Uitbreiding van een functie naar een serie Taylor, Maclaurin en Laurent op een site voor het trainen van praktische vaardigheden. Deze reeksuitbreiding van een functie stelt wiskundigen in staat de geschatte waarde van de functie op een bepaald punt in het definitiedomein te schatten. Het is veel eenvoudiger om zo’n functiewaarde te berekenen vergeleken met het gebruik van de Bredis-tabel, die in deze eeuw zo irrelevant is computer technologie. Het uitbreiden van een functie naar een Taylorreeks betekent het berekenen van de coëfficiënten van de lineaire functies van deze reeks en het schrijven hiervan correcte vorm. Studenten verwarren deze twee series en begrijpen niet wat het is algemeen geval, en wat is een speciaal geval van de tweede. We herinneren je voor eens en altijd aan de Maclaurin-serie: speciaal geval Taylorreeks, dat wil zeggen, dit is de Taylorreeks, maar op het punt x = 0. Alle korte vermeldingen voor de uitbreiding van bekende functies, zoals e^x, Sin(x), Cos(x) en andere, zijn Taylorreeksuitbreidingen , maar op punt 0 voor het argument. Voor functies van een complex argument is de Laurent-reeks het meest voorkomende probleem in TFCT, omdat deze een tweezijdige eindeloze reeksen. Het is de som van twee reeksen. We raden u aan een voorbeeld van decompositie rechtstreeks op de website te bekijken; dit is heel eenvoudig te doen door op "Voorbeeld" met een willekeurig nummer te klikken en vervolgens op de knop "Oplossing". Het is precies deze uitbreiding van een functie naar een reeks die geassocieerd is met een majoriserende reeks die de oorspronkelijke functie in een bepaald gebied langs de ordinaat beperkt als de variabele tot het abscisgebied behoort. Vectoranalyse wordt vergeleken met een andere interessante discipline in de wiskunde. Omdat elke term moet worden onderzocht, vergt het proces behoorlijk wat tijd. Elke Taylorreeks kan geassocieerd worden met een Maclaurinreeks door x0 te vervangen door nul, maar voor een Maclaurinreeks is het soms niet voor de hand liggend om de Taylorreeks in omgekeerde volgorde weer te geven. Het maakt niet uit hoeveel dit moet gebeuren Zuivere vorm, maar interessant voor algemene zelfontwikkeling. Elke Laurentreeks komt overeen met een tweezijdige oneindige machtreeks in gehele getallen bevoegdheden z-a Met andere woorden, een reeks van hetzelfde Taylor-type, maar iets anders in de berekening van coëfficiënten. We zullen het iets later hebben over het convergentiegebied van de Laurent-reeks, na verschillende theoretische berekeningen. Net als in de vorige eeuw kan een stapsgewijze uitbreiding van een functie naar een reeks nauwelijks worden bereikt door simpelweg de termen onder een gemeenschappelijke noemer te brengen, aangezien de functies in de noemers niet-lineair zijn. Bij het formuleren van problemen is een benaderende berekening van de functionele waarde vereist. Denk eens aan het feit dat wanneer het argument van een Taylorreeks een lineaire variabele is, de uitbreiding in verschillende stappen plaatsvindt, maar het beeld compleet anders is wanneer het argument van de functie die wordt uitgebreid een complexe of niet-lineaire functie is, en het proces van Het is voor de hand liggend om zo'n functie in een machtreeks weer te geven, omdat het op deze manier dus gemakkelijk is om op elk punt in het definitiegebied te berekenen, ook al is het een geschatte waarde, met een minimale fout die weinig effect heeft op verdere berekeningen. Dit geldt ook voor de Maclaurin-serie. wanneer het nodig is om de functie op het nulpunt te berekenen. De Laurent-serie zelf wordt hier echter weergegeven door een uitbreiding op het vlak met denkbeeldige eenheden. Het zal ook niet zonder succes blijven juiste oplossing taken tijdens het totale proces. Deze benadering is niet bekend in de wiskunde, maar bestaat objectief gezien. Als gevolg hiervan kun je tot de conclusie komen van de zogenaamde puntsgewijze deelverzamelingen, en bij de uitbreiding van een functie in een reeks moet je methoden gebruiken die bekend zijn voor dit proces, zoals de toepassing van de theorie van afgeleiden. Opnieuw zijn we ervan overtuigd dat de leraar gelijk had, die zijn aannames deed over de resultaten van post-computationele berekeningen. Laten we opmerken dat de Taylor-reeks, verkregen volgens alle canons van de wiskunde, bestaat en gedefinieerd is op de gehele numerieke as, maar beste gebruikers van de siteservice, vergeet het type van de oorspronkelijke functie niet, want het kan blijken dat het in eerste instantie nodig is om het domein van de definitie van de functie vast te stellen, dat wil zeggen, die punten op te schrijven en uit te sluiten waarop de functie niet gedefinieerd is in het domein van reële getallen. Dit zal bij wijze van spreken aantonen dat u efficiënt bent bij het oplossen van het probleem. De constructie van een Maclaurin-reeks met een nulargumentwaarde zal geen uitzondering zijn op wat er is gezegd. Het proces van het vinden van het domein van de definitie van een functie is niet geannuleerd, en je moet deze wiskundige bewerking met alle ernst benaderen. In het geval van een Laurent-reeks die het hoofdonderdeel bevat, wordt de parameter "a" een geïsoleerd singulier punt genoemd, en wordt de Laurent-reeks uitgebreid in een ring - dit is het snijpunt van de convergentiegebieden van zijn delen, vandaar de overeenkomstige stelling zal volgen. Maar niet alles is zo ingewikkeld als het op het eerste gezicht lijkt voor een onervaren student. Nadat je de Taylor-serie hebt bestudeerd, kun je de Laurent-serie gemakkelijk begrijpen - een algemeen voorbeeld van het uitbreiden van de ruimte van getallen. Elke reeksuitbreiding van een functie kan alleen worden uitgevoerd op een punt in het domein van de definitie van de functie. Er moet rekening worden gehouden met eigenschappen van functies zoals periodiciteit of oneindige differentieerbaarheid. We raden u ook aan de tabel met kant-en-klare uitbreidingen van de Taylor-serie te gebruiken elementaire functies, aangezien één functie kan worden weergegeven door maximaal tientallen verschillende machtreeksen, zoals blijkt uit het gebruik van onze online rekenmachine. Online-serie Het bepalen van Maclaurin is net zo eenvoudig als het pellen van peren. Als u de unieke service van de site gebruikt, hoeft u alleen maar de juiste schriftelijke functie in te voeren en ontvangt u binnen enkele seconden het gepresenteerde antwoord. Het is gegarandeerd accuraat en in een standaard geschreven vorm. U kunt het resultaat rechtstreeks kopiëren naar een schone kopie, zodat u deze kunt indienen bij de docent. Het zou juist zijn om eerst de analytischheid van de functie in kwestie in ringen te bepalen, en vervolgens ondubbelzinnig te stellen dat deze in al dergelijke ringen uitbreidbaar is in een Laurent-reeks. Het is belangrijk om de termen van de Laurent-reeks die negatieve krachten bevatten niet uit het oog te verliezen. Concentreer u hier zoveel mogelijk op. Maak goed gebruik van de stelling van Laurent over de uitbreiding van een functie in gehele machten.
Studenten van hogere wiskunde moeten weten dat de som van een bepaald getal is kracht series, behorend tot het convergentie-interval van de ons gegeven reeks, blijkt een continu en oneindig aantal keren gedifferentieerde functie te zijn. De vraag rijst: is het mogelijk om te zeggen dat een gegeven willekeurige functie f(x) de som is van een bepaalde machtreeks? Dat wil zeggen: onder welke omstandigheden kan de functie f(x) worden weergegeven door een machtreeks? Het belang van deze vraag ligt in het feit dat het mogelijk is om de functie f(x) bij benadering te vervangen door de som van de eerste paar termen van een machtreeks, dat wil zeggen een polynoom. Deze vervanging van een functie door een vrij eenvoudige uitdrukking - een polynoom - is ook handig bij het oplossen van bepaalde problemen, namelijk: bij het oplossen van integralen, bij het berekenen, enz.
Het is bewezen dat voor een bepaalde functie f(x), waarin het mogelijk is om afgeleiden tot in de (n+1)de orde, inclusief de laatste, te berekenen in de buurt van (α - R; x 0 + R ) op een bepaald punt x = α, het is waar dat de formule:
Deze formule is vernoemd naar de beroemde wetenschapper Brooke Taylor. De serie die uit de vorige is verkregen, wordt de Maclaurin-serie genoemd:
De regel die het mogelijk maakt om een uitbreiding uit te voeren in een Maclaurin-serie:
R n (x) -> 0 bij n -> oneindig. Als er een bestaat, moet de functie f(x) daarin samenvallen met de som van de Maclaurin-reeks.
Laten we nu de Maclaurin-serie bekijken voor individuele functies.
1. De eerste is dus f(x) = e x. Natuurlijk heeft zo'n functie door zijn kenmerken afgeleiden van zeer verschillende ordes, en f (k) (x) = e x , waarbij k gelijk is aan alles. We krijgen f (k) (0) = e 0 =1, k = 1,2... Op basis van het bovenstaande ziet de reeks e x er als volgt uit:
2. Maclaurinreeks voor de functie f(x) = sin x. Laten we meteen verduidelijken dat de functie voor alle onbekenden afgeleiden zal hebben, bovendien f "(x) = cos x = sin(x+n/2), f "" (x) = -sin x = sin(x + 2*n/2)..., f (k) (x) = sin(x+k*n/2), waarbij k gelijk is aan elke natuurlijk nummer. Dat wil zeggen, nadat we eenvoudige berekeningen hebben gemaakt, kunnen we tot de conclusie komen dat de reeks voor f(x) = sin x de volgende vorm zal hebben:
3. Laten we nu proberen de functie f(x) = cos x te beschouwen. Voor alle onbekenden heeft het afgeleiden van willekeurige volgorde, en |f (k) (x)| = |cos(x+k*n/2)|