Voorbeelden van oplossingen voor ongelijkheid. Intervalmethode: het oplossen van de eenvoudigste strikte ongelijkheden

Het waarborgen van uw privacy is belangrijk voor ons. Om deze reden hebben wij een privacybeleid ontwikkeld waarin wordt beschreven hoe wij uw gegevens gebruiken en opslaan. Bekijk onze privacypraktijken en laat het ons weten als u vragen heeft.

Verzameling en gebruik van persoonlijke informatie

Persoonlijke informatie verwijst naar gegevens die kunnen worden gebruikt om een specifieke persoon te identificeren of ermee contact op te nemen.

U kunt op elk moment worden gevraagd om uw persoonlijke gegevens te verstrekken wanneer u contact met ons opneemt.

Hieronder vindt u enkele voorbeelden van de soorten persoonlijke informatie die we kunnen verzamelen en hoe we dergelijke informatie kunnen gebruiken.

Welke persoonlijke informatie verzamelen wij:

Wanneer u een aanvraag indient op de site, kunnen wij verschillende informatie verzamelen, waaronder uw naam, telefoonnummer en adres E-mail enz.

Hoe wij uw persoonlijke gegevens gebruiken:

Met de persoonlijke informatie die we verzamelen, kunnen we contact met u opnemen over unieke aanbiedingen, promoties en andere evenementen en aankomende evenementen.
Van tijd tot tijd kunnen we uw persoonlijke gegevens gebruiken om belangrijke mededelingen en mededelingen te verzenden.
We kunnen persoonlijke informatie ook gebruiken voor interne doeleinden, zoals het uitvoeren van audits, data-analyse en diverse onderzoeken om de diensten die wij leveren te verbeteren en u aanbevelingen te doen met betrekking tot onze diensten.
Als u deelneemt aan een prijstrekking, wedstrijd of soortgelijke promotie, kunnen wij de door u verstrekte informatie gebruiken om dergelijke programma's te beheren.

Openbaarmaking van informatie aan derden

Wij maken de van u ontvangen gegevens niet bekend aan derden.

Uitzonderingen:

Indien nodig - in overeenstemming met de wet, gerechtelijke procedure, gerechtelijke procedures en/of op basis van publieke verzoeken of verzoeken van overheidsinstellingen op het grondgebied van de Russische Federatie - geef uw persoonlijke gegevens vrij. We kunnen ook informatie over u openbaar maken als we vaststellen dat een dergelijke openbaarmaking noodzakelijk of gepast is voor veiligheids-, wetshandhavings- of andere doeleinden van openbaar belang.
In het geval van een reorganisatie, fusie of verkoop kunnen we de persoonlijke informatie die we verzamelen overdragen aan de toepasselijke opvolger van een derde partij.

Bescherming van persoonlijke informatie

We nemen voorzorgsmaatregelen - inclusief administratieve, technische en fysieke - om uw persoonlijke gegevens te beschermen tegen verlies, diefstal en misbruik, evenals tegen ongeoorloofde toegang, openbaarmaking, wijziging en vernietiging.

Het respecteren van uw privacy op bedrijfsniveau

Om ervoor te zorgen dat uw persoonlijke gegevens veilig zijn, communiceren we privacy- en beveiligingsnormen met onze medewerkers en handhaven we de privacypraktijken strikt.

Eén van de onderwerpen die maximale aandacht en doorzettingsvermogen van studenten vraagt, is het oplossen van ongelijkheden. Dus vergelijkbaar met vergelijkingen en tegelijkertijd heel anders. Want het oplossen ervan vraagt om een bijzondere aanpak.

Eigenschappen die nodig zijn om het antwoord te vinden

Ze worden allemaal gebruikt om een bestaand item te vervangen door een gelijkwaardig item. De meeste zijn vergelijkbaar met wat er in de vergelijkingen stond. Maar er zijn ook verschillen.

Een functie die is gedefinieerd in de ODZ, of een ander getal, kan aan beide zijden van de oorspronkelijke ongelijkheid worden toegevoegd.
Op dezelfde manier is vermenigvuldiging mogelijk, maar alleen met een positieve functie of een positief getal.
Als deze actie wordt uitgevoerd met een negatieve functie of een negatief getal, moet het ongelijkheidsteken worden vervangen door het tegenovergestelde.
Functies die niet-negatief zijn, kunnen tot een positieve macht worden verheven.

Soms gaat het oplossen van ongelijkheden gepaard met acties die vreemde antwoorden opleveren. Ze moeten worden geëlimineerd door het DL-domein en de reeks oplossingen te vergelijken.

Met behulp van de intervalmethode

De essentie ervan is om de ongelijkheid terug te brengen tot een vergelijking waarin er een nul aan de rechterkant staat.

Bepaal het gebied waar de toegestane waarden van de variabelen liggen, dat wil zeggen de VA.
Transformeer de ongelijkheid met behulp van wiskundige bewerkingen zodat de rechterkant een nul heeft.
Vervang het ongelijkheidsteken door “=” en los de bijbehorende vergelijking op.
Markeer op de numerieke as alle antwoorden die tijdens de oplossing zijn verkregen, evenals de ODZ-intervallen. Bij strikte ongelijkheid moeten de punten als lek worden getekend. Als er een gelijkteken is, moeten ze worden overschilderd.
Bepaal het teken van de oorspronkelijke functie op elk interval, verkregen uit de punten van de ODZ en de antwoorden die deze verdelen. Als het teken van de functie niet verandert bij het passeren van een punt, wordt dit opgenomen in het antwoord. Anders is het uitgesloten.
De grenspunten voor ODZ moeten verder worden gecontroleerd en pas dan wel of niet in het antwoord worden opgenomen.
Het resulterende antwoord moet worden geschreven in de vorm van gecombineerde sets.

Iets over dubbele ongelijkheid

Ze gebruiken twee ongelijkheidstekens tegelijk. Dat wil zeggen dat een bepaalde functie twee keer tegelijk door omstandigheden wordt beperkt. Dergelijke ongelijkheden worden opgelost als een systeem van twee, wanneer het origineel in delen wordt verdeeld. En bij de intervalmethode worden de antwoorden van het oplossen van beide vergelijkingen aangegeven.

Om ze op te lossen, is het ook toegestaan om de hierboven aangegeven eigenschappen te gebruiken. Met hun hulp is het handig om de ongelijkheid tot nul terug te brengen.

Hoe zit het met ongelijkheden die een modulus hebben?

In dit geval gebruikt de oplossing voor de ongelijkheden de volgende eigenschappen, en deze zijn geldig voor een positieve waarde van “a”.

Als “x” een algebraïsche uitdrukking aanneemt, zijn de volgende vervangingen geldig:

|x|< a на -a < х < a;
|x| > a tot x< -a или х >A.

Als de ongelijkheden niet strikt zijn, zijn de formules ook correct, alleen verschijnt daarin, naast het teken groter of kleiner, “=”.

Hoe wordt een systeem van ongelijkheid opgelost?

Deze kennis is vereist in gevallen waarin een dergelijke taak wordt gegeven of er een record is van dubbele ongelijkheid of een module in het record verschijnt. In een dergelijke situatie zal de oplossing de waarden zijn van de variabelen die aan alle ongelijkheden in het record zouden voldoen. Als dergelijke getallen niet bestaan, heeft het systeem geen oplossingen.

Het plan volgens welke de oplossing van het systeem van ongelijkheid wordt uitgevoerd:

los ze elk afzonderlijk op;
geef alle intervallen op de getallenas weer en bepaal hun snijpunten;
schrijf de reactie van het systeem op, die een combinatie zal zijn van wat er in de tweede paragraaf is gebeurd.

Wat te doen met fractionele ongelijkheid?

Omdat het oplossen ervan mogelijk het veranderen van het teken van ongelijkheid vereist, moet u alle punten van het plan zeer zorgvuldig en nauwkeurig volgen. Anders krijg je misschien het tegenovergestelde antwoord.

Bij het oplossen van fractionele ongelijkheden wordt ook de intervalmethode gebruikt. En het actieplan zal er als volgt uitzien:

Geef de breuk met behulp van de beschreven eigenschappen een zodanige vorm dat rechts van het teken alleen de nul overblijft.
Vervang de ongelijkheid door “=” en bepaal de punten waarop de functie gelijk is aan nul.
Markeer ze op de coördinatenas. In dit geval worden de getallen die zijn verkregen als resultaat van berekeningen in de noemer altijd uitgestanst. Alle andere zijn gebaseerd op de voorwaarde van ongelijkheid.
Bepaal de intervallen van constantheid van teken.
Schrijf als antwoord de vereniging op van die intervallen waarvan het teken overeenkomt met dat van de oorspronkelijke ongelijkheid.

Situaties waarin irrationaliteit tot uiting komt in ongelijkheid

Met andere woorden: er zit een wiskundige wortel in de notatie. Sinds in schoolcursus In de algebra zijn de meeste opdrachten voor de vierkantswortel, dus dit is wat we zullen overwegen.

De oplossing voor irrationele ongelijkheden komt neer op het verkrijgen van een systeem van twee of drie dat gelijkwaardig zal zijn aan het oorspronkelijke systeem.

Oorspronkelijke ongelijkheid	voorwaarde	gelijkwaardig systeem
√ n(x)< m(х)	m(x) kleiner dan of gelijk aan 0	geen oplossingen
√ n(x)< m(х)	m(x) groter dan 0	n(x) is groter dan of gelijk aan 0 n(x)< (m(х)) 2
√ n(x) > m(x)		m(x) is groter dan of gelijk aan 0 n(x) > (m(x)) 2
√ n(x) > m(x)		n(x) is groter dan of gelijk aan 0 m(x) kleiner dan 0
√n(x) ≤ m(x)	m(x) kleiner dan 0	geen oplossingen
√n(x) ≤ m(x)	m(x) is groter dan of gelijk aan 0	n(x) is groter dan of gelijk aan 0 n(x) ≤ (m(x)) 2
√n(x) ≥ m(x)		m(x) is groter dan of gelijk aan 0 n(x) ≥ (m(x)) 2
√n(x) ≥ m(x)		n(x) is groter dan of gelijk aan 0 m(x) kleiner dan 0
√ n(x)< √ m(х)		n(x) is groter dan of gelijk aan 0 n(x) kleiner dan m(x)
√n(x) * m(x)< 0		n(x) groter dan 0 m(x) kleiner dan 0
√n(x) * m(x) > 0		n(x) groter dan 0 m(x) groter dan 0
√n(x) * m(x) ≤ 0		n(x) groter dan 0
√n(x) * m(x) ≤ 0		n(x) is gelijk aan 0 m(x) - elk
√n(x) * m(x) ≥ 0		n(x) groter dan 0
√n(x) * m(x) ≥ 0		n(x) is gelijk aan 0 m(x) - elk

Voorbeelden van het oplossen van verschillende soorten ongelijkheid

Om duidelijkheid te geven aan de theorie over het oplossen van ongelijkheden, worden hieronder voorbeelden gegeven.

Eerste voorbeeld. 2x - 4 > 1 +x

Oplossing: Om de ADI te bepalen, hoeft u alleen maar goed naar de ongelijkheid te kijken. Het is gevormd uit lineaire functies en is daarom gedefinieerd voor alle waarden van de variabele.

Nu moet je (1 + x) aftrekken van beide kanten van de ongelijkheid. Het blijkt: 2x - 4 - (1 + x) > 0. Nadat de haakjes zijn geopend en vergelijkbare termen zijn gegeven, zal de ongelijkheid de volgende vorm aannemen: x - 5 > 0.

Door het gelijk te stellen aan nul, is het gemakkelijk om de oplossing te vinden: x = 5.

Nu moet dit punt met het getal 5 op de coördinatenstraal worden gemarkeerd. Controleer vervolgens de tekenen van de originele functie. Op het eerste interval van minus oneindig tot 5 kun je het getal 0 nemen en dit vervangen door de ongelijkheid die je na de transformaties hebt verkregen. Na berekeningen blijkt -7 >0. onder de boog van het interval moet je een minteken tekenen.

Op het volgende interval van 5 tot oneindig kun je het getal 6 kiezen. Dan blijkt dat 1 > 0. Er staat een “+” teken onder de boog. Dit tweede interval zal het antwoord zijn op de ongelijkheid.

Antwoord: x ligt in het interval (5; ∞).

Tweede voorbeeld. Het is vereist om een stelsel van twee vergelijkingen op te lossen: 3x + 3 ≤ 2x + 1 en 3x - 2 ≤ 4x + 2.

Oplossing. De VA van deze ongelijkheden ligt ook in het gebied van alle getallen, aangezien lineaire functies worden gegeven.

De tweede ongelijkheid zal de vorm aannemen van de volgende vergelijking: 3x - 2 - 4x - 2 = 0. Na transformatie: -x - 4 =0. Dit levert een waarde voor de variabele op die gelijk is aan -4.

Deze twee cijfers moeten op de as worden gemarkeerd en geven intervallen weer. Omdat de ongelijkheid niet strikt is, moeten alle punten gearceerd zijn. Het eerste interval loopt van min oneindig tot -4. Laat het getal -5 gekozen worden. De eerste ongelijkheid geeft de waarde -3 en de tweede 1. Dit betekent dat dit interval niet in het antwoord is opgenomen.

Het tweede interval is van -4 tot -2. Je kunt het getal -3 kiezen en dit vervangen door beide ongelijkheden. In de eerste en tweede is de waarde -1. Dit betekent dat onder de boog “-”.

In het laatste interval van -2 tot oneindig is het beste getal nul. Je moet het vervangen en de waarden van de ongelijkheden vinden. De eerste levert een positief getal op, de tweede een nul. Deze kloof moet ook worden uitgesloten van het antwoord.

Van de drie intervallen is er slechts één een oplossing voor de ongelijkheid.

Antwoord: x behoort tot [-4; -2].

Derde voorbeeld. |1 - x| > 2 |x - 1|.

Oplossing. De eerste stap is het bepalen van de punten waarop de functies verdwijnen. Voor de linker is dit nummer 2, voor de rechter - 1. Ze moeten op de balk worden gemarkeerd en de intervallen van tekenvastheid moeten worden bepaald.

Op het eerste interval, van minus oneindig tot 1, wordt de functie vanaf de linkerkant van de ongelijkheid aangenomen positieve waarden, en van rechts - negatief. Onder de boog moet je twee tekens "+" en "-" naast elkaar schrijven.

Het volgende interval is van 1 tot 2. Hierop nemen beide functies positieve waarden aan. Dit betekent dat er twee pluspunten onder de boog zitten.

Het derde interval van 2 tot oneindig geeft het volgende resultaat: de linkerfunctie is negatief, de rechterfunctie is positief.

Rekening houdend met de resulterende tekens, moet u de ongelijkheidswaarden voor alle intervallen berekenen.

De eerste levert de volgende ongelijkheid op: 2 - x > - 2 (x - 1). De min vóór de twee in de tweede ongelijkheid is te wijten aan het feit dat deze functie negatief is.

Na transformatie ziet de ongelijkheid er als volgt uit: x > 0. Het geeft meteen de waarden van de variabele. Dat wil zeggen dat vanaf dit interval alleen het interval van 0 tot 1 wordt beantwoord.

Op de tweede: 2 - x > 2 (x - 1). De transformaties geven de volgende ongelijkheid: -3x + 4 is groter dan nul. De nul zal x = 4/3 zijn. Rekening houdend met het ongelijkheidsteken blijkt dat x kleiner moet zijn dan dit getal. Dit betekent dat dit interval wordt teruggebracht tot een interval van 1 tot 4/3.

Dit laatste geeft de volgende ongelijkheid: - (2 - x) > 2 (x - 1). De transformatie ervan leidt tot het volgende: -x > 0. Dat wil zeggen dat de vergelijking waar is als x kleiner is dan nul. Dit betekent dat op het vereiste interval de ongelijkheid geen oplossingen biedt.

In de eerste twee intervallen bleek het limietgetal 1 te zijn. Dit moet afzonderlijk worden gecontroleerd. Dat wil zeggen, vervang het door de oorspronkelijke ongelijkheid. Het blijkt: |2 - 1| > 2 |1 - 1|. Uit tellen blijkt dat 1 groter is dan 0. Dit is een ware bewering, dus er is er één opgenomen in het antwoord.

Antwoord: x ligt in het interval (0; 4/3).

De ongelijkheid is bijvoorbeeld de uitdrukking \(x>5\).

Soorten ongelijkheden:

Als \(a\) en \(b\) getallen of zijn, wordt de ongelijkheid genoemd numeriek. Het is eigenlijk gewoon een vergelijking van twee getallen. Dergelijke ongelijkheden zijn onderverdeeld in trouw En ontrouw.

Bijvoorbeeld:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) is een onjuiste numerieke ongelijkheid, aangezien \(17+3=20\), en \(20\) kleiner is dan \(115\) (en niet groter dan of gelijk aan) .

Als \(a\) en \(b\) uitdrukkingen zijn die een variabele bevatten, dan geldt dat ongelijkheid met variabele. Dergelijke ongelijkheden zijn onderverdeeld in typen, afhankelijk van de inhoud:

\(2x+1\geq4(5-x)\)				Alleen variabel tot de eerste macht
\(3x^2-x+5>0\)				Er is een variabele in de tweede macht (vierkant), maar er zijn geen hogere machten (derde, vierde, etc.)
\(\log_(4)((x+1))<3\)
\(2^(x)\leq8^(5x-2)\)

... enzovoort.

Wat is de oplossing voor een ongelijkheid?

Als je een getal in plaats van een variabele vervangt door een ongelijkheid, wordt het een numeriek getal.

Als een gegeven waarde voor x de oorspronkelijke ongelijkheid in een echte numerieke ongelijkheid verandert, wordt deze genoemd oplossing voor de ongelijkheid. Zo niet, dan is deze waarde geen oplossing. En naar ongelijkheid oplossen– je moet alle oplossingen vinden (of laten zien dat die er niet zijn).

Bijvoorbeeld, als we het getal \(7\) vervangen door de lineaire ongelijkheid \(x+6>10\), krijgen we de juiste numerieke ongelijkheid: \(13>10\). En als we \(2\) vervangen, ontstaat er een onjuiste numerieke ongelijkheid \(8>10\). Dat wil zeggen: \(7\) is een oplossing voor de oorspronkelijke ongelijkheid, maar \(2\) is dat niet.

De ongelijkheid \(x+6>10\) heeft echter andere oplossingen. We krijgen inderdaad de juiste numerieke ongelijkheden als we \(5\), en \(12\), en \(138\) vervangen... En hoe kunnen we alle mogelijke oplossingen? Hiervoor gebruiken ze. Voor ons geval hebben we:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

Dat wil zeggen, elk getal groter dan vier is geschikt voor ons. Nu moet je het antwoord opschrijven. Oplossingen voor ongelijkheden worden meestal numeriek geschreven, waarbij ze bovendien met arcering op de getallenas worden gemarkeerd. Voor ons geval hebben we:

Antwoord: \(x\in(4;+\infty)\)

Wanneer verandert het teken van ongelijkheid?

Er is één grote valkuil in de ongelijkheid waar studenten heel graag in trappen:

Bij het vermenigvuldigen (of delen) van een ongelijkheid met een negatief getal, wordt deze omgekeerd (“meer” door “minder”, “meer of gelijk” door “kleiner dan of gelijk”, enzovoort)

Waarom gebeurt dit? Laten we, om dit te begrijpen, eens kijken naar de transformaties van de numerieke ongelijkheid \(3>1\). Het klopt, drie is inderdaad groter dan één. Laten we eerst proberen het met een positief getal te vermenigvuldigen, bijvoorbeeld twee:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

Zoals we kunnen zien, blijft de ongelijkheid na vermenigvuldiging waar. En ongeacht met welk positief getal we vermenigvuldigen, we krijgen altijd de juiste ongelijkheid. Laten we nu proberen te vermenigvuldigen met een negatief getal, bijvoorbeeld min drie:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

Het resultaat is een onjuiste ongelijkheid, omdat min negen kleiner is dan min drie! Dat wil zeggen, om de ongelijkheid waar te laten worden (en daarom was de transformatie van vermenigvuldiging met negatief "legaal"), moet je het vergelijkingsteken als volgt omdraaien: \(−9<− 3\).
Bij deling werkt het op dezelfde manier, je kunt het zelf controleren.

De hierboven geschreven regel is van toepassing op alle soorten ongelijkheden, niet alleen numerieke.

Voorbeeld: Los de ongelijkheid \(2(x+1)-1 op<7+8x\)
Oplossing:


\(2x+2-1<7+8x\)	Laten we \(8x\) naar links verplaatsen, en \(2\) en \(-1\) naar rechts, en niet te vergeten de tekens te veranderen
\(2x-8x<7-2+1\)
\(-6x<6\) \(\|:(-6)\)	Laten we beide kanten van de ongelijkheid delen door \(-6\), en niet vergeten te veranderen van “minder” naar “meer”
	Laten we een numeriek interval op de as markeren. Ongelijkheid, daarom ‘prikken’ we de waarde \(-1\) zelf eruit en nemen deze niet als antwoord
	Laten we het antwoord als een interval schrijven

Antwoord: \(x\in(-1;\infty)\)

Ongelijkheid en handicap

Ongelijkheden kunnen, net als vergelijkingen, beperkingen hebben op , dat wil zeggen op de waarden van x. Dienovereenkomstig moeten de waarden die volgens de DZ onaanvaardbaar zijn, worden uitgesloten van het scala aan oplossingen.

Voorbeeld: Los de ongelijkheid \(\sqrt(x+1) op<3\)

Oplossing: Het is duidelijk dat om de linkerkant kleiner te laten zijn dan \(3\), de worteluitdrukking kleiner moet zijn dan \(9\) (van \(9\) immers alleen maar \(3\)). We krijgen:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(X<8\)

Alle? Elke waarde van x kleiner dan \(8\) past bij ons? Nee! Want als we bijvoorbeeld de waarde \(-5\) nemen die aan de eis lijkt te voldoen, zal dit geen oplossing zijn voor de oorspronkelijke ongelijkheid, omdat dit ons ertoe zal brengen de wortel van een negatief getal te berekenen.

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

Daarom moeten we ook rekening houden met de beperkingen op de waarde van X - het kan niet zo zijn dat er een negatief getal onder de wortel staat. We hebben dus de tweede vereiste voor x:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

En om x de uiteindelijke oplossing te laten zijn, moet het aan beide eisen tegelijk voldoen: het moet kleiner zijn dan \(8\) (om een oplossing te zijn) en groter dan \(-1\) (om in principe toelaatbaar te zijn). Als we het op de getallenlijn uitzetten, hebben we het uiteindelijke antwoord:

Antwoord: \(\links[-1;8\rechts)\)

In eenvoudiger bewoordingen kunnen we zeggen dat dit ongelijkheden zijn waarbij er alleen een variabele in de eerste graad bestaat, en deze niet in de noemer van de breuk staat.

Voorbeelden:

\(\frac(3y-4)(5)\) \(\leq1\)

\(5(x-1)-2x>3x-8\)

Voorbeelden van niet-lineaire ongelijkheden:

\(3>-2\) – er zijn hier geen variabelen, alleen getallen, wat betekent dat dit een numerieke ongelijkheid is
\(\frac(-14)((y-3)^(2)-5)\) \(\leq0\) – er staat een variabele in de noemer, deze
\(5(x-1)-2x>3x^(2)-8\) - er is een variabele tot de tweede macht, dit is

Lineaire ongelijkheden oplossen

De ongelijkheid oplossen er zal elk getal zijn waarvan de vervanging in plaats van de variabele de ongelijkheid waar zal maken. Ongelijkheid oplossen- betekent het vinden van al dergelijke nummers.

Voor de ongelijkheid \(x-2>0\) zal bijvoorbeeld het getal \(5\) de oplossing zijn, omdat als we vijf vervangen in plaats van x, krijgen we het juiste getal: \(3>0\). Maar het getal \(1\) zal geen oplossing zijn, omdat vervanging zal resulteren in een onjuiste numerieke ongelijkheid: \(-1>0\) . Maar de oplossing voor de ongelijkheid zal niet alleen vijf zijn, maar ook \(4\), \(7\), \(15\), \(42\), \(726\) en een oneindig aantal getallen: elk getal groter dan twee.

Daarom kunnen lineaire ongelijkheden niet worden opgelost door waarden te zoeken en te vervangen. Gebruik ze in plaats daarvan leiden tot een van de volgende zaken:

\(X c\), \(x\leqс\), \(x\geqс\), waarbij \(с\) een willekeurig getal is

Het antwoord wordt vervolgens op de getallenlijn gemarkeerd en geschreven als (ook wel interval genoemd).

Als je weet hoe je moet oplossen, kun je over het algemeen lineaire ongelijkheden uitvoeren, omdat het oplossingsproces erg op elkaar lijkt. Er is slechts één belangrijke toevoeging:

Voorbeeld. Los de ongelijkheid \(2(x+1)-1 op<7+8x\)
Oplossing:

Antwoord: \(x\in(-1;\infty)\)

Speciaal geval nr. 1: oplossing voor ongelijkheid – willekeurig getal

Bij lineaire ongelijkheden is een situatie mogelijk waarin absoluut elk getal als oplossing kan worden gebruikt: geheel getal, breuken, negatief, positief, nul... Deze ongelijkheid \(x+2>x\) zal bijvoorbeeld gelden voor elk getal. waarde van x. Nou, hoe kan het ook anders, want aan de X aan de linkerkant is een twee toegevoegd, maar aan de rechterkant niet. Uiteraard zal het getal aan de linkerkant groter zijn, ongeacht welke X we nemen.

Voorbeeld. Los de ongelijkheid \(3(2x-1)+5 op<6x+4\)
Oplossing:

Antwoord: \(x\in(-\infty;\infty)\)

Speciaal geval nr. 2: ongelijkheid kent geen oplossingen

De tegenovergestelde situatie is ook mogelijk, wanneer een lineaire ongelijkheid helemaal geen oplossingen heeft, dat wil zeggen dat geen x haar waar maakt. \(x-2>x\) zal bijvoorbeeld nooit waar zijn, omdat twee van x aan de linkerkant wordt afgetrokken, maar niet aan de rechterkant. Dit betekent dat er aan de linkerkant altijd minder zal zijn, niet meer.

Voorbeeld. Los de ongelijkheid op \(\frac(x-5)(2)\) \(>\) \(\frac(3x+2)(6)\) \(-1\)
Oplossing:

\(\frac(x-5)(2)\) \(>\) \(\frac(3x+2)(6)\) \(-1\)		De noemers zitten ons in de weg. We komen er onmiddellijk vanaf door alle ongelijkheid te vermenigvuldigen met de gemeenschappelijke noemer van alles, dat wil zeggen met 6
\(6\cdot\)\(\frac(x-5)(2)\) \(>\)\(6\cdot\)\((\frac(3x+2)(6)\) \( -1\)\()\)		Laten we de haakjes openen
\(6\cdot\)\(\frac(x-5)(2)\) \(>\)\(6\cdot\)\(\frac(3x+2)(6)\) \(- 6\)		Laten we snijden wat kan worden gesneden
\(3\cdot(x-5)>3x+2-6\)		Aan de linkerkant openen we de beugel en aan de rechterkant presenteren we vergelijkbare termen
\(3x-15>3x-4\)		Verplaats \(3x\) naar links en \(-15\) naar rechts, wissel van bord
\(3x-3x>-4+15\)		We presenteren opnieuw soortgelijke termen
		U heeft een onjuiste numerieke ongelijkheid ontvangen. En het zal voor elke x onjuist zijn, omdat het op geen enkele manier invloed heeft op de resulterende ongelijkheid. Dit betekent dat elke waarde van X geen oplossing zal zijn.

Antwoord: \(x\in\varnothing\)

Ongelijkheid is een uitdrukking met, ≤ of ≥. Bijvoorbeeld: 3x - 5 Het oplossen van een ongelijkheid betekent het vinden van alle waarden van de variabelen waarvoor de ongelijkheid waar is. Elk van deze getallen is een oplossing voor de ongelijkheid, en de verzameling van al deze oplossingen is de zijne veel oplossingen. Ongelijkheden met dezelfde reeks oplossingen worden genoemd gelijkwaardige ongelijkheden.

Lineaire ongelijkheden

De principes voor het oplossen van ongelijkheden zijn vergelijkbaar met de principes voor het oplossen van vergelijkingen.

Principes voor het oplossen van ongelijkheden
Voor alle reële getallen a, b en c:
Het principe van het toevoegen van ongelijkheden: Als een Vermenigvuldigingsprincipe voor ongelijkheden: Als a 0 waar is, dan ac. Als a bc ook waar is.
Soortgelijke uitspraken gelden ook voor a ≤ b.

Wanneer beide zijden van een ongelijkheid worden vermenigvuldigd met een negatief getal, moet het teken van de ongelijkheid worden omgekeerd.
Ongelijkheden op het eerste niveau, zoals in voorbeeld 1 (hieronder), worden genoemd lineaire ongelijkheden.

voorbeeld 1 Los elk van de volgende ongelijkheden op. Teken vervolgens een reeks oplossingen.
a) 3x - 5 b) 13 - 7x ≥ 10x - 4
Oplossing
Elk getal kleiner dan 11/5 is een oplossing.
De reeks oplossingen is (x|x
Ter controle kunnen we een grafiek tekenen van y 1 = 3x - 5 en y 2 = 6 - 2x. Dan is het duidelijk dat voor x
De oplossingsset is (x|x ≤ 1), of (-∞, 1). De grafiek van de oplossingsset wordt hieronder weergegeven.

Dubbele ongelijkheid

Wanneer twee ongelijkheden met elkaar verbonden zijn door een woord En, of, dan wordt het gevormd dubbele ongelijkheid. Dubbele ongelijkheid zoals
-3 En 2x + 5 ≤ 7
genaamd verbonden, omdat het gebruikt En. Entry -3 Dubbele ongelijkheden kunnen worden opgelost met behulp van de principes van het optellen en vermenigvuldigen van ongelijkheden.

Voorbeeld 2 Los -3 op Oplossing We hebben

Reeks oplossingen (x|x ≤ -1 of x > 3). We kunnen de oplossing ook schrijven met behulp van intervalnotatie en het symbool voor verenigingen of inclusief beide sets: (-∞ -1] (3, ∞). De grafiek van de oplossingsset wordt hieronder weergegeven.

Laten we, om dit te controleren, y 1 = 2x - 5, y 2 = -7 en y 3 = 1 uitzetten. Merk op dat voor (x|x ≤ -1 of x > 3), y 1 ≤ y 2 of y 1 > y 3 .

Ongelijkheden met absolute waarde (modulus)

Ongelijkheid bevat soms moduli. De volgende eigenschappen worden gebruikt om ze op te lossen.
Voor a > 0 en algebraïsche uitdrukking x:
|x| |x| > a is equivalent aan x of x > a.
Soortgelijke uitspraken voor |x| ≤ a en |x| ≥ een.

Bijvoorbeeld,
|x| |j| ≥ 1 komt overeen met y ≤ -1 of j ≥ 1;
en |2x + 3| ≤ 4 komt overeen met -4 ≤ 2x + 3 ≤ 4.

Voorbeeld 4 Los elk van de volgende ongelijkheden op. Maak een grafiek van de reeks oplossingen.
a) |3x + 2| b) |5 - 2x| ≥ 1

Oplossing
a) |3x + 2|

De oplossingsverzameling is (x|-7/3

b) |5 - 2x| ≥ 1
De oplossingsverzameling is (x|x ≤ 2 of x ≥ 3), of (-∞, 2] )