Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
Одна из тем, которая требует от учеников максимума внимания и усидчивости, это решение неравенств. Такие похожие на уравнения и при этом сильно от них отличающиеся. Потому что к их решению нужен особый подход.
Свойства, которые потребуются для нахождения ответа
Все они применяются для того, чтобы заменить имеющуюся запись равносильной. Большая их часть похожа на то, что было в уравнениях. Но есть и отличия.
- Функцию, которая определена в ОДЗ, или любое число можно прибавить к обеим частям исходного неравенства.
- Аналогичным образом возможно умножение, но только на положительную функцию или число.
- Если это действие выполняется с отрицательными функцией или числом, то знак неравенства нужно заменить на противоположный.
- Функции, которые являются неотрицательными, можно возводить в положительную степень.
Иногда решение неравенств сопровождается действиями, которые дают посторонние ответы. Их нужно исключить, сравнив область ОДЗ и множество решений.
Использование метода интервалов
Его суть состоит в том, чтобы свести неравенство к уравнению, в котором в правой части стоит ноль.
- Определить область, где лежат допустимые значения переменных, то есть ОДЗ.
- Преобразовать неравенство с помощью математических операций так, чтобы в его правой части стоял ноль.
- Знак неравенства заменить на «=» и решить соответствующее уравнение.
- На числовой оси отметить все ответы, которые получились во время решения, а также интервалы ОДЗ. При строгом неравенстве точки нужно нарисовать выколотыми. Если присутствует знак равенства, то их полагается закрасить.
- Определить знак исходной функции на каждом интервале, получившемся из точек ОДЗ и делящих его ответов. Если при переходе через точку знак функции не изменяется, то она входит в ответ. В противном случае — исключается.
- Граничные для ОДЗ точки нужно дополнительно проверить и только потом включать или нет в ответ.
- Ответ, который получается, нужно записать в виде объединенных множеств.
Немного о двойных неравенствах
Они используют в записи сразу два знака неравенства. То есть некоторая функция ограничена условиями сразу дважды. Такие неравенства решаются, как система из двух, когда исходное разбито на части. И в методе интервалов указываются ответы от решения обоих уравнений.
Для их решения также допустимо использовать свойства, указанные выше. С их помощью удобно приводить неравенство к равенству нулю.
Как обстоят дела с неравенствами, в которых имеется модуль?
В этом случае решение неравенств использует следующие свойства, причем они справедливы для положительного значения «а».
Если «х» принимает алгебраическое выражение, то справедливы такие замены:
- |х| < a на -a < х < a;
- |х| > a на х < -a или х > a.
Если неравенства нестрогие, то формулы тоже верны, только в них, кроме знака больше или меньше, появляется «=».
Как осуществляется решение системы неравенств?
Это знание потребуется в тех случаях, когда дано такое задание или имеется запись двойного неравенства или в записи появился модуль. В такой ситуации решением будут такие значения переменных, которые удовлетворяли бы всем имеющимся в записи неравенствам. Если таких чисел нет, то система решений не имеет.
План, по которому выполняется решение системы неравенств:
- решить каждое из них отдельно;
- изобразить на числовой оси все интервалы и определить их пересечения;
- записать ответ системы, который и будет объединением того, что получилось во втором пункте.
Как быть с дробными неравенствами?
Поскольку во время их решения может потребоваться изменение знака неравенства, то нужно очень тщательно и внимательно выполнять все пункты плана. Иначе может получиться противоположный ответ.
Решение дробных неравенств тоже использует метод интервалов. И план действий будет таким:
- Используя описанные свойства, придать дроби такой вид, чтобы справа от знака остался только ноль.
- Заменить неравенство на «=» и определить точки, в которых функция будет равна нулю.
- Отметить их на координатной оси. При этом числа, получившиеся в результате расчетов в знаменателе, всегда будут выколоты. Все другие — исходя из условия неравенства.
- Определить интервалы знакопостоянства.
- В ответ записать объединение тех промежутков, знак которых соответствует тому, который был в исходном неравенстве.
Ситуации, когда в неравенстве появляется иррациональность
Другими словами, в записи присутствует математический корень. Поскольку в школьном курсе алгебры большая часть заданий идет для квадратного корня, то именно он и будет рассмотрен.
Решение иррациональных неравенств сводится к тому, чтобы получить систему из двух или трех, которые будут равносильны исходному.
| Исходное неравенство | условие | равносильная система |
| √ n(х) < m(х) | m(х) меньше или равно 0 | решений нет |
| m(х) больше 0 | n(х) больше или равно 0 n(х) < (m(х)) 2 |
|
| √ n(х) > m(х) | m(х) больше или равно 0 n(х) > (m(х)) 2 |
|
n(х) больше или равно 0 m(х) меньше 0 |
||
| √n(х) ≤ m(х) | m(х) меньше 0 | решений нет |
| m(х) больше или равно 0 | n(х) больше или равно 0 n(х) ≤ (m(х)) 2 |
|
| √n(х) ≥ m(х) | m(х) больше или равно 0 n(х) ≥ (m(х)) 2 |
|
n(х) больше или равно 0 m(х) меньше 0 |
||
| √ n(х) < √ m(х) | n(х) больше или равно 0 n(х) меньше m(х) |
|
| √n(х) * m(х) < 0 | n(х) больше 0 m(х) меньше 0 |
|
| √n(х) * m(х) > 0 | n(х) больше 0 m(х) больше 0 |
|
| √n(х) * m(х) ≤ 0 | n(х) больше 0 |
|
n(х) равно 0 m(х) -любое |
||
| √n(х) * m(х) ≥ 0 | n(х) больше 0 |
|
n(х) равно 0 m(х) -любое |
Примеры решения разных видов неравенств
Для того чтобы добавить наглядности в теорию про решение неравенств, ниже приведены примеры.
Первый пример. 2х - 4 > 1 + х
Решение: для того чтобы определить ОДЗ, достаточно просто внимательно посмотреть на неравенство. Оно образовано из линейных функций, поэтому определено при всех значениях переменной.
Теперь из обеих частей неравенства нужно вычесть (1 + х). Получается: 2х - 4 - (1 + х) > 0. После того как будут раскрыты скобки и приведены подобные слагаемые неравенство примет такой вид: х - 5 > 0.
Приравняв его к нулю, легко найти его решение: х = 5.
Теперь эту точку с цифрой 5, нужно отметить на координатном луче. Потом проверить знаки исходной функции. На первом интервале от минус бесконечности до 5 можно взять число 0 и подставить его в неравенство, получившееся после преобразований. После расчетов получается -7 >0. под дугой интервала нужно подписать знак минуса.
На следующем интервале от 5 до бесконечности можно выбрать число 6. Тогда получается, что 1 > 0. Под дугой подписан знак «+». Этот второй интервал и будет ответом неравенства.
Ответ: х лежит в интервале (5; ∞).
Второй пример. Требуется решить систему двух уравнений: 3х + 3 ≤ 2х + 1 и 3х - 2 ≤ 4х + 2.
Решение. ОДЗ этих неравенств тоже лежит в области любых чисел, поскольку даны линейные функции.
Второе неравенство примет вид такого уравнения: 3х - 2 - 4х - 2 = 0. После преобразования: -х - 4 =0. Из него получается значение для переменной, равное -4.
Эти два числа нужно отметить на оси, изобразив интервалы. Поскольку неравенство нестрогое, то все точки нужно закрасить. Первый интервал от минус бесконечности до -4. Пусть будет выбрано число -5. Первое неравенство даст значение -3, а второе 1. Значит, этот промежуток не входит в ответ.
Второй интервал от -4 до -2. Можно выбрать число -3 и подставить его в оба неравенства. В первом и во втором получается значение -1. Значит, под дугой «-».
На последнем интервале от -2 до бесконечности самым лучшим числом является ноль. Его и нужно подставить и найти значения неравенств. В первом из них получается положительное число, а втором ноль. Этот промежуток тоже нужно исключить из ответа.
Из трех интервалов решением неравенства является только один.
Ответ: х принадлежит [-4; -2].
Третий пример. |1 - х| > 2 |х - 1|.
Решение. Первым делом нужно определить точки, в которых функции обращаются в ноль. Для левого этим числом будет 2, для правого — 1. их нужно отметить на луче и определить промежутки знакопостоянства.
На первом интервале, от минус бесконечности до 1, функция из левой части неравенства принимает положительные значения, а из правой — отрицательные. Под дугой нужно записать рядом два знака «+» и «-».
Следующий промежуток от 1 до 2. На нем обе функции принимают положительные значения. Значит, под дугой два плюса.
Третий интервал от 2 до бесконечности даст такой результат: левая функция — отрицательная, правая — положительная.
С учетом получившихся знаков нужно вычислить значения неравенства для всех промежутков.
На первом получается такое неравенство: 2 - х > - 2 (х - 1). Минус перед двойкой во втором неравенстве получился из-за того, что эта функция отрицательная.
После преобразования неравенство выглядит так: х > 0. Оно сразу дает значения переменной. То есть из этого интервала в ответ пойдет только промежуток от 0 до 1.
На втором: 2 - х > 2 (х - 1). Преобразования дадут такое неравенство: -3х + 4 больше ноля. Его нулем будет значение х = 4/3. С учетом знака неравенства получается, что х должен быть меньше этого числа. Значит, этот интервал уменьшается до промежутка от 1 до 4/3.
Последний дает такую запись неравенства: - (2 - х) > 2 (х - 1). Его преобразование приводит к такому: -х > 0. То есть уравнение верно при х меньшем ноля. Это значит, что на искомом промежутке неравенство не дает решений.
На первых двух промежутках граничным оказалось число 1. Его нужно проверить отдельно. То есть подставить в исходное неравенство. Получается: |2 - 1| > 2 |1 - 1|. Подсчет дает что 1 больше 0. Это верное утверждение, поэтому единица входит в ответ.
Ответ: х лежит в промежутке (0; 4/3).
Например, неравенством является выражение \(x>5\).
Виды неравенств:
Если \(a\) и \(b\) – это числа или , то неравенство называется числовым . Фактически это просто сравнение двух чисел. Такие неравенства подразделяются на верные и неверные .
Например:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);
\(17+3\geq 115\) - неверное числовое неравенство, так как \(17+3=20\), а \(20\) меньше \(115\) (а не больше или равно).
Если же \(a\) и \(b\) – это выражения, содержащие переменную, то у нас неравенство с переменной
. Такие неравенства разделяют по типам в зависимости от содержимого:
|
\(2x+1\geq4(5-x)\) |
Переменная только в первой степени |
|||
|
\(3x^2-x+5>0\) |
Есть переменная во второй степени (квадрате), но нет старших степеней (третьей, четвертой и т.д.) |
|||
|
\(\log_{4}{(x+1)}<3\) |
||||
|
\(2^{x}\leq8^{5x-2}\) |
Что такое решение неравенства?
Если в неравенство вместо переменной подставить какое-нибудь число, то оно превратится в числовое.
Если данное значение для икса превращает исходное неравенство верное числовое, то оно называется решением неравенства . Если же нет - то данное значение решением не является. И чтобы решить неравенство – нужно найти все его решения (или показать, что их нет).
Например, если мы в линейное неравенство \(x+6>10\), подставим вместо икса число \(7\) –получим верное числовое неравенство: \(13>10\). А если подставим \(2\), будет неверное числовое неравенство \(8>10\). То есть \(7\) – это решение исходного неравенства, а \(2\) – нет.
Однако, неравенство \(x+6>10\) имеет и другие решения. Действительно, мы получим верные числовые неравенства при подстановке и \(5\), и \(12\), и \(138\)... И как же нам найти все возможные решения? Для этого используют Для нашего случая имеем:
\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)
То есть нам подойдет любое число больше четырех. Теперь нужно записать ответ. Решения неравенств, как правило, записывают числовыми , дополнительно отмечая их на числовой оси штриховкой. Для нашего случая имеем:
Ответ:
\(x\in(4;+\infty)\)
Когда в неравенстве меняется знак?
В неравенствах есть одна большая ловушка, в которую очень «любят» попадаться ученики:
При умножении (или делении) неравенства на отрицательное число, меняется на противоположный («больше» на «меньше», «больше или равно» на «меньше или равно» и так далее)
Почему так происходит? Чтобы это понять, давайте посмотрим преобразования числового неравенства \(3>1\). Оно верное, тройка действительно больше единицы. Сначала попробуем умножить его на любое положительное число, например, двойку:
\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)
Как видим, после умножения неравенство осталось верным. И на какое бы положительное число мы не умножали – всегда будем получать верное неравенство. А теперь попробуем умножить на отрицательное число, например, минус тройку:
\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)
Получилось неверное неравенство, ведь минус девять меньше, чем минус три! То есть, для того, чтобы неравенство стало верным (а значит, преобразование умножения на отрицательное было «законным»), нужно перевернуть знак сравнения, вот так: \(−9<− 3\).
С делением получится аналогично, можете проверить сами.
Записанное выше правило распространяется на все виды неравенств, а не только на числовые.
Пример: Решить неравенство \(2(x+1)-1<7+8x\)Решение:
|
\(2x+2-1<7+8x\) |
Перенесем \(8x\) влево, а \(2\) и \(-1\) вправо, не забывая при этом менять знаки |
|
\(2x-8x<7-2+1\) |
|
|
\(-6x<6\) \(|:(-6)\) |
Поделим обе части неравенства на \(-6\), не забыв поменять с «меньше» на «больше» |
|
Отметим на оси числовой промежуток. Неравенство , поэтому само значение \(-1\) «выкалываем» и в ответ не берем |
|
|
Запишем ответ в виде интервала |
Ответ: \(x\in(-1;\infty)\)
Неравенства и ОДЗ
Неравенства, также как и уравнения могут иметь ограничения на , то есть на значения икса. Соответственно, из промежутка решений должны быть исключены те значения, которые недопустимы по ОДЗ.
Пример: Решить неравенство \(\sqrt{x+1}<3\)
Решение: Понятно, что для того чтоб левая часть была меньше \(3\), подкоренное выражение должно быть меньше \(9\) (ведь из \(9\) как раз \(3\)). Получаем:
\(x+1<9\) \(|-1\)
\(x<8\)
Все? Нам подойдет любое значение икса меньшее \(8\)? Нет! Потому что если мы возьмем, например, вроде бы подходящее под требование значение \(-5\) – оно решением исходного неравенства не будет, так как приведет нас к вычислению корня из отрицательного числа.
\(\sqrt{-5+1}<3\)
\(\sqrt{-4}<3\)
Поэтому мы должны еще учесть ограничения на значения икса – он не может быть таким, чтоб под корнем было отрицательное число. Таким образом, имеем второе требование на икс:
\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)
И чтобы икс был окончательным решением, он должен удовлетворять сразу обоим требованиям: он должен быть меньше \(8\) (чтобы быть решением) и больше \(-1\) (чтобы быть допустимым в принципе). Нанося на числовую ось, имеем окончательный ответ:
Ответ: \(\left[-1;8\right)\)
Проще можно сказать, что это такие неравенства, в которых есть переменная только в первой степени, и она не находится в знаменателе дроби.
Примеры:\(\frac{3y-4}{5}\) \(\leq1\)
\(5(x-1)-2x>3x-8\)
Примеры не линейных неравенств:
\(3>-2\) – здесь нет переменных, только лишь числа, значит это числовое неравенство
\(\frac{-14}{(y-3)^{2}-5}\)
\(\leq0\) – есть переменная в знаменателе, это
\(5(x-1)-2x>3x^{2}-8\) - есть переменная во второй степени, это
Решение линейных неравенств
Решением неравенства будет любое число, подстановка которого вместо переменной сделает неравенство верным. Решить неравенство – значит найти все такие числа.
Например, для неравенства \(x-2>0\) число \(5\) будет решением, т.к. при подстановке пятерки вместо икса мы получим верное числовое: \(3>0\). А вот число \(1\) решением не будет, так как при подстановке получится неверное числовое неравенство:\(-1>0\) . Но решением неравенства будут не только пятерка, но и \(4\), \(7\), \(15\), \(42\), \(726\) и еще бесконечное множество чисел: любое число, больше двойки.
Поэтому линейные неравенства не решают перебором и подстановкой значений. Вместо этого их с помощью приводят к одному из видов:
\(x
После чего ответ отмечается на числовой оси и записывается в виде (также называемого интервалом).
Вообще, если вы умеете решать , то и линейные неравенства вам под силу, потому что процесс решения очень схож. Есть лишь одно важное дополнение:
Пример.
Решить неравенство \(2(x+1)-1<7+8x\)
Решение:
Ответ: \(x\in(-1;\infty)\)
Особый случай №1: решение неравенства – любое число
В линейных неравенствах возможна ситуация, когда ему в качестве решения пойдет абсолютно любое число – целое, дробное, отрицательное, положительное, ноль… Например, вот такое неравенство \(x+2>x\) будет верным при любом значении икса. Ну, а как же может быть иначе, ведь слева к иксу прибавили двойку, а справа – нет. Естественно, что слева будет получаться большее число, какой бы икс мы не взяли.
Пример.
Решить неравенство \(3(2x-1)+5<6x+4\)
Решение:
Ответ: \(x\in(-\infty;\infty)\)
Особый случай №2: неравенство не имеет решений
Возможна и обратная ситуация, когда у линейного неравенства вообще нет решений, то есть никакой икс не сделает его верным. Например, \(x-2>x\) не будет верным никогда, ведь слева из икса вычитают двойку, а справа – нет. Значит, слева всегда будет меньше, а не больше.
Пример.
Решить неравенство \(\frac{x-5}{2}\)
\(>\) \(\frac{3x+2}{6}\)
\(-1\)
Решение:
|
\(\frac{x-5}{2}\) \(>\) \(\frac{3x+2}{6}\) \(-1\) |
Нам мешают знаменатели. Сразу же избавляемся от них, умножая всё неравенство на общий знаменатель всех , то есть – на 6 |
|
|
\(6\cdot\)\(\frac{x-5}{2}\) \(>\)\(6\cdot\)\((\frac{3x+2}{6}\) \(-1\)\()\) |
Раскроем скобки |
|
|
\(6\cdot\)\(\frac{x-5}{2}\) \(>\)\(6\cdot\)\(\frac{3x+2}{6}\) \(-6\) |
Сократим то, что можно сократить |
|
|
\(3\cdot(x-5)>3x+2-6\) |
Слева раскроем скобку, а справа приведем подобные слагаемые |
|
|
\(3x-15>3x-4\) |
|
Перенесем \(3x\) влево, а \(-15\) вправо, меняя знаки |
|
\(3x-3x>-4+15\) |
|
Вновь приводим подобные слагаемые |
|
|
Получили неверное числовое неравенство. И оно будет неверным при любом иксе, ведь он никак не влияет на получившееся неравенство. Значит, любое значение икса решением не будет. |
Ответ: \(x\in\varnothing\)
Неравенство
это выражение с, ≤, или ≥. Например, 3x - 5 Решить неравенство означает найти все значения переменных, при которых это неравенство верно.
Каждое из этих чисел является решением неравенства, а множество всех таких решений является его множеством решений
. Неравенства, которые имеют то же множество решений, называются эквивалентными неравенствами
.
Линейные неравенства
Принципы решения неравенств аналогичны принципам решения уравнений.Принципы решения неравенств
Для любых вещественных чисел a, b,
и c
:
Принцип прибавления неравенств
: Если a
Принцип умножения для неравенств
: Если a 0 верно, тогда ac
Если a bc также верно.
Подобные утверждения также применяются для a ≤ b.
Когда обе стороны неравенства умножаются на отрицательное число, необходимо полностью изменить знак неравенства.
Неравенства первого уровня, как в примере 1 (ниже), называются линейными неравенствами
.
Пример 1
Решите каждое из следующих неравенств. Затем изобразите множество решений.
a) 3x - 5
b) 13 - 7x ≥ 10x - 4
Решение
Любое число, меньше чем 11/5, является решением.
Множество решений есть {x|x
Чтобы сделать проверку, мы можем нарисовать график y 1 = 3x - 5 и y 2 = 6 - 2x. Тогда отсюда видно, что для x
Множеством решений есть {x|x ≤ 1}, или (-∞, 1]. График множества решений изображён ниже. 
Двойные неравенства
Когда два неравенства соединены словом и
, или
, тогда формируется двойное неравенство
.
Двойное неравенство, как
-3
и
2x + 5 ≤ 7
называется соединённым
, потому что в нём использовано и
. Запись -3
Двойные неравенства могут быть решены с использованием принципов прибавления и умножения неравенств.
Пример 2
Решите -3
Решение
У нас есть
Множество решений {x|x ≤ -1 или
x > 3}. Мы можем также написать решение с использованием обозначения интервала и символ для объединения
или включения обоих множеств: (-∞ -1] (3, ∞). График множества решений изображен ниже.
Для проверки, нарисуем y 1 = 2x - 5, y 2 = -7, и y 3 = 1. Заметьте, что для {x|x ≤ -1 или
x > 3}, y 1 ≤ y 2 или
y 1 > y 3 .
Неравенства с абсолютным значением (модулем)
Неравенства иногда содержат модули. Следующие свойства используются для их решения.
Для а > 0 и алгебраического выражения x:
|x|
|x| > a эквивалентно x или x > a.
Подобные утверждения и для |x| ≤ a и |x| ≥ a.
Например,
|x|
|y| ≥ 1 эквивалентно y ≤ -1 или
y ≥ 1;
и |2x + 3| ≤ 4 эквивалентно -4 ≤ 2x + 3 ≤ 4.
Пример 4
Решите каждое из следующих неравенств. Постройте график множества решений.
a) |3x + 2|
b) |5 - 2x| ≥ 1
Решение
a) |3x + 2|
b) |5 - 2x| ≥ 1
Множеством решением есть {x|x ≤ 2 или x ≥ 3}, или (-∞, 2] }