Bij het oplossen van veel wiskundige problemen , vooral als die plaatsvinden vóór graad 10, is de volgorde van de uitgevoerde acties die tot het doel zullen leiden duidelijk gedefinieerd. Dergelijke problemen omvatten bijvoorbeeld lineaire en kwadratische vergelijkingen, lineaire en kwadratische ongelijkheden, fractionele vergelijkingen en vergelijkingen die tot kwadratische vergelijkingen worden gereduceerd. Het principe van het succesvol oplossen van elk van de genoemde problemen is als volgt: u moet vaststellen welk type probleem u oplost, onthoud de noodzakelijke reeks acties die tot het gewenste resultaat zullen leiden, d.w.z. antwoord en volg deze stappen.
Het is duidelijk dat succes of mislukking bij het oplossen van een bepaald probleem voornamelijk afhangt van hoe correct het type vergelijking dat wordt opgelost, wordt bepaald, hoe correct de volgorde van alle fasen van de oplossing ervan wordt gereproduceerd. Natuurlijk is het noodzakelijk om over de vaardigheden te beschikken om te kunnen presteren identiteitstransformaties en computergebruik.
De situatie is anders bij goniometrische vergelijkingen. Het is helemaal niet moeilijk om vast te stellen dat de vergelijking trigonometrisch is. Er doen zich problemen voor bij het bepalen van de volgorde van acties die tot het juiste antwoord zouden leiden.
Door verschijning vergelijking, is het soms moeilijk om het type ervan te bepalen. En zonder het type vergelijking te kennen, is het bijna onmogelijk om de juiste te kiezen uit enkele tientallen trigonometrische formules.
Om een trigonometrische vergelijking op te lossen, moet je het volgende proberen:
1. breng alle functies in de vergelijking onder “dezelfde hoeken”;
2. breng de vergelijking naar “identieke functies”;
3. factoreer de linkerkant van de vergelijking, enz.
Laat ons nadenken basismethoden voor het oplossen van goniometrische vergelijkingen.
I. Reductie tot de eenvoudigste trigonometrische vergelijkingen
Oplossingsdiagram
Stap 1. Druk een goniometrische functie uit in termen van bekende componenten.
Stap 2. Zoek het functieargument met behulp van de formules:
cos x = een; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.
zonde x = een; x = (-1) n boogsin a + πn, n Є Z.
bruin x = een; x = arctan a + πn, n Є Z.
ctgx = een; x = arcctg a + πn, n Є Z.
Stap 3. Zoek de onbekende variabele.
Voorbeeld.
2 cos(3x – π/4) = -√2.
Oplossing.
1) cos(3x – π/4) = -√2/2.
2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;
3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Ä Z.
3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Ä Z;
x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Ä Z;
x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Ä Z.
Antwoord: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
II. Variabele vervanging
Oplossingsdiagram
Stap 1. Reduceer de vergelijking tot een algebraïsche vorm met betrekking tot een van trigonometrische functies.
Stap 2. Geef de resulterende functie aan met de variabele t (introduceer indien nodig beperkingen op t).
Stap 3. Schrijf de resulterende algebraïsche vergelijking op en los deze op.
Stap 4. Voer een omgekeerde vervanging uit.
Stap 5. Los de eenvoudigste trigonometrische vergelijking op.
Voorbeeld.
2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.
Oplossing.
1) 2(1 – zonde 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;
2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.
2) Stel sin (x/2) = t, waarbij |t| ≤ 1.
3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;
t = 1 of e = -3/2, voldoet niet aan de voorwaarde |t| ≤ 1.
4) zonde(x/2) = 1.
5) x/2 = π/2 + 2πn, n Ä Z;
x = π + 4πn, n Є Z.
Antwoord: x = π + 4πn, n Є Z.
III. Reductiemethode voor vergelijkingsvolgorde
Oplossingsdiagram
Stap 1. Vervangen gegeven vergelijking lineair, met behulp van de formule voor het verminderen van de graad:
sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);
cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);
tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).
Stap 2. Los de resulterende vergelijking op met behulp van methoden I en II.
Voorbeeld.
cos 2x + cos 2x = 5/4.
Oplossing.
1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.
2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;
3/2 cos 2x = 3/4;
2x = ±π/3 + 2πn, n Ä Z;
x = ±π/6 + πn, n Є Z.
Antwoord: x = ±π/6 + πn, n Є Z.
IV. Homogene vergelijkingen
Oplossingsdiagram
Stap 1. Reduceer deze vergelijking tot de vorm
a) a zonde x + b cos x = 0 ( homogene vergelijking eerste graad)
of naar het uitzicht
b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (homogene vergelijking van de tweede graad).
Stap 2. Deel beide zijden van de vergelijking door
a) cos x ≠ 0;
b) cos 2 x ≠ 0;
en verkrijg de vergelijking voor tan x:
a) een kleurtje x + b = 0;
b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.
Stap 3. Los de vergelijking op met behulp van bekende methoden.
Voorbeeld.
5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.
Oplossing.
1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;
5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;
sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.
2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.
3) Stel dan tg x = t
t2 + 3t – 4 = 0;
t = 1 of t = -4, wat betekent
tg x = 1 of tg x = -4.
Uit de eerste vergelijking x = π/4 + πn, n Є Z; uit de tweede vergelijking x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
Antwoord: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
V. Methode voor het transformeren van een vergelijking met behulp van goniometrische formules
Oplossingsdiagram
Stap 1. Gebruik alle mogelijke goniometrische formules en reduceer deze vergelijking tot een vergelijking die wordt opgelost met de methoden I, II, III, IV.
Stap 2. Los de resulterende vergelijking op met behulp van bekende methoden.
Voorbeeld.
zonde x + zonde 2x + zonde 3x = 0.
Oplossing.
1) (zonde x + zonde 3x) + zonde 2x = 0;
2sin 2x cos x + sin 2x = 0.
2) zonde 2x (2cos x + 1) = 0;
sin 2x = 0 of 2cos x + 1 = 0;
Uit de eerste vergelijking 2x = π/2 + πn, n Є Z; uit de tweede vergelijking cos x = -1/2.
We hebben x = π/4 + πn/2, n Є Z; uit de tweede vergelijking x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.
Als gevolg hiervan is x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Antwoord: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Het vermogen en de vaardigheid om trigonometrische vergelijkingen op te lossen is zeer 
Belangrijk is dat hun ontwikkeling aanzienlijke inspanningen vergt, zowel van de kant van de leerling als van de kant van de leraar.
Veel problemen op het gebied van stereometrie, natuurkunde, enz. houden verband met het oplossen van trigonometrische vergelijkingen.
Trigonometrische vergelijkingen bezetten belangrijke plek in het proces van het onderwijzen van wiskunde en persoonlijkheidsontwikkeling in het algemeen.
Heeft u nog vragen? Weet u niet hoe u trigonometrische vergelijkingen moet oplossen?
Om hulp te krijgen van een docent, registreer je.
De eerste les is gratis!
website, bij het geheel of gedeeltelijk kopiëren van materiaal is een link naar de bron vereist.
Het waarborgen van uw privacy is belangrijk voor ons. Om deze reden hebben wij een privacybeleid ontwikkeld waarin wordt beschreven hoe wij uw gegevens gebruiken en opslaan. Bekijk onze privacypraktijken en laat het ons weten als u vragen heeft.
Verzameling en gebruik van persoonlijke informatie
Persoonlijke informatie verwijst naar gegevens die kunnen worden gebruikt om een specifieke persoon te identificeren of ermee contact op te nemen.
Wanneer u contact met ons opneemt, kunt u op elk moment worden gevraagd om uw persoonlijke gegevens te verstrekken.
Hieronder vindt u enkele voorbeelden van de soorten persoonlijke informatie die we kunnen verzamelen en hoe we dergelijke informatie kunnen gebruiken.
Welke persoonlijke informatie verzamelen wij:
- Wanneer u een aanvraag indient op de site, kunnen wij verschillende informatie verzamelen, waaronder uw naam, telefoonnummer en adres E-mail enz.
Hoe wij uw persoonlijke gegevens gebruiken:
- Met de persoonlijke informatie die we verzamelen, kunnen we contact met u opnemen over unieke aanbiedingen, promoties en andere evenementen en aankomende evenementen.
- Van tijd tot tijd kunnen we uw persoonlijke gegevens gebruiken om belangrijke mededelingen en mededelingen te verzenden.
- We kunnen persoonlijke informatie ook gebruiken voor interne doeleinden, zoals het uitvoeren van audits, data-analyse en diverse onderzoeken om de diensten die wij leveren te verbeteren en u aanbevelingen te doen met betrekking tot onze diensten.
- Als u deelneemt aan een prijstrekking, wedstrijd of soortgelijke promotie, kunnen wij de door u verstrekte informatie gebruiken om dergelijke programma's te beheren.
Openbaarmaking van informatie aan derden
Wij maken de van u ontvangen gegevens niet bekend aan derden.
Uitzonderingen:
- Indien nodig - in overeenstemming met de wet, gerechtelijke procedure, gerechtelijke procedures en/of op basis van publieke verzoeken of verzoeken van overheidsinstellingen op het grondgebied van de Russische Federatie - geef uw persoonlijke gegevens vrij. We kunnen ook informatie over u vrijgeven als we vaststellen dat een dergelijke openbaarmaking noodzakelijk of gepast is voor veiligheids-, wetshandhavings- of andere doeleinden van openbaar belang.
- In het geval van een reorganisatie, fusie of verkoop kunnen we de persoonlijke informatie die we verzamelen overdragen aan de toepasselijke opvolger van een derde partij.
Bescherming van persoonlijke informatie
We nemen voorzorgsmaatregelen - inclusief administratieve, technische en fysieke - om uw persoonlijke gegevens te beschermen tegen verlies, diefstal en misbruik, evenals tegen ongeoorloofde toegang, openbaarmaking, wijziging en vernietiging.
Het respecteren van uw privacy op bedrijfsniveau
Om ervoor te zorgen dat uw persoonlijke gegevens veilig zijn, communiceren we privacy- en beveiligingsnormen met onze medewerkers en handhaven we de privacypraktijken strikt.
Vereist kennis van de basisformules van trigonometrie - de som van de kwadraten van sinus en cosinus, de uitdrukking van de raaklijn door sinus en cosinus, en andere. Voor degenen die ze zijn vergeten of niet kennen, raden we aan het artikel "" te lezen.
We kennen dus de basistrigonometrische formules, het is tijd om ze in de praktijk te gebruiken. Trigonometrische vergelijkingen oplossen bij de juiste aanpak- een behoorlijk spannende bezigheid, zoals bijvoorbeeld het oplossen van een Rubiks kubus.
Op basis van de naam zelf is het duidelijk dat een trigonometrische vergelijking een vergelijking is waarin het onbekende onder het teken van de trigonometrische functie staat.
Er zijn zogenaamde eenvoudigste trigonometrische vergelijkingen. Zo zien ze eruit: sinx = a, cos x = a, tan x = a. Laat ons nadenken hoe dergelijke trigonometrische vergelijkingen op te lossen Voor de duidelijkheid zullen we de reeds bekende trigonometrische cirkel gebruiken.
zonde = een
cos x = een
bruin x = een
kinderbedje x = een
Elke trigonometrische vergelijking wordt in twee fasen opgelost: we reduceren de vergelijking tot de eenvoudigste vorm en lossen deze vervolgens op als een eenvoudige trigonometrische vergelijking.
Er zijn zeven hoofdmethoden waarmee trigonometrische vergelijkingen worden opgelost.
Variabele substitutie en substitutiemethode
Trigonometrische vergelijkingen oplossen door factorisatie
Reductie tot een homogene vergelijking
Vergelijkingen oplossen via de overgang naar een halve hoek
Introductie van hulphoek
Los de vergelijking 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0 op
Met behulp van de reductieformules krijgen we:
2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0
Vervang cos(x + /6) door y om te vereenvoudigen en de gebruikelijke kwadratische vergelijking te krijgen:
2j 2 – 3j + 1 + 0
De wortels hiervan zijn y 1 = 1, y 2 = 1/2
Laten we nu in omgekeerde volgorde te werk gaan
We vervangen de gevonden waarden van y en krijgen twee antwoordopties:
Hoe de vergelijking sin x + cos x = 1 op te lossen?
Laten we alles naar links verplaatsen zodat 0 aan de rechterkant blijft:
sin x + cos x – 1 = 0
Laten we de hierboven besproken identiteiten gebruiken om de vergelijking te vereenvoudigen:
zonde x - 2 zonde 2 (x/2) = 0
Laten we factoriseren:
2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 zonde 2 (x/2) = 0
2zonde(x/2) * = 0
We krijgen twee vergelijkingen
Een vergelijking is homogeen met betrekking tot sinus en cosinus als al zijn termen relatief zijn ten opzichte van de sinus en cosinus van dezelfde macht van dezelfde hoek. Ga als volgt te werk om een homogene vergelijking op te lossen:
a) breng al zijn leden over naar de linkerkant;
b) haal alle gemeenschappelijke factoren tussen haakjes;
c) stel alle factoren en haakjes gelijk aan 0;
d) tussen haakjes wordt een homogene vergelijking van een lagere graad verkregen, die op zijn beurt is verdeeld in een sinus of cosinus van een hogere graad;
e) los de resulterende vergelijking voor tg op.
Los de vergelijking 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2 op
Laten we de formule sin 2 x + cos 2 x = 1 gebruiken en de open twee aan de rechterkant wegwerken:
3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x
zonde 2 x + 4 zonde x cos x + 3 cos 2 x = 0
Delen door cos x:
tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0
Vervang tan x door y en verkrijg een kwadratische vergelijking:
y 2 + 4y +3 = 0, waarvan de wortels y 1 =1, y 2 = 3 zijn
Vanaf hier vinden we twee oplossingen voor de oorspronkelijke vergelijking:
x 2 = arctan 3 + k
Los de vergelijking 3sin x – 5cos x = 7 op
Laten we verder gaan met x/2:
6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)
Laten we alles naar links verplaatsen:
2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0
Delen door cos(x/2):
tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0
Laten we ter overweging een vergelijking nemen in de vorm: a sin x + b cos x = c,
waarbij a, b, c enkele willekeurige coëfficiënten zijn, en x onbekend is.
Laten we beide zijden van de vergelijking delen door:
Nu de coëfficiënten van de vergelijking volgens trigonometrische formules hebben de eigenschappen sin en cos, namelijk: hun modulus is niet meer dan 1 en de som van de kwadraten = 1. Laten we ze respectievelijk aanduiden als cos en sin, waarbij - dit de zogenaamde hulphoek is. Dan zal de vergelijking de vorm aannemen:
cos * zonde x + zonde * cos x = C
of zonde(x + ) = C
De oplossing voor deze eenvoudigste trigonometrische vergelijking is:
x = (-1) k * boogsin C - + k, waarbij
Opgemerkt moet worden dat de notaties cos en sin uitwisselbaar zijn.
Los de vergelijking sin 3x – cos 3x = 1 op
De coëfficiënten in deze vergelijking zijn:
a = , b = -1, dus deel beide zijden door = 2
Les en presentatie over het onderwerp: "Eenvoudige trigonometrische vergelijkingen oplossen"
Aanvullende materialen
Beste gebruikers, vergeet niet uw opmerkingen, beoordelingen en wensen achter te laten! Alle materialen zijn gecontroleerd door een antivirusprogramma.
Handleidingen en simulatoren in de Integral online winkel voor graad 10 vanaf 1C
Wij lossen problemen in de meetkunde op. Interactieve taken voor het bouwen in de ruimte
Softwareomgeving "1C: Mathematical Constructor 6.1"
Wat gaan we bestuderen:
1. Wat zijn trigonometrische vergelijkingen?
3. Twee hoofdmethoden voor het oplossen van goniometrische vergelijkingen.
4. Homogene trigonometrische vergelijkingen.
5. Voorbeelden.
Wat zijn trigonometrische vergelijkingen?
Jongens, we hebben arcsinus, arccosinus, arctangens en arccotangens al bestudeerd. Laten we nu eens kijken naar trigonometrische vergelijkingen in het algemeen.
Trigonometrische vergelijkingen zijn vergelijkingen waarin een variabele zich bevindt onder het teken van een trigonometrische functie.
Laten we de vorm van het oplossen van de eenvoudigste trigonometrische vergelijkingen herhalen:
1)Als |a|≤ 1, dan heeft de vergelijking cos(x) = a een oplossing:
X= ± arccos(a) + 2πk
2) Als |a|≤ 1, dan heeft de vergelijking sin(x) = a een oplossing:
3) Als |a| > 1, dan heeft de vergelijking sin(x) = a en cos(x) = a geen oplossingen 4) De vergelijking tg(x)=a heeft een oplossing: x=arctg(a)+ πk
5) De vergelijking ctg(x)=a heeft een oplossing: x=arcctg(a)+ πk
Voor alle formules is k een geheel getal
De eenvoudigste trigonometrische vergelijkingen hebben de vorm: T(kx+m)=a, T is een trigonometrische functie.
Voorbeeld.Los de vergelijkingen op: a) sin(3x)= √3/2
Oplossing:
A) Laten we 3x=t aangeven, dan herschrijven we onze vergelijking in de vorm:
De oplossing voor deze vergelijking is: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.
Uit de waardentabel krijgen we: t=((-1)^n)×π/3+ πn.
Laten we terugkeren naar onze variabele: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,
Dan is x= ((-1)^n)×π/9+πn/3
Antwoord: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, waarbij n een geheel getal is. (-1)^n – min één tot de macht n.
Meer voorbeelden van trigonometrische vergelijkingen.
Los de vergelijkingen op: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3Oplossing:
A) Laten we deze keer direct beginnen met het berekenen van de wortels van de vergelijking:
X/5= ± arccos(1) + 2πk. Dan x/5= πk => x=5πk
Antwoord: x=5πk, waarbij k een geheel getal is.
B) We schrijven het in de vorm: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. We weten dat: arctan(√3)= π/3
3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3
Antwoord: x=2π/9 + πk/3, waarbij k een geheel getal is.
Los de vergelijkingen op: cos(4x)= √2/2. En vind alle wortels in het segment.
Oplossing:
Wij beslissen binnen algemeen beeld onze vergelijking: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk
4x= ± π/4 + 2πk;
X= ± π/16+ πk/2;
Laten we nu eens kijken welke wortels in ons segment vallen. Bij k Bij k=0, x= π/16 bevinden we ons in het gegeven segment.
Met k=1, x= π/16+ π/2=9π/16 slaan we opnieuw.
Voor k=2 is x= π/16+ π=17π/16, maar hier hebben we niet geslagen, wat betekent dat we voor grote k uiteraard ook niet zullen raken.
Antwoord: x= π/16, x= 9π/16
Twee belangrijke oplossingsmethoden.
We hebben gekeken naar de eenvoudigste trigonometrische vergelijkingen, maar er zijn ook complexere. Om ze op te lossen, worden de methode voor het introduceren van een nieuwe variabele en de methode van factorisatie gebruikt. Laten we naar voorbeelden kijken.Laten we de vergelijking oplossen:
Oplossing:
Om onze vergelijking op te lossen, zullen we de methode gebruiken om een nieuwe variabele te introduceren, die aangeeft: t=tg(x).
Als resultaat van de vervanging krijgen we: t 2 + 2t -1 = 0
Laten we de wortels vinden kwadratische vergelijking: t=-1 en t=1/3
Dan tg(x)=-1 en tg(x)=1/3, we krijgen de eenvoudigste trigonometrische vergelijking, laten we de wortels ervan vinden.
X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.
Antwoord: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.
Een voorbeeld van het oplossen van een vergelijking
Los vergelijkingen op: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0
Oplossing:
Laten we de identiteit gebruiken: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1
Onze vergelijking zal de vorm aannemen: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0
2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0
Laten we de vervanging t=cos(x) introduceren: 2t 2 -3t - 2 = 0
De oplossing voor onze kwadratische vergelijking zijn de wortels: t=2 en t=-1/2
Dan is cos(x)=2 en cos(x)=-1/2.
Omdat cosinus kan geen waarden groter dan één aannemen, dan heeft cos(x)=2 geen wortels.
Voor cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk
Antwoord: x= ±2π/3 + 2πk
Homogene trigonometrische vergelijkingen.
Definitie: Vergelijkingen van de vorm a sin(x)+b cos(x) worden homogene trigonometrische vergelijkingen van de eerste graad genoemd.Vergelijkingen van de vorm
homogene trigonometrische vergelijkingen van de tweede graad.
Om een homogene trigonometrische vergelijking van de eerste graad op te lossen, deelt u deze door cos(x): 
Je kunt niet delen door de cosinus als deze gelijk is aan nul, laten we ervoor zorgen dat dit niet het geval is:
Stel cos(x)=0, dan asin(x)+0=0 => sin(x)=0, maar sinus en cosinus zijn niet tegelijkertijd gelijk aan nul, we krijgen een tegenspraak, dus we kunnen veilig delen door nul.
Los De vergelijking op:
Voorbeeld: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0
Oplossing:
Laten we de gemeenschappelijke factor eruit halen: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0
Dan moeten we twee vergelijkingen oplossen:
Cos(x)=0 en cos(x)+sin(x)=0
Cos(x)=0 bij x= π/2 + πk;
Beschouw de vergelijking cos(x)+sin(x)=0 Deel onze vergelijking door cos(x):
1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk
Antwoord: x= π/2 + πk en x= -π/4+πk
Hoe homogene trigonometrische vergelijkingen van de tweede graad op te lossen?
Jongens, volg altijd deze regels!
1. Kijk waar de coëfficiënt a gelijk aan is. Als a=0 dan zal onze vergelijking de vorm aannemen cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), een voorbeeld van de oplossing hiervan staat op de vorige dia
2. Als a≠0, dan moet je beide kanten van de vergelijking delen door het kwadraat van de cosinus, dan krijgen we:
We veranderen de variabele t=tg(x) en krijgen de vergelijking:
Los voorbeeld nr.:3 op
Los De vergelijking op:Oplossing:
Laten we beide zijden van de vergelijking delen door het cosinusvierkant: 
We veranderen de variabele t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0
Laten we de wortels van de kwadratische vergelijking vinden: t=-3 en t=1
Dan: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk
Tg(x)=1 => x= π/4+ πk
Antwoord: x=-arctg(3) + πk en x= π/4+ πk
Los voorbeeld nr.:4 op
Los De vergelijking op:Oplossing:
Laten we onze uitdrukking transformeren:
We kunnen dergelijke vergelijkingen oplossen: x= - π/4 + 2πk en x=5π/4 + 2πk
Antwoord: x= - π/4 + 2πk en x=5π/4 + 2πk
Los voorbeeld nr.:5 op
Los De vergelijking op:Oplossing:
Laten we onze uitdrukking transformeren:
Laten we de vervanging tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0 introduceren
De oplossing voor onze kwadratische vergelijking zijn de wortels: t=-2 en t=1/2
Dan krijgen we: tg(2x)=-2 en tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2
2x= boogtg(1/2) + πk => x=boogtg(1/2)/2+ πk/2
Antwoord: x=-arctg(2)/2 + πk/2 en x=arctg(1/2)/2+ πk/2
Problemen voor onafhankelijke oplossing.
1) Los de vergelijking opA) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0,5x) = -1,7
2) Los de vergelijkingen op: sin(3x)= √3/2. En vind alle wortels op het segment [π/2; π].
3) Los de vergelijking op: kinderbed 2 (x) + 2 kinderbed (x) + 1 =0
4) Los de vergelijking op: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0
5) Los de vergelijking op: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0
6) Los de vergelijking op: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)
Trigonometrische vergelijkingen zijn geen gemakkelijk onderwerp. Ze zijn te divers.) Bijvoorbeeld deze:
zonde 2 x + cos3x = ctg5x
zonde(5x+π /4) = kinderbed(2x-π /3)
sinx + cos2x + tg3x = ctg4x
Enz...
Maar deze (en alle andere) trigonometrische monsters hebben twee gemeenschappelijke en verplichte kenmerken. Ten eerste - je zult het niet geloven - er zitten goniometrische functies in de vergelijkingen.) Ten tweede: alle uitdrukkingen met x worden gevonden binnen dezelfde functies. En alleen daar! Als X ergens verschijnt buiten, Bijvoorbeeld, zonde2x + 3x = 3, dit zal al een vergelijking zijn gemengde soort. Dergelijke vergelijkingen vereisen individuele aanpak. We zullen ze hier niet behandelen.
We zullen in deze les ook geen slechte vergelijkingen oplossen.) Hier zullen we mee omgaan de eenvoudigste trigonometrische vergelijkingen. Waarom? Ja, want de oplossing elk trigonometrische vergelijkingen bestaat uit twee fasen. In de eerste fase wordt de kwade vergelijking door middel van een verscheidenheid aan transformaties teruggebracht tot een eenvoudige. Bij de tweede wordt deze eenvoudigste vergelijking opgelost. Geen andere manier.
Dus als je problemen hebt in de tweede fase, heeft de eerste fase niet zoveel zin.)
Hoe zien elementaire trigonometrische vergelijkingen eruit?
zonde = een
cosx = een
tgx = een
ctgx = een
Hier A staat voor elk getal. Elk.
Trouwens, binnen een functie is er misschien geen pure X, maar een soort uitdrukking, zoals:
cos(3x+π /3) = 1/2
enz. Dit bemoeilijkt het leven, maar heeft geen invloed op de methode voor het oplossen van een trigonometrische vergelijking.
Hoe trigonometrische vergelijkingen op te lossen?
Trigonometrische vergelijkingen kunnen op twee manieren worden opgelost. De eerste manier: logica en de trigonometrische cirkel gebruiken. We zullen dit pad hier bekijken. De tweede manier – het gebruik van geheugen en formules – wordt in de volgende les besproken.
De eerste manier is duidelijk, betrouwbaar en moeilijk te vergeten.) Het is goed voor het oplossen van trigonometrische vergelijkingen, ongelijkheden en allerlei lastige, niet-standaard voorbeelden. Logica is sterker dan geheugen!)
Vergelijkingen oplossen met behulp van een goniometrische cirkel.
We omvatten elementaire logica en de mogelijkheid om de trigonometrische cirkel te gebruiken. Weet je niet hoe? Maar... Je zult het moeilijk hebben met trigonometrie...) Maar dat maakt niet uit. Kijk eens naar de lessen "Trigonometrische cirkel...... Wat is dat?" en "Hoeken meten op een goniometrische cirkel." Alles is daar eenvoudig. In tegenstelling tot schoolboeken...)
Oh je weet wel!? En zelfs “Praktisch werken met de trigonometrische cirkel” onder de knie!? Gefeliciteerd. Dit onderwerp zal dichtbij en begrijpelijk voor je zijn.) Wat vooral prettig is, is dat het de trigonometrische cirkel niet uitmaakt welke vergelijking je oplost. Sinus, cosinus, tangens, cotangens - alles is voor hem hetzelfde. Er is slechts één oplossingsprincipe.
We nemen dus elke elementaire trigonometrische vergelijking. Tenminste dit:
cosx = 0,5
We moeten X vinden. Spreken in menselijke taal, dat heb je nodig zoek de hoek (x) waarvan de cosinus 0,5 is.
Hoe gebruikten we de cirkel voorheen? We hebben er een hoek op getekend. In graden of radialen. En meteen zaag goniometrische functies van deze hoek. Laten we nu het tegenovergestelde doen. Laten we een cosinus op de cirkel tekenen die gelijk is aan 0,5 en onmiddellijk we zullen zien hoek. Het enige dat overblijft is het antwoord opschrijven.) Ja, ja!
Teken een cirkel en markeer de cosinus gelijk aan 0,5. Op de cosinus-as natuurlijk. Soortgelijk:
Laten we nu de hoek tekenen die deze cosinus ons geeft. Beweeg uw muis over de afbeelding (of raak de afbeelding aan op uw tablet), en Je zult het zien deze hoek X.
Van welke hoek is de cosinus 0,5?
x = π /3
want 60°= cos( π /3) = 0,5
Sommige mensen zullen sceptisch grinniken, ja... Was het de moeite waard om een cirkel te maken als alles al duidelijk is... Je kunt natuurlijk grinniken...) Maar feit is dat dit een fout antwoord is. Of beter gezegd: onvoldoende. Cirkelkenners begrijpen dat er hier nog een heleboel andere hoeken zijn die ook een cosinus van 0,5 opleveren.
Als je de bewegende kant OA draait volledige beurt, punt A keert terug naar zijn oorspronkelijke positie. Met dezelfde cosinus gelijk aan 0,5. Die. de hoek zal veranderen met 360° of 2π radialen, en cosinus - nee. De nieuwe hoek 60° + 360° = 420° zal ook een oplossing zijn voor onze vergelijking, omdat
Er kan een oneindig aantal van zulke volledige omwentelingen worden gemaakt... En al deze nieuwe hoeken zullen oplossingen zijn voor onze trigonometrische vergelijking. En als antwoord moeten ze allemaal op de een of andere manier worden opgeschreven. Alle. Anders telt de beslissing niet, ja...)
Wiskunde kan dit eenvoudig en elegant doen. Schrijf het op in één kort antwoord oneindige reeks beslissingen. Zo ziet het eruit voor onze vergelijking:
x = π /3 + 2π n, n ∈ Z
Ik zal het ontcijferen. Schrijf nog steeds betekenisvol Het is prettiger dan domweg een paar mysterieuze letters tekenen, toch?)
π /3 - dit is dezelfde hoek als wij zaag op de cirkel en bepaald volgens de cosinustabel.
2π is één volledige revolutie in radialen.
N - dit is het aantal complete, d.w.z. geheel toerental Het is duidelijk dat N kan gelijk zijn aan 0, ±1, ±2, ±3.... enzovoort. Zoals aangegeven door een korte vermelding:
n ∈ Z
N behoort ( ∈ ) set gehele getallen ( Z ). Trouwens, in plaats van de brief N letters kunnen heel goed gebruikt worden k, m, t enz.
Deze notatie betekent dat je elk geheel getal kunt nemen N . Minimaal -3, minimaal 0, minimaal +55. Wat je wilt. Als je dit getal in het antwoord vervangt, krijg je een specifieke invalshoek, die zeker de oplossing zal zijn voor onze harde vergelijking.)
Of, met andere woorden, x = π /3 is de enige wortel van een oneindige verzameling. Om alle andere wortels te krijgen, volstaat het om een willekeurig aantal volledige omwentelingen op te tellen bij π /3 ( N ) in radialen. Die. 2π n radiaal.
Alle? Nee. Ik verleng het plezier bewust. Om het beter te onthouden.) We ontvingen slechts een deel van de antwoorden op onze vergelijking. Ik zal dit eerste deel van de oplossing als volgt schrijven:
x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z
x 1 - niet slechts één wortel, maar een hele reeks wortels, opgeschreven in een korte vorm.
Maar er zijn ook hoeken die ook een cosinus van 0,5 opleveren!
Laten we terugkeren naar onze afbeelding waarop we het antwoord hebben opgeschreven. Hier is ze:
Beweeg uw muis over de afbeelding en wij zien een andere hoek dan geeft ook een cosinus van 0,5. Waar denk je dat het gelijk aan is? De driehoeken zijn hetzelfde... Ja! Hij gelijk aan hoek X , alleen vertraagd in de negatieve richting. Dit is de hoek -X. Maar we hebben x al berekend. π /3 of 60°. Daarom kunnen we veilig schrijven:
x 2 = - π /3
Welnu, natuurlijk voegen we alle hoeken toe die worden verkregen door volledige omwentelingen:
x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z
Dat is alles nu.) Op de trigonometrische cirkel wij zaag(wie begrijpt het natuurlijk)) Alle hoeken die een cosinus van 0,5 opleveren. En schreef deze hoeken in het kort op wiskundige vorm. Het antwoord resulteerde in twee oneindige reeksen wortels:
x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z
Dit is het juiste antwoord.
Hoop, algemeen principe voor het oplossen van goniometrische vergelijkingen het gebruik van een cirkel is duidelijk. We markeren de cosinus (sinus, tangens, cotangens) uit de gegeven vergelijking op een cirkel, tekenen de corresponderende hoeken en schrijven het antwoord op. Natuurlijk moeten we uitzoeken in welke hoeken we zitten zaag op de cirkel. Soms is het niet zo vanzelfsprekend. Nou, ik zei dat hier logica vereist is.)
Laten we bijvoorbeeld eens naar een andere trigonometrische vergelijking kijken:
Houd er rekening mee dat het getal 0,5 niet het enige mogelijke getal in vergelijkingen is!) Het is voor mij gewoon handiger om het te schrijven dan wortels en breuken.
Wij werken volgens het algemene principe. We tekenen een cirkel, markeren (uiteraard op de sinusas!) 0,5. We tekenen alle hoeken die overeenkomen met deze sinus in één keer. We krijgen dit beeld:
Laten we eerst de hoek behandelen X in het eerste kwartaal. We herinneren ons de tabel met sinussen en bepalen de waarde van deze hoek. Het is een simpele zaak:
x = π /6
We herinneren ons ongeveer volledige revoluties en, met schoon geweten, noteren we de eerste reeks antwoorden:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
De helft van de klus is geklaard. Maar nu moeten we beslissen tweede hoek... Het is lastiger dan het gebruik van cosinussen, ja... Maar logica zal ons redden! Hoe de tweede hoek te bepalen via x? Ja Makkelijk! De driehoeken op de afbeelding zijn hetzelfde, evenals de rode hoek X gelijk aan hoek X . Alleen wordt geteld vanaf de hoek π in de negatieve richting. Daarom is het rood.) En voor het antwoord hebben we een hoek nodig, correct gemeten, vanaf de positieve halve as OX, d.w.z. vanuit een hoek van 0 graden.
We bewegen de cursor over de tekening en zien alles. Ik heb de eerste hoek verwijderd om de foto niet ingewikkelder te maken. De hoek waarin we geïnteresseerd zijn (groen getekend) is gelijk aan:
π - x
X Wij weten dit π /6 . Daarom zal de tweede hoek zijn:
π - π /6 = 5π /6
Opnieuw herinneren we ons het toevoegen van volledige omwentelingen en schrijven we de tweede reeks antwoorden op:
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Dat is alles. Een compleet antwoord bestaat uit twee reeksen wortels:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Tangens- en cotangensvergelijkingen kunnen eenvoudig worden opgelost met behulp van hetzelfde algemene principe voor het oplossen van trigonometrische vergelijkingen. Als je natuurlijk weet hoe je de raaklijn en de cotangens op een trigonometrische cirkel tekent.
In de bovenstaande voorbeelden heb ik de tabelwaarde van sinus en cosinus gebruikt: 0,5. Die. een van die betekenissen die de leerling kent moeten. Laten we nu onze mogelijkheden uitbreiden naar alle andere waarden. Beslis, dus beslis!)
Laten we zeggen dat we deze trigonometrische vergelijking moeten oplossen:
Zo'n cosinuswaarde in korte tabellen Nee. Wij negeren dit verschrikkelijke feit koeltjes. Teken een cirkel, markeer 2/3 op de cosinus-as en teken de overeenkomstige hoeken. Wij krijgen dit beeld.
Laten we eerst eens kijken naar de hoek in het eerste kwartaal. Als we maar wisten waar x gelijk aan is, zouden we het antwoord meteen opschrijven! We weten het niet... Mislukking!? Kalm! Wiskunde laat zijn eigen mensen niet in de problemen! Voor dit geval bedacht ze boogcosinussen. Weet niet? Tevergeefs. Ontdek het, het is een stuk eenvoudiger dan je denkt. Er staat geen enkele lastige spreuk over “inverse trigonometrische functies” op deze link... Dit is overbodig in dit onderwerp.
Als je het weet, zeg dan gewoon tegen jezelf: "X is een hoek waarvan de cosinus gelijk is aan 2/3." En onmiddellijk, puur volgens de definitie van boogcosinus, kunnen we schrijven:
We herinneren ons de extra omwentelingen en schrijven rustig de eerste reeks wortels van onze trigonometrische vergelijking op:
x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z
De tweede reeks wortels voor de tweede hoek wordt vrijwel automatisch opgeschreven. Alles is hetzelfde, alleen X (arccos 2/3) zal een minteken hebben:
x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z
En dat is het! Dit is het juiste antwoord. Nog eenvoudiger dan met tabelwaarden. Het is niet nodig om iets te onthouden.) Trouwens, de meest oplettende zal merken dat deze afbeelding de oplossing toont via boogcosinus in wezen verschilt het niet van de afbeelding voor de vergelijking cosx = 0,5.
Precies! Algemeen principe Daarom is het gebruikelijk! Ik heb bewust twee vrijwel identieke afbeeldingen getekend. De cirkel toont ons de hoek X door zijn cosinus. Of het een tabellarische cosinus is of niet, is voor iedereen onbekend. Wat voor soort hoek dit is, π /3, of wat de boogcosinus is, dat is aan ons om te beslissen.
Hetzelfde liedje met sinus. Bijvoorbeeld:
Teken opnieuw een cirkel, markeer de sinus gelijk aan 1/3, teken de hoeken. Dit is het beeld dat we krijgen:
En opnieuw is het beeld bijna hetzelfde als voor de vergelijking sinx = 0,5. Opnieuw starten we in het eerste kwart vanuit de hoek. Waar is X gelijk aan als de sinus 1/3 is? Geen probleem!
Nu is het eerste pakje wortels klaar:
x 1 = boogsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z
Laten we de tweede hoek behandelen. In het voorbeeld met een tabelwaarde van 0,5 was deze gelijk aan:
π - x
Ook hier zal het precies hetzelfde zijn! Alleen x is anders, boogsin 1/3. Dus!? Je kunt het tweede pakje wortels veilig opschrijven:
x 2 = π - boogsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z
Dit is een volledig correct antwoord. Hoewel het er niet heel bekend uitziet. Maar het is duidelijk, hoop ik.)
Dit is hoe goniometrische vergelijkingen worden opgelost met behulp van een cirkel. Deze weg is duidelijk en begrijpelijk. Hij is het die trigonometrische vergelijkingen bespaart met de selectie van wortels op een bepaald interval, in trigonometrische ongelijkheden - ze worden over het algemeen bijna altijd in een cirkel opgelost. Kortom, bij alle taken die iets moeilijker zijn dan de standaardtaken.
Laten we kennis in de praktijk toepassen?)
Los trigonometrische vergelijkingen op:
Ten eerste, eenvoudiger, rechtstreeks uit deze les.
Nu is het ingewikkelder.
Tip: hier moet je aan de cirkel denken. Persoonlijk.)
En nu zijn ze uiterlijk eenvoudig... Ze worden ook speciale gevallen genoemd.
zonde = 0
zonde = 1
cosx = 0
cosx = -1
Tip: hier moet je in een cirkel uitzoeken waar er twee reeksen antwoorden zijn en waar er één is... En hoe je één moet schrijven in plaats van twee reeksen antwoorden. Ja, zodat geen enkele wortel uit een oneindig aantal verloren gaat!)
Nou ja, heel simpel):
zonde = 0,3
cosx = π
tgx = 1,2
ctgx = 3,7
Tip: hier moet je weten wat arcsinus en arccosinus zijn? Wat is boogtangens, boogcotangens? Het meest eenvoudige definities. Maar u hoeft geen tabelwaarden te onthouden!)
De antwoorden zijn natuurlijk een puinhoop):
x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - boogsin0,3 + 2
Niet alles lukt? Gebeurt. Lees de les nog eens. Alleen bedachtzaam(er is zoiets verouderd woord...) En volg de links. De belangrijkste links gaan over de cirkel. Zonder trigonometrie is het alsof je geblinddoekt de weg oversteekt. Soms werkt het.)
Als je deze site leuk vindt...
Ik heb trouwens nog een paar interessante sites voor je.)
U kunt oefenen met het oplossen van voorbeelden en uw niveau ontdekken. Testen met onmiddellijke verificatie. Laten we leren - met interesse!)
Je kunt kennis maken met functies en afgeleiden.