Curăță curbă. îndoire transversală. Îndoire pură În ce zonă are loc îndoirea pură?

Pentru a vizualiza natura deformării grinzilor (tijelor) în timpul îndoirii, se efectuează următorul experiment. Pe marginile laterale ale grinzii de cauciuc secțiune dreptunghiulară se aplică o grilă de linii paralelă și perpendiculară pe axa grinzii (Fig. 30.7, a). Apoi se aplică momente grinzii la capetele acesteia (Fig. 30.7, b), acționând în planul de simetrie al grinzii, intersectând fiecare dintre secțiunile sale transversale de-a lungul uneia dintre principalele axe centrale de inerție. Planul care trece prin axa grinzii și una dintre principalele axe centrale de inerție ale fiecăreia dintre secțiunile sale transversale va fi numit plan principal.

Sub influența momentelor, fasciculul experimentează o îndoire dreaptă pură. Ca urmare a deformării, după cum arată experiența, liniile grilei paralele cu axa grinzii sunt îndoite, păstrând aceleași distanțe între ele. Când este indicat în Fig. 30.7, b în direcția momentelor, aceste linii din partea superioară a grinzii sunt prelungite, iar în partea inferioară sunt scurtate.

Fiecare linie de grilă perpendiculară pe axa fasciculului poate fi considerată ca o urmă a planului unei secțiuni transversale a fasciculului. Deoarece aceste linii rămân drepte, se poate presupune că secțiunile transversale ale grinzii, plate înainte de deformare, rămân plate în timpul deformării.

Această ipoteză, bazată pe experiență, este cunoscută ca ipoteza secțiunilor plane sau ipoteza lui Bernoulli (vezi § 6.1).

Ipoteza secțiunilor plane se aplică nu numai îndoirii pure, ci și îndoirii transversale. Pentru îndoirea transversală este aproximativă, iar pentru îndoirea pură este strictă, ceea ce este confirmat de studiile teoretice efectuate folosind metodele teoriei elasticității.

Să considerăm acum o grindă dreaptă cu o secțiune transversală simetrică față de axa verticală, înglobat la capătul drept și încărcat la capătul stâng cu un moment exterior care acționează într-unul din planurile principale ale grinzii (Fig. 31.7). În fiecare secțiune transversală a acestei grinzi apar numai momente încovoietoare care acționează în același plan cu momentul

Astfel, fasciculul este într-o stare de îndoire dreaptă, pură pe toată lungimea sa. Secțiunile individuale ale grinzii pot fi într-o stare de încovoiere pură chiar dacă este supusă sarcinilor transversale; de exemplu, secțiunea 11 a grinzii prezentate în fig. prezintă îndoire pură. 32,7; în secţiunile acestei secţiuni forţa tăietoare

Din grinda luată în considerare (vezi Fig. 31.7) selectăm un element de lungime . Ca urmare a deformării, după cum rezultă din ipoteza lui Bernoulli, secțiunile vor rămâne plate, dar se vor înclina una față de cealaltă cu un anumit unghi. Să luăm secțiunea din stânga în mod condiționat. Apoi, ca urmare a rotirii secțiunii drepte printr-un unghi, aceasta va lua poziția (Fig. 33.7).

Liniile drepte se vor intersecta într-un anumit punct A, care este centrul de curbură (sau, mai precis, urma axei de curbură) al fibrelor longitudinale ale elementului Fibrele superioare ale elementului în cauză atunci când sunt prezentate în Smochin. 31,7 în direcția momentului sunt prelungite, iar cele inferioare sunt scurtate. Fibrele unui strat intermediar perpendicular pe planul de acțiune al momentului își păstrează lungimea. Acest strat se numește strat neutru.

Să notăm raza de curbură a stratului neutru, adică distanța de la acest strat până la centrul de curbură A (vezi Fig. 33.7). Să considerăm un anumit strat situat la o distanță y de stratul neutru. Alungirea absolută a fibrelor acestui strat este egală cu și alungirea relativă

Având în vedere triunghiuri similare stabilim că Prin urmare,

În teoria îndoirii, se presupune că fibrele longitudinale ale grinzii nu se apasă unele pe altele. Studiile experimentale și teoretice arată că această ipoteză nu afectează semnificativ rezultatele calculului.

La încovoiere pură, eforturile de forfecare nu apar în secțiunile transversale ale grinzii. Astfel, toate fibrele în îndoire pură sunt în condiții de tensiune sau compresie uniaxiale.

Conform legii lui Hooke, în cazul tensiunii sau compresiei uniaxiale, efortul normal o și deformația relativă corespunzătoare sunt legate de dependență

sau pe baza formulei (11.7)

Din formula (12.7) rezultă că tensiunile normale din fibrele longitudinale ale grinzii sunt direct proporționale cu distanța lor y față de stratul neutru. În consecință, în secțiunea transversală a grinzii în fiecare punct, tensiunile normale sunt proporționale cu distanța y de la acest punct la axa neutră, care este linia de intersecție a stratului neutru cu secțiunea transversală (Fig.

34.7, a). Din simetria grinzii și a sarcinii rezultă că axa neutră este orizontală.

În punctele axei neutre, tensiunile normale sunt zero; pe o parte a axei neutre sunt la tracțiune, iar pe cealaltă sunt compresive.

Diagrama tensiunilor o este un grafic delimitat de o linie dreaptă, cu cele mai mari valori absolute ale tensiunii pentru punctele cele mai îndepărtate de axa neutră (Fig. 34.7b).

Să luăm acum în considerare condițiile de echilibru ale elementului de fascicul selectat. Să reprezentăm acțiunea părții din stânga a grinzii asupra secțiunii elementului (vezi Fig. 31.7) sub forma unui moment încovoietor, forțele interne rămase în această secțiune cu încovoiere pură sunt egale cu zero. Să ne imaginăm acțiunea părții drepte a grinzii asupra secțiunii transversale a elementului sub formă de forțe elementare aplicate fiecărei zone elementare a secțiunii transversale (Fig. 35.7) și paralele cu axa grindă.

Să creăm șase condiții de echilibru pentru un element

Iată sumele proiecțiilor tuturor forțelor care acționează asupra elementului, respectiv, asupra axelor - sumele momentelor tuturor forțelor raportate la axe (Fig. 35.7).

Axa coincide cu axa neutră a secțiunii și axa y este perpendiculară pe aceasta; ambele aceste axe sunt situate în planul secțiunii transversale

O forță elementară nu produce proiecții pe axa y și nu provoacă un moment în jurul axei. Prin urmare, ecuațiile de echilibru sunt satisfăcute pentru orice valoare a lui o.

Ecuația de echilibru are forma

Să substituim valoarea lui a în ecuația (13.7) conform formulei (12.7):

Deoarece (se ia în considerare un element de fascicul curbat, pentru care), atunci

Integrala reprezintă momentul static al secțiunii transversale a grinzii în jurul axei neutre. Egalitatea sa cu zero înseamnă că axa neutră (adică axa) trece prin centrul de greutate al secțiunii transversale. Astfel, centrul de greutate al tuturor secțiuni transversale fasciculul și, în consecință, axa fasciculului, care este locația geometrică a centrelor de greutate, sunt situate în stratul neutru. Prin urmare, raza de curbură a stratului neutru este raza de curbură a axei curbe a fasciculului.

Să compunem acum ecuația de echilibru sub forma sumei momentelor tuturor forțelor aplicate elementului fasciculului în raport cu axa neutră:

Aici reprezintă momentul forței interne elementare în raport cu axa.

Să notăm aria secțiunii transversale a fasciculului situat deasupra axei neutre - sub axa neutră.

Apoi va reprezenta rezultanta forțelor elementare aplicate deasupra axei neutre, sub axa neutră (Fig. 36.7).

Ambele rezultate sunt egale între ele în valoare absolută, deoarece suma lor algebrică, bazată pe condiția (13.7), este egală cu zero. Aceste rezultate formează o pereche internă de forțe care acționează în secțiunea transversală a grinzii. Momentul acestei perechi de forțe, egal cu produsul dintre mărimea uneia dintre ele și distanța dintre ele (Fig. 36.7), este un moment încovoietor în secțiunea transversală a grinzii.

Să substituim valoarea lui a în ecuația (15.7) conform formulei (12.7):

Aici reprezintă momentul axial de inerție, adică axa care trece prin centrul de greutate al secțiunii. Prin urmare,

Să înlocuim valoarea din formula (16.7) în formula (12.7):

La derivarea formulei (17.7), nu s-a luat în considerare faptul că cu un cuplu extern direcționat, așa cum se arată în Fig. 31.7, conform regulii semnului acceptat, momentul încovoietor este negativ. Dacă luăm în considerare acest lucru, atunci trebuie să punem un semn minus în fața părții drepte a formulei (17.7). Apoi, cu un moment de încovoiere pozitiv în zona superioară a grinzii (adică la ), valorile lui a se vor dovedi a fi negative, ceea ce va indica prezența tensiunilor de compresiune în această zonă. Cu toate acestea, de obicei semnul minus nu este plasat în partea dreaptă a formulei (17.7), iar această formulă este utilizată numai pentru a determina valorile absolute ale tensiunilor a. Prin urmare, valorile absolute ale momentului încovoietor și ale ordonatei y ar trebui înlocuite în formula (17.7). Semnul tensiunilor este întotdeauna ușor de determinat de semnul momentului sau de natura deformării grinzii.

Să compunem acum ecuația de echilibru sub forma sumei momentelor tuturor forțelor aplicate elementului fascicul relativ la axa y:

Aici reprezintă momentul forței interne elementare în jurul axei y (vezi Fig. 35.7).

Să substituim valoarea lui a în expresia (18.7) conform formulei (12.7):

Aici integrala reprezintă momentul de inerție centrifugal al secțiunii transversale a fasciculului în raport cu axa y și. Prin urmare,

Dar din moment ce

După cum se știe (vezi § 7.5), momentul de inerție centrifugal al secțiunii este egal cu zero față de axele principale de inerție.

În cazul în cauză, axa y este axa de simetrie a secțiunii transversale a grinzii și, prin urmare, axele y și sunt principalele axe centrale de inerție ale acestei secțiuni. Prin urmare, condiția (19.7) este satisfăcută aici.

În cazul în care secțiunea transversală a grinzii îndoite nu are nicio axă de simetrie, condiția (19.7) este îndeplinită dacă planul de acțiune al momentului încovoietor trece prin una dintre principalele axe centrale de inerție ale secțiunii sau este paralel. la această axă.

Dacă planul de acțiune al momentului încovoietor nu trece prin niciuna dintre axele centrale principale de inerție ale secțiunii transversale a grinzii și nu este paralel cu acesta, atunci condiția (19.7) nu este îndeplinită și, prin urmare, nu există îndoire directă - fasciculul experimentează îndoire oblică.

Formula (17.7), care determină solicitarea normală într-un punct arbitrar al secțiunii grinzii luate în considerare, este aplicabilă cu condiția ca planul de acțiune al momentului încovoietor să treacă prin una dintre axele principale de inerție ale acestei secțiuni sau să fie paralel cu acesta. . În acest caz, axa neutră a secțiunii transversale este principala sa axă centrală de inerție, perpendiculară pe planul de acțiune al momentului încovoietor.

Formula (16.7) arată că în timpul încovoierii directe, curbura axei curbe a grinzii este direct proporțională cu produsul dintre modulul elastic E și momentul de inerție. se exprimă în etc.

La îndoirea pură a unei grinzi cu secțiune transversală constantă, momentele de încovoiere și rigiditățile secțiunii sunt constante pe lungimea acesteia. În acest caz, raza de curbură a axei curbe a fasciculului are o valoare constantă [vezi. expresia (16.7)], adică fasciculul se îndoaie de-a lungul unui arc de cerc.

Din formula (17.7) rezultă că cele mai mari (pozitive - tracțiune) și cele mai mici (negative - compresive) tensiuni normale din secțiunea transversală a grinzii apar în punctele cele mai îndepărtate de axa neutră, situate pe ambele părți ale acesteia. Pentru o secțiune transversală simetrică față de axa neutră, valorile absolute ale celor mai mari solicitări de tracțiune și compresiune sunt aceleași și pot fi determinate prin formula

Pentru secțiunile care nu sunt simetrice față de axa neutră, de exemplu, pentru un triunghi, tee etc., distanțele de la axa neutră până la cele mai îndepărtate fibre întinse și comprimate sunt diferite; Prin urmare, pentru astfel de secțiuni există două momente de rezistență:

unde sunt distanţele de la axa neutră până la cele mai îndepărtate fibre întinse şi comprimate.

1. Încovoiere dreaptă pură Încovoierea transversală este deformarea unei tije prin forțe perpendiculare pe axă (transversale) și în perechi, ale căror planuri de acțiune sunt perpendiculare pe secțiunile normale. O tijă de îndoire se numește grindă. La îndoirea directă pură în secțiunea transversală a tijei, apare un singur factor de forță - momentul încovoietor Mz. Din moment ce Qy=d. Mz/dx=0, atunci Mz=const și îndoirea dreaptă pură pot fi realizate atunci când tija este încărcată cu perechi de forțe aplicate în secțiunile de capăt ale tijei. σ Deoarece momentul încovoietor Mz, prin definiție, este egal cu suma momentelor forțelor interne în raport cu axa Oz cu tensiuni normale, este legat prin ecuația statică care decurge din această definiție:

Analiza stării de solicitare în timpul îndoirii pure Să analizăm deformațiile modelului tijei pe suprafața laterală a căreia se aplică o grilă de marcaje longitudinale și transversale: Deoarece marcajele transversale când tija este îndoită de perechi de forțe aplicate în secțiunile de capăt rămân drepte și perpendiculare pe marcajele longitudinale curbe, acest lucru ne permite să concluzionăm că ipotezele de secțiuni plate și, prin urmare, prin măsurarea modificării distanțelor dintre riscurile longitudinale, ajungem la concluzia că ipoteza despre non- presiunea fibrelor longitudinale este valabilă, adică dintre toate componentele tensorului tensiunii în timpul încovoierii pure, doar solicitarea σx=σ și îndoirea dreaptă pură a tijei prismatice nu sunt egale cu zero se reduce la tensiune uniaxială sau compresie a fibrelor longitudinale prin tensiuni σ. În acest caz, o parte din fibre se află în zona de tensiune (în figură acestea sunt fibrele inferioare), iar cealaltă parte este în zona de compresie (fibre superioare). Aceste zone sunt separate printr-un strat neutru (n-n), care nu își modifică lungimea și tensiunile în care sunt zero.

Regula semnelor momentelor încovoietoare Regulile semnelor momentelor în problemele de mecanică teoretică și rezistența materialelor nu coincid. Motivul pentru aceasta este diferența dintre procesele luate în considerare. În mecanica teoretică, procesul luat în considerare este mișcarea sau echilibrul solide, prin urmare, cele două momente din figură care tind să rotească Mz tija în direcții diferite (momentul drept în sensul acelor de ceasornic și momentul stâng în sens invers acelor de ceasornic) au probleme în mecanica teoretică semn diferit. În problemele de rezistență sunt luate în considerare tensiunile și deformațiile care apar în corp. Din acest punct de vedere, ambele momente provoacă tensiuni de compresiune în fibrele superioare și tensiuni de tracțiune în fibrele inferioare, deci momentele au același semn. Reguli pentru semnele momentelor încovoietoare privind tronsoanele C-C sunt prezentate în diagramă:

Calculul valorilor tensiunilor pentru îndoirea pură Să derivăm formule pentru calcularea razei de curbură a stratului neutru și a tensiunilor normale în tijă. Să considerăm o tijă prismatică în condiții de îndoire pură directă cu o secțiune transversală simetrică față de axa verticală Oy. Așezăm axa Ox pe un strat neutru, a cărui poziție este necunoscută în prealabil. Rețineți că constanța secțiunii transversale a tijei prismatice și momentul încovoietor (Mz=const) asigură constanța razei de curbură a stratului neutru pe lungimea tijei. La îndoire cu curbură constantă, stratul neutru al tijei devine un arc circular limitat de unghiul φ. Să considerăm un element infinitezimal de lungime dx tăiat dintr-o tijă. La îndoire, se va transforma într-un element arc infinitezimal limitat de un unghi infinitezimal dφ. φ ρ dφ Ținând cont de relațiile dintre raza cercului, unghiul și lungimea arcului:

Întrucât deformațiile elementului, determinate de deplasarea relativă a punctelor sale, prezintă interes, una dintre secțiunile de capăt ale elementului poate fi considerată staționară. Datorită micșorării lui dφ, presupunem că punctele secțiunii transversale, atunci când sunt rotite de acest unghi, se mișcă nu de-a lungul arcelor, ci de-a lungul tangentelor corespunzătoare. Să calculăm deformare relativă fibra longitudinală AB, distanțată de stratul neutru la y: Din asemănarea triunghiurilor COO 1 și O 1 BB 1 rezultă că și anume: Deformare longitudinală s-a dovedit a fi o funcție liniară a distanței față de stratul neutru, care este o consecință directă a legii secțiunilor plane. Apoi, tensiunea normală de întindere a fibrei AB, bazată pe legea lui Hooke, va fi egală cu:

Formula rezultată nu este potrivită pentru utilizare practică, deoarece conține două necunoscute: curbura stratului neutru 1/ρ și poziția axei neutre Ox, de la care se măsoară coordonata y. Pentru a determina aceste necunoscute, vom folosi ecuațiile de echilibru ale staticii. Primul exprimă cerința egalității la zero forță longitudinalăÎnlocuind expresia pentru σ în această ecuație: și ținând cont de asta, obținem că: Integrala din partea stângă a acestei ecuații reprezintă momentul static al secțiunii transversale a tijei față de axa neutră Ox, care poate fi egală. la zero doar în raport cu axa centrală (axa care trece prin secțiunile centrului de greutate). Prin urmare, axa neutră Ox trece prin centrul de greutate al secțiunii transversale. A doua ecuație de echilibru static este una care leagă solicitările normale cu momentul încovoietor. Înlocuind expresia tensiunilor în această ecuație, obținem:

Integrala din ecuația rezultată a fost studiată anterior: Jz este momentul de inerție relativ la axa Oz. În conformitate cu poziția selectată a axelor de coordonate, este, de asemenea, principalul moment central de inerție al secțiunii. Obținem formula pentru curbura stratului neutru: Curbura stratului neutru 1/ρ este o măsură a deformației tijei în timpul îndoirii drepte pure. Cu cât valoarea EJz este mai mare, numită rigiditate în secțiune transversală în timpul îndoirii, cu atât curbura este mai mică. Înlocuind expresia în formula pentru σ, obținem: Astfel, tensiunile normale în timpul îndoirii pure a unei tije prismatice sunt o funcție liniară a coordonatei y și a atingerii. cele mai mari valoriîn fibrele cele mai îndepărtate de axa neutră. caracteristică geometrică, având dimensiunea m 3 se numește momentul de rezistență la încovoiere.

Determinarea momentelor de rezistență Wz ale secțiunilor transversale - Pentru cele mai simple cifre din cartea de referință (Lectura 4) sau calculați-o singur - Pentru profile standard din gama GOST

Calculul rezistenței în timpul îndoirii pure Calculul de proiect Condiția de rezistență la calcularea îndoirii pure va avea forma: Din această condiție se determină Wz și apoi fie se selectează profilul necesar din gama de produse laminate standard, fie se calculează dimensiunile secțiunii folosind dependențe geometrice. La calcularea grinzilor din materiale fragile, este necesar să se facă distincția între cele mai mari tensiuni de tracțiune și cele de compresiune maxime, care sunt comparate, respectiv, cu tensiunile de tracțiune și compresiune admise. În acest caz, vor exista două condiții de rezistență, separat pentru întindere și compresiune: Iată tensiunile de tracțiune și, respectiv, de compresiune admise.

2. Drept încovoiere transversalăτxy τxz σ În cazul încovoierii transversale directe, în secțiunile tijei apar un moment încovoietor Mz și o forță transversală Qy, care sunt asociate cu tensiuni normale și tangenţiale tensiunile în cazul îndoirii transversale directe, strict vorbind, nu sunt aplicabile, deoarece din - din cauza forfecarelor cauzate de tensiuni tangenţiale, are loc deplanarea (curbura) secţiunilor transversale, adică se încalcă ipoteza secţiunilor plane. Cu toate acestea, pentru grinzile cu înălțimea secțiunii h

La derivarea condiției de rezistență pentru încovoiere pură, a fost utilizată ipoteza absenței interacțiunii transversale a fibrelor longitudinale. La încovoiere transversală se observă abateri de la această ipoteză: a) în locurile în care se aplică forţe concentrate. Sub o forță concentrată, tensiunile de interacțiune transversală σy pot fi destul de mari și de multe ori mai mari decât tensiunile longitudinale, în timp ce scad, conform principiului Saint-Venant, cu distanța de la punctul de aplicare a forței; b) în locurile în care se aplică sarcini distribuite. Deci, în cazul prezentat în Fig., solicitarea se datorează presiunii asupra fibrelor superioare ale grinzii. Comparându-le cu tensiunile longitudinale σz, care sunt de ordinul mărimii: ajungem la concluzia că solicitările σy

Calculul tensiunilor tangenţiale în timpul îndoirii transversale directe Să presupunem că tensiunile tangenţiale sunt distribuite uniform pe lăţimea secţiunii transversale. Determinarea directă a tensiunilor τyx este dificilă, prin urmare găsim tensiuni tangenţiale egale τxy care apar pe aria longitudinală cu coordonata y a unui element de lungime dx tăiat din grinda z x Mz

Din acest element cu o secțiune longitudinală distanțată de stratul neutru cu y, tăiem partea de sus, înlocuind acţiunea părţii inferioare respinse cu tensiuni tangenţiale τ. De asemenea, vom înlocui tensiunile normale σ și σ+dσ care acționează asupra zonelor de capăt ale elementului cu tensiunile rezultate y Mz τ Mz+d. Mz prin ω y z Qy Qy +d. Qy dx Nω+d Nω d. T este momentul static al părții tăiate a ariei secțiunii transversale ω în raport cu axa Oz. Să considerăm starea de echilibru a elementului tăiat, compilând pentru acesta ecuația statică Nω dx b

de unde, după transformări simple, ținând cont că obținem formula Zhuravsky Tensiunile tangenţiale de-a lungul înălţimii secţiunii se modifică conform legii unei parabole pătratice, atingând un maxim pe axa neutră Mz z Având în vedere că apar tensiunile normale cele mai mari. în fibrele cele mai exterioare, unde nu există solicitări tangenţiale, iar cele mai mari tensiuni tangenţiale în În multe cazuri, ele au loc în stratul neutru, unde tensiunile normale sunt egale cu zero, condiţiile de rezistenţă în aceste cazuri sunt formulate separat pentru normal şi tensiuni de forfecare

3. Grinzile compozite în încovoiere Tensiunile tăietoare în secțiuni longitudinale sunt o expresie a legăturii existente între straturile tijei în încovoiere transversală. Dacă această legătură este ruptă în unele straturi, natura îndoirii tijei se schimbă. Într-o tijă formată din foi, fiecare foaie se îndoaie independent în absența forțelor de frecare. Momentul încovoietor este distribuit uniform între foile compozite. Valoarea maximă momentul încovoietor va fi în mijlocul grinzii și va fi egal. Mz=P l. Cea mai mare tensiune normală în secțiunea transversală a tablei este egală cu:

Dacă foile sunt strânse strâns cu șuruburi suficient de rigide, tija se va îndoi în întregime. În acest caz, tensiunea normală maximă se dovedește a fi de n ori mai mică, adică în secțiunile transversale ale șuruburilor, când tija este îndoită, apar forțe transversale. Cea mai mare forță tăietoare va fi în secțiunea care coincide cu planul neutru al tijei curbe.

Această forță poate fi determinată din egalitatea sumelor forțelor transversale în secțiunile transversale ale șuruburilor și a tensiunilor tangențiale rezultate longitudinale în cazul unei tije întregi: unde m este numărul de șuruburi. Să comparăm modificarea curburii tijei în etanșare în cazul pachetelor conectate și neconectate. Pentru un pachet conectat: Pentru un pachet neconectat: Proporțional cu modificările de curbură, deviațiile se modifică și ele. Astfel, în comparație cu o tijă întreagă, un set de foi pliate lejer se dovedește a fi de n 2 ori mai flexibil și doar de n ori mai puțin rezistent. Această diferență a coeficienților de reducere a rigidității și rezistenței la trecerea la un pachet de foi este utilizată în practică atunci când se creează suspensii flexibile cu arc. Forțele de frecare dintre foi măresc rigiditatea pachetului, deoarece refac parțial forțele tangențiale dintre straturile tijei, care au fost eliminate la trecerea la pachetul de foi. Prin urmare, arcurile necesită lubrifiere cu frunze și trebuie protejate de contaminare.

4. Forme raționale ale secțiunilor transversale în timpul îndoirii Cea mai rațională este secțiunea care are aria minimă pentru o sarcină dată pe grinda. În acest caz, consumul de material pentru fabricarea grinzii va fi minim. Pentru a obține o grindă cu un consum minim de material, trebuie să se străduiască să se asigure că cel mai mare volum posibil de material funcționează la solicitări egale sau apropiate de cele admise. În primul rând, secțiunea transversală rațională a unei grinzi în timpul îndoirii trebuie să satisfacă condiția de rezistență egală a zonelor de tracțiune și comprimate ale grinzii. Pentru a face acest lucru, este necesar ca cele mai mari tensiuni de tracțiune și cele mai mari tensiuni de compresiune să atingă simultan tensiunile admise. Ajungem la o secțiune care este rațională pentru un material plastic sub forma unei grinzi în I simetrice, în care cea mai mare parte posibilă a materialului este concentrată pe flanșele conectate printr-un perete, a cărui grosime este determinată din condiții. a rezistenţei peretelui în termeni de tensiuni tangenţiale. . După criteriul raționalității, așa-numita secțiune cutie este aproape de secțiunea I

Pentru grinzile din material fragil, secțiunea cea mai rațională va fi sub forma unui fascicul în I asimetric, care să satisfacă condiția de rezistență egală la tracțiune și compresie, care decurge din ideea de raționalitate a secțiunea transversală a tijelor în timpul îndoirii este implementată în profile standard cu pereți subțiri obținute prin presare sau laminare la cald din oțeluri structurale obișnuite și aliate de înaltă calitate, precum și din aluminiu și aliaje de aluminiu. fascicul a-I, canalul b, unghiul c-inegal, unghiul d-echilateral închis format la rece. profile sudate

Îndoirea plană transversală a grinzilor. Forțe interne de îndoire. Dependențe diferențiate ale forțelor interne. Reguli pentru verificarea diagramelor forțelor interne de încovoiere. Tensiuni normale și forfecare în timpul îndoirii. Calculul rezistenței pe baza tensiunilor normale și tangenţiale.

10. TIPURI SIMPLE DE REZISTENTA. CUT PLAT

10.1. Concepte și definiții generale

Îndoirea este un tip de încărcare în care tija este încărcată cu momente în planuri care trec prin axa longitudinală a tijei.

O tijă care se îndoaie se numește grindă (sau cherestea). În viitor, vom lua în considerare grinzile rectilinii, a căror secțiune transversală are cel puțin o axă de simetrie.

Rezistența materialelor este împărțită în îndoire plată, oblică și complexă.

Îndoirea plană este o îndoire în care toate forțele de îndoire a grinzii se află într-unul dintre planurile de simetrie ale grinzii (într-unul dintre planurile principale).

Planurile principale de inerție ale unei grinzi sunt planele care trec prin axele principale ale secțiunilor transversale și axa geometrică a grinzii (axa x).

Îndoirea oblică este o încovoiere în care sarcinile acționează într-un singur plan care nu coincide cu planurile principale de inerție.

Îndoirea complexă este o îndoire în care sarcinile acționează în planuri diferite (arbitrare).

10.2. Determinarea forțelor interne de încovoiere

Să luăm în considerare două cazuri tipice de încovoiere: în primul, grinda cantilever este îndoită de un moment concentrat M o ; în al doilea - forța concentrată F.

Folosind metoda secțiunilor mentale și compunând ecuații de echilibru pentru părțile tăiate ale grinzii, determinăm forțele interne în ambele cazuri:

Ecuațiile de echilibru rămase sunt în mod evident identic egale cu zero.

Astfel, în caz general de îndoire plată în secțiunea unei grinzi, din șase forțe interne, două apar - moment de încovoiere M z și forța tăietoare Q y (sau la încovoiere față de o altă axă principală - momentul încovoietor M y și forța tăietoare Q z).

În plus, în conformitate cu cele două cazuri de încărcare luate în considerare, îndoire plată poate fi împărțit în pur și transversal.

Îndoirea pură este o îndoire plată în care doar una din șase forțe interne apar în secțiunile tijei - un moment de încovoiere (vezi primul caz).

îndoire transversală– încovoiere, în care în secțiunile tijei, pe lângă momentul încovoietor intern, apare și o forță transversală (vezi al doilea caz).

Strict vorbind, să tipuri simple rezistența se referă numai la îndoire pură; îndoirea transversală este clasificată în mod convențional ca un tip simplu de rezistență, deoarece în majoritatea cazurilor (pentru grinzi suficient de lungi) efectul forței transversale poate fi neglijat la calcularea rezistenței.

La determinarea eforturilor interne, vom respecta următoarea regulă de semne:

1) forța transversală Q y este considerată pozitivă dacă tinde să rotească elementul grinzii în cauză în sensul acelor de ceasornic;

2) moment de încovoiere M z este considerat pozitiv dacă, la îndoirea unui element de grindă, fibrele superioare ale elementului sunt comprimate, iar fibrele inferioare sunt întinse (regula umbrelă).

Astfel, soluția problemei determinării forțelor interne la încovoiere se va construi după următorul plan: 1) în prima etapă, luând în considerare condițiile de echilibru ale structurii în ansamblu, determinăm, dacă este necesar, reacțiile necunoscute. a suporturilor (de observat că pentru o grindă cantilever reacțiile în încastre pot fi și nu se regăsesc dacă luăm în considerare grinda din capătul liber); 2) la a doua etapă, selectăm secțiuni caracteristice ale grinzii, luând drept limite ale secțiunilor punctele de aplicare a forțelor, punctele de modificare a formei sau dimensiunii grinzii, punctele de fixare a grinzii; 3) la a treia etapă, determinăm forțele interne în secțiunile grinzii, având în vedere condițiile de echilibru ale elementelor grinzii din fiecare secțiune.

10.3. Dependențe diferențiale în timpul îndoirii

Să stabilim câteva relații între forțele interne și sarcinile externe de încovoiere, precum și trăsături caracteristice diagramele Q și M, cunoașterea cărora va facilita construirea diagramelor și vă va permite să controlați corectitudinea acestora. Pentru comoditatea notării, vom nota: M ≡ M z, Q ≡ Q y.

Să selectăm un element mic dx într-o secțiune a unui fascicul cu o sarcină arbitrară într-un loc în care nu există forțe și momente concentrate. Deoarece întreaga grindă este în echilibru, elementul dx va fi, de asemenea, în echilibru sub acțiunea forțelor tăietoare, momentelor încovoietoare și sarcina externă. Deoarece Q și M se schimbă în general de-a lungul axei grinzii, forțele transversale Q și Q +dQ, precum și momentele încovoietoare M și M +dM vor apărea în secțiuni ale elementului dx. Din starea de echilibru a elementului selectat obținem

∑ F y = 0 Q + q dx − (Q + dQ) = 0;

∑ M 0 = 0 M + Q dx + q dx dx 2 − (M + dM ) = 0.

Din a doua ecuație, neglijând termenul q dx (dx /2) ca mărime infinitezimală de ordinul doi, găsim

Relațiile (10.1), (10.2) și (10.3) sunt numite dependențe diferențiale ale lui D.I Zhuravsky în timpul îndoirii.

Analiza celor de mai sus dependențe diferențialeîn timpul încovoierii ne permite să stabilim câteva caracteristici (reguli) pentru construirea diagramelor de momente încovoietoare și forțe tăietoare:

a – în zonele în care nu există sarcină distribuită q, diagramele Q sunt limitate la drepte paralele cu baza, iar diagramele M sunt limitate la drepte înclinate;

b – în zonele în care grinzii i se aplică o sarcină distribuită q, diagramele Q sunt limitate de drepte înclinate, iar diagramele M sunt limitate de parabole pătratice. Mai mult, dacă construim diagrama M „pe o fibră întinsă”, atunci convexitatea pa-

lucrarea va fi îndreptată în direcția de acțiune q, iar extremul va fi situat în secțiunea în care diagrama Q intersectează linia de bază;

c – în secțiunile în care fasciculului i se aplică o forță concentrată, pe diagrama Q vor exista salturi de mărime și în direcția acestei forțe, iar pe diagrama M vor fi îndoituri, vârful îndreptat în direcția de acțiune a această forță; d – în secțiunile în care se aplică un moment concentrat grinzii de pe epi-

nu vor exista modificari in re Q, iar pe diagrama M vor fi salturi cu valoarea acestui moment; d – în zonele în care Q >0, momentul M crește, iar în zonele în care Q<0, момент М убывает (см. рисунки а–г).

10.4. Tensiuni normale în timpul îndoirii pure a unei grinzi drepte

Să luăm în considerare cazul îndoirii în plan pur a unei grinzi și să obținem o formulă pentru determinarea tensiunilor normale pentru acest caz. Rețineți că în teoria elasticității este posibil să se obțină o dependență exactă pentru tensiunile normale în timpul îndoirii pure, dar dacă această problemă este rezolvată prin metode de rezistență a materialelor, este necesar să se introducă câteva ipoteze.

Există trei astfel de ipoteze pentru îndoire:

a – ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)

– secțiunile care sunt plate înainte de deformare rămân plate după deformare, dar se rotesc doar față de o anumită linie, care se numește axa neutră a secțiunii grinzii. În acest caz, fibrele fasciculului aflate pe o parte a axei neutre se vor întinde, iar pe cealaltă, se vor comprima; fibrele situate pe axa neutră nu își schimbă lungimea;

b – ipoteza despre constanța tensiunilor normale

niy – tensiunile care acționează la aceeași distanță y față de axa neutră sunt constante pe lățimea grinzii;

c – ipoteza despre absența presiunilor laterale – co-

Fibrele longitudinale gri nu se apasă unele pe altele.

La construirea diagrame ale momentelor încovoietoareM la constructorii acceptate: ordonate care exprimă la o anumită scară pozitiv valorile momentelor încovoietoare, puse deoparte întins fibre, adică - jos, A negativ - sus din axa fasciculului. Prin urmare, ei spun că constructorii construiesc diagrame pe fibre întinse. La mecanici valorile pozitive atât ale forței tăietoare, cât și ale momentului încovoietor sunt amânate Sus. Mecanicii desenează diagrame pe comprimat fibre.

Tensiuni principale la îndoire. Tensiuni echivalente.

În cazul general al îndoirii directe în secțiunile transversale ale unei grinzi, normalŞi tangenteVoltaj. Aceste tensiuni variază atât pe lungimea cât și pe înălțimea grinzii.

Astfel, în cazul îndoirii, există starea de stres plană.

Să considerăm o diagramă în care fasciculul este încărcat cu forța P

Cel mai mare normal apar tensiuni în extrem, punctele cele mai îndepărtate de linia neutră și Nu există solicitări de forfecare în ele. Astfel, pentru extrem fibre tensiunile principale diferite de zero sunt tensiuni normaleîn secțiune transversală.

La nivelul liniei neutreîn secţiunea transversală a grinzii există cea mai mare tensiune de forfecare, O tensiunile normale sunt zero. înseamnă în fibre neutru strat tensiunile principale sunt determinate de valorile tensiunilor tangențiale.

În această schemă de proiectare, fibrele superioare ale grinzii vor fi întinse, iar cele inferioare vor fi comprimate. Pentru a determina tensiunile principale folosim expresia binecunoscuta:

Deplin analiza stresului Să ne imaginăm în imagine.

Analiza tensiunii de încovoiere

Tensiunea principală maximă σ 1 este pornit superior fibre extreme şi este egal cu zero pe fibrele inferioare cele mai exterioare. Tensiunea principală σ 3 are cea mai mare valoare absolută este pe fibrele inferioare.

Traiectoria tensiunilor principale depinde de tipul de sarcinăŞi metoda de asigurare a grinzii.

La rezolvarea problemelor este suficient separat verifica normalŞi tensiuni tangenţiale separat. Cu toate acestea, uneori cel mai stresant se dovedesc a fi intermediar fibre în care există atât tensiuni normale cât și forfecare. Acest lucru se întâmplă în secțiunile în care În același timp, atât momentul încovoietor, cât și forța tăietoare ating valori mari- aceasta poate fi în înglobarea unei grinzi cantilever, pe suportul unei grinzi cu cantilever, în secțiuni sub forță concentrată, sau în secțiuni cu lățimi în schimbare bruscă. De exemplu, într-o secțiune I cea mai periculoasă joncțiunea peretelui cu raftul- Sunt tensiuni semnificative atât normale, cât și de forfecare.

Materialul se află într-o stare de efort plană și este necesar verificați tensiunile echivalente.

Condiții de rezistență pentru grinzile din materiale plastice De treilea(teoria tensiunilor tangențiale maxime) Şi patrulea(teoria energiei schimbărilor de formă) teorii ale puterii.

De regulă, în grinzile laminate tensiunile echivalente nu depășesc tensiunile normale din fibrele cele mai exterioare și nu este necesară testarea specială. Un alt lucru - grinzi metalice compozite, care au peretele este mai subțire decât pentru profile laminate la aceeași înălțime. Grinzile compozite sudate din tablă de oțel sunt mai des folosite. Calculul unor astfel de grinzi pentru rezistență: a) selectarea secțiunii - înălțimea, grosimea, lățimea și grosimea coardelor grinzii; b) verificarea rezistenţei prin tensiuni normale şi tangenţiale; c) verificarea rezistenţei folosind tensiuni echivalente.

Determinarea tensiunilor tăietoare într-o secțiune în I. Să luăm în considerare secțiunea I-beam Sx = 96,9 cm3; Yx=2030 cm4; Q=200 kN

Pentru determinarea efortului de forfecare, se folosește formula,unde Q este forța tăietoare în secțiune, S x 0 este momentul static al părții de secțiune transversală situată pe o latură a stratului în care se determină tensiunile tangențiale, I x este momentul de inerție al întregului secțiune transversală, b este lățimea secțiunii în locul unde este determinată efortul de forfecare

Să calculăm maxim efort de forfecare:

Să calculăm momentul static pt raftul de sus:

Acum hai să calculăm efort de forfecare:

Construim diagrama tensiunii de forfecare:

Să luăm în considerare secțiunea transversală a unui profil standard în formă I-beamși definiți efort de forfecare, acționând paralel cu forța tăietoare:

Să calculăm momente statice cifre simple:

Această valoare poate fi calculată și altfel, folosindu-se de faptul că pentru secțiunile în I și jgheab este dat momentul static a jumătate de secțiune. Pentru a face acest lucru, este necesar să scădem din valoarea cunoscută a momentului static valoarea momentului static la dreapta. A 1 B 1:

Tensiunile tangențiale la joncțiunea flanșei și a peretelui se modifică spasmodic, pentru că ascuțit grosimea peretelui variază de la t st la b.

Diagramele tensiunilor tangențiale din pereții jgheabului, golurilor dreptunghiulare și alte secțiuni au aceeași formă ca și în cazul unei secțiuni în I. Formula include momentul static al părții umbrite a secțiunii în raport cu axa X, iar numitorul include lățimea secțiunii (netului) în stratul în care se determină efortul de forfecare.

Să determinăm tensiunile tangențiale pentru o secțiune circulară.

Deoarece eforturile de forfecare la conturul secțiunii trebuie direcționate tangentă la contur, apoi la puncte OŞi ÎN la capetele oricărei coarde paralele cu diametrul AB, tensiunile de forfecare sunt direcționate perpendicular pe razele OAŞi OV. Prin urmare, direcții tensiuni tangențiale în puncte O, V, K converg la un moment dat N pe axa Y.

Momentul static al piesei tăiate:

Adică tensiunile de forfecare se modifică în funcție de parabolic lege si va fi maxima la nivelul liniei neutre, cand y 0 =0

Formula pentru determinarea tensiunii de forfecare (formula)

Luați în considerare o secțiune dreptunghiulară

La distanta y 0 din axa centrală desenăm secțiunea 1-1şi determinaţi tensiunile tangenţiale. Moment static zonă parte tăiată:

Trebuie avut în vedere că este fundamental indiferent, luați momentul static al zonei parte umbrită sau rămasă secţiune transversală. Ambele momente statice egal și opus în semn, deci lor sumă, care reprezintă momentul static al ariei întregii secțiuni raportat la linia neutră și anume axa centrală x, va fi egală cu zero.

Momentul de inerție al unei secțiuni dreptunghiulare:

Apoi efort de forfecare conform formulei

Variabila y 0 este inclusă în formula în doilea grade, adică tensiunile tangențiale într-o secțiune dreptunghiulară variază în funcție de legea parabolei pătrate.

Efort de forfecare a fost atins maxim la nivelul liniei neutre, i.e. Când y 0 =0:

, Unde A este aria întregii secțiuni.

Condiție de rezistență pentru tensiuni tangenţiale are forma:

, Unde S x 0– momentul static al părții de secțiune transversală situată pe o latură a stratului în care se determină eforturile de forfecare, Ix– momentul de inerție al întregii secțiuni transversale, b– lățimea secțiunii în locul unde este determinată efortul de forfecare, Q- forta laterala, τ - efort de forfecare, [τ] — efort tangenţial admisibil.

Această condiție de forță ne permite să producem trei tip de calcul (trei tipuri de probleme la calcularea rezistenței):

1. Calcul de verificare sau încercarea de rezistență pe baza tensiunilor tangențiale:

2. Selectarea lățimii secțiunii (pentru o secțiune dreptunghiulară):

3. Determinarea forței laterale admisibile (pentru o secțiune dreptunghiulară):

Pentru a determina tangente tensiuni, considerați o grindă încărcată cu forțe.

Sarcina de a determina tensiunile este întotdeauna static nedeterminatși necesită implicare geometricŞi fizic ecuații. Cu toate acestea, este posibil să acceptați așa ceva ipoteze despre natura distribuţiei stresului că sarcina va deveni definibil static.

Prin două secțiuni transversale infinit apropiate 1-1 și 2-2 selectăm element dz, Să o înfățișăm la scară mare, apoi să desenăm o secțiune longitudinală 3-3.

În secțiunile 1–1 și 2–2, tensiuni normale σ 1, σ 2, care sunt determinate de formulele binecunoscute:

Unde M - momentul încovoietor in sectiune transversala, dM - increment moment încovoietor la lungime dz

Forța lateralăîn secțiunile 1–1 și 2–2 este îndreptată de-a lungul axei centrale principale Y și, evident, reprezintă suma componentelor verticale ale tensiunilor tangenţiale interne distribuite pe secţiune. În rezistența materialelor este de obicei luată presupunerea distribuției lor uniforme pe lățimea secțiunii.

Pentru a determina magnitudinea tensiunilor de forfecare în orice punct al secțiunii transversale situat la distanță y 0 de pe axa neutră X, trageți un plan paralel cu stratul neutru (3-3) prin acest punct și îndepărtați elementul tăiat. Vom determina tensiunea care acționează în zona ABCD.

Să proiectăm toate forțele pe axa Z

Rezultanta forțelor longitudinale interne de-a lungul părții drepte va fi egală cu:

Unde A 0 – zona marginii fațadei, S x 0 – momentul static al părții tăiate în raport cu axa X. La fel și în partea stângă:

Ambele rezultate îndreptate unul către celălalt,întrucât elementul este în comprimat zona fasciculului. Diferența lor este echilibrată de forțele tangențiale de pe marginea inferioară a lui 3-3.

Să presupunem că efortul de forfecare τ distribuite pe lățimea secțiunii transversale a fasciculului b uniform. Această ipoteză este cu atât mai probabilă cu cât lățimea este mai mică în comparație cu înălțimea secțiunii. Apoi rezultanta fortelor tangentiale dT egală cu valoarea tensiunii înmulțită cu aria feței:

Hai să compunem acum ecuația de echilibru Σz=0:

sau de unde

Să ne amintim dependențe diferențiale, conform căruia Apoi obținem formula:

Această formulă se numește formule. Această formulă a fost obţinută în 1855. Aici S x 0 – momentul static al unei părți a secțiunii transversale, situat pe o parte a stratului în care sunt determinate tensiunile de forfecare, I x – momentul de inerțieîntreaga secțiune transversală, b – lățimea secțiuniiîn locul unde se determină efortul de forfecare, Q - forța tăietoareîn secțiune transversală.

— starea de rezistență la încovoiere, Unde

- momentul maxim (modulo) din diagrama momentelor încovoietoare; - momentul axial de rezistenta al sectiunii, geometric caracteristică; - efort admisibil (σ adm)

- tensiune maximă normală.

Dacă calculul se efectuează conform metoda stării limită, apoi în loc de tensiunea admisă, intrăm în calcul rezistența de proiectare a materialului R.

Tipuri de calcule de rezistență la încovoiere

1. Verifica calculul sau testarea rezistenței folosind solicitări normale

2. Proiecta calcul sau selectarea secțiunii

3. Definiție admisibile sarcină (definiție capacitatea de ridicareși sau operațional purtător capacitati)

La derivarea formulei de calcul a tensiunilor normale, luăm în considerare cazul încovoierii, când forțele interne în secțiunile grinzii se reduc doar la moment de încovoiere, A forța tăietoare se dovedește a fi zero. Acest caz de îndoire se numește îndoire pură. Luați în considerare secțiunea din mijloc a fasciculului, care este supusă unei îndoiri pure.

Când este încărcat, fasciculul se îndoaie astfel încât Fibrele inferioare se alungesc, iar cele superioare se scurtează.

Deoarece o parte din fibrele fasciculului este întinsă, iar o parte este comprimată și are loc trecerea de la tensiune la compresie lin, fără sărituri, V medie o parte a fasciculului este localizată un strat ale cărui fibre doar se îndoaie, dar nu suferă nici tensiune, nici compresie. Acest strat se numește neutru strat. Se numește linia de-a lungul căreia stratul neutru intersectează secțiunea transversală a fasciculului linie neutră sau axa neutră secțiuni. Liniile neutre sunt înșirate pe axa fasciculului. Linie neutră este linia în care tensiunile normale sunt zero.

Rămân liniile trasate pe suprafața laterală a fasciculului perpendicular pe ax plat la îndoire. Aceste date experimentale fac posibilă baza concluziilor formulelor ipoteza secțiunilor plane (conjectura). Conform acestei ipoteze, secțiunile grinzii sunt plate și perpendiculare pe axa acesteia înainte de a se îndoi, rămân plate și se dovedesc a fi perpendiculare pe axa curbă a grinzii atunci când este îndoită.

Ipoteze pentru derivarea formulelor normale ale tensiunii: 1) Ipoteza secțiunilor plane este îndeplinită. 2) Fibrele longitudinale nu se apasă unele pe altele (ipoteza fără presiune) și, prin urmare, fiecare dintre fibre se află într-o stare de tensiune sau compresie uniaxială. 3) Deformațiile fibrelor nu depind de poziția lor de-a lungul lățimii secțiunii transversale. În consecință, tensiunile normale, care se modifică de-a lungul înălțimii secțiunii, rămân aceleași de-a lungul lățimii. 4) Fasciculul are cel puțin un plan de simetrie și toate forțele externe se află în acest plan. 5) Materialul grinzii respectă legea lui Hooke, iar modulul de elasticitate în tensiune și compresie este același. 6) Relația dintre dimensiunile grinzii este de așa natură încât aceasta funcționează în condiții de îndoire plană fără deformare sau răsucire.

Să considerăm un fascicul de secțiune transversală arbitrară, dar având o axă de simetrie. Moment de încovoiere reprezintă momentul rezultant al forțelor normale interne, care apar pe suprafețe infinit de mici și poate fi exprimat în integrală formă: (1), unde y este brațul forței elementare în raport cu axa x

Formula (1) exprimă static parte a problemei de îndoire a unei grinzi drepte, dar de-a lungul ei la un moment de încovoiere cunoscut Este imposibil să se determine tensiunile normale până când se stabilește legea distribuției lor.

Să selectăm grinzile din secțiunea din mijloc și să luăm în considerare secțiune de lungime dz, supus la îndoire. Să-l descriem la scară mărită.

Secțiuni care limitează aria dz, paralele între ele până la deformare, iar după aplicarea sarcinii se rotesc în jurul liniilor lor neutre cu un unghi . Lungimea segmentului de fibre a stratului neutru nu se va modifica.și va fi egal cu: , unde este asta raza de curbură axa curbată a fasciculului. Dar orice altă fibră mincinoasă mai jos sau mai sus strat neutru, își va schimba lungimea. Să calculăm alungirea relativă a fibrelor situate la distanţa y de stratul neutru. Alungirea relativă este raportul dintre deformarea absolută și lungimea inițială, atunci:

Să reducem și să aducem termeni similari, apoi obținem: (2) Această formulă exprimă geometric parte a problemei de îndoire pură: Deformațiile fibrelor sunt direct proporționale cu distanța lor față de stratul neutru.

Acum să trecem la stresuri, adică vom lua în considerare fizic partea a sarcinii. în conformitate cu ipoteza de non-presiune folosim fibre sub tensiune-compresiune axiala: apoi, tinand cont de formula (2) avem (3), aceste. stres normal la îndoire de-a lungul înălțimii secțiunii distribuite liniar. Pe fibrele cele mai exterioare, tensiunile normale ating valoarea maximă, iar la centrul de greutate al secțiunii sunt egale cu zero. Să înlocuim (3) în ecuație (1) și scoatem fracția din semnul integral ca valoare constantă, atunci avem . Dar expresia este momentul de inerție axial al secțiunii față de axa x - eu x. Dimensiunea sa cm 4, m 4

Apoi ,unde (4), unde este curbura axei curbe a grinzii și este rigiditatea secțiunii grinzii în timpul îndoirii.

Să înlocuim expresia rezultată curbură (4)în exprimare (3) și primim formula pentru calcularea tensiunilor normale în orice punct al secțiunii transversale: (5)

Că. maxim apar tensiuni în punctele cele mai îndepărtate de linia neutră. Atitudine (6) numit momentul axial al rezistenței secțiunii. Dimensiunea sa cm 3, m 3. Momentul de rezistență caracterizează influența formei și dimensiunii secțiunii transversale asupra mărimii tensiunii.

Apoi tensiuni maxime: (7)

Condiție de rezistență la încovoiere: (8)

Când apare îndoirea transversală nu numai normale, ci și tensiuni de forfecare, pentru că disponibil forță tăietoare. Tensiunea de forfecare complică imaginea deformării, ele duc la curbură secțiuni transversale ale fasciculului, rezultând în se încalcă ipoteza secţiunilor plane. Cu toate acestea, cercetările arată că distorsiunile introduse de solicitările de forfecare usor afectează tensiunile normale calculate prin formula (5) . Astfel, la determinarea tensiunilor normale în cazul încovoierii transversale Teoria îndoirii pure este destul de aplicabilă.

Linie neutră. Întrebare despre poziția liniei neutre.

În timpul îndoirii nu există nicio forță longitudinală, așa că putem scrie Să înlocuim aici formula pentru tensiunile normale (3) și primim Deoarece modulul de elasticitate longitudinal al materialului grinzii nu este egal cu zero, iar axa curbată a grinzii are o rază de curbură finită, rămâne să presupunem că această integrală este momentul static al zonei secțiunea transversală a fasciculului în raport cu linia neutră-axa x , și, din moment ce este egal cu zero, apoi linia neutră trece prin centrul de greutate al secțiunii.

Condiția (absența momentului forțelor interne în raport cu linia câmpului) va da sau luând în considerare (3) . Din aceleași motive (vezi mai sus) . In integrand - momentul de inerție centrifugal al secțiunii față de axele x și y este zero, ceea ce înseamnă că aceste axe sunt principal și central si machiaza direct colţ. Prin urmare, Forța și liniile neutre dintr-o curbă dreaptă sunt reciproc perpendiculare.

Avand instalat pozitia liniei neutre, usor de construit diagrama tensiunilor normale de-a lungul înălțimii secțiunii. Ei liniar caracterul este determinat ecuația de gradul I.

Natura diagramei σ pentru secțiuni simetrice în raport cu linia neutră, M<0

Sarcină. Construiți diagramele Q și M pentru o grindă static nedeterminată. Să calculăm grinzile folosind formula:

n= Σ R- Sh— 3 = 4 — 0 — 3 = 1

Grinda dată este static nedeterminat, ceea ce înseamnă unul a reacţiilor este „extra” necunoscut. Să luăm reacția de sprijin drept necunoscută „în plus”. ÎN — R B.

O grindă determinată static, care se obține dintr-una dată prin îndepărtarea conexiunii „în plus”, se numește sistem principal (b).

Acum ar trebui prezentat acest sistem echivalent dat. Pentru a face acest lucru, încărcați sistemul principal datîncărcă, și la punct ÎN hai sa aplicam reacție „în plus”. R B(orez. V).

Cu toate acestea pentru echivalenţă acest nu suficient, întrucât într-o astfel de grindă punctul ÎN Pot fi misca pe verticala, și într-un fascicul dat (Fig. O ) acest lucru nu se poate întâmpla. Prin urmare adăugăm stare, Ce abatere t. ÎNîn sistemul principal ar trebui să fie egal cu 0. Deviația t. ÎN consta din deformarea de la sarcina activă Δ F iar din devierea de la reacția „extra” Δ R.

Apoi ne impacam condiție de compatibilitate a mișcărilor:

Δ F + Δ R=0 (1)

Acum rămâne de calculat acestea mișcări (deviații).

Încărcare principal sistem sarcina dată(orez .G) și vom construi diagrama de sarcinăM F (orez. d ).

ÎN T. ÎN Să aplicăm și să construim un ep. (orez. arici ).

Folosind formula lui Simpson determinăm deformare din cauza sarcinii active.

Acum să definim devierea de la acțiunea de reacție „extra”. R B , pentru aceasta încărcăm sistemul principal R B (orez. h ) și construiește o diagramă a momentelor din acțiunea sa M R (orez. Şi ).

Compunem și rezolvăm ecuația (1):

Să construim ep. Q Şi M (orez. k, l ).

Construirea unei diagrame Q.

Să construim o diagramă M metodă puncte caracteristice. Punem puncte pe fascicul - acestea sunt punctele de la începutul și de la sfârșitul fasciculului ( D,A ), moment concentrat ( B ) și, de asemenea, marchează mijlocul sarcinii uniform distribuite ca punct caracteristic ( K ) este un punct suplimentar pentru construirea unei curbe parabolice.

Determinăm momentele încovoietoare în puncte. Regula semnelor cm. - .

Momentul în ÎN o vom defini astfel. Mai întâi să definim:

Punct LA hai sa intram mijloc zonă cu o sarcină uniform distribuită.

Construirea unei diagrame M . Complot AB – curba parabolica(regula umbrelă), zonă ВD – linie dreaptă înclinată.

Pentru o grindă, determinați reacțiile de sprijin și construiți diagrame ale momentelor încovoietoare ( M) și forțele tăietoare ( Q).

Noi desemnăm suporturi scrisori O Şi ÎN și reacții directe de sprijin R A Şi R B .

Compilarea ecuații de echilibru.

Examinare

Notează valorile R A Şi R B pe schema de proiectare.

2. Construirea unei diagrame forțe tăietoare metodă secțiuni. Aranjam secțiunile pe zone caracteristice(între modificări). Conform firului dimensional - 4 secțiuni, 4 secțiuni.

sec. 1-1 mişcare stânga.

Sectiunea trece prin zona cu sarcină distribuită uniform, marcați dimensiunea z 1 în stânga secțiunii înainte de începerea secțiunii. Lungimea tronsonului este de 2 m. Regula semnelor Pentru Q - cm.

Construim in functie de valoarea gasita diagramăQ.

sec. 2-2 se deplasează pe dreapta.

Secțiunea trece din nou prin zona cu o sarcină distribuită uniform, marcați dimensiunea z 2 la dreapta de la secțiune până la începutul secțiunii. Lungimea tronsonului este de 6 m.

Construirea unei diagrame Q.

sec. 3-3 se deplasează pe dreapta.

sec. 4-4 se deplasează pe dreapta.

Construim diagramăQ.

3. Construcție diagramele M metodă puncte caracteristice.

Punctul caracteristic- un punct care este oarecum vizibil pe fascicul. Acestea sunt punctele O, ÎN, CU, D , și, de asemenea, un punct LA , în care Q=0 Şi momentul încovoietor are un extremum. De asemenea, în mijloc consola vom pune un punct suplimentar E, deoarece în această secțiune sub o încarcă uniform distribuită diagrama M descrise strâmb linie, și este construit cel puțin conform 3 puncte.

Deci, punctele sunt plasate, să începem să determinăm valorile din ele momente de încovoiere. Regula semnelor – vezi.

Site-uri NA, AD – curba parabolica(regula „umbrelă” pentru specialitățile mecanice sau „regula velei” pentru specialitățile de construcții), secțiuni DC, SV – linii drepte înclinate.

Moment la un moment dat D ar trebui determinată atat la stanga cat si la dreapta din punct D . Chiar momentul în aceste expresii nu sunt incluse. La punctul D primim două valori cu diferenţă prin suma m – salt prin dimensiunea sa.

Acum trebuie să stabilim momentul LA (Q=0). Cu toate acestea, mai întâi definim pozitia punctului LA , desemnând distanța de la acesta până la începutul secțiunii ca necunoscută X .

T. LA aparține doilea zonă caracteristică, ea ecuația forței tăietoare(vezi mai sus)

Dar forța tăietoare incl. LA egal cu 0 , A z 2 este egal cu necunoscut X .

Obținem ecuația:

Acum știind X, să stabilim momentul la punct LA pe partea dreaptă.

Construirea unei diagrame M . Constructia se poate realiza pt mecanic specialități, lăsând deoparte valorile pozitive Sus de la linia zero și folosind regula „umbrelă”.

Pentru un proiect dat al unei grinzi cantilever, este necesar să se construiască diagrame ale forței transversale Q și ale momentului încovoietor M și să se efectueze un calcul de proiect prin selectarea unei secțiuni circulare.

Material - lemn, rezistenta de proiectare a materialului R=10MPa, M=14kN m, q=8kN/m

Există două moduri de a construi diagrame într-o grindă în consolă cu o încascare rigidă - modul obișnuit, după ce au determinat anterior reacțiile de sprijin și fără a determina reacțiile de sprijin, dacă luați în considerare secțiunile, mergând de la capătul liber al grinzii și aruncând partea stângă cu încastrarea. Să construim diagrame comun mod.

1. Să definim susține reacțiile.

Sarcina distribuită uniform qînlocuiți cu forța condiționată Q= q·0,84=6,72 kN

Într-o înglobare rigidă există trei reacții de sprijin - verticală, orizontală și moment în cazul nostru, reacția orizontală este 0.

Vom găsi vertical reacție la sol R AŞi moment de sprijin M O din ecuațiile de echilibru.

În primele două secțiuni din dreapta nu există forță tăietoare. La începutul unei secțiuni cu o sarcină uniform distribuită (dreapta) Q=0, în fundal - magnitudinea reacției R A.
3. Pentru a construi, vom compune expresii pentru determinarea lor în secțiuni. Să construim o diagramă de momente pe fibre, de ex. jos.

(diagrama momentelor individuale a fost deja construită mai devreme)

Rezolvăm ecuația (1), reducem cu EI

Nedeterminarea statică dezvăluită, a fost găsită valoarea reacției „în plus”. Puteți începe să construiți diagrame ale lui Q și M pentru un fascicul static nedeterminat... Schițăm diagrama dată a fasciculului și indicăm magnitudinea reacției Rb. În acest fascicul, reacțiile în înglobare nu pot fi determinate dacă vă deplasați din dreapta.

Constructii complot Q pentru un fascicul static nedeterminat

Să diagramăm Q.

Construcția diagramei M

Să definim M în punctul extremum - în punctul LA. În primul rând, să stabilim poziția sa. Să notăm distanța până la ea ca necunoscută" X" Apoi

Construim o diagramă a lui M.

Determinarea tensiunilor tăietoare într-o secțiune în I. Să luăm în considerare secțiunea I-beam Sx = 96,9 cm3; Yx=2030 cm4; Q=200 kN

Să calculăm maxim efort de forfecare:

Să calculăm momentul static pt raftul de sus:

Acum hai să calculăm efort de forfecare:

Construim diagrama tensiunii de forfecare:

Calcule de proiectare si verificare. Pentru o grindă cu diagrame construite ale forțelor interne, selectați o secțiune sub formă de două canale din starea de rezistență la solicitări normale. Verificați rezistența grinzii utilizând condiția de rezistență la forfecare și criteriul rezistenței energetice. Dat:

Să arătăm un fascicul cu construit diagramele Q și M

Conform diagramei momentelor încovoietoare, este periculos secțiunea C,în care M C = M max = 48,3 kNm.

Condiție normală de rezistență la stres căci această grindă are forma σ max =M C /W X ≤σ adm . Este necesar să selectați o secțiune de pe două canale.

Să determinăm valoarea calculată necesară momentul axial de rezistență al secțiunii:

Pentru o secțiune sub formă de două canale, acceptăm conform două canale nr 20a, momentul de inerție al fiecărui canal I x =1670cm 4, Atunci momentul axial de rezistență al întregii secțiuni:

Supratensiune (subtensiune)în punctele periculoase calculăm folosind formula: Apoi obținem subtensiune:

Acum să verificăm puterea fasciculului pe baza condiţii de rezistenţă pentru solicitări tangenţiale. Conform diagrama forței tăietoare periculos sunt secțiuni pe secțiunea BC și secțiunea D. După cum se poate observa din diagramă, Q max = 48,9 kN.

Condiție de rezistență pentru tensiuni tangenţiale are forma:

Pentru canalul nr. 20 a: momentul static al ariei S x 1 = 95,9 cm 3, momentul de inerție al secțiunii I x 1 = 1670 cm 4, grosimea peretelui d 1 = 5,2 mm, grosimea medie a flanșei t 1 = 9,7 mm , înălțimea canalului h 1 =20 cm, lățimea raftului b 1 =8 cm.

Pentru transversal secțiuni a două canale:

S x = 2S x 1 =2 95,9 = 191,8 cm 3,

I x =2I x 1 =2·1670=3340 cm 4,

b=2d 1 =2·0,52=1,04 cm.

Determinarea valorii efort maxim de forfecare:

τ max =48,9 10 3 191,8 10 −6 /3340 10 −8 1,04 10 −2 =27 MPa.

După cum puteți vedea, τmax<τ adm (27MPa<75МПа).

Prin urmare, condiția de rezistență este îndeplinită.

Verificăm rezistența fasciculului în funcție de criteriul energetic.

Din considerație diagramele Q și M rezultă că secțiunea C este periculoasă,în care acţionează M C =M max =48,3 kNm și Q C =Q max =48,9 kN.

Să ducem la îndeplinire analiza stării de tensiune în punctele secțiunii C

Să definim tensiuni normale și forfecare la mai multe niveluri (marcate pe diagrama secțiunii)

Nivelul 1-1: y 1-1 =h 1 /2=20/2=10cm.

Normală și tangentă Voltaj:

Principal Voltaj:

Nivelul 2−2: y 2-2 =h 1 /2−t 1 =20/2−0,97=9,03 cm.

Tensiuni principale:

Nivelul 3−3: y 3-3 =h 1 /2−t 1 =20/2−0,97=9,03 cm.

Tensiuni normale și forfecare: