A existat o altă abordare, neobișnuită, pentru a descrie tehnica de schi, care, de asemenea, NU este asociată cu mișcările din sistemul de balamale corespunzătoare părților corpului schiorului. Se bazează pe modelul unui pendul inversat, numit și „pendul invers” sau „pendul Whitney”.
Acesta este un obiect foarte interesant al mecanicii teoretice, problema lui Whitney a fost formulată inițial după cum urmează: să presupunem că pe un cărucior este instalat un pendul de material inversat, căruciorul se mișcă rectiliniu, dar NU uniform. Este necesar să găsiți poziția inițială a pendulului astfel încât să NU cadă pe cărucior dacă dependența vitezei de timp este cunoscută dinainte, iar derivata a 2-a a acestuia este continuă.
Problema Whitney este încă de interes pentru matematicieni, dar problema inversă este mult mai importantă: controlul dinamic al mișcării căruciorului, astfel încât pendulul să mențină o poziție inițială dată sau să oscileze în jurul acesteia. Această sarcină este importantă pentru robotică, navigație, automatizarea producției, orientare nava spatiala, se realizează și în timpul mersului normal.
Problema poate fi însă generalizată: la un pendul cu 2 grade de libertate, al cărui suport se deplasează pe o traiectorie arbitrară, curbilinie, cu viteză variabilă, dar și sub condiția continuității a 2 derivate. Cel mai simplu exemplu de pendul invers generalizat: puneți o tijă lungă pe palmă și țineți-o într-o poziție instabilă, mișcându-vă mâna pe o traiectorie arbitrară.
Dacă generalizăm mai departe, putem realiza un pendul cu lungime variabilă: în acest caz, frecvența sa naturală se va schimba, sarcina devine mult mai dificilă. Acesta este deja un model general de echilibru instabil al unui sistem mecanic, de exemplu o persoană pe o frânghie. Dar această sarcină poate fi formulată și diferit: să asigure echilibrul pendulului, cu deplasarea neuniformă a suportului de-a lungul unui traseu curbat dat, datorită modificării active a înclinării și lungimii pendulului. Vedem: în această formulare, sarcina corespunde pe deplin mișcării schiorului de-a lungul pârtiei!
S-a dovedit că în 1973, matematicianul polonez Janusz Morawski a descris mecanica unui schior folosind un pendul invers, dar această lucrare a fost uitată timp de 40 de ani.
Modelul lui J. Morawski nu a fost perfect: nu a ținut cont de alunecarea laterală a suportului pendulului, care era necesară în echipamentul de schi la începutul anilor ’70. Dar sportivii moderni nivel înalt, tehnica nu mai este legată de alunecare, iar modelul se potrivește mai mult cu realitatea.
Noi cercetări asupra pendulului invers au început cu soluția îngustului, problema practica: pentru a simplifica experimentele pentru studiul tehnicilor de schi. De obicei, pentru a studia mișcările schiorilor, este necesar să se înregistreze continuu poziția acesteia și sunt necesare multe forțe care acționează asupra schiurilor și schiorului însuși, echipamente complexe și pregătirea îndelungată a experimentelor.
În 2013, Matthias Gilgien, un cunoscut specialist în mecanica schiurilor, a demonstrat că dacă se cunoaște traiectoria centrului de masă față de suprafața zăpezii, atunci folosind modelul pendulului invers generalizat se poate calcula traiectoria schiurilor, ca precum și toate forțele care acționează în timpul coborârii. Ca rezultat, toate echipamentele complexe de măsurare pot fi înlocuite cu un navigator GPS convențional!
Experimentul s-a realizat cu un navigator geodez care operează folosind metoda de navigare diferențială, cu o precizie de determinare a coordonatelor: 1 cm în plan orizontal și 2 cm în vertical. De asemenea, a fost folosit un model de teren 3D detaliat, obținut cu ajutorul unui scanner geodezic. În prezent, pentru unele zone din SUA și Europa, acces deschis, există hărți 3D prin satelit de precizie similară, zona lor de acoperire crește rapid.
Ținând cont de microrelieful, care se modifică continuu pe pantă, precizia înălțimilor este de 10-20 cm, alea. un ordin de mărime mai mic decât precizia de navigare. Antena navigatorului a fost amplasată pe casca schiorului, poziția COM a fost calculată pe baza rezultatelor anterioare ale lui Robert Reid, care a aflat că printre sportivii de la nivel național, COM nu se abate departe de linia dreaptă care trece prin mijlocul gâtului și mijlocul distanței dintre schiuri. Iar schiorul, la întoarcere, încearcă să-și țină capul vertical, mijlocul gâtului este aproximativ sub antenă. Distanța „suprafață-CM” este întotdeauna de aproximativ 0,45-0,5 din distanța „suprafață-cap”, uneori CM se poate abate de la această poziție, dar ținând cont de acuratețea reprezentării suprafeței, erori în calcularea poziției CM nu sunt semnificative, abaterile puternice apar doar la greșeli grosolane cu pierderea echilibrului.
Dacă schiorul este descris de modelul unui pendul invers generalizat, cu o lungime variabilă, atunci din traiectoria cunoscută și viteza CM față de suprafață, este posibil să se calculeze unghiurile abaterii acestuia de la poziția verticală, astfel încât pendulul să nu cadă. Puteți obține și traiectoria de sprijin: puncte la mijlocul distanței dintre suporturile de schi. Și din poziția CM față de suport, se poate obține centrarea schiorului pe direcția longitudinală și înclinarea către centrul de rotație, deși este imposibil să se calculeze poziția părților corpului și a relativului încărcarea schiurilor.
În paralel cu măsurătorile GPS, la locul de control au fost instalate echipamente convenționale, care sunt utilizate în studiile echipamentului de schi cu ajutorul metodelor MOCAP, bazate pe un model al sistemului de balamale, cu calculul dinamicii părților corpului folosindu-se de mult timp dovedit. metode. Au fost apoi comparate datele culese cu privire la mișcarea CM: s-au dovedit a fi foarte apropiate, există discrepanțe puternice doar în zonele dintre viraje, în care lungimea pendulului se modifică brusc în timpul descărcarii.
Dar sarcina nu s-a limitat la construirea unui nou model de mișcare CM, independent de poziția schiorului: nimeni nu are nevoie de asta! Scop practic: pe baza modelului pendulului invers, obțineți forțe externe care acționează asupra schiorului și schiurilor: reacția suprafeței, rezistența la zăpadă și rezistență aerodinamică. Dr. M. Gilgien și colaboratorii săi au obținut ecuațiile pentru toate forțele și le-au comparat cu valorile care au fost calculate din dinamica părților corpului. În graficul de reacție a suprafeței luat ca exemplu: curba albastră arată forța calculată din modelul pendulului invers, curba roșie din modelul sistemului de balamale ca referință.
Omul de știință elvețian, Rolf Adelsberger, a efectuat un experiment similar, dar a măsurat și deformarea schiurilor în timpul coborârii, folosind senzori lipiți de schiuri. Rezultatele măsurătorilor au corespuns forțelor, care au fost calculate și pe baza datelor GPS, conform metodei lui M. Gilgien, aceasta dovedește corectitudinea metodei.
Matematicianul sloven Boyan Nemec a studiat și modelul pendulului invers cu sportivi din echipa națională a Slovei, dar a instalat o antenă pe gâtul schiorului pentru a aproxima mai bine poziția CM. A obținut o ecuație pentru unghiul spațial de înclinare: în funcție de accelerațiile efective și de lungimea pendulului.
Vedem: ecuația este mult mai complexă decât formule simple unghiuri care se discută constant pe site-urile de schi! Dar această ecuație a fost obținută pe baza datelor experimentale și corespunde mai precis proceselor reale care au loc în timpul coborârii. S-a obținut și o corecție pentru a determina cu precizie poziția CM, dar s-a dovedit că nu este foarte mare și se încadrează în acuratețea măsurătorilor de suprafață, așa cum sugerase anterior M. Gilgien.
Profesorul B. Nemets a observat și discrepanțe puternice în zonele de descărcare și a sugerat: eroarea este asociată cu legea liniară a modificării lungimii pendulului. Dacă introduceți elasticitatea longitudinală, lungimea se va modifica neliniar, iar erorile vor scădea brusc. Dar, în același timp, pendulul va primi un nou grad de libertate: lungimea va tinde spre oscilații armonice, acest lucru necesită o reelaborare completă a modelului, B. Nemets plănuiește să facă acest lucru în urmatoarele lucrari. Problema principală: introducerea coeficientului de elasticitate, de care depinde frecvența naturală a vibrațiilor longitudinale, deoarece este posibil ca și valoarea coeficientului să nu fie constantă.
În acest caz, se poate obține un nou efect: dacă suportul pendulului vibrează pe direcție verticală, cu o frecvență mare și amplitudine mică, atunci apare o forță suplimentară care menține pendulul în echilibru vertical: acest fenomen a fost descoperit de P. Kapitsa și a determinat frecvența minimă a oscilațiilor și amplitudinea lor limită. Ca răspuns la o singură lovitură pe o suprafață elastică, apar oscilații amortizate, prin urmare, un pendul invers montat pe un suport elastic va fi și el în echilibru, dar foarte timp scurt după impact: până la stingerea oscilaţiilor. Un fenomen similar este posibil cu o schimbare bruscă a sarcinii pe schiuri, dar elasticitatea lor longitudinală depinde de cantitatea de îndoire, sarcina devine și mai complicată.
Dar nici calcularea forțelor nu a fost scopul final: dr. M. Gilgien a primit încărcături pe genunchii schiorului, ceea ce poate duce la leziuni articulare. Metoda lui face posibilă obținerea unei evaluări a traseului, din punct de vedere al siguranței, doar pe baza datelor GPS în timpul trecerilor de control.
O altă direcție este, ca întotdeauna, crearea unui instrument pentru antrenori care afișează continuu dinamica schiorului, care este ascunsă observației directe: condiții de echilibru, accelerații și forțe efective. Această metodă nu necesită echipamente complexe, costisitoare, deoarece chiar și un receptor GPS foarte scump este de câteva ori mai ieftin decât sistemele MOCAP, sau senzorii inerțiali, și este mult mai ușor de utilizat.
Vedem: veche idee, pentru a descrie echipamentul de schi fără legătură cu mișcările schiorului, nu este încă uitat, în ciuda apariției noilor tehnologii. Este posibil să ne luăm rămas bun de la drăgălașii cai sferici devreme.
Mult succes si echilibru!
Un pendul inversat este un pendul care are un centru de masă deasupra punctului său de sprijin, atașat la capătul unei tije rigide. Adesea, punctul de sprijin este fixat pe un cărucior, care poate fi deplasat orizontal. În timp ce un pendul normal atârnă constant în jos, un pendul invers este în mod inerent instabil și trebuie să fie echilibrat în mod constant pentru a rămâne în poziție verticală, fie prin aplicarea unui cuplu la punctul de sprijin, fie prin deplasarea acestuia pe orizontală ca parte a feedback-ului sistemului. O simplă demonstrație ar fi echilibrarea unui creion pe capătul degetului.
Recenzie
Pendulul inversat este o problemă clasică în teoria dinamicii și controlului și este utilizat pe scară largă ca reper pentru testarea algoritmilor de control (controlere PID, rețele neuronale, control fuzzy etc.).
Problema pendulului invers este legată de ghidarea rachetei, deoarece motorul rachetei este situat sub centrul de greutate, provocând instabilitate. Aceeași problemă este rezolvată, de exemplu, în Segway, un dispozitiv de transport cu autoechilibrare.
O altă modalitate de a stabiliza un pendul invers este de a oscila rapid baza într-un plan vertical. În acest caz, puteți face fără feedback. Dacă oscilațiile sunt suficient de puternice (în termeni de accelerație și amplitudine), atunci pendulul invers se poate stabiliza. Dacă un punct în mișcare oscilează în funcție de oscilații armonice simple, atunci mișcarea pendulului este descrisă de funcția Mathieu.
Ecuații de mișcare
Cu un punct de sprijin fix
Ecuația mișcării este similară cu un pendul drept, cu excepția faptului că semnul poziției unghiulare este măsurat din poziția verticală a echilibrului instabil:
texvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \ddot \theta - (g \over \ell) \sin \theta = 0
Când este tradus, va avea același semn de accelerație unghiulară:
Nu se poate analiza expresia (Fișier executabiltexvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \ddot \theta = (g \over \ell) \sin \theta
Astfel, pendulul invers va accelera de la echilibrul vertical instabil în partea opusă, iar accelerația va fi invers proporțională cu lungimea. Un pendul înalt cade mai încet decât un pendul scurt.
Pendul pe cărucior
Ecuațiile de mișcare pot fi obținute folosind ecuațiile lui Lagrange. Vorbim despre figura de mai sus, unde Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \theta(t) lungimea unghiului pendulului Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați matematică/README pentru ajutor de configurare.): lîn raport cu verticala şi forță care acționează gravitația și forțele externe Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați matematică/README pentru ajutor de configurare.): F in directie Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc . Să definim Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați matematica/README pentru ajutor pentru configurare.): x(t) pozitia caruciorului. lagrangiană Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați matematica/README pentru ajutor pentru configurare.): L = T - V sisteme:
texvc nu a fost găsit; Consultați matematica/README pentru ajutor cu configurarea.): L = \frac(1)(2) M v_1^2 + \frac(1)(2) m v_2^2 - m g \ell\cos\theta
Unde Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc este viteza căruciorului și Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc - viteza unui punct material Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați matematică/README pentru ajutor de configurare.): m
.
Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Vezi matematică/README - ajutor la configurare.): v_1Şi Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Vezi matematică/README - ajutor la configurare.): v_2 poate fi exprimat prin Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați matematica/README pentru ajutor de configurare.): xŞi Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \theta prin scrierea vitezei ca derivată întâi a poziţiei.
texvc nu a fost găsit; Vezi matematică/README - ajutor la configurare.): v_1^2=\dot x^2
Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Vezi matematică/README - ajutor la configurare.): v_2^2=\left((\frac(d)(dt))(\left(x-\ell\sin\theta\right))\right)^2 + \left((\frac(d)(dt))(\left(\ell\cos\theta \right))\right)^2
Simplificarea unei expresii Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Vezi matematică/README - ajutor la configurare.): v_2 duce la:
texvc nu a fost găsit; Vezi matematică/README - ajutor la configurare.): v_2^2= \dot x^2 -2 \ell \dot x \dot \theta\cos \theta + \ell^2\dot \theta^2
Lagrangianul este determinat acum de formula:
Nu se poate analiza expresia (Fișier executabiltexvc nu a fost găsit; Consultați matematica/README pentru ajutor cu configurare.): L = \frac(1)(2) \left(M+m \right) \dot x^2 -m \ell \dot x \dot\theta\cos\ theta + \frac(1)(2) m \ell^2 \dot \theta^2-m g \ell\cos \theta
și ecuațiile de mișcare:
Nu se poate analiza expresia (Fișier executabiltexvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor pentru configurare.): \frac(\mathrm(d))(\mathrm(d)t)(\partial(L)\over \partial(\dot x)) - (\partial(L) \over\partial x) = F
Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \frac(\mathrm(d))(\mathrm(d)t)(\partial(L)\over \partial(\dot \theta)) - (\partial (L) )\peste\parțial\theta) = 0
Substituţie Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați matematica/README pentru ajutor pentru configurare.): Lîn aceste expresii cu simplificarea ulterioară duce la ecuații care descriu mișcarea unui pendul invers:
texvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \left (M + m \right) \ddot x - m \ell \ddot \theta \cos \theta + m \ell \dot \theta^2 \sin \theta =F
Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \ell \ddot \theta - g \sin \theta = \ddot x \cos \theta
Aceste ecuații sunt neliniare, dar întrucât scopul sistemului de control este de a menține pendulul vertical, ecuațiile pot fi liniarizate luând Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \theta \approx 0
.
Pendul cu bază oscilantă
Ecuația de mișcare pentru un astfel de pendul este legată de o bază oscilantă fără masă și se obține în același mod ca și pentru un pendul pe cărucior. Poziția unui punct material este determinată de formula:
Nu se poate analiza expresia (Fișier executabiltexvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \left(-\ell \sin \theta , y + \ell \cos \theta \right)
iar viteza se găsește prin derivata întâi a poziției:
Nu se poate analiza expresia (Fișier executabiltexvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): v^2=\dot y^2-2 \ell \dot y \dot \theta \sin \theta + \ell^2\dot \theta ^2.
Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \ddot \theta - (g \over \ell) \sin \theta = -(A \over \ell) \omega^2 \sin \omega t \sin \theta .
Această ecuație nu are solutie elementaraîntr-o formă închisă, dar poate fi studiat în mai multe direcții. Este aproape de ecuația lui Mathieu, de exemplu, când amplitudinea oscilațiilor este mică. Analiza arată că pendulul rămâne vertical în timpul oscilațiilor rapide. Primul grafic arată asta cu fluctuații lente Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc , pendulul cade rapid după ce părăsește o poziție verticală stabilă.
Dacă Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați matematică/README pentru ajutor de configurare.): y oscilează rapid, pendulul poate fi stabil lângă o poziție verticală. Cel de-al doilea grafic arată că, după ce a părăsit o poziție verticală stabilă, pendulul începe acum să oscileze în jurul poziției verticale ( Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \theta = 0).Abaterea de la poziția verticală rămâne mică, iar pendulul nu cade.
Aplicație
Un exemplu este echilibrarea oamenilor și a obiectelor, cum ar fi în acrobații sau în monociclul. Și, de asemenea, un Segway - un scuter electric cu autoechilibrare cu două roți.
Pendulul inversat a fost o componentă centrală în dezvoltarea mai multor seismografe timpurii.
Vezi de asemenea
Legături
- D. Liberzon Comutarea în sisteme și control(2003 Springer) pp. 89 și urm
Lectură în continuare
- Franklin; et al. (2005). Controlul prin feedback al sistemelor dinamice, 5, Prentice Hall. ISBN 0-13-149930-0
Scrieți o recenzie despre articolul „Pendul inversat”
Legături
Extras care caracterizează Pendulul invers
Sora bunicului Alexandra Obolensky (mai târziu Alexis Obolensky) și Vasily și Anna Seryogin, care au plecat voluntar, au fost, de asemenea, exilați împreună cu ei, care l-au urmat pe bunicul lor. propria alegere, de când Vasily Nikandrovici de multi ani a fost avocatul bunicului meu în toate treburile sale și unul dintre cei mai apropiați prieteni ai săi.Alexandra (Alexis) Obolenskaya Vasily și Anna Seryogin
Probabil, a trebuit să fii cu adevărat un PRIETEN pentru a găsi puterea de a face o astfel de alegere și de a merge de-a lungul după voie unde se duceau, de parcă s-ar duce numai la propria lor moarte. Și această „moarte”, din păcate, se numea atunci Siberia...
Mereu am fost foarte tristă și dureroasă pentru frumoasa noastră Siberia, atât de mândră, dar călcată atât de nemiloasă de cizmele bolșevice... Și nici un cuvânt nu poate spune câtă suferință, durere, vieți și lacrimi a absorbit acest pământ mândru, dar chinuit! ... Pentru că a fost cândva inima căminului nostru strămoșesc, „revoluționarii cu vederea lungă” au decis să denigreze și să distrugă acest pământ, alegându-l în propriile lor scopuri diavolești?... La urma urmei, pentru mulți oameni chiar și mulți ani mai târziu, Siberia a rămas încă un pământ „blestemat”, unde a murit tatăl cuiva, fratele cuiva, apoi un fiu... sau poate chiar toată familia cuiva.
Bunica mea, pe care eu, spre marea mea supărare, nu am cunoscut-o niciodată, era însărcinată cu tatăl meu în acel moment și a avut o perioadă foarte dificilă cu călătoria. Dar, bineînțeles, nu era nevoie să aștepte ajutor de nicăieri... Așa că tânăra Prințesă Elena, în loc de foșnetul liniștit al cărților din biblioteca familiei sau de sunetele obișnuite ale pianului când cânta lucrările ei preferate, aceasta timp nu asculta decât zgomotul de rău augur al roților, care părea să-i numere amenințător orele rămase din viață, atât de fragile și care devenise un adevărat coșmar... S-a așezat pe niște genți lângă geamul trăsurii murdare și se uita necontenit la ultimele urme jalnice ale „civilizației” care îi era atât de familiară și familiară, mergând din ce în ce mai departe...
Sora bunicului, Alexandra, cu ajutorul prietenilor, a reușit să evadeze la una dintre opriri. Prin acord general, trebuia să ajungă (dacă avea noroc) în Franța, unde în acest moment toată familia ei locuia acolo. Adevărat, niciunul dintre cei prezenți nu avea idee cum ar putea face asta, dar din moment ce aceasta era singura lor speranță, deși mică, dar cu siguranță ultima, renunțarea la ea era un lux prea mare pentru situația lor complet fără speranță. În acel moment se afla și soțul Alexandrei, Dmitry, în Franța, cu ajutorul căruia sperau, de acolo, să încerce să ajute familia bunicului ei să iasă din coșmarul în care viața îi aruncase cu atâta fără milă, în mâinile josnice ale lui. oameni brutali...
La sosirea în Kurgan, s-au instalat subsol rece fără a explica nimic sau a răspunde la vreo întrebare. Două zile mai târziu, niște oameni au venit după bunicul meu și au spus că ar fi venit să-l „escorte” într-o altă „destinație”... L-au luat ca pe un criminal, fără să-i permită să ia ceva cu el și fără să se demnească. pentru a explica, unde și pentru cât timp este luat. Nimeni nu l-a mai văzut vreodată pe bunicul. După ceva timp, un militar necunoscut i-a adus bunicii lucrurile personale ale bunicului său într-un sac de cărbune murdar... fără să explice nimic și fără a lăsa speranța de a-l vedea în viață. În acest moment, orice informație despre soarta bunicului meu a încetat, de parcă ar fi dispărut de pe fața pământului fără urme sau dovezi...
Inima chinuită și chinuită a sărmanei Prințese Elena nu a vrut să se împace cu o pierdere atât de îngrozitoare și l-a bombardat literalmente pe ofițerul de stat major local cu cereri de a clarifica circumstanțele morții iubitului ei Nicolae. Dar ofițerii „roșii” erau orbi și surzi la cererile unei femei singuratice, așa cum o numeau ei, „a nobililor”, care era pentru ei doar una dintre miile și miile de unități „licențiate” fără nume, care nu însemnau nimic în ei. Lumea rece și crudă... Era un adevărat infern, din care nu exista nicio ieșire înapoi în acea lume familiară și bună în care au rămas casa ei, prietenii ei și tot ceea ce fusese obișnuită de la o vârstă fragedă, și pe care o iubea atât de puternic și sincer... Și nu era nimeni care să poată ajuta sau măcar să dea cea mai mică speranță de supraviețuire.
Seryoghinii au încercat să mențină prezența sufletească pentru ei trei și au încercat prin orice mijloace să ridice starea de spirit a Prințesei Elena, dar ea a intrat din ce în ce mai adânc într-o stupoare aproape completă și, uneori, a stat toată ziua într-o stare indiferent de înghețată. , aproape nereacționând la încercările prietenilor ei de a-și salva inima și mintea de depresia finală. Au fost doar două lucruri la care a readus-o pentru scurt timp lumea reală- dacă cineva a început să vorbească despre copilul ei nenăscut sau dacă vreunul, chiar și cele mai mici, noi detalii au venit despre presupusa moarte a iubitului ei Nikolai. Ea a vrut cu disperare să știe (în timp ce era încă în viață) ce s-a întâmplat cu adevărat și unde era soțul ei, sau cel puțin unde a fost îngropat (sau aruncat) cadavrul lui.
Din păcate, aproape că nu există informații despre viața acestor doi oameni curajoși și strălucitori, Elena și Nicholas de Rohan-Hesse-Obolensky, dar chiar și acele câteva rânduri din cele două scrisori rămase ale Elenei către nora ei, Alexandra, care au fost păstrate cumva în arhivele familiei Alexandrei din Franța arată cât de profund și tandru și-a iubit prințesa soțul dispărut. Au supraviețuit doar câteva foi scrise de mână, unele dintre rândurile cărora, din păcate, nu pot fi deloc descifrate. Dar până și ceea ce a avut succes țipă cu durere profundă despre o mare nenorocire umană, care, fără a o experimenta, nu este ușor de înțeles și imposibil de acceptat.
12 aprilie 1927. Din scrisoarea prințesei Elena către Alexandra (Alix) Obolenskaya:
„Sunt foarte obosit astăzi. M-am întors de la Sinyachikha complet rupt. Trăsurile sunt pline de oameni, ar fi păcat să căram chiar și animale în ele…………………………….. Ne-am oprit în pădure - era un miros atât de delicios de ciuperci și căpșuni... E greu de crezut că acolo au fost uciși acești nefericiți! Biata Ellochka (adică Marea Ducesă Elizaveta Feodorovna, care era rudă cu bunicul meu pe partea Hessiană) a fost ucisă în apropiere, în această groaznică mină Staroselim... ce groază! Sufletul meu nu poate accepta asta. Îți amintești că am spus: „să odihnească pământul în pace”?.. Mare Dumnezeu, cum poate să se odihnească în pace un asemenea pământ?!..
Oh, Alix, draga mea Alix! Cum se poate obișnui cu o asemenea groază? ...................... ..................... M-am săturat să cerșesc și umilindu-mă... Totul va fi complet inutil dacă Ceca nu este de acord să trimită o cerere lui Alapaevsk...... Nu voi ști niciodată unde să-l caut și nu voi ști niciodată ce i-au făcut. Nu trece o oră fără să mă gândesc la un chip atât de drag pentru mine... Ce groază este să-ți imaginezi că zace într-o groapă părăsită sau în fundul unei mine!... Cum se poate îndura acest coșmar de zi cu zi, știind că deja a făcut-o, nu-l voi vedea niciodată?!.. Așa cum bietul meu Cornflower (numele care i-a fost dat tatălui meu la naștere) nu îl va vedea niciodată... Unde este limita cruzimii? Și de ce se numesc oameni?...
DOI: 10.14529/mmph170306
STABILIZAREA UNUI PENDUL SPATE PE UN VEHICUL PE DOUĂ ROȚI
V.I. Ryazhskikh1, M.E. Semenov2, A.G. Rukavitsyn3, O.I. Kanishcheva4, A.A. Demchuk4, P.A. Meleshenko3
1 Statul Voronezh universitate tehnică, Voronej, Federația Rusă
2 Universitatea de Stat de Arhitectură și Inginerie Civilă Voronezh, Voronezh, Federația Rusă
3 Voronejski universitate de stat, Voronezh, Federația Rusă
4 Centrul de Instruire și Cercetare Militară Forțele Aeriene„Academia Forțelor Aeriene numită după profesorul N.E. Jukovski și Yu.A. Gagarin”, Voronezh, Federația Rusă
E-mail: [email protected]
Considerăm un sistem mecanic format dintr-un cărucior cu două roți, pe axa căruia se află un pendul invers. Sarcina este de a forma o astfel de acțiune de control, formată conform principiului feedback-ului, care, pe de o parte, ar asigura legea dată de mișcare. mijloace mecanice, iar pe de altă parte, ar stabiliza poziția instabilă a pendulului.
Cuvinte cheie: sistem mecanic; vehicul cu două roți; pendul invers; reacție; stabilizare; controla.
Introducere
Abilitatea de a controla instabilitatea sisteme tehnice a fost însă luată în considerare teoretic multă vreme semnificație practică Un astfel de management s-a manifestat clar abia recent. S-a dovedit că obiectele de control instabile, cu un control adecvat, au o serie de calități „utile”. Exemple de astfel de obiecte includ nava spatiala la etapa de decolare, un reactor termonuclear și multe altele. În același timp, în caz de eșec sistem automat control, un obiect instabil poate reprezenta o amenințare semnificativă, un pericol atât pentru oameni, cât și pentru mediu. Ca exemplu catastrofal al rezultatelor unei opriri control automat Puteți cita accidentul de la centrala nucleară de la Cernobîl. Pe măsură ce sistemele de control devin din ce în ce mai fiabile, în practică se utilizează o gamă din ce în ce mai largă de obiecte instabile din punct de vedere tehnic în absența controlului. Una dintre cele mai multe exemple simple obiectele instabile este pendulul invers clasic. Pe de o parte, sarcina de a-l stabiliza este relativ simplă și evidentă, pe de altă parte, poate găsi aplicare practică la crearea modelelor de creaturi bipede, precum și a dispozitivelor antropomorfe (roboți, ciberneți etc.) care se deplasează pe două suporturi. ÎN ultimii ani Lucrările au apărut dedicate problemelor de stabilizare a unui pendul invers asociat cu un vehicul cu două roți în mișcare. Aceste studii au potențiale aplicații în multe domenii precum transportul și recunoașterea datorită designului compact, ușurinței în operare, manevrabilității ridicate și consumului redus de combustibil al unor astfel de dispozitive. Cu toate acestea, problema luată în considerare este încă departe de o soluție finală. Se știe că multe tradiționale dispozitive tehnice au atât stări și moduri de funcționare stabile, cât și instabile. Un exemplu tipic este Segway-ul, un scuter electric cu auto-echilibrare inventat de Dean Kamen cu două roți situate de fiecare parte a șoferului. Cele două roți ale scuterului sunt amplasate coaxial. Segway-ul se echilibrează automat atunci când poziția corpului șoferului se schimbă; În acest scop, se utilizează un sistem de stabilizare a indicatorului: semnalele de la senzorii giroscopici și de înclinare lichide sunt trimise la microprocesoare, care generează semnale electrice care acționează asupra motoarelor și controlează mișcările acestora. Fiecare roată a Segway-ului este antrenată de propriul motor electric, care reacționează la modificările echilibrului mașinii. Când corpul călărețului se înclină înainte, Segway-ul începe să se rostogolească înainte și, pe măsură ce unghiul corpului călărețului crește, viteza Segway-ului crește. Când corpul este înclinat înapoi, acesta
Mașina încetinește, se oprește sau se rotește în marșarier. Direcția la primul model are loc cu ajutorul unui mâner rotativ, la modelele noi - prin balansarea coloanei la stânga și la dreapta. Problemele de control al sistemelor mecanice oscilatorii prezintă un interes teoretic semnificativ și o mare importanță practică.
Se știe că în timpul funcționării sistemelor mecanice, din cauza îmbătrânirii și uzurii pieselor, apar în mod inevitabil lovituri și opriri, prin urmare, pentru a descrie dinamica unor astfel de sisteme, este necesar să se țină cont de influența efectelor de histerezis. Modele matematice astfel de neliniarități, în conformitate cu conceptele clasice, sunt reduse la operatori care sunt considerați ca transformatoare pe spatii functionale. Dinamica unor astfel de convertoare este descrisă de relațiile „input-stare” și „stare-ieșire”.
Enunțarea problemei
ÎN această lucrare se considera un sistem mecanic, format dintr-un car cu doua roti, pe axa caruia se afla un pendul invers. Sarcina este de a forma o acțiune de control care, pe de o parte, ar asigura legea dată de mișcare a dispozitivului mecanic și, pe de altă parte, ar stabiliza poziția instabilă a pendulului. În acest caz, se iau în considerare proprietățile de histerezis din circuitul de control al sistemului studiat. Mai jos sunt prezentate grafic elementele sistemului mecanic studiat – un cu două roți vehicul cu un pendul invers atașat de el.
Orez. 1. Principalele elemente structurale ale dispozitivului mecanic luat în considerare
aici / 1 / I feili / Fr I
" 1 " \ 1 \ 1 i R J
Hr! / / / / /1 / / /
Orez. 2. Roțile stânga și dreapta ale unui dispozitiv mecanic cu cuplu de control
Parametri și variabile care descriu sistemul luat în considerare: j - unghiul de rotație al vehiculului; D este distanța dintre două roți de-a lungul centrului axei; R - raza roții; Jj - momentul de inerție; Tw este diferența de cuplu dintre roțile din stânga și din dreapta; v-
viteza longitudinală a vehiculului; c este unghiul de abatere al pendulului de la poziția verticală; m este masa pendulului inversat; l este distanța dintre centrul de greutate al corpului și
axul roții; Ti - suma cuplurilor roților din stânga și din dreapta; x - mișcarea vehiculului în direcția vitezei longitudinale; M - masa șasiului; M* - masa roții; Și - soluție de reacție.
Dinamica sistemului
Dinamica sistemului este descrisă de următoarele ecuații:
n = - + - Tn, W în á WR n
în = - - ml C0S în Tn,
unde T* = Tb - TJ; Тп = Ть + ТЯ; Mx =M + m + 2(M* + ^*); 1в = t/2 + 1С; 0.=Мх1в-т2/2 съ2 в;
<Р* = Рл С)Л = ^ С № = ^ О. (4)
Un model care descrie dinamica modificărilor parametrilor sistemului poate fi reprezentat sub forma a două subsisteme independente. Primul subsistem constă dintr-o ecuație - subsistemul p,
determinarea mișcărilor unghiulare ale vehiculului:
Ecuația (5) poate fi rescrisă ca un sistem de două ecuații:
unde e1 = P-Pd, e2 = (P-(Pa.
Al doilea subsistem, care descrie mișcările radiale ale vehiculului, precum și oscilațiile pendulului montat pe acesta, constă din două ecuații - (y,v) -subsistem:
U =-[ Jqml in2 sin in- m2l2 g sin in cos in] + Jq Tu W in S J WR u
în =- - ml С°*в Tv W WR
Sistemul (7) poate fi reprezentat convenabil ca un sistem de ecuații de ordinul întâi:
¿4 = TG" [ Jqml(qd + e6)2 sin(e5 +qd) - m¿l2g sin(e5 + qd) cos(e5 +qd)] + TShT v- Xd,
¿6 =~^- ^^^ +c)
unde W0 = MxJq- П121 2cos2(qd + e5), e3 = X - Xd, ¿4 = v - vd, ¿5 =q-qd, ¿6 =q-qd
Să luăm în considerare subsistemul (6), pe care îl vom controla folosind principiul feedback-ului. Pentru a face acest lucru, introducem o nouă variabilă și definim suprafața de comutare în spațiul de fază al sistemului ca ^ = 0.
5 = in! + с1е1, (9)
unde c este un parametru pozitiv. Rezultă direct din definiție:
■I = e+c1 e1 -sry + c1 e1. (10)
Pentru a stabiliza mișcarea de rotație, definim cuplul de control după cum urmează:
Т№ Р - ^ в1 - -М§П(51) - к2 (11)
unde, sunt parametrii pozitivi.
În mod similar vom construi controlul celui de-al doilea subsistem (8), care va fi de asemenea controlat folosind principiul feedback-ului. Pentru a face acest lucru, introducem o nouă variabilă și definim suprafața de comutare în spațiul de fază al sistemului ca ■2 = 0.
■2 = inc + C2inc, (12)
unde c2 este un parametru pozitiv, atunci
1 . 2 2 2
■2 = e3 + c2 e3 = (в + в6) ^5 + ве) - m 1 § ^5 + сс1)С08(е5 + ве)] +
7^T - + c2 ez
Pentru a stabiliza mișcarea radială, determinăm cuplul de control:
mt"2/2 ^k T = -Kt/ (vj+eb)r^t(eb + bj)+jn^ + bj)e08(e5 + bj)--0- \сr ez - +^n^) +kA ^],(14)
unde k3, k4 sunt parametri specificați pozitiv.
Pentru a controla simultan ambele subsisteme ale sistemului, introducem o acțiune suplimentară de control:
= § Hapv--[va + c3(v-vy) - k588p(^3) - kb 53], (15)
unde § este acceleratia liberului
căderi; c3, k5, kb - parametri pozitivi; 53 - suprafața de comutare determinată de raportul:
53 = e6 + c3e5.
Să formulăm principalele rezultate ale lucrării, care constau în posibilitatea fundamentală de stabilizare a ambelor subsisteme, în ipotezele făcute cu privire la acțiunile de control, în vecinătatea poziției de echilibru zero.
Teorema 1. Sistemul (6) cu acțiune de control (11) este absolut stabil asimptotic:
Nsh || e11|® 0,
Nsh || e2 ||® 0. t®¥u 2
Demonstrație: definim funcția Lyapunov ca
unde a = Dj 2 RJр.
În mod evident, funcția V > 0, atunci
V = Ш1 Si = Si. (18)
Înlocuind (14) în V, obținem
V = -(£ Sgn(S1) + k2(S1))S1. (19)
Evident, V1 Teorema 2. Considerăm subsistemul (8) cu acțiune de control (14). În ipotezele făcute, acest sistem este absolut stabil asimptotic, adică, în orice condiții inițiale, sunt îndeplinite următoarele relații: lim ||e3 ||® 0, t®¥ (20) lim 11 e41|® o. Demonstrație: definim funcția Lyapunov pentru sistemul (8) prin intermediul relației unde b =Wo R!Je. În mod evident, funcția V2 > 0 și V2 = M S2 = S2, deoarece apar zone de insensibilitate la acțiunea de control. Să dăm scurtă descriere convertorul de histerezis utilizat în viitor este o reacție, bazată pe interpretarea operatorului. Ieșirea convertizorului - reacție la intrările monotone este descrisă de relația: x(t0) pentru acele t pentru care x(t0) - h< u(t) < x(t0), x(t) = \u(t) при тех t, при которых u(t) >x(t0), (24) u(t) + h pentru acele t pentru care u(t)< x(t0) - h, care este ilustrat în Fig. 3. Folosind identitatea de semigrup, acțiunea operatorului se extinde la toate intrările monotone pe bucăți: Г x(t) = Г [ Г x(t1), h]x(t) (25) şi cu ajutorul special design suprem pentru toate continuu. Deoarece ieșirea acestui operator nu este diferențiabilă, în cele ce urmează se folosește aproximarea jocului prin modelul Bouk-Wen. Acest model semifizic binecunoscut este utilizat pe scară largă pentru descrierea fenomenologică a efectelor de histerezis. Popularitatea modelului Bouka-Wen renumit pentru capacitatea sa de a acoperi într-o formă analitică diverse forme cicluri de histerezis. Descrierea formală a modelului se reduce la sistemul următoarelor ecuații: Fbw (x, ^ = akh() + (1 -a)Dkz(t), = D"1(AX -р\х \\z \п-1 z -ухе | z |п). (26) Fbw(x,t) este tratat ca ieșire a convertorului de histerezis și x(t) ca intrare. Aici n > 1, D > 0 k > 0 și 0<а< 1. Orez. 3. Dinamica corespondențelor de reacție intrare-ieșire Să luăm în considerare o generalizare a sistemelor (6) și (8), în care acțiunea de control este furnizată la intrarea convertorului de histerezis, iar ieșirea este acțiunea de control asupra sistemului: Fbw (x, t) = akx(t) + (1 - a)Dkz(t), z = D_1(Ax-b\x || z \n-1 z - gx | z\n). ¿4 = W-J mlQd + eb)2 sin(e5 + q) - m2l2g sin(e5 + ed) cos(e5 + 0d)] + ¿b = W -Fbw (x, t) = akx(t) + (1 - a)Dkz(t), ^ z = D_1(A x- b\x\\z\n-1 z-gx\ z\n). Ca și înainte, în sistemul luat în considerare, principala problemă a fost stabilizarea, adică comportamentul asimptotic al variabilelor sale de fază. Mai jos sunt grafice pentru aceiași parametri fizici ai sistemului, cu și fără reacție. Acest sistem a fost studiat prin experimente numerice. Această problemă a fost rezolvată în mediul de programare Wolfram Mathematica. Valorile constantelor și condițiilor inițiale sunt prezentate mai jos: m = 3; M = 5; Mw = 1; D = 1,5; R = 0,25; l = 0,2; Jw = 1,5; Jc = 5; Jv = 1,5; j(0) = 0;x(0) = 0; Q(0) = 0,2; y(0) = [ j(0) x(0) Q(0)f = )