Wiskunde ontstond toen de mens zich bewust werd van zichzelf en zichzelf begon te positioneren als een autonome eenheid van de wereld. Het verlangen om te meten, vergelijken en tellen wat je omringt - dit is wat ten grondslag ligt aan één van deze dingen basiswetenschappen onze dagen. In eerste instantie waren het deeltjes elementaire wiskunde, die het mogelijk maakte om getallen met hun fysieke uitdrukkingen te verbinden, werden de conclusies later alleen theoretisch gepresenteerd (vanwege hun abstractheid), maar na een tijdje, zoals een wetenschapper het uitdrukte, ‘bereikte de wiskunde het plafond van complexiteit toen alle getallen ervan verdwenen.” Begrip " Vierkantswortel“verscheen in een tijd waarin het gemakkelijk kon worden ondersteund door empirische gegevens, die verder gingen dan het vlak van berekeningen.
Waar het allemaal begon
De eerste vermelding van de wortel, dat is dit moment aangeduid als √, werd vastgelegd in de werken van Babylonische wiskundigen, die de basis legden voor de moderne rekenkunde. Natuurlijk leken ze weinig op de huidige vorm: wetenschappers uit die jaren gebruikten voor het eerst omvangrijke tabletten. Maar in het tweede millennium voor Christus. e. Ze leidden een geschatte berekeningsformule af die liet zien hoe je de vierkantswortel moest extraheren. De onderstaande foto toont een steen waarop Babylonische wetenschappers het proces voor het afleiden van √2 hebben uitgehouwen, en het bleek zo correct te zijn dat de discrepantie in het antwoord alleen op de tiende decimaal werd gevonden.
Bovendien werd de wortel gebruikt als het nodig was om een zijde van een driehoek te vinden, op voorwaarde dat de andere twee bekend waren. Welnu, bij het oplossen van kwadratische vergelijkingen is er geen ontkomen aan het extraheren van de wortel.
Samen met de Babylonische werken werd het onderwerp van het artikel ook bestudeerd in het Chinese werk ‘Mathematics in Nine Books’, en de oude Grieken kwamen tot de conclusie dat elk getal waaruit de wortel niet kan worden afgeleid zonder een rest een irrationeel resultaat oplevert. .
Oorsprong deze term geassocieerd met de Arabische weergave van getallen: wetenschappers uit de oudheid geloofden dat het kwadraat van een willekeurig getal uit een wortel groeit, zoals een plant. In het Latijn klinkt dit woord als radix (je kunt een patroon volgen - alles wat een "wortel" betekent is medeklinker, of het nu radijs of radiculitis is).
Wetenschappers van volgende generaties hebben dit idee overgenomen en het Rx genoemd. Om bijvoorbeeld aan te geven dat de vierkantswortel van een willekeurig getal a was genomen, schreven ze in de 15e eeuw R 2 a. De "teek", bekend bij moderne ogen, verscheen pas in de 17e eeuw dankzij Rene Descartes.
Onze dagen
In wiskundige termen is de vierkantswortel van een getal y het getal z waarvan het kwadraat gelijk is aan y. Met andere woorden, z 2 =y is equivalent aan √y=z. Echter deze definitie alleen relevant voor rekenkundige wortel, omdat het een niet-negatieve waarde van de uitdrukking impliceert. Met andere woorden: √y=z, waarbij z groter is dan of gelijk is aan 0.
IN algemeen geval, die fungeert om de algebraïsche wortel te bepalen, kan de waarde van de uitdrukking positief of negatief zijn. Dus vanwege het feit dat z 2 =y en (-z) 2 =y, geldt: √y=±z of √y=|z|.
Vanwege het feit dat de liefde voor wiskunde alleen maar is toegenomen met de ontwikkeling van de wetenschap, zijn er verschillende uitingen van genegenheid ervoor die niet in droge berekeningen worden uitgedrukt. Naast interessante verschijnselen als Pi-dag worden bijvoorbeeld ook vierkantswortelvakanties gevierd. Ze worden negen keer per honderd jaar gevierd en worden bepaald volgens het volgende principe: de cijfers die in volgorde de dag en de maand aangeven, moeten de vierkantswortel van het jaar zijn. Dus de volgende keer dat we deze feestdag vieren is 4 april 2016.
Eigenschappen van de vierkantswortel op het veld R
Bijna alle wiskundige uitdrukkingen hebben een geometrische basis, en √y, gedefinieerd als de zijde van een vierkant met oppervlakte y, is niet aan dit lot ontsnapt.
Hoe vind je de wortel van een getal?
Er zijn verschillende berekeningsalgoritmen. De eenvoudigste, maar tegelijkertijd behoorlijk omslachtig, is de gebruikelijke rekenkundige berekening, die als volgt is:
1) van het getal waarvan we de wortel nodig hebben, worden op hun beurt de oneven getallen afgetrokken - totdat de rest aan de uitgang kleiner is dan de afgetrokken één of zelfs gelijk is aan nul. Het aantal zetten wordt uiteindelijk het gewenste aantal. Als u bijvoorbeeld de vierkantswortel van 25 berekent:
Het volgende oneven getal is 11, de rest is: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?
Voor dergelijke gevallen is er een uitbreiding van de Taylorreeks:
√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , waarbij n waarden aanneemt van 0 tot
+∞, en |y|≤1.
Grafische weergave van de functie z=√y
Laten we de elementaire functie z=√y bekijken op het veld van reële getallen R, waarbij y groter is dan of gelijk is aan nul. Het schema ziet er als volgt uit:
De curve groeit vanaf de oorsprong en snijdt noodzakelijkerwijs het punt (1; 1).
Eigenschappen van de functie z=√y op het veld van reële getallen R
1. Het definitiedomein van de betreffende functie is het interval van nul tot plus oneindig (nul is inbegrepen).
2. Het waardenbereik van de betreffende functie is het interval van nul tot plus oneindig (nul is opnieuw inbegrepen).
3. De functie neemt zijn minimumwaarde (0) alleen aan op het punt (0; 0). Er is geen maximale waarde.
4. De functie z=√y is noch even noch oneven.
5. De functie z=√y is niet periodiek.
6. Er is slechts één snijpunt van de grafiek van de functie z=√y met de coördinaatassen: (0; 0).
7. Het snijpunt van de grafiek van de functie z=√y is tevens het nulpunt van deze functie.
8. De functie z=√y groeit voortdurend.
9. De functie z=√y neemt alleen positieve waarden aan, daarom beslaat de grafiek de eerste coördinaathoek.
Opties voor het weergeven van de functie z=√y
Om de berekening van complexe uitdrukkingen te vergemakkelijken, wordt in de wiskunde soms de machtsvorm van het schrijven van de vierkantswortel gebruikt: √y=y 1/2. Deze optie is bijvoorbeeld handig als u een functie tot een macht wilt verheffen: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2. Deze methode is ook een goede weergave voor differentiatie met integratie, omdat hierdoor de vierkantswortel wordt weergegeven als een gewone machtsfunctie.
En bij het programmeren wordt het symbool √ vervangen door de combinatie van letters sqrt.
Het is vermeldenswaard dat er in dit gebied veel vraag is naar de vierkantswortel, omdat deze deel uitmaakt van de meeste geometrische formules die nodig zijn voor berekeningen. Het telalgoritme zelf is behoorlijk complex en is gebaseerd op recursie (een functie die zichzelf aanroept).
Vierkantswortel in complex lichaam C
Over het algemeen was het het onderwerp van dit artikel dat de ontdekking van het veld van complexe getallen C stimuleerde, aangezien wiskundigen werden achtervolgd door de vraag hoe ze een even wortel van een negatief getal konden verkrijgen. Dit is hoe de denkbeeldige eenheid i verscheen, die wordt gekenmerkt door een zeer interessante eigenschap: het kwadraat is -1. Hierdoor werden kwadratische vergelijkingen zelfs met een negatieve discriminant opgelost. In C zijn dezelfde eigenschappen relevant voor de vierkantswortel als in R, het enige is dat de beperkingen op de worteluitdrukking zijn verwijderd.
Feit 1.
\(\bullet\) Laten we een niet-negatief getal nemen \(a\) (dat wil zeggen, \(a\geqslant 0\) ). Dan (rekenkundig) vierkantswortel uit het getal \(a\) wordt zo'n niet-negatief getal \(b\) genoemd, in het kwadraat krijgen we het getal \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(hetzelfde als )\quad a=b^2\] Uit de definitie volgt dat \(a\geqschuin 0, b\geqschuin 0\). Deze beperkingen zijn een belangrijke voorwaarde voor het bestaan van een vierkantswortel en moeten onthouden worden!
Bedenk dat elk getal in het kwadraat een niet-negatief resultaat oplevert. Dat wil zeggen: \(100^2=10000\geqslant 0\) en \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Waar is \(\sqrt(25)\) gelijk aan? We weten dat \(5^2=25\) en \((-5)^2=25\) . Omdat we per definitie een niet-negatief getal moeten vinden, is \(-5\) niet geschikt, dus \(\sqrt(25)=5\) (sinds \(25=5^2\) ).
Het vinden van de waarde van \(\sqrt a\) heet het nemen van de wortel van het getal \(a\) , en het getal \(a\) wordt de worteluitdrukking genoemd.
\(\bullet\) Gebaseerd op de definitie, uitdrukking \(\sqrt(-25)\), \(\sqrt(-4)\), etc. geen zin.
Feit 2.
Voor snelle berekeningen is het handig om de tabel met kwadraten van natuurlijke getallen van \(1\) tot \(20\) te leren: \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(array)\]
Feit 3.
Welke bewerkingen kun je uitvoeren met vierkantswortels?
\(\kogel\) De som of het verschil van de vierkantswortels IS NIET GELIJK aan de vierkantswortel van de som of het verschil \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Als u dus bijvoorbeeld \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) moet berekenen, moet u in eerste instantie de waarden vinden van \(\sqrt(25)\) en \(\ sqrt(49)\ ) en vouw ze vervolgens. Vandaar, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Als de waarden \(\sqrt a\) of \(\sqrt b\) niet kunnen worden gevonden bij het toevoegen van \(\sqrt a+\sqrt b\), dan wordt zo'n uitdrukking niet verder getransformeerd en blijft zoals deze is. In de som \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) kunnen we bijvoorbeeld vinden dat \(\sqrt(49)\) \(7\) is, maar \(\sqrt 2\) kan niet worden getransformeerd in hoe dan ook, daarom \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Helaas kan deze uitdrukking niet verder worden vereenvoudigd\(\bullet\) Het product/quotiënt van vierkantswortels is gelijk aan de vierkantswortel van het product/quotiënt, dat wil zeggen \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (op voorwaarde dat beide kanten van de gelijkheid zinvol zijn)
Voorbeeld: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\);
\(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\);
\(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Met behulp van deze eigenschappen is het handig om vierkantswortels van grote getallen te vinden door ze in factoren te ontbinden.
Laten we eens kijken naar een voorbeeld. Laten we \(\sqrt(44100)\) zoeken. Sinds \(44100:100=441\) , dan \(44100=100\cdot 441\) . Volgens het criterium van deelbaarheid is het getal \(441\) deelbaar door \(9\) (aangezien de som van de cijfers 9 is en deelbaar is door 9), dus \(441:9=49\), dat wil zeggen, \(441=9\ cdot 49\) .
Zo kregen we: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Laten we naar een ander voorbeeld kijken: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Laten we laten zien hoe u getallen kunt invoeren onder het wortelteken met behulp van het voorbeeld van de uitdrukking \(5\sqrt2\) (korte notatie voor de uitdrukking \(5\cdot \sqrt2\)). Sinds \(5=\sqrt(25)\) dan \
Houd er ook rekening mee dat bijv.
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .
Waarom is dat? Laten we het uitleggen aan de hand van voorbeeld 1). Zoals je al begrijpt, kunnen we het getal \(\sqrt2\) op de een of andere manier niet transformeren. Laten we ons voorstellen dat \(\sqrt2\) een getal \(a\) is. Dienovereenkomstig is de uitdrukking \(\sqrt2+3\sqrt2\) niets meer dan \(a+3a\) (één getal \(a\) plus nog drie van dezelfde getallen \(a\)). En we weten dat dit gelijk is aan vier van zulke getallen \(a\) , dat wil zeggen \(4\sqrt2\) .
Feit 4.
\(\bullet\) Ze zeggen vaak "je kunt de wortel niet extraheren" als je het teken \(\sqrt () \ \) van de wortel (radicaal) niet kunt verwijderen bij het vinden van de waarde van een getal . U kunt bijvoorbeeld de wortel van het getal \(16\) nemen omdat \(16=4^2\) , dus \(\sqrt(16)=4\) . Maar het is onmogelijk om de wortel van het getal \(3\) te extraheren, dat wil zeggen om \(\sqrt3\) te vinden, omdat er geen getal is dat in het kwadraat \(3\) oplevert.
Dergelijke getallen (of uitdrukkingen met zulke getallen) zijn irrationeel. Bijvoorbeeld cijfers \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) enzovoort. zijn irrationeel.
Ook irrationeel zijn de getallen \(\pi\) (het getal “pi”, ongeveer gelijk aan \(3.14\)), \(e\) (dit getal heet het Eulergetal, het is ongeveer gelijk aan \(2.7 \)) enz.
\(\bullet\) Houd er rekening mee dat elk getal rationeel of irrationeel is. En samen vormen alle rationale en alle irrationele getallen een zogenaamde verzameling een reeks reële getallen. Deze verzameling wordt aangegeven met de letter \(\mathbb(R)\) .
Dit betekent dat alle getallen die we momenteel kennen, echte getallen worden genoemd.
Feit 5.
\(\bullet\) De modulus van een reëel getal \(a\) is een niet-negatief getal \(|a|\) gelijk aan de afstand van het punt \(a\) tot \(0\) op de echte lijn. \(|3|\) en \(|-3|\) zijn bijvoorbeeld gelijk aan 3, omdat de afstanden van de punten \(3\) en \(-3\) tot \(0\) de hetzelfde en gelijk aan \(3 \) .
\(\bullet\) Als \(a\) een niet-negatief getal is, dan \(|a|=a\) .
Voorbeeld: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Als \(a\) een negatief getal is, dan \(|a|=-a\) .
Voorbeeld: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Ze zeggen dat voor negatieve getallen de modulus de min “opeet”, terwijl positieve getallen, evenals het getal \(0\), onveranderd blijven door de modulus.
MAAR Deze regel geldt alleen voor getallen. Als er onder uw modulusteken een onbekende \(x\) (of een andere onbekende) staat, bijvoorbeeld \(|x|\) , waarvan we niet weten of deze positief, nul of negatief is, verwijder dan van de modulus kunnen we niet. In dit geval blijft deze expressie hetzelfde: \(|x|\) . \(\bullet\) De volgende formules gelden: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\groot((\sqrt(a))^2=a)), \text( verstrekt ) a\geqslant 0\] Heel vaak wordt de volgende fout gemaakt: ze zeggen dat \(\sqrt(a^2)\) en \((\sqrt a)^2\) één en dezelfde zijn. Dit is alleen waar als \(a\) een positief getal of nul is. Maar als \(a\) een negatief getal is, dan is dit onwaar. Het is voldoende om dit voorbeeld te overwegen. Laten we in plaats van \(a\) het getal \(-1\) nemen. Dan \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , maar de uitdrukking \((\sqrt (-1))^2\) bestaat helemaal niet (tenslotte het is onmogelijk om het wortelteken te gebruiken en negatieve getallen in te voeren!).
Daarom vestigen wij uw aandacht op het feit dat \(\sqrt(a^2)\) niet gelijk is aan \((\sqrt a)^2\) ! Voorbeeld 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), omdat \(-\sqrt2<0\)
;
\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Sinds \(\sqrt(a^2)=|a|\) , dan \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (de uitdrukking \(2n\) geeft een even getal aan)
Dat wil zeggen: als je de wortel neemt van een getal dat tot op zekere hoogte is, wordt deze graad gehalveerd.
Voorbeeld:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (let op: als de module niet wordt meegeleverd, blijkt dat de wortel van het getal gelijk is aan \(-25\ ); maar we onthouden dat dit per definitie van een wortel niet kan gebeuren: bij het extraheren van een wortel moeten we altijd een positief getal of nul krijgen)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (aangezien elk getal tot de even macht niet-negatief is)
Feit 6.
Hoe vergelijk je twee vierkantswortels?
\(\bullet\) Voor vierkantswortels geldt: als \(\sqrt a<\sqrt b\)
, то \(a
1) vergelijk \(\sqrt(50)\) en \(6\sqrt2\) . Laten we eerst de tweede uitdrukking transformeren in \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Dus sinds \(50<72\)
, то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\)
. Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\)
.
2) Tussen welke gehele getallen bevindt zich \(\sqrt(50)\)?
Sinds \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) en \(49<50<64\)
, то \(7<\sqrt{50}<8\)
, то есть число \(\sqrt{50}\)
находится между числами \(7\)
и \(8\)
.
3) Laten we \(\sqrt 2-1\) en \(0.5\) vergelijken. Laten we aannemen dat \(\sqrt2-1>0,5\) : \[\begin(uitgelijnd) &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text((voeg één toe aan beide zijden))\\ &\sqrt2>0,5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((beide zijden vierkant gemaakt))\\ &2>1.5^2\\ &2>2.25 \end(uitgelijnd)\] We zien dat we een onjuiste ongelijkheid hebben verkregen. Daarom was onze aanname onjuist en \(\sqrt 2-1<0,5\)
.
Merk op dat het toevoegen van een bepaald getal aan beide zijden van de ongelijkheid geen invloed heeft op het teken ervan. Het vermenigvuldigen/delen van beide zijden van een ongelijkheid door een positief getal heeft ook geen invloed op het teken, maar vermenigvuldigen/delen door een negatief getal keert het teken van de ongelijkheid om!
Je kunt beide zijden van een vergelijking/ongelijkheid ALLEEN kwadrateren ALS beide zijden niet-negatief zijn. In de ongelijkheid uit het vorige voorbeeld kun je bijvoorbeeld beide zijden kwadrateren, in de ongelijkheid \(-3<\sqrt2\)
нельзя (убедитесь в этом сами)!
\(\bullet\) We moeten dat onthouden \[\begin(uitgelijnd) &\sqrt 2\circa 1,4\\ &\sqrt 3\circa 1,7 \end(uitgelijnd)\] Het kennen van de geschatte betekenis van deze cijfers zal u helpen bij het vergelijken van cijfers! \(\bullet\) Om de wortel te extraheren (als deze kan worden geëxtraheerd) uit een groot getal dat niet in de tabel met vierkanten staat, moet je eerst bepalen tussen welke “honderden” het zich bevindt, en vervolgens – tussen welke “ tientallen” en bepaal vervolgens het laatste cijfer van dit getal. Laten we laten zien hoe dit werkt met een voorbeeld.
Laten we \(\sqrt(28224)\) nemen. We weten dat \(100^2=10\,000\), \(200^2=40\,000\), enz. Merk op dat \(28224\) tussen \(10\,000\) en \(40\,000\) ligt. Daarom ligt \(\sqrt(28224)\) tussen \(100\) en \(200\) .
Laten we nu bepalen tussen welke “tientallen” ons getal zich bevindt (dat wil zeggen bijvoorbeeld tussen \(120\) en \(130\)). Ook uit de tabel met vierkanten weten we dat \(11^2=121\) , \(12^2=144\) etc., dan \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ). We zien dus dat \(28224\) tussen \(160^2\) en \(170^2\) ligt. Daarom ligt het getal \(\sqrt(28224)\) tussen \(160\) en \(170\) .
Laten we proberen het laatste cijfer te bepalen. Laten we onthouden welke getallen van één cijfer, in het kwadraat, aan het einde \(4\) opleveren? Dit zijn \(2^2\) en \(8^2\) . Daarom eindigt \(\sqrt(28224)\) op 2 of 8. Laten we dit controleren. Laten we \(162^2\) en \(168^2\) vinden:
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Daarom \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!
Om het Unified State Exam in de wiskunde adequaat op te lossen, moet je eerst theoretisch materiaal bestuderen, dat je kennis laat maken met talloze stellingen, formules, algoritmen, enz. Op het eerste gezicht lijkt het misschien vrij eenvoudig. Het vinden van een bron waarin de theorie voor het Unified State Exam in wiskunde op een gemakkelijke en begrijpelijke manier wordt gepresenteerd voor studenten van elk opleidingsniveau is echter in feite een nogal moeilijke taak. Schoolboeken zijn niet altijd bij de hand. En het vinden van basisformules voor het Unified State Exam in wiskunde kan zelfs op internet moeilijk zijn.
Waarom is het zo belangrijk om theorie in de wiskunde te studeren, niet alleen voor degenen die het Unified State Exam afleggen?
- Omdat het je horizon verbreedt. Het bestuderen van theoretisch materiaal in de wiskunde is nuttig voor iedereen die antwoorden wil krijgen op een breed scala aan vragen die verband houden met kennis van de wereld om hen heen. Alles in de natuur is geordend en heeft een duidelijke logica. Dit is precies wat wordt weerspiegeld in de wetenschap, waardoor het mogelijk is de wereld te begrijpen.
- Omdat het intelligentie ontwikkelt. Door referentiemateriaal voor het Unified State Exam in de wiskunde te bestuderen en verschillende problemen op te lossen, leert een persoon logisch denken en redeneren, gedachten competent en duidelijk formuleren. Hij ontwikkelt het vermogen om te analyseren, generaliseren en conclusies te trekken.
Wij nodigen u uit om persoonlijk alle voordelen van onze benadering van systematisering en presentatie van educatief materiaal te evalueren.
De oppervlakte van een vierkant perceel grond bedraagt 81 dm². Vind zijn kant. Stel dat de zijdelengte van het vierkant gelijk is aan X decimeter. Dan is de oppervlakte van het perceel X² vierkante decimeter. Omdat deze oppervlakte volgens de voorwaarde gelijk is aan 81 dm² X² = 81. De lengte van een zijde van een vierkant is een positief getal. Een positief getal waarvan het kwadraat 81 is, is het getal 9. Bij het oplossen van het probleem was het nodig om het getal x te vinden waarvan het kwadraat 81 is, d.w.z. de vergelijking op te lossen X² = 81. Deze vergelijking heeft twee wortels: X 1 = 9 en X 2 = - 9, aangezien 9² = 81 en (- 9)² = 81. Beide getallen 9 en - 9 worden de vierkantswortels van 81 genoemd.
Merk op dat een van de vierkantswortels X= 9 is een positief getal. Dit wordt de rekenkundige vierkantswortel van 81 genoemd en wordt aangeduid met √81, dus √81 = 9.
Rekenkundige vierkantswortel van een getal A is een niet-negatief getal waarvan het kwadraat gelijk is aan A.
De getallen 6 en - 6 zijn bijvoorbeeld vierkantswortels van het getal 36. Het getal 6 is echter een rekenkundige vierkantswortel van 36, aangezien 6 een niet-negatief getal is en 6² = 36. Het getal - 6 is geen getal. rekenkundige wortel.
Rekenkundige vierkantswortel van een getal A als volgt aangegeven: √ A.
Het teken wordt het rekenkundige wortelteken genoemd; A- een radicale uitdrukking genoemd. Expressie √ A lezen zoals dit: rekenkundige vierkantswortel van een getal A. Bijvoorbeeld √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. In gevallen waarin het duidelijk is dat we het over een rekenkundige wortel hebben, zeggen ze kort: “de vierkantswortel van A«.
De handeling van het vinden van de vierkantswortel van een getal wordt vierkantswortel genoemd. Deze actie is het omgekeerde van kwadrateren.
Je kunt elk getal kwadrateren, maar je kunt uit geen enkel getal vierkantswortels trekken. Het is bijvoorbeeld onmogelijk om de vierkantswortel van het getal - 4 te extraheren. Als zo'n wortel bestond, geef deze dan aan met de letter X, zouden we de onjuiste gelijkheid x² = - 4 krijgen, omdat er links een niet-negatief getal is en rechts een negatief getal.
Expressie √ A heeft alleen zin wanneer een ≥ 0. De definitie van vierkantswortel kan in het kort als volgt worden geschreven: √ een ≥ 0, (√A)² = A. Gelijkheid (√ A)² = A geldig voor een ≥ 0. Om er dus voor te zorgen dat de vierkantswortel van een niet-negatief getal is A gelijk aan B, dat wil zeggen in het feit dat √ A =B, moet u controleren of aan de volgende twee voorwaarden is voldaan: b ≥ 0, B² = A.
Vierkantswortel van een breuk
Laten we berekenen. Merk op dat √25 = 5, √36 = 6, en laten we controleren of de gelijkheid geldt.
Omdat 
en , dan is de gelijkheid waar. Dus, 
.
Stelling: Als A≥ 0 en B> 0, dat wil zeggen dat de wortel van de breuk gelijk is aan de wortel van de teller gedeeld door de wortel van de noemer. Er moet worden bewezen dat: en 
.
Sinds √ A≥0 en √ B> 0, dan .
Over de eigenschap om een breuk tot een macht te verheffen en de definitie van een vierkantswortel 
de stelling is bewezen. Laten we een paar voorbeelden bekijken.
Bereken met behulp van de bewezen stelling 
.
Tweede voorbeeld: bewijs dat 
, Als A ≤ 0, B < 0. 
.
Nog een voorbeeld: Bereken .
.
Vierkantswortelconversie
Het verwijderen van de vermenigvuldiger onder het wortelteken. Laat de uitdrukking gegeven worden. Als A≥ 0 en B≥ 0, dan kunnen we met behulp van de productwortelstelling schrijven:
Deze transformatie wordt het verwijderen van de factor uit het wortelteken genoemd. Laten we naar een voorbeeld kijken;
Bereken op X= 2. Directe vervanging X= 2 in de radicale uitdrukking leidt tot complexe berekeningen. Deze berekeningen kunnen worden vereenvoudigd als u eerst de factoren onder het wortelteken verwijdert: . Als we nu x = 2 vervangen, krijgen we:.
Dus wanneer de factor onder het wortelteken wordt verwijderd, wordt de worteluitdrukking weergegeven in de vorm van een product waarin een of meer factoren kwadraten zijn van niet-negatieve getallen. Pas vervolgens de productwortelstelling toe en neem de wortel van elke factor. Laten we een voorbeeld bekijken: Vereenvoudig de uitdrukking A = √8 + √18 - 4√2 door de factoren in de eerste twee termen onder het wortelteken te verwijderen, we krijgen:. Laten we die gelijkheid benadrukken 
alleen geldig voor A≥ 0 en B≥ 0. als A < 0, то .
Les en presentatie over het onderwerp:
"Eigenschappen van de vierkantswortel. Formules. Voorbeelden van oplossingen, problemen met antwoorden"
Aanvullende materialen
Beste gebruikers, vergeet niet uw opmerkingen, beoordelingen en wensen achter te laten. Alle materialen zijn gecontroleerd door een antivirusprogramma.
Leermiddelen en simulatoren in de Integral online winkel voor groep 8
Interactief leerboek "Geometrie in 10 minuten" voor groep 8
Onderwijscomplex "1C: School. Meetkunde, graad 8"
Eigenschappen van vierkantswortel
We blijven vierkantswortels bestuderen. Vandaag zullen we kijken naar de basiseigenschappen van wortels. Alle basiseigenschappen zijn intuïtief en consistent met alle bewerkingen die we eerder hebben uitgevoerd.Eigenschap 1. De vierkantswortel van het product van twee niet-negatieve getallen is gelijk aan het product van de vierkantswortels van deze getallen: $\sqrt(a*b)=\sqrt(a)*\sqrt(b)$.
Het is gebruikelijk om eigenschappen te bewijzen, laten we het doen.
Stel $\sqrt(a*b)=x$, $\sqrt(a)=y$, $\sqrt(b)=z$. Dan moeten we bewijzen dat $x=y*z$.
Laten we elke uitdrukking kwadrateren.
Als $\sqrt(a*b)=x$, dan is $a*b=x^2$.
Als $\sqrt(a)=y$, $\sqrt(b)=z$, en als we beide uitdrukkingen kwadrateren, krijgen we: $a=y^2$, $b=z^2$.
$a*b=x^2=y^2*z^2$, dat wil zeggen: $x^2=(y*z)^2$. Als de kwadraten van twee niet-negatieve getallen gelijk zijn, dan zijn de getallen zelf ook gelijk, en dat is wat bewezen moest worden.
Uit onze eigenschap volgt dat bijvoorbeeld $\sqrt(5)*\sqrt(3)=\sqrt(15)$.
Notitie 1. De eigenschap geldt ook voor het geval dat er meer dan twee niet-negatieve factoren onder de wortel liggen.
Eigenschap 2. Als $a≥0$ en $b>0$, dan geldt de volgende gelijkheid: $\sqrt(\frac(a)(b))=\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))$
Dat wil zeggen, de wortel van het quotiënt is gelijk aan het quotiënt van de wortels.
Bewijs.
Laten we de tabel gebruiken en kort ons eigendom bewijzen.
Voorbeelden van het gebruik van de eigenschappen van vierkantswortels
Voorbeeld 1.Bereken: $\sqrt(81*25*121)$.
Oplossing.
Natuurlijk kunnen we een rekenmachine nemen, alle getallen onder de wortel vermenigvuldigen en de bewerking uitvoeren om de vierkantswortel te extraheren. En als u geen rekenmachine bij de hand heeft, wat moet u dan doen?
$\sqrt(81*25*121)=\sqrt(81)*\sqrt(25)*\sqrt(121)=9*5*11=$495.
Antwoord: 495.
Voorbeeld 2. Bereken: $\sqrt(11\frac(14)(25))$.
Oplossing.
Laten we het radicale getal voorstellen als een onechte breuk: $11\frac(14)(25)=\frac(11*25+14)(25)=\frac(275+14)(25)=\frac(289)( 25) $.
Laten we eigenschap 2 gebruiken.
$\sqrt(\frac(289)(25))=\frac(\sqrt(289))(\sqrt(25))=\frac(17)(5)=3\frac(2)(5)= $ 3,4.
Antwoord: 3.4.
Voorbeeld 3.
Bereken: $\sqrt(40^2-24^2)$.
Oplossing.
We kunnen onze uitdrukking direct evalueren, maar deze kan bijna altijd worden vereenvoudigd. Laten we proberen dit te doen.
$40^2-24^2=(40-24)(40+24)=16*64$.
Dus $\sqrt(40^2-24^2)=\sqrt(16*64)=\sqrt(16)*\sqrt(64)=4*8=32$.
Antwoord: 32.
Jongens, let op: er zijn geen formules voor de bewerkingen van optellen en aftrekken van radicale uitdrukkingen en de hieronder gepresenteerde uitdrukkingen zijn niet correct.
$\sqrt(a+b)≠\sqrt(a)+\sqrt(b)$.
$\sqrt(a-b)≠\sqrt(a)-\sqrt(b)$.
Voorbeeld 4.
Bereken: a) $\sqrt(32)*\sqrt(8)$; b) $\frac(\sqrt(32))(\sqrt(8))$.
Oplossing.
De hierboven gepresenteerde eigenschappen werken zowel van links naar rechts als in omgekeerde volgorde, dat wil zeggen:
$\sqrt(a)*\sqrt(b)=\sqrt(a*b)$.
$\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))=\sqrt(\frac(a)(b))$.
Laten we hiermee ons voorbeeld oplossen.
a) $\sqrt(32)*\sqrt(8)=\sqrt(32*8)=\sqrt(256)=16.$
B) $\frac(\sqrt(32))(\sqrt(8))=\sqrt(\frac(32)(8))=\sqrt(4)=2$.
Antwoord: a) 16; b) 2.
Eigenschap 3. Als $а≥0$ en n een natuurlijk getal is, dan geldt de gelijkheid: $\sqrt(a^(2n))=a^n$.
Bijvoorbeeld. $\sqrt(a^(16))=a^8$, $\sqrt(a^(24))=a^(12)$ enzovoort.
Voorbeeld 5.
Bereken: $\sqrt(129600)$.
Oplossing.
Het aan ons gepresenteerde getal is vrij groot, laten we het opsplitsen in priemfactoren.
We hebben ontvangen: $129600=5^2*2^6*3^4$ of $\sqrt(129600)=\sqrt(5^2*2^6*3^4)=5*2^3*3^2 =5*8*9=$360.
Antwoord: 360.
Problemen om zelfstandig op te lossen
1. Bereken: $\sqrt(144*36*64)$.2. Bereken: $\sqrt(8\frac(1)(36))$.
3. Bereken: $\sqrt(52^2-48^2)$.
4. Bereken:
a) $\sqrt(128*\sqrt(8))$;
b) $\frac(\sqrt(128))(\sqrt(8))$.
Dit artikel is een verzameling gedetailleerde informatie die betrekking heeft op het onderwerp eigenschappen van wortels. Gezien het onderwerp zullen we beginnen met de eigenschappen, alle formuleringen bestuderen en bewijs leveren. Om het onderwerp te consolideren, zullen we eigenschappen van de n-de graad beschouwen.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Eigenschappen van wortels
We zullen het hebben over eigendommen.
- Eigendom vermenigvuldigde getallen A En B, wat wordt weergegeven als de gelijkheid a · b = a · b. Het kan worden weergegeven in de vorm van factoren, positief of gelijk aan nul een 1 , een 2 , … , een k als een 1 · een 2 · … · een k = een 1 · een 2 · … · een k ;
- uit het quotiënt a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0, kan ook in deze vorm geschreven worden a b = a b;
- Eigendom uit de macht van een getal A met even exponent a 2 m = a m voor elk getal A bijvoorbeeld de eigenschap van het kwadraat van een getal a 2 = a.
In elk van de gepresenteerde vergelijkingen kun je de delen voor en na het streepje-teken verwisselen. De gelijkheid a · b = a · b wordt bijvoorbeeld getransformeerd als a · b = a · b. Gelijkheidseigenschappen worden vaak gebruikt om complexe vergelijkingen te vereenvoudigen.
Het bewijs van de eerste eigenschappen is gebaseerd op de definitie van de vierkantswortel en de eigenschappen van machten met een natuurlijke exponent. Om de derde eigenschap te rechtvaardigen, is het noodzakelijk om te verwijzen naar de definitie van de modulus van een getal.
Allereerst is het noodzakelijk om de eigenschappen van de vierkantswortel a · b = a · b te bewijzen. Volgens de definitie is het noodzakelijk om te bedenken dat a b een getal is, positief of gelijk aan nul, dat gelijk zal zijn aan een b Tijdens de bouw in een vierkant. De waarde van de uitdrukking a · b is positief of gelijk aan nul als het product van niet-negatieve getallen. De eigenschap van machten van vermenigvuldigde getallen stelt ons in staat gelijkheid weer te geven in de vorm (a · b) 2 = a 2 · b 2 . Per definitie van de vierkantswortel geldt a 2 = a en b 2 = b, dan a · b = a 2 · b 2 = a · b.
Op vergelijkbare wijze kun je dat bewijzen vanuit het product k vermenigvuldigers een 1 , een 2 , … , een k zal gelijk zijn aan het product van de vierkantswortels van deze factoren. Inderdaad, een 1 · een 2 · … · een k 2 = een 1 2 · een 2 2 · … · een k 2 = een 1 · een 2 · … · een k .
Uit deze gelijkheid volgt dat a 1 · een 2 · … · een k = een 1 · een 2 · … · een k.
Laten we een paar voorbeelden bekijken om het onderwerp te versterken.
voorbeeld 1
3 5 2 5 = 3 5 2 5, 4, 2 13 1 2 = 4, 2 13 1 2 en 2, 7 4 12 17 0, 2 (1) = 2, 7 4 12 17 · 0 , 2 (1) .
Het is noodzakelijk om de eigenschap van de rekenkundige vierkantswortel van het quotiënt te bewijzen: a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0. Met deze eigenschap kunnen we de gelijkheid a: b 2 = a 2: b 2 en a 2: b 2 = a: b schrijven, terwijl a: b een positief getal is of gelijk is aan nul. Deze uitdrukking zal een bewijs worden.
Bijvoorbeeld 0:16 = 0:16, 80:5 = 80:5 en 30,121 = 30,121.
Laten we eens kijken naar de eigenschap van de vierkantswortel van het kwadraat van een getal. Het kan worden geschreven als een gelijkheid als a 2 = a. Om deze eigenschap te bewijzen, is het noodzakelijk om verschillende gelijkheden voor a ≥ 0 en bij A< 0 .
Het is duidelijk dat voor a ≥ 0 de gelijkheid a 2 = a waar is. Bij A< 0 de gelijkheid a 2 = - a zal waar zijn. In dit geval zelfs − een > 0 en (− een) 2 = een 2 . We kunnen concluderen: a 2 = a, a ≥ 0 - a, a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.
Laten we een paar voorbeelden bekijken.
Voorbeeld 2
5 2 = 5 = 5 en - 0,36 2 = - 0,36 = 0,36.
De bewezen eigenschap zal helpen een 2 m = a m te rechtvaardigen, waar A– echt, en M-natuurlijk nummer. De eigenschap van het bijeenbrengen van een macht stelt ons inderdaad in staat de macht te vervangen een 2 m uitdrukking (een meter) 2, dan a 2 m = (een m) 2 = een m.
Voorbeeld 3
3 8 = 3 4 = 3 4 en (- 8, 3) 14 = - 8, 3 7 = (8, 3) 7 .
Eigenschappen van de n-de wortel
Eerst moeten we de basiseigenschappen van n-de wortels overwegen:
- Eigenschap uit het product van getallen A En B, die positief zijn of gelijk zijn aan nul, kunnen worden uitgedrukt als de gelijkheid a · b n = a n · b n , deze eigenschap is geldig voor het product k cijfers een 1 , een 2 , … , een k als een 1 · een 2 · … · een k n = een 1 n · een 2 n · … · een k n ;
- van een gebroken getal heeft de eigenschap a b n = a n b n , waarbij A is elk reëel getal dat positief is of gelijk is aan nul, en B– positief reëel getal;
- Voor enige A en zelfs indicatoren n = 2 m a 2 · m 2 · m = a is waar, en voor oneven n = 2 meter − 1 de gelijkheid a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a geldt.
- Eigenschap van extractie uit a m n = a n m , waarbij A– elk getal, positief of gelijk aan nul, N En M natuurlijke getallen zijn, kan deze eigenschap ook in de vorm worden weergegeven. . . een n k n 2 n 1 = een n 1 · n 2 . . . · nk ;
- Voor elke niet-negatieve a en willekeurig N En M, die natuurlijk zijn, kunnen we ook de eerlijke gelijkheid definiëren a m n · m = a n ;
- Eigenschap van graad N uit de macht van een getal A, wat positief is of gelijk is aan nul, aan de natuurlijke kracht M, gedefinieerd door de gelijkheid a m n = a n m ;
- Vergelijkingseigenschap met dezelfde exponenten: voor alle positieve getallen A En B zoals dat A< b , de ongelijkheid a n< b n ;
- Vergelijkingseigenschap met dezelfde getallen onder de wortel: if M En N - natuurlijke getallen dat m > n, dan op 0 < a < 1 de ongelijkheid a m > a n is waar, en wanneer een > 1 uitgevoerd een m< a n .
De hierboven gegeven gelijkheden zijn geldig als de delen vóór en na het gelijkteken worden verwisseld. Ze kunnen ook in deze vorm worden gebruikt. Dit wordt vaak gebruikt tijdens vereenvoudiging of transformatie van uitdrukkingen.
Het bewijs van de bovenstaande eigenschappen van een wortel is gebaseerd op de definitie, eigenschappen van de graad en de definitie van de modulus van een getal. Deze eigenschappen moeten bewezen worden. Maar alles is in orde.
- Laten we eerst de eigenschappen bewijzen van de n-de wortel van het product a · b n = a n · b n . Voor A En b, welke Zijn positief of gelijk aan nul , de waarde a n · b n is ook positief of gelijk aan nul, aangezien deze een gevolg is van het vermenigvuldigen van niet-negatieve getallen. De eigenschap van een product ten opzichte van de natuurlijke kracht stelt ons in staat de gelijkheid a n · b n n = a n n · b n n te schrijven. Per definitie van een wortel N-de graad a n n = a en b n n = b , dus a n · b n n = a · b . De resulterende gelijkheid is precies wat bewezen moest worden.
Deze eigenschap kan op dezelfde manier worden bewezen voor het product k vermenigvuldigers: voor niet-negatieve getallen a 1, a 2, …, a n, a 1 n · a 2 n · … · a k n ≥ 0.
Hier volgen voorbeelden van het gebruik van de eigenschap root N-de macht uit het product: 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 en 8, 3 4 17, (21) 4 3 4 5 7 4 = 8, 3 17, (21) 3 · 5 7 4 .
- Laten we de eigenschap bewijzen van de wortel van het quotiënt a b n = a n b n . Bij a ≥ 0 En b > 0 aan de voorwaarde a n b n ≥ 0 is voldaan, en a n b n n = a n n b n n = a b .
Laten we voorbeelden laten zien:
Voorbeeld 4
8 27 3 = 8 3 27 3 en 2, 3 10: 2 3 10 = 2, 3: 2 3 10.
- Voor de volgende stap is het noodzakelijk om de eigenschappen van de n-de graad te bewijzen, van getal tot graad N. Laten we ons dit voorstellen als de gelijkheid a 2 m 2 m = a en a 2 m - 1 2 m - 1 = a voor elke reële A en natuurlijk M. Bij a ≥ 0 we krijgen a = a en a 2 m = a 2 m, wat de gelijkheid a 2 m 2 m = a bewijst, en de gelijkheid a 2 m - 1 2 m - 1 = a ligt voor de hand. Bij A< 0 we verkrijgen respectievelijk a = - a en a 2 m = (- a) 2 m = a 2 m. De laatste transformatie van een getal is geldig volgens de machtseigenschap. Dit is precies wat de gelijkheid bewijst a 2 m 2 m = a, en a 2 m - 1 2 m - 1 = a zal waar zijn, aangezien er rekening wordt gehouden met de oneven graad - c 2 m - 1 = - c 2 m - 1 voor welk nummer dan ook C , positief of gelijk aan nul.
Laten we, om de ontvangen informatie te consolideren, een aantal voorbeelden bekijken waarbij de eigenschap wordt gebruikt:
Voorbeeld 5
7 4 4 = 7 = 7, (- 5) 12 12 = - 5 = 5, 0 8 8 = 0 = 0, 6 3 3 = 6 en (- 3, 39) 5 5 = - 3, 39.
- Laten we de volgende gelijkheid bewijzen a m n = a n m . Om dit te doen, moet je de getallen voor en na het gelijkteken a n · m = a m n verwisselen. Dit betekent dat de invoer correct is. Voor A, wat positief is of gelijk aan nul , van de vorm a m n is een getal dat positief is of gelijk is aan nul. Laten we ons wenden tot de eigenschap van het verheffen van een macht tot een macht en de definitie ervan. Met hun hulp kun je gelijkheden transformeren in de vorm a m n n · m = a m n n m = a mm = a. Dit bewijst de eigenschap van de wortel van de wortel in kwestie.
Andere eigenschappen worden op soortgelijke wijze bewezen. Echt, . . . een n k n 2 n 1 n 1 · n 2 · . . . · n k = . . . een n k n 3 n 2 n 2 · n 3 · . . . · n k = . . . een n k n 4 n 3 n 3 · n 4 · . . . · n k = . . . = een n k n k = een .
Bijvoorbeeld 7 3 5 = 7 5 3 en 0,0009 6 = 0,0009 2 2 6 = 0,0009 24.
- Laten we de volgende eigenschap bewijzen a m n · m = a n . Om dit te doen, is het noodzakelijk om aan te tonen dat een n een getal is, positief of gelijk aan nul. Wanneer verheven tot de macht is nm gelijk aan ben. Als het nummer A is dan positief of gelijk aan nul N-de graad van onder A is een positief getal of gelijk aan nul. In dit geval is a n · m n = a n n m , wat bewezen moest worden.
Laten we een paar voorbeelden bekijken om de opgedane kennis te consolideren.
- Laten we de volgende eigenschap bewijzen – de eigenschap van een wortel van een macht van de vorm a m n = a n m . Het is duidelijk wanneer a ≥ 0 de graad a n m is een niet-negatief getal. Bovendien, haar N de macht e is gelijk aan ben, inderdaad, een n m n = een n m · n = een n n m = een m . Dit bewijst de eigenschap van het betreffende diploma.
Bijvoorbeeld 2 3 5 3 = 2 3 3 5.
- Het is noodzakelijk om dat voor alle positieve getallen te bewijzen A en b aan de voorwaarde is voldaan A< b . Beschouw de ongelijkheid a n< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию A< b . Daarom is een n< b n при A< b .
Laten we bijvoorbeeld 12 4 geven< 15 2 3 4 .
- Overweeg de eigenschap van de wortel N-de graad. Het is noodzakelijk om eerst het eerste deel van de ongelijkheid te beschouwen. Bij m > n En 0 < a < 1 waar a m > een n . Laten we aannemen dat a m ≤ een n. Met de eigenschappen kunt u de uitdrukking vereenvoudigen tot a n m · n ≤ a mm · n . Dan geldt, volgens de eigenschappen van een graad met een natuurlijke exponent, de ongelijkheid a n m · n m · n ≤ a mm m · n m · n, dat wil zeggen: een n ≤ een m. De verkregen waarde op m > n En 0 < a < 1 komt niet overeen met de hierboven gegeven eigenschappen.
Op dezelfde manier kan worden bewezen dat wanneer m > n En een > 1 de voorwaarde a m is waar< a n .
Laten we er een paar bekijken om de bovenstaande eigenschappen te consolideren specifieke voorbeelden. Laten we naar ongelijkheden kijken met behulp van specifieke getallen.
Voorbeeld 6
0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .
Als u een fout in de tekst opmerkt, markeer deze dan en druk op Ctrl+Enter