Am învățat deja să rezolvăm ecuații pătratice. Acum să extindem metodele studiate la ecuații raționale.
Ce este o expresie rațională? Am întâlnit deja acest concept. Expresii raționale sunt expresii alcătuite din numere, variabile, puterile acestora și simboluri ale operațiilor matematice.
În consecință, ecuațiile raționale sunt ecuații de forma: , unde 
- expresii raționale.
Anterior, am luat în considerare doar acele ecuații raționale care pot fi reduse la ecuații liniare. Acum să ne uităm la acele ecuații raționale care pot fi reduse la ecuații patratice.
Exemplul 1
Rezolvați ecuația: .
Soluţie:
O fracție este egală cu 0 dacă și numai dacă numărătorul ei este egal cu 0 și numitorul ei nu este egal cu 0.
Obtinem urmatorul sistem:
Prima ecuație a sistemului este o ecuație pătratică. Înainte de a o rezolva, să împărțim toți coeficienții săi la 3. Obținem:
Obținem două rădăcini: ; .
Deoarece 2 nu este niciodată egal cu 0, trebuie îndeplinite două condiții: 
. Deoarece niciuna dintre rădăcinile ecuației obținute mai sus nu coincide cu valorile invalide ale variabilei care au fost obținute la rezolvarea celei de-a doua inegalități, ambele sunt soluții ecuația dată.
Răspuns:.
Deci, să formulăm un algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor raționale:
1. Mutați toți termenii în partea stângă, astfel încât partea dreaptă să se termine cu 0.
2. Transformați și simplificați partea stângă, aduceți toate fracțiile la un numitor comun.
3. Echivalează fracția rezultată cu 0 utilizând următorul algoritm: 
.
4. Notează acele rădăcini care au fost obținute în prima ecuație și satisface a doua inegalitate din răspuns.
Să ne uităm la un alt exemplu.
Exemplul 2
Rezolvați ecuația: 
.
Soluţie
La început, mutăm toți termenii spre stânga, astfel încât 0 să rămână în dreapta.
Acum să aducem partea stângă a ecuației la un numitor comun:
Această ecuație este echivalentă cu sistemul:
Prima ecuație a sistemului este o ecuație pătratică.
Coeficienții acestei ecuații: . Calculăm discriminantul:
Obținem două rădăcini: ; .
Acum să rezolvăm a doua inegalitate: produsul factorilor nu este egal cu 0 dacă și numai dacă niciunul dintre factori nu este egal cu 0.
Trebuie îndeplinite două condiții: 
. Constatăm că dintre cele două rădăcini ale primei ecuații, doar una este potrivită - 3.
Răspuns:.
În această lecție, ne-am amintit ce este o expresie rațională și am învățat, de asemenea, cum să rezolvăm ecuații raționale, care se reduc la ecuații patratice.
În lecția următoare ne vom uita la ecuațiile raționale ca modele de situații reale și, de asemenea, vom analiza problemele de mișcare.
Referințe
- Bashmakov M.I. Algebră, clasa a VIII-a. - M.: Educație, 2004.
- Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovici E.A. şi alţii Algebra, 8. Ed. a 5-a. - M.: Educație, 2010.
- Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebră, clasa a VIII-a. Tutorial pentru institutii de invatamant. - M.: Educație, 2006.
- Festivalul ideilor pedagogice” Lecție deschisă" ().
- School.xvatit.com ().
- Rudocs.exdat.com ().
Teme pentru acasă
O expresie întreagă este o expresie matematică formată din numere și variabile literale folosind operațiile de adunare, scădere și înmulțire. Numerele întregi includ și expresii care implică împărțirea cu orice număr, altul decât zero.
Conceptul de expresie rațională fracțională
O expresie fracționară este o expresie matematică care, pe lângă operațiile de adunare, scădere și înmulțire efectuate cu numere și variabile cu litere, precum și împărțirea cu un număr diferit de zero, conține și împărțirea în expresii cu variabile cu litere.
Expresiile raționale sunt toate expresii întregi și fracționale. Ecuații raționale sunt ecuații în care laturile stânga și dreapta sunt expresii raționale. Dacă într-o ecuație rațională părțile stânga și dreaptă sunt expresii întregi, atunci o astfel de ecuație rațională se numește întreg.
Dacă într-o ecuație rațională părțile stânga sau dreaptă sunt expresii fracționale, atunci o astfel de ecuație rațională se numește fracțional.
Exemple de expresii raționale fracționale
1. x-3/x = -6*x+19
2. (x-4)/(2*x+5) = (x+7)/(x-2)
3. (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5))
Schema de rezolvare a unei ecuații raționale fracționale
1. Aflați numitorul comun al tuturor fracțiilor care sunt incluse în ecuație.
2. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu un numitor comun.
3. Rezolvați întreaga ecuație rezultată.
4. Verificați rădăcinile și excludeți-le pe cele care fac să dispară numitorul comun.
Deoarece rezolvăm ecuații raționale fracționale, vor exista variabile în numitorii fracțiilor. Aceasta înseamnă că vor fi un numitor comun. Și în al doilea punct al algoritmului înmulțim cu un numitor comun, atunci pot apărea rădăcini străine. La care numitorul comun va fi egal cu zero, ceea ce înseamnă că înmulțirea cu acesta va fi lipsită de sens. Prin urmare, la final este necesar să se verifice rădăcinile obținute.
Să ne uităm la un exemplu:
Rezolvați ecuația rațională fracțională: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5)).
Ne vom ține de schema generala: Să găsim mai întâi numitorul comun al tuturor fracțiilor. Obținem x*(x-5).
Înmulțiți fiecare fracție cu un numitor comun și scrieți întreaga ecuație rezultată.
(x-3)/(x-5) * (x*(x-5))= x*(x+3);
1/x * (x*(x-5)) = (x-5);
(x+5)/(x*(x-5)) * (x*(x-5)) = (x+5);
x*(x+3) + (x-5) = (x+5);
Să simplificăm ecuația rezultată. Primim:
x^2+3*x + x-5 - x - 5 =0;
x^2+3*x-10=0;
Obținem o ecuație pătratică simplă redusă. O rezolvam cu oricare dintre metode cunoscute, obținem rădăcinile x=-2 și x=5.
Acum verificăm soluțiile obținute:
Înlocuiți numerele -2 și 5 în numitorul comun. La x=-2, numitorul comun x*(x-5) nu dispare, -2*(-2-5)=14. Aceasta înseamnă că numărul -2 va fi rădăcina ecuației raționale fracționale originale.
La x=5 numitorul comun x*(x-5) devine zero. Prin urmare, acest număr nu este rădăcina ecuației raționale fracționale inițiale, deoarece va exista o împărțire la zero.
Am introdus ecuația de mai sus în § 7. Mai întâi, să ne amintim ce este o expresie rațională. Aceasta este o expresie algebrică formată din numere și variabila x folosind operațiile de adunare, scădere, înmulțire, împărțire și exponențiere cu un exponent natural.
Dacă r(x) este o expresie rațională, atunci ecuația r(x) = 0 se numește ecuație rațională.
Cu toate acestea, în practică, este mai convenabil să folosiți o interpretare puțin mai largă a termenului „ecuație rațională”: aceasta este o ecuație de forma h(x) = q(x), unde h(x) și q(x) sunt expresii raționale.
Până acum nu am putut rezolva nicio ecuație rațională, ci doar una care, ca urmare a diferitelor transformări și raționamente, s-a redus la ecuație liniară. Acum capacitățile noastre sunt mult mai mari: vom putea rezolva o ecuație rațională care se reduce nu numai la liniară.
mu, dar și la ecuația pătratică.
Să ne amintim cum am rezolvat mai înainte ecuațiile raționale și să încercăm să formulăm un algoritm de soluție.
Exemplul 1. Rezolvați ecuația
Soluţie. Să rescriem ecuația sub forma
În acest caz, ca de obicei, profităm de faptul că egalitățile A = B și A - B = 0 exprimă aceeași relație între A și B. Acest lucru ne-a permis să mutăm termenul în partea stângă a ecuației cu semnul opus.
Să transformăm partea stângă a ecuației. Avem
Să ne amintim condițiile egalității fractii zero: dacă și numai dacă două relații sunt satisfăcute simultan:
1) numărătorul fracției este zero (a = 0); 2) numitorul fracției este diferit de zero).
Echivalând numărătorul fracției din partea stângă a ecuației (1) la zero, obținem
Rămâne de verificat îndeplinirea celei de-a doua condiții indicate mai sus. Relația înseamnă pentru ecuația (1) că . Valorile x 1 = 2 și x 2 = 0,6 satisfac relațiile indicate și, prin urmare, servesc ca rădăcini ale ecuației (1) și, în același timp, rădăcinile ecuației date.
1) Să transformăm ecuația în formă
2) Să transformăm partea stângă a acestei ecuații:
(a schimbat simultan semnele la numărător și
fracții).
Astfel, ecuația dată ia forma
3) Rezolvați ecuația x 2 - 6x + 8 = 0. Aflați
4) Pentru valorile găsite, verificați îndeplinirea condiției 
. Numărul 4 îndeplinește această condiție, dar numărul 2 nu. Aceasta înseamnă că 4 este rădăcina ecuației date, iar 2 este o rădăcină străină.
RĂSPUNS: 4.
2. Rezolvarea ecuaţiilor raţionale prin introducerea unei noi variabile
Metoda de introducere a unei noi variabile vă este familiară; am folosit-o de mai multe ori. Să arătăm cu exemple cum este utilizat în rezolvarea ecuațiilor raționale.
Exemplul 3. Rezolvați ecuația x 4 + x 2 - 20 = 0.
Soluţie. Să introducem o nouă variabilă y = x 2 . Deoarece x 4 = (x 2) 2 = y 2, atunci ecuația dată poate fi rescrisă ca
y 2 + y - 20 = 0.
Aceasta este o ecuație pătratică, ale cărei rădăcini pot fi găsite folosind cunoscut formule; obținem y 1 = 4, y 2 = - 5.
Dar y = x 2, ceea ce înseamnă că problema a fost redusă la rezolvarea a două ecuații:
x 2 =4; x 2 = -5.
Din prima ecuație aflăm că a doua ecuație nu are rădăcini.
Raspuns: .
O ecuație de forma ax 4 + bx 2 + c = 0 se numește ecuație biquadratică („bi” este doi, adică un fel de ecuație „dublă pătratică”). Ecuația tocmai rezolvată a fost tocmai biquadratică. Orice ecuație biquadratică se rezolvă în același mod ca și ecuația din Exemplul 3: introduceți o nouă variabilă y = x 2, rezolvați ecuația pătratică rezultată în raport cu variabila y și apoi reveniți la variabila x.
Exemplul 4. Rezolvați ecuația
Soluţie. Rețineți că aceeași expresie x 2 + 3x apare de două ori aici. Aceasta înseamnă că este logic să introduceți o nouă variabilă y = x 2 + 3x. Acest lucru ne va permite să rescriem ecuația într-o formă mai simplă și mai plăcută (care, de fapt, este scopul introducerii unui nou variabilă- si simplificarea inregistrarii
devine mai clară, iar structura ecuației devine mai clară):
Acum să folosim algoritmul pentru rezolvarea unei ecuații raționale.
1) Să mutăm toți termenii ecuației într-o singură parte:
= 0
2) Transformați partea stângă a ecuației
Deci, am transformat ecuația dată în forma
3) Din ecuația - 7y 2 + 29y -4 = 0 găsim (tu și cu mine am rezolvat deja destul de multe ecuații pătratice, așa că probabil că nu merită să dați întotdeauna calcule detaliate în manual).
4) Să verificăm rădăcinile găsite folosind condiția 5 (y - 3) (y + 1). Ambele rădăcini îndeplinesc această condiție.
Deci, ecuația pătratică pentru noua variabilă y este rezolvată: 
Deoarece y = x 2 + 3x, iar y, după cum am stabilit, ia două valori: 4 și , mai avem de rezolvat două ecuații: x 2 + 3x = 4; x 2 + Zx = . Rădăcinile primei ecuații sunt numerele 1 și - 4, rădăcinile celei de-a doua ecuații sunt numerele
În exemplele luate în considerare, metoda de introducere a unei noi variabile a fost, după cum le place să spună matematicienii, adecvată situației, adică îi corespundea bine. De ce? Da, pentru că aceeași expresie a apărut clar în ecuație de mai multe ori și a existat un motiv pentru a desemna această expresie cu o nouă literă. Dar acest lucru nu se întâmplă întotdeauna, uneori, o nouă variabilă „apare” doar în timpul procesului de transformare. Este exact ceea ce se va întâmpla în exemplul următor.
Exemplul 5. Rezolvați ecuația
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
Soluţie. Avem
x(x - 3) = x 2 - 3x;
(x - 1)(x - 2) = x 2 -Зx+2.
Aceasta înseamnă că ecuația dată poate fi rescrisă sub formă
(x 2 - 3x)(x 2 + 3x + 2) = 24
Acum a „apărut” o nouă variabilă: y = x 2 - 3x.
Cu ajutorul ei, ecuația poate fi rescrisă sub forma y (y + 2) = 24 și apoi y 2 + 2y - 24 = 0. Rădăcinile acestei ecuații sunt numerele 4 și -6.
Revenind la variabila inițială x, obținem două ecuații x 2 - 3x = 4 și x 2 - 3x = - 6. Din prima ecuație găsim x 1 = 4, x 2 = - 1; a doua ecuație nu are rădăcini.
RĂSPUNS: 4, - 1.
Rezolvarea ecuațiilor cu fracții Să ne uităm la exemple. Exemplele sunt simple și ilustrative. Cu ajutorul lor, vei putea înțelege în cel mai înțeles mod.
De exemplu, trebuie să rezolvați ecuația simplă x/b + c = d.
O ecuație de acest tip se numește liniară, deoarece Numitorul conține doar numere.
Rezolvarea se realizează prin înmulțirea ambelor părți ale ecuației cu b, apoi ecuația ia forma x = b*(d – c), adică. numitorul fracției din partea stângă se anulează.
De exemplu, cum se rezolvă ecuație fracțională:
x/5+4=9
Înmulțim ambele părți cu 5. Obținem:
x+20=45
x=45-20=25
Un alt exemplu când necunoscutul este la numitor:
Ecuațiile de acest tip se numesc fracțional-rațional sau pur și simplu fracțional.
Am rezolva o ecuație fracțională scăpând de fracții, după care această ecuație, cel mai adesea, se transformă într-o ecuație liniară sau pătratică, care poate fi rezolvată în mod obișnuit. Trebuie doar să luați în considerare următoarele puncte:
- valoarea unei variabile care transformă numitorul la 0 nu poate fi o rădăcină;
- Nu puteți împărți sau înmulți o ecuație cu expresia =0.
Aici intră în vigoare conceptul de zonă valori acceptabile(ODZ) sunt astfel de valori ale rădăcinilor ecuației pentru care ecuația are sens.
Astfel, atunci când rezolvați ecuația, este necesar să găsiți rădăcinile și apoi să le verificați pentru conformitatea cu ODZ. Sunt excluse din răspuns acele rădăcini care nu corespund ODZ-ului nostru.
De exemplu, trebuie să rezolvați o ecuație fracțională:
Pe baza regulii de mai sus, x nu poate fi = 0, i.e. ODZ în acest caz: x – orice valoare, alta decât zero.
Scăpăm de numitor înmulțind toți termenii ecuației cu x
Și rezolvăm ecuația obișnuită
5x – 2x = 1
3x = 1
x = 1/3
Răspuns: x = 1/3
Să rezolvăm o ecuație mai complicată:
ODZ este prezent și aici: x -2.
Când rezolvăm această ecuație, nu vom muta totul într-o parte și vom aduce fracțiile la un numitor comun. Vom înmulți imediat ambele părți ale ecuației cu o expresie care va anula toți numitorii simultan.
Pentru a reduce numitorii, trebuie să înmulțiți partea stângă cu x+2 și partea dreaptă cu 2. Aceasta înseamnă că ambele părți ale ecuației trebuie înmulțite cu 2(x+2):
Aceasta este cea mai comună înmulțire a fracțiilor, despre care am discutat deja mai sus.
Să scriem aceeași ecuație, dar ușor diferit
Partea stângă se reduce cu (x+2), iar cea dreaptă cu 2. După reducere, obținem ecuația liniară obișnuită:
x = 4 – 2 = 2, care corespunde ODZ-ului nostru
Răspuns: x = 2.
Rezolvarea ecuațiilor cu fracții nu atât de dificil pe cât ar părea. În acest articol am arătat acest lucru cu exemple. Dacă aveți dificultăți cu cum se rezolvă ecuații cu fracții, apoi dezabonează-te în comentarii.
„Ecuații raționale cu polinoame” este unul dintre cele mai comune subiecte de testare Teme de examen de stat unificatîn matematică. Din acest motiv, merită repetate atenție deosebită. Mulți elevi se confruntă cu problema găsirii discriminantului, transferarea indicatorilor din partea dreaptă spre stânga și aducerea ecuației la un numitor comun, motiv pentru care realizarea unor astfel de sarcini creează dificultăți. Rezolvarea ecuațiilor raționale în pregătirea pentru examenul de stat unificat de pe site-ul nostru vă va ajuta să faceți față rapid problemelor de orice complexitate și să treceți cu brio testul.
Alegeți portalul educațional Shkolkovo pentru a vă pregăti cu succes pentru examenul de matematică unificată!
Pentru a cunoaște regulile de calcul a necunoscutelor și pentru a obține cu ușurință rezultate corecte, utilizați serviciul nostru online. Portalul Shkolkovo este o platformă unică, care conține tot ce este necesar pentru a vă pregăti Materiale pentru examenul de stat unificat. Profesorii noștri au sistematizat și au prezentat într-o formă ușor de înțeles toate regulile matematice. În plus, invităm elevii să încerce mâna lor la rezolvarea ecuațiilor raționale standard, a căror bază este actualizată și extinsă în mod constant.
Pentru o pregătire mai eficientă pentru testare, vă recomandăm să urmați metoda noastră specială și să începeți prin a repeta regulile și soluțiile sarcini simple, trecând treptat la altele mai complexe. Astfel, absolventul va fi capabil să identifice cele mai dificile subiecte pentru el însuși și să se concentreze pe studierea lor.
Începeți azi să vă pregătiți pentru testul final cu Shkolkovo, iar rezultatele nu vor întârzia să apară! Alegeți cel mai simplu exemplu dintre cele date. Dacă stăpâniți rapid expresia, treceți la o sarcină mai dificilă. Astfel îți poți îmbunătăți cunoștințele până la rezolvarea sarcinilor USE în matematică la nivel de specialitate.
Formarea este disponibilă nu numai pentru absolvenții de la Moscova, ci și pentru școlari din alte orașe. Petreceți câteva ore pe zi studiind pe portalul nostru, de exemplu, și foarte curând veți putea face față ecuațiilor de orice complexitate!