Uitdrukkingen met machten met een rationele exponent. Getalmacht: definities, notatie, voorbeelden

MBO "Sidorskaya"

brede school»

Ontwikkeling van een schetsplan open les

in algebra in de 11e klas over het onderwerp:

Voorbereid en uitgevoerd

wiskunde leraar

Ischakova E.F.

Overzicht van een open les in algebra in groep 11.

Onderwerp : "Gips met rationele indicator».

Lestype : Nieuw materiaal leren

Lesdoelstellingen:

Studenten kennis laten maken met het concept van een graad met een rationale exponent en de basiseigenschappen ervan, gebaseerd op eerder bestudeerd materiaal (graad met een gehele exponent).

Ontwikkel computervaardigheden en het vermogen om getallen om te zetten en te vergelijken met rationele exponenten.

Om wiskundige geletterdheid en wiskundige interesse bij studenten te ontwikkelen.

Apparatuur : Taakkaarten, studentenpresentatie per graad met een geheel getalindicator, docentenpresentatie per graad met een rationele indicator, laptop, multimediaprojector, scherm.

Tijdens de lessen:

Tijd organiseren.

Controle van de beheersing van het behandelde onderwerp met behulp van individuele taakkaarten.

Taak nr. 1.

=2;

B) =x+5;

Los het systeem van irrationele vergelijkingen op: - 3 = -10,

4 - 5 =6.

Taak nr. 2.

Los de irrationele vergelijking op: = - 3;

B) = x-2;

Los het stelsel van irrationele vergelijkingen op: 2 + = 8,

3 - 2 = - 2.

Communiceer het onderwerp en de doelstellingen van de les.

Het onderwerp van onze les vandaag is “ Macht met rationele exponent».

Uitleg van nieuw materiaal aan de hand van het voorbeeld van eerder bestudeerd materiaal.

Je bent al bekend met het concept van een graad met een gehele exponent. Wie helpt mij ze te herinneren?

Herhaling met behulp van presentatie " Graad met een gehele exponent».

Voor alle getallen a, b en alle gehele getallen m en n zijn de gelijkheden geldig:

een m * een n = een m+n ;

een m: een n = een m-n (a ≠ 0);

(een m) n = een mn;

(a b) n = een n * b n ;

(a/b) n = een n /b n (b ≠ 0) ;

een 1 =een; een 0 = 1(een ≠ 0)

Vandaag zullen we het concept van de macht van een getal generaliseren en betekenis geven aan uitdrukkingen met een fractionele exponent. Laten we even voorstellen definitie graden met een rationele exponent (Presentatie “Graad met een rationele exponent”):

Kracht van een > 0 met rationale exponent R = , Waar M is een geheel getal, en N – natuurlijk ( N > 1), belde het nummer M .

Dus per definitie snappen we dat = M .

Laten we proberen deze definitie toe te passen bij het voltooien van een taak.

VOORBEELD nr. 1

I Presenteer de uitdrukking als een wortel van een getal:

A) B) IN) .

Laten we nu proberen deze definitie omgekeerd toe te passen

II Druk de uitdrukking uit als een macht met een rationele exponent:

A) 2 B) IN) 5 .

De macht van 0 wordt alleen gedefinieerd voor positieve exponenten.

0 R= 0 voor elk R> 0.

Gebruik makend van deze definitie, Huizen je voltooit #428 en #429.

Laten we nu aantonen dat met de hierboven geformuleerde definitie van een graad met een rationele exponent de basiseigenschappen van graden behouden blijven, die gelden voor alle exponenten.

Voor alle rationale getallen r en s en alle positieve a en b gelden de volgende gelijkheden:

1 0 . A R A S = een r+s ;

VOORBEELD: *

20 . een r: een s = een r-s ;

VOORBEELD: :

3 0 . (een r ) s = een rs ;

VOORBEELD: ( -2/3

4 0 . ( ab) R = A R B R ; 5 0 . ( = .

VOORBEELD: (25 4) 1/2 ; ( ) 1/2

VOORBEELD van het tegelijk gebruiken van meerdere eigenschappen: * : .

Minuut lichamelijke opvoeding.

We legden de pennen op het bureau, strekten de ruggen uit, en nu reiken we naar voren, we willen het bord aanraken. Nu hebben we hem opgetild en naar rechts, links, naar voren en naar achteren geleund. Je liet me je handen zien, laat me nu zien hoe je vingers kunnen dansen.

Werken aan het materiaal

Laten we nog twee eigenschappen van machten met rationale exponenten opmerken:

6 0 . Laten r is een rationaal getal en 0< a < b . Тогда

A R < b R bij R> 0,

A R < b R bij R< 0.

7 0 . Voor alle rationale getallenR En S vanuit ongelijkheid R> S volgt dat

A R> een R voor een > 1,

A R < а R op 0< а < 1.

VOORBEELD: Vergelijk de cijfers:

EN ; 2 300 en 3 200 .

Samenvatting van de les:

Vandaag hebben we in de les de eigenschappen van een graad met een gehele exponent in herinnering gebracht, de definitie en basiseigenschappen van een graad met een rationele exponent geleerd en de toepassing van dit theoretische materiaal in de praktijk onderzocht bij het uitvoeren van oefeningen. Ik zou graag uw aandacht willen vestigen op het feit dat het onderwerp “Exponent met een rationale exponent” verplicht is in Unified State Exam-opdrachten. Bij het voorbereiden van huiswerk ( Nr. 428 en nr. 429

Van gehele exponenten van het getal a doet zich de overgang naar rationale exponenten voor. Hieronder definiëren we een graad met een rationale exponent, en dat doen we zo dat alle eigenschappen van een graad met een gehele exponent behouden blijven. Dit is nodig omdat gehele getallen deel uitmaken van de rationale getallen.

Het is bekend dat de reeks rationale getallen uit gehele getallen en breuken bestaat, en dat elk fractioneel getal als positief of negatief kan worden weergegeven gemeenschappelijke fractie. We hebben in de vorige paragraaf een graad met een gehele exponent gedefinieerd. Om de definitie van een graad met een rationale exponent te vervolledigen, moeten we dus betekenis geven aan de graad van het getal A met een fractionele indicator m/n, Waar M is een geheel getal, en N- natuurlijk. Laten we het doen.

Laten we een graad bekijken met een fractionele exponent van de vorm . Wil de macht-tot-macht-eigenschap geldig blijven, dan moet de gelijkheid behouden blijven . Als we rekening houden met de resulterende gelijkheid en hoe we de n-de wortel van de graad hebben bepaald, dan is het logisch om te accepteren, op voorwaarde dat gegeven de gegeven M, N En A de uitdrukking is logisch.

Het is gemakkelijk om te controleren of alle eigenschappen van een graad met een gehele exponent geldig zijn (dit is gedaan in de sectie eigenschappen van een graad met een rationale exponent).

Bovenstaande redenering maakt het volgende mogelijk conclusie: indien gegeven gegevens M, N En A de uitdrukking zinvol is, dan de macht van het getal A met een fractionele indicator m/n de wortel genoemd N e graad van A tot op zekere hoogte M.

Deze verklaring brengt ons dicht bij de definitie van een graad met een fractionele exponent. Het enige dat overblijft is om te beschrijven waarop M, N En A de uitdrukking is logisch. Afhankelijk van de opgelegde beperkingen M, N En A Er zijn twee belangrijke benaderingen.

1. De eenvoudigste manier is om een beperking op te leggen A, aanvaard a≥0 voor positief M En a>0 voor negatief M(sinds wanneer m≤0 rang 0 m niet bepaald). Dan krijgen we de volgende definitie van een graad met een fractionele exponent.

Definitie.

Macht van een positief getal A met een fractionele indicator m/n , Waar M- geheel, en N– een natuurlijk getal, een wortel genoemd N-de van het getal A tot op zekere hoogte M, dat is, .

De fractionele macht van nul wordt ook bepaald met het enige voorbehoud dat de indicator positief moet zijn.

Definitie.

Macht van nul met fractionele positieve exponent m/n , Waar M is een positief geheel getal, en N– natuurlijk getal, gedefinieerd als .
Als de graad niet wordt bepaald, dat wil zeggen, heeft de graad van het getal nul met een fractionele negatieve exponent geen zin.

Opgemerkt moet worden dat er bij deze definitie van een graad met een fractionele exponent één voorbehoud is: voor sommigen negatief A en een beetje M En N de uitdrukking is logisch, maar we hebben deze gevallen verworpen door de voorwaarde te introduceren a≥0. De vermeldingen zijn bijvoorbeeld logisch of , en de hierboven gegeven definitie dwingt ons te zeggen dat machten een fractionele exponent van de vorm hebben heeft geen zin, aangezien de basis niet negatief mag zijn.

2. Een andere benadering voor het bepalen van de graad met een fractionele exponent m/n bestaat uit het afzonderlijk beschouwen van even en oneven exponenten van de wortel. Deze aanpak vereist een aanvullende voorwaarde: de macht van het getal A, waarvan de exponent een reduceerbare gewone breuk is, wordt beschouwd als een macht van het getal A, waarvan de indicator de overeenkomstige onherleidbare fractie is (het belang van deze voorwaarde zal hieronder worden uitgelegd). Dat wil zeggen, als m/n een onherleidbare breuk is, en dan voor elk natuurlijk getal k graad wordt voorlopig vervangen door .

Voor zelfs N en positief M de uitdrukking is logisch voor elk niet-negatief A(een even wortel van een negatief getal heeft geen betekenis), voor negatief M nummer A moet nog steeds verschillend zijn van nul (anders zal er sprake zijn van deling door nul). En voor vreemd N en positief M nummer A kan elk zijn (er wordt een oneven wortel gedefinieerd voor elk reëel getal), en voor negatief M nummer A moet niet nul zijn (zodat er geen deling door nul plaatsvindt).

De bovenstaande redenering leidt ons naar deze definitie van een graad met een fractionele exponent.

Definitie.

Laten m/n– onherleidbare fractie, M- geheel, en N- natuurlijk nummer. Voor elke reduceerbare fractie wordt de graad vervangen door . Graad van A met een onherleidbare fractionele exponent m/n- het is voor

o elk reëel getal A, geheel positief M en vreemd natuurlijk N, Bijvoorbeeld, ;

o elk reëel getal dat niet nul is A, negatief geheel getal M en vreemd N, Bijvoorbeeld, ;

o elk niet-negatief getal A, geheel positief M en zelfs N, Bijvoorbeeld, ;

o enig positief A, negatief geheel getal M en zelfs N, Bijvoorbeeld, ;

o in andere gevallen wordt de graad met een fractionele indicator niet bepaald, omdat bijvoorbeeld de graden niet gedefinieerd zijn .a we hechten geen enkele betekenis aan de invoer; we definiëren de macht van het getal nul voor positieve fractionele exponenten m/n Hoe Voor negatieve fractionele exponenten wordt de macht van het getal nul niet bepaald.

Laten we ter afsluiting van dit punt de aandacht vestigen op het feit dat een fractionele exponent kan worden geschreven als een decimale breuk of een gemengd getal, bijvoorbeeld: . Om de waarden van uitdrukkingen van dit type te berekenen, moet u de exponent in de vorm van een gewone breuk schrijven en vervolgens de definitie van de exponent met een fractionele exponent gebruiken. Voor de bovenstaande voorbeelden hebben we En

Macht met rationele exponent

Khasyanova TG,

wiskundeleraar

Het gepresenteerde materiaal zal nuttig zijn voor wiskundeleraren bij het bestuderen van het onderwerp 'Exponent met een rationele exponent'.

Het doel van het gepresenteerde materiaal: mijn ervaring onthullen met het geven van een les over het onderwerp "Exponent met een rationele exponent" werk programma discipline "Wiskunde".

De methodologie voor het uitvoeren van de les komt overeen met het type ervan: een les in het bestuderen en aanvankelijk consolideren van nieuwe kennis. Basiskennis en vaardigheden zijn geactualiseerd op basis van eerder opgedane ervaringen; primaire memorisatie, consolidatie en toepassing van nieuwe informatie. Consolidatie en toepassing van nieuw materiaal vond plaats in de vorm van het oplossen van problemen die ik testte van verschillende complexiteit, wat een positief resultaat opleverde bij het beheersen van het onderwerp.

Aan het begin van de les heb ik de volgende doelen voor de leerlingen gesteld: educatief, ontwikkelingsgericht, educatief. Tijdens de les heb ik gebruikt verschillende manieren activiteiten: frontaal, individueel, paar, onafhankelijk, test. De taken waren gedifferentieerd en maakten het mogelijk om in elke fase van de les de mate van kennisverwerving te identificeren. Het volume en de complexiteit van taken komen overeen met de leeftijdskenmerken van studenten. Uit mijn ervaring - huiswerk, vergelijkbaar met de problemen die in de klas worden opgelost, stelt u in staat de verworven kennis en vaardigheden op betrouwbare wijze te consolideren. Aan het eind van de les vond reflectie plaats en werd het werk van de individuele leerlingen beoordeeld.

De doelen werden bereikt. Studenten bestudeerden het concept en de eigenschappen van een graad met een rationele exponent en leerden deze eigenschappen te gebruiken bij het oplossen praktische problemen. Achter onafhankelijk werk De volgende les worden de cijfers bekend gemaakt.

Ik geloof dat de methodiek die ik gebruik voor het wiskundeonderwijs bruikbaar is voor wiskundedocenten.

Lesonderwerp: Macht met rationele exponent

Het doel van de les:

Identificatie van het niveau van beheersing van een complex van kennis en vaardigheden door studenten en, op basis daarvan, de toepassing ervan bepaalde beslissingen om het onderwijsproces te verbeteren.

Lesdoelen:

Leerzaam: nieuwe kennis onder studenten vormen over basisconcepten, regels, wetten voor het bepalen van graden met een rationele indicator, het vermogen om zelfstandig kennis toe te passen in standaardomstandigheden, in gewijzigde en niet-standaard omstandigheden;

ontwikkelen: logisch nadenken en creatieve vaardigheden realiseren;

verhogen: ontwikkel interesse in wiskunde, vul je woordenschat aan met nieuwe termen en verkrijg aanvullende informatie over de wereld om je heen. Ontwikkel geduld, doorzettingsvermogen en het vermogen om moeilijkheden te overwinnen.

Tijd organiseren

Actualiseren van referentiekennis

Bij het vermenigvuldigen van machten met hetzelfde grondtal worden de exponenten opgeteld, maar het grondtal blijft hetzelfde:

Bijvoorbeeld,

2. Bij het delen van graden met dezelfde grondtallen worden de exponenten van de graden afgetrokken, maar de basis blijft hetzelfde:

Bijvoorbeeld,

3. Bij het verheffen van een graad tot een macht worden de exponenten vermenigvuldigd, maar blijft het grondtal hetzelfde:

Bijvoorbeeld,

4. De graad van het product is gelijk aan het product van de graden van de factoren:

Bijvoorbeeld,

5. De graad van het quotiënt is gelijk aan het quotiënt van de graden van het deeltal en de deler:

Bijvoorbeeld,

Oefeningen met oplossingen

Zoek de betekenis van de uitdrukking:

Oplossing:

In dit geval kunnen geen van de eigenschappen van een graad met een natuurlijke exponent expliciet worden toegepast, aangezien dat voor alle graden geldt verschillende redenen. Laten we enkele bevoegdheden in een andere vorm schrijven:

(de graad van het product is gelijk aan het product van de graden van de factoren);

(bij het vermenigvuldigen van machten met hetzelfde grondtal worden de exponenten opgeteld, maar het grondtal blijft hetzelfde; bij het verheffen van een graad tot een macht worden de exponenten vermenigvuldigd, maar het grondtal blijft hetzelfde).

Dan krijgen we:

IN in dit voorbeeld De eerste vier eigenschappen van graad met natuurlijke exponent werden gebruikt.

Rekenkundige vierkantswortel
is een niet-negatief getal waarvan het kwadraat gelijk is aanA,
. Bij
- uitdrukking
niet gedefinieerd, omdat er is geen reëel getal waarvan het kwadraat gelijk is aan een negatief getalA.

Wiskundig dictaat(8-10 min.)

Keuze

II. Keuze

1. Zoek de waarde van de uitdrukking

2. Bereken

IN)

2. Bereken

Zelftest(op het reversbord):

Reactiematrix:

№ optie/taak

Probleem 1

Probleem 2

Optie 1

a) 2

b) 2

a) 0,5

Optie 2

a) 1.5

om 4

II. Vorming van nieuwe kennis

Laten we eens kijken welke betekenis de uitdrukking heeft, waar - positief nummer– fractioneel getal en m-geheel getal, n-natuurlijk (n›1)

Definitie: macht van a›0 met rationale exponentR = , M-geheel, N-natuurlijk ( N›1) het nummer wordt gebeld.

Dus:

Bijvoorbeeld:

Opmerkingen:

1. Voor elk positief a- en elk rationaal r-getal positief.

2. Wanneer
rationele macht van een getalAniet bepaald.

Uitdrukkingen als
geen zin.

3.Als een fractioneel positief getal is
.

Als fractioneel negatief getal dus -heeft geen zin.

Bijvoorbeeld: - heeft geen zin.

Laten we eens kijken naar de eigenschappen van een graad met een rationale exponent.

Laat a >0, b>0; r, s - elke rationele nummers. Dan heeft een graad met een willekeurige rationale exponent de volgende eigenschappen:

1.
2.
3.
4.
5.

III. Consolidatie. Vorming van nieuwe vaardigheden en capaciteiten.

Taakkaarten werken in kleine groepjes in de vorm van een toets.

Nadat de macht van een getal is bepaald, is het logisch om erover te praten graad eigenschappen. In dit artikel zullen we de basiseigenschappen van de macht van een getal geven, terwijl we alle mogelijke exponenten bespreken. Hier zullen we bewijzen leveren van alle eigenschappen van graden, en ook laten zien hoe deze eigenschappen worden gebruikt bij het oplossen van voorbeelden.

Paginanavigatie.

Eigenschappen van graden met natuurlijke exponenten

Per definitie van een macht met een natuurlijke exponent is de macht a n het product van n factoren, die elk gelijk zijn aan a. Gebaseerd op deze definitie, en ook met behulp van eigenschappen van vermenigvuldiging van reële getallen, kunnen we het volgende verkrijgen en rechtvaardigen eigenschappen van graad met natuurlijke exponent:

de belangrijkste eigenschap van de graad a m ·a n =a m+n, de generalisatie ervan;
eigenschap van quotiëntmachten met identieke bases a m:a n =a m−n ;
productkrachteigenschap (a·b) n =a n ·b n , de uitbreiding ervan;
eigenschap van het quotiënt tot de natuurlijke graad (a:b) n =a n:b n ;
een graad verheffen tot een macht (a m) n =a m·n, de generalisatie ervan (((een n 1) n 2) …) n k = een n 1 ·n 2 ·…·n k;
vergelijking van graad met nul:
- als a>0, dan is een n>0 voor elk natuurlijk getal n;
- als a=0, dan is a n =0;
- als een<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 als een<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
als a en b positieve getallen zijn en a
als m en n natuurlijke getallen zijn zodat m>n , dan bij 0 0 de ongelijkheid a m >a n is waar.

Laten we meteen opmerken dat alle geschreven gelijkheden dat zijn identiek onder de gespecificeerde voorwaarden kunnen zowel het rechter- als het linkerdeel worden verwisseld. Bijvoorbeeld de hoofdeigenschap van de breuk a m ·a n =a m+n met het vereenvoudigen van uitdrukkingen vaak gebruikt in de vorm a m+n =a m ·a n .

Laten we ze nu allemaal in detail bekijken.

Laten we beginnen met de eigenschap van het product van twee machten met dezelfde bases, die wordt genoemd de belangrijkste eigenschap van de graad: voor elk reëel getal a en alle natuurlijke getallen m en n is de gelijkheid a m ·a n =a m+n waar.

Laten we de belangrijkste eigenschap van de graad bewijzen. Door de definitie van een macht met een natuurlijke exponent kan het product van machten met dezelfde grondtallen in de vorm a m ·a n als product worden geschreven. Vanwege de eigenschappen van vermenigvuldiging kan de resulterende uitdrukking worden geschreven als , en dit product is een macht van het getal a met een natuurlijke exponent m+n, dat wil zeggen a m+n. Hiermee is het bewijs voltooid.

Laten we een voorbeeld geven dat de belangrijkste eigenschap van het diploma bevestigt. Laten we graden nemen met dezelfde grondtallen 2 en natuurlijke machten 2 en 3. Met behulp van de basiseigenschap van graden kunnen we de gelijkheid 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 schrijven. Laten we de geldigheid ervan controleren door de waarden van de uitdrukkingen 2 2 · 2 3 en 2 5 te berekenen. Machtsverheffing uitvoeren, dat hebben we gedaan 2 2 ·2 3 =(2·2)·(2·2·2)=4·8=32 en 2 5 =2·2·2·2·2=32, aangezien gelijke waarden worden verkregen, is de gelijkheid 2 2 ·2 3 =2 5 correct en bevestigt deze de belangrijkste eigenschap van de graad.

De basiseigenschap van een graad, gebaseerd op de eigenschappen van vermenigvuldiging, kan worden gegeneraliseerd naar het product van drie of meer machten met dezelfde bases en natuurlijke exponenten. Dus voor elk getal k van natuurlijke getallen n 1, n 2, …, nk geldt de volgende gelijkheid: een n 1 ·een n 2 ·…·een n k =een n 1 +n 2 +…+n k.

Bijvoorbeeld, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

We kunnen doorgaan naar de volgende eigenschap van machten met een natuurlijke exponent: eigenschap van quotiëntmachten met dezelfde bases: voor elk reëel getal a dat niet nul is en willekeurige natuurlijke getallen m en n die voldoen aan de voorwaarde m>n, is de gelijkheid a m:a n =a m−n waar.

Laten we, voordat we het bewijs van deze eigenschap presenteren, de betekenis van de aanvullende voorwaarden in de formulering bespreken. De voorwaarde a≠0 is nodig om deling door nul te voorkomen, aangezien 0 n =0, en toen we kennis maakten met deling, waren we het erover eens dat we niet door nul kunnen delen. De voorwaarde m>n wordt geïntroduceerd zodat we niet verder gaan dan de natuurlijke exponenten. Voor m>n is de exponent a m−n inderdaad natuurlijk nummer, anders zal het nul zijn (wat gebeurt als m−n) of een negatief getal (wat gebeurt als m
Bewijs. De hoofdeigenschap van een breuk stelt ons in staat de gelijkheid te schrijven een m−n ·een n =een (m−n)+n =een m. Uit de resulterende gelijkheid volgt a m−n ·a n =a m en volgt dat a m−n een quotiënt is van de machten a m en a n . Dit bewijst de eigenschap van quotiëntmachten met identieke bases.

Laten we een voorbeeld geven. Laten we twee graden nemen met dezelfde bases π en natuurlijke exponenten 5 en 2, de gelijkheid π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 komt overeen met de beschouwde eigenschap van de graad.

Laten we nu eens overwegen productkrachteigenschap: de natuurlijke macht n van het product van twee willekeurige reële getallen a en b is gelijk aan het product van de machten a n en b n , dat wil zeggen (a·b) n =a n ·b n .

We hebben inderdaad de definitie van een graad met een natuurlijke exponent . Op basis van de eigenschappen van vermenigvuldiging kan het laatste product worden herschreven als , wat gelijk is aan a n · b n .

Hier is een voorbeeld: .

Deze eigenschap strekt zich uit tot de macht van het product van drie of meer factoren. Dat wil zeggen, de eigenschap van natuurlijke graad n van het product van k-factoren wordt geschreven als (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n.

Voor de duidelijkheid zullen we deze eigenschap met een voorbeeld laten zien. Voor het product van drie factoren tot de macht 7 hebben we .

De volgende eigenschap is eigenschap van een quotiënt in natura: het quotiënt van reële getallen a en b, b≠0 tot de natuurlijke macht n is gelijk aan het quotiënt van machten a n en b n, dat wil zeggen (a:b) n =a n:b n.

Het bewijs kan worden uitgevoerd met behulp van de vorige eigenschap. Dus (a:b) n b n =((a:b) b) n =een n, en uit de gelijkheid (a:b) n ·b n =a n volgt dat (a:b) n het quotiënt is van a n gedeeld door b n .

Laten we deze eigenschap schrijven met specifieke getallen als voorbeeld: .

Laten we het nu uitspreken eigenschap om een macht tot een macht te verheffen: voor elk reëel getal a en alle natuurlijke getallen m en n is de macht van a m tot de macht van n gelijk aan de macht van het getal a met exponent m·n, dat wil zeggen (a m) n = a m·n.

Bijvoorbeeld (5 2) 3 =5 2·3 =5 6.

Het bewijs van de power-to-degree-eigenschap is de volgende reeks gelijkheden: .

De beschouwde eigenschap kan worden uitgebreid van graad tot graad tot graad, enz. Voor alle natuurlijke getallen p, q, r en s geldt bijvoorbeeld de gelijkheid . Voor meer duidelijkheid is hier een voorbeeld met specifieke cijfers: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Er moet nog worden stilgestaan bij de eigenschappen van het vergelijken van graden met een natuurlijke exponent.

Laten we beginnen met het bewijzen van de eigenschap van het vergelijken van nul en macht met een natuurlijke exponent.

Laten we eerst bewijzen dat a n >0 voor elke a>0.

Het product van twee positieve getallen is een positief getal, zoals volgt uit de definitie van vermenigvuldiging. Dit feit en de eigenschappen van vermenigvuldiging suggereren dat het resultaat van het vermenigvuldigen van een willekeurig aantal positieve getallen ook een positief getal zal zijn. En de macht van een getal a met natuurlijke exponent n is per definitie het product van n factoren, die elk gelijk zijn aan a. Deze argumenten stellen ons in staat te beweren dat voor elke positieve grondtal a de graad a n een positief getal is. Vanwege de bewezen eigenschap 3 5 >0, (0,00201) 2 >0 en .

Het is vrij duidelijk dat voor elk natuurlijk getal n met a=0 de graad van a n nul is. Inderdaad, 0 n =0·0·…·0=0 . Bijvoorbeeld 0 3 =0 en 0 762 =0.

Laten we verder gaan met de negatieve graadbases.

Laten we beginnen met het geval waarin de exponent een even getal is, we noteren dit als 2·m, waarbij m een natuurlijk getal is. Dan . Want elk van de producten van de vorm a·a is gelijk aan het product van de moduli van de getallen a en a, wat betekent dat het een positief getal is. Daarom zal het product ook positief zijn en graad a 2·m. Laten we voorbeelden geven: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 en .

Ten slotte, als grondtal a een negatief getal is en de exponent een oneven getal 2 m−1, dan . Alle producten a·a zijn positieve getallen, het product van deze positieve getallen is ook positief, en de vermenigvuldiging ervan met het resterende negatieve getal a resulteert in een negatief getal. Vanwege deze eigenschap (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

Laten we verder gaan met de eigenschap van het vergelijken van machten met dezelfde natuurlijke exponenten, die de volgende formulering heeft: van twee machten met dezelfde natuurlijke exponenten is n kleiner dan degene waarvan de basis kleiner is, en groter is degene waarvan de basis groter is. . Laten we het bewijzen.

Ongelijkheid een n eigenschappen van ongelijkheid een aantoonbare ongelijkheid van de vorm a n is ook waar (2.2) 7 en .

Het blijft nodig om de laatste van de genoemde eigenschappen van machten met natuurlijke exponenten te bewijzen. Laten we het formuleren. Van twee machten met natuurlijke exponenten en identieke positieve bases kleiner dan één, is degene waarvan de exponent kleiner is groter; en van twee machten met natuurlijke exponenten en identieke grondtallen groter dan één, is degene waarvan de exponent groter is groter. Laten we verder gaan met het bewijs van deze eigenschap.

Laten we dat bewijzen voor m>n en 0 0 vanwege de initiële voorwaarde m>n, wat betekent dat op 0
Het blijft om het tweede deel van het onroerend goed te bewijzen. Laten we bewijzen dat voor m>n en a>1 a m >a n waar is. Het verschil a m −a n nadat a n tussen haakjes is gezet, heeft de vorm a n ·(a m−n −1) . Dit product is positief, aangezien voor a>1 de graad a n een positief getal is, en het verschil a m−n −1 een positief getal is, aangezien m−n>0 vanwege de beginvoorwaarde, en voor a>1 de graad a m−n is groter dan één . Bijgevolg a m −a n >0 en a m >a n , wat moest worden bewezen. Deze eigenschap wordt geïllustreerd door de ongelijkheid 3 7 >3 2.

Eigenschappen van machten met gehele exponenten
Omdat positieve gehele getallen natuurlijke getallen zijn, vallen alle eigenschappen van machten met positieve gehele exponenten precies samen met de eigenschappen van machten met natuurlijke exponenten die in de vorige paragraaf zijn opgesomd en bewezen.

We definieerden een graad met een geheel getal negatieve exponent, evenals een graad met een exponent van nul, op zo'n manier dat alle eigenschappen van graden met natuurlijke exponenten, uitgedrukt door gelijkheden, geldig bleven. Daarom zijn al deze eigenschappen geldig voor zowel nul-exponenten als negatieve exponenten, terwijl de bases van de machten natuurlijk verschillend zijn van nul.

Dus voor alle reële getallen en niet-nul getallen a en b, evenals voor alle gehele getallen m en n, geldt het volgende: eigenschappen van machten met gehele exponenten:

een m ·een n =een m+n ;

een m:een n =een m−n ;

(a·b) n =een n ·b n ;

(a:b) n = een n:b n ;

(een m) n = een m·n ;

als n een positief geheel getal is, zijn a en b positieve getallen, en a b−n;

als m en n gehele getallen zijn, en m>n , dan bij 0 1 de ongelijkheid a m >a n geldt.

Als a=0 zijn de machten a m en a n alleen zinvol als zowel m als n positieve gehele getallen zijn, dat wil zeggen natuurlijke getallen. De zojuist geschreven eigenschappen zijn dus ook geldig voor de gevallen waarin a=0 en de getallen m en n positieve gehele getallen zijn.

Het bewijzen van elk van deze eigenschappen is niet moeilijk; hiervoor volstaat het om de definities van graden met natuurlijke en gehele exponenten te gebruiken, evenals de eigenschappen van bewerkingen met reële getallen. Laten we als voorbeeld bewijzen dat de power-to-power-eigenschap geldt voor zowel positieve gehele getallen als niet-positieve gehele getallen. Om dit te doen moet je laten zien dat als p nul is of een natuurlijk getal en q nul is of een natuurlijk getal, de gelijkheden (a p) q =a p·q, (a −p) q =a (−p) ·q, (a p ) −q =a p·(−q) en (a −p) −q =a (−p)·(−q). Laten we het doen.

Voor positieve p en q werd in de vorige paragraaf de gelijkheid (a p) q =a p·q bewezen. Als p=0, dan geldt (a 0) q =1 q =1 en a 0·q =a 0 =1, vandaar (a 0) q =a 0·q. Op soortgelijke wijze geldt dat als q=0, dan (a p) 0 =1 en a p·0 =a 0 =1, vandaar dat (a p) 0 =a p·0. Als zowel p=0 als q=0, dan (a 0) 0 =1 0 =1 en a 0·0 =a 0 =1, vandaar (a 0) 0 =a 0·0.

Nu bewijzen we dat (a −p) q =a (−p)·q . Per definitie dus van een macht met een negatieve gehele exponent . Door de eigenschap van quotiënten tot machten die we hebben . Omdat 1 p =1·1·…·1=1 en , dan . De laatste uitdrukking is per definitie een macht van de vorm a −(p·q), die dankzij de vermenigvuldigingsregels geschreven kan worden als a (−p)·q.

Insgelijks .

EN .

Met hetzelfde principe kun je alle andere eigenschappen van een graad bewijzen met een gehele exponent, geschreven in de vorm van gelijkheden.

In de voorlaatste van de geregistreerde eigenschappen is het de moeite waard om stil te staan bij het bewijs van de ongelijkheid a −n >b −n, die geldig is voor elk negatief geheel getal −n en elke positieve a en bwaarvoor aan de voorwaarde a is voldaan . Omdat door voorwaarde a 0 . Het product a n · b n is ook positief als het product van positieve getallen a n en b n . Dan is de resulterende breuk positief als het quotiënt van de positieve getallen b n −a n en a n ·b n . Daarom, vanwaar a −n >b −n , wat bewezen moest worden.

De laatste eigenschap van machten met gehele exponenten wordt op dezelfde manier bewezen als een soortgelijke eigenschap van machten met natuurlijke exponenten.

Eigenschappen van machten met rationele exponenten

We hebben een graad met een fractionele exponent gedefinieerd door de eigenschappen van een graad met een gehele exponent uit te breiden. Met andere woorden, machten met fractionele exponenten hebben dezelfde eigenschappen als machten met gehele exponenten. Namelijk:

Het bewijs van de eigenschappen van graden met fractionele exponenten is gebaseerd op de definitie van een graad met een fractionele exponent, en op de eigenschappen van een graad met een gehele exponent. Laten we bewijs leveren.

Per definitie van een macht met een fractionele exponent en dan . De eigenschappen van de rekenkundige wortel stellen ons in staat de volgende gelijkheden te schrijven. Verder verkrijgen we, door gebruik te maken van de eigenschap van een graad met een gehele exponent, waaruit we, door de definitie van een graad met een fractionele exponent, hebben , en de indicator van het behaalde diploma kan als volgt worden getransformeerd: . Hiermee is het bewijs voltooid.

De tweede eigenschap van machten met fractionele exponenten wordt op een absoluut vergelijkbare manier bewezen:

De overige gelijkheden worden bewezen met behulp van soortgelijke principes:

Laten we verder gaan met het bewijzen van de volgende eigenschap. Laten we bewijzen dat voor elke positieve a en b, a b p. Laten we het rationale getal p schrijven als m/n, waarbij m een geheel getal is en n een natuurlijk getal. Voorwaarden p<0 и p>0 in dit geval de voorwaarden m<0 и m>0 dienovereenkomstig. Voor m>0 en a
Zo ook voor m<0 имеем a m >b m , vanwaar, dat wil zeggen, en a p >b p .

Het blijft om de laatste van de genoemde eigendommen te bewijzen. Laten we bewijzen dat voor rationale getallen p en q p>q bij 0 geldt 0 – ongelijkheid a p >a q . We kunnen de rationale getallen p en q altijd terugbrengen tot een gemeenschappelijke noemer, zelfs als we gewone breuken en krijgen, waarbij m 1 en m 2 gehele getallen zijn, en n een natuurlijk getal is. In dit geval zal de voorwaarde p>q overeenkomen met de voorwaarde ml >m 2, die volgt uit. Vervolgens door de eigenschap van het vergelijken van machten met dezelfde bases en natuurlijke exponenten op 0 1 – ongelijkheid a m 1 >a m 2 . Deze ongelijkheden in de eigenschappen van de wortels kunnen dienovereenkomstig worden herschreven als En . En de definitie van een graad met een rationele exponent stelt ons in staat verder te gaan met ongelijkheden en dienovereenkomstig. Vanaf hier trekken we de eindconclusie: voor p>q en 0 0 – ongelijkheid a p >a q .

Eigenschappen van machten met irrationele exponenten

Uit de manier waarop een graad met een irrationele exponent is gedefinieerd, kunnen we concluderen dat deze alle eigenschappen heeft van graden met rationele exponenten. Dus voor elke a>0 , b>0 en irrationele nummers p en q zijn als volgt eigenschappen van machten met irrationele exponenten:

een p ·a q =een p+q ;

een p:een q =een p−q ;

(a·b) p =a p ·b p ;

(a:b) p =a p:b p ;

(een p) q = een p·q ;

voor alle positieve getallen a en b, a 0 de ongelijkheid a p bp;

voor irrationele getallen p en q, p>q bij 0 0 – ongelijkheid a p >a q .

Hieruit kunnen we concluderen dat machten met eventuele reële exponenten p en q voor a>0 dezelfde eigenschappen hebben.

Bibliografie.

Vilenkin N.Ya., Zhokhov VI, Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Wiskunde leerboek voor het 5e leerjaar. onderwijsinstellingen.

Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: leerboek voor het 7e leerjaar. onderwijsinstellingen.

Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: leerboek voor groep 8. onderwijsinstellingen.

Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: leerboek voor het 9e leerjaar. onderwijsinstellingen.

Kolmogorov AN, Abramov AM, Dudnitsyn Yu.P. en anderen Algebra en het begin van analyse: leerboek voor de groepen 10 - 11 van instellingen voor algemeen onderwijs.

Gusev V.A., Mordkovich A.G. Wiskunde (een handleiding voor degenen die naar een technische school gaan).

De videoles “Exponent met een rationale exponent” bevat een visueel beeld educatief materiaal om een lesje te geven over dit onderwerp. De videoles bevat informatie over het concept van een diploma met een rationele exponent, eigenschappen van dergelijke graden, evenals voorbeelden die het gebruik van educatief materiaal beschrijven om praktische problemen op te lossen. Het doel van deze videoles is om het educatieve materiaal duidelijk en duidelijk te presenteren, de ontwikkeling en het onthouden ervan door studenten te vergemakkelijken, en het vermogen te ontwikkelen om problemen op te lossen met behulp van de geleerde concepten.

De belangrijkste voordelen van de videoles zijn de mogelijkheid om transformaties en berekeningen visueel uit te voeren, de mogelijkheid om animatie-effecten te gebruiken om de leerefficiëntie te verbeteren. Stembegeleiding helpt bij het ontwikkelen van correcte wiskundige spraak, en maakt het ook mogelijk om de uitleg van de leraar te vervangen, waardoor hij de vrijheid krijgt om individueel werk uit te voeren.

De videoles begint met de introductie van het onderwerp. Bij het verbinden van de studie van een nieuw onderwerp met eerder bestudeerd materiaal, wordt voorgesteld om te onthouden dat n √a anders wordt aangeduid als a 1/n voor natuurlijke n en positief a. Deze n-root representatie wordt op het scherm weergegeven. Vervolgens stellen we voor om te bekijken wat de uitdrukking a m/n betekent, waarbij a een positief getal is en m/n een breuk. De definitie van een graad met een rationale exponent als m/n = n √a m wordt gegeven, gemarkeerd in het kader. Opgemerkt wordt dat n een natuurlijk getal kan zijn, en dat m een geheel getal kan zijn.

Nadat een graad met een rationale exponent is gedefinieerd, wordt de betekenis ervan onthuld aan de hand van voorbeelden: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3. Er wordt ook een voorbeeld getoond waarin de graad wordt weergegeven door decimale, wordt geconverteerd naar een gewone breuk die als wortel moet worden weergegeven: (1/7) 1,7 = (1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 en voorbeeld met negatieve waarde graden: 3 -1/8 = 8 √3 -1.

De eigenaardigheid van het speciale geval wanneer de basis van de graad nul is, wordt afzonderlijk aangegeven. Opgemerkt wordt dat deze graad alleen zinvol is met een positieve fractionele exponent. In dit geval is de waarde nul: 0 m/n =0.

Een ander kenmerk van een graad met een rationale exponent wordt opgemerkt: dat een graad met een fractionele exponent niet kan worden beschouwd met een fractionele exponent. Voorbeelden van onjuiste notatie van graden worden gegeven: (-9) -3/7, (-3) -1/3, 0 -1/5.

Vervolgens bespreken we in de videoles de eigenschappen van een graad met een rationale exponent. Opgemerkt wordt dat de eigenschappen van een graad met een gehele exponent ook geldig zullen zijn voor een graad met een rationale exponent. Er wordt voorgesteld om de lijst met eigenschappen op te roepen die ook in dit geval geldig zijn:

Bij het vermenigvuldigen van machten met dezelfde grondtallen tellen hun exponenten op: a p a q =a p+q.

De verdeling van graden met dezelfde grondtallen wordt teruggebracht tot een graad met een gegeven grondtal en het verschil in de exponenten: a p:a q =a p-q.

Als we de graad tot een bepaalde macht verhogen, krijgen we een graad met een gegeven grondtal en het product van exponenten: (a p) q =a pq.

Al deze eigenschappen zijn geldig voor machten met rationale exponenten p, q en positieve grondtal a>0. Ook graadtransformaties bij het openen van haakjes blijven waar:

(ab) p =a p b p - tot een bepaalde macht verheven met een rationale exponent wordt het product van twee getallen gereduceerd tot het product van getallen, die elk tot een bepaalde macht worden verheven.

(a/b) p =a p /b p - het verheffen van een breuk tot een macht met een rationale exponent wordt gereduceerd tot een breuk waarvan de teller en de noemer tot een bepaalde macht worden verheven.

De video-tutorial bespreekt het oplossen van voorbeelden die de weloverwogen eigenschappen van machten met een rationele exponent gebruiken. In het eerste voorbeeld wordt u gevraagd de waarde te vinden van een uitdrukking die variabelen x bevat in een breukmacht: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). Ondanks de complexiteit van de uitdrukking kan deze met behulp van de eigenschappen van machten vrij eenvoudig worden opgelost. Het oplossen van het probleem begint met het vereenvoudigen van de uitdrukking, waarbij de regel wordt gebruikt om een macht met een rationele exponent tot een macht te verheffen, en om machten met hetzelfde grondtal te vermenigvuldigen. Na het vervangen van de gegeven waarde x=8 in de vereenvoudigde uitdrukking x 1/3 +48, is het eenvoudig om de waarde - 50 te verkrijgen.

In het tweede voorbeeld moet je een breuk reduceren waarvan de teller en de noemer machten met een rationale exponent bevatten. Met behulp van de eigenschappen van de graad extraheren we uit het verschil de factor x 1/3, die vervolgens wordt gereduceerd in de teller en de noemer, en met behulp van de formule voor het verschil in kwadraten wordt de teller ontbonden, wat verdere reducties oplevert van identieke factoren in de teller en de noemer. Het resultaat van dergelijke transformaties is de korte fractie x 1/4 +3.

In plaats van dat de docent een nieuw lesonderwerp uitlegt, kan de videoles “Exponent met een rationale exponent” worden gebruikt. Deze handleiding bevat tevens voldoende volledige informatie voor zelfstudie student. Het materiaal kan ook nuttig zijn voor afstandsonderwijs.