisface egalitatea

(*)B - P + G " = 1,

unde B este numărul total de vârfuri, P este numărul total de muchii și Г " este numărul de poligoane incluse în partiție. Este clar că Г " = Г - 1, unde Г este numărul de fețe ale unei date date. poliedru.

Să demonstrăm că egalitatea (*) nu se schimbă dacă o diagonală este trasată într-un poligon al unei partiții date (Fig. 5, a). Într-adevăr, după desenarea unei astfel de diagonale, noua partiție va avea B vârfuri, P+1 muchii și numărul de poligoane va crește cu unul. Prin urmare, avem

B - (P + 1) + (G "+1) = B – P + G " .

Folosind această proprietate, desenăm diagonale care împart poligoanele de intrare în triunghiuri, iar pentru partiția rezultată arătăm fezabilitatea egalității (*) (Fig. 5, b). Pentru a face acest lucru, vom elimina secvenţial marginile exterioare, reducând numărul de triunghiuri. În acest caz, sunt posibile două cazuri:

a) a elimina un triunghi ABC este necesar să se scoată două coaste, în cazul nostru ABŞi B.C.;

b) a elimina un triunghiMKNeste necesar să scoatem o margine, în cazul nostruMN.

În ambele cazuri, egalitatea (*) nu se va modifica. De exemplu, în primul caz, după îndepărtarea triunghiului, graficul va fi format din B - 1 vârfuri, P - 2 muchii și G " - 1 poligon:

(B - 1) - (P + 2) + (G " – 1) = B – P + G ".

Luați în considerare al doilea caz.

Astfel, eliminarea unui triunghi nu schimbă egalitatea (*). Continuând acest proces de eliminare a triunghiurilor, vom ajunge în cele din urmă la o partiție formată dintr-un singur triunghi. Pentru o astfel de partiție, B = 3, P = 3, Г " = 1 și, prin urmare, B – Р + Г " = 1. Aceasta înseamnă că egalitatea (*) este valabilă și pentru partiția originală, din care în final obținem că pentru această partiție a egalității poligonului (*) este adevărată. Astfel, pentru poliedrul convex original, egalitatea B - P + G = 2 este adevărată.

Un exemplu de poliedru pentru care relația lui Euler nu este valabilă, prezentat în Figura 6. Acest poliedru are 16 vârfuri, 32 de muchii și 16 fețe. Astfel, pentru acest poliedru este valabilă egalitatea B – P + G = 0.

Anexa 3.

Film Cube 2: Hypercube este un film science fiction, o continuare a filmului Cube.

Opt străini se trezesc în camere în formă de cub. Camerele sunt situate în interiorul unui hipercub cu patru dimensiuni. Camerele se mișcă în mod constant prin „teleportare cuantică”, iar dacă urci în camera următoare, este puțin probabil să te întorci la cea anterioară. Lumile paralele se intersectează în hipercub, timpul curge diferit în unele camere, iar unele camere sunt capcane mortale.

Intriga filmului repetă în mare măsură povestea primei părți, care se reflectă și în imaginile unora dintre personaje. Laureatul Nobel Rosenzweig, care a calculat ora exacta distrugerea hipercubului.

Critică

Dacă în prima parte oamenii închiși într-un labirint au încercat să se ajute unii pe alții, în acest film este fiecare bărbat pentru el însuși. Există o mulțime de efecte speciale inutile (aka capcane) care nu leagă în mod logic această parte a filmului cu cea anterioară. Adică, se dovedește că filmul Cube 2 este un fel de labirint al viitorului 2020-2030, dar nu 2000. În prima parte, toate tipurile de capcane pot fi, teoretic, create de o persoană. În a doua parte, aceste capcane sunt un fel de program de calculator, așa-numitul „Realitate Virtuală”.

Dacă ești fan al filmelor Avengers, primul lucru care ți-ar putea veni în minte când auzi cuvântul „Tesseract” este vasul transparent în formă de cub al Pietrei Infinitului, care conține putere nelimitată.

Pentru fanii Universului Marvel, Tesseract este un cub albastru strălucitor care îi înnebunește pe oameni nu numai de pe Pământ, ci și de pe alte planete. De aceea, toți Răzbunătorii s-au unit pentru a-i proteja pe pământeni de puterile extrem de distructive ale Teseractului.

Cu toate acestea, acest lucru trebuie spus: Tesseract este un concept geometric real, sau mai precis, o formă care există în 4D. Nu este doar un cub albastru de la Avengers... este un concept real.

Teseractul este un obiect în 4 dimensiuni. Dar înainte de a o explica în detaliu, să începem de la început.

Ce este „măsurarea”?

Fiecare persoană a auzit termenii 2D și 3D, reprezentând obiecte bidimensionale sau tridimensionale din spațiu. Dar care sunt aceste măsurători?

Dimensiunea este pur și simplu o direcție în care poți merge. De exemplu, dacă desenați o linie pe o bucată de hârtie, puteți merge fie la stânga/dreapta (axa x), fie în sus/jos (axa y). Deci spunem că hârtia este bidimensională pentru că poți merge doar în două direcții.

Există un sentiment de profunzime în 3D.

Acum, în lumea reală Pe lângă cele două direcții menționate mai sus (stânga/dreapta și sus/jos), puteți merge și „la/de la”. În consecință, spațiului 3D este adăugat un sentiment de profunzime. Prin urmare spunem că viata reala 3-dimensională.

Un punct poate reprezenta 0 dimensiuni (deoarece nu se mișcă în nicio direcție), o linie reprezintă 1 dimensiune (lungime), un pătrat reprezintă 2 dimensiuni (lungime și lățime), iar un cub reprezintă 3 dimensiuni (lungime, lățime și înălțime). ).

Luați un cub 3D și înlocuiți fiecare dintre fețele sale (care sunt în prezent pătrate) cu un cub. Și așa! Forma pe care o obțineți este teseract.

Ce este un tesseract?

Mai simplu spus, un tesseract este un cub în spațiu cu 4 dimensiuni. De asemenea, puteți spune că este un analog 4D al unui cub. Aceasta este o formă 4D în care fiecare față este un cub.

O proiecție 3D a unui tesseract care efectuează o rotație dublă în jurul a două plane ortogonale.
Imagine: Jason Hise

Iată o modalitate simplă de a conceptualiza dimensiunile: un pătrat este bidimensional; prin urmare, fiecare dintre colțurile sale are 2 linii care se extind de la el la un unghi de 90 de grade unul față de celălalt. Cubul este 3D, astfel încât fiecare dintre colțurile sale are 3 linii care provin din el. La fel, tesseractul este o formă 4D, astfel încât fiecare colț are 4 linii care se extind din el.

De ce este dificil să-ți imaginezi un tesseract?

Deoarece noi, ca oameni, am evoluat pentru a vizualiza obiectele în trei dimensiuni, orice intră în dimensiuni suplimentare, cum ar fi 4D, 5D, 6D etc., nu are prea mult sens pentru noi, deoarece nu le putem introduce deloc. Creierul nostru nu poate înțelege a 4-a dimensiune în spațiu. Pur și simplu nu ne putem gândi la asta.

Cu toate acestea, doar pentru că nu putem vizualiza conceptul de spații multidimensionale nu înseamnă că nu poate exista.

Matematic, teseractul este o formă perfect precisă. La fel, toate formele sunt mai multe dimensiuni mari, adică 5D și 6D, sunt de asemenea plauzibile din punct de vedere matematic.

Așa cum un cub poate fi extins în 6 pătrate în spațiul 2D, un tesseract poate fi extins în 8 cuburi în spațiul 3D.

Surprinzător și de neînțeles, nu-i așa?

Deci tesseractul este un „concept real” care este absolut plauzibil din punct de vedere matematic, nu doar cubul albastru strălucitor pentru care se luptă în filmele Avengers.

Evoluția creierului uman a avut loc în spațiul tridimensional. Prin urmare, ne este greu să ne imaginăm spații cu dimensiuni mai mari de trei. De fapt, creierul uman nu poate imagina obiecte geometrice cu dimensiuni mai mari de trei. Și, în același timp, ne putem imagina cu ușurință obiecte geometrice cu dimensiuni nu doar trei, ci și cu dimensiuni două și unu.

Diferența și analogia dintre spațiile unidimensionale și bidimensionale, precum și diferența și analogia dintre spațiile bidimensionale și tridimensionale ne permit să deschidem ușor ecranul misterului care ne îngrădește de spațiile de dimensiuni superioare. Pentru a înțelege cum este utilizată această analogie, luați în considerare un obiect cu patru dimensiuni foarte simplu - un hipercub, adică un cub cu patru dimensiuni. Pentru a fi specific, să presupunem că vrem să rezolvăm o problemă specifică, și anume, numărăm numărul de fețe pătrate ale unui cub cu patru dimensiuni. Toate considerațiile ulterioare vor fi foarte laxe, fără nicio dovadă, pur prin analogie.

Pentru a înțelege cum este construit un hipercub dintr-un cub obișnuit, trebuie mai întâi să vă uitați la modul în care este construit un cub obișnuit dintr-un pătrat obișnuit. De dragul originalității în prezentarea acestui material, vom numi aici un pătrat obișnuit un SubCube (și nu îl vom confunda cu un succubus).

Pentru a construi un cub dintr-un subcub, trebuie să extindeți subcubul într-o direcție perpendiculară pe planul subcubului în direcția celei de-a treia dimensiuni. În acest caz, din fiecare parte a subcubului inițial va crește un subcub, care este fața laterală bidimensională a cubului, care va limita volumul tridimensional al cubului pe patru laturi, două perpendiculare pe fiecare direcție în planul subcubului. Și de-a lungul noii axe a treia există și două subcuburi care limitează volumul tridimensional al cubului. Aceasta este fața bidimensională în care a fost localizat inițial subcubul nostru și acea față bidimensională a cubului unde a venit subcubul la sfârșitul construcției cubului.

Ceea ce tocmai ai citit este prezentat excesiv de detaliat și cu multe precizări. Și din motive întemeiate. Acum vom face acest truc, vom înlocui unele cuvinte din textul anterior în mod formal în acest fel:
cub -> hipercub
subcub -> cub
avion -> volum
a treia -> a patra
bidimensional -> tridimensional
patru -> șase
tridimensional -> patrudimensional
doi -> trei
avion -> spatiu

Drept urmare, obținem următorul text semnificativ, care nu mai pare prea detaliat.

Pentru a construi un hipercub dintr-un cub, trebuie să extindeți cubul într-o direcție perpendiculară pe volumul cubului în direcția celei de-a patra dimensiuni. În acest caz, un cub va crește de fiecare parte a cubului original, care este fața laterală tridimensională a hipercubului, care va limita volumul bidimensional al hipercubului pe șase laturi, trei perpendiculare pe fiecare direcție în spațiul cubului. Și de-a lungul noii a patra axe există și două cuburi care limitează volumul patrudimensional al hipercubului. Aceasta este fața tridimensională în care a fost localizat inițial cubul nostru și fața tridimensională a hipercubului unde a venit cubul la sfârșitul construcției hipercubului.

De ce avem atâta încredere pe care am primit-o descriere corecta construirea unui hipercub? Da, pentru că prin exact aceeași înlocuire formală a cuvintelor obținem o descriere a construcției unui cub dintr-o descriere a construcției unui pătrat. (Verificați-l singur.)

Acum este clar că dacă un alt cub tridimensional ar trebui să crească de fiecare parte a cubului, atunci o față ar trebui să crească de la fiecare margine a cubului inițial. În total, cubul are 12 muchii, ceea ce înseamnă că vor apărea încă 12 fețe noi (subcuburi) pe acele 6 cuburi care limitează volumul cu patru dimensiuni de-a lungul celor trei axe ale spațiului tridimensional. Și au mai rămas două cuburi care limitează acest volum cu patru dimensiuni de jos și de sus de-a lungul celei de-a patra axe. Fiecare dintre aceste cuburi are 6 fețe.

În total, constatăm că hipercubul are 12+6+6=24 fețe pătrate.

Următoarea imagine arată structura logică a unui hipercub. Aceasta este ca o proiecție a unui hipercub în spațiul tridimensional. Aceasta produce un cadru tridimensional de coaste. În figură, desigur, vedeți proiecția acestui cadru pe un plan.

Pe acest cadru, cubul interior este ca cubul inițial de la care a început construcția și care limitează volumul bidimensional al hipercubului de-a lungul celei de-a patra axe de jos. Întindem acest cub inițial în sus de-a lungul celei de-a patra axe de măsurare și merge în cubul exterior. Deci, cuburile exterioare și interioare din această cifră limitează hipercubul de-a lungul celei de-a patra axe de măsurare.

Iar între aceste două cuburi mai puteți vedea încă 6 cuburi noi, care ating fețele comune cu primele două. Aceste șase cuburi ne leagă hipercubul de-a lungul celor trei axe ale spațiului tridimensional. După cum puteți vedea, ele nu sunt doar în contact cu primele două cuburi, care sunt cuburile interioare și exterioare de pe acest cadru tridimensional, dar sunt și în contact unul cu celălalt.

Puteți număra direct în figură și vă asigurați că hipercubul are într-adevăr 24 de fețe. Dar această întrebare apare. Acest cadru hipercub în spațiul tridimensional este umplut cu opt cuburi tridimensionale fără nici un gol. Pentru a face un hipercub adevărat din această proiecție tridimensională a unui hipercub, trebuie să întoarceți acest cadru pe dos, astfel încât toate cele 8 cuburi să legă un volum cu 4 dimensiuni.

Se face așa. Invităm un rezident al spațiului cu patru dimensiuni să ne viziteze și să-l cerem să ne ajute. Ea apucă cubul interior al acestui cadru și îl mișcă în direcția celei de-a patra dimensiuni, care este perpendiculară pe spațiul nostru tridimensional. În spațiul nostru tridimensional, îl percepem ca și cum întregul cadru intern ar fi dispărut și ar fi rămas doar cadrul cubului exterior.

Mai departe, asistentul nostru cu patru dimensiuni oferă asistență în maternități pentru naștere nedureroasă, dar femeile noastre însărcinate sunt speriate de perspectiva că copilul va dispărea pur și simplu din stomac și va ajunge în spațiu paralel tridimensional. Prin urmare, persoana cu patru dimensiuni este refuzată politicos.

Și suntem nedumeriți de întrebarea dacă unele dintre cuburile noastre s-au destrămat atunci când am întors cadrul hipercubului pe dos. La urma urmei, dacă unele cuburi tridimensionale care înconjoară un hipercub își ating vecinii de pe cadru cu fețele lor, se vor atinge și ei cu aceleași fețe dacă cubul cu patru dimensiuni întoarce cadrul pe dos?

Să ne întoarcem din nou la analogia cu spațiile de dimensiuni inferioare. Comparați imaginea cadrului hipercubului cu proiecția unui cub tridimensional pe un plan prezentat în imaginea următoare.

Locuitorii spațiului bidimensional au construit un cadru pe un plan pentru proiectarea unui cub pe un plan și ne-au invitat pe noi, rezidenții tridimensionali, să întoarcem acest cadru pe dos. Luăm cele patru vârfuri ale pătratului interior și le mutăm perpendicular pe plan. Locuitorii bidimensionali văd dispariția completă a tuturor cadru intern, și au doar rama pătratului exterior. Cu o astfel de operație, toate pătratele care au fost în contact cu marginile lor continuă să se atingă cu aceleași margini.

Prin urmare, sperăm că nici schema logică a hipercubului nu va fi încălcată la întoarcerea cadrului hipercubului pe dos, iar numărul de fețe pătrate ale hipercubului nu va crește și va fi în continuare egal cu 24. Acest lucru, desigur , nu este deloc o dovadă, ci pur și simplu o presupunere prin analogie.

După tot ce ai citit aici, poți să desenezi cu ușurință cadrul logic al unui cub cu cinci dimensiuni și să calculezi numărul de vârfuri, muchii, fețe, cuburi și hipercuburi pe care le are. Nu este deloc greu.

Tesseract (din greaca veche τέσσερες ἀκτῖνες - patru raze) este un hipercub cu patru dimensiuni - un analog al unui cub în spațiul cu patru dimensiuni.

Imaginea este o proiecție (perspectivă) a unui cub cu patru dimensiuni pe spațiul tridimensional.

Conform Dicționarului Oxford, cuvântul „tesseract” a fost inventat și folosit în 1888 de Charles Howard Hinton (1853–1907) în cartea sa A New Age of Thought. Mai târziu, unii oameni au numit aceeași figură „tetracub”.

Geometrie

Un teseract obișnuit în spațiul euclidian cu patru dimensiuni este definit ca un înveliș convex de puncte (±1, ±1, ±1, ±1). Cu alte cuvinte, poate fi reprezentat ca următorul set:

Teseractul este limitat de opt hiperplane, a căror intersecție cu teseractul însuși își definește fețele tridimensionale (care sunt cuburi obișnuite). Fiecare pereche de fețe 3D neparalele se intersectează pentru a forma fețe 2D (pătrate) și așa mai departe. În cele din urmă, tesseractul are 8 fețe 3D, 24 fețe 2D, 32 de muchii și 16 vârfuri.

Descriere populară

Să încercăm să ne imaginăm cum va arăta un hipercub fără a părăsi spațiul tridimensional.

Într-un „spațiu” unidimensional - pe o linie - selectăm un segment AB de lungime L. Pe un plan bidimensional la o distanță L de AB, desenăm un segment DC paralel cu acesta și legăm capetele. Rezultatul este un pătrat ABCD. Repetând această operație cu planul, obținem un cub tridimensional ABCDHEFG. Și prin deplasarea cubului în a patra dimensiune (perpendiculară pe primele trei) cu o distanță L, obținem hipercubul ABCDEFGHIJKLMNOP.
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/1/13/Construction_tesseract.PNG

Segmentul unidimensional AB servește ca latură a pătratului bidimensional ABCD, pătratul - ca latură a cubului ABCDHEFG, care, la rândul său, va fi latura hipercubului cu patru dimensiuni. Un segment de linie dreaptă are două puncte de limită, un pătrat are patru vârfuri, iar un cub are opt. Într-un hipercub cu patru dimensiuni, vor exista astfel 16 vârfuri: 8 vârfuri ale cubului original și 8 ale celui deplasat în a patra dimensiune. Are 32 de muchii - câte 12 oferă pozițiile inițiale și finale ale cubului original, iar alte 8 muchii „desenează” cele opt vârfuri ale sale, care s-au mutat în a patra dimensiune. Același raționament se poate face și pentru fețele unui hipercub. ÎN spatiu bidimensional există doar unul (pătratul în sine), cubul are 6 dintre ele (două fețe din pătratul mutat și încă patru care descriu laturile acestuia). Un hipercub cu patru dimensiuni are 24 de fețe pătrate - 12 pătrate ale cubului original în două poziții și 12 pătrate din cele douăsprezece muchii ale sale.

Desfacerea teseractului

Să luăm cubul de sârmă ABCDHEFG și să-l privim cu un ochi din partea marginii. Vom vedea și putem desena două pătrate pe plan (marginile apropiate și îndepărtate), conectate prin patru linii - margini laterale. În mod similar, un hipercub cu patru dimensiuni în spațiul tridimensional va arăta ca două „cutii” cubice introduse una în cealaltă și conectate prin opt margini. În acest caz, „cutiile” în sine - fețe tridimensionale - vor fi proiectate în spațiul „nostru”, iar liniile care le leagă se vor întinde în a patra dimensiune. De asemenea, puteți încerca să vă imaginați cubul nu în proiecție, ci într-o imagine spațială.

Așa cum un cub tridimensional este format dintr-un pătrat deplasat de lungimea feței sale, un cub mutat în a patra dimensiune va forma un hipercub. Este limitat de opt cuburi, care în perspectivă vor arăta ca o figură destul de complexă. Partea care a rămas în spațiul „nostru” este desenată cu linii continue, iar partea care a intrat în hiperspațiu este desenată cu linii punctate. Hipercubul cu patru dimensiuni în sine constă dintr-un număr infinit de cuburi, la fel cum un cub tridimensional poate fi „tăiat” într-un număr infinit de pătrate plate.

Tăiind cele șase fețe ale unui cub tridimensional, îl puteți descompune într-o figură plată - o dezvoltare. Va avea câte un pătrat pe fiecare parte a feței originale, plus încă unul - fața opusă acesteia. Și dezvoltarea tridimensională a unui hipercub cu patru dimensiuni va consta din cubul original, șase cuburi „crescând” din acesta, plus încă unul - „hiperfața” finală.

Proprietățile teseractului sunt o extensie a proprietăților forme geometrice dimensiune mai mică în spațiu cu patru dimensiuni.

Proiecții

Spre spațiul bidimensional

Această structură este greu de imaginat, dar este posibil să se proiecteze un tesseract în spații bidimensionale sau tridimensionale. În plus, proiectarea pe un plan facilitează înțelegerea locației vârfurilor hipercubului. În acest fel, este posibil să se obțină imagini care nu mai reflectă relațiile spațiale din interiorul teseractului, dar care ilustrează structura conexiunii vârfurilor, ca în următoarele exemple:

Spre spațiul tridimensional

Proiecția unui tesseract pe spațiul tridimensional reprezintă două cuburi tridimensionale imbricate, ale căror vârfuri corespunzătoare sunt conectate prin segmente. Cuburile interioare și exterioare au dimensiuni diferiteîn spațiul tridimensional, dar în spațiul patrudimensional sunt cuburi egale. Pentru a înțelege egalitatea tuturor cuburilor teseract, a fost creat un model de teseract rotativ.

Cele șase piramide trunchiate de-a lungul marginilor teseractului sunt imagini de șase cuburi egale.
Pereche stereo

O pereche stereo a unui tesseract este reprezentată ca două proiecții în spațiul tridimensional. Această imagine a teseractului a fost concepută pentru a reprezenta adâncimea ca o a patra dimensiune. Perechea stereo este vizualizată astfel încât fiecare ochi să vadă doar una dintre aceste imagini, apare o imagine stereoscopică care reproduce adâncimea teseractului.

Desfacerea teseractului

Suprafața unui tesseract poate fi desfășurată în opt cuburi (similar cu modul în care suprafața unui cub poate fi desfășurată în șase pătrate). Există 261 de modele diferite de tesseract. Desfăşurarea unui teseract poate fi calculată prin trasarea unghiurilor conectate pe un grafic.

Teseract în art

În „New Abbott Plain” al Edwinei A., hipercubul acționează ca un narator.
Într-un episod din Aventurile lui Jimmy Neutron: „Boy Genius”, Jimmy inventează un hipercub cu patru dimensiuni identic cu cutia pliabilă din romanul lui Heinlein din 1963, Glory Road.
Robert E. Heinlein a menționat hipercuburi în cel puțin trei povești științifico-fantastice. În Casa celor patru dimensiuni (The House That Teal Built) (1940), el a descris o casă construită ca un tesseract neîmpachetat.
Romanul lui Heinlein „Drumul Gloriei” descrie feluri de mâncare de dimensiuni superioare, care erau mai mari la interior decât la exterior.
Povestea lui Henry Kuttner „Mimsy Were the Borogoves” descrie o jucărie educativă pentru copiii din viitorul îndepărtat, similară ca structură cu un tesseract.
În romanul lui Alex Garland (1999), termenul „tesseract” este folosit pentru desfășurarea tridimensională a unui hipercub cu patru dimensiuni, mai degrabă decât hipercubul în sine. Aceasta este o metaforă menită să arate că sistemul cognitiv trebuie să fie mai larg decât cel cognoscibil.
Intriga din Cube 2: Hypercube se concentrează pe opt străini prinși într-un „hipercub” sau o rețea de cuburi conectate.
Serialul de televiziune Andromeda folosește generatoare de teseract ca dispozitiv de complot. Ele sunt concepute în primul rând pentru a manipula spațiul și timpul.
Pictura „Răstignirea” (Corpus Hypercubus) de Salvador Dali (1954)
Cartea de benzi desenate Nextwave descrie un vehicul care include 5 zone tesseract.
În albumul Voivod Nothingface una dintre compoziții se numește „În hipercubul meu”.
În romanul lui Anthony Pearce Route Cube, una dintre lunile în orbită ale Asociației Internaționale de Dezvoltare este numită tesseract care a fost comprimat în 3 dimensiuni.
În seria „Școală” gaura neagra„” în al treilea sezon există un episod „Tesseract”. Lucas apasă un buton secret și școala începe să prindă contur ca un teseract matematic.
Termenul „tesseract” și termenul său derivat „tesserat” se găsesc în povestea „A Wrinkle in Time” de Madeleine L’Engle.