Lesdoelen:
- herhaal het bestudeerde materiaal over het onderwerp nummersysteem;
- leer een getal omzetten van het decimale systeem naar een ander positioneel getalsysteem en omgekeerd;
- de principes beheersen van het omzetten van getallen van het ene systeem naar het andere;
- logisch denken ontwikkelen.
Tijdens de lessen
Aan het begin van de les een korte herhaling en controle van het huiswerk.
In welke vorm wordt numerieke informatie gepresenteerd in het computergeheugen?
Waar worden nummersystemen voor gebruikt?
Welke soorten nummerstelsels ken je? Geef je eigen voorbeelden.
Hoe verschillen positionele systemen van niet-positionele systemen?
Het doel van onze les is om te leren hoe je een getal van het decimale systeem naar een ander positioneel getalsysteem kunt converteren en omgekeerd. Maar eerst kijken we hoe je dat kunt doen
vertegenwoordigen elk niet-negatief geheel getal:
In positionele systemen wordt de waarde van het schrijven van een geheel getal bepaald door de volgende regel: laat a n a n-1 a n-2 …a 1 a 0 het schrijven van het getal A zijn, en i cijfers zijn, dan
waarbij p een geheel getal groter dan 1 is, dat de basis van het getalsysteem wordt genoemd
Om voor een gegeven p elk niet-negatief geheel getal te kunnen schrijven volgens formule (1) en bovendien op een unieke manier: numerieke waarden verschillende cijfers moeten verschillende gehele getallen zijn die tot het segment van 0 tot p-1 behoren.
1) Decimaal systeem
cijfers: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
nummer 5735 = 5 10 3 +7 10 2 +3 10 1 +8 10 0
2) Ternair systeem
cijfers: 0,1,2
getal 201 3 = 2·3 2 +0·3 1 +1·3 0
Let op: het subscript in een getal geeft de basis aan van het getalsysteem waarin het getal is geschreven. Voor het decimale getalsysteem hoeft de index niet te worden geschreven.
Weergave van negatieve en fractionele getallen:
In alle positionele systemen wordt het ‘–’ teken gebruikt om negatieve getallen te schrijven, net als in het decimale systeem. Een komma wordt gebruikt om het gehele deel van een getal te scheiden van het breukdeel. De waarde van de invoer a n een n-1 a n-2 …a 1 a 0 , a -1 a -2 …a m-2 a m-1 a m van het getal A wordt bepaald door de formule, die een generalisatie is van Formule 1):
75,6 = 7·10 1 +5·10 0 +6·10 –1
–2,314 5 = –(2 5 0 +3 5 –1 +1 5 –2 +4 5 –3)
Getallen omzetten van een willekeurig getalsysteem naar decimaal:
Het moet duidelijk zijn dat bij het vertalen van een getal van het ene getalsysteem naar het andere de kwantitatieve waarde van het getal niet verandert, maar alleen de schrijfvorm van het getal verandert, net zoals bij het vertalen van de naam van een getal, bijvoorbeeld van Russisch naar Engels.
Het omzetten van getallen van een willekeurig getalsysteem naar decimalen wordt uitgevoerd door directe berekening met behulp van formule (1) voor gehele getallen en formule (2) voor breuken.
Getallen omzetten van het decimale getalsysteem naar een willekeurig getalsysteem.
Het omzetten van een getal van het decimale systeem naar een systeem met grondtal p betekent het vinden van de coëfficiënten in formule (2). Soms is dit eenvoudig te doen met een eenvoudige selectie. Laten we bijvoorbeeld zeggen dat u het getal 23,5 naar het octale systeem moet converteren. Het is gemakkelijk in te zien dat 23,5 = 16+7+0,5 = 2,8+7+4/8 = 2,8 1 +7,8 0 +4,8 –1 =27,48. Het is duidelijk dat het antwoord niet altijd zo voor de hand liggend is. IN algemeen geval Er wordt een methode gebruikt om de gehele en gebroken delen van een getal afzonderlijk om te zetten.
Om gehele getallen om te rekenen wordt het volgende algoritme gebruikt (verkregen op basis van formule (1)):
1. Vind het quotiënt en de rest bij het delen van een getal door p. De rest is het volgende cijfer ai (j=0,1,2 ...) van de nummerinvoer in nieuw systeem Afrekening.
2. Als het quotiënt gelijk is aan nul, is de vertaling van het getal voltooid, anders passen we punt 1 toe op het quotiënt.
Opmerking 1. De cijfers ai in de getalnotatie zijn van rechts naar links genummerd.
Opmerking 2. Als p>10, dan is het noodzakelijk om notatie in te voeren voor getallen met numerieke waarden groter dan of gelijk aan 10.
Converteer het getal 165 naar het septale getalsysteem.
165:7 = 23 (rest 4) => a 0 = 4
23:7 = 3 (rest 2) => a 1 = 2
3:7 = 0 (rest 3) => a 2 = 3
Laten we het resultaat opschrijven: a 2 a 1 a 0 , d.w.z. 3247.
Na controle met behulp van formule (1), zullen we ervoor zorgen dat de vertaling correct is:
3247=3·7 2 +2·7 1 +4·7 0 =3·49+2·7+4 = 147+14+4 = 165.
Om fractionele delen van getallen te converteren, wordt een algoritme gebruikt dat is verkregen op basis van formule (2):
1. Vermenigvuldig het fractionele deel van het getal met p.
2. Het gehele getal van het resultaat is het volgende cijfer am (m = –1, –2, –3 ...) waarmee het getal in het nieuwe getalsysteem wordt geschreven. Als het fractionele deel van het resultaat nul is, is de vertaling van het getal voltooid, anders passen we stap 1 erop toe.
Opmerking 1. De cijfers a m in de getalnotatie zijn van links naar rechts gerangschikt in oplopende volgorde van de absolute waarde van m.
Opmerking 2. Meestal wordt het aantal breukcijfers in een nieuwe nummerinvoer vooraf beperkt. Hiermee kunt u een vertaling bij benadering uitvoeren met een bepaalde nauwkeurigheid. Bij oneindige breuken waarborgt een dergelijke beperking de eindigheid van het algoritme.
Converteer het getal 0,625 naar het binaire getalsysteem.
0,625 2 = 1,25 (geheel deel 1) => a -1 =1
0,25 2 = 0,5 (geheel deel 0) => a- 2 = 0
0,5 2 = 1,00 (geheel deel 1) => a- 3 = 1
Dus 0,62510 = 0,1012
Na controle met behulp van formule (2), zullen we ervoor zorgen dat de vertaling correct is:
0,1012=1·2 -1 +0·2- 2 +1·2 -3 =1/2+1/8 = 0,5+0,125 = 0,625.
Converteer het getal 0,165 naar het quartaire getalsysteem en beperk het tot vier quartaire cijfers.
0,165 4 = 0,66 (geheel deel 0) => a -1 =0
0,66 4 = 2,64 (geheel deel 2) => a -2 = 2
0,64 4 = 2,56 (geheel deel 2) => a -3 = 2
0,56 4 = 2,24 (geheel deel 2) => a -4 = 2
Dus 0,16510" 0,02224
Laten we een terugvertaling uitvoeren om er zeker van te zijn dat de absolute fout niet groter is dan 4–4:
0,02224 = 0,4 -1 +2,4 -2 +2,4 -3 +2,4 -4 = 2/16+2/64+2/256 = 1/8+1/32+1/ 128 = 21/128 = 0,1640625
|0,1640625–0,165| = 0,00094 < 4–4 = 0,00390625
Getallen omzetten van het ene willekeurige systeem naar het andere
In dit geval moet u het getal eerst naar het decimale systeem converteren en vervolgens van het decimale systeem naar het vereiste systeem.
Er wordt een speciale methode gebruikt om getallen te converteren voor systemen met meerdere bases.
Laat p en q de grondtallen zijn van twee getallenstelsels. We noemen deze systemen getalsystemen met meerdere basen als p = qn of q = pn, waarbij n een natuurlijk getal is. Getalstelsels met grondtal 2 en 8 zijn dus bijvoorbeeld meerdere grondtalstelsels.
Stel p = qn en je moet een getal converteren van een getalsysteem met grondtal q naar een getalsysteem met grondtal p. Laten we de gehele en gebroken delen van het getal verdelen in groepen van n opeenvolgend geschreven cijfers links en rechts van de komma. Als het aantal cijfers in het gehele deel van een getal geen veelvoud is van n, moet u het overeenkomstige aantal nullen aan de linkerkant optellen. Als het aantal cijfers in het fractionele deel van een getal geen veelvoud is van n, worden er nullen aan de rechterkant toegevoegd. Elke groep cijfers is een getal in oud systeem nummer komt overeen met één cijfer van een nummer in het nieuwe nummersysteem.
Laten we 1100001.111 2 omzetten naar het quaternaire getalsysteem.
Door nullen toe te voegen en getallenparen te selecteren, krijgen we 01100001.11102.
Laten we nu elk paar cijfers afzonderlijk vertalen, met behulp van de sectie Getallen van het ene willekeurige systeem naar het andere vertalen.
Dus 1100001,1112 = 01100001,11102 = 1201,324.
Laten we nu aannemen dat we moeten overstappen van een systeem met een grotere basis q naar een systeem met een kleinere basis p, d.w.z. q = pn. In dit geval komt één cijfer van een getal in het oude nummersysteem overeen met n cijfers van een nummer in het nieuwe nummersysteem.
Voorbeeld: Laten we de vorige vertaling van een getal controleren.
1201,324 = 1100001,11102=1100001,1112
In het hexadecimale systeem zijn er cijfers met numerieke waarden 10,11,12, 13,14,15. Om ze aan te duiden, gebruikt u de eerste zes letters van het Latijnse alfabet A, B, C, D, E, F.
Hier is een tabel met getallen van 0 tot en met 16, geschreven in getalsystemen met grondtal 10, 2, 8 en 16.
| Getal in decimaal systeem | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
| In octaal | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 20 |
| In binair | 0 | 1 | 10 | 11 | 100 | 101 | 110 | 111 | 1000 | 1001 | 1010 | 1011 | 1100 | 1101 | 1110 | 1111 | 10000 |
| In hexadecimaal | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F | 10 |
Om hexadecimale cijfers te schrijven, kunt u ook kleine Latijnse letters a-f gebruiken.
Voorbeeld: Laten we het getal 110101001010101010100.11 2 omzetten in een hexadecimaal getalsysteem.
Laten we de veelheid van de bases van de getalsystemen gebruiken (16=2 4). Laten we de getallen per vier groeperen en het vereiste aantal nullen links en rechts toevoegen
000110101001010101010100,1100 2
en als we de tabel bekijken, krijgen we: 1A9554,C 16
Conclusie:
In welk nummersysteem je het beste getallen kunt schrijven, is een kwestie van gemak en traditie. Vanuit technisch oogpunt is het handig om het binaire systeem in een computer te gebruiken, omdat het slechts twee cijfers 0 en 1 gebruikt om een getal op te slaan, dat kan worden weergegeven door twee gemakkelijk te onderscheiden toestanden “geen signaal” en “er is een signaal."
Integendeel, het is voor iemand lastig om met binaire getallen om te gaan, omdat ze langer zijn dan decimale getallen en er veel herhalende cijfers in zitten. Werk daarom indien nodig met machinale representaties van getallen, gebruik octale of hexadecimale getalsystemen. De grondtallen van deze systemen zijn gehele machten van twee, en daarom kunnen getallen vanuit deze systemen gemakkelijk worden omgezet in binair getal en omgekeerd.
Schrijf de huiswerkopdracht op:
a) Schrijf de geboortedatum van alle leden van uw gezin op diverse systemen Afrekening.
b) Converteer getallen van binair naar octaal en hexadecimaal en controleer vervolgens de resultaten door de omgekeerde conversies uit te voeren:
a) 1001111110111.011 2;
1. Ordinaal tellen in verschillende getalsystemen.
In het moderne leven gebruiken we positionele getalsystemen, dat wil zeggen systemen waarin het getal dat door een cijfer wordt aangegeven, afhangt van de positie van het cijfer in de notatie van het getal. Daarom zullen we er in de toekomst alleen over praten, waarbij we de term 'positioneel' weglaten.
Om te leren hoe we getallen van het ene systeem naar het andere kunnen converteren, zullen we begrijpen hoe de opeenvolgende registratie van getallen plaatsvindt aan de hand van het voorbeeld van het decimale systeem.
Omdat we een decimaal getalsysteem hebben, hebben we 10 symbolen (cijfers) om getallen te construeren. We beginnen te tellen: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. De cijfers zijn voorbij. We vergroten de bitdiepte van het getal en resetten het cijfer van de lage orde: 10. Vervolgens verhogen we het cijfer van de lage orde totdat alle cijfers verdwenen zijn: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. We verhogen het cijfer van de hoogste orde met 1 en resetten het cijfer van de lage orde: 20. Wanneer we alle cijfers voor beide cijfers gebruiken (we krijgen het getal 99), vergroten we opnieuw de cijfercapaciteit van het getal en resetten we de bestaande cijfers: 100. En zo verder.
Laten we proberen hetzelfde te doen in het 2e, 3e en 5e systeem (we introduceren de notatie voor het 2e systeem, voor het 3e, enz.):
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 10 | 3 |
| 4 | 100 | 11 | 4 |
| 5 | 101 | 12 | 10 |
| 6 | 110 | 20 | 11 |
| 7 | 111 | 21 | 12 |
| 8 | 1000 | 22 | 13 |
| 9 | 1001 | 100 | 14 |
| 10 | 1010 | 101 | 20 |
| 11 | 1011 | 102 | 21 |
| 12 | 1100 | 110 | 22 |
| 13 | 1101 | 111 | 23 |
| 14 | 1110 | 112 | 24 |
| 15 | 1111 | 120 | 30 |
Als het getalsysteem een grondtal groter dan 10 heeft, zullen we extra tekens moeten invoeren; het is gebruikelijk om letters van het Latijnse alfabet in te voeren. Voor het 12-cijferige systeem hebben we bijvoorbeeld naast tien cijfers ook twee letters ( en ) nodig:
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 3 |
| 4 | 4 |
| 5 | 5 |
| 6 | 6 |
| 7 | 7 |
| 8 | 8 |
| 9 | 9 |
| 10 | |
| 11 | |
| 12 | 10 |
| 13 | 11 |
| 14 | 12 |
| 15 | 13 |
2. Conversie van het decimale getallenstelsel naar een ander systeem.
Om een decimaal getal met een positief geheel getal om te zetten in een getalsysteem met een ander grondtal, moet je dit getal delen door het grondtal. Verdeel het resulterende quotiënt opnieuw door de basis, en verder totdat het quotiënt kleiner is dan de basis. Schrijf daarom op één regel het laatste quotiënt en alle resten op, beginnend bij de laatste.
Voorbeeld 1. Laten we het decimale getal 46 omzetten naar het binaire getalsysteem.
Voorbeeld 2. Laten we het decimale getal 672 omzetten naar het octale getalsysteem.
Voorbeeld 3. Laten we het decimale getal 934 omzetten naar het hexadecimale getalsysteem.
3. Conversie van elk getalsysteem naar decimaal.
Laten we, om te leren hoe we getallen uit een ander systeem naar decimalen kunnen converteren, de notatie analyseren die we kennen decimaal getal.
Het decimale getal 325 is bijvoorbeeld 5 eenheden, 2 tientallen en 3 honderdtallen, d.w.z.
De situatie is precies hetzelfde in andere getalsystemen, alleen zullen we niet vermenigvuldigen met 10, 100, enz., maar met de machten van de basis van het getalsysteem. Laten we bijvoorbeeld het getal 1201 nemen in het ternaire getalsysteem. Laten we de cijfers van rechts naar links nummeren, beginnend bij nul, en ons getal voorstellen als de som van de producten van een cijfer en drie tot de macht van het cijfer van het getal:
Dit is de decimale notatie van ons getal, d.w.z.
Voorbeeld 4. Laten we het octale getal 511 omzetten naar het decimale getalsysteem.
Voorbeeld 5. Laten we het hexadecimale getal 1151 omzetten naar het decimale getalsysteem.
4. Conversie van het binaire systeem naar het systeem met de basis “macht van twee” (4, 8, 16, etc.).
Bekeren binair getal In een getal met de basis "macht van twee" is het noodzakelijk om de binaire reeks in groepen te verdelen op basis van het aantal cijfers gelijk aan de macht van rechts naar links en elke groep te vervangen door het overeenkomstige cijfer van het nieuwe getallenstelsel.
Laten we bijvoorbeeld het binaire getal 1100001111010110 omzetten naar het octale systeem. Om dit te doen, verdelen we het in groepen van 3 tekens, beginnend vanaf de rechterkant (sinds ), en gebruiken we vervolgens de correspondentietabel en vervangen we elke groep door een nieuw nummer:
In stap 1 hebben we geleerd hoe we een correspondentietabel kunnen maken.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
Die.
Voorbeeld 6. Laten we het binaire getal 1100001111010110 omzetten naar hexadecimaal.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
| 1000 | 8 |
| 1001 | 9 |
| 1010 | A |
| 1011 | B |
| 1100 | C |
| 1101 | D |
| 1110 | E |
| 1111 | F |
5. Conversie van een systeem met de basis “macht van twee” (4, 8, 16, etc.) naar binair.
Deze vertaling is vergelijkbaar met de vorige, maar dan in de tegenovergestelde richting: we vervangen elk cijfer door een groep cijfers in het binaire systeem uit de correspondentietabel.
Voorbeeld 7. Laten we het hexadecimale getal C3A6 omzetten naar het binaire getalsysteem.
Om dit te doen, vervangt u elk cijfer van het getal door een groep van 4 cijfers (sinds ) uit de correspondentietabel, en vult u de groep indien nodig aan met nullen aan het begin:
Schrijf het getal in het binaire getalsysteem en de machten van twee van rechts naar links. We willen bijvoorbeeld het binaire getal 10011011 2 naar decimaal converteren. Laten we het eerst opschrijven. Vervolgens schrijven we de machten van twee van rechts naar links. Laten we beginnen met 2 0, wat gelijk is aan "1". Voor elk volgend getal verhogen we de graad met één. We stoppen wanneer het aantal elementen in de lijst gelijk is aan het aantal cijfers in het binaire getal. Ons voorbeeldnummer, 10011011, heeft acht cijfers, dus een lijst van acht elementen zou er als volgt uitzien: 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1
Schrijf de cijfers van het binaire getal onder de overeenkomstige machten van twee. Schrijf nu eenvoudigweg 10011011 onder de getallen 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2 en 1, zodat elk binair cijfer overeenkomt met een andere macht van twee. De meest rechtse "1" van het binaire getal moet overeenkomen met de meest rechtse "1" van de machten van twee, enzovoort. Als u wilt, kunt u het binaire getal boven de machten van twee schrijven. Het belangrijkste is dat ze bij elkaar passen.
Zorg ervoor dat de cijfers in een binair getal overeenkomen met de overeenkomstige machten van twee. Teken lijnen (van rechts naar links) die elk opeenvolgend cijfer van het binaire getal verbinden met de macht van twee erboven. Begin met het tekenen van lijnen door het eerste cijfer van een binair getal te verbinden met de eerste macht van twee erboven. Trek vervolgens een lijn van het tweede cijfer van het binaire getal naar de tweede macht van twee. Ga door met het verbinden van elk getal met de overeenkomstige macht van twee. Dit zal u helpen de relatie tussen twee verschillende reeksen getallen visueel te zien.
Schrijf de uiteindelijke waarde van elke macht van twee op. Doorloop elk cijfer van een binair getal. Als het getal 1 is, schrijf dan de overeenkomstige macht van twee onder het getal. Als dit getal 0 is, schrijf dan 0 onder het getal.
- Omdat "1" overeenkomt met "1", blijft het "1". Omdat "2" overeenkomt met "1", blijft het "2". Omdat "4" overeenkomt met "0", wordt het "0". Omdat "8" overeenkomt met "1", wordt het "8", en aangezien "16" overeenkomt met "1" wordt het "16". "32" komt overeen met "0" en wordt "0", "64" komt overeen met "0" en wordt daarom "0", terwijl "128" overeenkomt met "1" en daarom 128 wordt.
Tel de resulterende waarden bij elkaar op. Voeg nu de resulterende getallen toe onder de regel. Dit is wat je moet doen: 128 + 0 + 0 + 16 + 8 + 0 + 2 + 1 = 155. Dit is het decimale equivalent van het binaire getal 10011011.
Schrijf het antwoord samen met een subscript dat gelijk is aan het getallensysteem. Nu hoef je alleen maar 155 10 te schrijven om aan te geven dat je met een decimaal antwoord werkt, dat gaat over machten van tien. Hoe meer u binaire getallen omzet in decimalen, hoe gemakkelijker het voor u zal zijn om machten van twee te onthouden, en hoe sneller u de taak kunt voltooien.
Gebruik deze methode om een binair getal met een decimaalpunt naar een decimaal getal om te zetten. U kunt deze methode zelfs gebruiken als u een binair getal zoals 1,1 2 naar decimaal wilt converteren. Het enige dat u hoeft te weten, is dat het getal aan de linkerkant van de decimaal een normaal getal is, en dat het getal aan de rechterkant van de decimaal het "halve" getal is, oftewel 1 x (1/2).
- "1" links van het decimale getal komt overeen met 2 0, of 1. 1 rechts van het decimale getal komt overeen met 2 -1, of.5. Voeg 1 en .5 toe en je krijgt 1,5, wat het decimale equivalent is van 1,1 2.
Notitie 1
Als u een getal van het ene getalsysteem naar het andere wilt converteren, is het handiger om het eerst naar het decimale getallensysteem te converteren en pas daarna van het decimale getallenstelsel naar een ander getalsysteem te converteren.
Regels voor het converteren van getallen van elk getalsysteem naar decimaal
IN computer technologie Met behulp van machinale rekenkunde wordt een belangrijke rol gespeeld door de conversie van getallen van het ene getalsysteem naar het andere. Hieronder geven we de basisregels voor dergelijke transformaties (vertalingen).
Wanneer u een binair getal naar een decimaal getal converteert, moet u het binaire getal weergeven als een polynoom, waarvan elk element wordt weergegeven als het product van een cijfer van het getal en de overeenkomstige macht van het grondtal, in dit geval $2$, en dan moet je de polynoom berekenen met behulp van de regels van de decimale rekenkunde:
$X_2=A_n \cdot 2^(n-1) + A_(n-1) \cdot 2^(n-2) + A_(n-2) \cdot 2^(n-3) + ... + A_2 \cdot 2^1 + A_1 \cdot 2^0$
Figuur 1. Tabel 1
voorbeeld 1
Converteer het getal $11110101_2$ naar het decimale getalsysteem.
Oplossing. Met behulp van de gegeven tabel met machten van $1$ van de basis $2$, stellen we het getal voor als een polynoom:
$11110101_2 = 1 \cdot 27 + 1 \cdot 26 + 1 \cdot 25 + 1 \cdot 24 + 0 \cdot 23 + 1 \cdot 22 + 0 \cdot 21 + 1 \cdot 20 = 128 + 64 + 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 245_(10)$
Om een getal van het octale getalsysteem naar het decimale getalsysteem om te zetten, moet je het weergeven als een polynoom, waarvan elk element wordt weergegeven als het product van een cijfer van het getal en de overeenkomstige macht van het grondtal. geval $8$, en dan moet je de polynoom berekenen volgens de regels van de decimale rekenkunde:
$X_8 = A_n \cdot 8^(n-1) + A_(n-1) \cdot 8^(n-2) + A_(n-2) \cdot 8^(n-3) + ... + A_2 \cdot 8^1 + A_1 \cdot 8^0$
Figuur 2. Tabel 2
Voorbeeld 2
Converteer het getal $75013_8$ naar het decimale getalsysteem.
Oplossing. Met behulp van de gegeven tabel met machten van $2$ van het grondtal $8$, stellen we het getal voor als een polynoom:
$75013_8 = 7\cdot 8^4 + 5 \cdot 8^3 + 0 \cdot 8^2 + 1 \cdot 8^1 + 3 \cdot 8^0 = 31243_(10)$
Om een getal van hexadecimaal naar decimaal om te zetten, moet je het weergeven als een polynoom, waarvan elk element wordt weergegeven als het product van een cijfer van het getal en de overeenkomstige macht van het grondtal, in dit geval $16$, en dan je moet de polynoom berekenen volgens de regels van de decimale rekenkunde:
$X_(16) = A_n \cdot 16^(n-1) + A_(n-1) \cdot 16^(n-2) + A_(n-2) \cdot 16^(n-3) + . .. + A_2 \cdot 16^1 + A_1 \cdot 16^0$
Figuur 3. Tabel 3
Voorbeeld 3
Converteer het getal $FFA2_(16)$ naar het decimale getalsysteem.
Oplossing. Met behulp van de gegeven tabel met machten van $3$ van het grondtal $8$, stellen we het getal voor als een polynoom:
$FFA2_(16) = 15 \cdot 16^3 + 15 \cdot 16^2 + 10 \cdot 16^1 + 2 \cdot 16^0 =61440 + 3840 + 160 + 2 = 65442_(10)$
Regels voor het converteren van getallen van het decimale getalsysteem naar een ander
- Om een getal van het decimale getalsysteem naar het binaire systeem te converteren, moet het opeenvolgend worden gedeeld door $2$ totdat er een rest overblijft die kleiner is dan of gelijk is aan $1$. Een getal in het binaire systeem wordt weergegeven als een reeks van het laatste resultaat van de deling en de restanten van de deling in omgekeerde volgorde.
Voorbeeld 4
Converteer het getal $22_(10)$ naar het binaire getalsysteem.
Oplossing:
Figuur 4.
$22_{10} = 10110_2$
- Om een getal van het decimale getalsysteem naar octaal te converteren, moet het opeenvolgend worden gedeeld door $8$ totdat er een rest overblijft die kleiner is dan of gelijk is aan $7$. Een getal in het octale getalsysteem wordt weergegeven als een reeks cijfers van het laatste delingsresultaat en de restanten van de deling in omgekeerde volgorde.
Voorbeeld 5
Converteer het getal $571_(10)$ naar het octale getalsysteem.
Oplossing:
Figuur 5.
$571_{10} = 1073_8$
- Om een getal om te zetten van het decimale getalsysteem naar het hexadecimale systeem, moet het achtereenvolgens worden gedeeld door $16$ totdat er een rest overblijft die kleiner is dan of gelijk is aan $15$. Een getal in het hexadecimale systeem wordt weergegeven als een reeks cijfers van het resultaat van de laatste deling en de rest van de deling in omgekeerde volgorde.
Voorbeeld 6
Converteer het getal $7467_(10)$ naar een hexadecimaal getalsysteem.
Oplossing:
Figuur 6.
$7467_(10) = 1D2B_(16)$
Om een echte breuk om te zetten van een decimaal getalsysteem naar een niet-decimaal getalsysteem, is het noodzakelijk om het fractionele deel van het getal dat wordt geconverteerd opeenvolgend te vermenigvuldigen met de basis van het systeem waarnaar het moet worden geconverteerd. Breuken in het nieuwe systeem zullen worden weergegeven als hele delen van producten, te beginnen met de eerste.
Bijvoorbeeld: $0,3125_((10))$ in een octaal getalsysteem ziet er uit als $0,24_((8))$.
In dit geval kunt u een probleem tegenkomen tijdens de finale decimale kan overeenkomen met een oneindige (periodieke) breuk in het niet-decimale getalsysteem. In dit geval zal het aantal cijfers in de breuk die in het nieuwe systeem wordt weergegeven, afhangen van de vereiste nauwkeurigheid. Er moet ook worden opgemerkt dat gehele getallen gehele getallen blijven, en dat echte breuken breuken blijven in elk getalsysteem.
Regels voor het converteren van getallen van een binair getalsysteem naar een ander
- Om een getal van het binaire getalsysteem naar octaal te converteren, moet het worden verdeeld in drieklanken (drietallen cijfers), te beginnen met het minst significante cijfer, indien nodig, nullen toevoegen aan de leidende drieklank en vervolgens elke drieklank vervangen door het overeenkomstige octale cijfer volgens Tabel 4.
Figuur 7. Tabel 4
Voorbeeld 7
Converteer het getal $1001011_2$ naar het octale getalsysteem.
Oplossing. Met behulp van Tabel 4 converteren we het getal van het binaire getalsysteem naar octaal:
$001 001 011_2 = 113_8$
- Om een getal van het binaire getalsysteem naar hexadecimaal te converteren, moet het worden verdeeld in tetrads (vier cijfers), te beginnen met het minst significante cijfer, indien nodig, nullen optellend bij het meest significante tetrad, en vervolgens elke tetrad vervangen door het overeenkomstige octale cijfer volgens Tabel 4.
Methoden voor het converteren van getallen van het ene getalsysteem naar het andere.
Getallen converteren van het ene positionele getalsysteem naar het andere: gehele getallen converteren.
Om een geheel getal van het ene getallenstelsel met grondtal d1 naar het andere met grondtal d2 te converteren, moet je dit getal en de resulterende quotiënten opeenvolgend delen door grondtal d2 van het nieuwe systeem totdat je een quotiënt krijgt dat kleiner is dan grondtal d2. Het laatste quotiënt is het belangrijkste cijfer van een getal in het nieuwe getalsysteem met grondtal d2, en de cijfers die erop volgen zijn resten van deling, geschreven in de omgekeerde volgorde van hun ontvangst. Voer rekenkundige bewerkingen uit in het getalsysteem waarin het getal dat wordt vertaald, is geschreven.
Voorbeeld 1. Converteer het getal 11(10) naar het binaire getalsysteem.
Antwoord: 11(10)=1011(2).
Voorbeeld 2. Converteer het getal 122(10) naar het octale getalsysteem.
Antwoord: 122(10)=172(8).
Voorbeeld 3. Converteer het getal 500(10) naar een hexadecimaal getalsysteem.
Antwoord: 500(10)=1F4(16).
Getallen omzetten van het ene positionele getalsysteem naar het andere: echte breuken omzetten.
Om een echte breuk om te zetten van een getallensysteem met grondtal d1 naar een systeem met grondtal d2, is het noodzakelijk om de oorspronkelijke breuk en de breukdelen van de resulterende producten opeenvolgend te vermenigvuldigen met het grondtal van het nieuwe getallenstelsel d2. De juiste fractie van een getal in het nieuwe getalsysteem met grondtal d2 wordt gevormd in de vorm van gehele delen van de resulterende producten, beginnend bij de eerste.
Als de vertaling resulteert in een breuk in de vorm van een oneindige of uiteenlopende reeks, kan het proces worden voltooid wanneer de vereiste nauwkeurigheid is bereikt.
Bij het vertalen van gemengde getallen is het noodzakelijk om de gehele en gebroken delen afzonderlijk te vertalen naar een nieuw systeem volgens de regels voor het vertalen van gehele getallen en eigen breuken, en vervolgens beide resultaten te combineren tot één gemengd getal in het nieuwe getalsysteem.
Voorbeeld 1. Converteer het getal 0,625(10) naar het binaire getalsysteem.
Antwoord: 0,625(10)=0,101(2).
Voorbeeld 2. Converteer het getal 0,6(10) naar het octale getalsysteem.
Antwoord: 0,6(10)=0,463(8).
Voorbeeld 2. Converteer het getal 0,7(10) naar een hexadecimaal getalsysteem.
Antwoord: 0,7(10)=0,B333(16).
Converteer binaire, octale en hexadecimale getallen naar een decimaal getalsysteem.
Om een getal van het P-ary-systeem naar een decimaal getal om te zetten, moet je de volgende uitbreidingsformule gebruiken:
anan-1…а1а0=nPn+ an-1Pn-1+…+ а1P+a0 .
Voorbeeld 1. Converteer het getal 101.11(2) naar het decimale getalsysteem.
Antwoord: 101.11(2)= 5.75(10) .
Voorbeeld 2. Converteer het getal 57.24(8) naar het decimale getalsysteem.
Antwoord: 57,24(8) = 47,3125(10) .
Voorbeeld 3. Converteer het getal 7A,84(16) naar het decimale getallensysteem.
Antwoord: 7A.84(16)= 122.515625(10) .
Octale en hexadecimale getallen omzetten naar het binaire getalsysteem en omgekeerd.
Om een getal van het octale getalsysteem naar een binair getal om te zetten, moet elk cijfer van dit getal geschreven worden als een driecijferig binair getal (triade).
Voorbeeld: schrijf het getal 16.24(8) in het binaire getalsysteem.
Antwoord: 16.24(8)= 1110.0101(2) .
Om een binair getal weer om te zetten in het octale getalsysteem, moet je het oorspronkelijke getal in drieklanken links en rechts van de komma verdelen en elke groep vertegenwoordigen met een cijfer in het octale getalsysteem. Extreem onvolledige drieklanken worden aangevuld met nullen.
Voorbeeld: schrijf het getal 1110.0101(2) in het octale getalsysteem.
Antwoord: 1110.0101(2)= 16.24(8) .
Om een getal van het hexadecimale getalsysteem naar het binaire systeem om te zetten, moet je elk cijfer van dit getal schrijven als een viercijferig binair getal (tetrad).
Voorbeeld: schrijf het getal 7A,7E(16) in het binaire getalsysteem. 
Antwoord: 7A,7E(16)= 1111010.0111111(2) .
Let op: voorloopnullen aan de linkerkant voor gehele getallen en aan de rechterkant voor breuken worden niet geschreven.
Om een binair getal weer om te zetten in het hexadecimale getalsysteem, moet je het oorspronkelijke getal verdelen in tetrads links en rechts van de komma en elke groep vertegenwoordigen met een cijfer in het hexadecimale getalsysteem. Extreem onvolledige drieklanken worden aangevuld met nullen.
Voorbeeld: schrijf het getal 1111010.0111111(2) in een hexadecimaal getalsysteem.