Acesta este un concept care generalizează toate operațiile posibile efectuate cu matrice. Matricea matematică - tabelul elementelor. Despre o masă unde m linii şi n coloane, se spune că această matrice are dimensiunea m pe n.
Vedere generală a matricei:
Pentru solutii matriceale este necesar să înțelegeți ce este o matrice și să cunoașteți parametrii ei principali. Elementele principale ale matricei:
- Diagonala principală, constând din elemente un 11, un 22…..a mn.
- Diagonala laterală formată din elemente a 1n , a 2n-1 .....a m1.
Principalele tipuri de matrice:
- Pătratul este o matrice în care numărul de rânduri = numărul de coloane ( m=n).
- Zero - unde toate elementele matricei = 0.
- Matrice transpusă - matrice ÎN, care a fost obținut din matricea originală O prin înlocuirea rândurilor cu coloane.
- Unitate - toate elementele diagonalei principale = 1, toate celelalte = 0.
- O matrice inversă este o matrice care, atunci când este înmulțită cu matricea originală, are ca rezultat o matrice de identitate.
Matricea poate fi simetrică în raport cu diagonalele principale și secundare. Adică dacă a 12 = a 21, a 13 =a 31,….a 23 =a 32…. a m-1n =a mn-1, atunci matricea este simetrică față de diagonala principală. Doar matricele pătrate pot fi simetrice.
Metode de rezolvare a matricilor.
Aproape totul metode de rezolvare a matricei consta in gasirea determinantului acestuia n-a ordine și majoritatea sunt destul de greoaie. Pentru a găsi determinantul ordinului 2 și 3 există alte metode, mai raționale.
Găsirea determinanților de ordinul 2.
Pentru a calcula determinantul unei matrice O Ordinul 2, este necesar să se scadă produsul elementelor diagonalei secundare din produsul elementelor diagonalei principale:
Metode de găsire a determinanților de ordinul 3.
Mai jos sunt regulile pentru găsirea determinantului de ordinul 3.
Regula simplificată a triunghiului ca una dintre metode de rezolvare a matricei, poate fi descris astfel:
Cu alte cuvinte, produsul elementelor din primul determinant care sunt legate prin linii drepte este luat cu semnul „+”; De asemenea, pentru al 2-lea determinant, produsele corespunzătoare sunt luate cu semnul „-”, adică conform următoarei scheme:
La rezolvarea matricilor folosind regula lui Sarrus, în dreapta determinantului, se adună primele 2 coloane și produsele elementelor corespunzătoare de pe diagonala principală și pe diagonalele care sunt paralele cu acesta se iau cu semnul „+”; și produsele elementelor corespunzătoare ale diagonalei secundare și diagonalele care sunt paralele cu aceasta, cu semnul „-”:
Descompunerea determinantului în rânduri sau coloane la rezolvarea matricilor.
Determinantul este egal cu suma produselor elementelor rândului determinantului și a complementelor lor algebrice. De obicei este selectat rândul/coloana care conține zerouri. Rândul sau coloana de-a lungul căreia se efectuează descompunerea va fi indicată printr-o săgeată.
Reducerea determinantului la formă triunghiulară la rezolvarea matricilor.
La rezolvarea matricilor metoda de reducere a determinantului la o formă triunghiulară, funcționează astfel: folosind cele mai simple transformări pe rânduri sau coloane, determinantul devine triunghiular și apoi valoarea sa, în conformitate cu proprietățile determinantului, va fi egală cu produsul a elementelor care se află pe diagonala principală.
Teorema lui Laplace pentru rezolvarea matricilor.
Când rezolvați matrice folosind teorema lui Laplace, trebuie să cunoașteți teorema în sine. Teorema lui Laplace: Fie Δ - acesta este un factor determinant n-a comanda. Selectăm oricare k rânduri (sau coloane), furnizate k≤ n - 1. În acest caz, suma produselor tuturor minorilor k-a ordine conținută în selectat k rândurile (coloanele), prin complementele lor algebrice vor fi egale cu determinantul.
Rezolvarea matricei inverse.
Secvența de acțiuni pentru solutii matrice inversă :
- Determinați dacă o matrice dată este pătrată. Dacă răspunsul este negativ, devine clar că nu poate exista o matrice inversă pentru acesta.
- Calculăm complemente algebrice.
- Compunem o matrice de unire (mutuală, adjunctă). C.
- Compunem matricea inversă din adunări algebrice: toate elementele matricei adiacente Cîmpărțiți la determinantul matricei inițiale. Matricea finală va fi matricea inversă necesară față de cea dată.
- Verificăm munca făcută: înmulțiți matricea inițială și matricea rezultată, rezultatul ar trebui să fie o matrice de identitate.
Rezolvarea sistemelor matriceale.
Pentru solutii ale sistemelor matriceale Cel mai des este folosită metoda Gaussiană.
Metoda Gauss este o metodă standard de rezolvare a sistemelor de ecuații algebrice liniare (SLAE) și constă în faptul că variabilele sunt eliminate succesiv, adică, cu ajutorul modificărilor elementare, sistemul de ecuații este adus la un sistem echivalent de triunghiuri. forma si din ea, secvential, pornind de la aceasta din urma (dupa numar), gasiti fiecare element al sistemului.
metoda Gauss este cel mai versatil și cel mai bun instrument pentru a găsi soluția matricelor. Dacă un sistem are un număr infinit de soluții sau sistemul este incompatibil, atunci nu poate fi rezolvat folosind regula lui Cramer și metoda matricei.
Metoda Gauss presupune, de asemenea, mișcări directe (reducerea matricei extinse la o formă în trepte, adică obținerea de zerouri sub diagonala principală) și inversă (obținerea de zerouri deasupra diagonalei principale a matricei extinse). Mișcarea înainte este metoda Gauss, mișcarea inversă este metoda Gauss-Jordan. Metoda Gauss-Iordan diferă de metoda Gauss doar în succesiunea eliminării variabilelor.
Metoda matricei Solutii SLAU aplicat la rezolvarea sistemelor de ecuaţii în care numărul de ecuaţii corespunde numărului de necunoscute. Metoda este cel mai bine utilizată pentru rezolvarea sistemelor de ordin scăzut. Metoda matriceală pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare se bazează pe aplicarea proprietăților înmulțirii matriceale.
Această metodă, cu alte cuvinte metoda matricei inverse, așa numită deoarece soluția se reduce la o ecuație matriceală obișnuită, pentru a o rezolva, trebuie să găsiți matricea inversă.
Metoda soluției matriceale Un SLAE cu un determinant care este mai mare sau mai mic decât zero este următorul:
Să presupunem că există un SLE (sistem de ecuații liniare) cu n necunoscut (pe un câmp arbitrar):
Aceasta înseamnă că poate fi ușor convertit în formă de matrice:
AX=B, Unde O— matricea principală a sistemului, BŞi X— coloane de termeni liberi și soluții ale sistemului, respectiv:
Să înmulțim asta ecuația matriceală lăsat pe A−1— matrice inversă la matrice A: A −1 (AX)=A −1 B.
Deoarece A -1 A=E, Înseamnă, X=A -1 B. Partea dreaptă a ecuației oferă coloana soluție a sistemului inițial. Condiția de aplicabilitate a metodei matricei este nedegenerarea matricei O. O condiție necesară și suficientă pentru aceasta este ca determinantul matricei să nu fie egal cu zero O:
detA≠0.
Pentru sistem omogen de ecuații liniare, adică dacă vector B=0, este executat regula inversă: la sistem AX=0 există o soluție non-trivială (adică nu este egală cu zero) numai atunci când detA=0. Această legătură între soluțiile sistemelor omogene și neomogene de ecuații liniare se numește Alternativa Fredholm.
Astfel, soluția SLAE folosind metoda matricei se realizează conform formulei 
. Sau, soluția la SLAE se găsește folosind matrice inversă A−1.
Se știe că pentru o matrice pătrată O comanda n pe n există o matrice inversă A−1 numai dacă determinantul său este diferit de zero. Astfel, sistemul n ecuații algebrice liniare cu n Rezolvăm necunoscute folosind metoda matricei numai dacă determinantul matricei principale a sistemului nu este egal cu zero.
În ciuda faptului că există limitări ale aplicabilității acestei metode și dificultăților de calcul pentru valori mari ale coeficienților și sisteme de ordin înalt, metoda poate fi implementată cu ușurință pe un computer.
Un exemplu de rezolvare a unui SLAE neomogen.
Mai întâi, să verificăm dacă determinantul matricei coeficienților SLAE-urilor necunoscute nu este egal cu zero.
Acum găsim matricea de unire, transpuneți-l și înlocuiți-l în formula pentru a determina matricea inversă.
Înlocuiți variabilele în formula:
Acum găsim necunoscutele înmulțind matricea inversă și coloana de termeni liberi.
Aşa, x=2; y=1; z=4.
La mutarea din aspect normal SLAE la forma matricei, aveți grijă la ordinea variabilelor necunoscute în ecuațiile sistemului. De exemplu:
NU îl poți scrie ca:
Este necesar, mai întâi, să ordonăm variabilele necunoscute în fiecare ecuație a sistemului și numai după aceea să trecem la notația matriceală:
În plus, trebuie să fiți atenți la desemnarea variabilelor necunoscute x 1, x 2 , …, x n pot exista si alte litere. De exemplu:
sub formă de matrice o scriem astfel:
Este mai bine să rezolvați sistemele folosind metoda matricei ecuații liniare, în care numărul de ecuații coincide cu numărul de variabile necunoscute și determinantul matricei principale a sistemului nu este egal cu zero. Când există mai mult de 3 ecuații într-un sistem, găsirea matricei inverse va necesita mai mult efort de calcul, prin urmare, în acest caz, este recomandabil să folosiți metoda Gauss pentru rezolvare.
Scopul serviciului. Folosind acest calculator online, necunoscutele (x 1, x 2, ..., x n) sunt calculate într-un sistem de ecuații. Decizia este dusă la îndeplinire metoda matricei inverse. În acest caz:- se calculează determinantul matricei A;
- prin adunări algebrice se găseşte matricea inversă A -1;
- se creează un șablon de soluție în Excel;
Instrucţiuni. Pentru a obține o soluție folosind metoda matricei inverse, trebuie să specificați dimensiunea matricei. Apoi, într-o nouă casetă de dialog, completați matricea A și vectorul rezultatelor B.
Vezi și Rezolvarea ecuațiilor matriceale.Algoritm de rezolvare
- Se calculează determinantul matricei A. Dacă determinantul este zero, atunci soluția este terminată. Sistemul are un număr infinit de soluții.
- Când determinantul este diferit de zero, matricea inversă A -1 se găsește prin adunări algebrice.
- Vectorul soluție X =(x 1, x 2, ..., x n) se obține prin înmulțirea matricei inverse cu vectorul rezultat B.
Adunări algebrice.
| A 1,1 = (-1) 1+1 |
| ∆ 1,1 = (1 (-2)-0 2) = -2 |
| A 1,2 = (-1) 1+2 |
| ∆ 1,2 = -(3 (-2)-1 2) = 8 |
| A 1,3 = (-1) 1+3 |
| ∆ 1,3 = (3 0-1 1) = -1 |
| A 2,1 = (-1) 2+1 |
| ∆ 2,1 = -(-2 (-2)-0 1) = -4 |
| A 2,2 = (-1) 2+2 |
| ∆ 2,2 = (2 (-2)-1 1) = -5 |
| A 2,3 = (-1) 2+3 |
| ∆ 2,3 = -(2 0-1 (-2)) = -2 |
| A 3,1 = (-1) 3+1 |
| ∆ 3,1 = (-2 2-1 1) = -5 |
| 3 |
| -2 |
| -1 |
X T = (1,0,1)
x 1 = -21 / -21 = 1
x 2 = 0 / -21 = 0
x 3 = -21 / -21 = 1
Examinare:
2 1+3 0+1 1 = 3
-2 1+1 0+0 1 = -2
1 1+2 0+-2 1 = -1
Ecuațiile în general, ecuațiile algebrice liniare și sistemele lor, precum și metodele de rezolvare a acestora, ocupă un loc aparte în matematică, atât teoretică, cât și aplicată.
Acest lucru se datorează faptului că marea majoritate a problemelor fizice, economice, tehnice și chiar pedagogice pot fi descrise și rezolvate folosind o varietate de ecuații și sistemele acestora. Recent, modelarea matematică a câștigat o popularitate deosebită în rândul cercetătorilor, oamenilor de știință și practicienilor din aproape toate domeniile subiectelor, ceea ce se explică prin avantajele sale evidente față de alte metode bine-cunoscute și dovedite pentru studierea obiectelor de diferite naturi, în special așa-numitele sisteme complexe. Există o mare varietate de definiții diferite ale modelului matematic dat de oamenii de știință în timpuri diferite, dar în opinia noastră, cea mai reușită este următoarea afirmație. Model matematic este o idee exprimată printr-o ecuație. Astfel, capacitatea de a compune și rezolva ecuații și sistemele acestora este o caracteristică integrală a unui specialist modern.
Pentru rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare, cele mai frecvent utilizate metode sunt Cramer, Jordan-Gauss și metoda matricei.
Metoda soluției matriceale este o metodă de rezolvare a sistemelor de ecuații algebrice liniare cu un determinant diferit de zero folosind o matrice inversă.
Dacă scriem coeficienții pentru mărimile necunoscute xi în matricea A, colectăm mărimile necunoscute în coloana vectorială X și termenii liberi în coloana vectorială B, atunci sistemul de ecuații algebrice liniare poate fi scris sub forma: urmând ecuația matricei A · X = B, care are o soluție unică numai atunci când determinantul matricei A nu este egal cu zero. În acest caz, soluția sistemului de ecuații poate fi găsită în felul următor X = O-1 · B, Unde O-1 este matricea inversă.
Metoda soluției matriceale este următoarea.
Să ni se dea un sistem de ecuații liniare cu n necunoscut:
Poate fi rescris sub formă de matrice: TOPOR = B, Unde O- matricea principală a sistemului, BŞi X- coloane de termeni liberi și soluții ale sistemului, respectiv:
Să înmulțim această ecuație matriceală din stânga cu O-1 - matricea inversă a matricei O: O -1 (TOPOR) = O -1 B
Deoarece O -1 O = E, primim X= A -1 B. Partea dreaptă a acestei ecuații va oferi coloana soluție a sistemului original. Condiție de aplicabilitate această metodă(precum și existența generală a unei soluții la un sistem neomogen de ecuații liniare cu numărul de ecuații egal cu numărul de necunoscute) este nedegenerarea matricei O. O condiție necesară și suficientă pentru aceasta este ca determinantul matricei să nu fie egal cu zero O:det O≠ 0.
Pentru un sistem omogen de ecuații liniare, adică atunci când vectorul B = 0 , într-adevăr regula opusă: sistemul TOPOR = 0 are o soluție non-trivială (adică non-zero) numai dacă det O= 0. O astfel de conexiune între soluțiile sistemelor omogene și neomogene de ecuații liniare se numește alternativa Fredholm.
Exemplu soluții la un sistem neomogen de ecuații algebrice liniare.
Să ne asigurăm că determinantul matricei, compus din coeficienții necunoscutelor sistemului de ecuații algebrice liniare, nu este egal cu zero.
Următorul pas este calcularea complementelor algebrice pentru elementele matricei formate din coeficienții necunoscutelor. Ele vor fi necesare pentru a găsi matricea inversă.
Un sistem de m ecuații liniare cu n necunoscute numit un sistem al formei
Unde a ijŞi b i (i=1,…,m; b=1,…,n) sunt câteva numere cunoscute și x 1 ,…,x n– necunoscut. În desemnarea coeficienţilor a ij primul indice i denotă numărul ecuației, iar al doilea j– numărul necunoscutului la care se află acest coeficient.
Vom scrie coeficienții pentru necunoscute sub forma unei matrice 
, pe care o vom numi matricea sistemului.
Numerele din partea dreaptă a ecuațiilor sunt b 1 ,…,b m sunt numite membri liberi.
Totalitate n numere c 1 ,…,c n numit decizie a unui sistem dat, dacă fiecare ecuație a sistemului devine o egalitate după înlocuirea numerelor în ea c 1 ,…,c nîn locul necunoscutelor corespunzătoare x 1 ,…,x n.
Sarcina noastră va fi să găsim soluții pentru sistem. În acest caz, pot apărea trei situații:
Un sistem de ecuații liniare care are cel puțin o soluție se numește comun. Altfel, i.e. dacă sistemul nu are soluții, atunci se numește nearticulată.
Să luăm în considerare modalități de a găsi soluții pentru sistem.
METODĂ MATRIXĂ PENTRU REZOLVAREA SISTEMELOR DE ECUAȚII LINARE
Matricele fac posibilă scrierea pe scurt a unui sistem de ecuații liniare. Să fie dat un sistem de 3 ecuații cu trei necunoscute:
Luați în considerare matricea sistemului 
și coloane de matrice de termeni necunoscuți și liberi 
Să găsim de lucru
aceste. ca rezultat al produsului, obținem părțile din stânga ecuațiilor acestui sistem. Apoi, folosind definiția egalității matriceale acest sistem poate fi scris sub forma
sau mai scurt O∙X=B.
Iată matricele OŞi B sunt cunoscute, iar matricea X necunoscut. Este necesar să-l găsim, pentru că... elementele sale sunt soluția acestui sistem. Această ecuație se numește ecuația matriceală.
Fie determinantul matricei diferit de zero | O| ≠ 0. Atunci ecuația matriceală se rezolvă după cum urmează. Înmulțiți ambele părți ale ecuației din stânga cu matricea A-1, inversul matricei O: . Din moment ce A -1 A = EŞi E∙X = X, apoi obținem o soluție a ecuației matriceale sub forma X = A -1 B .
Rețineți că, deoarece matricea inversă poate fi găsită numai pentru matrice pătrată, metoda matricei poate rezolva numai acele sisteme în care numărul de ecuații coincide cu numărul de necunoscute. Cu toate acestea, înregistrarea matriceală a sistemului este posibilă și în cazul în care numărul de ecuații nu este egal cu numărul de necunoscute, atunci matricea O nu va fi pătrat și, prin urmare, este imposibil să găsiți o soluție la sistem în formă X = A -1 B.
Exemple. Rezolvarea sistemelor de ecuații.
REGULA LUI CRAMER
Să considerăm un sistem de 3 ecuații liniare cu trei necunoscute:
Determinant de ordinul trei corespunzător matricei sistemului, i.e. compus din coeficienți pentru necunoscute,
numit determinant al sistemului.
Să mai compunem trei determinanți astfel: înlocuiți coloanele 1, 2 și 3 din determinantul D succesiv cu o coloană de termeni liberi
Apoi putem demonstra următorul rezultat.
Teoremă (regula lui Cramer). Dacă determinantul sistemului Δ ≠ 0, atunci sistemul luat în considerare are una și o singură soluție și
Dovada. Deci, să considerăm un sistem de 3 ecuații cu trei necunoscute. Să înmulțim prima ecuație a sistemului cu complementul algebric A 11 element un 11, a 2-a ecuație – pe A 21și al 3-lea – pe A 31:
Să adăugăm aceste ecuații:
Să ne uităm la fiecare dintre paranteze și partea dreaptă a acestei ecuații. Prin teorema expansiunii determinantului în elementele coloanei I
În mod similar, se poate demonstra că și .
În cele din urmă, este ușor de observat asta 
Astfel, obținem egalitatea: .
Prin urmare, .
Egalitățile și sunt derivate în mod similar, din care urmează enunțul teoremei.
Astfel, observăm că dacă determinantul sistemului Δ ≠ 0, atunci sistemul are o soluție unică și invers. Dacă determinantul sistemului este egal cu zero, atunci sistemul fie are un număr infinit de soluții, fie nu are soluții, adică. incompatibil.
Exemple. Rezolvarea sistemului de ecuații
METODA GAUSS
Metodele discutate anterior pot fi folosite pentru a rezolva numai acele sisteme în care numărul de ecuații coincide cu numărul de necunoscute, iar determinantul sistemului trebuie să fie diferit de zero. Metoda Gauss este mai universală și potrivită pentru sisteme cu orice număr de ecuații. Constă în eliminarea consecventă a necunoscutelor din ecuațiile sistemului.
Să considerăm din nou un sistem de trei ecuații cu trei necunoscute:
.
Vom lăsa prima ecuație neschimbată, iar din a 2-a și a 3-a vom exclude termenii care conțin x 1. Pentru a face acest lucru, împărțiți a doua ecuație la O 21 și înmulțiți cu - O 11, apoi adăugați-l la prima ecuație. În mod similar, împărțim a treia ecuație la O 31 și înmulțiți cu - O 11, apoi adăugați-l cu primul. Ca rezultat, sistemul original va lua forma:
Acum din ultima ecuație eliminăm termenul care conține x 2. Pentru a face acest lucru, împărțiți a treia ecuație cu, înmulțiți cu și adăugați cu a doua. Atunci vom avea un sistem de ecuații:
De aici, din ultima ecuație este ușor de găsit x 3, apoi din a 2-a ecuație x 2și în sfârșit, de la 1 - x 1.
Când se utilizează metoda Gauss, ecuațiile pot fi schimbate dacă este necesar.
De multe ori, în loc să scrie sistem nou ecuațiile, sunt limitate la scrierea matricei extinse a sistemului:
iar apoi aduceți-o într-o formă triunghiulară sau diagonală folosind transformări elementare.
LA transformări elementare matricele includ următoarele transformări:
- rearanjarea rândurilor sau coloanelor;
- înmulțirea unui șir cu un alt număr decât zero;
- adăugarea altor linii la o singură linie.
Exemple: Rezolvarea sistemelor de ecuații folosind metoda Gauss.
Astfel, sistemul are un număr infinit de soluții.