De sectie bevat referentiemateriaal over de belangrijkste elementaire functies en hun eigenschappen. De classificatie is gegeven elementaire functies. Hieronder vindt u links naar subsecties waarin de eigenschappen van specifieke functies worden besproken: grafieken, formules, afgeleiden, primitieve waarden (integralen), reeksuitbreidingen, uitdrukkingen door middel van complexe variabelen.
Referentiepagina's voor basisfuncties
Classificatie van elementaire functies
Algebraïsche functie is een functie die voldoet aan de vergelijking:
,
waarbij is een polynoom in de afhankelijke variabele y en de onafhankelijke variabele x. Het kan worden geschreven als:
,
waar zijn polynomen.
Algebraïsche functies zijn onderverdeeld in polynomen (volledige rationele functies), rationele functies en irrationele functies.
Gehele rationele functie, ook wel genoemd polynoom of polynoom, wordt verkregen uit de variabele x en een eindig aantal getallen met behulp van de rekenkundige bewerkingen van optellen (aftrekken) en vermenigvuldigen. Na het openen van de haakjes wordt de polynoom teruggebracht tot de canonieke vorm:
.
Fractionele rationele functie, of gewoon rationele functie, wordt verkregen uit de variabele x en een eindig aantal getallen met behulp van de rekenkundige bewerkingen van optellen (aftrekken), vermenigvuldigen en delen. De rationele functie kan worden teruggebracht tot de vorm
,
waar en zijn polynomen.
Irrationele functie is een algebraïsche functie die niet rationeel is. In de regel wordt onder een irrationele functie verstaan wortels en hun composities met rationele functies. Een wortel van graad n wordt gedefinieerd als de oplossing van de vergelijking
.
Het wordt als volgt aangeduid:
.
Transcendente functies worden niet-algebraïsche functies genoemd. Dit zijn exponentiële, trigonometrische, hyperbolische en hun inverse functies.
Overzicht van elementaire basisfuncties
Alle elementaire functies kunnen worden weergegeven als een eindig aantal optel-, aftrekkings-, vermenigvuldigings- en delingsbewerkingen die worden uitgevoerd op een uitdrukking van de vorm:
z t.
Inverse functies kunnen ook worden uitgedrukt in termen van logaritmen. De elementaire basisfuncties worden hieronder vermeld.
Power functie :
y(x) = xp,
waarbij p de exponent is. Het hangt af van de basis van de graad x.
Terug naar Power functie is ook een machtsfunctie:
.
Voor een geheel niet-negatieve waarde van de exponent p is het een polynoom. Voor een geheel getal p - een rationale functie. Met een rationele betekenis - een irrationele functie.
Transcendente functies
Exponentiële functie :
y(x) = een X ,
waarbij a de basis van de graad is. Het hangt af van de exponent x.
De inverse functie is de logaritme met grondtal a:
x = log een y.
Exponent, e tot de macht x:
y(x) = e X ,
Dit is een exponentiële functie waarvan de afgeleide gelijk is aan de functie zelf:
.
Het grondtal van de exponent is het getal e:
≈ 2,718281828459045...
.
De inverse functie is de natuurlijke logaritme - de logaritme met de basis van het getal e:
x = ln y ≡ log e y.
Trigonometrische functies:
Sinus: ;
Cosinus: ;
Raaklijn: ;
Cotangens: ;
Hier is i de denkbeeldige eenheid, i 2 = -1.
Inverse trigonometrische functies:
Boogsinus: x = arcsin y,
;
Boogcosinus: x = arccos y,
;
Boogtangens: x = arctan y,
;
Boogtangens: x = arcctg y,
.
Functie nullen
De nul van een functie is de waarde X, waarbij de functie naar 0 verandert, dat wil zeggen f(x)=0.
Nullen zijn de snijpunten van de functiegrafiek met de as Oh.
Pariteitsfunctie
Een functie wordt aangeroepen, zelfs als er een functie is X vanuit het definitiedomein geldt de gelijkheid f(-x) = f(x). 
Een even functie is symmetrisch rond de as OU
Oneven pariteitsfunctie
Een functie heet oneven als die er is X vanuit het definitiedomein geldt de gelijkheid f(-x) = -f(x). 
Een oneven functie is symmetrisch ten opzichte van de oorsprong.
Een functie die noch even noch oneven is, wordt een algemene functie genoemd. 
Toenemende functie
Er wordt gezegd dat een functie f(x) stijgend is als een grotere waarde van het argument overeenkomt met een grotere waarde van de functie, d.w.z. 
Aflopende functie
Een functie f(x) wordt afnemend genoemd als een grotere waarde van het argument overeenkomt met een kleinere waarde van de functie, d.w.z. 
Intervallen waarover de functie alleen maar afneemt of alleen maar toeneemt, worden genoemd intervallen van monotonie. De functie f(x) heeft 3 intervallen van monotoniciteit: 
Vind intervallen van monotoniciteit met behulp van de service Intervallen van toenemende en afnemende functie
Lokaal maximum
Punt x 0 wordt indien aanwezig een lokaal maximumpunt genoemd X uit de buurt van een punt x 0 de volgende ongelijkheid geldt: f(x 0) > f(x) 
Lokaal minimum
Punt x 0 wordt indien aanwezig een lokaal minimumpunt genoemd X uit de buurt van een punt x 0 ongelijkheid geldt: f(x 0)< f(x).
Lokale maximumpunten en lokale minimumpunten worden lokale extremumpunten genoemd. 
lokale extremumpunten.
Functie frequentie
De functie f(x) wordt periodiek genoemd, met een punt T, eventueel X de gelijkheid f(x+T) = f(x) geldt. 
Intervallen van tekenconstantie
Intervallen waarop de functie alleen positief of alleen negatief is, worden intervallen met een constant teken genoemd. 
Continuïteit van functie
Een functie f(x) wordt continu genoemd op een punt x 0 als de limiet van de functie x → x 0 gelijk is aan de waarde van de functie op dit punt, d.w.z. 
.
Breek punten
De punten waarop de continuïteitsvoorwaarde wordt geschonden, worden functiebreekpunten genoemd. 
x 0- breekpunt.
Algemeen schema voor het plotten van functies
1. Zoek het definitiedomein van de functie D(y).
2. Zoek de snijpunten van de grafiek met functies met de coördinaatassen.
3. Onderzoek de functie op even of oneven.
4. Onderzoek de functie op periodiciteit.
5. Vind monotoniciteitsintervallen en uiterste punten van de functie.
6. Zoek de convexiteitsintervallen en buigpunten van de functie.
7. Zoek de asymptoten van de functie.
8. Maak op basis van de onderzoeksresultaten een grafiek.
Voorbeeld: Onderzoek de functie en teken deze: y = x 3 – 3x
1) De functie is gedefinieerd op de gehele numerieke as, d.w.z. het definitiedomein is D(y) = (-∞; +∞).
2) Zoek de snijpunten met de coördinaatassen:
met de OX-as: los de vergelijking x 3 – 3x = 0 op
met OY-as: y(0) = 0 3 – 3*0 = 0
3) Zoek uit of de functie even of oneven is:
y(-x) = (-x) 3 – 3(-x) = -x 3 + 3x = - (x 3 – 3x) = -y(x)
Hieruit volgt dat de functie vreemd is.
4) De functie is niet-periodiek.
5) Laten we de monotoniciteitsintervallen en uiterste punten van de functie vinden: y’ = 3x 2 - 3.
Kritieke punten: 3x 2 – 3 = 0, x 2 =1, x= ±1.
y(-1) = (-1) 3 – 3(-1) = 2
y(1) = 1 3 – 3*1 = -2
6) Vind de convexiteitsintervallen en buigpunten van de functie: y’’ = 6x
Kritieke punten: 6x = 0, x = 0.
y(0) = 0 3 – 3*0 = 0
7) De functie is continu en heeft geen asymptoten.
8) Op basis van de resultaten van het onderzoek zullen we een grafiek van de functie construeren.
Russisch gymnasium
ABSTRACT
Voltooid
leerling van klas 10 “F” Burmistrov Sergey
Leidinggevende
wiskunde leraar
Yulina O.A.
Nizjni Novgorod
Functie en zijn eigenschappen
Functie- variabele afhankelijkheid bij van variabel X , als elke waarde X komt overeen met één enkele waarde bij .
Variabele x- onafhankelijke variabele of argument.
Variabele y- afhankelijke variabele
Functiewaarde- betekenis bij, overeenkomend met de opgegeven waarde X .
De reikwijdte van de functie bedraagt alle waarden die de onafhankelijke variabele aanneemt.
Functiebereik (waardenset) - alle waarden die de functie accepteert.
De functie is gelijkmatig als het voor iemand is X f(x)=f(-x)
De functie is vreemd- als het voor iemand is X vanuit het domein van de definitie van de functie de gelijkheid f(-x)=-f(x)
Toenemende functie- eventueel x 1 En x 2, zoals dat x 1
<
x 2, de ongelijkheid blijft bestaan F(
x 1
)
Afnemende functie- eventueel x 1 En x 2, zoals dat x 1 < x 2, de ongelijkheid blijft bestaan F( x 1 )>f( x 2 )
Methoden voor het opgeven van een functie
¨ Om een functie te definiëren, moet u een manier opgeven waarop voor elke argumentwaarde de bijbehorende functiewaarde kan worden gevonden. De meest gebruikelijke manier om een functie te specificeren is het gebruik van een formule bij =f(x), Waar f(x)- expressie met een variabele X. In dit geval zeggen ze dat de functie wordt gegeven door een formule of dat de functie wordt gegeven analytisch.
¨In de praktijk wordt het vaak gebruikt tabelvormig manier om een functie te specificeren. Met deze methode wordt een tabel geleverd die de functiewaarden aangeeft voor de argumentwaarden die beschikbaar zijn in de tabel. Voorbeelden van tabelfuncties zijn een tabel met vierkanten en een tabel met kubussen.
Soorten functies en hun eigenschappen
1) Constante functie- functie gegeven door formule j= B , Waar B- een aantal. De grafiek van de constante functie y=b is een rechte lijn evenwijdig aan de abscis-as en door het punt (0;b) op de ordinaat-as
2) Directe evenredigheid - functie gegeven door formule j= kx , waarbij k¹0. Nummer k genaamd evenredigheidsfactor .
Functie eigenschappen y=kx :
1. Het domein van een functie is de verzameling van alle reële getallen
2. y=kx- rare functie
3. Als k>0 neemt de functie toe, en als k<0 убывает на всей числовой прямой
3)Lineaire functie- functie, die wordt gegeven door de formule y=kx+b, Waar k En B - echte getallen. Als in het bijzonder k=0, dan krijgen we een constante functie j=b; Als b=0, dan krijgen we directe evenredigheid y=kx .
Functie-eigenschappen y=kx+b :
1. Domein - de verzameling van alle reële getallen
2. Functie y=kx+b algemene vorm, d.w.z. noch even noch oneven.
3. Als k>0 neemt de functie toe, en als k<0 убывает на всей числовой прямой
De grafiek van de functie is direct .
4)Omgekeerde evenredigheid- functie gegeven door formule j=k /X, waarbij k¹0 Getal k genaamd coëfficiënt van omgekeerde evenredigheid.
Functie-eigenschappen j=k / X:
1. Domein - de verzameling van alle reële getallen behalve nul
2. j=k / X - rare functie
3. Als k>0, dan neemt de functie af op het interval (0;+¥) en op het interval (-¥;0). Als k<0, то функция возрастает на промежутке (-¥;0) и на промежутке (0;+¥).
De grafiek van de functie is hyperbool .
5)Functie y=x2
Functie-eigenschappen y=x2:
2. y=x2 - zelfs functioneren
3. Op interval neemt de functie af
De grafiek van de functie is parabool .
6)Functie y=x3
Functie-eigenschappen y=x3:
1. Definitiedomein - de gehele getallenlijn
2. y=x3 - rare functie
3. De functie neemt toe langs de gehele getallenlijn
De grafiek van de functie is kubieke parabool
7)Machtsfunctie met natuurlijke exponent - functie gegeven door formule y=x n, Waar N- natuurlijk nummer. Wanneer n=1 verkrijgen we de functie y=x; de eigenschappen ervan worden besproken in paragraaf 2. Voor n=2;3 verkrijgen we de functies y=x 2 ; y=x 3 . Hun eigenschappen worden hierboven besproken.
Laat n een willekeurig even getal groter dan twee zijn: 4,6,8... In dit geval de functie y=x n heeft dezelfde eigenschappen als de functie y=x 2. De grafiek van de functie lijkt op een parabool y=x 2, alleen de takken van de grafiek voor |x|>1 stijgen steiler naarmate n groter is, en voor |x|<1 тем “теснее прижимаются” к оси Х, чем больше n.
Laat n een willekeurig oneven getal groter dan drie zijn: 5,7,9... In dit geval de functie y=x n heeft dezelfde eigenschappen als de functie y=x 3 . De grafiek van de functie lijkt op een kubieke parabool.
8)Machtsfunctie met een negatieve gehele exponent - functie gegeven door formule y=x-n , Waar N- natuurlijk nummer. Voor n=1 verkrijgen we y=1/x; eigenschappen van deze functie worden besproken in paragraaf 4.
Laat n een oneven getal groter dan één zijn: 3,5,7... In dit geval de functie y=x-n heeft in principe dezelfde eigenschappen als de functie y=1/x.
Laat n een even getal zijn, bijvoorbeeld n=2.
Functie-eigenschappen y=x-2 :
1. De functie is gedefinieerd voor alle x¹0
2. y=x -2 - zelfs functioneren
3. De functie wordt verlaagd met (0;+¥) en verhoogd met (-¥;0).
Alle functies met zelfs n groter dan twee hebben dezelfde eigenschappen.
9)Functie j= Ö X
Functie-eigenschappen j= Ö X :
1. Domein van definitie - straal)