Formula pentru găsirea zonei. Cum să găsiți zone geometrice ale formelor

Note importante!
1. Dacă vedeți gobbledygook în loc de formule, ștergeți memoria cache. Cum să faceți acest lucru în browser este scris aici:
2. Înainte de a începe să citești articolul, fii atent la navigatorul nostru cel mai mult resursă utilă Pentru

Cum să găsiți zona figurilor pe hârtie în carouri:

Să ilustrăm prima cale.

Să presupunem că trebuie să găsiți aria unui astfel de trapez, construit pe o foaie de hârtie într-o cușcă

Numărăm celulele și vedem asta în cazul nostru și. Înlocuiți în formula:

Pare chiar dreptunghiular și, dar cu ce este egal și cu ce este egal? Cum să aflu? Să folosim ambele metode pentru o claritate completă.

Metoda I

Metoda II (vă voi spune un secret - această metodă este mai bună!)

Trebuie să ne înconjurăm figura cu un dreptunghi. Ca aceasta:

Rezultatul este un triunghi (necesar) în interior și trei triunghiuri inutile în exterior. Dar zonele acestor triunghiuri inutile sunt ușor de calculat pe o foaie de hârtie în carouri!

Deci le vom număra și apoi pur și simplu le vom scădea din întregul dreptunghi.

De ce este mai bună această metodă? Deoarece funcționează chiar și pentru cele mai viclene figuri.

Îl înconjurăm cu un dreptunghi și din nou obținem o zonă necesară, dar complexă și multe inutile, dar simple.

Acum, pentru a găsi aria, găsim pur și simplu aria dreptunghiului și scădem din ea aria rămasă a figurilor de pe hârtia în carouri.

PĂTRAT DE FIGURE PE HÂRTIE VERDATĂ. REZUMAT ȘI FORMULE DE BAZĂ

Algoritm pentru găsirea zonei figurilor pe hârtie în carouri:

Metoda 1: (convenient pentru forme standard: triunghi, trapez etc.)

Numărând celulele și aplicând teoreme simple, găsiți acele laturi, înălțimi, diagonale care sunt necesare pentru aplicarea formulei ariei.
Înlocuiți valorile găsite în ecuația ariei.

Metoda 2: (foarte convenabil pentru figurile complexe, dar nici rea pentru cele simple)

Completați figura dorită până la un dreptunghi.
Găsiți aria tuturor figurilor suplimentare rezultate și aria dreptunghiului în sine.
Din aria dreptunghiului, scădeți suma ariilor tuturor formelor suplimentare.

Ei bine, subiectul s-a terminat. Dacă citești aceste rânduri, înseamnă că ești foarte cool.

Pentru că doar 5% dintre oameni sunt capabili să stăpânească ceva pe cont propriu. Și dacă citești până la capăt, atunci ești în acest 5%!

Acum cel mai important lucru.

Ați înțeles teoria pe această temă. Și, repet, asta... asta este pur și simplu super! Ești deja mai bun decât marea majoritate a colegilor tăi.

Problema este că acest lucru poate să nu fie suficient...

Pentru ce?

Pentru succes promovarea examenului de stat unificat, pentru admiterea la facultate cu buget redus și, CEL MAI IMPORTANT, pe viață.

Nu te voi convinge de nimic, o să spun doar un lucru...

Oamenii care au primit buna educatie, câștigă mult mai mult decât cei care nu l-au primit. Aceasta este statistica.

Dar acesta nu este principalul lucru.

Principalul lucru este că sunt MAI FERICIȚI (există astfel de studii). Poate pentru că mai multe oportunități se deschid în fața lor și viața devine mai strălucitoare? nu stiu...

Dar gandeste-te singur...

Ce este nevoie pentru a fi sigur că ești mai bun decât alții la examenul de stat unificat și, în cele din urmă, fii... mai fericit?

CĂGAȚI-VĂ MÂNĂ PRIN REZOLVAREA PROBLEMELOR PE ACEST TEMA.

Nu ți se va cere teorie în timpul examenului.

vei avea nevoie rezolva problemele in timp.

Și, dacă nu le-ați rezolvat (MULTE!), cu siguranță veți face o greșeală stupidă undeva sau pur și simplu nu veți avea timp.

Este ca în sport - trebuie să o repeți de multe ori pentru a câștiga cu siguranță.

Găsiți colecția oriunde doriți, neapărat cu soluții, analiză detaliată și decide, decide, decide!

Puteți folosi sarcinile noastre (opțional) și noi, bineînțeles, le recomandăm.

Pentru a folosi mai bine sarcinile noastre, trebuie să contribuiți la prelungirea duratei de viață a manualului YouClever pe care îl citiți în prezent.

Cum? Există două opțiuni:

Deblocați toate sarcinile ascunse din acest articol -
Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse din toate cele 99 de articole ale manualului - Cumpărați un manual - 499 RUR

Da, avem 99 de astfel de articole în manualul nostru și accesul la toate sarcinile și toate textele ascunse din ele poate fi deschis imediat.

Accesul la toate sarcinile ascunse este asigurat pe toată durata de viață a site-ului.

Si in concluzie...

Dacă nu vă plac sarcinile noastre, găsiți altele. Doar nu te opri la teorie.

„Înțeles” și „Pot rezolva” sunt abilități complet diferite. Ai nevoie de amândouă.

Găsiți probleme și rezolvați-le!

Aria unei figuri geometrice- o caracteristică numerică a unei figuri geometrice care arată dimensiunea acestei figuri (parte a suprafeței limitată de conturul închis al acestei figuri). Mărimea zonei este exprimată prin numărul de unități pătrate conținute în ea.

Formulele ariei triunghiulare

Formula pentru aria unui triunghi după latură și înălțime
Aria unui triunghi egal cu jumătate din produsul lungimii unei laturi a unui triunghi și lungimea altitudinii trasate pe această latură
Formula pentru aria unui triunghi bazată pe trei laturi și raza cercului circumferitor
Formula pentru aria unui triunghi bazată pe trei laturi și raza cercului înscris
Aria unui triunghi este egal cu produsul dintre semiperimetrul triunghiului și raza cercului înscris.

Formule de suprafață pătrată

Formula pentru aria unui pătrat cu lungimea laturii
Suprafata patrata egal cu pătratul lungimii laturii sale.
Formula pentru aria unui pătrat de-a lungul lungimii diagonalei
Suprafata patrata egal cu jumătate din pătratul lungimii diagonalei sale.
S= 1 2
2

Formula zonei dreptunghiulare

Aria unui dreptunghi

Formule cu arii de paralelogram

Formula pentru aria unui paralelogram bazată pe lungimea și înălțimea laturii
Aria unui paralelogram
Formula pentru aria unui paralelogram bazată pe două laturi și unghiul dintre ele
Aria unui paralelogram este egal cu produsul lungimilor laturilor sale înmulțit cu sinusul unghiului dintre ele.
a b sin α

Formule pentru aria unui romb

Formula pentru aria unui romb bazată pe lungimea și înălțimea laturii
Zona unui romb egal cu produsul dintre lungimea laturii sale și lungimea înălțimii coborâte pe această latură.
Formula pentru aria unui romb bazată pe lungimea și unghiul laturii
Zona unui romb este egal cu produsul dintre pătratul lungimii laturii sale și sinusul unghiului dintre laturile rombului.
Formula pentru aria unui romb bazată pe lungimile diagonalelor sale
Zona unui romb egal cu jumătate din produsul lungimilor diagonalelor sale.

Formule ale zonei trapezoidale

Formula lui Heron pentru trapez
Unde S este aria trapezului,
- lungimile bazelor trapezului,
- lungimile laturilor trapezului,

Lecție pe tema: „Formule pentru determinarea ariei unui triunghi, dreptunghi, pătrat”

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, recenziile, urările voastre. Toate materialele au fost verificate de un program antivirus.

Ajutoare educaționale și simulatoare în magazinul online Integral pentru clasa a 5-a
Simulator pentru manual de I.I. Zubareva și A.G. Mordkovich
Simulator pentru manual de G.V Dorofeev și L.G

Definiția și conceptul ariei unei figuri

Pentru a înțelege mai bine care este aria unei figuri, luați în considerare figura.
Această cifră arbitrară este împărțită în 12 pătrate mici. Latura fiecărui pătrat este de 1 cm, iar aria fiecărui pătrat este de 1 centimetru pătrat, care se scrie după cum urmează: 1 cm2.

Apoi, aria figurii este de 12 centimetri pătrați. În matematică, aria este desemnată cu litera latină S.
Aceasta înseamnă că aria figurii noastre este: Forma S = 12 cm 2.

Aria figurii este egală cu aria tuturor pătratelor mici care o alcătuiesc!

Băieți, amintiți-vă!
Aria se măsoară în unități pătrate de lungime. Unități de suprafață:
1. Kilometru pătrat - km 2 (când zonele sunt foarte mari, de exemplu, o țară sau o mare).
2. Metru pătrat - m2 (destul de potrivit pentru măsurarea suprafeței unui teren sau apartament).
3. Centimetru pătrat - cm 2 (utilizat de obicei la lecțiile de matematică la desenarea figurilor într-un caiet).
4. Milimetru pătrat- mm 2.

Aria unui triunghi

Să luăm în considerare două tipuri de triunghiuri: dreptunghiulare și arbitrare.

Pentru a găsi aria unui triunghi dreptunghic, trebuie să cunoașteți lungimea bazei și înălțimea. Într-un triunghi dreptunghic, înălțimea este înlocuită cu una dintre laturi. Prin urmare, în formula pentru aria unui triunghi, în loc de înălțime, înlocuim una dintre laturi.
În exemplul nostru, laturile sunt de 7 cm și 4 cm Formula pentru calcularea ariei unui triunghi este scrisă după cum urmează:
S de triunghi dreptunghic ABC = BC * CA: 2

S de triunghi dreptunghic ABC = 7 cm * 4 cm: 2 = 14 cm 2

Acum luați în considerare un triunghi arbitrar.

Pentru un astfel de triunghi, trebuie să desenați înălțimea la bază.
În exemplul nostru, înălțimea este de 6 cm și baza este de 8 cm. Ca și în exemplul anterior, calculăm aria folosind formula:
S dintr-un triunghi arbitrar ABC = BC * h: 2.

Să substituim datele noastre în formulă și să obținem:
S al unui triunghi arbitrar ABC = 8 cm * 6 cm: 2 = 24 cm 2.

Aria unui dreptunghi și pătrat

Luați un dreptunghi ABCD cu laturile de 5 cm și 8 cm.

Formula pentru calcularea ariei unui dreptunghi este scrisă după cum urmează:
S dreptunghi ABCD = AB * BC.

S dreptunghi ABCD = 8 cm * 5 cm = 40 cm 2.

Acum să calculăm aria pătratului. Spre deosebire de un dreptunghi și un triunghi, pentru a găsi aria unui pătrat trebuie să cunoști doar o latură. În exemplul nostru, latura pătratului ABCD este de 9 cm. S pătrat ABCD = AB * BC = AB 2.

Să substituim datele noastre în formulă și să obținem:
S pătrat ABCD = 9 cm * 9 cm = 81 cm 2.

Pătrate forme geometrice- valori numerice care le caracterizează mărimea în spatiu bidimensional. Această valoare poate fi măsurată în unități de sistem și non-sistem. Deci, de exemplu, o unitate de suprafață nesistemică este o sută, un hectar. Acesta este cazul dacă suprafața care se măsoară este o bucată de pământ. Unitatea de unitate de suprafață a sistemului este pătratul lungimii. În sistemul SI se acceptă în general că unitatea de suprafață a unei suprafețe plane este metru pătrat. În GHS, unitatea de suprafață este exprimată ca un centimetru pătrat.

Formulele de geometrie și zone sunt indisolubil legate. Această legătură constă în faptul că calculul suprafețelor figuri plate se bazează tocmai pe aplicarea lor. Pentru multe figuri, sunt derivate mai multe opțiuni din care sunt calculate dimensiunile lor pătrate. Pe baza datelor din enunțul problemei, putem determina cea mai simplă soluție posibilă. Acest lucru va facilita calculul și va reduce probabilitatea erorilor de calcul la minimum. Pentru a face acest lucru, luați în considerare principalele zone ale figurilor din geometrie.

Formulele pentru găsirea ariei oricărui triunghi sunt prezentate în mai multe opțiuni:

1) Aria unui triunghi se calculează de la baza a și înălțimea h. Baza este considerată a fi partea figurii pe care este coborâtă înălțimea. Atunci aria triunghiului este:

2) Aria unui triunghi dreptunghic se calculează în același mod dacă ipotenuza este considerată baza. Dacă luăm piciorul ca bază, atunci aria triunghiului dreptunghic va fi egală cu produsul picioarelor înjumătățite.

Formulele pentru calcularea ariei oricărui triunghi nu se termină aici. O altă expresie conține laturile a,bși o funcție sinusoidală a unghiului γ dintre a și b. Valoarea sinusului se găsește în tabele. O poți afla și folosind un calculator. Atunci aria triunghiului este:

Folosind această egalitate, puteți verifica, de asemenea, că aria unui triunghi dreptunghic este determinată prin lungimile catetelor. Deoarece unghiul γ este un unghi drept, deci aria unui triunghi dreptunghic se calculează fără a se înmulți cu funcția sinus.

3) Luați în considerare caz special- un triunghi regulat a cărui latură a este cunoscută după condiție sau lungimea lui poate fi găsită la rezolvare. Nu se știe mai mult despre figura din problema geometriei. Atunci cum să găsești zona în această condiție? În acest caz, se aplică formula pentru aria unui triunghi obișnuit:

Dreptunghi

Cum să găsiți aria unui dreptunghi și să utilizați dimensiunile laturilor care au un vârf comun? Expresia pentru calcul este:

Dacă trebuie să utilizați lungimile diagonalelor pentru a calcula aria unui dreptunghi, atunci veți avea nevoie de o funcție a sinusului unghiului format atunci când se intersectează. Această formulă pentru aria unui dreptunghi este:

Pătrat

Aria unui pătrat este determinată ca a doua putere a lungimii laturii:

Dovada rezultă din definiția că un pătrat este dreptunghi. Toate laturile care formează un pătrat au aceleași dimensiuni. Prin urmare, calcularea ariei unui astfel de dreptunghi se reduce la înmulțirea unul cu celălalt, adică la a doua putere a laturii. Și formula pentru calcularea ariei unui pătrat va lua forma dorită.

Aria unui pătrat poate fi găsită într-un alt mod, de exemplu, dacă utilizați diagonala:

Cum se calculează aria unei figuri care este formată dintr-o parte a unui plan delimitată de un cerc? Pentru a calcula suprafața, formulele sunt:

Paralelogram

Pentru un paralelogram, formula conține dimensiuni liniare laturi, înălțimi și operație matematică - înmulțire. Dacă înălțimea este necunoscută, atunci cum să găsiți aria paralelogramului? Există o altă modalitate de a calcula. Va fi solicitat valoare specifică, care va accepta functie trigonometrica unghiul format de laturile adiacente, precum și lungimea acestora.

Formulele pentru aria unui paralelogram sunt:

Romb

Cum să găsiți aria unui patrulater numit romb? Aria unui romb se determină folosind matematică simplă cu diagonale. Dovada se bazează pe faptul că segmentele diagonale din d1 și d2 se intersectează în unghi drept. Din tabelul sinusurilor se vede ca pt unghi drept această funcție este egală cu unu. Prin urmare, aria unui romb se calculează după cum urmează:

Zona unui romb poate fi găsită și în alt mod. Nici acest lucru nu este greu de demonstrat, având în vedere că laturile sale au aceeași lungime. Apoi înlocuiți produsul lor într-o expresie similară pentru un paralelogram. La urma urmei, un caz special al acestei figuri este un romb. Aici γ - colț interior romb Aria unui romb se determină după cum urmează:

Trapez

Cum să găsiți aria unui trapez prin bazele (a și b), dacă problema indică lungimile acestora? Aici, fără o valoare cunoscută a lungimii înălțimii h, nu va fi posibil să se calculeze aria unui astfel de trapez. Deoarece această valoare conține expresia pentru calcul:

Dimensiunea pătrată a unui trapez dreptunghiular poate fi, de asemenea, calculată în același mod. Se ține cont de faptul că într-un trapez dreptunghiular se îmbină conceptele de înălțime și latură. Prin urmare, pentru un trapez dreptunghiular, trebuie să specificați lungimea laturii laterale în loc de înălțime.

Cilindru și paralelipiped

Să luăm în considerare ceea ce este necesar pentru a calcula suprafața întregului cilindru. Aria unei figuri date este o pereche de cercuri numite baze și suprafata laterala. Cercurile care formează cercuri au raza lungimii egale cu r. Pentru aria unui cilindru are loc următorul calcul:

Cum să găsiți aria unui paralelipiped care constă din trei perechi de fețe? Măsurătorile sale se potrivesc cu perechea specifică. Fețele opuse au aceiași parametri. Mai întâi, găsiți S(1), S(2), S(3) - dimensiunile pătrate ale fețelor inegale. Atunci aria suprafeței paralelipipedului este:

Inel

Două cercuri cu centru comun formează un inel. De asemenea, limitează zona inelului. În același timp, ambele formule de calcul luați în considerare dimensiunile fiecărui cerc. Primul dintre ele, calculând aria inelului, conține razele R mai mari și r mai mici. Mai des sunt numite externe și interne. În a doua expresie, aria inelului este calculată prin diametrele D mai mari și d mai mici. Astfel, aria inelului pe baza razelor cunoscute se calculează după cum urmează:

Aria inelului, folosind lungimile diametrelor, se determină după cum urmează:

Poligon

Cum să găsiți aria unui poligon a cărui formă nu este regulată? Formula generala Nu există astfel de cifre pentru zonă. Dar dacă este reprezentat pe un plan de coordonate, de exemplu, ar putea fi hârtie în carouri, atunci cum să găsiți suprafața în acest caz? Aici folosesc o metodă care nu necesită măsurarea aproximativă a cifrei. Ei fac asta: dacă găsesc puncte care cad în colțul celulei sau au coordonate întregi, atunci doar ele sunt luate în considerare. Pentru a afla apoi care este zona, folosește formula dovedită de Peake. Este necesar să adăugați numărul de puncte situate în interiorul liniei întrerupte cu jumătate din punctele aflate pe ea și să scădeți unul, adică se calculează astfel:

unde B, G sunt numărul de puncte situate în interiorul și respectiv pe întreaga linie întreruptă.

Pentru a rezolva probleme de geometrie, trebuie să cunoașteți formule - cum ar fi aria unui triunghi sau aria unui paralelogram - precum și tehnici simple, despre care vom vorbi.

Mai întâi, să învățăm formulele pentru zonele figurilor. Le-am adunat special într-o masă convenabilă. Printează, învață și aplică!

Desigur, nu toate formulele de geometrie sunt în tabelul nostru. De exemplu, pentru a rezolva probleme de geometrie și stereometrie din a doua parte a profilului Unified State Examen de matematică, se folosesc alte formule pentru aria unui triunghi. Cu siguranță vă vom spune despre ele.

Ce trebuie să faceți dacă trebuie să găsiți nu aria unui trapez sau triunghi, ci aria unora figură complexă? Mânca metode universale! Le vom arăta folosind exemple din banca de activități FIPI.

1. Cum să găsiți aria unei figuri nestandard? De exemplu, un patrulater arbitrar? O tehnică simplă - să împărțim această cifră în cele despre care știm totul și să îi găsim aria - ca suma suprafețelor acestor cifre.

Împărțiți acest patrulater cu o linie orizontală în două triunghiuri cu o bază comună egală cu . Înălțimile acestor triunghiuri sunt egale cu și . Atunci aria patrulaterului este egală cu suma ariilor celor două triunghiuri: .

Raspuns: .

2. În unele cazuri, aria unei figuri poate fi reprezentată ca diferența unor zone.

Nu este atât de ușor să calculezi care sunt baza și înălțimea în acest triunghi! Dar putem spune că aria sa este egală cu diferența dintre ariile unui pătrat cu o latură și trei triunghiuri dreptunghiulare. Ii vezi in poza? Primim: .

Raspuns: .

3. Uneori, într-o sarcină, trebuie să găsiți zona nu a întregii figuri, ci a unei părți a acesteia. De obicei, vorbim despre aria unui sector - parte a unui cerc Găsiți aria unui sector al unui cerc de rază a cărui lungime a arcului este egală cu .

În această imagine vedem o parte dintr-un cerc. Aria întregului cerc este egală cu . Rămâne să aflăm care parte a cercului este reprezentată. Deoarece lungimea întregului cerc este egală (din moment ce ), iar lungimea arcului acest sector egală, prin urmare, lungimea arcului este o dată mai mică decât lungimea întregului cerc. Unghiul la care se sprijină acest arc este, de asemenea, un factor mai mic decât un cerc complet (adică grade). Aceasta înseamnă că aria sectorului va fi de câteva ori mai mică decât aria întregului cerc.