Onderwerp 2. SYSTEMEN VAN LINEAIRE ALGEBRÏSCHE VERGELIJKINGEN.
Basisconcepten.
Definitie 1. Systeem M lineaire vergelijkingen Met N onbekenden is een systeem van de vorm:
waar en zijn getallen.
Definitie 2. Een oplossing voor systeem (I) is een reeks onbekenden waarin elke vergelijking van dit systeem een identiteit wordt.
Definitie 3. Systeem (I) wordt aangeroepen gewricht, als er minstens één oplossing is en niet-gezamenlijk, als er geen oplossingen zijn. Het gezamenlijke systeem wordt genoemd zeker, als het een unieke oplossing heeft, en onzeker anders.
Definitie 4. Vergelijking van de vorm
genaamd nul, en de vergelijking heeft de vorm
genaamd onverenigbaar. Het is duidelijk dat een stelsel vergelijkingen die een incompatibele vergelijking bevatten, inconsistent is.
Definitie 5. Er worden twee stelsels lineaire vergelijkingen genoemd equivalent, als elke oplossing van het ene systeem een oplossing is voor een ander systeem, en omgekeerd, elke oplossing van het tweede systeem een oplossing is voor het eerste.
Matrixweergave van een systeem van lineaire vergelijkingen.
Laten we systeem (I) bekijken (zie §1).
Laten we aangeven:
Coëfficiëntmatrix voor onbekenden
Matrix - kolom met vrije termen
Matrix – kolom met onbekenden
.
Definitie 1. De matrix wordt genoemd hoofdmatrix van het systeem(I), en de matrix is de uitgebreide matrix van systeem (I).
Volgens de definitie van gelijkheid van matrices komt systeem (I) overeen met de matrixgelijkheid:
.
De rechterkant van deze gelijkheid per definitie van het product van matrices ( zie definitie 3 § 5 hoofdstuk 1) kan worden ontbonden in factoren:
, d.w.z.
Gelijkwaardigheid (2) genaamd matrixnotatie van systeem (I).
Een stelsel van lineaire vergelijkingen oplossen met behulp van de methode van Cramer.
Inlaatsysteem (I) (zie §1) m=n, d.w.z. het aantal vergelijkingen is gelijk aan het aantal onbekenden, en de hoofdmatrix van het systeem is niet-singulier, d.w.z. . Dan heeft systeem (I) uit §1 een unieke oplossing
waar Δ = det A hoofd genoemd bepalend voor het systeem(I), Δ i wordt verkregen uit de determinant Δ door te vervangen i e kolom naar een kolom met vrije leden van het systeem (I).
Voorbeeld: Los het systeem op met behulp van de methode van Cramer:
.
Door formules (3)
.
We berekenen de determinanten van het systeem:
,
,
.
Om de determinant te verkrijgen, hebben we de eerste kolom in de determinant vervangen door een kolom met vrije termen; als we de tweede kolom in de determinant vervangen door een kolom met vrije termen, krijgen we ; op een vergelijkbare manier, door de derde kolom in de determinant te vervangen door een kolom met vrije termen, krijgen we . Systeemoplossing:
Systemen van lineaire vergelijkingen oplossen met behulp van omgekeerde matrix.
Inlaatsysteem (I) (zie §1) m=n en de hoofdmatrix van het systeem is niet-singulier. Laten we systeem (I) in matrixvorm schrijven ( zie §2):
omdat Matrix A niet-singulier, dan heeft het een inverse matrix ( zie Stelling 1 §6 van Hoofdstuk 1). Laten we beide kanten van de gelijkheid vermenigvuldigen (2) naar de matrix dan
Per definitie van een inverse matrix. Vanuit gelijkheid (3) we hebben
Los het systeem op met behulp van de inverse matrix
.
Laten we aanduiden
In voorbeeld (§ 3) hebben we de determinant, dus de matrix, berekend A heeft een inverse matrix. Dan van kracht (4) , d.w.z.
. (5)
Laten we de matrix vinden ( zie §6 hoofdstuk 1)
, 
, 
,
, 
, 
,
,
.
Gauss-methode.
Laat een systeem van lineaire vergelijkingen gegeven worden:
. (I)
Het is vereist om alle oplossingen van systeem (I) te vinden of ervoor te zorgen dat het systeem inconsistent is.
Definitie 1.Laten we de elementaire transformatie van het systeem noemen(Ik) een van drie acties:
1) het doorhalen van de nulvergelijking;
2) aan beide zijden van de vergelijking de overeenkomstige delen van een andere vergelijking optellen, vermenigvuldigd met het getal l;
3) het verwisselen van termen in de vergelijkingen van het systeem, zodat onbekenden met dezelfde getallen in alle vergelijkingen dezelfde plaatsen innemen, d.w.z. als we bijvoorbeeld in de eerste vergelijking de tweede en derde term hebben gewijzigd, dan moet hetzelfde worden gedaan in alle vergelijkingen van het systeem.
De Gauss-methode bestaat erin dat systeem (I) met behulp van elementaire transformaties wordt gereduceerd tot een gelijkwaardig systeem, waarvan de oplossing direct wordt gevonden of de onoplosbaarheid ervan wordt vastgesteld.
Zoals beschreven in §2, wordt systeem (I) op unieke wijze bepaald door zijn uitgebreide matrix en komt elke elementaire transformatie van systeem (I) overeen met een elementaire transformatie van de uitgebreide matrix:
.
Transformatie 1) komt overeen met het verwijderen van de nulrij in de matrix, transformatie 2) is equivalent met het toevoegen van een andere rij aan de corresponderende rij van de matrix, vermenigvuldigd met het getal l, transformatie 3) is equivalent met het herschikken van de kolommen in de matrix.
Het is gemakkelijk in te zien dat daarentegen elke elementaire transformatie van de matrix correspondeert met een elementaire transformatie van het systeem (I). Vanwege het bovenstaande zullen we, in plaats van bewerkingen met systeem (I), werken met de uitgebreide matrix van dit systeem.
In de matrix bestaat de eerste kolom uit coëfficiënten voor x 1, 2e kolom - van de coëfficiënten voor x 2 enz. Als de kolommen opnieuw worden gerangschikt, moet er rekening mee worden gehouden dat deze voorwaarde wordt geschonden. Als we bijvoorbeeld de eerste en tweede kolom omwisselen, bevat de eerste kolom nu de coëfficiënten voor x 2, en in de tweede kolom - de coëfficiënten voor x 1.
We zullen systeem (I) oplossen met behulp van de Gaussiaanse methode.
1. Schrap alle nulrijen in de matrix, indien aanwezig (d.w.z. schrap alle nulvergelijkingen in systeem (I).
2. Laten we controleren of er onder de rijen van de matrix een rij is waarin alle elementen behalve de laatste gelijk zijn aan nul (laten we zo'n rij inconsistent noemen). Het is duidelijk dat zo'n lijn overeenkomt met een inconsistente vergelijking in systeem (I). Daarom heeft systeem (I) geen oplossingen en dit is waar het proces eindigt.
3. Laat de matrix geen inconsistente rijen bevatten (systeem (I) bevat geen inconsistente vergelijkingen). Als een 11 =0, dan vinden we in de eerste rij een ander element (behalve de laatste) dan nul en herschikken we de kolommen zodat er in de eerste rij geen nul staat op de eerste plaats. We zullen nu aannemen dat (dat wil zeggen, we zullen de overeenkomstige termen in de vergelijkingen van systeem (I) omwisselen).
4. Vermenigvuldig de eerste regel met en tel het resultaat op bij de tweede regel, vermenigvuldig vervolgens de eerste regel met en tel het resultaat op bij de derde regel, enz. Uiteraard staat dit proces gelijk aan het elimineren van het onbekende x 1 uit alle vergelijkingen van systeem (I), behalve de 1e. In de nieuwe matrix krijgen we nullen in de 1e kolom onder het element een 11:
.
5. Laten we alle nulrijen in de matrix doorstrepen, als die er zijn, en controleren of er een inconsistente rij is (als die er is, dan is het systeem inconsistent en eindigt de oplossing daar). Laten we kijken of dat zo is een 22 / =0, zo ja, dan vinden we in de 2e rij een ander element dan nul en herschikken we de kolommen zodat . Vermenigvuldig vervolgens de elementen van de tweede rij met 
en voeg de overeenkomstige elementen van de 3e regel toe, dan - de elementen van de 2e regel en voeg de overeenkomstige elementen van de 4e regel toe, enz., totdat we nullen krijgen onder een 22/
.
De ondernomen acties zijn gelijk aan het elimineren van het onbekende x 2 uit alle vergelijkingen van systeem (I), behalve de 1e en 2e. Omdat het aantal rijen eindig is, krijgen we na een eindig aantal stappen de conclusie dat óf het systeem inconsistent is, óf we eindigen met een stappenmatrix ( zie definitie 2 §7 hoofdstuk 1) :
,
Laten we het stelsel vergelijkingen opschrijven dat overeenkomt met de matrix. Dit systeem is gelijkwaardig aan systeem (I)
.
Uit de laatste vergelijking drukken we uit; vervang het in de vorige vergelijking, zoek, enz., totdat we krijgen.
Notitie 1. Wanneer we systeem (I) oplossen met behulp van de Gauss-methode, komen we dus uit op een van de volgende gevallen.
1. Systeem (I) is inconsistent.
2. Systeem (I) heeft een unieke oplossing als het aantal rijen in de matrix gelijk is aan het aantal onbekenden ().
3. Systeem (I) heeft een oneindig aantal oplossingen als het aantal rijen in de matrix kleiner is dan het aantal onbekenden ().
Daarom geldt de volgende stelling.
Stelling. Een stelsel lineaire vergelijkingen is inconsistent, heeft een unieke oplossing of heeft een oneindig aantal oplossingen.
Voorbeelden. Los het stelsel vergelijkingen op met behulp van de Gauss-methode of bewijs de inconsistentie ervan:
B) 
;
a) Laten we het gegeven systeem herschrijven in de vorm:
.
We hebben de eerste en tweede vergelijking van het oorspronkelijke systeem omgewisseld om de berekeningen te vereenvoudigen (in plaats van met breuken werken we met deze herschikking alleen met gehele getallen).
Laten we een uitgebreide matrix maken:
.
Er zijn geen nullijnen; er zijn geen incompatibele lijnen, ; Laten we de eerste onbekende uitsluiten van alle vergelijkingen van het systeem, behalve de eerste. Om dit te doen, vermenigvuldigt u de elementen van de eerste rij van de matrix met “-2” en telt u ze op met de overeenkomstige elementen van de tweede rij, wat overeenkomt met het vermenigvuldigen van de eerste vergelijking met “-2” en deze optellen met de tweede rij. vergelijking. Vervolgens vermenigvuldigen we de elementen van de eerste regel met “-3” en voegen we ze toe met de overeenkomstige elementen van de derde regel, d.w.z. vermenigvuldig de tweede vergelijking van het gegeven systeem met “-3” en tel deze op bij de derde vergelijking. We krijgen
.
De matrix komt overeen met een systeem van vergelijkingen). - (zie definitie 3§7 van Hoofdstuk 1).
Het gebruik van vergelijkingen is wijdverbreid in ons leven. Ze worden gebruikt bij veel berekeningen, constructies en zelfs sporten. De mens gebruikte vergelijkingen in de oudheid, en sindsdien is het gebruik ervan alleen maar toegenomen. Met de matrixmethode kunt u oplossingen vinden voor SLAE's (systemen van lineaire algebraïsche vergelijkingen) van elke complexiteit. Het hele proces van het oplossen van SLAE’s komt neer op twee hoofdacties:
Bepaling van de inverse matrix op basis van de hoofdmatrix:
Vermenigvuldigen van de resulterende inverse matrix met een kolomvector van oplossingen.
Stel dat we een SLAE van de volgende vorm krijgen:
\[\links\(\begin(matrix) 5x_1 + 2x_2 & = & 7 \\ 2x_1 + x_2 & = & 9 \end(matrix)\rechts.\]
Laten we beginnen met het oplossen van deze vergelijking door de systeemmatrix uit te schrijven:
Rechterkantmatrix:
Laten we de inverse matrix definiëren. Je kunt een 2e orde matrix als volgt vinden: 1 - de matrix zelf moet niet-singulier zijn; 2 - de elementen die zich op de hoofddiagonaal bevinden, worden verwisseld, en voor de elementen van de secundaire diagonaal veranderen we het teken in het tegenovergestelde, waarna we de resulterende elementen delen door de determinant van de matrix. We krijgen:
\[\begin(pmatrix) 7 \\ 9 \end(pmatrix)=\begin(pmatrix) -11 \\ 31 \end(pmatrix)\Pijl naar rechts \begin(pmatrix) x_1 \\ x_2 \end(pmatrix) =\ begin(pmatrix) -11 \\ 31 \end(pmatrix) \]
2 matrices worden als gelijk beschouwd als hun overeenkomstige elementen gelijk zijn. Als gevolg hiervan hebben we het volgende antwoord voor de SLAE-oplossing:
Waar kan ik online een stelsel vergelijkingen oplossen met behulp van de matrixmethode?
U kunt het stelsel vergelijkingen oplossen op onze website. Met de gratis online oplosser kunt u online vergelijkingen van elke complexiteit binnen enkele seconden oplossen. Het enige dat u hoeft te doen, is eenvoudigweg uw gegevens in de oplosser invoeren. Op onze website kunt u ook lezen hoe u de vergelijking kunt oplossen. En als u nog vragen heeft, kunt u deze stellen in onze VKontakte-groep.
Matrix-methode SLAU-oplossingen toegepast op het oplossen van stelsels vergelijkingen waarin het aantal vergelijkingen overeenkomt met het aantal onbekenden. De methode kan het beste worden gebruikt voor het oplossen van systemen van lage orde. De matrixmethode voor het oplossen van stelsels van lineaire vergelijkingen is gebaseerd op de toepassing van de eigenschappen van matrixvermenigvuldiging.
Deze methode, met andere woorden inverse matrixmethode, zo genoemd omdat de oplossing gereduceerd wordt tot een gewone matrixvergelijking, om deze op te lossen moet je de inverse matrix vinden.
Matrix-oplossingsmethode Een SLAE met een determinant groter of kleiner dan nul is als volgt:
Stel dat er een SLE (systeem van lineaire vergelijkingen) bestaat N onbekend (over een willekeurig veld):
Dit betekent dat het eenvoudig kan worden omgezet in matrixvorm:
BIJL=B, Waar A— de hoofdmatrix van het systeem, B En X— kolommen met respectievelijk vrije termen en oplossingen van het systeem:
Laten we deze matrixvergelijking van links vermenigvuldigen met A−1— omgekeerde matrix tot matrix A: A −1 (AX)=A −1 B.
Omdat A −1 A=E, Middelen, X=A −1 B. De rechterkant van de vergelijking geeft de oplossingskolom van het initiële systeem. Voorwaarde voor de toepasbaarheid van de matrixmethode is dat de matrix niet ontaardt A. Een noodzakelijke en voldoende voorwaarde hiervoor is dat de determinant van de matrix niet gelijk is aan nul A:
detA≠0.
Voor homogeen systeem van lineaire vergelijkingen, d.w.z. als vector B=0, uitgevoerd omgekeerde regel: bij het systeem AX=0 er is alleen een niet-triviale (dat wil zeggen niet gelijk aan nul) oplossing wanneer detA=0. Dit verband tussen oplossingen van homogene en inhomogene systemen van lineaire vergelijkingen wordt genoemd Fredholm-alternatief.
Dus de oplossing van de SLAE matrixmethode geproduceerd volgens de formule 
. Of de oplossing voor de SLAE wordt gevonden met behulp van omgekeerde matrix A−1.
Het is bekend dat voor een vierkante matrix A volgorde N op N er is een inverse matrix A−1 alleen als de determinant niet nul is. Het systeem dus N lineaire algebraïsche vergelijkingen met N We lossen onbekenden alleen op met behulp van de matrixmethode als de determinant van de hoofdmatrix van het systeem niet gelijk is aan nul.
Ondanks het feit dat er beperkingen zijn aan de toepasbaarheid van een dergelijke methode en de moeilijkheden bij berekeningen voor grote waarden van coëfficiënten en systemen van hoge orde, kan de methode eenvoudig op een computer worden geïmplementeerd.
Een voorbeeld van het oplossen van een niet-homogene SLAE.
Laten we eerst eens kijken of de determinant van de coëfficiëntenmatrix van onbekende SLAE’s niet gelijk is aan nul.
Nu vinden we uniematrix, transponeer het en vervang het door de formule om de inverse matrix te bepalen.
Vervang de variabelen in de formule:
Nu vinden we de onbekenden door de inverse matrix en de kolom met vrije termen te vermenigvuldigen.
Dus, x=2; y=1; z=4.
Bij verhuizing van normaal uitziend SLAE naar matrixvorm, wees voorzichtig met de volgorde van onbekende variabelen in de vergelijkingen van het systeem. Bijvoorbeeld:
Je kunt het NIET schrijven als:
Het is eerst noodzakelijk om de onbekende variabelen in elke vergelijking van het systeem te ordenen en pas daarna over te gaan tot de matrixnotatie:
Bovendien moet u voorzichtig zijn met de aanduiding van onbekende variabelen x 1, x 2 , …, x n er kunnen nog andere letters zijn. Bijv:
in matrixvorm schrijven we het als volgt:
De matrixmethode is beter voor het oplossen van stelsels van lineaire vergelijkingen waarin het aantal vergelijkingen samenvalt met het aantal onbekende variabelen en de determinant van de hoofdmatrix van het systeem niet gelijk is aan nul. Als het systeem meer dan drie vergelijkingen bevat, zal het vinden van de inverse matrix meer rekeninspanning vergen. Daarom is het in dit geval raadzaam om de Gaussiaanse methode voor het oplossen te gebruiken.
(soms wordt deze methode ook wel de matrixmethode of de inverse matrixmethode genoemd) vereist voorafgaande vertrouwdheid met een dergelijk concept als de matrixnotatievorm van SLAE. De inverse matrixmethode is bedoeld voor het oplossen van die systemen van lineaire algebraïsche vergelijkingen waarin de determinant van de systeemmatrix verschillend is van nul. Uiteraard wordt hierbij aangenomen dat de matrix van het systeem vierkant is (het concept van een determinant bestaat alleen voor vierkante matrices). De essentie van de inverse matrixmethode kan in drie punten worden uitgedrukt:
- Schrijf drie matrices op: de systeemmatrix $A$, de matrix van onbekenden $X$, de matrix van vrije termen $B$.
- Zoek de inverse matrix $A^(-1)$.
- Gebruik de gelijkheid $X=A^(-1)\cdot B$ om een oplossing voor de gegeven SLAE te verkrijgen.
Elke SLAE kan in matrixvorm worden geschreven als $A\cdot X=B$, waarbij $A$ de matrix van het systeem is, $B$ de matrix van vrije termen is, en $X$ de matrix van onbekenden is. Laat de matrix $A^(-1)$ bestaan. Laten we beide zijden van de gelijkheid $A\cdot X=B$ vermenigvuldigen met de matrix $A^(-1)$ aan de linkerkant:
$$A^(-1)\cdot A\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$
Omdat $A^(-1)\cdot A=E$ ($E$ de identiteitsmatrix is), wordt de bovenstaande gelijkheid:
$$E\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$
Omdat $E\cdot X=X$ geldt:
$$X=A^(-1)\cdot B.$$
Voorbeeld nr. 1
Los de SLAE $ \left \( \begin(uitgelijnd) & -5x_1+7x_2=29;\\ & 9x_1+8x_2=-11. \end(uitgelijnd) \right.$ op met behulp van de inverse matrix.
$$ A=\left(\begin(matrix) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(matrix)\right);\; B=\left(\begin(matrix) (c) 29\\ -11 \end(matrix)\right);\; X=\left(\begin(matrix) (c) x_1\\ x_2 \end(matrix)\right). $$
Laten we de inverse matrix van de systeemmatrix vinden, d.w.z. Laten we $A^(-1)$ berekenen. In voorbeeld nr. 2
$$ A^(-1)=-\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(matrix)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(matrix)\right) . $$
Laten we nu alle drie de matrices ($X$, $A^(-1)$, $B$) vervangen door de gelijkheid $X=A^(-1)\cdot B$. Vervolgens voeren we matrixvermenigvuldiging uit
$$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(matrix)\right)\cdot \left(\begin(matrix) (c) 29\\ -11 \end(matrix)\right)=\\ =-\frac (1)(103)\cdot \left(\begin(matrix) (c) 8\cdot 29+(-7)\cdot (-11)\\ -9\cdot 29+(-5)\cdot (- 11) \end(matrix)\right)= -\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(matrix) (c) 309\\ -206 \end(matrix)\right)=\left( \begin(matrix) (c) -3\\ 2\end(matrix)\right). $$
We hebben dus de gelijkheid $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) -3\\ 2\end( array )\right)$. Uit deze gelijkheid vinden we: $x_1=-3$, $x_2=2$.
Antwoord: $x_1=-3$, $x_2=2$.
Voorbeeld nr. 2
SLAE $ \left\(\begin(uitgelijnd) & x_1+7x_2+3x_3=-1;\\ & -4x_1+9x_2+4x_3=0;\\ & 3x_2+2x_3=6. \end(uitgelijnd)\right .$ met behulp van de inverse matrixmethode.
Laten we de matrix van het systeem $A$, de matrix van vrije termen $B$ en de matrix van onbekenden $X$ opschrijven.
$$ A=\left(\begin(matrix) (ccc) 1 & 7 & 3\\ -4 & 9 & 4 \\0 & 3 & 2\end(matrix)\right);\; B=\left(\begin(matrix) (c) -1\\0\\6\end(matrix)\right);\; X=\left(\begin(matrix) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(matrix)\right). $$
Nu is het de beurt om de inverse matrix van de systeemmatrix te vinden, d.w.z. zoek $A^(-1)$. In voorbeeld nr. 3 op de pagina gewijd aan het vinden van inverse matrices is de inverse matrix al gevonden. Laten we het eindresultaat gebruiken en $A^(-1)$ schrijven:
$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(matrix) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\eind(matrix)\rechts). $$
Laten we nu alle drie de matrices ($X$, $A^(-1)$, $B$) vervangen door de gelijkheid $X=A^(-1)\cdot B$, en vervolgens de matrixvermenigvuldiging aan de rechterkant uitvoeren van deze gelijkheid.
$$ \left(\begin(matrix) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(matrix)\right)= \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(matrix) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(matrix) \right)\cdot \left(\begin(matrix) (c) -1\\0\ \6\end(matrix)\right)=\\ =\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(matrix) (c) 6\cdot(-1)+(-5)\cdot 0 +1\cdot 6 \\ 8\cdot (-1)+2\cdot 0+(-16)\cdot 6 \\ -12\cdot (-1)+(-3)\cdot 0+37\cdot 6 \end(matrix)\right)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(matrix) (c) 0\\-104\\234\end(matrix)\right)=\left( \begin(matrix) (c) 0\\-4\\9\end(matrix)\right) $$
We hebben dus de gelijkheid $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) 0\\-4 \ \9\end(array)\right)$. Uit deze gelijkheid hebben we: $x_1=0$, $x_2=-4$, $x_3=9$.
Doel van de dienst. Met deze online rekenmachine worden onbekenden (x 1, x 2, ..., x n) berekend in een stelsel van vergelijkingen. Het besluit wordt uitgevoerd inverse matrixmethode. Waarin:- de determinant van de matrix A wordt berekend;
- door algebraïsche optellingen wordt de inverse matrix A -1 gevonden;
- er wordt een oplossingssjabloon gemaakt in Excel;
Instructies. Om een oplossing te verkrijgen met behulp van de inverse matrixmethode, moet u de dimensie van de matrix specificeren. Vul vervolgens in een nieuw dialoogvenster matrix A en de vector van resultaten B in.
Zie ook Matrixvergelijkingen oplossen.Oplossingsalgoritme
- De determinant van de matrix A wordt berekend. Als de determinant nul is, is de oplossing voorbij. Het systeem heeft een oneindig aantal oplossingen.
- Wanneer de determinant verschillend is van nul, wordt de inverse matrix A -1 gevonden door middel van algebraïsche optellingen.
- De oplossingsvector X =(x 1, x 2, ..., x n) wordt verkregen door de inverse matrix te vermenigvuldigen met de resultaatvector B.
Algebraïsche toevoegingen.
| A 1,1 = (-1) 1+1 |
| ∆ 1,1 = (1 (-2)-0 2) = -2 |
| A 1,2 = (-1) 1+2 |
| ∆ 1,2 = -(3 (-2)-1 2) = 8 |
| Een 1,3 = (-1) 1+3 |
| ∆ 1,3 = (3 0-1 1) = -1 |
| A2,1 = (-1) 2+1 |
| ∆ 2,1 = -(-2 (-2)-0 1) = -4 |
| A2,2 = (-1) 2+2 |
| ∆ 2,2 = (2 (-2)-1 1) = -5 |
| A2,3 = (-1) 2+3 |
| ∆ 2,3 = -(2 0-1 (-2)) = -2 |
| Een 3,1 = (-1) 3+1 |
| ∆ 3,1 = (-2 2-1 1) = -5 |
| 3 |
| -2 |
| -1 |
XT = (1,0,1)
x 1 = -21 / -21 = 1
x 2 = 0 / -21 = 0
x 3 = -21 / -21 = 1
Inspectie:
2 1+3 0+1 1 = 3
-2 1+1 0+0 1 = -2
1 1+2 0+-2 1 = -1