In de economie, maar ook op andere terreinen menselijke activiteit of in de natuur hebben we voortdurend te maken met gebeurtenissen die niet nauwkeurig kunnen worden voorspeld. Het verkoopvolume van een product hangt dus af van de vraag, die aanzienlijk kan variëren, en van een aantal andere factoren waarmee bijna geen rekening kan worden gehouden. Daarom moet je bij het organiseren van de productie en het uitvoeren van verkopen de uitkomst van dergelijke activiteiten voorspellen op basis van je eigen eerdere ervaringen, of soortgelijke ervaringen van andere mensen, of intuïtie, die voor een groot deel ook afhankelijk is van experimentele gegevens.
Om de gebeurtenis in kwestie op de een of andere manier te kunnen evalueren, is het noodzakelijk om rekening te houden met de omstandigheden waarin deze gebeurtenis wordt opgenomen of deze speciaal te organiseren.
Het implementeren van bepaalde voorwaarden of acties om de gebeurtenis in kwestie te identificeren, wordt genoemd ervaring of experiment.
Het evenement heet willekeurig, als dit als gevolg van ervaring wel of niet kan voorkomen.
Het evenement heet betrouwbaar, als het noodzakelijkerwijs het resultaat is van een bepaalde ervaring, en onmogelijk, als het niet in deze ervaring kan verschijnen.
Sneeuwval in Moskou op 30 november is bijvoorbeeld een willekeurige gebeurtenis. De dagelijkse zonsopgang kan als een betrouwbare gebeurtenis worden beschouwd. Sneeuwval op de evenaar kan als een onmogelijke gebeurtenis worden beschouwd.
Een van de belangrijkste taken in de waarschijnlijkheidstheorie is het bepalen van een kwantitatieve maatstaf voor de mogelijkheid dat een gebeurtenis plaatsvindt.
Algebra van gebeurtenissen
Gebeurtenissen worden onverenigbaar genoemd als ze niet samen in dezelfde ervaring kunnen worden waargenomen. De aanwezigheid van twee en drie auto's in één winkel die tegelijkertijd te koop zijn, zijn dus twee onverenigbare gebeurtenissen.
Hoeveelheid Gebeurtenissen zijn gebeurtenissen die bestaan uit het optreden van ten minste één van deze gebeurtenissen
Een voorbeeld van de som van gebeurtenissen is de aanwezigheid van ten minste één van twee producten in de winkel.
Het werk gebeurtenissen is een gebeurtenis die bestaat uit het gelijktijdig optreden van al deze gebeurtenissen
Een gebeurtenis die bestaat uit de verschijning van twee goederen tegelijk in een winkel is een product van gebeurtenissen: - de verschijning van het ene product, - de verschijning van een ander product.
Gebeurtenissen vormen een complete groep gebeurtenissen als ten minste één ervan zeker zal plaatsvinden in de ervaring.
Voorbeeld. De haven beschikt over twee ligplaatsen voor het ontvangen van schepen. Er kan worden gedacht aan drie gebeurtenissen: - de afwezigheid van schepen op de ligplaatsen, - de aanwezigheid van één schip op een van de ligplaatsen, - de aanwezigheid van twee schepen op twee ligplaatsen. Deze drie evenementen vormen een complete groep evenementen.
Tegenovergestelde Er worden twee unieke mogelijke gebeurtenissen genoemd die een complete groep vormen.
Als een van de tegengestelde gebeurtenissen wordt aangegeven met , dan wordt de tegenovergestelde gebeurtenis gewoonlijk aangegeven met .
Klassieke en statistische definities van de waarschijnlijkheid van gebeurtenissen
Elk van de even mogelijke resultaten van tests (experimenten) wordt een elementaire uitkomst genoemd. Ze worden meestal aangeduid met letters. Er wordt bijvoorbeeld een dobbelsteen gegooid. Er kunnen in totaal zes elementaire uitkomsten zijn, gebaseerd op het aantal punten aan de zijkanten.
Van elementaire uitkomsten kun je een complexere gebeurtenis creëren. Het geval van een even aantal punten wordt dus bepaald door drie uitkomsten: 2, 4, 6.
Een kwantitatieve maatstaf voor de mogelijkheid dat de gebeurtenis in kwestie plaatsvindt, is de waarschijnlijkheid.
De meest gebruikte definities van de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis zijn: klassiek En statistisch.
De klassieke definitie van waarschijnlijkheid wordt geassocieerd met het concept van een gunstige uitkomst.
De uitkomst wordt genoemd gunstig deze gebeurtenis, als de verschijning ervan het optreden van deze gebeurtenis met zich meebrengt.
In het bovenstaande voorbeeld heeft de gebeurtenis in kwestie – een even aantal punten aan de opgerolde kant – drie gunstige uitkomsten. In dit geval de generaal
hoeveelheid Mogelijke resultaten. Dus hier kun je gebruik van maken klassieke definitie waarschijnlijkheid van een gebeurtenis.
Klassieke definitie is gelijk aan de verhouding tussen het aantal gunstige uitkomsten en het totaal aantal mogelijke uitkomsten
waarbij de waarschijnlijkheid van de gebeurtenis is, het aantal gunstige uitkomsten voor de gebeurtenis en het totale aantal mogelijke uitkomsten.
In het beschouwde voorbeeld
De statistische definitie van waarschijnlijkheid houdt verband met het concept van de relatieve frequentie van voorkomen van een gebeurtenis in experimenten.
De relatieve frequentie van voorkomen van een gebeurtenis wordt berekend met behulp van de formule
waarbij is het aantal keren dat een gebeurtenis voorkomt in een reeks experimenten (tests).
Statistische definitie. De waarschijnlijkheid van een gebeurtenis is het getal waarrond de relatieve frequentie zich stabiliseert (sets) bij een onbeperkte toename van het aantal experimenten.
IN praktische problemen de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis wordt beschouwd als de relatieve frequentie bij een voldoende groot aantal pogingen.
Uit deze definities van de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis blijkt duidelijk dat er altijd aan de ongelijkheid wordt voldaan
Om de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis te bepalen op basis van formule (1.1), worden vaak combinatorische formules gebruikt, die worden gebruikt om het aantal gunstige uitkomsten en het totale aantal mogelijke uitkomsten te vinden.
waarschijnlijkheid- een getal tussen 0 en 1 dat de kans weergeeft dat een willekeurige gebeurtenis zal plaatsvinden, waarbij 0 de volledige afwezigheid van waarschijnlijkheid is dat de gebeurtenis zal plaatsvinden, en 1 betekent dat de betreffende gebeurtenis zich zeker zal voordoen.
De waarschijnlijkheid van gebeurtenis E is een getal van tot 1.
De som van de kansen op elkaar uitsluitende gebeurtenissen is gelijk aan 1.
empirische waarschijnlijkheid- waarschijnlijkheid, die wordt berekend als de relatieve frequentie van een gebeurtenis in het verleden, ontleend aan de analyse van historische gegevens.
De waarschijnlijkheid van zeer zeldzame gebeurtenissen kan niet empirisch worden berekend.
subjectieve waarschijnlijkheid- waarschijnlijkheid gebaseerd op een persoonlijke subjectieve beoordeling van een gebeurtenis zonder rekening te houden met historische gegevens. Beleggers die besluiten om aandelen te kopen en verkopen, handelen vaak op basis van subjectieve waarschijnlijkheidsoverwegingen.
voorafgaande waarschijnlijkheid -
De kans is 1 op... (kans) dat een gebeurtenis zal plaatsvinden via het concept van waarschijnlijkheid. De kans dat een gebeurtenis plaatsvindt, wordt als volgt uitgedrukt in waarschijnlijkheid: P/(1-P).
Als de kans op een gebeurtenis bijvoorbeeld 0,5 is, dan is de kans op de gebeurtenis 1 op 2, omdat 0,5/(1-0,5).
De kans dat een gebeurtenis zich niet voordoet, wordt berekend met de formule (1-P)/P
Inconsistente waarschijnlijkheid- de prijs van aandelen van bedrijf A houdt bijvoorbeeld voor 85% rekening met mogelijke gebeurtenis E, en de prijs van aandelen van bedrijf B houdt slechts voor 50% rekening. Dit wordt inconsistente waarschijnlijkheid genoemd. Volgens het Nederlandse Betting Theorem creëert inconsistente waarschijnlijkheid winstmogelijkheden.
Onvoorwaardelijke waarschijnlijkheid is het antwoord op de vraag: “Hoe groot is de kans dat de gebeurtenis zal plaatsvinden?”
Voorwaardelijke waarschijnlijkheid- dit is het antwoord op de vraag: “Wat is de waarschijnlijkheid van gebeurtenis A als gebeurtenis B plaatsvindt.” Voorwaardelijke waarschijnlijkheid wordt aangegeven als P(A|B).
Gezamenlijke waarschijnlijkheid- de waarschijnlijkheid dat gebeurtenissen A en B gelijktijdig zullen plaatsvinden. Aangeduid als P(AB).
P(A|B) = P(AB)/P(B) (1)
P(AB) = P(A|B)*P(B)
Regel voor het optellen van kansen:
De waarschijnlijkheid dat gebeurtenis A of gebeurtenis B zal plaatsvinden is gelijk aan:
P (A of B) = P(A) + P(B) - P(AB) (2)
Als gebeurtenissen A en B elkaar wederzijds uitsluiten, dan
P (A of B) = P(A) + P(B)
Onafhankelijke evenementen- gebeurtenissen A en B zijn onafhankelijk als
P(A|B) = P(A), P(B|A) = P(B)
Dat wil zeggen, het is een reeks resultaten waarbij de waarschijnlijkheidswaarde constant is van de ene gebeurtenis tot de volgende.
Een toss met munten is een voorbeeld van zo'n gebeurtenis: het resultaat van elke volgende worp is niet afhankelijk van het resultaat van de vorige.
Afhankelijke gebeurtenissen- dit zijn gebeurtenissen waarbij de waarschijnlijkheid van het optreden van de ene afhangt van de waarschijnlijkheid van het optreden van een andere.
De regel voor het vermenigvuldigen van de kansen op onafhankelijke gebeurtenissen:
Als gebeurtenissen A en B onafhankelijk zijn, dan
P(AB) = P(A) * P(B) (3)
Regel volledige waarschijnlijkheid:
P(A) = P(AS) + P(AS") = P(A|S")P(S) + P (A|S")P(S") (4)
S en S" zijn elkaar uitsluitende gebeurtenissen
verwachte waarde willekeurige variabele is het gemiddelde van mogelijke uitkomsten willekeurige variabele. Voor gebeurtenis X wordt de verwachting aangegeven als E(X).
Laten we zeggen dat we 5 waarden hebben van elkaar uitsluitende gebeurtenissen met een bepaalde waarschijnlijkheid (het inkomen van een bedrijf was bijvoorbeeld zo'n en zo'n bedrag met zo'n waarschijnlijkheid). De verwachte waarde is de som van alle uitkomsten vermenigvuldigd met hun waarschijnlijkheid:
Dispersie van een willekeurige variabele is de verwachting van vierkante afwijkingen van een willekeurige variabele van zijn verwachting:
s 2 = E( 2 ) (6)
Voorwaardelijke verwachte waarde is de verwachte waarde van een willekeurige variabele X, op voorwaarde dat de gebeurtenis S al heeft plaatsgevonden.
Alles in de wereld gebeurt deterministisch of toevallig...
Aristoteles
Waarschijnlijkheid: basisregels
De waarschijnlijkheidstheorie berekent de waarschijnlijkheid van verschillende gebeurtenissen. Fundamenteel voor de waarschijnlijkheidstheorie is het concept van een willekeurige gebeurtenis.
Als je bijvoorbeeld een munt gooit, komt deze willekeurig op een kop of een staart terecht. Je weet van tevoren niet aan welke kant de munt zal landen. U sluit een verzekeringsovereenkomst; u weet vooraf niet of er wel of niet wordt uitgekeerd.
Bij actuariële berekeningen moet je de waarschijnlijkheid van verschillende gebeurtenissen kunnen inschatten, dus de waarschijnlijkheidstheorie speelt een sleutelrol. Geen enkele andere tak van de wiskunde kan omgaan met de waarschijnlijkheid van gebeurtenissen.
Laten we het opgooien van een munt eens nader bekijken. Er zijn twee elkaar uitsluitende uitkomsten: het wapen valt uit of de staarten vallen uit. De uitkomst van de worp is willekeurig, omdat de waarnemer niet alle factoren die het resultaat beïnvloeden, kan analyseren en er rekening mee kan houden. Hoe groot is de kans dat het wapen uitvalt? De meesten zullen ½ antwoorden, maar waarom?
Laat het formeel zijn A duidt op het verlies van het wapen. Laat de munt gooien N eenmaal. Dan de waarschijnlijkheid van de gebeurtenis A kan worden gedefinieerd als het aandeel van die worpen dat resulteert in een wapen:
Waar N totaal aantal worpen, n(A) aantal wapendruppels.
Relatie (1) wordt aangeroepen frequentie evenementen A in een lange reeks tests.
Het blijkt dat in verschillende reeksen tests de overeenkomstige frequentie in het algemeen aanwezig is N clustert rond een constante waarde VADER). Deze hoeveelheid wordt genoemd waarschijnlijkheid van een gebeurtenis A en wordt aangeduid met de letter R- afkorting voor Engels woord waarschijnlijkheid - waarschijnlijkheid.
Formeel hebben we:
(2)
Deze wet heet wet van de grote aantallen.
Als de munt eerlijk (symmetrisch) is, dan is de kans op het krijgen van een wapen gelijk aan de kans op kop en gelijk aan ½.
Laten A En IN bepaalde gebeurtenissen, bijvoorbeeld of er al dan niet een verzekerde gebeurtenis heeft plaatsgevonden. De vereniging van twee gebeurtenissen is een gebeurtenis die bestaat uit de uitvoering van een gebeurtenis A, evenementen IN, of beide evenementen samen. Het kruispunt van twee gebeurtenissen A En IN een gebeurtenis genoemd, bestaande uit de implementatie als een gebeurtenis A en evenementen IN.
Basisregels De berekening van de waarschijnlijkheden van gebeurtenissen is als volgt:
1. De waarschijnlijkheid van welke gebeurtenis dan ook ligt tussen nul en één:
2. Laat A en B twee gebeurtenissen zijn, dan:
Het luidt als volgt: de waarschijnlijkheid dat twee gebeurtenissen samenkomen is gelijk aan de som van de kansen op deze gebeurtenissen minus de waarschijnlijkheid dat de gebeurtenissen elkaar kruisen. Als de gebeurtenissen onverenigbaar zijn of elkaar niet overlappen, is de waarschijnlijkheid van de combinatie (som) van twee gebeurtenissen gelijk aan de som van de kansen. Deze wet wordt de wet genoemd toevoeging waarschijnlijkheden.
We zeggen dat een gebeurtenis betrouwbaar is als de waarschijnlijkheid ervan gelijk is aan 1. Bij het analyseren van bepaalde verschijnselen rijst de vraag hoe het optreden van een gebeurtenis de IN bij het plaatsvinden van een gebeurtenis A. Om dit te doen, voert u in voorwaardelijke waarschijnlijkheid :
(4)
Het luidt als volgt: waarschijnlijkheid van voorkomen A gezien dat IN gelijk is aan de kans op kruispunt A En IN, gedeeld door de waarschijnlijkheid van de gebeurtenis IN.
Formule (4) gaat ervan uit dat de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis IN Boven nul.
Formule (4) kan ook worden geschreven als:
(5)
Dit is de formule kansen vermenigvuldigen.
Voorwaardelijke waarschijnlijkheid wordt ook wel genoemd a posteriori waarschijnlijkheid van een gebeurtenis A- waarschijnlijkheid van voorkomen A na het offensief IN.
In dit geval wordt de waarschijnlijkheid zelf genoemd a priori waarschijnlijkheid. Er zijn verschillende andere belangrijke formules die intensief worden gebruikt bij actuariële berekeningen.
Totale waarschijnlijkheidsformule
Laten we aannemen dat er een experiment wordt uitgevoerd waarvan de voorwaarden vooraf kunnen worden bepaald onderling elkaar uitsluitende aannames (hypothesen):
We gaan ervan uit dat er een hypothese is, of...of. De waarschijnlijkheden van deze hypothesen zijn bekend en gelijk:
Dan geldt de formule vol waarschijnlijkheden :
(6)
Waarschijnlijkheid dat een gebeurtenis plaatsvindt A gelijk aan de som van de producten van de waarschijnlijkheid van optreden A voor elke hypothese over de waarschijnlijkheid van deze hypothese.
Bayes-formule
Bayes-formule
maakt het mogelijk de waarschijnlijkheid van hypothesen opnieuw te berekenen in het licht van nieuwe informatie die door het resultaat wordt verstrekt A.
De formule van Bayes in zekere zin is het omgekeerde van de totale waarschijnlijkheidsformule.
Beschouw het volgende praktische probleem.
Probleem 1
Stel dat er een vliegtuigongeluk plaatsvindt en experts zijn druk bezig met het onderzoeken van de oorzaken ervan. Vier redenen waarom de ramp zich heeft voorgedaan zijn vooraf bekend: óf de oorzaak, óf, óf, óf. Volgens de beschikbare statistieken hebben deze redenen de volgende kansen:
Bij het onderzoeken van de crashlocatie werden volgens de statistieken sporen van brandstofontsteking gevonden, de waarschijnlijkheid van deze gebeurtenis om de een of andere reden is als volgt:
Vraag: wat is de meest waarschijnlijke oorzaak van de ramp?
Laten we de kansen op oorzaken berekenen onder de omstandigheden van het optreden van een gebeurtenis A.
Hieruit blijkt dat de meest waarschijnlijke reden de eerste is, aangezien de waarschijnlijkheid maximaal is.
Probleem 2
Denk aan een vliegtuig dat landt op een vliegveld.
Bij de landing weer kan als volgt zijn: geen lage bewolking (), lage bewolking ja (). In het eerste geval is de kans op een veilige landing groot P1. In het tweede geval - P2. Het is duidelijk dat P1>P2.
Apparaten die een blinde landing mogelijk maken, hebben een kans op een probleemloze werking R. Als er weinig bewolking is en de blinde landingsinstrumenten hebben gefaald, is de kans op een succesvolle landing groot P3, En P3<Р2 . Het is bekend dat voor een bepaald vliegveld het aantal dagen in een jaar met lage bewolking gelijk is aan .
Bereken de kans dat het vliegtuig veilig landt.
We moeten de waarschijnlijkheid vinden.
Er zijn twee opties die elkaar uitsluitend uitsluiten: de blinde landingsapparaten werken, de blinde landingsapparaten zijn defect, dus we hebben:
Dus volgens de totale waarschijnlijkheidsformule:
Probleem 3
Een verzekeringsmaatschappij biedt levensverzekeringen aan. 10% van de verzekerden bij deze maatschappij zijn rokers. Als de verzekerde niet rookt, is de kans dat hij in de loop van het jaar overlijdt 0,01. Als hij rookt, is deze kans 0,05.
Wat is het aandeel rokers onder de verzekerden die in de loop van het jaar zijn overleden?
Mogelijke antwoorden: (A) 5%, (B) 20%, (C) 36%, (D) 56%, (E) 90%.
Oplossing
Laten we de gebeurtenissen invoeren:
De toestand van het probleem betekent dat
Bovendien, aangezien de gebeurtenissen een complete groep van paarsgewijze incompatibele gebeurtenissen vormen, is .
De waarschijnlijkheid waarin we geïnteresseerd zijn is .
Met behulp van de formule van Bayes vinden we:
daarom is de juiste optie ( IN).
Probleem 4
De verzekeringsmaatschappij verkoopt levensverzekeringscontracten in drie categorieën: standaard, preferent en ultra-bevoorrecht.
50% van alle verzekerden is standaard verzekerd, 40% heeft de voorkeur en 10% is ultrabevoorrecht.
De kans op overlijden binnen een jaar voor een standaardverzekerde is 0,010, voor een bevoorrechte - 0,005 en voor een ultra-bevoorrechte - 0,001.
Hoe groot is de kans dat de overleden verzekerde ultrabevoorrecht is?
Oplossing
Laten we de volgende gebeurtenissen in overweging nemen:
In termen van deze gebeurtenissen is de waarschijnlijkheid waarin we geïnteresseerd zijn . Op voorwaarde:
Omdat de gebeurtenissen , , een complete groep van paarsgewijze incompatibele gebeurtenissen vormen, hebben we met behulp van de formule van Bayes:
Willekeurige variabelen en hun kenmerken
Laat het een willekeurige variabele zijn, bijvoorbeeld schade door brand of het bedrag aan verzekeringsuitkeringen.
Een willekeurige variabele wordt volledig gekenmerkt door zijn distributiefunctie.
Definitie. Functie 
genaamd Distributie functie
willekeurige variabele ξ
.
Definitie. Als er een functie is die voor willekeurig is A klaar
dan zeggen ze dat de willekeurige variabele ξ Het heeft waarf(x).
Definitie. Laten . Voor een continue distributiefunctie F theoretisch α-kwantiel wordt de oplossing van de vergelijking genoemd.
Deze oplossing is wellicht niet de enige.
Kwantielniveau ½ theoretisch genoemd mediaan , kwantielniveaus ¼ En ¾ -onderste en bovenste kwartielen respectievelijk.
Bij actuariële toepassingen speelt het een belangrijke rol Chebyshevs ongelijkheid:
op enige
Symbool van wiskundige verwachting.
Het luidt als volgt: de waarschijnlijkheid dat de modulus groter is dan of gelijk is aan de wiskundige verwachting van de modulus gedeeld door .
Levensduur als willekeurige variabele
De onzekerheid over het moment van overlijden is een belangrijke risicofactor bij levensverzekeringen.
Er kan niets definitiefs worden gezegd over het moment van overlijden van een individu. Als we echter te maken hebben met een grote homogene groep mensen en niet geïnteresseerd zijn in het lot van individuele mensen uit deze groep, dan bevinden we ons binnen het raamwerk van de waarschijnlijkheidstheorie als de wetenschap van massale willekeurige verschijnselen die de eigenschap hebben van frequentiestabiliteit. .
Respectievelijk, we kunnen over de levensverwachting spreken als een willekeurige variabele T.
Overlevingsfunctie
Waarschijnlijkheidstheorie beschrijft de stochastische aard van elke willekeurige variabele T Distributie functie F(x), die wordt gedefinieerd als de waarschijnlijkheid dat de willekeurige variabele T minder dan aantal X:
.
In de actuariële wiskunde is het prettig om niet met de verdelingsfunctie te werken, maar met de aanvullende verdelingsfunctie 
.
In termen van levensduur is dit de kans dat een persoon oud wordt X jaren.
genaamd overlevingsfunctie(overlevingsfunctie):
De overlevingsfunctie heeft de volgende eigenschappen:
Levenstafels gaan er meestal van uit dat er een aantal zijn leeftijdslimiet (leeftijd beperken) (meestal jaren) en dienovereenkomstig op x>.
Bij het beschrijven van de sterfte door middel van analytische wetten wordt doorgaans aangenomen dat de levensduur onbeperkt is, maar het type en de parameters van de wetten worden zo gekozen dat de kans op leven na een bepaalde leeftijd verwaarloosbaar is.
De overlevingsfunctie heeft een eenvoudige statistische betekenis.
Laten we zeggen dat we (meestal) een groep pasgeborenen observeren, die we observeren en de momenten van hun overlijden kunnen vastleggen.
Laten we het aantal levende vertegenwoordigers van deze groep op leeftijd aangeven met . Dan:
.
Symbool E hier en hieronder gebruikt om wiskundige verwachtingen aan te duiden.
De overlevingsfunctie is dus gelijk aan het gemiddelde aandeel van degenen die overleven tot ze ouder worden uit een vaste groep pasgeborenen.
In de actuariële wiskunde werkt men vaak niet met de overlevingsfunctie, maar met de zojuist geïntroduceerde waarde (het vaststellen van de initiële groepsgrootte).
De overlevingsfunctie kan worden gereconstrueerd uit de dichtheid:
Levensduurkenmerken
Vanuit praktisch oogpunt zijn de volgende kenmerken belangrijk:
1 . Gemiddeld levenslang
,
2
. Spreiding levenslang
,
Waar 
,
als een ontologische categorie weerspiegelt de omvang van de mogelijkheid van het ontstaan van een entiteit onder alle omstandigheden. In tegenstelling tot de wiskundige en logische interpretatie van dit concept, associeert de ontologische wiskunde zichzelf niet met de verplichting tot kwantitatieve expressie. De betekenis van V. wordt onthuld in de context van het begrijpen van determinisme en de aard van ontwikkeling in het algemeen.
Geweldige definitie
Onvolledige definitie ↓
WAARSCHIJNLIJKHEID
concept dat hoeveelheden karakteriseert. de maatstaf voor de mogelijkheid dat een bepaalde gebeurtenis op een bepaald moment zal plaatsvinden voorwaarden. Op wetenschappelijk gebied kennis zijn er drie interpretaties van V. Het klassieke concept van V., dat voortkwam uit de wiskunde. analyse van gokken en het meest volledig ontwikkeld door B. Pascal, J. Bernoulli en P. Laplace, beschouwt winnen als de verhouding tussen het aantal gunstige gevallen en het totale aantal van alle even mogelijke gevallen. Als je bijvoorbeeld een dobbelsteen gooit die zes kanten heeft, kun je verwachten dat elk van deze dobbelstenen met een waarde van 1/6 landt, omdat geen enkele kant voordelen heeft ten opzichte van de andere. Met een dergelijke symmetrie van experimentele uitkomsten wordt speciaal rekening gehouden bij het organiseren van games, maar is relatief zeldzaam bij het bestuderen van objectieve gebeurtenissen in de wetenschap en de praktijk. Klassiek De interpretatie van V. maakte plaats voor statistieken. V.'s concepten, die gebaseerd zijn op de werkelijkheid het observeren van het optreden van een bepaalde gebeurtenis gedurende een langere periode. ervaring onder nauwkeurig vastgestelde omstandigheden. De praktijk bevestigt dat hoe vaker een gebeurtenis plaatsvindt, hoe groter de mate van objectieve mogelijkheid is dat deze plaatsvindt, of B. Daarom statistisch. De interpretatie van V. is gebaseerd op het concept van relateert. frequentie, die experimenteel kan worden bepaald. V. als theorie het concept valt nooit samen met de empirisch bepaalde frequentie, echter in meervoud. In sommige gevallen verschilt het praktisch weinig van het relatieve. frequentie gevonden als gevolg van de duur. observaties. Veel statistici beschouwen V. als een “dubbele” verwijzing. frequenties worden randen statistisch bepaald. studie van observationele resultaten
of experimenten. Minder realistisch was de definitie van V. wat de limiet betreft. frequenties van massa-evenementen of groepen, voorgesteld door R. Mises. Als verdere ontwikkeling van de frequentiebenadering van V. wordt een dispositionele of propensitieve interpretatie van V. naar voren gebracht (K. Popper, J. Hacking, M. Bunge, T. Settle). Volgens deze interpretatie karakteriseert V. bijvoorbeeld de eigenschap van het genereren van omstandigheden. experiment. installaties om een reeks enorme willekeurige gebeurtenissen te verkrijgen. Het is juist deze houding die aanleiding geeft tot fysiek disposities, of predisposities, V. die kunnen worden gecontroleerd met behulp van familieleden. frequentie
Statistisch De interpretatie van V. domineert het wetenschappelijk onderzoek. cognitie, omdat het specifiek weerspiegelt. de aard van de patronen die inherent zijn aan massaverschijnselen van willekeurige aard. In veel gevallen fysiek, biologisch, economisch en demografisch. en andere sociale processen is het noodzakelijk om rekening te houden met de werking van vele willekeurige factoren, die worden gekenmerkt door een stabiele frequentie. Identificatie van deze stabiele frequenties en grootheden. de beoordeling ervan met behulp van V. maakt het mogelijk om de noodzaak bloot te leggen die zich een weg baant door de cumulatieve actie van vele ongevallen. Dit is waar de dialectiek van het transformeren van toeval in noodzaak haar manifestatie vindt (zie F. Engels, in het boek: K. Marx en F. Engels, Works, vol. 20, pp. 535-36).
Logisch of inductief redeneren karakteriseert de relatie tussen de premissen en de conclusie van niet-demonstratief en vooral inductief redeneren. In tegenstelling tot deductie garanderen de premissen van inductie niet de waarheid van de conclusie, maar maken ze deze alleen min of meer plausibel. Deze plausibiliteit kan, met nauwkeurig geformuleerde premissen, soms worden beoordeeld aan de hand van V. De waarde van deze V. wordt meestal bepaald door vergelijking. concepten (groter dan, kleiner dan of gelijk aan), en soms op numerieke wijze. Logisch interpretatie wordt vaak gebruikt om inductief redeneren te analyseren en verschillende systemen van probabilistische logica te construeren (R. Carnap, R. Jeffrey). In de semantiek logische concepten V. wordt vaak gedefinieerd als de mate waarin een bewering wordt bevestigd door andere (bijvoorbeeld een hypothese door de empirische gegevens ervan).
In verband met de ontwikkeling van theorieën over besluitvorming en games, de zogenaamde personalistische interpretatie van V. Hoewel V. tegelijkertijd de mate van geloof van het subject en het optreden van een bepaalde gebeurtenis uitdrukt, moet V. zelf zo worden gekozen dat aan de axioma's van de calculus van V. wordt voldaan. Daarom drukt V. met een dergelijke interpretatie niet zozeer de mate van subjectief, maar eerder redelijk vertrouwen uit. Bijgevolg zullen beslissingen die op basis van dergelijke V. worden genomen, rationeel zijn, omdat ze geen rekening houden met psychologische factoren. kenmerken en neigingen van het onderwerp.
Met epistemologisch t.zr. verschil tussen statistisch, logisch. en personalistische interpretaties van V. is dat als de eerste de objectieve eigenschappen en relaties van massaverschijnselen van willekeurige aard karakteriseert, de laatste twee de kenmerken van het subjectieve, bewuste analyseren. menselijke activiteiten onder omstandigheden van onzekerheid.
WAARSCHIJNLIJKHEID
een van de belangrijkste concepten van de wetenschap, die een bijzondere systemische visie op de wereld, haar structuur, evolutie en kennis karakteriseert. De specificiteit van de probabilistische kijk op de wereld wordt onthuld door de opname van de concepten van willekeur, onafhankelijkheid en hiërarchie (het idee van niveaus in de structuur en bepaling van systemen) tot de basisconcepten van het bestaan.
Ideeën over waarschijnlijkheid ontstonden in de oudheid en hielden verband met de kenmerken van onze kennis, terwijl het bestaan van probabilistische kennis werd erkend, die verschilde van betrouwbare kennis en van valse kennis. De impact van het waarschijnlijkheidsbegrip op het wetenschappelijk denken en op de ontwikkeling van kennis houdt rechtstreeks verband met de ontwikkeling van de waarschijnlijkheidstheorie als wiskundige discipline. De oorsprong van de wiskundige waarschijnlijkheidsleer gaat terug tot de 17e eeuw, toen de ontwikkeling van een kern van concepten dit mogelijk maakte. kwantitatieve (numerieke) kenmerken en het uitdrukken van een probabilistisch idee.
In de tweede helft vinden intensieve toepassingen van waarschijnlijkheid op de ontwikkeling van cognitie plaats. 19 - 1e verdieping 20ste eeuw Waarschijnlijkheid is doorgedrongen in de structuren van fundamentele natuurwetenschappen als de klassieke statistische natuurkunde, genetica, kwantumtheorie en cybernetica (informatietheorie). Dienovereenkomstig personifieert waarschijnlijkheid dat stadium in de ontwikkeling van de wetenschap, dat nu wordt gedefinieerd als niet-klassieke wetenschap. Om de nieuwheid en kenmerken van de probabilistische manier van denken te onthullen, is het noodzakelijk om uit te gaan van een analyse van het onderwerp van de waarschijnlijkheidstheorie en de grondslagen van de talrijke toepassingen ervan. Waarschijnlijkheidstheorie wordt gewoonlijk gedefinieerd als een wiskundige discipline die de patronen van massale willekeurige verschijnselen onder bepaalde omstandigheden bestudeert. Willekeur betekent dat binnen het kader van het massakarakter het bestaan van elk elementair fenomeen niet afhangt van en niet wordt bepaald door het bestaan van andere verschijnselen. Tegelijkertijd heeft de massale aard van verschijnselen zelf een stabiele structuur en bevat deze bepaalde regelmatigheden. Een massaverschijnsel is vrij strikt verdeeld in subsystemen, en het relatieve aantal elementaire verschijnselen in elk van de subsystemen (relatieve frequentie) is zeer stabiel. Deze stabiliteit wordt vergeleken met de waarschijnlijkheid. Een massaverschijnsel als geheel wordt gekenmerkt door een waarschijnlijkheidsverdeling, dat wil zeggen door het specificeren van subsystemen en hun overeenkomstige kansen. De taal van de waarschijnlijkheidstheorie is de taal van de kansverdelingen. Dienovereenkomstig wordt de waarschijnlijkheidstheorie gedefinieerd als de abstracte wetenschap van het werken met verdelingen.
Waarschijnlijkheid heeft in de wetenschap aanleiding gegeven tot ideeën over statistische patronen en statistische systemen. Deze laatste zijn systemen die zijn gevormd uit onafhankelijke of quasi-onafhankelijke entiteiten. Hun structuur wordt gekenmerkt door waarschijnlijkheidsverdelingen. Maar hoe is het mogelijk om systemen te vormen uit onafhankelijke entiteiten? Meestal wordt aangenomen dat het voor de vorming van systemen met integrale kenmerken noodzakelijk is dat er voldoende stabiele verbindingen bestaan tussen de elementen die de systemen versterken. De stabiliteit van statistische systemen wordt bepaald door de aanwezigheid van externe omstandigheden, een externe omgeving en eerder externe dan interne krachten. De definitie van waarschijnlijkheid is altijd gebaseerd op het stellen van de voorwaarden voor de vorming van het initiële massaverschijnsel. Een ander belangrijk idee dat het probabilistische paradigma kenmerkt, is het idee van hiërarchie (ondergeschiktheid). Dit idee geeft uitdrukking aan de relatie tussen de kenmerken van individuele elementen en de integrale kenmerken van systemen: de laatste worden als het ware bovenop de eerste gebouwd.
Het belang van probabilistische methoden in cognitie ligt in het feit dat ze het mogelijk maken om de structuur- en gedragspatronen van objecten en systemen die een hiërarchische structuur met twee niveaus hebben, te bestuderen en theoretisch uit te drukken.
Analyse van de aard van waarschijnlijkheid is gebaseerd op de frequentie en statistische interpretatie ervan. Tegelijkertijd domineerde een dergelijk begrip van waarschijnlijkheid lange tijd de wetenschap, die logische of inductieve waarschijnlijkheid werd genoemd. Logische waarschijnlijkheid is geïnteresseerd in vragen over de geldigheid van een afzonderlijk, individueel oordeel onder bepaalde omstandigheden. Is het mogelijk om de mate van bevestiging (betrouwbaarheid, waarheid) van een inductieve conclusie (hypothetische conclusie) in kwantitatieve vorm te evalueren? Tijdens de ontwikkeling van de waarschijnlijkheidstheorie werden dergelijke vragen herhaaldelijk besproken en begonnen ze te praten over de mate van bevestiging van hypothetische conclusies. Deze waarschijnlijkheidsmaatstaf wordt bepaald door de informatie waarover een bepaalde persoon beschikt, zijn ervaring, kijk op de wereld en psychologische mentaliteit. In al dergelijke gevallen is de omvang van de waarschijnlijkheid niet vatbaar voor strikte metingen en ligt deze praktisch buiten de competentie van de waarschijnlijkheidstheorie als consistente wiskundige discipline.
De objectieve, frequentistische interpretatie van waarschijnlijkheid werd in de wetenschap met aanzienlijke moeilijkheden tot stand gebracht. Aanvankelijk werd het begrip van de aard van waarschijnlijkheid sterk beïnvloed door de filosofische en methodologische opvattingen die kenmerkend waren voor de klassieke wetenschap. Historisch gezien vond de ontwikkeling van probabilistische methoden in de natuurkunde plaats onder de bepalende invloed van de ideeën van de mechanica: statistische systemen werden eenvoudigweg als mechanisch geïnterpreteerd. Omdat de overeenkomstige problemen niet door strikte mechanica-methoden konden worden opgelost, ontstonden er beweringen dat het gebruik van probabilistische methoden en statistische wetten het resultaat is van de onvolledigheid van onze kennis. In de geschiedenis van de ontwikkeling van de klassieke statistische natuurkunde zijn talloze pogingen ondernomen om deze te onderbouwen op basis van de klassieke mechanica, maar deze faalden allemaal. De basis van waarschijnlijkheid is dat het de structurele kenmerken uitdrukt van een bepaalde klasse van systemen, anders dan mechanische systemen: de toestand van de elementen van deze systemen wordt gekenmerkt door instabiliteit en een speciale (niet herleidbaar tot mechanica) aard van interacties.
De intrede van waarschijnlijkheid in kennis leidt tot de ontkenning van het concept van hard determinisme, tot de ontkenning van het basismodel van zijn en kennis dat is ontwikkeld tijdens het proces van de vorming van de klassieke wetenschap. De basismodellen die door statistische theorieën worden vertegenwoordigd, zijn van een andere, meer algemene aard: ze omvatten de ideeën van willekeur en onafhankelijkheid. Het idee van waarschijnlijkheid wordt geassocieerd met de onthulling van de interne dynamiek van objecten en systemen, die niet volledig kan worden bepaald door externe omstandigheden en omstandigheden.
Het concept van een probabilistische visie op de wereld, gebaseerd op de verabsolutering van ideeën over onafhankelijkheid (zoals vóór het paradigma van rigide bepaling), heeft nu zijn beperkingen onthuld, wat het sterkst tot uiting komt in de overgang van de moderne wetenschap naar analytische methoden voor het bestuderen van complexe systemen en de fysieke en wiskundige grondslagen van zelforganisatiefenomenen.
Geweldige definitie
Onvolledige definitie ↓
Wanneer een munt wordt opgeworpen, kunnen we zeggen dat deze heads-up zal landen, of waarschijnlijkheid dit is 1/2. Dit betekent uiteraard niet dat als een munt 10 keer wordt gegooid, deze noodzakelijkerwijs 5 keer op kop zal belanden. Als de munt ‘eerlijk’ is en er vaak mee wordt gegooid, zal de kop de helft van de tijd heel dichtbij landen. Er zijn dus twee soorten waarschijnlijkheden: experimenteel En theoretisch .
Experimentele en theoretische waarschijnlijkheid
Als we een munt een groot aantal keren opgooien (bijvoorbeeld 1000) en tellen hoe vaak deze op kop terechtkomt, kunnen we de waarschijnlijkheid bepalen dat deze op kop terechtkomt. Als er 503 keer hoofd wordt gegooid, kunnen we de kans berekenen dat deze landt:
503/1000, of 0,503.
Dit experimenteel bepaling van de waarschijnlijkheid. Deze definitie van waarschijnlijkheid komt voort uit observatie en studie van gegevens en is vrij gebruikelijk en zeer nuttig. Hier zijn bijvoorbeeld enkele kansen die experimenteel zijn bepaald:
1. De kans dat een vrouw borstkanker krijgt is 1/11.
2. Als je iemand kust die verkouden is, dan is de kans dat jij ook verkouden wordt 0,07.
3. Iemand die net uit de gevangenis is vrijgelaten, heeft 80% kans om terug te keren naar de gevangenis.
Als we overwegen om een munt op te gooien en er rekening mee te houden dat het net zo waarschijnlijk is dat er kop of munt uit komt, kunnen we de kans op kop berekenen: 1/2. Dit is een theoretische definitie van waarschijnlijkheid. Hier zijn enkele andere kansen die theoretisch zijn bepaald met behulp van wiskunde:
1. Als er 30 mensen in een kamer zijn, is de kans dat twee van hen dezelfde verjaardag hebben (exclusief jaartal) 0,706.
2. Tijdens een reis ontmoet je iemand en tijdens het gesprek ontdek je dat je een gemeenschappelijke vriend hebt. Typische reactie: “Dit kan niet waar zijn!” In feite is deze zin niet geschikt, omdat de waarschijnlijkheid van een dergelijke gebeurtenis vrij hoog is: iets meer dan 22%.
Experimentele kansen worden dus bepaald door observatie en gegevensverzameling. Theoretische waarschijnlijkheden worden bepaald door middel van wiskundig redeneren. Voorbeelden van experimentele en theoretische waarschijnlijkheden, zoals die hierboven besproken, en vooral die welke we niet verwachten, leiden ons tot het belang van het bestuderen van waarschijnlijkheid. Je kunt je afvragen: "Wat is echte waarschijnlijkheid?" In feite bestaat zoiets niet. Waarschijnlijkheden binnen bepaalde grenzen kunnen experimenteel worden bepaald. Ze kunnen al dan niet samenvallen met de waarschijnlijkheden die we theoretisch verkrijgen. Er zijn situaties waarin het veel gemakkelijker is om het ene type waarschijnlijkheid te bepalen dan het andere. Het zou bijvoorbeeld voldoende zijn om de kans op verkoudheid te bepalen met behulp van de theoretische waarschijnlijkheid.
Berekening van experimentele kansen
Laten we eerst eens kijken naar de experimentele definitie van waarschijnlijkheid. Het basisprincipe dat we gebruiken om dergelijke kansen te berekenen is als volgt.
Principe P (experimenteel)
Als in een experiment waarin n waarnemingen worden gedaan, een situatie of gebeurtenis E m keer voorkomt in n waarnemingen, dan wordt gezegd dat de experimentele waarschijnlijkheid van de gebeurtenis P (E) = m/n is.
voorbeeld 1 Sociologisch onderzoek. Er is een experimenteel onderzoek uitgevoerd om het aantal linkshandige mensen, rechtshandige mensen en mensen van wie beide handen gelijk ontwikkeld zijn te bepalen.
a) Bepaal de kans dat de persoon rechtshandig is.
b) Bepaal de kans dat de persoon linkshandig is.
c) Bepaal de kans dat een persoon beide handen even vloeiend beheerst.
d) De meeste toernooien van de Professional Bowling Association zijn beperkt tot 120 spelers. Hoeveel spelers kunnen op basis van de gegevens uit dit experiment linkshandig zijn?
Oplossing
a) Het aantal mensen dat rechtshandig is is 82, het aantal linkshandigen is 17, en het aantal mensen dat beide handen even vloeiend beheerst is 1. Het totale aantal observaties is 100. De kans is dus dat iemand rechtshandig is, is P
P = 82/100, of 0,82, of 82%.
b) De kans dat iemand linkshandig is, is P, waarbij
P = 17/100, of 0,17, of 17%.
c) De kans dat een persoon beide handen even vloeiend spreekt, is P, waarbij
P = 1/100, of 0,01, of 1%.
d) 120 bowlers, en uit (b) kunnen we verwachten dat 17% linkshandig is. Vanaf hier
17% van 120 = 0,17,120 = 20,4,
dat wil zeggen, we kunnen verwachten dat ongeveer 20 spelers linkshandig zijn.
Voorbeeld 2 Kwaliteitscontrole
. Het is voor een fabrikant van groot belang om de kwaliteit van zijn producten op een hoog niveau te houden. Bedrijven huren zelfs kwaliteitscontrole-inspecteurs in om dit proces te garanderen. Het doel is om een zo minimaal mogelijk aantal defecte producten te produceren. Maar aangezien het bedrijf elke dag duizenden producten produceert, kan het het zich niet veroorloven om elk product te testen om vast te stellen of het defect is of niet. Om erachter te komen welk percentage producten defect is, test het bedrijf veel minder producten.
De USDA vereist dat 80% van de zaden die door telers worden verkocht, moeten ontkiemen. Om de kwaliteit van de zaden die een landbouwbedrijf produceert te bepalen, worden van de geproduceerde zaden 500 zaden geplant. Hierna werd berekend dat er 417 zaden ontkiemden.
a) Wat is de kans dat het zaad zal ontkiemen?
b) Voldoen de zaden aan de overheidsnormen?
Oplossing a) We weten dat van de 500 zaden die werden geplant, er 417 ontkiemden. Waarschijnlijkheid van zaadkieming P, en
P = 417/500 = 0,834 of 83,4%.
b) Omdat het percentage ontkiemde zaden de vereiste 80% heeft overschreden, voldoen de zaden aan de overheidsnormen.
Voorbeeld 3 Televisiewaarderingen. Volgens statistieken zijn er in de Verenigde Staten 105.500.000 huishoudens met televisies. Wekelijks wordt informatie over kijkprogramma’s verzameld en verwerkt. In één week keken 7.815.000 huishoudens naar de populaire comedyserie "Everybody Loves Raymond" op CBS en 8.302.000 huishoudens keken naar de hitserie "Law & Order" op NBC (Bron: Nielsen Media Research). Hoe groot is de kans dat de tv van een huishouden gedurende een bepaalde week is afgestemd op 'Everybody Loves Raymond'?
Oplossing De kans dat de tv in één huishouden is afgestemd op "Everybody Loves Raymond" is P, en
P = 7.815.000/105.500.000 ≈ 0,074 ≈ 7,4%.
De kans dat de tv van een huishouden is afgestemd op Law & Order is P, en
P = 8.302.000/105.500.000 ≈ 0,079 ≈ 7,9%.
Deze percentages worden beoordelingen genoemd.
Theoretische waarschijnlijkheid
Stel dat we een experiment uitvoeren, zoals het gooien van een munt of pijltjes, het trekken van een kaart uit een stapel, of het testen van producten op kwaliteit aan een lopende band. Elk mogelijk resultaat van zo’n experiment wordt genoemd Exodus . De verzameling van alle mogelijke uitkomsten wordt genoemd uitkomst ruimte . Evenement het is een reeks uitkomsten, dat wil zeggen een subset van de ruimte van uitkomsten.
Voorbeeld 4 Darten gooien. Stel dat bij een dartwerpexperiment een pijl een doel raakt. Zoek elk van de volgende:
b) Resultatenruimte
Oplossing
a) De uitkomsten zijn: zwart raken (B), rood raken (R) en wit raken (B).
b) De ruimte van uitkomsten is (zwart raken, rood raken, wit raken), wat eenvoudigweg kan worden geschreven als (H, K, B).
Voorbeeld 5 Dobbelstenen gooien.
Een dobbelsteen is een kubus met zes zijden, elk met één tot zes stippen erop. 
Stel dat we met een dobbelsteen gooien. Vinden
a) Resultaten
b) Resultatenruimte
Oplossing
a) Resultaten: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Resultaatruimte (1, 2, 3, 4, 5, 6).
De waarschijnlijkheid dat een gebeurtenis E optreedt, duiden we aan als P(E). ‘De munt zal op kop landen’ kan bijvoorbeeld worden aangegeven met H. Dan vertegenwoordigt P(H) de waarschijnlijkheid dat de munt op kop zal landen. Wanneer alle uitkomsten van een experiment dezelfde waarschijnlijkheid hebben, worden ze even waarschijnlijk genoemd. Om de verschillen te zien tussen gebeurtenissen die even waarschijnlijk zijn en gebeurtenissen die dat niet zijn, kunt u het onderstaande doel in ogenschouw nemen. 
Voor doelwit A zijn de gebeurtenissen waarbij zwart, rood en wit worden geraakt even waarschijnlijk, aangezien de zwarte, rode en witte sectoren hetzelfde zijn. Voor doel B zijn de zones met deze kleuren echter niet hetzelfde, dat wil zeggen dat het raken ervan niet even waarschijnlijk is.
Principe P (Theoretisch)
Als een gebeurtenis E op m manieren kan gebeuren uit n mogelijke, even waarschijnlijke uitkomsten uit de uitkomstruimte S, dan theoretische waarschijnlijkheid
gebeurtenissen, P(E) is
P(E) = m/n.
Voorbeeld 6 Wat is de kans dat je met een dobbelsteen gooit en een 3 krijgt?
Oplossing Er zijn zes even waarschijnlijke uitkomsten op een dobbelsteen en er is maar één mogelijkheid om het getal 3 te gooien. Dan is de waarschijnlijkheid P P(3) = 1/6.
Voorbeeld 7 Wat is de kans dat je een even getal gooit met een dobbelsteen?
Oplossing De gebeurtenis is het gooien van een even getal. Dit kan op 3 manieren gebeuren (als je een 2, 4 of 6 gooit). Het aantal even waarschijnlijke uitkomsten is 6. Dan is de kans P(even) = 3/6, oftewel 1/2.
We zullen een aantal voorbeelden gebruiken met een standaard kaartspel van 52 kaarten. Dit kaartspel bestaat uit de kaarten die in de onderstaande afbeelding worden weergegeven. 
Voorbeeld 8 Wat is de kans dat je een aas trekt uit een goed geschud kaartspel?
Oplossing Er zijn 52 uitkomsten (het aantal kaarten in de stapel), ze zijn even waarschijnlijk (als de stapel goed geschud is), en er zijn 4 manieren om een Aas te trekken, dus volgens het P-principe is de kans
P(trek een aas) = 4/52, of 1/13.
Voorbeeld 9 Stel dat we, zonder te kijken, één bal kiezen uit een zakje met 3 rode ballen en 4 groene ballen. Wat is de kans dat je een rode bal kiest?
Oplossing Er zijn 7 even waarschijnlijke uitkomsten bij het trekken van een bal, en aangezien het aantal manieren om een rode bal te trekken 3 is, krijgen we
P(rode balselectie) = 3/7.
De volgende uitspraken zijn het resultaat van Principe P.
Eigenschappen van waarschijnlijkheid
a) Als gebeurtenis E niet kan plaatsvinden, dan is P(E) = 0.
b) Als gebeurtenis E zeker zal plaatsvinden, dan is P(E) = 1.
c) De waarschijnlijkheid dat gebeurtenis E zal plaatsvinden is een getal van 0 tot 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1.
Bij het opgooien van een munt is de kans bijvoorbeeld nul dat de munt op de rand terechtkomt. De kans dat een munt kop of munt is, heeft een kans van 1.
Voorbeeld 10 Laten we aannemen dat er 2 kaarten worden getrokken uit een kaartspel van 52 kaarten. Hoe groot is de kans dat het allebei pieken zijn?
Oplossing Het aantal n manieren om 2 kaarten te trekken uit een goed geschud spel van 52 kaarten is 52 C 2 . Omdat 13 van de 52 kaarten schoppen zijn, is het aantal manieren waarop m om 2 schoppen te trekken 13 C 2 . Dan,
P(twee pieken trekken)= m/n = 13 C 2 / 52 C 2 = 78/1326 = 1/17.
Voorbeeld 11 Stel dat uit een groep van 6 mannen en 4 vrouwen willekeurig 3 personen worden gekozen. Wat is de kans dat er 1 man en 2 vrouwen worden geselecteerd?
Oplossing Het aantal manieren om drie personen te selecteren uit een groep van 10 personen is 10 C 3. Eén man kan op 6 C 1-manieren worden gekozen, en 2 vrouwen kunnen op 4 C 2-manieren worden gekozen. Volgens het fundamentele principe van tellen is het aantal manieren om 1 man en 2 vrouwen te kiezen 6 C 1. 4C2. Dan is de kans dat er 1 man en 2 vrouwen worden geselecteerd gelijk aan
P = 6 C 1 . 4 C 2 / 10 C 3 = 3/10.
Voorbeeld 12 Dobbelstenen gooien. Wat is de kans dat je in totaal 8 gooit met twee dobbelstenen?
Oplossing Elke dobbelsteen heeft 6 mogelijke uitkomsten. De uitkomsten worden verdubbeld, wat betekent dat er 6,6 of 36 mogelijke manieren zijn waarop de getallen op de twee dobbelstenen kunnen verschijnen. (Het is beter als de kubussen verschillend zijn, bijvoorbeeld dat de ene rood is en de andere blauw - dit zal het resultaat helpen visualiseren.) 
De getallenparen die samen 8 vormen, worden weergegeven in de onderstaande afbeelding. Er zijn 5 mogelijke manieren om een som gelijk aan 8 te verkrijgen, daarom is de waarschijnlijkheid 5/36.